Definiți un poligon de vârf. Acesta este vârful poligonului. Noduri în grafica computerizată

Poligon- Acest figură geometrică, delimitat de o polilinie închisă care nu are auto-intersecții.

Legăturile liniei întrerupte sunt numite laturile poligonului, și vârfurile sale vârfurile poligoanelor.

colțuri poligoane se numesc unghiuri interioare formate din laturile adiacente. Numărul de colțuri ale unui poligon este egal cu numărul vârfurilor și al laturilor acestuia.

Poligoanele sunt numite în funcție de numărul de laturi. Poligonul cu cel mai mic număr de laturi se numește triunghi, are doar trei laturi. Un poligon cu patru laturi se numește patrulater, cu cinci - un pentagon etc.

Desemnarea unui poligon este alcătuită din literele de la vârfurile acestuia, denumindu-le în ordine (în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic). De exemplu, ei spun sau scriu: pentagon ABCDE :

Într-un pentagon ABCDE puncte A, B, C, DȘi E sunt vârfurile pentagonului și segmentele AB, î.Hr, CD, DEȘi EA laturile unui pentagon.

Convex și concav

Poligonul se numește convex dacă niciuna dintre laturile sale, extinsă pe o linie dreaptă, nu o intersectează. În caz contrar, poligonul este numit concav:

Perimetru

Suma lungimilor tuturor laturilor unui poligon se numește sa perimetru.

Perimetrul poligonului ABCDE este egal cu:

AB + î.Hr+ CD + DE + EA

Dacă un poligon are toate laturile și toate unghiurile egale, atunci se numește dreapta. Numai poligoane convexe pot fi poligoane regulate.

Diagonală

Diagonala poligonului este un segment de dreaptă care leagă vârfurile a două unghiuri care nu au o latură comună. De exemplu, tăierea ANUNȚ este o diagonală:

Singurul poligon care nu are o singură diagonală este un triunghi, deoarece nu există colțuri în el care să nu aibă laturi comune.

Dacă toate diagonalele posibile sunt desenate din orice vârf al poligonului, atunci ele vor împărți poligonul în triunghiuri:

Vor fi exact două triunghiuri mai puține decât laturile:

t = n - 2

Unde t este numărul de triunghiuri și n- numărul de laturi.

Împărțirea unui poligon în triunghiuri folosind diagonale este folosită pentru a găsi aria unui poligon, deoarece pentru a găsi aria unui poligon, trebuie să o împărțiți în triunghiuri, să găsiți aria acestor triunghiuri și să adăugați rezultatele.

Poligoane de subiecte - clasa a VIII-a:

Se numește o linie de segmente adiacente care nu se află pe aceeași linie dreaptă linie frântă.

Capetele segmentelor sunt culmi.

Fiecare tăietură- legătură.

Și toate sumele lungimilor segmentelor alcătuiesc totalul lungime linie frântă. De exemplu, AM + ME + EK + KO = lungimea poliliniei

Dacă segmentele sunt închise, atunci poligon(Vezi deasupra) .

Legăturile dintr-un poligon sunt numite petreceri.

Suma lungimilor laturilor - perimetru poligon.

Vârfurile de pe aceeași parte sunt vecine.

Se numește un segment de linie care conectează vârfuri neadiacente diagonală.

Poligoane numit după numărul de laturi: pentagon, hexagon etc.

Tot ce este în interiorul poligonului este partea interioară a avionuluiși tot ce este afară - partea exterioară a avionului.

Notă! Poza de mai jos- acesta NU este un poligon, deoarece există puncte comune suplimentare pe aceeași linie dreaptă pentru segmentele neadiacente.

Poligon convex se află pe o parte a fiecărei linii. Pentru a o determina mental (sau desen) continuăm fiecare parte.

Într-un poligon atâtea unghiuri câte laturi sunt.

Într-un poligon convex suma tuturor unghiurilor interioare este egal cu (n-2)*180°. n este numărul de colțuri.

Poligonul se numește dreapta dacă toate laturile și unghiurile sale sunt egale. Deci, calculul unghiurilor sale interne se efectuează conform formulei (unde n este numărul de unghiuri): 180° * (n-2) / n

Mai jos sunt poligoane, suma unghiurilor lor și cu ce este egal un unghi.

Unghiurile exterioare ale poligoanelor convexe se calculează după cum urmează:

​​​​​​​

La întrebarea ce este un poligon dat de autor european cel mai bun răspuns este

Polilinie plată închisă;


Tipuri de poligoane
Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi, cu patru - un patrulater, cu cinci - un pentagon etc.
Un poligon cu n vârfuri se numește n-gon.
Un poligon plat este o figură care constă dintr-un poligon și o parte finită a zonei delimitate de acesta.
Un poligon se numește convex dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții (echivalente):
se află pe o parte a oricărei linii care leagă vârfurile învecinate. (adică prelungirile laturilor poligonului nu se intersectează cu celelalte laturi ale acestuia) ;
este intersecția (adică partea comună) a mai multor semiplanuri;
Fiecare diagonală se află în interiorul poligonului;
orice segment cu capete în puncte aparținând unui poligon îi aparține în întregime.
Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale, de exemplu triunghi echilateral, pentagon pătrat și regulat.
Un poligon regulat cu auto-intersecții se numește stea, de exemplu, stele regulate cu cinci și opt colțuri.
Se spune că un poligon convex este înscris într-un cerc dacă toate vârfurile sale se află pe același cerc.
Un poligon convex se numește cerc circumferitor dacă toate laturile lui ating un cerc.
Vârfurile unui poligon se numesc vecine dacă sunt capetele uneia dintre laturile acestuia.
Segmentele de linie care leagă vârfuri neînvecinate ale unui poligon se numesc diagonale.
Un unghi (sau unghi interior) al unui poligon la un punct dat este unghiul format de laturile sale care converg la acel vârf și situate în interiorul poligonului. În special, unghiul poate depăși 180° dacă poligonul nu este convex.
Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la acel vârf. În general, unghiul exterior este diferența dintre 180° și unghiul interior și poate lua valori de la -180° la 180°.

Răspuns de la Microscop[guru]
Un poligon este o figură geometrică, definită de obicei ca o polilinie închisă.

Există trei opțiuni diferite pentru definirea unui poligon:
Polilinie plată închisă;
Linie întreruptă închisă plată fără auto-intersecții;
Parte a unui plan delimitată de o polilinie închisă.

În orice caz, vârfurile poliliniei sunt numite vârfuri ale poligonului, iar segmentele sunt numite laturile poligonului.

Răspuns de la Vladislav Borovik[incepator]
Un poligon este o figură care are mai multe laturi și unghiuri.

Răspuns de la căsătorie[incepator]
o mulțime de pătrat este acolo unde sunt multe colțuri

Răspuns de la sasha saferider[incepator]
mult pătrat este locul în care există o mulțime de unghiuri

Poligon. Vârfurile, colțurile, laturile și diagonalele
poligon. Perimetrul poligonului.
Simplu poligon. Poligon convex.
Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex.

O figură plană formată dintr-un lanț închis de segmente se numește poligon. În funcție de numărul de unghiuri, un poligon poate fi un triunghi, patrulater, pentagon , hexagon etc. Figura 17 prezintă hexagonul ABCDEF. Punctele A, B, C, D, E, F - vârfuri

poligon; unghiurile A , B , C , D, E , F - colțurile poligonului; segmentele AC, AD, BE etc. - diagonale; AB, BC, CD, DE, EF, FA - laturile poligonului; suma lungimilor laturilor AB + BC + ... + FA se numește perimetru și se notează p (uneori se notează - 2p, atunci p este un semiperimetru). În geometria elementară sunt considerate doar poligoane simple, ale căror contururi nu au auto-intersecții, așa cum se arată în Fig.18. Dacă toate diagonalele se află în interiorul poligonului, acesta se numește convex. Hexagonul din Fig. 17 este convex; Pentagonul ABCDE din Fig. 19 nu este convex, deoarece diagonala sa AD se află în exterior. Suma unghiurilor interioare ale unui poligon convex este 180º ( n - 2), unde n este numărul de unghiuri (sau laturi) poligonului.

Paralelogram. Proprietățile și caracteristicile unui paralelogram.

Dreptunghi. Proprietățile de bază ale unui dreptunghi. Romb.

Pătrat . Trapez. Liniile mediane ale unui trapez și ale unui triunghi.

Un paralelogram (ABCD, Fig. 32) este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele pe perechi.

Orice două laturi opuse ale unui paralelogram se numesc bazele sale, iar distanța dintre ele se numește înălțime (BE, Fig. 32).

Proprietățile paralelogramului.

1. Laturile opuse ale unui paralelogram sunt egale(AB=CD, AD=BC).

2. Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt egale(A=C, B=D).

3. Diagonalele unui paralelogram sunt bisectate în punctul lor de intersecție.(AO=OC, BO=OD).

4. Suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelorcele patru laturi ale sale:

AC² + BD² = AB² + BC² + CD² + AD².

Caracteristicile unui paralelogram.

Un patrulater este un paralelogram dacă una dintre următoarele condiții este adevărată:

1. Laturile opuse sunt egale(AB=CD, AD=BC).

2. Unghiurile opuse sunt egale în perechi(A=C, B=D).

3. Două laturi opuse sunt egale și paralele(AB = CD, AB || CD).

4.Diagonalele sunt împărțite în jumătate în punctul de intersecție(AO=OC, BO=OD).

Dreptunghi.

Br />
Dacă unul dintre colțurile unui paralelogram este drept, atunci toate celelalte colțuri sunt de asemenea drepte (de ce?). Un astfel de paralelogram se numește dreptunghi (Fig. 33).

Proprietățile de bază ale unui dreptunghi.

Laturile unui dreptunghi sunt, de asemenea, înălțimile acestuia.

Diagonalele unui dreptunghi sunt: AC=BD.

Pătratul diagonalei unui dreptunghi este egal cu suma pătratelor laturilor sale.(vezi teorema lui Pitagora de mai sus):

AC 2 = AD 2 + DC 2.

Romb. Dacă toate laturile unui paralelogram sunt egale, atunci se numește paralelogramul romb (Fig. 34) .

Diagonalele rombului sunt reciproc perpendiculare (AC BD) și își bisectează unghiurile (DCA = BCA, ABD = CBD etc.).

Pătratul este paralelogram cu unghiuri drepte și laturi egale (Fig. 35). Un pătrat este un caz special al unui dreptunghi și al unui romb în același timp; prin urmare, are toate proprietățile lor de mai sus.

R/>
Trapez este un patrulater cu e o sută opusăronii sunt paraleli(Fig. 36).

Aici AD || î.Hr. Laturile paralele se numesc temeiuri trapez și celelalte două (AB și CD) -laturi.Distanța dintre baze (BM) daînălţime. Segmentul de linie EF care leagă punctele mijlocii E și F

Laturile laterale se numesc linia mediană a trapezului. linia de mijloc trapezul este egal cu jumătate din suma bazelor:

si paralel cu ele: EF || AD și EF || î.Hr.

Un trapez cu laturile egale (AB = CD) se numește isoscel noah trapez. Într-un trapez isoscel, unghiurile de la fiecare bază sunt egale(A=D, B=C).

Paralelogramul poate fi văzut ca caz special trapez.

Linia de mijloc a triunghiului- acesta este un segment conectarea punctelor de mijloc laturile triunghiului. Linia mediană a unui triunghi este jumătate baza sa si paralela cu ea. o proprietatea decurge din precedenta

Punct, deoarece triunghiul poate fi considerat ca un caz de degenerare a trapezului, atunci când una dintre bazele sale se transformă în punct.

Un poligon înscris într-un cerc.

Un poligon circumscris unui cerc.

descris în jurul cercului poligon.

Inscris într-un cerc poligonal.

Raza unui cerc înscris într-un triunghi.

Raza unui cerc circumscris unui triunghi .
Poligon regulat.

Centrul și apotema unui poligon regulat.
Raporturile laturilor și razelor poligoanelor regulate.

înscris într-un cerc numit poligon ale căror vârfuri sunt situate pe cercul din fig. 54). Descris în jurul cercului numit cuiale căror laturi sunt tangente la cerc

(Fig.55).

Respectiv, un cerc care trece prin vârfurile unui poligon(Fig. 54), numitcircumscris unui poligon; cerc, pentru pe care laturile poligonului sunt tangente (Fig. 55), pe se numește înscris într-un poligon. Pentru un arbitrar poligonul nu poate fi înscris în el și descrie un cerc în jurul lui. Pentru triunghi este întotdeauna posibil.

Rază r cerc înscrisexprimat în termeni de a, b, c triunghi:

Raza R descrisă cerc exprimat prin formula:

Un cerc poate fi înscris într-un patrulater dacă sumele laturilor sale opuse sunt egale.Pentru paralelograme, acest lucru este posibil doar pentru un romb (pătrat). Centrul cercului înscris este situat în punctul de intersecție al diagonalelor.Un cerc poate fi descris în jurul unui patrulater dacă suma luiunghiuri opuse este 180º. Pentru paralelograme, acest lucru este posibil doar pentru un dreptunghi (pătrat). Centrul cercului circumscris se află în punctul de intersecție al diagonalelor. Un cerc poate fi descris în jurul unui trapez, numai dacă este isoscel.r />

Un poligon obișnuit este un poligon cu laturi și unghiuri egale.

Figura 56 prezintă un hexagon regulat, iar Figura 57 prezintă un octogon regulat. Un patrulater regulat este un pătrat; triunghiul dreptunghic este un triunghi echilateral. Fiecare colț al unui poligon obișnuit este egal cu 180º (n - 2) / n, unde n este numărul colțurilor sale. În interiorul unui poligon regulat există un punct O (Fig. 56), echidistant de toate vârfurile sale (OA = OB = OC = ... = OF), care se numește centrul unui poligon regulat. Centrul unui poligon regulat este, de asemenea, echidistant de toate laturile sale (OP = OQ = OR = ...). Segmentele OP, OQ, OR, ... se numesc apoteme; segmentele OA, OB, OC, … sunt razele unui poligon regulat. Un cerc poate fi înscris într-un poligon obișnuit și un cerc poate fi circumscris în jurul lui. Centrele cercurilor înscrise și circumscrise coincid cu centrul unui poligon regulat. Raza cercului circumscris este raza unui poligon regulat, iar raza cercului înscris este apotema acestuia. Raporturile laturilor și razelor poligoanelor regulate:

Pentru majoritatea poligoanelor regulate, este imposibil de exprimat prin intermediul unei formule algebrice relația dintre laturile și razele lor.

EXEMPLU Este posibil să tăiați un pătrat cu o latură de 30 cm dintr-un cerc

40 cm diametru?

Rezolvare.Cel mai mare pătrat cuprins într-un cerc este un înscris

Pătrat. Conform formulei de mai sus,

Partea este:

Prin urmare, un pătrat cu latura de 30 cm nu poate fi tăiat

Dintr-un cerc cu diametrul de 40 cm.

Proprietăți poligon

Un poligon este o figură geometrică, definită de obicei ca o polilinie închisă fără auto-intersecții (un poligon simplu (Fig. 1a)), dar uneori sunt permise auto-intersecții (atunci poligonul nu este simplu).

Vârfurile poliliniei sunt numite vârfuri ale poligonului, iar segmentele sunt numite laturile poligonului. Vârfurile unui poligon se numesc vecine dacă sunt capetele uneia dintre laturile acestuia. Segmentele de linie care leagă vârfuri neînvecinate ale unui poligon se numesc diagonale.

Un unghi (sau unghi intern) al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul format de laturile sale care converg la acest vârf, iar unghiul este considerat din partea poligonului. În special, unghiul poate depăși 180° dacă poligonul nu este convex.

Unghiul exterior al unui poligon convex la un vârf dat este unghiul adiacent unghiului interior al poligonului la acel vârf. În general, unghiul exterior este diferența dintre 180° și unghiul interior. Din fiecare vârf al -gonului pentru > 3 ies - 3 diagonale, prin urmare numărul total diagonalele unui -gon sunt egale.

Un poligon cu trei vârfuri se numește triunghi, cu patru - un patrulater, cu cinci - un pentagon și așa mai departe.

Poligon cu n vârfuri se numește n- pătrat.

Un poligon plat este o figură care constă dintr-un poligon și o parte finită a zonei delimitate de acesta.

Un poligon se numește convex dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții (echivalente):

• 1. se află pe o parte a oricărei drepte care leagă vârfurile învecinate. (adică, prelungirile laturilor unui poligon nu intersectează celelalte laturi ale acestuia);
• 2. este intersecția (adică partea comună) a mai multor semiplane;
• 3. orice segment cu capete în puncte aparținând poligonului îi aparține în întregime.

Un poligon convex se numește regulat dacă toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt egale, de exemplu, un triunghi echilateral, un pătrat și un pentagon.

Se spune că un poligon convex este înscris în jurul unui cerc dacă toate laturile sale sunt tangente la un cerc

Un poligon obișnuit este un poligon în care toate unghiurile și toate laturile sunt egale.

Proprietățile poligonului:

1 Fiecare diagonală a unui -gon convex, unde >3, o descompune în două poligoane convexe.

2 Suma tuturor unghiurilor unui -gon convex este egală cu.

D-in: Să demonstrăm teorema prin metoda inducției matematice. Pentru = 3 este evident. Să presupunem că teorema este adevărată pentru a -gon, unde <, și demonstrează-o pentru -gon.

Fie un poligon dat. Desenați o diagonală a acestui poligon. Prin teorema 3, poligonul este descompus într-un triunghi și un -gon convex (Fig. 5). Prin ipoteza inducţiei. Pe de altă parte, . Adăugând aceste egalități și ținând cont de faptul că (- unghiul fasciculului interior ) Și (- unghiul fasciculului interior ), primim.Când ajungem: .

3 Despre orice poligon regulat este posibil să descrii un cerc și, în plus, doar unul.

D-in: Fie un poligon regulat și și bisectoare ale unghiurilor și (Fig. 150). Din moment ce, prin urmare, * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке DESPRE. Să demonstrăm asta O = OA 2 = DESPRE =… = OA P . Triunghi DESPRE isoscel, deci DESPRE= DESPRE. Conform celui de-al doilea criteriu pentru egalitatea triunghiurilor, prin urmare, DESPRE = DESPRE. În mod similar, este dovedit că DESPRE = DESPRE etc. Deci ideea DESPRE echidistant de toate vârfurile poligonului, deci cercul cu centrul DESPRE rază DESPRE este circumscris unui poligon.

Să demonstrăm acum că există un singur cerc circumscris. Luați în considerare trei vârfuri ale unui poligon, de exemplu, A 2 , . Deoarece doar un cerc trece prin aceste puncte, atunci despre poligon … Nu poți descrie mai mult de un cerc.

• 4 În orice poligon obișnuit, puteți înscrie un cerc și, în plus, doar unul.
• 5 Un cerc înscris într-un poligon regulat atinge laturile poligonului în punctele mijlocii ale acestora.
• 6 Centrul unui cerc care circumscrie un poligon regulat coincide cu centrul unui cerc înscris în același poligon.
• 7 Simetrie:

Se spune că o figură este simetrică (simetrică) dacă există o astfel de mișcare (nu identică) care transformă această figură în sine.

• 7.1. Un triunghi general nu are axe sau centre de simetrie, nu este simetric. Un triunghi isoscel (dar nu echilateral) are o singură axă de simetrie: bisectoarea perpendiculară pe bază.
• 7.2. Un triunghi echilateral are trei axe de simetrie (bisectoare perpendiculare pe laturi) și simetrie de rotație în jurul centrului cu un unghi de rotație de 120°.

7.3 Orice n-gon regulat are n axe de simetrie, toate trecând prin centrul său. De asemenea, are simetrie de rotație în jurul centrului cu un unghi de rotație.

Chiar n unele axe de simetrie trec prin vârfuri opuse, altele prin punctele medii ale laturilor opuse.

Pentru ciudat n fiecare axă trece prin vârful și punctul de mijloc al laturii opuse.

Centrul unui poligon regulat cu un număr par de laturi este centrul său de simetrie. Un poligon regulat cu un număr impar de laturi nu are centru de simetrie.

8 Similaritate:

Cu similaritate, și -gon merge într-un -gon, semiplan - într-un semiplan, deci convex n-gon devine convex n-gon.

Teorema: Dacă laturile și unghiurile poligoanelor convexe și satisfac egalitățile:

unde este coeficientul podiumului

atunci aceste poligoane sunt asemănătoare.

• 8.1 Raportul dintre perimetrele a două poligoane similare este egal cu coeficientul de asemănare.
• 8.2. Raportul ariilor a două poligoane similare convexe este egal cu pătratul coeficientului de similitudine.

teorema perimetrului triunghiului poligonului