Conversia expresiei. Teoria detaliată (2019). Cum să simplificați expresiile algebrice Simplificați expresia pentru x

Adesea în sarcini este necesar să se dea un răspuns simplificat. În timp ce atât răspunsurile simplificate, cât și cele nesimplistice sunt corecte, instructorul dumneavoastră vă poate reduce nota dacă nu simplificați răspunsul. Mai mult, o expresie matematică simplificată este mult mai ușor de lucrat. Prin urmare, este foarte important să învățați cum să simplificați expresiile.

Pași

Ordinea corectă a operațiilor matematice

Amintiți-vă ordinea corectă de efectuare a operațiilor matematice. Simplificarea expresie matematică trebuie urmată o anumită ordine a operațiilor, deoarece unele operații matematice au prioritate față de altele și trebuie făcute mai întâi (de fapt, nerespectarea ordinii corecte a operațiilor te va duce la un rezultat greșit). Amintiți-vă următoarea ordine a operațiilor matematice: exprimare între paranteze, exponențiere, înmulțire, împărțire, adunare, scădere.
- Rețineți că cunoașterea ordinii corecte a operațiilor vă va permite să simplificați majoritatea celor mai simple expresii, dar pentru a simplifica un polinom (o expresie cu o variabilă) trebuie să cunoașteți trucuri speciale (vezi secțiunea următoare).
Începeți prin a rezolva expresia din paranteze.În matematică, parantezele indică faptul că expresia inclusă trebuie evaluată mai întâi. Prin urmare, atunci când simplificați orice expresie matematică, începeți prin a rezolva expresia cuprinsă între paranteze (nu contează ce operațiuni trebuie să efectuați în interiorul parantezelor). Dar amintiți-vă că atunci când lucrați cu o expresie cuprinsă între paranteze, ar trebui să urmați ordinea operațiilor, adică termenii dintre paranteze sunt mai întâi înmulțiți, împărțiți, adăugați, scădeți și așa mai departe.
- De exemplu, să simplificăm expresia 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Aici începem cu expresiile dintre paranteze: 5 + 2 = 7 și 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
  - Expresia din a doua pereche de paranteze se simplifică la 5, deoarece 4/2 trebuie împărțite mai întâi (după ordinea corectă a operațiilor). Dacă nu urmați această ordine, atunci veți obține răspunsul greșit: 3 + 4 = 7 și 7 ÷ 2 = 7/2.
- Dacă există o altă pereche de paranteze în paranteze, începeți simplificarea prin rezolvarea expresiei din parantezele interioare, apoi treceți la rezolvarea expresiei din parantezele exterioare.
Ridicați-vă la putere. După rezolvarea expresiilor din paranteze, treceți la ridicarea la o putere (rețineți că o putere are un exponent și o bază). Ridicați expresia (sau numărul) corespunzătoare la o putere și înlocuiți rezultatul în expresia dată.
- În exemplul nostru, singura expresie (număr) din putere este 3 2: 3 2 = 9. În expresia dată, înlocuiți 9 în loc de 3 2 și veți obține: 2x + 4(7) + 9 - 5.
Multiplica. Rețineți că operația de înmulțire poate fi notată prin următoarele simboluri: „x”, „∙” sau „*”. Dar dacă nu există simboluri între un număr și o variabilă (de exemplu, 2x) sau între un număr și un număr între paranteze (de exemplu, 4(7)), atunci aceasta este și o operație de înmulțire.
- În exemplul nostru, există două operații de înmulțire: 2x (de două ori x) și 4(7) (de patru ori șapte). Nu știm valoarea lui x, așa că vom lăsa expresia 2x așa cum este. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Acum puteți rescrie expresia dată astfel: 2x + 28 + 9 - 5.
Divide. Amintiți-vă că operația de împărțire poate fi notată prin următoarele simboluri: „/”, „÷” sau „-” (puteți vedea ultimul simbol în fracții). De exemplu, 3/4 este trei împărțit la patru.
- În exemplul nostru, nu mai există împărțire deoarece ați împărțit deja 4 la 2 (4/2) când rezolvați expresia între paranteze. Prin urmare, puteți trece la pasul următor. Amintiți-vă că majoritatea expresiilor nu au toate operațiile matematice simultan (doar unele dintre ele).
Îndoiți. Când adăugați termeni ai unei expresii, puteți începe cu termenul cel mai exterior (stânga) sau puteți adăuga mai întâi acei termeni care se adună ușor. De exemplu, în expresia 49 + 29 + 51 +71, mai întâi este mai ușor să adunăm 49 + 51 = 100, apoi 29 + 71 = 100 și în final 100 + 100 = 200. Este mult mai dificil să adaugi așa: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.
- În exemplul nostru 2x + 28 + 9 + 5, există două operații de adunare. Să începem cu termenul cel mai extrem (stânga): 2x + 28; nu poți adăuga 2x și 28 pentru că nu știi valoarea lui x. Prin urmare, adăugați 28 + 9 = 37. Acum expresia poate fi rescrisă după cum urmează: 2x + 37 - 5.
Scădea. Aceasta este ultima operație în ordinea corectă a operațiilor matematice. În această etapă, puteți adăuga și numere negative sau să o faci în etapa de adăugare a membrilor - acest lucru nu va afecta în niciun fel rezultatul final.
- În exemplul nostru 2x + 37 - 5, există o singură operație de scădere: 37 - 5 = 32.
În această etapă, după ce ați făcut toate operațiile matematice, ar trebui să obțineți o expresie simplificată. Dar dacă expresia care vi se oferă conține una sau mai multe variabile, atunci amintiți-vă că membrul cu variabila va rămâne așa cum este. Rezolvarea (mai degrabă decât simplificarea) a unei expresii cu o variabilă implică găsirea valorii acelei variabile. Uneori, expresiile cu o variabilă pot fi simplificate folosind metode speciale (vezi secțiunea următoare).
- În exemplul nostru, răspunsul final este 2x + 32. Nu puteți adăuga doi termeni până nu cunoașteți valoarea lui x. Odată ce cunoașteți valoarea variabilei, puteți simplifica cu ușurință acest binom.
Simplificarea expresiilor complexe
1. Adăugarea de membri similari. Amintiți-vă că puteți doar scăde și adăuga termeni similari, adică termeni cu aceeași variabilă și același exponent. De exemplu, puteți adăuga 7x și 5x, dar nu puteți adăuga 7x și 5x 2 (pentru că exponenții sunt diferiți aici).
  - Această regulă se aplică și membrilor cu mai multe variabile. De exemplu, puteți adăuga 2xy 2 și -3xy 2 , dar nu puteți adăuga 2xy 2 și -3x 2 y sau 2xy 2 și -3y 2 .
  - Luați în considerare un exemplu: x 2 + 3x + 6 - 8x. Aici termenii similari sunt 3x și 8x, deci pot fi adunați împreună. Expresia simplificată arată astfel: x 2 - 5x + 6.
2. Simplificați numărul.Într-o astfel de fracție, atât numărătorul, cât și numitorul conțin numere (fără o variabilă). O fracție numerică este simplificată în mai multe moduri. Mai întâi, împărțiți numitorul la numărător. În al doilea rând, factorizați numărătorul și numitorul și anulați aceiași factori (pentru că atunci când împărțiți un număr la el însuși, obțineți 1). Cu alte cuvinte, dacă atât numărătorul, cât și numitorul au același factor, îl puteți renunța și obțineți o fracție simplificată.
  - De exemplu, luați în considerare fracția 36/60. Folosind un calculator, împărțiți 36 la 60 și obțineți 0,6. Dar puteți simplifica această fracție într-un alt mod prin factorizarea numărătorului și numitorului: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). Deoarece 6/6 \u003d 1, atunci fracția simplificată: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Dar această fracție poate fi și simplificată: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.
3. Dacă fracția conține o variabilă, puteți reduce aceiași factori cu variabila. Factorizați atât numărătorul, cât și numitorul și anulați aceiași factori chiar dacă conțin o variabilă (rețineți că aici aceiași factori pot să conțină sau nu o variabilă).
  - Luați în considerare un exemplu: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Această expresie poate fi rescrisă (factorizată) ca: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Deoarece termenul 3x este atât la numărător, cât și la numitor, acesta poate fi redus pentru a vă oferi o expresie simplificată: (x + 1)/(5 - x). Luați în considerare un alt exemplu: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
  - Vă rugăm să rețineți că nu puteți anula niciun termen - doar aceiași factori care sunt prezenți atât la numărător, cât și la numitor sunt anulați. De exemplu, în expresia (x(x + 2))/x, variabila (factorul) „x” este atât la numărător, cât și la numitor, deci „x” poate fi redus și obține o expresie simplificată: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Cu toate acestea, în expresia (x + 2) / x, variabila „x” nu poate fi un numărător redus în factorul „x”.
4. Deschide paranteza. Pentru a face acest lucru, înmulțiți termenul din afara parantezei cu fiecare termen din paranteze. Uneori ajută la simplificarea unei expresii complexe. Acest lucru se aplică atât membrilor care sunt numere prime, și membrilor care conțin variabila.
  - De exemplu, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 și 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
  - Vă rugăm să rețineți că în expresiile fracționale, parantezele nu trebuie să fie deschise dacă atât numărătorul, cât și numitorul conțin același factor. De exemplu, în expresia (3(x 2 + 8)) / 3x, nu trebuie să extindeți parantezele, deoarece aici puteți reduce factorul 3 și puteți obține o expresie simplificată (x 2 + 8) / x. Această expresie este mai ușor de lucrat; dacă extindeți parantezele, veți obține următoarea expresie complexă: (3x 3 + 24x)/3x.

Alpha reprezintă numar real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu o mulţime infinită numere naturale, exemplele luate în considerare pot fi prezentate sub următoarea formă:

Pentru a-și demonstra vizual cazul, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe dansurile șamanilor cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele camere nu sunt ocupate și se stabilesc noi oaspeți în ele, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Mutarea unui număr infinit de vizitatori durează o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră de oaspeți, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod prostesc, dar acesta va fi deja din categoria „legea nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.

Ce este un „hotel infinit”? Un han infinit este un han care are întotdeauna orice număr de locuri libere, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din holul nesfârșit „pentru vizitatori” sunt ocupate, există un alt hol nesfârșit cu camere pentru „oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. În același timp, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii, pe de altă parte, nu sunt capabili să se îndepărteze de problemele banale de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, hotelul este unul, coridorul este doar unul. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem cei neîmpinși”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece noi înșine am inventat numerele, nu există numere în Natură. Da, Natura știe să numere perfect, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. După cum crede Natura, vă voi spune altă dată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine unui adevărat om de știință.

Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe un raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și nu există unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua o unitate din setul pe care l-am luat deja și o putem întoarce la raft. După aceea, putem lua o unitate de pe raft și o putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, obținem din nou un set infinit de numere naturale. Puteți scrie toate manipulările noastre astfel:

Am înregistrat acțiunile în sistem algebric notația și în sistemul de notație adoptat în teoria mulțimilor, cu o enumerare detaliată a elementelor mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă același.

Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raft. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce primim:

Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă la o mulțime infinită se adaugă o altă mulțime infinită, rezultatul este o nouă mulțime infinită constând din elementele primelor două mulțimi.

Setul de numere naturale este folosit pentru numărare în același mod ca o riglă pentru măsurători. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi deja o linie diferită, nu egală cu originalul.

Puteți să acceptați sau să nu acceptați raționamentul meu - aceasta este treaba voastră. Dar dacă te confrunți vreodată cu probleme matematice, gândește-te dacă te afli pe calea raționamentului fals, călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, orele de matematică, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi ne adaugă abilități mentale (sau invers, ne privează de gândirea liberă).

Duminică, 4 august 2019

Scriam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogat baza teoretica matematica Babilonului nu avea un caracter holistic și era redusă la un set de tehnici disparate, lipsite de sistem comunși bază de dovezi.

Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Este slab pentru noi să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am obținut următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu are un caracter holistic și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și convenții care sunt diferite de limbajul și convențiile multor alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic un întreg ciclu de publicații celor mai evidente gafe ale matematicii moderne. Pe curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură, care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Luați în considerare un exemplu.

Să avem multe A format din patru persoane. Acest set este format pe baza de „oameni” Să desemnăm elementele acestui set prin scrisoare A, indicele cu un număr va indica numărul ordinal al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „caracteristica sexuală” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului A pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum setul de „oameni cu gen”. După aceea, putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristicile de gen. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care este bărbat sau femeie. Dacă este prezent la o persoană, atunci îl înmulțim cu unul, dacă nu există un astfel de semn, îl înmulțim cu zero. Și apoi aplicăm matematica obișnuită a școlii. Vezi ce sa întâmplat.

După înmulțire, reduceri și rearanjamente, am obținut două submulțimi: submulțimea masculină bmși un subgrup de femei bw. Aproximativ în același mod în care matematicienii raționează atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne lasă să intrăm în detalii, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni sunt formați dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare, cât de corect aplicați matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că de fapt transformările sunt făcute corect, este suficient să cunoașteți justificarea matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor secțiuni ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.

În ceea ce privește superseturile, este posibil să combinați două mulțimi într-un singur superset, alegând o unitate de măsură care este prezentă în elementele acestor două mulțimi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac ca teoria seturilor să devină un lucru din trecut. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au făcut ceea ce şamanii au făcut cândva. Doar șamanii știu să-și aplice „corect” „cunoștințele”. Această „cunoaștere” ne-o învață.

În cele din urmă, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.

luni, 7 ianuarie 2019

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună despre esența paradoxurilor... analiză matematică, teoria multimilor, noi abordari fizice si filozofice; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limba lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu la infinit numere mari, dar în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare se odihnește în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite în timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii realizate din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (în mod firesc, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.

miercuri, 4 iulie 2018

Ți-am spus deja asta, cu ajutorul căruia șamanii încearcă să sorteze „” realitățile. Cum o fac? Cum are loc de fapt formarea setului?

Să aruncăm o privire mai atentă asupra definiției unui set: „o colecție de elemente diferite, concepute ca un singur întreg”. Acum simțiți diferența dintre cele două expresii: „conceput ca întreg” și „conceput ca întreg”. Prima frază este rezultatul final, mulțimea. A doua frază este o pregătire preliminară pentru formarea setului. În această etapă, realitatea este împărțită în elemente separate („întreg”) din care apoi se va forma o multitudine („un singur întreg”). În același timp, factorul care vă permite să combinați „întregul” într-un „unic întreg” este atent monitorizat, altfel șamanii nu vor reuși. La urma urmei, șamanii știu dinainte exact ce set vor să ne demonstreze.

Voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solid roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Așa se hrănește șamanii legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid într-un coș cu fundă” și să unim aceste „întregi” după culoare, selectând elemente roșii. Avem mult „roșu”. Acum o întrebare dificilă: seturile primite „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa să fie.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „coșuri roșii solide cu fundă”. Formarea a avut loc după patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (în coș), decorațiuni (cu fundă). Doar un set de unități de măsură face posibilă descrierea adecvată a obiectelor reale în limbajul matematicii. Iată cum arată.

Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. În paranteze sunt evidențiate unitățile de măsură, conform cărora „întregul” este alocat în etapa preliminară. Unitatea de măsură, conform căreia se formează setul, este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansurile șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând cu „evident”, deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor „științific”.

Cu ajutorul unităților de măsură, este foarte ușor să spargi unul sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă asupra algebrei acestui proces.

Sâmbătă, 30 iunie 2018

Dacă matematicienii nu pot reduce un concept la alte concepte, atunci ei nu înțeleg nimic în matematică. Răspund: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Răspunsul este foarte simplu: numere și unități de măsură.

Astăzi tot ceea ce nu luăm aparține unui anumit set (cum ne asigură matematicienii). Apropo, ai văzut în oglinda de pe frunte o listă cu acele seturi cărora le faci parte? Și nu am văzut o astfel de listă. Voi spune mai multe - nici un singur lucru în realitate nu are o etichetă cu o listă de seturi căreia îi aparține acest lucru. Seturile sunt toate invenții ale șamanilor. Cum o fac? Să ne uităm puțin mai adânc în istorie și să vedem cum arătau elementele setului înainte ca matematicienii-șamanii să le despartă în seturile lor.

Cu mult, mult timp în urmă, când nimeni nu auzise încă de matematică și doar copacii și Saturn aveau inele, turme uriașe de elemente sălbatice de seturi cutreierau câmpuri fizice(la urma urmei, șamanii nu au inventat încă domenii matematice). Arătau așa.

Da, nu fi surprins, din punct de vedere al matematicii, toate elementele mulțimilor sunt cel mai asemănătoare cu arici de mare- dintr-un punct, precum acele, unitățile de măsură ies în toate direcțiile. Pentru cei care, vă reamintesc că orice unitate de măsură poate fi reprezentată geometric ca un segment de lungime arbitrară, iar un număr ca punct. Geometric, orice cantitate poate fi reprezentată ca un mănunchi de segmente care ies în direcții diferite dintr-un punct. Acest punct este punctul zero. Nu voi desena această operă de artă geometrică (fără inspirație), dar vă puteți imagina cu ușurință.

Ce unități de măsură formează un element al mulțimii? Oricare care descrie acest element din diferite puncte de vedere. Acestea sunt vechile unități de măsură folosite de strămoșii noștri și de care toată lumea a uitat de mult. Acestea sunt unitățile de măsură moderne pe care le folosim acum. Acestea sunt unități de măsură necunoscute nouă, pe care urmașii noștri le vor găsi și pe care le vor folosi pentru a descrie realitatea.

Ne-am dat seama de geometrie - modelul propus al elementelor setului are o claritate reprezentare geometrică. Și cum rămâne cu fizica? Unități de măsură - aceasta este legătura directă dintre matematică și fizică. Dacă șamanii nu recunosc unitățile de măsură ca un element cu drepturi depline al teoriilor matematice, aceasta este problema lor. Eu personal nu îmi pot imagina o adevărată știință a matematicii fără unități de măsură. De aceea, chiar la începutul poveștii despre teoria seturilor, am vorbit despre ea ca fiind Epoca de Piatră.

Dar să trecem la cel mai interesant - la algebra elementelor mulțimilor. Din punct de vedere algebric, orice element al multimii este un produs (rezultat al inmultirii) a unor marimi diferite.Arata asa.

În mod deliberat, nu am folosit convențiile adoptate în teoria mulțimilor, deoarece luăm în considerare un element al unei mulțimi într-un habitat natural înainte de apariția teoriei mulțimilor. Fiecare pereche de litere dintre paranteze denotă o valoare separată, constând din numărul indicat de litera " n" și unități de măsură, indicate prin litera " A". Indicii de lângă litere indică faptul că numerele și unitățile de măsură sunt diferite. Un element al setului poate consta dintr-un număr infinit de valori (atâta timp cât noi și descendenții noștri avem suficientă imaginație). Fiecare paranteză este reprezentată geometric printr-un segment separat. În exemplul cu un arici de mare, un bracket este un ac.

Cum formează șamanii seturi din diferite elemente? De fapt, după unități de măsură sau după numere. Neînțelegând nimic la matematică, ei iau diferiți arici de mare și îi examinează cu atenție în căutarea acelui ac unic prin care formează un set. Dacă există un astfel de ac, atunci acest element aparține setului; dacă nu există un astfel de ac, acest element nu este din acest set. Șamanii ne spun fabule despre procesele mentale și un singur întreg.

După cum probabil ați ghicit, același element poate aparține unei varietăți de seturi. În continuare, vă voi arăta cum se formează seturile, submulțimile și alte prostii șamaniste. După cum puteți vedea, „multimea nu poate avea două elemente identice”, dar dacă există elemente identice în set, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică a absurdității. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, în care mintea este absentă din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timpul testelor podului. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „mind-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „matematica studiază concepte abstracte”, există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria mulțimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casierie, plătim salarii. Aici vine un matematician la noi pentru banii lui. Numărăm întreaga sumă pentru el și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm câte o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său de salariu matematic”. Explicăm la matematică că va primi restul bancnotelor doar atunci când va dovedi că mulțimea fără elemente identice nu este egală cu mulțimea cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „puteți aplica și altora, dar mie nu!” În plus, vor începe asigurările că există numere diferite de bancnote pe bancnotele de aceeași valoare nominală, ceea ce înseamnă că acestea nu pot fi considerate elemente identice. Ei bine, numărăm salariul în monede - nu există numere pe monede. Aici, matematicianul își va aminti frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor pentru fiecare monedă este unică...

Și acum am cea mai interesantă întrebare: unde este granița dincolo de care elementele unui multiset se transformă în elemente ale unui set și invers? O astfel de linie nu există - totul este decis de șamani, știința aici nu este nici măcar aproape.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Aria câmpurilor este aceeași, ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă luăm în considerare numele acelorași stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set cât și un multiset în același timp. Cât de corect? Și aici matematicianul-șaman-shuller scoate un as de atu din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Vei avea nevoie

- conceptul de monom al unui polinom;
- formule de înmulțire prescurtate;
- actiuni cu fractii;
- identități trigonometrice de bază.

Instruire

Dacă expresia conține monomii cu, găsiți suma coeficienților pentru ei și înmulțiți cu un singur factor pentru ei. De exemplu, dacă există o expresie 2 a-4 a + 5 a + a \u003d (2-4 + 5 + 1) ∙ a \u003d 4 ∙ a.

Dacă expresia este fracție naturală, selectați un factor comun de la numărător și numitor și reduceți fracția cu acesta. De exemplu, dacă trebuie să reduceți fracția (3 a²-6 a b+3 b²) / (6∙a²-6∙b²), scoateți factorii comuni la numărător și numitor, acesta va fi 3, la numitorul 6. Obțineți expresia (3 (a²-2 a b + b²)) / (6∙ (a²-b²)). Reduceți numărătorul și numitorul cu 3 și aplicați formulele de înmulțire reduse la expresiile rămase. Pentru numărător, acesta este pătratul diferenței, iar pentru numitor, diferența pătratelor. Obțineți expresia (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) reducând-o la comun multiplicatorul a-b, obțineți expresia (a-b)/(2∙ (a+b)), care, când valori specifice variabilele sunt mult mai ușor de calculat.

Dacă monomiile au aceiași factori ridicați la o putere, atunci când le însumați, asigurați-vă că gradele sunt egale, altfel nu le puteți reduce pe cele similare. De exemplu, dacă există o expresie 2 ∙ m² + 6 m³-m²-4 m³ + 7, atunci când le reduceți pe cele similare, obțineți m² + 2 m³ + 7.

Când simplificați identitățile trigonometrice, utilizați formule pentru a le converti. Principal identitate trigonometrică sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), formule pentru suma și diferența de argumente, argument dublu, triplu și altele. De exemplu, (sin(2∙x)-cos(x))/ ctg(x). Scrieți formula pentru argumentul dublu și cotangente ca raportul dintre cosinus și sinus. Obține (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x). Factorizați factorul comun, cos(x) și anulați cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin(x).

Videoclipuri asemănătoare

Surse:

formula de simplificare a expresiei

Concizia, după cum se spune, este sora talentului. Toată lumea vrea să-și arate talentul, dar sora lui este un lucru complicat. Din anumite motive, gândurile strălucitoare sunt îmbrăcate propoziții complexe cu multe locuţiuni adverbiale. Cu toate acestea, depinde de dvs. să vă simplificați propunerile și să le faceți ușor de înțeles și accesibile tuturor.

Instruire

Pentru a fi mai ușor pentru destinatar (fie este un ascultător sau un cititor), încercați să înlocuiți frazele participiale și participiale cu propoziții subordonate scurte, mai ales dacă există prea multe dintre frazele de mai sus într-o propoziție. „Pisica care a venit acasă, care tocmai a mâncat un șoarece, torcând zgomotos, l-a mângâiat pe proprietar, încercând să se uite în ochii lui, sperând să cerșească peștele adus de la magazin” - nu va funcționa. Împărțiți o astfel de construcție în mai multe părți, fă-ți timp și nu încerca să spui totul într-o singură propoziție, ești fericit.

Dacă te-ai gândit la o declarație genială, dar s-a dovedit a fi prea mult propoziții subordonate(mai ales cu una), este mai bine să despărțiți enunțul în mai multe propoziții separate sau să omiteți un element. „Am decis că îi va spune Marinei Vasilievna că Katya îi va spune Vitei că...” - se poate continua la nesfârșit. Opriți-vă la timp și amintiți-vă cine îl va citi sau asculta.

Cu toate acestea, capcanele stau nu numai în structura propoziției. Acordați atenție vocabularului. cuvinte străine, termeni lungi, cuvinte extrase din ficțiunea secolului al XIX-lea - toate acestea nu vor face decât să complice percepția. Este necesar să clarificați singur pentru ce public scrieți textul: tehnicienii, desigur, vor înțelege atât termeni complexi, cât și cuvinte specifice; dar dacă oferi aceleași cuvinte unui profesor de literatură, este puțin probabil să te înțeleagă.

Talentul este un lucru grozav. Dacă ești talentat (și nu există oameni fără abilități), multe drumuri se deschid înaintea ta. Dar talentul nu este în complexitate, ci în simplitate, destul de ciudat. Fii simplu, iar talentele tale vor fi clare și accesibile tuturor.

Videoclipuri asemănătoare

Învățarea simplificării expresiilor la matematică este pur și simplu necesară pentru a rezolva corect și rapid probleme, diverse ecuații. Simplificarea unei expresii înseamnă reducerea numărului de pași, ceea ce face calculele mai ușoare și economisește timp.

Instruire

Învață să calculezi puteri cu . Când înmulțiți puterile lui c, obțineți numere a căror bază este aceeași, iar exponenții se adună b^m+b^n=b^(m+n). La împărțirea puterilor cu aceleași baze, se obține puterea numărului, a cărui bază rămâne aceeași, iar exponenții sunt scăzuți, iar indicatorul divizor b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (m-n) este scăzut din indicele dividendelor. Când o putere este ridicată la o putere, se obține puterea numărului, a cărui bază rămâne aceeași, iar exponenții sunt înmulțiți (b^m)^n=b^(mn)Când este ridicat la o putere, fiecare factor este ridicat la această putere.(abc)^m=a^m*b^m*c^m

Factorizați polinoamele, de ex. reprezentați-le ca un produs al mai multor factori - polinoame și monomii. Scoateți factorul comun din paranteze. Învață formulele de înmulțire prescurtate de bază: diferența de pătrate, pătratul sumei, pătratul diferenței, suma de cuburi, diferența de cuburi, cubul sumei și diferența. De exemplu, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Aceste formule sunt principalele în simplificarea expresiilor. Utilizați metoda de evidențiere a pătratului complet într-un trinom de forma ax^2+bx+c.

Reduceți fracțiile cât mai des posibil. De exemplu, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Dar amintiți-vă că numai multiplicatorii pot fi redusi. Dacă numărătorul și numitorul unei fracții algebrice sunt înmulțite cu același număr diferit de zero, atunci valoarea fracției nu se va modifica. Expresiile raționale pot fi transformate în două moduri: prin lanț și prin acțiuni. A doua metodă este de preferat, deoarece. este mai ușor să se verifice rezultatele acțiunilor intermediare.

Adesea în expresii este necesară extragerea rădăcinilor. Chiar și rădăcinile sunt luate numai din expresii sau numere nenegative. Rădăcinile de grad impar sunt extrase din orice expresie.

Surse:

simplificarea expresiilor cu puteri

O „expresie” în matematică este de obicei un set de operații aritmetice și algebrice cu numere și valori variabile. Prin analogie cu formatul de notație numerică, o astfel de mulțime se numește „fracțional” în cazul în care conține operația de împărțire. LA expresii fracționale, ca și în cazul numerelor în formatul unei fracții obișnuite, sunt aplicabile operațiunile de simplificare.

Instruire

Începeți prin a găsi factorul comun pentru numărător și - acesta este același pentru ambele rapoarte numerice și pentru care conține variabile necunoscute. De exemplu, dacă numărătorul este 45*X și numitorul este 18*Y, atunci cel mai mare factor comun este 9. După finalizarea acestui pas, numărătorul poate fi scris ca 9*5*X și numitorul ca 9*2*Y.

Dacă expresiile din numărător și numitor conțin o combinație de operații matematice de bază (, împărțire, adunare și scădere), atunci va trebui mai întâi să scoateți factorul comun pentru fiecare dintre ele separat și apoi să izolați cel mai mare divizor comun din aceste numere. De exemplu, pentru expresia 45*X+180, care se află la numărător, factorul 45 ar trebui scos din paranteze: 45*X+180 = 45*(X+4). Iar expresia 18+54*Y la numitor trebuie redusă la 18*(1+3*Y). Apoi, ca și în pasul anterior, găsește cel mai mare divizor comun al factorilor între paranteze: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5*(X+4) / 9*2*(1+3*Y). În acest exemplu, este, de asemenea, egal cu nouă.

Reduceți factorul comun găsit în pașii anteriori în numărătorul și numitorul fracției. Pentru exemplul din primul pas, întreaga operație de simplificare poate fi scrisă astfel: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Nu neapărat atunci când simplificăm prin abreviat divizor comun trebuie să fie un număr, poate fi și o expresie care conține o variabilă. De exemplu, dacă numărătorul unei fracții este (4*X + X*Y + 12 + 3*Y), iar numitorul este (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), atunci cel mai mare divizor comun va fi expresia X+3, care ar trebui redusă pentru a simplifica expresia: (4*X + X*Y + 12 + (4*X + X*Y + 12 + (* -* Y + 12) X+3)* (4+Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele dvs., numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și mesaje importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată pentru securitate, aplicarea legii sau alte scopuri de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Cu ajutorul oricărei limbi, puteți exprima aceleași informații în cuvinte și expresii diferite. Limbajul matematic nu face excepție. Dar aceeași expresie poate fi scrisă în mod echivalent în moduri diferite. Și în unele situații, una dintre intrări este mai simplă. Vom vorbi despre simplificarea expresiilor în această lecție.

Oamenii comunică mai departe limbi diferite. Pentru noi, o comparație importantă este perechea „Limba rusă – limba matematică”. Aceleași informații pot fi raportate în diferite limbi. Dar, pe lângă aceasta, poate fi pronunțat diferit într-o singură limbă.

De exemplu: „Peter este prieten cu Vasya”, „Vasya este prieten cu Petya”, „Peter și Vasya sunt prieteni”. Spus diferit, dar unul și același. Prin oricare dintre aceste fraze, am înțelege ce este în joc.

Să ne uităm la această frază: „Băiatul Petya și băiatul Vasya sunt prieteni”. Înțelegem ce este în joc. Cu toate acestea, nu ne place cum sună această frază. Nu putem să o simplificăm, să spunem la fel, dar mai simplu? „Băiat și băiat” - puteți spune o dată: „Băieții Petya și Vasya sunt prieteni”.

„Băieți”... Nu se vede din numele lor că nu sunt fete. Îndepărtăm „băieții”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Și cuvântul „prieteni” poate fi înlocuit cu „prieteni”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Drept urmare, prima frază lungă și urâtă a fost înlocuită cu o afirmație echivalentă, care este mai ușor de spus și mai ușor de înțeles. Am simplificat această expresie. A simplifica înseamnă a spune mai ușor, dar a nu pierde, a nu denatura sensul.

Același lucru se întâmplă și în limbajul matematic. Același lucru poate fi spus diferit. Ce înseamnă simplificarea unei expresii? Aceasta înseamnă că pentru expresia originală există multe expresii echivalente, adică cele care înseamnă același lucru. Și din toată această mulțime, trebuie să alegem cel mai simplu, după părerea noastră, sau cel mai potrivit pentru scopurile noastre ulterioare.

De exemplu, luați în considerare o expresie numerică. Va fi echivalent cu .

De asemenea, va fi echivalent cu primele două: .

Se pare că ne-am simplificat expresiile și am găsit cea mai scurtă expresie echivalentă.

Pentru expresiile numerice, trebuie întotdeauna să faceți toată munca și să obțineți expresia echivalentă ca un singur număr.

Luați în considerare un exemplu de expresie literală . Evident, va fi mai simplu.

Când simplificați expresiile literale, trebuie să efectuați toate acțiunile posibile.

Este întotdeauna necesar să simplificați o expresie? Nu, uneori o notație echivalentă, dar mai lungă, va fi mai convenabilă pentru noi.

Exemplu: Scădeți numărul din număr.

Este posibil să se calculeze, dar dacă primul număr ar fi reprezentat prin notația sa echivalentă: , atunci calculele ar fi instantanee: .

Adică, o expresie simplificată nu este întotdeauna benefică pentru noi pentru calcule ulterioare.

Cu toate acestea, de foarte multe ori ne confruntăm cu o sarcină care sună ca „simplificați expresia”.

Simplificați expresia: .

Soluţie

1) Efectuați acțiuni în prima și a doua paranteză: .

2) Calculați produsele: .

Evident, ultima expresie are o formă mai simplă decât cea inițială. Am simplificat-o.

Pentru a simplifica expresia, aceasta trebuie înlocuită cu un echivalent (egal).

Pentru a determina expresia echivalentă, trebuie:

1) efectuați toate acțiunile posibile,

2) folosiți proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire pentru a simplifica calculele.

Proprietăți de adunare și scădere:

1. Proprietatea comutativă a adunării: suma nu se modifică din rearanjarea termenilor.

2. Proprietate asociativă adăugare: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr.

3. Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr: pentru a scădea suma dintr-un număr, puteți scădea fiecare termen individual.

Proprietăți de înmulțire și împărțire

1. Proprietatea comutativă a înmulțirii: produsul nu se modifică dintr-o permutare a factorilor.

2. Proprietate asociativă: pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl poți înmulți mai întâi cu primul factor, iar apoi să înmulți produsul rezultat cu al doilea factor.

3. Proprietatea distributivă a înmulțirii: pentru a înmulți un număr cu o sumă, trebuie să-l înmulțiți separat cu fiecare termen.

Să vedem cum facem de fapt calcule mentale.

Calculati:

Soluţie

1) Imaginează-ți cum

2) Să reprezentăm primul multiplicator ca sumă a termenilor de biți și să efectuăm înmulțirea:

3) vă puteți imagina cum și efectuați înmulțirea:

4) Înlocuiți primul factor cu o sumă echivalentă:

Legea distributivă poate fi folosită și în sens invers: .

Urmați acești pași:

1) 2)

Soluţie

1) Pentru comoditate, puteți folosi legea distribuției, doar utilizați-o în direcția opusă - scoateți factorul comun din paranteze.

2) Să scoatem factorul comun din paranteze

Este necesar să cumpărați linoleum în bucătărie și hol. Zona de bucatarie - hol -. Există trei tipuri de linoleum: pentru și ruble pentru. Cât va costa fiecare dintre cele trei tipuri de linoleum? (Fig. 1)