Câmpul numerelor complexe. Reprezentarea geometrică a numerelor complexe și operații asupra acestora. Forma trigonometrică a unui număr complex. Câmpul numerelor complexe Numerele complexe nu au reciproce
Definiții . Lăsa A, b sunt numere reale, i este un personaj. Un număr complex este o înregistrare a formularului A+bi.
PlusȘi multiplicare numere din setul de numere complexe: (A+bi)+(c+di)=(A+c)+(b+d) eu,
(A+bi)(c+di)=(ac–bd)+(anunț+bc)i. .
Teorema 1 . Set de numere complexe CU cu operaţiile de adunare şi înmulţire formează un câmp. Proprietăți de adaos
1) comutativitatea b: (A+bi)+(c+di)=(A+c)+(b+d)i=(c+di)+(A+bi).
2) Asociativitatea :[(A+bi)+(c+di)]+(e+fi)=(A+c+e)+(b+d+f)i=(A+bi)+[(c+di)+(e+fi)].
3) Existenta element neutru :(A+bi)+(0 +0i)=(A+bi). Număr 0 +0 i vom numi zero și vom nota 0 .
4) Existenta element opus : (A+bi)+(–A–bi)=0 +0i=0 .
5) Comutativitatea înmulțirii : (A+bi)(c+di)=(ac–bd)+(î.Hr+ad)i=(c+di)(a+bi).
6) Asociativitatea înmulțirii :Dacă z1=A+bi, z2=c+di, z3=e+fi, Acea (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).
7) Distributivitatea: Dacă z1=A+bi, z2=c+di, z3=e+fi, Acea z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.
8) Element neutru pentru multiplicare :(A+bi)(1+0i)=(a 1–b 0)+(a 0+b 1)i=A+bi.
9) Numărul 1 +0i=1 - unitate.
9) Existenta element invers : „z¹ 0 $z –1 :Z Z –1 =1 .
Lăsa z=A+bi. Numere reale A, numit valabil, A b - părți imaginare număr complex z. Se folosesc notații: A=Rez, b=imz.
Dacă b=0 , Acea z=A+ 0i=A este un număr real. Prin urmare, setul numere reale R face parte din setul de numere complexe C: R Í C.
Notă: eu 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Folosind această proprietate de număr i, precum și proprietățile operațiilor dovedite în teorema 1, se pot efectua operații cu numere complexe după regulile uzuale, înlocuind eu 2 pe - 1 .
cometariu. Relațiile £, ³ („mai puțin decât”, „mai mare decât”) pentru numerele complexe nu sunt definite.
2 formă trigonometricăînregistrări .
Se numește notația z = a+bi algebric notarea unui număr complex . Luați în considerare un plan cu un sistem de coordonate carteziene ales. Să reprezentăm numărul z punct cu coordonate (a,b). Apoi numerele reale A=A+0i vor fi reprezentate prin puncte ale axei BOU- se numeste valabil axă. Axă OY numit imaginar axa, punctele sale corespund numerelor din formă bi, care uneori sunt numite pur imaginar . Se numește întregul avion plan complex .Se cheamă numărul modul numere z: ,
unghi polar j numit argument numere z: j=argz.
Argumentul este determinat până la termen 2kp; valoare pentru care - p< j £ p , se numește importanta principala argument. Numerele r, j sunt coordonatele polare ale punctului z. Este clar că A=r cosj, b=r sinj, și obținem: z=A+b i=r (cosj+eu sinj). formă trigonometrică notarea unui număr complex.
Numerele conjugate . Un număr complex se numește conjugat al unui număr.z = A + bi . Este clar că. Proprietăți : .
cometariu. Suma și produsul numerelor conjugate sunt numere reale:
număr complex z numit expresie, unde AȘi V- numere reale, i este o unitate imaginară sau un semn special.
Se respectă următoarele acorduri:
1) cu expresia a + bi se pot efectua operații aritmetice după regulile care sunt acceptate pentru expresiile literale în algebră;
5) egalitatea a+bi=c+di, unde a, b, c, d sunt numere reale, are loc dacă și numai dacă a=c și b=d.
Se numește numărul 0+bi=bi imaginar sau pur imaginar.
Orice număr real a este un caz special al unui număr complex, deoarece poate fi scris ca a=a+ 0i. În special, 0=0+0i, dar atunci dacă a+bi=0, atunci a+bi=0+0i, deci a=b=0.
Astfel, un număr complex a+bi=0 dacă și numai dacă a=0 și b=0.
Legile de transformare a numerelor complexe rezultă din convențiile:
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;
(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;
Vedem că suma, diferența, produsul și câtul (unde divizorul nu este egal cu zero) numerelor complexe, la rândul lor, este un număr complex.
Număr A numit parte reală a unui număr complex z(notat) V este partea imaginară a numărului complex z (notat cu ).
Se numește un număr complex z cu parte reală zero. pur imaginar, cu zero imaginar - pur real.
Se numesc două numere complexe. egal, dacă au aceleași părți reale și imaginare.
Se numesc două numere complexe. conjugat daca au substante. părțile coincid, iar cele imaginare diferă în semne. , apoi conjugatul la acesta .
Suma numerelor conjugate este numărul de substanțe, iar diferența este un număr pur imaginar. Pe multimea numerelor complexe se definesc in mod firesc operatiile de inmultire si adunare a numerelor. Și anume, dacă și sunt două numere complexe, atunci suma este: ; muncă: .
Definim acum operațiile de scădere și împărțire.
Rețineți că produsul a două numere complexe este numărul de substanțe.
(deoarece i=-1). Acest număr este numit patrat modul numere. Astfel, dacă un număr , atunci modulul său este un număr real.
Spre deosebire de numere reale pentru numerele complexe, conceptul de „mai mare decât”, „mai mic decât” nu este introdus.
Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:
Aici este ideea Aînseamnă numărul -3, punct B este numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. Pentru aceasta, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complex a + bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisa a si ordonata b(orez.). Acest sistem de coordonate este numit plan complex.
modul număr complex se numește lungimea vectorului OP, ilustrând un număr complex pe coordonatele ( integrat) avion. Modulul numărului complex a + bi notat cu | a + bi| sau scrisoare r si este egal cu:
Numerele complexe conjugate au același modul. __
Argument număr complex este unghiul dintre axă BOUși vector OP reprezentând acest număr complex. Prin urmare, tan = b / A .
Forma trigonometrică a unui număr complex. Odată cu scrierea unui număr complex în formă algebrică, se mai folosește și altul, numit trigonometric.
Fie numărul complex z=a+bi reprezentat de vectorul ОА cu coordonatele (a,b). Să desemnăm lungimea vectorului OA ca r: r=|OA|, și unghiul pe care îl formează cu direcția pozitivă a axei Ox prin unghiul φ.
Folosind definițiile funcțiilor sinφ=b/r, cosφ=a/r, numărul complex z=a+bi poate fi scris ca z=r(cosφ+i*sinφ), unde , iar unghiul φ este determinat din condițiile
formă trigonometrică numărul complex z este reprezentarea sa sub forma z=r(cosφ+i*sinφ), unde r și φ sunt numere reale și r≥0.
Într-adevăr, numărul r este numit modul număr complex și se notează cu |z|, iar unghiul φ se notează cu argumentul numărului complex z. Argumentul φ al unui număr complex z este notat cu Arg z.
Operații cu numere complexe reprezentate în formă trigonometrică:
Este faimos Formula Moivre.
8 .Spatiu vectorial. Exemple și proprietăți simple ale spațiilor vectoriale. Dependență liniarăși independența sistemului de vectori. Baza și rangul unui sistem finit de vectori
Spațiu vectorial - concept matematic care generalizează conceptul de totalitate a tuturor vectorilor (liberi) ai spațiului tridimensional obișnuit.
Pentru vectorii din spațiul tridimensional sunt date regulile de adunare a vectorilor și de înmulțire a acestora cu numere reale. Se aplică oricăror vectori x, y, zși orice numere α, β aceste reguli satisfac urmatoarele conditii:
1) X+la=la+X(comutativitatea adunării);
2)(X+la)+z=X+(y+z) (asociativitatea adunării);
3) disponibil vector nul 0 (sau vector nul) care satisface condiția X+0 =X: pentru orice vector X;
4) pentru orice vector X există un vector opus la astfel încât X+la =0 ,
5) 1 x=X,unde 1 este unitatea de câmp
6) α (βx)=(αβ )X(asociativitatea înmulțirii), unde produsul αβ este produsul scalarilor
7) (α +β )X=αх+βx(proprietate distributivă în raport cu un factor numeric);
8) α (X+la)=αх+αy(proprietatea distributivă în raport cu factorul vectorial).
Un spațiu vectorial (sau liniar) este o mulțime R, format din elemente de orice natură (numiți vectori), care definește operațiile de adunare a elementelor și de înmulțire a elementelor cu numere reale care îndeplinesc condițiile 1-8.
Exemple de astfel de spații sunt mulțimea numerelor reale, mulțimea vectorilor în plan și în spațiu, matricele etc.
Teorema „Cele mai simple proprietăți ale spațiilor vectoriale”
1. Există un singur vector nul într-un spațiu vectorial.
2. Într-un spațiu vectorial, orice vector are un opus unic.
4. .
Doc-in
Fie 0 vectorul zero spațiu vectorial V. Atunci . Fie un alt vector zero. Apoi . Să luăm în primul caz , iar în al doilea - . Apoi și , de unde rezultă că , p.t.d.
Mai întâi demonstrăm că produsul dintre un scalar zero și orice vector este egal cu un vector zero.
Lăsa . Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial, obținem:
În ceea ce privește adăugarea, un spațiu vectorial este un grup abelian, iar legea anulării este valabilă în orice grup. Aplicând legea reducerii, rezultă din ultima egalitate 0 * x \u003d 0
Demonstrăm acum afirmația 4). Fie un vector arbitrar. Apoi
Aceasta implică imediat că vectorul (-1)x este opusul vectorului x.
Fie acum x=0. Apoi, aplicând axiomele spațiului vectorial, obținem:
Să presupunem că. Deoarece , unde K este un câmp, există . Să înmulțim egalitatea din stânga cu: , ceea ce implică fie 1*x=0, fie x=0
Dependența liniară și independența sistemului de vectori. Un set de vectori se numește sistem vectorial.
Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există numere, nu toate egale cu zero în același timp, astfel încât (1)
Un sistem de k vectori se numește liniar independent dacă egalitatea (1) este posibilă numai pentru , i.e. când combinația liniară din partea stângă a egalității (1) este trivială.
Note:
1. Un vector formează și un sistem: pentru dependent liniar și pentru independent liniar.
2. Orice parte a unui sistem de vectori se numește subsistem.
Proprietățile vectorilor liniar dependenți și liniar independenți:
1. Dacă sistemul de vectori include un vector zero, atunci acesta este dependent liniar.
2. Dacă există doi vectori egali într-un sistem de vectori, atunci acesta este dependent liniar.
3. Dacă există doi vectori proporționali în sistemul de vectori, atunci acesta este dependent liniar.
4. Un sistem de k>1 vectori este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin unul dintre vectori este o combinație liniară a celorlalți.
5. Orice vectori incluși într-un sistem liniar independent formează un subsistem liniar independent.
6. Un sistem de vectori care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.
7. Dacă sistemul de vectori este liniar independent, iar după adăugarea unui vector la acesta se dovedește a fi liniar dependent, atunci vectorul poate fi extins în vectori și, în plus, într-un mod unic, i.e. coeficienții de expansiune se găsesc în mod unic.
Să demonstrăm, de exemplu, ultima proprietate. Deoarece sistemul de vectori este dependent liniar, există numere care nu sunt toate egale cu 0, adică. în această egalitate. Într-adevăr, dacă , atunci. Aceasta înseamnă că o combinație liniară netrivială de vectori este egală cu vectorul zero, ceea ce contrazice independența liniară a sistemului. Prin urmare, și apoi, adică. vectorul este o combinație liniară de vectori. Rămâne să arătăm unicitatea unei astfel de reprezentări. Să presupunem contrariul. Să fie două expansiuni și , și nu toți coeficienții de expansiune sunt, respectiv, egali între ei (de exemplu, ).
Apoi din egalitate obținem .
Prin urmare, combinația liniară de vectori este egală cu vectorul nul. Deoarece nu toți coeficienții săi sunt egali cu zero (cel puțin ), această combinație este netrivială, ceea ce contrazice condiția independenței liniare a vectorilor . Contradicția rezultată confirmă unicitatea descompunerii.
Rang și baza sistemului de vectori. Rangul unui sistem de vectori este numărul maxim de vectori liniar independenți ai sistemului.
Baza sistemului de vectori este subsistemul maxim liniar independent al sistemului dat de vectori.
Teorema. Orice vector de sistem poate fi reprezentat ca o combinație liniară de vectori de bază de sistem. (Orice vector al sistemului poate fi descompus în vectori de bază.) Coeficienții de expansiune sunt determinați în mod unic pentru un vector dat și o bază dată.
Doc-in:
Lăsați sistemul să aibă o bază.
1 caz. Vector - de la bază. Prin urmare, este egal cu unul dintre vectorii de bază, să spunem . Atunci = .
al 2-lea caz. Vectorul nu este de la bază. Atunci r>k.
Să considerăm un sistem de vectori. Acest sistem este dependent liniar, deoarece este o bază, adică. subsistem maxim liniar independent. Prin urmare, există numere cu 1 , cu 2 , …, cu k , cu, nu toate egale cu zero, astfel încât
Este evident că (dacă c=0, atunci baza sistemului este dependentă liniar).
Să demonstrăm că expansiunea unui vector în termeni de bază este unică. Să presupunem contrariul: există două expansiuni ale vectorului în ceea ce privește baza.
Scăzând aceste egalități, obținem
Ținând cont de independența liniară a vectorilor de bază, obținem
Prin urmare, expansiunea unui vector în termeni de bază este unică.
Numărul de vectori din orice bază a sistemului este același și egal cu rangul sistemului de vectori.
Prelegeri despre algebră și geometrie. Semestrul 1.
Cursul 2. Domeniul numerelor complexe.
Capitolul 2. Câmpul numerelor complexe.
elementul 1. Construirea câmpului numerelor complexe.
Fie pătratul cartezian al câmpului numerelor reale, i.e. 
este mulțimea de perechi ordonate de numere reale. Definim două operații algebrice binare interne pe această mulțime, adunarea și înmulțirea, după următoarele reguli: 
pus prin definitie
(1)
(2)
.
Evident, suma și produsul a două perechi din 
din nou sunt câteva 
, deoarece suma, produsul și diferența numerelor reale sunt numere reale. Prin urmare, 
este o structură algebrică cu două operații algebrice binare interne.
Teorema. 
- camp.
Dovada. Verificăm secvenţial îndeplinirea tuturor celor nouă axiome ale câmpului.
1. Legea asociativității privind adunarea:
.
Lăsa . Apoi, după definiția adunării perechi 
Și .
Pe de alta parte, 
Și .
Deoarece R este un câmp, adunarea numerelor reale respectă legea asociativității și, prin urmare, și . Aceasta presupune egalitatea perechilor , iar din aceasta rezultă, la rândul său, egalitatea , p.t.d.
2. Existența unui element nul:
.
Denota 
, unde 0 este elementul zero al câmpului numerelor reale, i.e. numărul zero. Lăsa 
este o pereche arbitrară de 
. Apoi, prin definiția adunării perechilor și . Prin urmare, 
si cuplu 
este elementul zero în raport cu operația de adunare, a cărei existență s-a cerut să fie demonstrată.
3. Existenta elementului opus:
.
Lăsa 
este o pereche arbitrară de 
.
Să arătăm că elementul opus este perechea
. Într-adevăr, prin definiție
adăugarea de perechi avem:
ȘI . Aceasta implică egalitatea , p.t.d.
4. Legea comutativității cu privire la adunare:
.
Lăsa 
- două perechi aleatorii. Apoi, prin definiția adunării perechilor, avem:
ȘI . Deoarece R este un câmp, el satisface legea comutativității adunării și 
,
, de unde rezultă egalitatea perechilor: și 
, etc.
5. Legea asociativității privind înmulțirea:
.
Lăsa . Apoi prin definiția înmulțirii perechilor
,
Și
Rezultatul sunt perechi egale. Prin urmare, 
, etc.
6. Existenta unui singur element:
.
Punem prin definitie 
si arata ca 
este elementul de identitate în raport cu înmulțirea. Lăsa 
. Apoi prin definiția înmulțirii perechilor , . Prin urmare, 
, etc.
7. Existenta unui element invers:
.
Lăsa 
Și 
, adică numerele a și b nu sunt egale cu zero în același timp, ceea ce înseamnă 
. Punem prin definitie 
si arata ca acest element satisface egalitatea 
. Într-adevăr, prin definiția înmulțirii perechilor 
,
Astfel, am verificat egalitatea 
, etc.
8. Legea comutativității cu privire la înmulțire:
.
Lăsa 
- două perechi aleatorii. Apoi prin definiția înmulțirii perechilor
Întrucât R este un câmp, înmulțirea și adunarea numerelor reale respectă legea comutativității și
,
, de unde urmează egalitatea 
, etc.
9. Legea distributivității înmulțirii în raport cu adunarea:
Și 
.
Lăsa . Apoi prin definiția adunării și înmulțirii perechilor
,
Aici am folosit legea distributivității înmulțirii în raport cu adunarea, de care se supun numerele reale. De asemenea,
,
Și
De aici vedem asta 
.
Pentru a demonstra a doua lege distributivă, folosim legea distributivă recent demonstrată și legea comutativității în ceea ce privește înmulțirea, pe care am demonstrat-o deja:
Teorema a fost demonstrată.
Definiție. Camp 
se numește câmpul numerelor complexe, iar elementele sale, perechi ordonate de numere reale, se numesc numere complexe.
punctul 2. Forma algebrică de scriere a numerelor complexe.
Notează prin 
este un subset al câmpului 
, constând din acele perechi de numere reale al căror al doilea element este egal cu zero. Lăsa 
. Apoi după regulile adunării și înmulțirii perechilor 
,
. Acest lucru ne permite să identificăm astfel de perechi cu primul lor element și cu setul în sine 
cu multe R.
Punem prin definitie 
. Prin urmare, în special, 
,
.
Pentru un cuplu 
introducem o notație specială. Punem prin definitie 
. Apoi 
(3)
.
Această formă de scriere a unui număr complex se numește algebrică.
Câmpul numerelor complexe în sine este notat cu litera C.
.
Mai rețineți că. Aceasta înseamnă că numărul complex 
este rădăcina ecuației pătratice 
. Este ușor de observat că a doua rădăcină a acestei ecuații este numărul complex 
. Într-adevăr, .
Astfel, putem da următoarea definiție a numerelor complexe.
Definiție. Un număr complex este o pereche ordonată de numere reale 
, care de obicei este scris ca 
, unde elementul i este rădăcina ecuației pătratice 
, adică 
.
Definiție. Lăsa 
este forma algebrică de scriere a unui număr complex. Elementul i se numește unitatea imaginară. Numărul real a se numește partea reală a numărului complex z și se notează 
. Numărul real b se numește partea imaginară a numărului complex z și se notează 
.
Definiție. Un număr complex a cărui parte reală este egală cu zero se numește pur imaginar.
Din definiție forma algebrică Notarea unui număr complex (vezi egalitatea (3)) urmează imediat condiția de egalitate a două numere complexe:
Două numere complexe sunt egale dacă și numai dacă părțile lor reale și imaginare sunt egale, de exemplu.
.
Aici & este un semn de conjuncție, un conjunctiv logic „și”.
Cometariu. Din definiţii rezultă că 
, adică Fiecare număr real este un număr complex cu parte imaginară zero. Orice număr complex poate fi considerat ca rezultat al adunării a două numere complexe, dintre care unul este un număr real (partea sa imaginară este egală cu zero), celălalt este pur imaginar:
punctul 3. Operații cu numere complexe în notație algebrică.
Din definiția adunării perechi (1) și a notării algebrice a unui număr complex (3), urmează regulile de adunare și înmulțire a numerelor complexe în notație algebrică. Lăsa 
,
sunt numere complexe arbitrare. Apoi
Rețineți că același rezultat poate fi obținut folosind teorema demonstrată. Mulțimea numerelor complexe formează un câmp. Într-un domeniu, sunt valabile legile asociativității, comutativității și distributivității. Considerăm fiecare număr complex ca în observația de la sfârșitul secțiunii 2. este rezultatul adunării a două numere complexe. Apoi
Aici am folosit egalitatea 
.
Astfel, nu este nevoie să memorezi regulile de adunare (4) și mai ales de înmulțire (5). În plus, este clar că 
– element zero, – opus.
Definim operația de scădere ca adunare cu opusul:
Exemple. 1)., 
,
,
2). Rezolvați ecuația din domeniul numerelor complexe:
.
Soluţie. Găsirea discriminantului 
. Conform formulei rădăcinilor ecuației pătratice, găsim rădăcinile:
. Răspuns: 
.
Cometariu. Aici am folosit egalitatea 
, Unde 
.
Definim operația de împărțire în orice câmp K ca înmulțire cu elementul invers: 
pus prin definitie 
Și 
.
Este ușor să verifici asta 
,
Într-adevăr,
Cu toate acestea, nu este nevoie să memorați formula (6). Este mai bine să folosiți o singură regulă simplă. Dar pentru aceasta introducem mai întâi un concept.
Definiție. Număr complex 
se numește conjugatul complex al unui număr complex 
.
Din definiție rezultă imediat că numărul 
este conjugatul complex al 
, adică numerele care se deosebesc între ele doar prin semnul părții imaginare sunt conjugate complexe între ele.
Exemplu: 
Și 
, i și – i, 
și așa mai departe.
Regula împărțirii pentru numere complexe.
Pentru a împărți un număr complex la altul, trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu conjugatul complex al numitorului.
.
Exemple. ,
,
,
.
Cometariu. Dacă 
, atunci se notează conjugatul său complex 
.
punctul 4. Proprietățile numerelor complexe conjugate.
1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
6.
.
7.
.
8.
9. Pentru orice polinom 
cu coeficienți reali în variabila complexă z
.
Dovada. 1) Lasă 
este un număr complex arbitrar. Apoi prin definiția numărului conjugat complex 
si etc.
2) Fie . Apoi și 
. Pe de alta parte, 
Și 
, de unde rezultă că 
.
3) Să demonstrăm folosind metoda inducției matematice că egalitatea este adevărată pentru orice număr de termeni n.
a) Baza de inducție.
La 
,
egalitate 
tocmai dovedit.
b) Ipoteza inducției.
Să presupunem că afirmația este adevărată dacă numărul de termeni este egal cu 
:.
c) Tranziție de inducție.
Deoarece afirmația este adevărată pentru doi termeni, atunci
De unde rezultă egalitatea de demonstrat.
4) Fie . Apoi și 
. Pe de altă parte, , de unde rezultă că 
.
5) Se demonstrează similar punctului 3) prin metoda inducției matematice.
6) Lasă 
iar k este arbitrar numar natural. Apoi, prin definiția puterii naturale a unui număr 
, etc.
7) Fie a un număr real. Apoi 
iar prin definiţia numărului complex conjugat 
, etc.
8) Lasă 
. Prin proprietățile deja dovedite la punctele 4) și 7) 
, etc.
9) Fie z o variabilă complexă și 
este un polinom într-o variabilă complexă z cu coeficienți reali:, unde
sunt numere reale. Apoi, folosind proprietățile deja dovedite, obținem:
Teorema a fost demonstrată.
Exemplu. calculati 
.
Soluţie. Denota 
. Apoi 
,
,
. Prin urmare, .
punctul 5. Conceptul de rădăcină naturală a unui număr complex.
Definiție. Lăsa 
este un număr natural arbitrar. rădăcină gradul al n-lea dintr-un număr complex z se numește număr complex 
, astfel încât 
.
Mai târziu, se va demonstra următoarea teoremă, pe care o acceptăm fără dovezi deocamdată.
Teorema. (Despre existența și numărul de rădăcini a n-a ale unui număr complex.)
Există exact n-a rădăcini ale unui număr complex.
Pentru a desemna rădăcinile gradului al n-lea al unui număr complex, se folosește semnul obișnuit al radicalului. Dar există o diferență semnificativă. Dacă a este un număr real pozitiv, atunci 
prin definiție denotă o rădăcină a n-a pozitivă, se numește rădăcină aritmetică.
daca n- numar impar, atunci există o rădăcină a n-a unică a oricărui număr real a. La 
această singură rădăcină 
este prin definiție aritmetică, cu 
această singură rădăcină 
nu este aritmetică, dar poate fi exprimată în termenii rădăcinii aritmetice a numărului opus: 
, Unde 
este aritmetică, deoarece 
.
Axiome de câmp. Câmpul numerelor complexe. Notarea trigonometrică a unui număr complex.
Un număr complex este un număr de forma , unde și sunt numere reale, așa-numitele unitate imaginară. Numărul este sunat parte reală ( ) număr complex, numărul este numit parte imaginară ( ) număr complex.
O multime de la fel numere complexe de obicei notate printr-o literă „îngroșată” sau îngroșată
Numerele complexe sunt afișate pe plan complex:
Planul complex este format din două axe:
– axa reală (x)
– axa imaginară (y)
Mulțimea numerelor reale este o submulțime a mulțimii numerelor complexe
Operații cu numere complexe
Pentru a adăuga două numere complexe, adăugați părțile lor reale și imaginare.
Scăderea numerelor complexe
Acțiunea este similară cu adăugarea, singura particularitate este că subtrahendul trebuie luat între paranteze și apoi, ca standard, deschideți aceste paranteze cu o schimbare de semn
Înmulțirea numerelor complexe
paranteze deschise după regula înmulțirii polinoamelor
Împărțirea numerelor complexe
Se efectuează împărțirea numerelor prin înmulțirea numitorului și numărătorului cu expresia conjugată a numitorului.
Numerele complexe au multe dintre proprietățile numerelor reale, dintre care notăm următoarele, numite principal.
1) (A + b) + c = A + (b + c) (asociativitatea adițională);
2) A + b = b + A (comutativitatea adunării);
3) A + 0 = 0 + A = A (existenţa unui element neutru prin adunare);
4) A + (−A) = (−A) + A = 0 (existenţa unui element opus);
5) A(b + c) = ab + ac ();
6) (A + b)c = ac + bc (distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea);
7) (ab)c = A(bc) (asociativitatea înmulțirii);
8) ab = ba (comutativitatea înmulțirii);
9) A∙1 = 1∙A = A (existenţa unui element neutru prin înmulţire);
10) pentru orice A≠ 0 b, Ce ab = ba = 1 (existența elementului invers);
11) 0 ≠ 1 (fără nume).
Ansamblul obiectelor de natură arbitrară, pe care se definesc operațiile de adunare și înmulțire, care au cele 11 proprietăți indicate (care în acest caz sunt axiome), se numește camp.
Câmpul numerelor complexe poate fi înțeles ca o extensie a câmpului numerelor reale în care polinomul are rădăcină.
Orice număr complex (cu excepția zero) poate fi scris sub formă trigonometrică: 
, unde este modulul numărului complex, A - argument de număr complex.
Modulul unui număr complex este distanța de la originea coordonatelor până la punctul corespunzător al planului complex. Pur și simplu pune, modulul este lungimea vector rază, care este marcat cu roșu în desen.
Modulul unui număr complex este de obicei notat cu: sau
Folosind teorema lui Pitagora, este ușor să se obțină o formulă pentru a afla modulul unui număr complex: . Această formulă este valabilă pentru orice semnificații „a” și „fi”.
Argumentul unui număr complex numit colţîntre axa pozitivă axa reală și vectorul rază trasate de la origine până la punctul corespunzător. Argumentul nu este definit la singular: .
Argumentul unui număr complex este de obicei notat cu: sau
Fie și φ = arg z. Apoi, prin definiția argumentului, avem:
Inel de matrici peste câmpul numerelor reale. Operații de bază pe matrice. Proprietăți de funcționare.
Matrice de dimensiunea m´n, unde m este numărul de rânduri, n este numărul de coloane, se numește tabel de numere dispuse într-o anumită ordine. Aceste numere sunt numite elemente de matrice. Locul fiecărui element este determinat în mod unic de numărul rândului și coloanei la intersecția cărora se află. Elementele matricei sunt notate cu ij, unde i este numărul rândului și j este numărul coloanei.
Definiție. Dacă numărul de coloane ale matricei este egal cu numărul de rânduri (m=n), atunci matricea se numește pătrat.
Definiție. Vizualizare matrice:
= E,
numit matrice de identitate.
Definiție. Dacă a mn = a nm, atunci matricea este numită simetric.
Exemplu. 
- matrice simetrică
Definiție.
Matrice de vedere pătrată 
numit diagonală matrice.
Înmulțirea unei matrice cu un număr
Înmulțirea unei matrice cu un număr(notația: ) constă în construirea unei matrice ale cărei elemente se obțin prin înmulțirea fiecărui element al matricei cu acest număr, adică fiecare element al matricei este egal cu
Proprietățile înmulțirii matricelor cu un număr:
· unsprezece A = A;
2. (λβ)A = λ(βA)
3. (λ+β)A = λA + βA
· 4. λ(A+B) = λA + λB
Adăugarea matricei
Adăugarea matricei este operația de găsire a unei matrici, ale cărei toate elementele sunt egale cu suma pe perechi a tuturor elementelor corespunzătoare ale matricei și, adică fiecare element al matricei este egal cu
Proprietăți de adăugare a matricei:
1. comutativitate: A+B = B+A;
2.asociativitate: (A+B)+C =A+(B+C);
3.adunare cu o matrice zero: A + Θ = A;
4.existenta matricei opuse: A+(-A)=Θ;
Toate proprietățile operațiilor liniare repetă axiomele unui spațiu liniar și, prin urmare, următoarea teoremă este adevărată:
Mulțimea tuturor matricelor de aceeași dimensiune m X n cu elemente din teren P(câmpurile tuturor numerelor reale sau complexe) forme spațiu liniar peste câmpul P (fiecare astfel de matrice este un vector al acestui spațiu). Cu toate acestea, în primul rând pentru a evita confuzia terminologică, matricele sunt evitate în contexte obișnuite fără a fi nevoie (ceea ce nu este în cele mai comune aplicații standard) și specificarea clară a utilizării termenului pentru a apela vectori.
Înmulțirea matricei
Înmulțirea matricei(notație: , rar cu semnul înmulțirii) - există o operație de calcul a unei matrice, fiecare element al cărei element este egal cu suma produselor elementelor din rândul corespunzător al primului factor și coloana celui de-al doilea.
Numărul de coloane din matrice trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri din matrice, cu alte cuvinte, matricea trebuie să fie de acord cu o matrice. Dacă matricea are dimensiunea , - , atunci dimensiunea produsului lor este .
Proprietăți de multiplicare a matricei:
1.asociativitate (AB)C = A(BC);
2.non-comutativitate (în general): AB BA;
3. Produsul este comutativ în cazul înmulțirii cu o matrice de identitate: AI=IA;
4. distributivitate: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;
5.asociativitatea și comutativitatea în raport cu înmulțirea cu un număr: (λA)B = λ(AB) = A(λB);
Transpunerea matricei.
Aflarea matricei inverse.
O matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară, adică determinantul său nu este egal cu zero. Pentru matricele nepătrate și matricele degenerate nu există matrici inverse.
Teorema rangului matricei
Rangul matricei A este ordinul maxim al unui minor diferit de zero
Minorul care determină rangul matricei se numește Baza minoră. Rândurile și coloanele care formează BM se numesc rânduri și coloane de bază.
Notație: r(A), R(A), Rang A.
Cometariu. Evident, valoarea rangului unei matrice nu poate depăși cea mai mică dintre dimensiunile acesteia.
Pentru orice matrice, rangurile sale minore, rânduri și coloane sunt aceleași.
Dovada. Fie rangul minor al matricei A egală r . Să arătăm că și rangul rândului este egal cu r . Pentru aceasta, putem presupune că minorul reversibil M Ordin r este în primul r rânduri de matrice A . De aici rezultă că primul r rânduri de matrice A sunt liniar independente și mulțimea rândurilor minore M liniar independent. Lăsa A -- șir de lungime r , compus din elemente i --lea rând al matricei, care sunt situate în aceleași coloane ca și cea minoră M . Din moment ce coardele minore M formează baza k r , Acea A -- combinație liniară de șiruri minore M . Scăderea din i -a linia A aceeași combinație liniară primul r rânduri de matrice A . Dacă rezultatul este un șir care conține un element non-null în coloana cu numărul t , apoi luați în considerare minorul M 1 Ordin r+1 matrici A , adăugând la rândurile minorului al treilea rând al matricei A iar la coloanele minore -a coloană a matricei A (se spune că minorul M 1 primit marginea minoră M prin utilizarea i -a linia și t -a coloană a matricei A ). Prin alegerea noastră t , acest minor este inversabil (este suficient să scădem din ultimul rând al acestui minor combinația liniară a primului r rânduri, apoi extindeți determinantul său peste ultimul rând pentru a vă asigura că acest determinant, până la un factor scalar diferit de zero, se potrivește cu determinantul minorului M . A-prioriu r o astfel de situaţie este imposibilă şi, deci, după transformare i -a linia A va deveni zero. Cu alte cuvinte, originalul i --lea rând este o combinație liniară a primului r rânduri de matrice A . Am arătat că primul r rândurile formează baza setului de rânduri matricei A , adică rangul cu litere mici A egală r . Pentru a demonstra că rangul coloanei este r , este suficient să schimbați „rândurile” și „coloanele” în raționamentul de mai sus. Teorema a fost demonstrată.
Această teoremă arată că nu are sens să se facă distincția între trei rânduri ale unei matrice, iar în cele ce urmează, prin rangul unei matrice, vom înțelege rangul rândului, amintindu-ne că este egal atât cu coloana, cât și cu rangurile minore (notație r(A) -- rangul matricei A ). De asemenea, remarcăm că din demonstrarea teoremei rangului rezultă că rangul unei matrice coincide cu dimensiunea oricărui minor inversabil al matricei astfel încât toate minorele care o înconjoară (dacă există) sunt degenerate.
Teorema Kronecker-Capelli
Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse, iar sistemul are o soluție unică dacă rangul este egal cu numărul necunoscute și un număr infinit de soluții dacă rangul mai mic decât numărul necunoscut.
Necesitate
Lăsați sistemul să fie consecvent. Apoi sunt numere astfel încât . Prin urmare, coloana este o combinație liniară a coloanelor matricei. Din faptul că rangul unei matrice nu se va schimba dacă sistemul rândurilor (coloanelor) acesteia este șters sau i se atribuie un rând (coloană), care este o combinație liniară a altor rânduri (coloane), rezultă că .
Adecvarea
Lăsa . Să luăm câteva minore de bază în matrice. Deoarece, atunci va fi, de asemenea, baza minoră a matricei. Apoi, conform teoremei minore ale bazei, ultima coloană a matricei va fi o combinație liniară a coloanelor de bază, adică coloanele matricei. Prin urmare, coloana de membri liberi ai sistemului este o combinație liniară a coloanelor matricei.
Consecințe
· Numărul de variabile principale ale sistemului este egal cu rangul sistemului.
· Se va defini un sistem comun (soluția sa este unică) dacă rangul sistemului este egal cu numărul tuturor variabilelor sale.
Teorema minoră a bazei.
Teorema. Într-o matrice arbitrară A, fiecare coloană (rând) este o combinație liniară de coloane (rânduri) în care se află baza minoră.
Astfel, rangul unei matrice arbitrare A este egal cu numărul maxim de rânduri (coloane) liniar independente din matrice.
Dacă A este o matrice pătrată și detA = 0, atunci cel puțin una dintre coloane este o combinație liniară a celorlalte coloane. Același lucru este valabil și pentru șiruri. Această afirmație decurge din proprietatea dependenței liniare cu determinantul egal cu zero.
7. Soluție SLU. Metoda lui Cramer, metoda matricei, metoda Gauss.
metoda lui Cramer.
Această metodă este aplicabilă și numai în cazul sistemelor de ecuații liniare, unde numărul de variabile coincide cu numărul de ecuații. În plus, este necesar să se introducă restricții asupra coeficienților sistemului. Este necesar ca toate ecuațiile să fie liniar independente, adică nicio ecuație nu ar fi o combinație liniară a celorlalte.
Pentru a face acest lucru, este necesar ca determinantul matricei sistemului să nu fie egal cu 0.
Într-adevăr, dacă orice ecuație a sistemului este o combinație liniară a celorlalte, atunci dacă elementele oricărui rând sunt adăugate elementelor altuia, înmulțite cu un număr, folosind transformări liniare, puteți obține un rând zero. Determinantul în acest caz va fi egal cu zero.
Teorema. (regula lui Cramer):
Teorema. Sistem de n ecuații cu n necunoscute
dacă determinantul matricei sistemului nu este egal cu zero, are o soluție unică și această soluție se găsește prin formulele:
x i = D i /D, unde
D = det A, iar D i este determinantul matricei obținute din matricea sistemului prin înlocuirea coloanei i cu o coloană de membri liberi b i .
D i = 
Metoda matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare.
Metoda matricei este aplicabilă rezolvării sistemelor de ecuații în care numărul de ecuații este egal cu numărul de necunoscute.
Metoda este convenabilă pentru rezolvarea sistemelor de ordin scăzut.
Metoda se bazează pe aplicarea proprietăților înmulțirii matriceale.
Să fie dat sistemul de ecuații:
Compuneți matrice: A = 
; B = ; X = .
Sistemul de ecuații se poate scrie: A×X = B.
Să facem următoarea transformare: A -1 ×A×X = A -1 ×B, deoarece A -1 × A = E, apoi E × X = A -1 × B
X \u003d A -1 × B
Pentru a aplica această metodă, este necesar să găsiți matrice inversă, care se poate datora dificultăților de calcul în rezolvarea sistemelor de ordin înalt.
Definiție. Sistem de m ecuații cu n necunoscute în vedere generala este înregistrată în felul următor:
, (1)
unde a ij sunt coeficienți și b i sunt constante. Soluțiile sistemului sunt n numere care, atunci când sunt substituite în sistem, transformă fiecare dintre ecuațiile sale într-o identitate.
Definiție. Dacă un sistem are cel puțin o soluție, atunci se numește comun. Dacă sistemul nu are nicio soluție, atunci este numit incompatibil.
Definiție. Sistemul este numit anumit dacă are o singură soluţie şi incert dacă mai mult de unul.
Definiție. Pentru un sistem de ecuații liniare de forma (1), matricea
A = 
se numește matricea sistemului, iar matricea
A*= 
se numește matricea augmentată a sistemului
Definiție. Dacă b 1 , b 2 , …,b m = 0, atunci sistemul este numit omogen. sistem omogen mereu împreună.
Transformări elementare ale sistemelor.
Transformările elementare sunt:
1) Adunarea la ambele părți ale unei ecuații a părților corespunzătoare ale celeilalte, înmulțită cu același număr, diferit de zero.
2) Permutarea ecuațiilor pe locuri.
3) Eliminarea din sistemul de ecuații care sunt identități pentru tot x.
metoda Gauss - metoda clasica rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare (SLAE). Aceasta este o metodă de eliminare succesivă a variabilelor, când, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul de ecuații se reduce la un sistem echivalent de formă triunghiulară, din care toate celelalte variabile se regăsesc secvenţial, începând de la ultima (după număr). ) variabile
Lăsați sistemul original să arate așa
Matricea se numește matricea principală a sistemului, - coloana de membri liberi.
Apoi, conform proprietății transformărilor elementare peste rânduri, matricea principală a acestui sistem poate fi redusă la o formă în trepte (aceași transformări trebuie aplicate coloanei de membri liberi):
Apoi variabilele sunt numite principalele variabile. Toți ceilalți sunt chemați gratuit.
Dacă cel puțin un număr , unde , atunci sistemul luat în considerare este inconsecvent, adică ea nu are solutie.
Lasă pentru orice.
Transferăm variabilele libere dincolo de semnele egale și împărțim fiecare dintre ecuațiile sistemului la coeficientul său din partea din stânga ( , unde este numărul liniei):
Dacă este liber variabile de sistem(2) atribuiți toate valorile posibile și rezolvați noul sistem cu privire la principalele necunoscute de jos în sus (adică de la ecuația inferioară la cea superioară), apoi vom obține toate soluțiile acestui SLAE. Deoarece acest sistem a fost obținut prin transformări elementare peste sistemul original (1), atunci prin teorema de echivalență sub transformări elementare, sistemele (1) și (2) sunt echivalente, adică mulțimile soluțiilor lor coincid.
Consecințe:
1: Dacă într-un sistem comun toate variabilele sunt principale, atunci un astfel de sistem este definit.
2: Dacă numărul de variabile din sistem depășește numărul de ecuații, atunci un astfel de sistem este fie nedeterminat, fie inconsecvent.
Algoritm
Algoritmul pentru rezolvarea SLAE prin metoda Gaussiană este împărțit în două etape.
În prima etapă, se realizează așa-numita mișcare directă, atunci când, prin intermediul transformărilor elementare peste rânduri, sistemul este adus într-o formă în trepte sau triunghiulară, sau se stabilește că sistemul este inconsecvent. Și anume, dintre elementele primei coloane a matricei, se alege unul diferit de zero, acesta este mutat în poziția cea mai de sus prin permutarea rândurilor, iar primul rând obținut după permutare se scade din rândurile rămase, înmulțindu-l cu un valoare egală cu raportul dintre primul element al fiecăruia dintre aceste rânduri și primul element al primului rând, reducând astfel coloana de sub acesta. După ce transformările indicate au fost efectuate, primul rând și prima coloană sunt tăiate mental și continuă până când rămâne o matrice de dimensiune zero. Dacă la unele dintre iterațiile dintre elementele primei coloane nu a fost găsită una diferită de zero, atunci mergeți la următoarea coloană și efectuați o operație similară.
În a doua etapă, se realizează așa-numita mișcare inversă, a cărei esență este de a exprima toate variabilele de bază rezultate în termeni de variabile nebazice și de a construi un sistem fundamental de soluții sau, dacă toate variabilele sunt de bază, apoi exprimați numeric singura soluție a sistemului de ecuații liniare. Această procedură începe cu ultima ecuație, din care variabila de bază corespunzătoare este exprimată (și există doar una) și substituită în ecuațiile anterioare, și așa mai departe, urcând „treptele”. Fiecare linie corespunde exact unei variabile de bază, astfel încât la fiecare pas, cu excepția ultimului (cel mai de sus), situația se repetă exact cazul ultimei linii.
Vectori. Noțiuni de bază. Produsul scalar, proprietățile sale.
Vector se numește segment direcționat (o pereche ordonată de puncte). Se aplică și vectorilor. nul un vector al cărui început și sfârșit sunt aceleași.
Lungime (modul) vector este distanța dintre începutul și sfârșitul vectorului.
Vectorii sunt numiți coliniare daca sunt situate pe aceleasi linii sau paralele. Vectorul zero este coliniar cu orice vector.
Vectorii sunt numiți coplanare dacă există un plan cu care sunt paralele.
Vectorii coliniari sunt întotdeauna coplanari, dar nu toți vectorii coliniari sunt coliniari.
Vectorii sunt numiți egal dacă sunt coliniare, au aceeași direcție și au aceeași valoare absolută.
Orice vector poate fi redus la o origine comună, de ex. construiți vectori corespunzător egali cu datele și având o origine comună. Din definiția egalității vectoriale rezultă că orice vector are infiniti de vectori egali cu el.
Operații liniare peste vectori se numește adunare și înmulțire cu un număr.
Suma vectorilor este vectorul - 
Muncă - 
, fiind în același timp coliniar.
Vectorul este codirecțional cu vectorul ( ) dacă a > 0.
Vectorul este opus vectorului ( ¯ ) dacă a< 0.
Proprietăți vectoriale.
1) + = + - comutativitate.
2) + ( + ) = ( + )+
5) (a×b) = a(b) – asociativitate
6) (a + b) = a + b - distributivitatea
7) a( + ) = a + a
1) Bazăîn spațiu se numesc orice 3 vectori necoplanari, luați într-o anumită ordine.
2) Bazăîn plan sunt oricare 2 vectori necoliniari luați într-o anumită ordine.
3)Bază orice vector diferit de zero este numit pe linie.
Dacă 
este o bază în spațiu și , atunci numerele a, b și g se numesc componente sau coordonate vectori în această bază.
În acest sens, putem scrie următoarele proprietăți:
vectorii egali au aceleasi coordonate,
când un vector este înmulțit cu un număr, componentele sale sunt, de asemenea, înmulțite cu acel număr,
când se adaugă vectori, se adaugă componentele lor corespunzătoare.
; 
;
Dependența liniară a vectorilor.
Definiție.
Vectori 
numit dependent liniar, dacă există o astfel de combinație liniară , dacă a i nu este egal cu zero în același timp, i.e. 
.
Dacă numai când a i = 0 este satisfăcut, atunci vectorii sunt numiți liniar independenți.
Proprietatea 1. Dacă există un vector nul printre vectori, atunci acești vectori sunt dependenți liniar.
Proprietatea 2. Dacă unul sau mai mulți vectori sunt adăugați la sistemul de vectori dependenți liniar, atunci sistemul rezultat va fi, de asemenea, dependent liniar.
Proprietatea 3. Un sistem de vectori este dependent liniar dacă și numai dacă unul dintre vectori este descompus într-o combinație liniară a celorlalți vectori.
Proprietatea 4. Orice 2 vectori coliniari sunt dependenți liniar și, invers, oricare 2 vectori dependenți liniari sunt coliniari.
Proprietatea 5. Oricare 3 vectori coplanari sunt dependenți liniar și, invers, orice 3 vectori dependenți liniar sunt coplanari.
Proprietatea 6. Oricare 4 vectori sunt dependenți liniar.
Lungimea vectorului în coordonate definită ca distanța dintre punctele de început și de sfârșit ale vectorului. Dacă sunt date două puncte în spațiul A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2), atunci .
Dacă punctul M(x, y, z) împarte segmentul AB în raportul l / m, atunci coordonatele acestui punct sunt definite ca:
Într-un caz particular, coordonatele mijlocul segmentului sunt situate astfel:
x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.
Operații liniare pe vectori în coordonate.
Rotația axelor de coordonate
Sub întoarce axele de coordonate înțeleg o astfel de transformare a coordonatelor în care ambele axe sunt rotite cu același unghi, în timp ce originea și scara rămân neschimbate.
Să se obțină un nou sistem O 1 x 1 y 1 prin rotirea sistemului Oxy printr-un unghi α.
Fie Μ un punct arbitrar al planului, (x; y) - coordonatele sale în vechiul sistem și (x"; y") - în noul sistem.
Vă prezentăm două sisteme polare coordonate cu un pol comun O și axele polare Ox și Οx 1 (scala este aceeași). Raza polară r este aceeași în ambele sisteme, iar unghiurile polare sunt respectiv α + j și φ, unde φ este unghiul polar în noul sistem polar.
Conform formulelor pentru trecerea de la coordonatele polare la cele dreptunghiulare, avem
Dar rcosj = x" și rsinφ = y". De aceea
Formulele rezultate sunt numite formule de rotație a axelor . Ele fac posibilă determinarea coordonatelor vechi (x; y) ale unui punct arbitrar M în termenii noilor coordonate (x"; y") ale aceluiași punct M și invers.
Dacă noul sistem de coordonate O 1 x 1 y 1 se obține din vechiul Oxy prin transferul paralel al axelor de coordonate și rotirea ulterioară a axelor cu un unghi α (vezi Fig. 30), atunci prin introducerea unui sistem auxiliar este ușor. pentru a obține formulele
exprimând coordonatele vechi x și y ale unui punct arbitrar în termenii noilor sale coordonate x" și y".
Elipsă
O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la fiecare dintre ele
până la două puncte date este constantă. Aceste puncte se numesc focare și
sunt desemnate F1Și F2, distanța dintre ele 2s,și suma distanțelor de la fiecare punct până la
trucuri - 2a(după condiție 2a>2c). Construim un sistem de coordonate carteziene astfel încât F1Și F2 erau pe axa x, iar originea a coincis cu mijlocul segmentului F1F2. Să derivăm ecuația elipsei. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un punct arbitrar M(x, y) elipsă. Prioritate A: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).
|F1M|=(X+ c)2 + y 2 ; |F2M| = (X- c)2 + y 2
(X+ c)2 + y 2 + (X- c)2 + y 2 =2a(5)
x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(X- c)2 + y 2 +x2-2cx+c2+y2
4cx-4a2=4a(X- c)2 + y 2
a2-cx=a(X- c)2 + y 2
a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)
deoarece 2a>2c(suma a două laturi ale unui triunghi este mai mare decât a treia latură), atunci a2-c2>0.
Lăsa a2-c2=b2
Punctele cu coordonatele (a, 0), (−a, 0), (b, 0) și (−b, 0) se numesc vârfuri ale elipsei, valoarea a este semiaxa majoră a elipsei, iar valoarea b este semiaxa sa minoră. Punctele F1(c, 0) și F2(−c, 0) se numesc focare
elipsă, iar focalizarea F1 se numește dreapta, iar focalizarea F2 se numește stânga. Dacă punctul M aparține elipsei, atunci distanțele |F1M| și |F2M| se numesc raze focale și sunt notate cu r1 și, respectiv, r2. Valoarea e \u003d c / a se numește excentricitatea elipsei. Drepte cu ecuații x =a/e
și x = −a/e sunt numite directrice ale elipsei (pentru e = 0, nu există directrice ale elipsei).
Ecuația generală a planului
Considera ecuație generală gradul I cu trei variabile x, y și z:
Presupunând că cel puțin unul dintre coeficienții A, B sau C nu este egal cu zero, de exemplu, rescriem ecuația (12.4) sub forma
Se încarcă...
