Definiție și exemple de spații euclidiene. Spații euclidiene. Urmarirea algebrei liniare in spatiul euclidian

Corespunzător unui astfel de spațiu vectorial. În acest articol, prima definiție va fi luată ca fiind cea inițială.

$n$ Se notează spaţiul euclidian -dimensional $\backslash mathbb\; E^n,$ de asemenea, notație folosită în mod obișnuit $\backslash mathbb\; R^n$(dacă din context reiese clar că spațiul are o structură euclidiană).

Definiție formală

Pentru a defini un spațiu euclidian, este cel mai ușor de luat drept concept de bază al produsului punctual. Un spațiu vectorial euclidian este definit ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul numerelor reale, pe ai cărui vectori este dată o funcție cu valoare reală. $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$ cu următoarele trei proprietăți:

• Bilinearitate: pentru orice vector $u,v,w$ si pentru orice numere reale $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$Și $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Simetrie: pentru orice vector $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Definiție pozitivă: pentru orice $u\backslash quad\; (u,u)\backslash geqslant\; 0,$în plus $(u,u)=0\backslash Rightarrow\; u=0.$

Exemplu de spațiu euclidian - spațiu de coordonate $\backslash mathbb\; R^n,$ constând din toate tuplurile posibile de numere reale $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$ produs scalar în care este determinat de formula $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Lungimi și unghiuri

Produsul scalar dat pe spațiul euclidian este suficient de introdus concepte geometrice lungimea si unghiul. Lungimea vectorului $u$ definit ca $\backslash sqrt((u,u))$și notat $|u|.$ Definitivitatea pozitivă a produsului interior garantează că lungimea unui vector diferit de zero este diferită de zero și din biliniaritate rezultă că $|au|=|a||u|,$ adică lungimile vectorilor proporționali sunt proporționale.

Unghiul dintre vectori $u$Și $v$ este determinat de formula $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right).$ Din teorema cosinusului rezultă că pentru un spațiu euclidian bidimensional ( plan euclidian) această definiție unghiul coincide cu cel obișnuit. Vectorii ortogonali, ca în spațiul tridimensional, pot fi definiți ca vectori, unghiul dintre care este egal cu $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz și inegalitatea triunghiulară

Există un gol rămas în definiția unghiului dată mai sus: pentru a $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right)$ a fost definit, este necesar ca inegalitatea $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$ Această inegalitate se menține într-adevăr într-un spațiu euclidian arbitrar, se numește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz. Această inegalitate, la rândul său, implică inegalitatea triunghiulară: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$ Inegalitatea triunghiului, împreună cu proprietățile lungimii enumerate mai sus, înseamnă că lungimea unui vector este norma pe euclidiană. spațiu vectorial, și funcția $d(x,y)=|x-y|$ definește structura unui spațiu metric pe spațiul euclidian (această funcție se numește metrica euclidiană). În special, distanța dintre elemente (puncte) $X$Și $y$ spațiu de coordonare $\backslash mathbb\; R^n$ dat de formula $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Proprietăți algebrice

Baze ortonormale

Spații duale și operatori

Orice vector $X$ Spațiul euclidian definește o funcțională liniară $x^*$ pe acest spatiu, definit ca $x^*(y)=(x,y).$ Această comparație este un izomorfism între spațiul euclidian și spațiul său dual și le permite să fie identificate fără a compromite calculele. În special, operatorii adjuncți pot fi considerați ca acționând asupra spațiului inițial, și nu asupra acestuia dual, iar operatorii autoadjuncți pot fi definiți ca operatori care coincid cu cei adiacenți. Pe o bază ortonormală, matricea operatorului adjunct este transpusă în matricea operatorului original, iar matricea operatorului autoadjunct este simetrică.

Mișcări euclidiene în spațiu

Exemple

Exemple bune de spații euclidiene sunt următoarele spații:

• $\backslash mathbb\; E^1$ dimensiuni $1$ (linie reală)
• $\backslash mathbb\; E^2$ dimensiuni $2$ (plan euclidian)
• $\backslash mathbb\; E^3$ dimensiuni $3$ (Spațiu 3D euclidian)

Exemplu mai abstract:

• spațiu al polinoamelor reale $p(x)$ gradul care nu depășește $n$, cu produsul interior definit ca integrala produsului pe un segment finit (sau pe întreaga linie, dar cu o funcție de greutate care descrește rapid, de exemplu $e^(-x^2)$).

Exemple de figuri geometrice în spațiul euclidian multidimensional

• Poliedre multidimensionale regulate (în special cub N-dimensional, octaedru N-dimensional, tetraedru N-dimensional)

Definiții înrudite

• Sub metrica euclidiană metrica descrisă mai sus poate fi înțeleasă precum și metrica riemanniană corespunzătoare.

• Euclideanitatea locală înseamnă de obicei că fiecare spațiu tangent al unei varietăți riemanniene este un spațiu euclidian cu toate următoarele proprietăți, de exemplu, posibilitatea (datorită netedei metricii) de a introduce coordonate într-o mică vecinătate a unui punct în care distanța este exprimat (până la o anumită ordine) așa cum este descris mai sus.

• Un spațiu metric este numit și local euclidian dacă este posibil să se introducă coordonate pe el în care metrica este euclidiană (în sensul celei de-a doua definiții) peste tot (sau cel puțin pe o regiune finită) - care, de exemplu, este o Varietatea Riemanniană de curbură zero.

Variații și generalizări

• Înlocuirea câmpului principal din câmpul numerelor reale în câmpul numerelor complexe oferă definiția unui spațiu unitar (sau hermitian).
• Respingerea cerinței de dimensionalitate finită oferă definiția unui spațiu pre-Hilbert.
• Respingerea cerinței de definiție pozitivă a produsului scalar duce la definirea spațiului pseudo-euclidian.

Scrieți o recenzie la articolul „Spațiul euclidian”

Note

Literatură

• Gelfand I. M. Prelegeri de algebră liniară. - a 5-a. - M .: Dobrosvet, MTSNMO, 1998. - 319 p. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Algebră liniară și geometrie. - M .: Nauka, 1986. - 304 p.

Un fragment care caracterizează spațiul euclidian

„Ți se întâmplă”, i-a spus Natasha fratelui ei când s-au așezat în camera canapelei, „ți se întâmplă că ți se pare că nu se va întâmpla nimic - nimic; că tot ce a fost bun a fost? Și nu doar plictisitor, ci și trist?
- Si cum! - el a spus. - Mi s-a întâmplat să fie totul în regulă, toată lumea să fie veselă, dar îmi trecea prin cap că toate acestea erau deja obosite și că toată lumea trebuie să moară. Odată nu m-am dus la regiment la o plimbare și se auzea muzică... și brusc m-am plictisit...
„Ah, știu asta. Știu, știu, - ridică Natasha. „Eram încă mic, așa că mi s-a întâmplat. Îți amintești, de când m-au pedepsit pentru prune și toți ați dansat, iar eu stăteam în clasă și plângeam, nu voi uita niciodată: eram trist și îmi era milă de toată lumea, și de mine, și mi-a părut rău pentru toată lumea. Și, cel mai important, nu am fost de vină, - a spus Natasha, - îți amintești?
— Îmi amintesc, spuse Nikolai. - Îmi amintesc că am venit la tine mai târziu și am vrut să te consolez și, știi, mi-a fost rușine. Eram îngrozitor de amuzanți. Aveam o jucărie cu bobblehead atunci și am vrut să ți-o dau. Vă amintiți?
„Îți amintești”, a spus Natasha cu un zâmbet gânditor, de cât timp, de mult, eram încă foarte tineri, unchiul ne-a chemat la birou, înapoi în casa veche, și era întuneric - am venit și deodată a fost stând acolo ...
„Arap”, a încheiat Nikolai cu un zâmbet vesel, „cum să nu-ți amintești? Nici acum nu știu că a fost un negru, sau l-am văzut în vis, sau ni s-a spus.
- Era gri, amintește-ți, și dinții albi - se ridică și se uită la noi...
Îți amintești de Sonya? Nicholas a întrebat...
„Da, da, și eu îmi amintesc ceva”, a răspuns Sonya timid...
„I-am întrebat pe tatăl meu și pe mama mea despre acest arap”, a spus Natasha. „Se spune că nu a existat arap. Dar îți amintești!
- Cum, ca acum îmi amintesc dinții lui.
Ce ciudat, a fost ca un vis. Imi place.
- Îți aduci aminte cum am rostogolit ouă în hol și deodată două bătrâne au început să se învârtească pe covor. A fost sau nu? Îți amintești cât de bine a fost?
- Da. Îți amintești cum tata cu o haină albastră pe verandă a tras cu o armă. - Au sortat amintirile, zâmbind de plăcere, nu triste vechi, ci poetice amintiri tinerețe, acele impresii din trecutul cel mai îndepărtat, în care visul se contopește cu realitatea, și râdeau în liniște, bucurându-se de ceva.
Sonya, ca întotdeauna, a rămas în urma lor, deși amintirile lor erau comune.
Sonya nu-și amintea mare lucru din ceea ce își aminteau ei, iar ceea ce își amintea nu îi trezi în ea acel sentiment poetic pe care l-au trăit. Sa bucurat doar de bucuria lor, încercând să o imite.
Ea a participat doar când și-au amintit prima vizită a Sonyei. Sonya a povestit că îi era frică de Nikolai, pentru că avea șnururi la jachetă, iar bona ei i-a spus că o vor coase și ei în șnururi.
„Dar îmi amintesc: mi-au spus că te-ai născut sub varză”, a spus Natasha, „și îmi amintesc că atunci nu am îndrăznit să nu cred, dar știam că nu este adevărat și mi-a fost atât de rușine.
În timpul acestei conversații, capul femeii de serviciu a ieșit pe ușa din spate a divanului. - Domnișoară, au adus un cocoș, - a spus fata în șoaptă.
— Nu, Polya, spune-le să o ia, spuse Natasha.
În mijlocul conversațiilor care aveau loc în camera canapelei, Dimmler a intrat în cameră și s-a apropiat de harpa din colț. El a scos pânza și harpa a scos un sunet fals.
„Eduard Karlych, te rog cântă Nocturienea mea favorită a lui Monsieur Filda”, a spus vocea bătrânei contese din salon.
Dimmler luă o coardă și, întorcându-se către Natasha, Nikolai și Sonya, spuse: - Tineri, cât de liniștiți stau!
„Da, filosofăm”, a spus Natasha, privind în jur un minut și a continuat conversația. Conversația era acum despre vise.
Dimmler începu să joace. Natasha, inaudibil, în vârful picioarelor, s-a ridicat la masă, a luat lumânarea, a scos-o și, întorcându-se, s-a așezat în liniște în locul ei. În cameră era întuneric, mai ales pe canapeaua pe care stăteau, dar lumina argintie a lunii pline cădea pe jos prin ferestrele mari.
— Știi, cred, spuse Natasha în șoaptă, apropiindu-se mai mult de Nikolai și Sonya, când Dimmler terminase deja și încă stătea, strângând slab coardele, aparent nehotărâtă să plece sau să înceapă ceva nou, „că atunci când amintește-ți așa, îți amintești, îți amintești totul, până când îți amintești că îți amintești ce a fost chiar înainte de a fi eu pe lume...
„Aceasta este metampsikova”, a spus Sonya, care a studiat întotdeauna bine și și-a amintit totul. „Egiptenii credeau că sufletele noastre sunt în animale și se vor întoarce la animale.
„Nu, știi, nu cred că eram animale”, a spus Natasha în aceeași șoaptă, deși muzica s-a încheiat, „dar știu sigur că eram îngeri acolo undeva și aici, și de aici ne amintim totul. .”…
- Pot să mă alătur? - spuse Dimmler s-a apropiat în liniște și s-a așezat lângă ei.
- Dacă eram îngeri, de ce am coborât? spuse Nikolay. - Nu, nu se poate!
„Nu mai jos, cine ți-a spus că e mai jos?... De ce știu ce eram înainte”, a obiectat Natasha cu convingere. - La urma urmei, sufletul este nemuritor... prin urmare, dacă trăiesc pentru totdeauna, așa am trăit înainte, am trăit pentru veșnicie.
„Da, dar ne este greu să ne imaginăm eternitatea”, a spus Dimmler, care s-a apropiat de tineri cu un zâmbet blând și disprețuitor, dar acum a vorbit la fel de liniștit și de serios ca și ei.
De ce este atât de greu să-ți imaginezi eternitatea? spuse Natasha. „Va fi azi, va fi mâine, va fi întotdeauna, și ieri a fost și a treia zi a fost...
- Natasha! acum e rândul tău. Cântă-mi ceva, - se auzi vocea contesei. - De ce stai jos, ca niște conspiratori.
- Mamă! Nu am chef”, a spus Natasha, dar în același timp s-a ridicat.
Toți, chiar și Dimmler de vârstă mijlocie, nu au vrut să întrerupă conversația și să părăsească colțul canapelei, dar Natasha s-a ridicat și Nikolai s-a așezat la clavicord. Ca întotdeauna, stând în mijlocul sălii și alegând cel mai avantajos loc pentru rezonanță, Natasha a început să cânte piesa preferată a mamei sale.
Ea a spus că nu are chef să cânte, dar nu a mai cântat de mult înainte și de multă vreme după, cât a cântat în acea seară. Contele Ilya Andreevici, din biroul unde vorbea cu Mitinka, a auzit-o cântând și, ca un elev grăbit să meargă la joacă, terminând lecția, s-a încurcat în cuvinte, dând ordine directorului și în cele din urmă a tăcut, iar Mitinka, ascultând de asemenea, tăcut cu un zâmbet, stătea în fața contelui. Nikolai nu și-a luat ochii de la sora lui și a respirat cu ea. Sonya, ascultând, se gândi ce diferență enormă era între ea și prietena ei și cât de imposibil îi era să fie în vreun fel la fel de fermecătoare ca vărul ei. Bătrâna contesă stătea cu un zâmbet fericit și trist și cu lacrimi în ochi, dând din când în când din cap. S-a gândit la Natasha și la tinerețea ei și la felul în care ceva nefiresc și teribil este în această viitoare căsătorie a Natașei cu Prințul Andrei.
Dimmler, aşezându-se lângă contesa şi închizând ochii, ascultă.
„Nu, contesă”, a spus el în cele din urmă, „acesta este un talent european, ea nu are nimic de învățat, această moliciune, tandrețe, forță...
– Ah! cât de frică pentru ea, cât de frică, spuse contesa, fără a-și aminti cui vorbea. Instinctul ei matern i-a spus că sunt prea multe în Natasha și că nu va fi fericită de asta. Natasha încă nu terminase de cântat, când Petya, entuziastă, de paisprezece ani, a fugit în cameră cu vestea că au venit mummerele.
Natasha se opri brusc.
- Prostule! ea a strigat la fratele ei, a alergat la un scaun, a căzut pe el și a plâns în hohote ca să nu se mai poată opri multă vreme după aceea.
„Nimic, mamă, chiar nimic, așa că: Petya m-a speriat”, a spus ea, încercând să zâmbească, dar lacrimile continuau să curgă și suspinele i-au strâns gâtul.
Servitori îmbrăcați, urși, turci, cârciumi, doamne, groaznice și haioase, aducând cu ei frig și distracție, la început timid înghesuiți pe hol; apoi, ascunși unul în spatele celuilalt, au fost forțați să intre în sală; și la început timid, dar apoi din ce în ce mai vesel și amiabil, au început cântecele, dansurile, coralele și jocurile de Crăciun. Contesa, recunoscând fețele și râzând de hainele îmbrăcate, a intrat în sufragerie. Contele Ilya Andreich stătea în sală cu un zâmbet radiant, aprobând jucătorii. Tineretul a dispărut.

Definiţia Euclidean space

Definiția 1. Spațiul liniar real se numește euclidiană, Dacă definește o operație care asociază oricare doi vectori XȘi y din această număr spațiu, numit produsul scalar al vectorilor XȘi yși notat(X y), pentru care sunt îndeplinite următoarele condiții:

1. (x, y) = (y, x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , unde z- orice vector aparținând spațiului liniar dat;

3. (?x,y) = ? (x,y), unde ? - orice număr;

4. (x,x) ? 0 și (x,x) = 0 x = 0.

De exemplu, în spațiul liniar al matricelor cu o singură coloană, produsul scalar al vectorilor

poate fi definit prin formula

Spațiul euclidian al dimensiunilor n denota En. observa asta există atât spații euclidiene finite, cât și infinite.

Definiția 2. Lungimea (modulul) vectorului x în spațiul euclidian En numit (xx)și notează-l astfel: |x| = (xx). Pentru orice vector din spațiul euclidianexistă o lungime, iar pentru vectorul zero este egal cu zero.

Înmulțirea nu vector nul X pe număr , obținem un vector, lungime care este egal cu unu. Această operație se numește raționalizarea vector X.

De exemplu, în spațiul matricelor cu o singură coloană, lungimea vectorului poate fi definit prin formula:

Inegalitatea Cauci-Bunyakovsky

Fie x? Ro și tu? En sunt oricare doi vectori. Să demonstrăm că pentru ei este valabilă următoarea inegalitate:

(Inegalitatea Cauci-Bunyakovsky)

Dovada. Lasa? - orice număr real. Este evident că (?x ? y,?x ? y) ? 0. Pe de altă parte, datorită proprietăților produsului scalar, putem scrie

Am inteles

Discriminantul acestui trinom pătrat nu poate fi pozitiv, adică. , din care urmează:

Inegalitatea a fost dovedită.

inegalitatea triunghiulară

Lăsa XȘi y sunt vectori arbitrari ai spațiului euclidian En , adică. X? ro și y? ro.

Să demonstrăm asta . (Inegalitatea triunghiulară).

Dovada. Este evident că Pe de alta parte,. Ținând cont de inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky, obținem

Inegalitatea triunghiului este dovedită.

Norma euclidiană a spațiului

Definiția 1 . spațiu liniar?numit metric, dacă este cazul două elemente ale acestui spaţiu XȘi y atribuit nenegativnumăr? (X y), numită distanța dintre XȘi y , (? (X y)? 0) șicondiții (axiome):

1) ? (X y) = 0 X = y

2) ? (X y) = ? (y,x)(simetrie);

3) pentru oricare trei vectori X, yȘi z acest spatiu? (X y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

Cometariu. Elementele unui spațiu metric sunt de obicei numite puncte.

Spațiul euclidian En este metric, în plus, ca distanță între vectorii x? ro si tu? En poate fi luat X ? y.

Deci, de exemplu, în spațiul matricelor cu o singură coloană, unde

prin urmare

Definiția 2 . spațiu liniar?numit normalizat, Dacă fiecare vector X din acest spațiu, un non-negativ l-a sunat numărul norma X. În acest caz, sunt îndeplinite următoarele axiome:

Este ușor de observat că un spațiu normat este un spațiu metric. proprietate. Într-adevăr, ca distanța dintre XȘi y poate lua . În euclidianăspațiu En ca normă a oricărui vector x? En este luat ca lungime, acestea. .

Deci, spațiul euclidian En este un spațiu metric și, în plus, spaţiul euclidian En este un spaţiu normat.

Unghiul dintre vectori

Definiția 1 . Unghiul dintre vectorii nenuli AȘi b spațiu euclidianE n numește numărul pentru care

Definiția 2 . Vectori XȘi y Spațiul euclidian En numit ortogonin, dacă satisfac egalitatea (X y) = 0.

Dacă XȘi y sunt diferite de zero, atunci din definiție rezultă că unghiul dintre ele este egal cu

Rețineți că vectorul nul este, prin definiție, considerat ortogonal oricărui vector.

Exemplu . În spațiul geometric (de coordonate)?3, care este un caz special de spatiu euclidian, orts i, jȘi k reciproc ortogonale.

Baza ortonormala

Definiția 1 . Baza e1,e2 ,...,en al spațiului euclidian En se numește ortogonin, dacă vectorii acestei baze sunt ortogonali pe perechi, i.e. Dacă

Definiția 2 . Dacă toți vectorii bazei ortogonale e1, e2 ,...,en sunt singuri, i.e. e i = 1 (i = 1,2,...,n) , atunci se numește baza ortonormal, adică Pentrubaza ortonormala

Teorema. (pe construcția unei baze ortonormale)

Fiecare spațiu euclidian E n are baze ortonormale.

Dovada . Să demonstrăm teorema cazului n = 3.

Fie E1 ,E2 ,E3 o bază arbitrară a spațiului euclidian E3 Să construim o bază ortonormalăin acest spatiu.Să punem unde ? - un număr real, pe care îl alegem noiastfel încât (e1 ,e2 ) = 0, atunci obținem

si evident ce? = 0 dacă E1 și E2 sunt ortogonale, adică. în acest caz e2 = E2 , și , deoarece este vectorul de bază.

Având în vedere că (e1 ,e2 ) = 0, obținem

Evident, dacă e1 și e2 sunt ortogonali cu vectorul E3, i.e. în acest caz ar trebui să se ia e3 = E3 . Vector E3? 0, pentru că E1, E2 și E3 sunt liniar independente,deci e3? 0.

În plus, din raționamentul de mai sus rezultă că e3 nu poate fi reprezentat în formă combinație liniară vectorii e1 și e2 , prin urmare vectorii e1 , e2 , e3 sunt liniar independențisims și sunt ortogonale în perechi, prin urmare, ele pot fi luate ca bază a euclidianuluispatiile E3 . Rămâne doar să normalizăm baza construită, pentru care este suficientîmpărțiți fiecare dintre vectorii construiți la lungimea sa. Apoi primim

Deci ne-am construit o bază este o bază ortonormală. Teorema a fost demonstrată.

Metoda aplicată de a construi o bază ortonormală dintr-un arbitrar se numește bază procesul de ortogonalizare . Rețineți că în timpul probeiteoremă, am stabilit că vectorii ortogonali pe perechi sunt liniar independenți. Cu exceptia dacă este o bază ortonormală în En , atunci pentru orice vector x? Enexistă o singură descompunere

unde x1 , x2 ,..., xn sunt coordonatele vectorului x în această bază ortonormală.

Deoarece

apoi înmulțind egalitatea scalară (*) cu, primim .

În cele ce urmează, vom lua în considerare numai bazele ortonormale și, prin urmare pentru ușurința de a le scrie, zerourile de deasupra vectorilor de bazăvom scăpa.

Corespunzător unui astfel de spațiu vectorial. În acest articol, prima definiție va fi luată ca fiind cea inițială.

N (\displaystyle n) Se notează spaţiul euclidian -dimensional E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),) notația este de asemenea folosită des (dacă din context reiese clar că spațiul are o structură euclidiană).

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ 04 - Algebră liniară. Spațiul euclidian

✪ Geometrie non-euclidiană. Prima parte.

✪ Geometrie non-euclidiană. Partea a doua

✪ 01 - Algebră liniară. Spațiu liniar (vector).

✪ 8. Spații euclidiene

Subtitrări

Definiție formală

Pentru a defini spațiul euclidian, este cel mai ușor de luat drept concept de bază al produsului scalar . Un spațiu vectorial euclidian este definit ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste câmpul numerelor reale, pe ai cărui vectori este dată o funcție cu valoare reală. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) cu următoarele trei proprietăți:

Exemplu de spațiu euclidian - spațiu de coordonate R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) constând din toate tuplurile posibile de numere reale (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n))),) produs scalar în care este determinat de formula (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Lungimi și unghiuri

Produsul scalar dat pe spațiul euclidian este suficient pentru a introduce conceptele geometrice de lungime și unghi. Lungimea vectorului u (\displaystyle u) definit ca (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))și notat | u | . (\displaystyle |u|.) Definitivitatea pozitivă a produsului interior garantează că lungimea unui vector diferit de zero este diferită de zero și din biliniaritate rezultă că | a u | = | a | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,) adică lungimile vectorilor proporționali sunt proporționale.

Unghiul dintre vectori u (\displaystyle u)Și v (\displaystyle v) este determinat de formula φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\dreapta).) Din teorema cosinusului rezultă că pentru un spațiu euclidian bidimensional ( plan euclidian) această definiție a unghiului coincide cu cea obișnuită. Vectorii ortogonali, ca în spațiul tridimensional, pot fi definiți ca vectori, unghiul dintre care este egal cu π 2 . (\displaystyle (\frac (\pi)(2)).)

Inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz și inegalitatea triunghiulară

Există un gol rămas în definiția unghiului dată mai sus: pentru a arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\right)) a fost definit, este necesar ca inegalitatea | (x, y) | x | | y | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Această inegalitate este într-adevăr satisfăcută într-un spațiu euclidian arbitrar, se numește inegalitatea  Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz. Din această inegalitate, la rândul său, rezultă inegalitatea triunghiulară: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) Inegalitatea triunghiului, împreună cu proprietățile de lungime enumerate mai sus, înseamnă că lungimea unui vector este o normă pe un spațiu vectorial euclidian, iar funcția d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definește structura unui spațiu metric pe spațiul euclidian (această funcție se numește metrica euclidiană). În special, distanța dintre elemente (puncte) x (\displaystyle x)Și y (\displaystyle y) spațiu de coordonare R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) dat de formula d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n)) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Proprietăți algebrice

Baze ortonormale

Spații duale și operatori

Orice vector x (\displaystyle x) Spațiul euclidian definește o funcție liniară funcțională x ∗ (\displaystyle x^(*)) pe acest spatiu, definit ca x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).) Această mapare este un izomorfism între spațiul euclidian și

§3. Dimensiunea și baza unui spațiu vectorial

Combinație liniară de vectori

Combinație liniară trivială și non-trivială

Vectori liniar dependenți și liniar independenți

Proprietățile spațiului vectorial asociate cu dependență liniară vectori

P-spațiu vectorial dimensional

Dimensiunea spațiului vectorial

Descompunerea unui vector în termeni de bază

§4. Trecerea la o nouă bază

Matrice de tranziție de la vechea bază la cea nouă

Coordonatele vectoriale într-o nouă bază

§5. Spațiul euclidian

Produs scalar

Spațiul euclidian

Lungimea (norma) vectorului

Proprietăți de lungime a vectorului

Unghiul dintre vectori

Vectori ortogonali

Baza ortonormala

§ 3. Dimensiunea și baza unui spațiu vectorial

Luați în considerare un spațiu vectorial (V, M, ∘) peste câmp R. Fie câteva elemente ale mulțimii V, adică vectori.

Combinație liniară vectori este orice vector egal cu suma produselor acestor vectori prin elemente arbitrare ale câmpului R(adică la scalari):

Dacă toți scalarii sunt egali cu zero, atunci se numește o astfel de combinație liniară banal(cel mai simplu) și .

Dacă cel puțin un scalar este diferit de zero, se numește combinația liniară nebanală.

Vectorii sunt numiți liniar independent, cu excepția cazului în care combinația liniară trivială a acestor vectori este:

Vectorii sunt numiți dependent liniar, dacă există cel puțin o combinație liniară netrivială a acestor vectori egală cu .

Exemplu. Luați în considerare mulțimea de seturi ordonate de cvadruple numere reale este un spațiu vectorial peste câmpul numerelor reale. Sarcină: aflați dacă vectorii sunt , Și dependent liniar.

Soluţie.

Să compunem o combinație liniară a acestor vectori: , unde sunt numere necunoscute. Cerem ca această combinație liniară să fie egală cu vectorul zero: .

În această egalitate, scriem vectorii ca coloane de numere:

Dacă există numere astfel încât această egalitate să fie valabilă și cel puțin unul dintre numere nu este egal cu zero, atunci aceasta este o combinație liniară netrivială și vectorii sunt dependenți liniar.

Să facem următoarele:

Astfel, problema se reduce la rezolvarea sistemului ecuatii lineare:

Rezolvând-o, obținem:

Rândurile matricelor extinse și de bază ale sistemului sunt egale și mai mic decât numărul necunoscut, prin urmare, sistemul are un număr infinit de soluții.

Să , atunci și .

Deci, pentru acești vectori există o combinație liniară non-trivială, de exemplu, la , care este egală cu vectorul zero, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt dependenți liniar.

Notăm câteva proprietățile spațiului vectorial legate de dependența liniară a vectorilor:

1. Dacă vectorii sunt dependenți liniar, atunci cel puțin unul dintre ei este o combinație liniară a celorlalți.

2. Dacă printre vectori există un vector zero, atunci acești vectori sunt dependenți liniar.

3. Dacă unii dintre vectori sunt dependenți liniar, atunci toți acești vectori sunt dependenți liniar.

Se numeste spatiul vectorial V P-spațiu vectorial dimensional dacă conţine P vectori liniar independenți și orice set de ( P+ 1) vectorii este dependent liniar.

Număr P numit dimensiunea spațiului vectorial, și este notat dim(V) din limba engleză „dimensiune” - dimensiune (măsurare, mărime, mărime, mărime, lungime etc.).

Agregat P vectori liniar independenți P-spațiul vectorial dimensional se numește bază.

Se numește formula (*) descompunere vectorială bază, și numerele – coordonate vectorialeîn această bază .

Pot exista mai multe baze sau chiar infinit de multe baze într-un spațiu vectorial. În fiecare bază nouă, același vector va avea coordonate diferite.

§ 4. Trecerea la o nouă bază

În algebra liniară, se pune adesea problema găsirii coordonatelor unui vector într-o bază nouă, dacă sunt cunoscute coordonatele acestuia din vechea bază.

Luați în considerare câteva P-spațiu vectorial dimensional (V, +, ) peste un câmp R. Să fie două baze în acest spațiu: vechi și nou .

Sarcină: găsiți coordonatele vectorului în noua bază.

Fie vectorii noii baze din vechea bază să aibă o descompunere:

,

Să scriem coordonatele vectorilor din matrice nu în rânduri, așa cum sunt scrise în sistem, ci în coloane:

Matricea rezultată se numește matricea de tranziție de la baza veche la cea nouă.

Matricea de tranziție relaționează coordonatele oricărui vector din bazele vechi și noi prin următoarea relație:

,

unde sunt coordonatele dorite ale vectorului în noua bază.

Astfel, problema găsirii coordonatelor vectorului în noua bază se reduce la rezolvare ecuația matriceală: , Unde X– matrice-coloană de coordonate vectoriale în vechea bază, A este matricea de tranziție de la vechea bază la cea nouă, X* este coloana-matrice dorită a coordonatelor vectoriale în noua bază. Din ecuația matriceală obținem:

Asa de, coordonate vectoriale într-o nouă bază se gasesc din egalitate:

.

Exemplu.În anumite baze, expansiunile vectorilor sunt date:

Găsiți coordonatele vectorului din baza .

Soluţie.

1. Scrieți matricea de tranziție la o nouă bază, de ex. scriem coordonatele vectorilor din vechea bază în coloane:

2. Găsiți matricea A –1:

3. Efectuați înmulțirea , unde sunt coordonatele vectorului:

Răspuns: .

§ 5. Spațiul euclidian

Luați în considerare câteva P-spațiu vectorial dimensional (V, +, ) peste câmpul numerelor reale R. Să fie o bază a acestui spațiu.

Să introducem în acest spațiu vectorial metric, adică Să definim o metodă de măsurare a lungimii și unghiurilor. Pentru a face acest lucru, definim noțiunea de produs scalar.