Diferențiabilitatea funcției. Diferenţialul unei funcţii Continuitatea unei funcţii diferenţiabile Conceptul de diferenţial a unei funcţii Sensul geometric al unei diferenţiale. Derivată Continuitatea derivatei

Fie definită funcția y = f(x) pe intervalul (a, 6). Să luăm o valoare x € (a, b). Să dăm lui x un increment ∆ oricare, dar astfel încât x + ∆ € (a, 6). Apoi funcția y \u003d f (x) va primi o definiție incrementală. O functie y = f(x) se numeste diferentiabila intr-un punct x £ (a, 6) daca incrementul functiei corespunzatoare incrementului Ax al argumentului poate fi reprezentat ca unde A este un numar care nu depinde de Ax (dar, in general, depinde Teorema 1. Pentru ca o functie y = fix) sa fie diferentiabila intr-un punct x, este necesar si suficient ca derivata f are fix) in acest punct. Necesitate. Fie funcția y = fix) diferențiabilă în punctul x. Să demonstrăm că fix derivată există în acest punct). Într-adevăr, din diferențiabilitatea funcției y = fix) în punctul x rezultă că incrementul funcției Dy corespunzător incrementului Dx al argumentului poate fi reprezentat sub forma Diferențiabilitate a funcției. Diferenţialul unei funcţii Continuitatea unei funcţii diferenţiabile Conceptul de diferenţial al unei funcţii sens geometric diferențială unde valoarea A pentru un punct dat x este constantă (nu depinde de. Prin teorema conexiunii unei funcții care are o limită, cu limita ei și o funcție infinitezimală, rezultă că se dovedește existența unei derivate. În același timp, am stabilit că Suficiența. Fie ca funcția într-un punct x să aibă o derivată finită / „(x). este aceea unde, atunci, Deoarece valoarea x) din partea dreaptă a formulei (2) nu depinde de, atunci egalitatea (2) demonstrează că funcția y \u003d / (x) este diferențiabilă într-un punct. Teorema 1 stabilește că pentru funcția / (x) diferențiabilitatea la un punct dat x și existența unei derivate finite în acest punct sunt concepte echivalente. Prin urmare, operația de găsire a derivatei unei funcții se mai numește și diferențierea acestei funcții. În cele ce urmează, când spunem că funcția /(x) are o derivată într-un punct dat, ne referim la prezența unei derivate finite, dacă nu se specifică altfel. 2.1. Continuitatea unei funcții diferențiabile Teorema 2. Dacă o funcție este diferențiabilă într-un punct dat x, atunci este continuă în acel punct. Într-adevăr, dacă funcția y = /(x) este diferențiabilă într-un punct x, atunci incrementul Dy a acestei funcție, corespunzător incrementului Dx al argumentului, poate fi reprezentat ca Diferenţialul unei funcţii Continuitatea unei funcţii diferenţiabile Conceptul de diferenţial al unei funcţii Sensul geometric al diferenţialului, care înseamnă, conform definiţiei, continuitatea funcţiei y = /(x) într-un punct dat x. Concluzia inversă nu este adevărată: continuitatea funcției /(x) la un moment dat x nu implică diferențiabilitatea funcției în acest punct. Exemplu. De exemplu, funcția /(x) = |x| este continuă în punctul x = 0, dar, după cum am arătat mai sus (, nu are derivată în punctul x = 0 și, prin urmare, nu este diferențiabilă în acest punct. Să dăm un alt exemplu. Exemplu. Funcția este continuă pe intervalul (-o#, +o#). Pentru tot x # 0 are o derivată, dar în punctul x = 0 nu are nici derivată a, nici drept absentă, deoarece valoarea dată nu are nici derivată a, nici drept absentă, nici în stânga limită. doar la un moment dat.Aşa credeau ei în secolul al XVIII-lea şi începutul XIX c., când s-a considerat că o funcție continuă poate să nu aibă o derivată cel mult într-un număr finit de puncte. Au fost construite exemple ulterioare (Bolzano, Weierstrass, Peano, Van der Waerden) de funcții continue pe intervalul [a, b\] și fără derivată în niciun punct al segmentului. Conceptul diferenţialului unei funcţii Fie funcţia y - /(x) diferenţiabilă într-un punct x, adică. incrementul D al acestei funcții, corespunzător incrementului Dx al argumentului, poate fi reprezentat ca Definiție. Dacă funcția y \u003d f (x) este diferențiabilă în punctul x, atunci partea de increment a funcției A Dx la Af 0 se numește diferențiabilă a funcției y \u003d f (x) și este notă cu simbolul dy sau df (x): ordin înalt decât A Dx. În cazul în care >1 = 0, diferența dy este considerată a fi egală cu zero. În virtutea teoremei I, avem A \u003d / "(x), astfel încât formula (5) pentru dy ia forma. Împreună cu conceptul de diferenţială a unei funcţii, este introdus şi conceptul de diferenţială dx a variabilei independente x, presupunând prin definiţie. Apoi formula pentru diferenţialul funcţiei y \u003d / (x) poate fi scrisă sub formă de sym, la rândul său, mai mult, la rândul ei, \u003. d Aceasta este o altă notație pentru derivată (notația i Leibniz), care poate fi considerată ca o fracție - raportul dintre diferența funcției dy și diferența argumentului dx. Să introducem încă un concept. Spunem că o funcție y = /(x) este diferențiabilă pe un interval (a, b) dacă este diferențiabilă în fiecare punct al acestui interval. Diferențiabilitatea funcției. Diferenţialul unei funcţii Continuitatea unei funcţii diferenţiabile Conceptul de diferenţială a unei funcţii Sensul geometric al unei diferenţiale Sensul geometric al unei diferenţiale Să avem o curbă dată de ecuaţia y = /(x), unde /(x) este diferenţiabilă în punctul x € (a, 6). Să desenăm o tangentă la această curbă în punctul M(x, y) și să marchem un alt punct M\ pe curbă cu abscisa x -f dx. După cum știți, / "(x) este panta tangentei, adică luați în considerare triunghiul MPQ (Fig. 8). Din figură se poate observa că. Astfel, diferența dy \u003d f "(x) dx a funcției y \u003d f (x) este incrementul în ordonata tangentei trasate la punctul de mișcare a curbei y (u003d)03 în absența x (u003d) punctul de contact cu punctul cu abscisa x + dx.

PROPRIETĂȚI ALE FUNCȚIILOR CONTINUE PE UN INTERVAL

Să luăm în considerare câteva proprietăți ale funcțiilor continue pe un interval. Prezentăm aceste proprietăți fără dovezi.

Funcţie y = f(x) numit continuu pe segment [A, b], dacă este continuă în toate punctele interne ale acestui segment, și la capetele acestuia, i.e. la puncte AȘi b, este continuă la dreapta și, respectiv, la stânga.

Teorema 1. O funcție continuă pe segmentul [ A, b], cel puțin într-un punct al acestui segment ia cea mai mare valoareși cel puțin într-unul - cel puțin.

Teorema afirmă că dacă funcția y = f(x) continuu pe segmentul [ A, b], atunci există cel puțin un punct x 1 Î [ A, b] astfel încât valoarea funcției f(x)în acest moment va fi cea mai mare dintre toate valorile sale de pe acest segment: f(x1) ≥ f(x). În mod similar, există un astfel de punct x2, în care valoarea funcției va fi cea mai mică dintre toate valorile de pe segment: f(x 1) ≤ f(x).

Este clar că pot exista mai multe astfel de puncte, de exemplu, figura arată că funcția f(x) acceptă cea mai mică valoareîn două puncte x2Și X 2 ".

cometariu. Afirmația teoremei poate deveni falsă dacă luăm în considerare valoarea funcției pe intervalul ( A, b). Într-adevăr, dacă luăm în considerare funcția y=x pe (0, 2), atunci este continuă pe acest interval, dar nu își atinge valorile maxime sau minime în el: atinge aceste valori la capetele intervalului, dar capetele nu aparțin regiunii noastre.

De asemenea, teorema încetează să fie adevărată pentru funcțiile discontinue. Dă un exemplu.

Consecinţă. Dacă funcţia f(x) continuu pe [ A, b], atunci este mărginit pe acest segment.

Teorema 2. Lasă funcția y = f(x) continuu pe intervalul [ A, b] și ia valori ale diferitelor semne la capetele acestui segment, atunci există cel puțin un punct în interiorul segmentului x=C, unde funcția dispare: f(C)= 0, unde a< C< b

Această teoremă are o semnificație geometrică simplă: dacă punctele graficului unei funcții continue y = f(x), corespunzătoare capetelor segmentului [ A, b] se află pe părțile opuse ale axei Bou, atunci acest grafic cel puțin într-un punct al segmentului intersectează axa Bou. Este posibil ca funcțiile discontinue să nu aibă această proprietate.

Această teoremă admite următoarea generalizare.

Teorema 3 (teorema valorilor intermediare). Lasă funcția y = f(x) continuu pe intervalul [ A, b] Și f(a) = A, f(b) = B. Apoi pentru orice număr Cîntre AȘi B, există un astfel de punct în interiorul acestui segment CÎ [ A, b], Ce f(c) = C.

Această teoremă este evidentă din punct de vedere geometric. Luați în considerare graficul funcției y = f(x). Lăsa f(a) = A, f(b) = B. Apoi orice linie y=C, Unde C- orice număr între AȘi B, intersectează graficul funcției cel puțin într-un punct. Abscisa punctului de intersecție va fi acea valoare x=C, la care f(c) = C.

Astfel, o funcție continuă, care trece de la una dintre valorile sale la alta, trece în mod necesar prin toate valorile intermediare. În special:

Consecinţă. Dacă funcţia y = f(x) este continuă pe un anumit interval și ia valorile cele mai mari și cele mai mici, apoi pe acest interval ia, cel puțin o dată, orice valoare între cele mai mici și cele mai mari valori ale sale.

DERIVAT ȘI APLICAȚIILE EI. DEFINIȚIE DERIVATĂ

Să avem o funcție y=f(x), definite pe un anumit interval. Pentru fiecare valoare de argument X din acest interval funcţia y=f(x) are un anumit sens.

Luați în considerare două valori ale argumentului: initial X 0 și nou X.

Diferență x–x 0 este numit increment al argumentului x la punct X 0 și notat Δx. Prin urmare, ∆x = x – x 0 (incrementul argumentului poate fi pozitiv sau negativ). Din această egalitate rezultă că x=x 0 +Δx, adică valoarea inițială a variabilei a primit o anumită creștere. Apoi, dacă la punct X 0 valoarea funcției a fost f(x 0 ), apoi la noul punct X funcția va lua valoarea f(x) = f(x 0 +∆x).

Diferență a-a 0 = f(x) – f(x 0 ) numit creșterea funcției y = f(x) la punct X 0 și este notat cu simbolul Δy. Prin urmare,

De obicei, valoarea inițială a argumentului X 0 este considerat fix iar noua valoare X- variabil. Apoi y 0 = f(x 0 ) se dovedeşte a fi constantă şi y = f(x)- variabil. incremente ΔyȘi Δx vor fi și variabile și formula (1) arată că Dy este o funcție a variabilei Δx.

Compuneți raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului

Să găsim limita acestei relații la Δx→0. Dacă această limită există, atunci se numește derivată a acestei funcții. f(x) la punct X 0 și notează f "(X 0). Asa de,

derivat această funcție y = f(x) la punct X 0 se numește limita raportului de creștere a funcției Δ y la incrementul argumentului Δ X când acesta din urmă tinde în mod arbitrar spre zero.

Rețineți că pentru aceeași funcție derivata în puncte diferite X poate lua valori diferite, de ex. derivata poate fi gândită ca o funcție a argumentului X. Aceasta functie este notata f "(X)

Derivatul este notat prin simboluri f "(X y ", . sens specific derivat la x = a notat f "(A) sau y "| x=a.

Operația de găsire a derivatei unei funcții f(x) se numeste diferentierea acestei functii.

Pentru a găsi direct derivata prin definiție, puteți aplica următoarele regula generală:

Exemple.

SENSUL MECANIC AL DERIVATULUI

Din fizică se știe că mișcare uniformă are forma s = v t, Unde s- calea parcursă până la punctul în timp t, v este viteza mișcării uniforme.

Cu toate acestea, din moment ce majoritatea mișcărilor care apar în natură sunt inegale, apoi, în general, viteza și, în consecință, distanța. s va depinde de timp t, adică va fi o funcție de timp.

Deci, lăsați punctul material să se miște în linie dreaptă într-o direcție conform legii s=s(t).

Observați un moment în timp t 0 . Până în acest moment, punctul a depășit poteca s=s(t 0 ). Să stabilim viteza v punct material la timp t 0 .

Pentru a face acest lucru, luați în considerare un alt moment în timp t 0 + Δ t. Ea corespunde distanței parcurse s =s(t 0 + Δ t). Apoi pentru intervalul de timp Δ t punctul a parcurs calea Δs =s(t 0 + Δ t)–Sf).

Să luăm în considerare relația. Se numește viteza medie în intervalul de timp Δ t. Viteza medie nu poate caracteriza cu exactitate viteza de mișcare a unui punct în acest moment t 0 (deoarece mișcarea este inegală). Pentru a exprima mai precis această viteză adevărată folosind viteza medie, trebuie să luați un interval de timp mai mic Δ t.

Deci, viteza de mișcare la un moment dat t 0 (viteza instantanee) este limita vitezei medii în intervalul de la t 0 la t 0 +Δ t când Δ t→0:

,

acestea. viteza de mișcare neuniformă este derivata distantei parcurse in raport cu timpul.

SENSUL GEOMETRIC AL DERIVATULUI

Să introducem mai întâi definiția unei tangente la o curbă într-un punct dat.

Să avem o curbă și un punct fix pe ea M 0(vezi figura) Luați în considerare un alt punct M aceasta curba si traseaza o secanta M 0 M. Dacă punct Mîncepe să se miște de-a lungul curbei și punctul M 0 rămâne staționar, secanta își schimbă poziția. Dacă, cu o aproximare nelimitată a punctului M curbă la punct M 0 pe orice parte, secanta tinde să ia poziția unei anumite linii drepte M 0 T, apoi linia dreaptă M 0 T se numeste tangenta la curba in punctul dat M 0.

Acea., tangentă la curba la un punct dat M 0 numită poziție limită a secantei M 0 M când punctul M tinde de-a lungul curbei către un punct M 0.

Luați în considerare acum funcția continuă y=f(x) iar curba corespunzătoare acestei funcţii. Pentru o oarecare valoare X Funcția 0 ia o valoare y0=f(x0). Aceste valori X 0 și y 0 pe curbă corespunde unui punct M0 (x 0; y 0). Să dăm un argument x0 increment Δ X. Noua valoare a argumentului corespunde valorii incrementate a funcției y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ X). Primim un punct M(x 0+Δ X; y 0+Δ y). Să desenăm o secanta M 0 M si notam cu φ unghiul format de secanta cu directia pozitiva a axei Bou. Să facem o relație și să observăm că .

Dacă acum Δ X→0, deci, datorită continuității funcției Δ la→0 și, prin urmare, punctul M, deplasându-se de-a lungul curbei, se apropie la infinit de punct M 0. Apoi secanta M 0 M va tinde să ia poziția unei tangente la curbă în punct M 0, iar unghiul φ→α la Δ X→0, unde α reprezintă unghiul dintre tangentă și direcția pozitivă a axei Bou. Deoarece funcția tg φ depinde continuu de φ la φ≠π/2, atunci la φ→α tg φ → tg α și, prin urmare, panta tangentei va fi:

acestea. f"(x)= tgα .

Astfel, geometric y "(x 0) reprezintă panta tangentei la graficul acestei funcţii în punct x0, adică pentru o valoare dată a argumentului X, derivata este egala cu tangentei unghiului format de tangenta la graficul functiei f(x)în punctul corespunzător M0 (x; y) cu direcția pozitivă a axei Bou.

Exemplu. Aflați panta tangentei la curbă y = x 2 la punct M(-1; 1).

Am văzut deja că ( X 2)" = 2X. Dar panta tangentei la curbă este tg α = y„| x=-1 = - 2.

DIFERENȚIABILITATEA FUNCȚIILOR. CONTINUITATEA UNEI FUNCȚII DIFERENȚIABILE

Funcţie y=f(x) numit diferentiabil la un moment dat X 0 dacă are o anumită derivată în acest moment, i.e. dacă limita relaţiei există şi este finită.

Dacă o funcție este diferențiabilă în fiecare punct al unui segment [ A; b] sau interval ( A; b), apoi spun că asta diferentiabil pe segmentul [ A; b] sau, respectiv, în intervalul ( A; b).

Este valabilă următoarea teoremă, care stabilește o legătură între funcțiile diferențiabile și continue.

Teorema. Dacă funcţia y=f(x) diferentiabil la un moment dat x0, atunci este continuă în acest moment.

Astfel, diferențiabilitatea unei funcții implică continuitatea acesteia.

Dovada. Dacă , Acea

,

unde α este o valoare infinitezimală, i.e. cantitate care tinde spre zero la Δ X→0. Dar apoi

Δ y=f "(x0) Δ X+αΔ X=> Δ y→0 la Δ X→0, adică f(x) – f(x0)→0 la X→X 0 , ceea ce înseamnă că funcția f(x) continuu la un punct X 0 . Q.E.D.

Astfel, în punctele de discontinuitate, funcția nu poate avea o derivată. Reversul nu este adevărat: există funcții continue, care nu sunt diferențiabile în anumite puncte (adică nu au o derivată în aceste puncte).

Luați în considerare punctele din figură a, b, c.

La punctul A la Δ X→0 relația nu are limită (deoarece limitele unilaterale sunt diferite pentru Δ X→0–0 și Δ X→0+0). La punctul A graficul nu are o tangentă definită, dar există două tangente unilaterale diferite cu pante La 1 și La 2. Acest tip de punct se numește punct de colț.

La punctul b la Δ X→0 raportul este de semn constant valoare infinit mare . Funcția are o derivată infinită. În acest moment, graficul are o tangentă verticală. Tip de punct - „punct de inflexiune” cu o tangentă verticală.

La punctul c derivatele unilaterale sunt cantități infinit de mari de semne diferite. În acest moment, graficul are două tangente verticale îmbinate. Tip - "cuspid" cu tangentă verticală - caz special punct de colt.

O functie y=f(x) se numeste diferentiabila intr-un punct x 0 daca are o derivata definita in acel punct, i.e. dacă limita relaţiei există şi este finită.

Dacă funcția este diferențiabilă în fiecare punct al unui segment [a; b] sau intervalul (a; b), atunci se spune că este diferențiabilă pe segmentul [a; b] sau, respectiv, în intervalul (a; b).

Este valabilă următoarea teoremă, care stabilește o legătură între funcțiile diferențiabile și continue.

Teorema. Dacă funcția y=f(x) este diferențiabilă într-un anumit punct x 0 , atunci este continuă în acel punct.

Astfel, diferențiabilitatea unei funcții implică continuitatea acesteia.

Dovada. Daca atunci

unde b este o valoare infinitezimală, i.e. cantitate tinde spre zero la Ax>0. Dar apoi

Dy=f „(x 0) Dx+bDx=> Dy>0 pentru Dx>0, adică f(x) - f(x 0)>0 pentru x>x 0,

iar aceasta înseamnă că funcția f(x) este continuă în punctul x 0 . Q.E.D.

Astfel, în punctele de discontinuitate, funcția nu poate avea o derivată. Afirmația inversă nu este adevărată: există funcții continue care nu sunt diferențiabile în anumite puncte (adică nu au o derivată în aceste puncte).

Luați în considerare punctele a, b, c din figură.

La punctul a, când Dx>0, relația nu are limită (deoarece limitele unilaterale sunt diferite pentru Dx>0-0 și Dx>0+0). Nu există o tangentă definită în punctul A pe grafic, dar există două tangente unilaterale diferite cu pante de 1 și 2 . Acest tip de punct se numește punct de colț.

În punctul b pentru Dx>0, raportul este o valoare infinit de mare constantă de semn. Funcția are o derivată infinită. În acest moment, graficul are o tangentă verticală. Tip punct - „punct de inflexiune” cu tangentă verticală.

În punctul c, derivatele unilaterale sunt cantități infinit de mari de semne diferite. În acest moment, graficul are două tangente verticale îmbinate. Tip - "cusp" cu o tangentă verticală - un caz special al unui punct de colț.

1. Se consideră funcția y=|x|. Această funcție este continuă în punct

Să arătăm că nu are nicio derivată în acest moment.

f(0+Dx) = f(Dx) = |Dx|. Prin urmare, Dy = f(Dx) - f(0) = |Dx|

Dar apoi pentru Dx< 0 (т.е. при Дx стремящемся к 0 слева)

Și când Dx > 0

Astfel, relația pentru Dx> 0 are limite diferite la dreapta și la stânga, ceea ce înseamnă că relația nu are limită, i.e. derivata functiei y=|x| în punctul x= 0 nu există. Din punct de vedere geometric, aceasta înseamnă că în punctul x= 0 această „curbă” nu are o tangentă definită (sunt două în acest punct).

2. Funcția este definită și continuă pe întreaga linie reală. Să aflăm dacă această funcție are o derivată la x= 0.

Prin urmare, funcția luată în considerare nu este diferențiabilă în punctul x= 0. Tangenta la curbă în acest punct formează un unghi p/2 cu axa x, adică. coincide cu axa y.

Teorema: Dacă funcţia y = f(X) este diferențiabilă la un moment dat X = X 0, atunci este continuă în acest moment.

Astfel, în punctele de discontinuitate, funcția nu poate avea o derivată. Concluzia inversă este falsă, adică. din faptul că la un moment dat X = X 0 functie y = f(X) este continuă, nu rezultă că este diferențiabilă în acest punct. De exemplu, funcția y = |X| continuu pentru toti X (–Ґ< X < Ґ), но в точке X= 0 nu are derivată. În acest moment, nu există nicio tangentă la grafic. Există o tangentă dreaptă și o tangentă stângă, dar nu se potrivesc.

Derivat functie complexa

Teorema: Fie ca o funcție, definită și continuă într-o vecinătate, să aibă o derivată într-un punct. Funcția este definită și continuă în vecinătatea unde , și are o derivată în punctul . Atunci funcția complexă are o derivată într-un punct și

.

unde și - b.m.f. Apoi

Și , Unde b.m.f. la punctul .

28. Derivată a sumei, a produsului și a câtului a două funcții.

Derivată a sumei (diferenței) funcțiilor

Derivata sumei algebrice a functiilor este exprimata prin urmatoarea teorema.

Derivată a sumei (diferența) două funcții diferențiabile este egală cu suma (diferența) derivatelor acestor funcții:

Derivata unei sume algebrice finite de funcții diferențiabile este egală cu aceeași sumă algebrică a termenilor derivați. De exemplu,

Derivată a produsului de funcții.

Lăsa u(x) Și u(x) sunt funcții diferențiabile. Apoi produsul funcțiilor u(x)v(x) de asemenea diferenţiabile şi

Derivata produsului a doua functii nu este egala cu produsul derivatelor acestor functii.

Derivată de funcții de coeficient.

Lăsa u(x) Și u(x) sunt funcții diferențiabile. Atunci dacă v(x) ≠ 0 , atunci derivata coeficientului acestor funcții se calculează prin formula

29. Derivată a funcției inverse. Derivată a unei funcții dată parametric.

TEOREMA (derivata functiei inverse)

Fie o funcție continuă, strict monotonă (crescătoare sau descrescătoare) pe un segment și având o derivată într-un punct . Atunci funcția inversă are o derivată în punctul și

.

DOC.

= .

Teorema. (derivată a unei funcții dată parametric) Lasă funcția x = φ(t) Are funcție inversă t = Ф(x). Dacă funcţiile x=φ(t) ,y = ψ(t) diferenţiabilă şi φ"(t) ≠ 0 , Apoi

Dovada

Din moment ce funcţia x = φ(t) are o funcție inversă, atunci formal y poate fi exprimat în termeni de X : y = ψ(Ф (x)) . Din moment ce funcţia x = φ(t) diferentiabil, atunci Teorema 5, funcție t = Ф(x) de asemenea diferențiabile.

Folosind regulile de diferențiere, obținem ctd

O formulă similară poate fi obținută pentru derivata a doua y"" x :

În sfârșit, obținem

30. Derivate de ordin superior. formula Leibniz.

Dacă f este definită pe intervalul (a,b)®R, dif-ma în punctul xн(a,b) atunci pe (a,b) optiune noua f ’ :(a,b)®R a cărui valoare în punctul x=f ’ (X). funcția f ’ poate avea în sine o derivată (f ’ )’ : pe (a,b)®R se numește derivata a doua a lui f față de funcția originală și se notează cu f ” (x), d 2 f(x)/dx 2 sau f ” xx(x),f ” x 2 (x); AOD. Dacă derivata f (n -1) (x) de ordinul n-1 din f este definită, atunci derivata de ordinul n este determinată de formula f (n) (x)=(f n -1))’(x). Denumirea f (n) (x)=d n f(x)/dx n este acceptată pentru aceasta – f-la Leibniz, f (0) (x):=f(x).

31. Conceptul de diferențiabilitate a unei funcții și prima diferenţială. Condiție necesară și suficientă pentru diferențiere.

1.Funcție diferențială y = f(x)

dy=f"(X)D X.

Rețineți că diferența unei variabile independente este egală cu incrementul acestei variabile dx = D x. Prin urmare, formula diferențială este de obicei scrisă sub următoarea formă:

2. Diferențiabilitate. O funcție se numește diferențiabilă într-un punct x dacă incrementul ei ∆y în acest punct poate fi reprezentat ca: ∆y=A∆x + α(∆x) ∆x, unde A nu depinde de ∆x, α și α(∆x) este o funcție infinitezimală față de ∆x→0 ca ∆x.

32. Semnificația geometrică a derivatei și diferențialei. Tangenta si normala la grafic.

Fie definită f pe (a,b) și continuă în punctul x 0 н(a,b), fie y 0 =f(x 0), M 0 (x 0 ,y 0); x 0 +DxО(a,b), Dy=f(x 0 +Dx)-f(x 0), M(x 0 +Dx, y 0 +Dy). M 0 M: y=k(x-x 0)+y 0 (1),

1 ) Dacă $ con. limit lim D x ® 0 k(Dx)=k 0 atunci se numește linia y=k 0 (x-x 0)+y 0 (2).

(oblică) tangentă la graficul f în punctul (x 0 ,y 0);

2 ) Dacă $ limită infinită

lim D x ® 0 k(Dx)=¥, atunci linia x=x 0 este tangenta verticală la grafic în punctul (x 0, y 0);

La х=х 0 (2) – poziția limită (1) adică. poziția limită a secantei M 0 M

Dх®0 este tangenta y=f(x) în punctul x 0 , deoarece lim D x ® 0 k(Dx)=lim D x ® 0 Dy/Dx=f ’ (x 0) apoi ecuația

tangenta are forma y=f ’ (x 0)(x-x 0)+ y 0 , unde y 0 =f(x 0) (3). Din 3 obținem că derivata în punctul x 0 \u003d tga, a este unghiul dintre tangentă și axa Ox, primul termen f ’ (x0)(x-x0)=f ’ (x 0)Dx, Dx=x-x 0 este diferența dy în punctul x 0 Þ y-y 0 =dy astfel diferența funcției este egală cu incrementul ordonatei tangentei în punctul corespunzător din grafic.

3 )Dacă lim D x ® 0 Dy/Dx=¥, atunci tangenta este dreapta x=x 0 în timp ce în punctul x 0 este infinită. derivatul poate exista sau nu.

33. Invarianța formei primului diferențial. Diferențiale de ordin superior, neinvarianța formei lor în cazul general.

Diferențiale de ordin superior . Diferenţiala diferenţialului de ordinul întâi dy=f’(x)dx a funcţiei y=f(x) (considerată doar ca f-și variabilă x adică incrementul argumentului x (dx) se ia constant, cu conditia ca incrementul repetat al variabilei x sa coincida cu cel initial) se numeste a doua diferenta AOD. Diferenţialul de ordinul al n-lea n=1,2... se numeşte diferenţialul diferenţialului de ordinul n-1, cu condiţia ca aceleaşi incremente ale lui dx, independente de x, să fie luate în diferenţial. d n f(x)=d(d n -1 f(x)) nu este greu de observat că d n f(x)=f (n) (x)dx n (dx n =(dx) n) Þ f (n) (x)=d n f(x)/dx n .

Neinvarianța formei diferenţialului de ordin mai mare decât primul

Luați în considerare cazul în care x nu este o variabilă independentă, ci o funcție a unei alte variabile

Acum, în partea dreaptă a formulei (3) din variabilă u depinde nu numai de funcție f(X), dar și diferenţialul dx. Prin urmare

Comparând formulele (2) și (4), vedem că diferențialele de ordinul doi (și de ordinul superior) nu au invarianță de formă.

34. Extreme ale funcției. Conditiile necesare extremum (teorema lui Fermat).

puncte extremum

Extremum- maxim sau minim valoarea unei funcții dintr-o mulțime dată. Punctul în care se atinge extremul se numește punctul extremum. În consecință, dacă se atinge un minim, se numește punctul extremum punct minim, iar dacă maxim punct maxim. ÎN analiză matematică evidențiază și conceptul extremul local (respectiv minim sau maxim).

Punct X 0 se numește punct de maxim (minim) local strict al funcției f (X) dacă pentru toate valorile argumentului dintr-un δ suficient de mic - vecinătate a punctului X 0

f (X) < f (X 0) (f (X) > f (X 0))

la X ≠ X 0 .
maxim local şi minim local sunt unite prin denumirea comună extremum. Din definiție rezultă că conceptul de extremum este local în sensul că inegalitatea f (X) < f (X 0) (f (X) > f (X 0)) poate să nu fie valabil pentru toate valorile Xîn domeniul definirii funcției, dar trebuie satisfăcută numai într-o anumită vecinătate a punctului X 0 .

Teorema. Dacă funcția la un moment dat x = x 0 are o derivată (finită). , Acea

1) incrementul funcției poate fi reprezentat ca

sau, pe scurt, , Unde A este o cantitate care depinde de D Xși tinde spre zero împreună cu acesta, adică. ;

2) funcția este neapărat continuă în acest punct.

Dovada. 1) Conform definiției derivatei, . Folosind teorema privind reprezentarea unei funcții care are o limită ca sumă a acestei limite și una infinitezimală, scriem

, Unde .

Determinând de aici D y, ajungem la formula (3.6).

2) Pentru a demonstra continuitatea funcției, se consideră expresia (3.6). La D X®0 suma din partea dreaptă a lui (3.6) dispare. Prin urmare, , sau , ceea ce înseamnă că funcția la punctul X 0 este continuu.

Din teorema demonstrată rezultă că o funcție care are o derivată într-un punct dat va fi continuă în acel punct. Totuși, o funcție continuă într-un punct dat nu are întotdeauna o derivată în acel punct. Da, la punct X 0 = 1 functie y=|X– 1| este continuă, dar nu are nicio derivată în acest moment. Aceasta înseamnă că această condiție este doar necesară.

Derivată a unei funcții compuse

Teorema. Fie 1) funcția v=j(X) are la un moment dat X derivată , 2) funcţie y=f(v) are în punctul corespunzător v derivată Apoi funcția complexă y = f(j(X)) la punctul menționat X va avea și o derivată egală cu produsul funcțiilor derivate f(v) Și j(X): [f(j(X)) ]" = sau mai scurt

Dovada. Să dăm X increment arbitrar Δ X; fie Δ v este incrementul corespunzător funcției v=j(X) și în final Δ la– creșterea funcției y=f(v) cauzată de incrementul Δ v. Să folosim relația (3.6), care, prin înlocuire X pe v, rescrie în formă (A depinde de Δ vși tinde spre zero cu ea. Împărțindu-l termen cu termen în D X, primim

.

Daca D X tind spre zero, atunci, conform (3.6) (cu condiția ca y = v), va tinde spre zero și Δ v, și apoi, după cum știm, dependenta de Δ v magnitudinea A. Prin urmare, există o limită

care este derivatul dorit.

Prin urmare, derivata unei funcții complexe este egală cu produsul dintre derivata funcției exterioare și derivata funcției interioare.

Cazul unei funcţii complexe obţinute în urma mai multor suprapuneri se epuizează prin aplicarea succesivă a regulii (3.7). Astfel, dacă y = f(u), u = j(v), v = y(X), Acea

Exemple. 1. Lasă y= Buturuga A păcat X,cu alte cuvinte, y= Buturuga un v, Unde v= păcat X. Conform regulii (3.7)

2. , adică y = UE,u=v 2 , v= păcat X. Conform regulii (3.8)

1.7. Derivata este exponentiala– functie de putere

Lăsa u = u(X) > 0 și v=v(X) sunt funcții care au derivate la un punct fix X. Să găsim derivata funcției y = u v. Luând logaritmul acestei egalități, obținem: ln y=v ln u.

Să diferențiem ambele părți ale acestei egalități în ceea ce privește X:

.

De aici, sau

Astfel, derivata unei functii de putere exponentiala este formata din doi termeni: primul termen se obtine daca, la diferentiere, presupunem ca Și există o funcție de la X, A v este o constantă (adică luați în considerare u v ca funcție de putere); Al doilea termen se obține presupunând că v există o funcție de la X, A u = const(adică luați în considerare u v ca funcţie exponenţială).

Exemple. 1. Dacă y = x tg x, apoi, presupunând u=x,v = tg x, conform (3.9) avem

= tg x x tg x – 1 + x tg x ln X sec 2 X.

Tehnica folosită în acest caz pentru găsirea derivatei și constând în găsirea mai întâi a derivatei logaritmului funcției luate în considerare este utilizată pe scară largă în diferențierea funcțiilor: la găsirea derivatei unei funcții, aceste funcții sunt mai întâi logaritmizate, iar apoi din egalitatea obținută după diferențierea logaritmului funcției, se determină derivata funcției. O astfel de operație se numește diferențierea logaritmică.

2. Este necesar să se găsească derivata funcției

.

Luând logaritmi, găsim:

ln y= 2ln( x + 1) + ln( X– 1) – 3 ln( x + 4) – X.

Diferențiem ambele părți ale ultimei egalități:

.

Înmulțirea cu lași înlocuirea în loc de la, primim.