Determinarea punctului de maxim și minim local. Cum să găsiți extremul (punctele minime și maxime) ale unei funcții. Metode de examinare a unei funcții

Un algoritm simplu pentru găsirea extremelor...

• Găsirea derivatei unei funcții
• Echivalează această derivată cu zero
• Găsim valorile variabilei expresiei rezultate (valorile variabilei la care derivata este convertită la zero)
• Împărțim linia de coordonate în intervale cu aceste valori (în același timp, nu ar trebui să uităm de punctele de întrerupere, care trebuie aplicate și liniei), toate aceste puncte sunt numite puncte „suspecte” pentru extremum
• Calculăm pe care dintre aceste intervale derivata va fi pozitivă și pe care va fi negativă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea din interval în derivată.

Dintre punctele suspectate de un extremum, este necesar să se găsească exact . Pentru a face acest lucru, ne uităm la golurile noastre pe linia de coordonate. Dacă, la trecerea printr-un punct, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci acest punct va fi maxim, iar dacă de la minus la plus, atunci minim.

Pentru a găsi cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții, trebuie să calculați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele extreme. Apoi alegeți cea mai mare și cea mai mică valoare.

Luați în considerare un exemplu
Găsim derivata și o echivalăm cu zero:

Aplicăm valorile obținute ale variabilelor la linia de coordonate și calculăm semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Ei bine, de exemplu, pentru prima luare-2 , atunci derivata va fi-0,24 , pentru a doua luare0 , atunci derivata va fi2 , iar pentru al treilea luăm2 , atunci derivata va fi-0,24. Punem jos semnele potrivite.

Vedem că la trecerea prin punctul -1, derivata își schimbă semnul din minus în plus, adică va fi un punct minim, iar la trecerea prin 1, respectiv din plus în minus, acesta este un punct maxim.

Valorile funcției și punctele maxime și minime

Cea mai mare valoare a funcției

Cea mai mică valoare a funcției

După cum a spus nașul: „Nimic personal”. Numai derivate!

Sarcina 12 din statistici este considerată destul de dificilă și totul pentru că băieții nu au citit acest articol (glumă). În cele mai multe cazuri, nepăsarea este de vină.

12 sarcina este de două tipuri:

1. Găsiți punctul înalt/jos (solicitat să găsească valorile „x”).
2. Găsiți cea mai mare/cea mai mică valoare a unei caracteristici (se solicită să găsească valorile „y”).

Găsiți punctul înalt/jos

1. Echivalează-l cu zero.
2. S-a găsit sau a găsit „x” și vor fi punctele minime sau maxime.
3. Determinați semnele utilizând metoda intervalului și selectați ce punct este necesar în sarcină.

Sarcini cu examen:

Găsiți punctul maxim al funcției

• Luăm derivata:

Găsiți punctul minim al funcției

• Transformați și luați derivata:

• Grozav! În primul rând, funcția scade, apoi crește - acesta este punctul minim!

Găsiți cea mai mare / cea mai mică valoare a unei funcții

1. Luați derivata funcției propuse.
   
2. Echivalează-l cu zero.
   
3. „x” găsit va fi punctul minim sau maxim.
   
4. Determinați semnele utilizând metoda intervalului și selectați ce punct este necesar în sarcină.
5. În astfel de sarcini, un decalaj este întotdeauna stabilit: x-urile găsite în paragraful 3 trebuie incluse în acest decalaj.
6. Înlocuind în ecuația originală punctul maxim sau minim rezultat, obținem cea mai mare sau cea mai mică valoare a funcției.

Sarcini cu examen:

Găsi cea mai mare valoare funcții pe intervalul [−4; −1]

Răspuns: -6

Găsiți cea mai mare valoare a funcției de pe segment

• Cea mai mare valoare a funcției este „11” în punctul maxim (pe acest segment) „0”.

Raspuns: 11

Concluzii:

1. 70% dintre greșeli sunt că băieții nu-și amintesc la ce ca răspuns cea mai mare / cea mai mică valoare a funcției de care trebuie să scrieți „y”, și pe scrieți punctul maxim/minim „x”.
2. Are derivata o soluție la găsirea valorilor funcției? Nu contează, înlocuiți punctele extreme ale decalajului!
3. Răspunsul poate fi întotdeauna scris ca număr sau zecimal. Nu? Apoi schimbați exemplul.
4. În majoritatea sarcinilor se va obține un punct și va fi justificată lenea noastră de a verifica maximul sau minimul. Avem un punct - puteți scrie în siguranță ca răspuns.
5. Si aici cu căutarea valorii unei funcții, nu ar trebui să faci asta! Asigurați-vă că acesta este punctul dorit, altfel valorile extreme ale decalajului pot fi mai mari sau mai mici.

Maximul ar trebui să fie numit cel mai mult număr mare sau cea mai mare limită care poate fi atinsă. Minimul este, după cum știm cu toții foarte bine, exact opusul maximului, adică. este cel mai mic număr și cea mai mică limită. Cuvintele minim și maxim, precum și derivatele lor, se găsesc în expresii și expresii precum:

Profitați la maximum de comunicare.

Pentru a învăța o poezie, trebuie să o citești de cel puțin 3-4 ori.

Cel mai mult poate face este...

Au cel puțin doi prieteni comuni.

A luat cel mai mare punctaj.

Profită la maximum de oportunitățile tale!

Acesta este minimul pe care trebuie să-l știți.

Salariul de trai.

Presiunea atmosferică minimă.

Minim/maxim rece timp de ….. ani.

Veți avea nevoie de cel puțin câteva ore pentru a finaliza această lucrare.

Concepte precum maxim și minim pot fi găsite și în termeni științifici speciali. De exemplu, în matematică există un astfel de concept ca maxim și minim al unei funcții.

Astfel, maximul la matematică este cea mai mare valoare a unei funcții. În acest caz, valoarea maximă a funcției este mai mare decât toate valorile adiacente acesteia. Maximul unei funcții este valoarea acesteia atunci când valoarea crește mai întâi și apoi începe imediat să scadă, în timp ce are un maxim în locul în care creșterea și scăderea funcției trec de la una la alta. Minimul unei funcții este, în consecință, cea mai mică valoare a funcției.

Prima derivată a unei funcții poate fi considerată pozitivă, dacă crește atunci când creștem variabila, atunci funcția poate fi considerată pozitivă. Dacă prima variabilă scade odată cu creșterea derivatei, atunci funcția ar trebui considerată negativă.

Derivata este principala valoare utilizată în calculele diferențiale (studiul derivatei și diferențialei, care ajută la studiul funcțiilor matematice), poate fi înțeleasă ca rata de schimbare a unei funcții într-un anumit punct. Cu cât viteza este mai mare, cu atât funcția se schimbă mai puternică, cu atât mai mică, cu atât mai lent (totuși, acest lucru este adevărat numai dacă funcția este pozitivă). Astfel, rata de schimbare a unei funcții la un punct dat este cea care determină pantele și umflăturile acesteia. O variabilă este o cantitate care își poate schimba valoarea. Este notat cu x sau timp.

O variabilă poate fi considerată un atribut al unui sistem (atât fizic, cât și abstract) care își poate schimba valoarea. Într-un sens mai global, o variabilă poate fi numită atât timp, cât și temperatură și, în general, toată viața (se pot schimba). O variabilă are multe valori pe care le poate prelua. Putem presupune că această mulțime este o variabilă.

În ceea ce privește funcția în sine, aceasta trebuie să treacă de la valoarea pozitivă la valoarea negativă prin zero. Astfel, la valoarea variabilei, care corespunde maximului funcției, derivata acesteia va fi egală cu zero. Această proprietate a funcției face posibilă determinarea valorilor lui x la care funcția atinge maximul. Totuși, dacă creștem variabila și, în același timp, funcția crește mai întâi și apoi scade, apoi funcția, la schimbarea de la valoare negativă la unul pozitiv (trecând prin zero), nu va atinge maximul, ci, dimpotrivă, valoarea minimă. Deși, logic, aceasta ar putea fi luată ca valoare maximă (este în partea de sus a funcției).

Punctele maxime și minime ale unei funcții sunt numite și puncte extreme.

Astfel, atât în ​​viața obișnuită, cât și în matematică, maximul și minimul sunt două extreme opuse care denotă ceva cel mai mare și ceva cel mai mic.

Se consideră funcția y = f(x), care este considerată pe intervalul (a, b).

Dacă este posibil să se specifice o astfel de b-vecinătate a punctului x1 aparținând intervalului (a, b) încât pentru tot x (x1, b) să fie satisfăcută inegalitatea f(x1) > f(x), atunci y1 = f1(x1) se numește functia maxima y = f(x) vezi fig.

Maximul funcției y = f(x) se notează cu max f(x). Dacă este posibil să se specifice o vecinătate de 6 a punctului x2 aparținând intervalului (a, b) astfel încât pentru tot x să aparțină lui O(x2, 6), x nu este egal cu x2, inegalitatea f(x2)< f(x) , atunci y2= f(x2) se numește minimul funcției y-f(x) (vezi Fig.).

Un exemplu de găsire a maximului, vezi următorul videoclip

Caracteristică minimă

Minimul funcției y = f(x) se notează cu min f(x). Cu alte cuvinte, maximul sau minimul unei funcții y = f(x) numit valoarea sa, care este mai mare (mai mică) decât toate celelalte valori luate în puncte suficient de apropiate de cea dată și diferite de aceasta.

Observația 1. Caracteristica maximă, determinat de inegalitate se numește maxim strict; Maximul nestrict este definit de inegalitatea f(x1) > = f(x2)

Observația 2. au un caracter local (acestea sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției într-o vecinătate suficient de mică a punctului corespunzător); minimele individuale ale unei anumite funcții pot fi mai mari decât maximele aceleiași funcție

Ca rezultat, se apelează maximul (minimul) al funcției maxim local(minimum local) în contrast cu maximul absolut (minimul) - cea mai mare (cea mai mică) valoare din domeniul funcției.

Maximul și minimul unei funcții se numește extremum. . Extreme în găsire pentru funcții de trasare

latin extremum înseamnă „extrem” sens. Valoarea argumentului x, la care se atinge extremul, se numește punctul extremum. Condiția necesară pentru un extremum este exprimată prin următoarea teoremă.

Teorema. În punctul de extremum al funcției diferențiabile și derivata ei este egală cu zero.

Teorema are o simplă sens geometric: tangenta la graficul funcției diferențiabile în punctul corespunzător este paralelă cu axa x

Din acest articol, cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în practică. Studiul unui astfel de concept este extrem de important pentru înțelegerea elementelor de bază matematică superioară. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.

In contact cu

Ce este o extremă?

ÎN curs şcolar sunt date multe definiții ale conceptului de „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.

Extremul este atât valoarea minimă a funcției, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe în care este utilizat acest concept:

• statistici;
• controlul mașinii;
• econometrie.

Punctele extreme joacă un rol important în determinarea secvenței funcţie dată. Sistemul de coordonate de pe grafic arată cel mai bine schimbarea poziției extreme în funcție de schimbarea funcționalității.

Extreme ale funcției derivate

Există, de asemenea, un astfel de lucru ca un „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.

Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-o ordine sau alta.

Derivatul în sine este determinat pe baza acestor puncte extreme, și nu cel mai mare sau cea mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.

Să considerăm acum un astfel de lucru drept un „extrem ascuțit”. Până în prezent, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe o diagramă.

Pentru a defini un astfel de concept se folosește teorema lui Fermat. Este esențial în studiu puncte extremeși oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții de scădere sau creștere pe diagramă.

Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsești punctul maxim”, trebuie să urmați următoarele prevederi:

1. Găsirea zonei exacte de definiție pe diagramă.
2. Căutați derivata unei funcții și a unui punct extrem.
3. Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul argumentului.
4. Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.

Atenţie! Căutare punct critic funcția este posibilă numai în cazul existenței unei derivate de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.

Condiție necesară pentru extremul funcției

Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și puncte maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.

Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important să înțelegem că cazul în care un punct dispare nu este principiul principal al găsirii unui punct diferențiabil.

Un extremum ascuțit, precum și un minim de funcție, este un aspect extrem de important al deciziei problema matematica folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să ne referim la valorile tabelare pentru atribuirea funcționalului.

Extremul funcțional

Pentru a găsi valoarea de mai sus, trebuie să respectați următoarele reguli:

• determinați condiția necesară pentru raportul extremal;
• luați în considerare starea suficientă a punctelor extreme de pe grafic;
• efectuați calculul unui extremum acut.

Există, de asemenea, concepte precum minim slab și minim puternic. Acest lucru trebuie luat în considerare la determinarea extremului și calculul exact al acestuia. În același timp, funcționalitatea ascuțită este căutarea și crearea tuturor conditiile necesare pentru a lucra cu graficul funcției.