Produsul unui vector cu un număr. Care vector se numește suma a doi vectori Produsul vectorului zero a și numărului k

Pentru afișarea corectă a legilor naturii în fizică, sunt necesare instrumente matematice adecvate.

În geometrie și fizică, există mărimi care sunt caracterizate atât de o valoare numerică, cât și de o direcție.

Este indicat să le reprezentați ca segmente direcționate sau vectori.

In contact cu

Astfel de valori au un început (reprezentat printr-un punct) și un sfârșit, indicat de o săgeată. Lungimea segmentului se numește (lungime).

• viteză;
• accelerare;
• puls;
• forta;
• moment;
• putere;
• in miscare;
• intensitatea câmpului etc.

Coordonatele planului

Să setăm un segment pe plan îndreptat de la punctul A (x1,y1) la punctul B (x2,y2). Coordonatele sale a (a1, a2) sunt numerele a1=x2-x1, a2=y2-y1.

Modulul este calculat folosind teorema lui Pitagora:

Vectorul zero are începutul și sfârșitul. Coordonatele și lungimea sunt 0.

Suma vectorilor

Exista mai multe reguli pentru calcularea sumei

• regula triunghiului;
• regula poligonului;
• regula paralelogramului.

Regula de adunare vectorială poate fi explicată folosind probleme din dinamică și mecanică. Luați în considerare adăugarea vectorilor conform regulii triunghiului folosind exemplul de forțe care acționează asupra unui corp punctual și deplasările succesive ale corpului în spațiu.

Să presupunem că corpul s-a mutat mai întâi din punctul A în punctul B și apoi din punctul B în punctul C. Deplasarea finală este un segment direcționat de la punctul de început A la punctul final C.

Rezultatul a două deplasări sau suma lor s = s1+ s2. O astfel de metodă se numește regula triunghiului.

Săgețile se aliniază în lanț una după alta, dacă este necesar, efectuând un transfer paralel. Segmentul total închide secvența. Începutul său coincide cu începutul primului, sfârșitul - cu sfârșitul ultimului. În manualele străine, această metodă este numită "coada la cap".

Coordonatele rezultatului c = a + b sunt egale cu suma coordonatelor corespunzătoare termenilor c (a1+ b1, a2+ b2).

Suma vectorilor paraleli (coliniari) este determinată și de regula triunghiului.

Dacă două segmente inițiale sunt perpendiculare unul pe celălalt, atunci rezultatul adunării lor este ipotenuza unui triunghi dreptunghic construit pe ele. Lungimea sumei se calculează folosind teorema lui Pitagora.

Exemple:

• Viteza unui corp aruncat orizontal perpendicular accelerație în cădere liberă.
• Cu mișcare de rotație uniformă, viteza liniară a corpului este perpendiculară pe accelerația centripetă.

Adăugarea a trei sau mai mulți vectori produce conform regula poligonului, "coada la cap"

Să presupunem că forțele F1 și F2 sunt aplicate unui corp punct.

Experiența demonstrează că efectul combinat al acestor forțe este echivalent cu acțiunea unei forțe îndreptate în diagonală de-a lungul paralelogramului construit pe ele. Această forță rezultantă este egală cu suma lor F \u003d F1 + F 2. Metoda de adunare de mai sus se numește regula paralelogramului.

Lungimea în acest caz este calculată prin formula

Unde θ este unghiul dintre laturi.

Regulile triunghiului și paralelogramului sunt interschimbabile. În fizică, regula paralelogramului este folosită mai des, deoarece cantitățile direcționate de forțe, viteze și accelerații sunt de obicei aplicate unui singur punct. Într-un sistem de coordonate 3D, se aplică regula casetei.

Elemente de algebră

1. Adăugarea este o operație binară: puteți adăuga doar o pereche la un moment dat.
2. comutativitatea: suma din permutarea termenilor nu modifică a + b = b + a. Acest lucru este clar din regula paralelogramului: diagonala este întotdeauna aceeași.
3. Asociativitatea: suma număr arbitrar vectorii nu depinde de ordinea adunării lor (a + b) + c = a + (b + c).
4. Însumarea cu un vector zero nu schimbă direcția sau lungimea: a +0= a .
5. Pentru fiecare vector există opus. Suma lor este egală cu zero a +(-a)=0, iar lungimile sunt aceleași.

Înmulțirea cu un scalar

Rezultatul înmulțirii cu un scalar este un vector.

Coordonatele produsului se obtin inmultind cu un scalar coordonatele corespunzatoare sursei.

Un scalar este o valoare numerică cu semnul plus sau minus, mai mare sau mai mic decât unu.

Exemple de scalari în fizică:

• greutate;
• timp;
• încărca;
• lungime;
• pătrat;
• volum;
• densitate;
• temperatura;
• energie.

Exemplu:

Munca este produsul scalar al forței și deplasării A = Fs.

Când se studiază diferite ramuri ale fizicii, mecanicii și științelor tehnice, există cantități care sunt complet determinate prin stabilirea valorilor lor numerice. Astfel de cantități sunt numite scalar sau, pe scurt, scalari.

Mărimile scalare sunt lungimea, aria, volumul, masa, temperatura corpului etc. Pe lângă mărimile scalare, în diverse probleme există mărimi, pentru determinarea cărora, pe lângă o valoare numerică, este necesară și cunoașterea direcției acestora. . Astfel de cantități sunt numite vector. Exemple fizice de mărimi vectoriale sunt deplasarea unui punct material care se mișcă în spațiu, viteza și accelerația acestui punct, precum și forța care acționează asupra acestuia.

Mărimile vectoriale sunt reprezentate folosind vectori.

Definiție vectorială. Un vector este un segment de linie direcționat având o anumită lungime.

Vectorul este caracterizat de două puncte. Un punct este punctul de început al vectorului, celălalt punct este punctul final al vectorului. Dacă notăm începutul vectorului cu un punct A , iar capătul vectorului este un punct ÎN , atunci vectorul însuși este notat cu . Un vector poate fi de asemenea notat printr-o singură literă latină mică cu o bară deasupra (de exemplu, ).

Grafic, un vector este reprezentat printr-un segment de linie cu o săgeată la capăt.

Începutul vectorului se numește punctul său de aplicare. Dacă punct A este începutul vectorului , atunci vom spune că vectorul este atașat punctului A.

Un vector este caracterizat de două mărimi: lungime și direcție.

Lungimea vectorului – distanța dintre punctele de început A și punctele de capăt B. O altă denumire pentru lungimea unui vector este modulul unui vector și este notat cu simbolul . Se notează modulul vectorului Vector , a cărui lungime este 1 se numește vector unitar. Adică condiția pentru vectorul unitar

Un vector cu lungime zero se numește vector nul (notat ). Evident, vectorul zero are aceleași puncte de început și de sfârșit. Vectorul nul nu are o direcție definită.

Definiţia colinear vectors. Vectorii și situati pe aceeași linie sau pe linii paralele se numesc coliniari .

Rețineți că vectorii coliniari pot avea lungimi diferite și direcții diferite.

Definiţia equal vectors. Doi vectori și se numesc egali dacă sunt coliniari, au aceeași lungime și aceeași direcție.

În acest caz ei scriu:

cometariu. Din definiția egalității vectorilor rezultă că un vector poate fi transferat în paralel plasându-și originea în orice punct din spațiu (în special, planul).

Toți vectorii zero sunt considerați egali.

Definiţia opposite vectors. Doi vectori și sunt numiți opuși dacă sunt coliniari, au aceeași lungime, dar direcție opusă.

În acest caz ei scriu:

Cu alte cuvinte, vectorul opus vectorului este notat ca .

O matrice m cu n.

Matrice de mărimea m cu n se numește colecția mn numere reale sau elemente de altă structură (polinoame, funcții etc.), scrise sub forma unui tabel dreptunghiular, care este format din m rânduri și n coloane și este luat în paranteze rotunde sau dreptunghiulare sau duble drepte. În acest caz, numerele în sine sunt numite elemente ale matricei, iar fiecărui element îi sunt atribuite două numere - numărul rândului și numărul coloanei. O matrice n cu n se numește pătrat matrice de ordinul al n-lea, i.e. numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane. triunghiular - o matrice pătrată în care toate elementele de sub sau deasupra diagonalei principale sunt zero. O matrice pătrată se numește diagonală dacă toate elementele sale în afara diagonalei sunt egale cu zero. scalar matrice - o matrice diagonală ale cărei elemente diagonale principale sunt egale. Un caz special al unei matrice scalare este matricea de identitate. Diagonală se numește o matrice cu toate intrările diagonale egale cu 1 singur matrice și este notat cu simbolul I sau E. O matrice, toate elementele care sunt egale cu zero, se numește nul matrice și este notat cu simbolul O.

Înmulțirea unei matrice A cu un număr λ (simbol: λ A) este de a construi o matrice B, ale căror elemente se obțin prin înmulțirea fiecărui element al matricei A prin acest număr, adică fiecare element al matricei B egală

Proprietăți de înmulțire a matricelor cu un număr

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Adăugarea matricei A + B este operația de găsire a unei matrice C, ale căror elemente sunt egale cu suma pe perechi a tuturor elementelor corespunzătoare ale matricelor AȘi B, adică fiecare element al matricei C egală

Proprietăți de adăugare a matricei

5.comutativitate) a+b=b+a

6.asociativitate.

7.adunare cu o matrice zero;

8.existența matricei opuse (aceeași dar minusuri peste tot în fața fiecărui număr)

Înmulțirea matricei - exista o operatie de calcul matriceal C, ale căror elemente sunt egale cu suma produselor elementelor din rândul corespunzător al primului factor și coloana celui de-al doilea.

Numărul de coloane din matrice A trebuie să se potrivească cu numărul de rânduri din matrice B. Dacă matricea A are dimensiune, B- , apoi dimensiunea produsului lor AB = C Există .

Proprietățile înmulțirii matriceale

1.asociativitate; (vezi mai sus)

2. produsul nu este comutativ;

3. produsul este comutativ în cazul înmulțirii cu o matrice de identitate;

4. dreptatea dreptului distributiv; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Determinant al unei matrice pătrate de ordinul întâi și al n-lea

Determinantul unei matrice este un polinom în elementele unei matrice pătrate (adică unul care are numărul de rânduri și coloane egal cu

Definiție prin extindere pe primul rând

Pentru o matrice de ordinul întâi determinant este singurul element al acestei matrice:

Pentru o matrice, determinantul este definit ca

Pentru o matrice, determinantul este dat recursiv:

, unde este un minor suplimentar pentru element A 1j. Această formulă se numește extinderea șirurilor.

În special, formula pentru calcularea determinantului unei matrice este:

= A 11 A 22 A 33 − A 11 A 23 A 32 − A 12 A 21 A 33 + A 12 A 23 A 31 + A 13 A 21 A 32 − A 13 A 22 A 31

Proprietăți calificative

Când este adăugat la orice rând (coloană) combinație liniară alte rânduri (coloane) determinantul nu se va modifica.

§ Dacă două rânduri (coloane) ale unei matrice coincid, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

§ Dacă două (sau mai multe) rânduri (coloane) ale unei matrice sunt dependente liniar, atunci determinantul acesteia este egal cu zero.

§ Dacă rearanjați două rânduri (coloane) ale unei matrice, atunci determinantul acesteia se înmulțește cu (-1).

§ Factorul comun al elementelor oricărei serii a determinantului poate fi scos din semnul determinantului.

§ Dacă cel puțin un rând (coloană) al matricei este zero, atunci determinantul este zero.

§ Suma produselor tuturor elementelor oricărui șir și a complementelor lor algebrice este egală cu determinantul.

§ Suma produselor tuturor elementelor oricărei serii și a complementelor algebrice ale elementelor corespondente ale seriei paralele este egală cu zero.

§ Determinantul produsului matricelor pătrate de același ordin este egal cu produsul determinanților lor (vezi și formula Binet-Cauchy).

§ Folosind notația de index, determinantul unei matrice 3×3 poate fi determinat folosind simbolul Levi-Civita din relația:

Matrice inversă.

Matrice inversă este o astfel de matrice A -1, atunci când este înmulțit cu care matricea originală A dă matricea identităţii E:

Conv. existenţă:

O matrice pătrată este inversabilă dacă și numai dacă este nesingulară, adică determinantul său nu este egal cu zero. Pentru matricele nepătrate și matricele degenerate nu există matrici inverse.

Formula pentru găsire

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi inversul matricei, puteți utiliza una dintre următoarele metode:

a) Folosind o matrice adunări algebrice

CT- matrice transpusă de adunări algebrice;

Matricea rezultată A−1 și va fi invers. Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²) O det .

Cu alte cuvinte, matricea inversă este egală cu una împărțită la determinantul matricei originale și înmulțită cu matricea transpusă de adunări algebrice (înmulțim minorul cu (-1) la gradul locului pe care îl ocupă) de elementele matricei originale.

4. Sistem de ecuații liniare. Soluție de sistem. Consecvența și incompatibilitatea sistemului. metoda matriceală pentru rezolvarea unui sistem de n ecuații liniare cu n variabile. teorema lui Krammer.

Sistem m ecuații liniare cu n necunoscut(sau, sistem liniar) V algebră liniară este un sistem de ecuații de forma

(1)

Aici X 1 , X 2 , …, x n sunt necunoscute de stabilit. A 11 , A 12 , …, amn- coeficienții sistemului - și b 1 , b 2 , … b m- membri liberi - se presupune că sunt cunoscuți. Indici de coeficienți ( aij) sistemele denotă numerele ecuației ( i) și necunoscut ( j), la care se situează, respectiv, acest coeficient.

Sistemul (1) este numit omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), în caz contrar - eterogen.

Sistemul (1) este numit pătrat dacă numărul m ecuații este egală cu numărul n necunoscut.

Soluţie sisteme (1) - set n numere c 1 , c 2 , …, c n, astfel încât înlocuirea fiecăruia c iîn loc de x iîn sistemul (1) transformă toate ecuațiile sale în identități.

Sistemul (1) este numit comun dacă are cel puțin o soluție și incompatibil daca nu are solutie.

Un sistem de îmbinare de forma (1) poate avea una sau mai multe soluții.

Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) se numesc sisteme de îmbinare de forma (1). variat dacă cel puțin una dintre egalități este încălcată:

formă matriceală

Sistemul de ecuații liniare poate fi reprezentat sub formă de matrice ca:

AX = B.

Dacă o coloană de termeni liberi este atribuită matricei A din dreapta, atunci matricea rezultată se numește extinsă.

Metode directe

Metoda lui Cramer (regula lui Cramer)- o modalitate de a rezolva sisteme pătrate de liniare ecuații algebrice cu un determinant diferit de zero al matricei principale (mai mult, pentru astfel de ecuații, soluția există și este unică). Numit după Gabriel Cramer (1704–1752), care a inventat metoda.

Descrierea metodei

Pentru sistem n ecuații liniare cu n necunoscut (peste câmp personalizat)

cu determinantul matricei sistemului Δ diferit de zero, soluția se scrie ca

(coloana i-a a matricei sistemului este înlocuită cu o coloană de termeni liberi).
Într-o altă formă, regula lui Cramer este formulată după cum urmează: pentru orice coeficienți c 1 , c 2 , ..., c n egalitatea este adevărată:

În această formă, formula lui Cramer este valabilă fără a presupune că Δ este diferit de zero, nici măcar nu este necesar ca coeficienții sistemului să fie elemente ale unui inel integral (determinantul sistemului poate fi chiar un divizor zero în inel). de coeficienţi). De asemenea, putem presupune că fie seturile b 1 ,b 2 ,...,b nȘi X 1 ,X 2 ,...,x n, sau setul c 1 ,c 2 ,...,c n nu constau din elemente ale inelului coeficient al sistemului, ci dintr-un modul peste acest inel.

5. Ordine k-a minoră. Rangul matricei. Transformări elementare ale matricelor. Teorema Kronecker-Capelli privind condițiile de compatibilitate pentru un sistem de ecuații liniare. Metoda de eliminare a variabilelor (Gauss) pentru un sistem de ecuații liniare.

Minor matrici A este determinantul matricei pătrate de ordine k(care se mai numește și ordinea acestui minor), ale cărui elemente se află în matrice A la intersecția rândurilor cu numere și coloanelor cu numere.

rang sisteme matrice de rânduri (coloane). A Cu m linii şi n coloane este numărul maxim de rânduri (coloane) diferite de zero.

Mai multe rânduri (coloane) sunt numite liniar independente dacă niciunul dintre ele nu poate fi exprimat liniar în termenii altora. Rangul sistemului de rânduri este întotdeauna egal cu rangul sistemului de coloane, iar acest număr se numește rangul matricei.

Kronecker - teorema Capelli (criteriul de compatibilitate pentru un sistem de ecuații algebrice liniare) -

un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei sale principale este egal cu rangul matricei sale extinse (cu termeni liberi), iar sistemul are o soluție unică dacă rangul este egal cu numărul necunoscute și un număr infinit de soluții dacă rangul mai mic decât numărul necunoscut.

metoda Gauss - metoda clasica rezolvarea sistemului de ecuații algebrice liniare (SLAE). Aceasta este o metodă de eliminare succesivă a variabilelor, când, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul de ecuații se reduce la sistem echivalent formă în trepte (sau triunghiulară), din care toate celelalte variabile sunt găsite secvenţial, începând cu ultimele (după număr) variabile.

6. Segment direcționat și vector. Concepte inițiale de algebră vectorială. Suma vectorilor și produsul unui vector cu un număr. Condiția de coordonare a vectorilor. Proprietăți ale operațiilor liniare pe vectori.

Operații pe vectori

Plus

Operația de adunare a vectorilor geometrici poate fi definită în diferite moduri, în funcție de situație și de tipul de vectori luați în considerare:

Doi vectori u, v iar vectorul sumei lor

regula triunghiului. Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii triunghiului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începutul unuia dintre ei să coincidă cu sfârșitul celuilalt. Apoi vectorul sumă este dat de a treia latură a triunghiului format, iar începutul său coincide cu începutul primului vector, iar sfârșitul cu sfârșitul celui de-al doilea vector.

regula paralelogramului. Pentru a adăuga doi vectori și conform regulii paralelogramului, ambii acești vectori sunt transferați paralel cu ei înșiși, astfel încât începuturile lor să coincidă. Atunci vectorul sumă este dat de diagonala paralelogramului construit pe ele, provenind de la originea lor comună.

Și modulul (lungimea) vectorului sumă sunt determinate de teorema cosinusului unde este unghiul dintre vectori când începutul unuia coincide cu sfârșitul celuilalt. Formula este folosită și acum - unghiul dintre vectorii care ies dintr-un punct.

produs vectorial

arta vectoriala vector la vector se numește vector care îndeplinește următoarele cerințe:

Proprietățile vectorului C

§ lungimea vectorului este egala cu produsul dintre lungimile vectorilor si sinusul unghiului φ dintre ei

§ vectorul este ortogonal cu fiecare dintre vectori si

§ directia vectorului C este determinata de regula Gimlet

Proprietățile produsului vectorial:

1. Când factorii sunt rearanjați, produsul vectorial își schimbă semnul (anticomutativitatea), adică.

2. Produsul vectorial are Proprietate asociativăîn raport cu un factor scalar, adică

3. Produsul vectorial are o proprietate de distribuție:

Sistem de bază și de coordonate în plan și în spațiu. Descompunerea unui vector în termeni de bază. Bază ortonormală și sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare în plan și în spațiu. Coordonate vectoriale și puncte în plan și în spațiu. Proiectii vectoriale pe axe de coordonate.

Bază (greaca veche βασις, bază) - un set de astfel de vectori într-un spațiu vectorial încât orice vector al acestui spațiu poate fi reprezentat în mod unic ca o combinație liniară de vectori din această mulțime - vectori de bază.

Este adesea convenabil să alegeți lungimea (norma) fiecăruia dintre vectorii de bază să fie unitate, o astfel de bază se numește normalizat.

Reprezentarea unui anumit (orice) vector spațial ca o combinație liniară de vectori de bază (suma vectorilor de bază prin coeficienți numerici), de exemplu

sau, folosind semnul sumei Σ:

numit extinderea acestui vector în această bază.

Coordonate vectoriale și puncte în plan și în spațiu.

Coordonata punctului A de-a lungul axei x este un număr egal în valoare absolută cu lungimea segmentului OAx: pozitivă dacă punctul A se află pe semiaxa pozitivă x și negativă dacă se află pe semiaxa negativă.

Un vector unitar sau un vector este un vector a cărui lungime este egală cu unu și care este îndreptat de-a lungul oricărei axe de coordonate.

Apoi proiecție vectorială AB pe axa l este diferența x1 - x2 dintre coordonatele proiecțiilor capătului și începutului vectorului pe această axă.

8.Lungimea și cosinusurile de direcție ale unui vector, relația dintre cosinusurile de direcție. Vector vector. Coordonatele sunt suma vectorilor, produsul unui vector cu un număr.

Lungimea vectorului este determinată de formula

Direcția vectorului este determinată de unghiurile α, β, γ formate de acesta cu axele de coordonate Ox, Oy, Oz. Cosinusurile acestor unghiuri (așa-numitele cosinusuri de direcție ale vectorului ) se calculează prin formulele:

Vector unitar sau ort (vector unitar al unui spațiu vectorial normat) este un vector a cărui normă (lungime) este egală cu unu.

Vectorul unitar , coliniar cu cel dat (vector normalizat), este determinat de formula

Vectorii unitari sunt adesea aleși ca vectori de bază, deoarece acest lucru simplifică calculele. Se numesc astfel de baze normalizat. Dacă acești vectori sunt și ortogonali, o astfel de bază se numește bază ortonormală.

Coordonatele coliniare

Coordonatele egal

Coordonatele sumă vectori doi vectori satisfac relațiile:

Coordonatele coliniare vectorii satisfac relatia:

Coordonatele egal vectorii satisfac relatiile:

vector sumă doi vectori:

Suma mai multor vectori:

Produsul unui vector cu un număr:

Produs vectorial al vectorilor. Aplicații geometrice ale produsului încrucișat. Starea vectorilor coliniari. Proprietățile algebrice ale produsului mixt. Exprimarea produsului încrucișat în termeni de coordonatele factorilor.

Produsul încrucișat al unui vector iar vectorul b se numește vector c, care:

1. Perpendicular pe vectorii a și b, adică c^a și c^b;

2. Are o lungime, numeric egal cu aria un paralelogram construit pe vectorii a și b ca pe laturi (vezi Fig. 17), adică.

3.Vectorii a, b și c formează un triplu drept.

Aplicații geometrice:

Stabilirea coliniarității vectorilor

Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi

Conform definiției produsului încrucișat al vectorilor Ași b |a xb | =|a| * |b |sing , adică S perechi = |a x b |. Și, prin urmare, DS \u003d 1/2 | a x b |.

Determinarea momentului de forță în jurul unui punct

Din fizică se știe că momentul fortei F relativ la punct DESPRE numit vector M, care trece prin punct DESPREȘi:

1) perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;

2) egal numeric cu produsul dintre forță și braț

3) formează un triplu drept cu vectorii OA și A B.

Deci, M=OA x F.

Aflarea vitezei liniare de rotație

Viteza v punctul M corp solid, rotindu-se cu viteză unghiulară w în jurul unei axe fixe este determinată de formula lui Euler v =w xr, unde r = OM, unde O este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).

Starea vectorilor coliniari - o condiție necesară și suficientă pentru coliniaritatea unui vector diferit de zero și a unui vector este existența unui număr care satisface egalitatea .

Proprietățile algebrice ale produsului mixt

Produsul mixt al vectorilor nu se modifică cu o permutare circulară a factorilor și își schimbă semnul invers atunci când cei doi factori sunt interschimbați, menținându-și modulul.

Semnul „ ” al înmulțirii vectoriale în interiorul unui produs mixt poate fi plasat între oricare dintre factorii săi.

Un produs mixt este distributiv în raport cu oricare dintre factorii săi: (de exemplu) dacă , atunci

Expresia încrucișată a produsului în termeni de coordonate

sistemul de coordonate dreapta

sistemul de coordonate stânga

12.Produs mixt al vectorilor. sens geometric produs mixt, condiția de comparație a vectorului. Proprietățile algebrice ale produsului mixt. Exprimarea produsului mixt în termeni de coordonatele factorilor.

amestecat produsul unui triplu ordonat de vectori (a,b,c) este produsul scalar al primului vector prin produsul vectorial al celui de-al doilea vector cu al treilea.

Proprietățile algebrice ale produsului vectorial

Anticomutativitatea

Asociativitatea în raport cu înmulțirea cu un scalar

Distributivități prin adunare

Identitatea Jacobi. Funcționează în R3 și se rupe în R7

Produsele vectoriale ale vectorilor de bază se găsesc prin definiție

Concluzie

unde sunt coordonatele atât ale vectorului de direcție al dreptei, cât și coordonatele unui punct aparținând dreptei.

Vector normal al unei drepte pe un plan. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat și perpendiculară pe un vector dat. Ecuația generală a unei drepte. Ecuațiile unei drepte cu coeficient de pantă. Dispunerea reciprocă a două linii drepte pe un plan

normal Un vector al unei linii este orice vector diferit de zero perpendicular pe această dreaptă.

- ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un vector dat

Ah + Wu + C = 0- ecuația generală a unei drepte.

Ecuația dreaptă y=kx+b

numit ecuația unei drepte cu pantă, iar coeficientul k se numește panta dreptei date.

Teorema. În ecuația unei drepte cu panta y=kx+b

coeficientul unghiular k este egal cu tangentei unghiului de înclinare a dreptei la axa x:

Aranjament reciproc:

sunt ecuațiile generale a două drepte pe planul de coordonate Oxy. Apoi

1) dacă , atunci liniile și coincid;

2) dacă , atunci drepte și paralele;

3) dacă , atunci liniile se intersectează.

Dovada . Condiția este echivalentă cu coliniaritatea vectorilor normali ai liniilor date:

Prin urmare, dacă , atunci și direct se intersectează.

Dacă , apoi , , iar ecuația dreptei ia forma:

Sau , adică Drept Meci. Rețineți că coeficientul de proporționalitate , în caz contrar toți coeficienții ecuație generală ar fi zero, ceea ce este imposibil.

Dacă liniile nu coincid și nu se intersectează, atunci rămâne cazul, adică. Drept sunt paralele.

Ecuația unei drepte în segmente

Dacă în ecuația generală a dreptei Ah + Vy + С = 0 С≠0, atunci, împărțind la –С, obținem: sau , unde

Sensul geometric al coeficienților este că coeficientul A este coordonata punctului de intersecție al dreptei cu axa x și b- coordonata punctului de intersectie a dreptei cu axa Oy.

Ecuația normală a unei linii drepte

Dacă ambele părți ale ecuației Ax + Wy + C = 0 împărțit la un număr numit factor de normalizare, apoi primim

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

ecuația normală a unei linii drepte.

Semnul ± al factorului de normalizare trebuie ales astfel încât μ ? CU< 0.

p este lungimea perpendicularei coborâte de la origine la dreapta, iar φ este unghiul format de această perpendiculară cu direcția pozitivă a axei Ox.

C Trebuie remarcat faptul că nu orice dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație în segmente, de exemplu, drepte paralele cu axele sau care trec prin origine.

17. Elipsa. Ecuația canonică elipsă. Proprietăți geometriceși construirea unei elipse. Condiții speciale.

Elipsă - locul punctelor M Plan euclidian, pentru care suma distanțelor până la două puncte date F 1 și F 2 (numite focare) este constantă și mai mare decât distanța dintre focare, adică | F 1 M | + | F 2 M | = 2A, și | F 1 F 2 | < 2A.

Ecuația canonică

Pentru orice elipsă, puteți găsi un sistem de coordonate carteziene astfel încât elipsa să fie descrisă de ecuația (ecuația canonică a elipsei):

Descrie o elipsă centrată la origine, ale cărei axe coincid cu axele de coordonate.

Clădire R: 1) Folosind o busolă

2) Două trucuri și un fir întins

3) Elipsograf (Un elipsograf constă din două glisoare care se pot deplasa de-a lungul a două caneluri sau ghidaje perpendiculare. Glisoarele sunt atașate de tijă prin intermediul unor balamale și sunt la o distanță fixă ​​unul de celălalt de-a lungul tijei. Glisoarele se deplasează înainte și înapoi - fiecare de-a lungul propriului canal, - iar capătul tijei descrie o elipsă în plan. Semiaxele elipsei a și b sunt distanțele de la capătul tijei până la balamalele de pe glisoare. De obicei, distanțele a și b pot fi variate, modificând astfel forma și dimensiunea elipsei descrise)

Excentricitatea caracterizează alungirea elipsei. Cu cât excentricitatea este mai aproape de zero, cu atât elipsa seamănă mai mult cu un cerc și invers, cu cât excentricitatea este mai aproape de unitate, cu atât este mai alungită.

parametru focal

Ecuația canonică

18.Hiperbolă. Ecuații canonice ale hiperbolelor. Proprietăți geometrice și construcția unei hiperbole. Condiții speciale

Hiperbolă(greaca veche ὑπερβολή, din altă greacă βαλειν - „aruncă”, ὑπερ - „peste”) - locul punctelor M Plan euclidian, pentru care valoarea absolută a diferenței de distanțe de la M până la două puncte selectate F 1 și F 2 (numite focusuri) tot timpul. Mai precis,

Și | F 1 F 2 | > 2A > 0.

Rapoarte

Pentru caracteristicile hiperbolei definite mai sus, ele se supun următoarelor relații

2. Direcricele hiperbolei sunt indicate prin linii de grosime dublă și sunt indicate D 1 și D 2. Excentricitate ε este egal cu raportul dintre distanțe ale punctelor P pe hiperbolă la focar și la directricea corespunzătoare (afișată cu verde). Vârfurile hiperbolei sunt notate cu ± A. Parametrii hiperbolei înseamnă următoarele:

A- distanta fata de centru C la fiecare vârf
b- lungimea perpendicularei a scăzut de la fiecare dintre vârfuri la asimptote
c- distanta fata de centru Cînaintea oricăruia dintre trucuri, F 1 și F 2 ,
θ este unghiul format de fiecare dintre asimptote și axa trasată între vârfuri.

Proprietăți

§ Pentru orice punct situat pe o hiperbolă, raportul dintre distanțe de la acest punct la focar și distanța de la același punct la directrice este o valoare constantă.

§ Hiperbola are simetrie în oglindă în jurul axelor reale și imaginare, precum și simetrie de rotație atunci când este rotită printr-un unghi de 180 ° în jurul centrului hiperbolei.

§ Fiecare hiperbola are hiperbola conjugată, pentru care axele reale și imaginare sunt schimbate, dar asimptotele rămân aceleași. Aceasta corespunde înlocuirii AȘi b unul peste altul într-o formulă care descrie o hiperbolă. Hiperbola conjugată nu este rezultatul unei rotații de 90° a hiperbolei inițiale; ambele hiperbole diferă ca formă.

19. Parabola. Ecuația canonică a unei parabole. Proprietăți geometrice și construcția unei parabole. Condiții speciale.

Parabolă este locul punctelor echidistant de linia dată (numită directrice a parabolei) și punctul dat (numit focarul parabolei).

Ecuația canonică a unei parabole într-un sistem de coordonate dreptunghiular este:

(sau dacă axele sunt inversate).

Proprietăți

§ 1Parabola este o curbă de ordinul doi.

§ 2Are o axă de simetrie numită axa parabolei. Axa trece prin focar și este perpendiculară pe directrice.

§ 3 Proprietate optică. Un fascicul de raze paralel cu axa parabolei, reflectat în parabolă, este colectat la focarul său. În schimb, lumina de la o sursă focalizată este reflectată de o parabolă într-un fascicul de raze paralel cu axa ei.

§ 4Pentru o parabolă, focalizarea este în punctul (0,25; 0).

Pentru o parabolă, focalizarea este în punctul (0; f).

§ 5 Dacă focarul unei parabole este reflectat în jurul unei tangente, atunci imaginea acesteia se va afla pe directrice.

§ 6O parabolă este antipodera unei linii.

§ Toate parabolele sunt similare. Distanța dintre focalizare și directrix determină scara.

§ 7 Când o parabolă este rotită în jurul axei de simetrie, se obține un paraboloid eliptic.

Directria unei parabole

raza focală

20.Vectorul normal al planului. Ecuația unui plan care trece printr-un punct dat este perpendiculară pe un vector dat. Ecuația generală a planului, caz special ecuația generală a planului. Ecuația vectorială a planului. Dispunerea reciprocă a două avioane.

Avion este unul dintre conceptele de bază ale geometriei. Într-o prezentare sistematică a geometriei, conceptul de plan este de obicei luat ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinat doar indirect de axiomele geometriei.

Ecuație plană cu punct și vector normal
În formă vectorială

În coordonate

Unghiul dintre planuri

Cazuri particulare ale ecuației generale a planului.