Matrice transpusă de adunări algebrice. Matrice inversă. Rezolvarea ecuațiilor matriceale. Găsirea matricei inverse online

www.site vă permite să găsiți matrice inversă pe net. Site-ul calculează matrice inversă online. În câteva secunde, serverul va da soluția exactă. matrice inversă va fi asa matrice, multiplicarea originalului matrici care dă un singur matrice, cu condiția ca determinantul inițialei matrici nu este egal cu zero, altfel matrice inversă nu exista pentru ea. În sarcini, când calculăm matrice inversă online, este necesar ca determinantul matrici era diferit de zero, altfel www.site va emite un mesaj corespunzător despre imposibilitatea calculului matrice inversă online. Astfel de matrice numit si degenerat. Găsi matrice inversăîn mod pe net posibil doar pentru pătrat matrici. Găsiți operația matrice inversă online se reduce la calcularea determinantului matrici, apoi un intermediar matrice după o regulă cunoscută, iar la sfârșitul operației - înmulțirea determinantului găsit anterior cu intermediarul transpus matrice. Rezultatul exact din definiție matrice inversă online poate fi realizat prin studierea teoriei în acest curs. Această operație ocupă un loc special în teorie matriciȘi algebră liniară, vă permite să rezolvați sisteme ecuatii lineare, așa-numita metodă matriceală. Găsirea sarcinii matrice inversă online apare deja la începutul studiului matematicii superioare și este prezent în aproape fiecare disciplină matematică ca concept de bază al algebrei, fiind un instrument matematic în problemele aplicate. www.site găsește matrice inversă dimensiune dată în mod pe net imediat. calcul matrice inversă online dată fiind dimensiunea sa, aceasta este o constatare matrici de aceeași dimensiune în valoarea sa numerică, precum și în cea simbolică, găsite după regula de calcul matrice inversă. Găsind matrice inversă online răspândită în teorie matrici. Rezultatul găsirii matrice inversă online utilizat în rezolvarea unui sistem liniar de ecuații prin metoda matricei. Dacă determinantul matrici atunci va fi zero matrice inversă, pentru care se găsește determinantul nul, nu există. Pentru a calcula matrice inversă sau caută mai multe deodată matrici corespunzător verso, trebuie să petreceți mult timp și efort, în timp ce serverul nostru va găsi matrice inversă online. În acest caz, răspunsul prin constatare matrice inversă vor fi corecte și cu suficientă acuratețe, chiar dacă numerele la găsirea matrice inversă online va fi irațional. Pe site www.site intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, acesta este matrice inversă online poate fi reprezentat într-o formă simbolică generală la calcul matrice inversă online. Este util să verificați răspunsul obținut atunci când rezolvați problema găsirii matrice inversă online folosind site-ul www.site. La efectuarea unei operaţii de calcul matrice inversă online trebuie să fii atent și extrem de concentrat în rezolvarea acestei probleme. La rândul său, site-ul nostru vă va ajuta să vă verificați decizia cu privire la subiect matrice inversă online. Dacă nu aveți timp pentru verificări lungi ale problemelor rezolvate, atunci www.site va fi cu siguranță un instrument convenabil pentru verificare la găsirea și calcularea matrice inversă online.

O matrice inversă pentru una dată este o astfel de matrice, multiplicarea celei inițiale prin care dă o matrice de identitate: O condiție obligatorie și suficientă pentru prezența unei matrice inverse este inegalitatea determinantului celei originale (care la rândul său implică că matricea trebuie să fie pătrată). Dacă determinantul unei matrice este egal cu zero, atunci se numește degenerat și o astfel de matrice nu are inversă. ÎN matematică superioară matricele inverse au importanţăși sunt folosite pentru a rezolva o serie de probleme. De exemplu, pe aflarea matricei inverse se construieşte o metodă matriceală pentru rezolvarea sistemelor de ecuaţii. Site-ul nostru de servicii permite calcula inversul matricei online două metode: metoda Gauss-Iordan și folosind matricea adunărilor algebrice. Primul implică un numar mare de transformări elementare în interiorul matricei, a doua - calculul determinantului și adunărilor algebrice la toate elementele. Pentru a calcula determinantul unei matrice online, puteți utiliza celălalt serviciu al nostru - Calcularea determinantului unei matrice online

Găsiți matricea inversă pe site

site-ul web vă permite să găsiți matrice inversă online rapid si gratuit. Pe site se fac calcule de catre serviciul nostru iar rezultatul este afisat cu solutie detaliata după locație matrice inversă. Serverul oferă întotdeauna doar răspunsul exact și corect. În sarcini prin definiție matrice inversă online, este necesar ca determinantul matrici era diferit de zero, altfel site-ul web va raporta imposibilitatea de a găsi matricea inversă datorită faptului că determinantul matricei originale este egal cu zero. Găsirea sarcinii matrice inversăîntâlnit în multe ramuri ale matematicii, fiind unul dintre cele mai de bază concepte ale algebrei și un instrument matematic în problemele aplicate. Independent definirea matricei inverse necesită efort considerabil, mult timp, calcule și mare grijă pentru a nu face o derapaj sau o mică eroare în calcule. Prin urmare, serviciul nostru găsirea matricei inverse online vă va facilita foarte mult sarcina și va deveni un instrument indispensabil pentru rezolvare probleme de matematică. Chiar daca tu găsiți matricea inversă dvs., vă recomandăm să vă verificați soluția pe serverul nostru. Introduceți matricea dumneavoastră originală în Calculate Inverse Matrix Online și verificați răspunsul. Sistemul nostru nu greșește niciodată și găsește matrice inversă dimensiune dată în mod pe net imediat! Pe site site-ul web intrările de caractere sunt permise în elemente matrici, în acest caz matrice inversă online vor fi prezentate sub formă simbolică generală.

În acest articol, vom vorbi despre metoda matricei pentru rezolvarea unui sistem de ecuații algebrice liniare, vom găsi definiția acestuia și vom oferi exemple de soluție.

Definiția 1

Metoda matricei inverse este metoda folosită pentru a rezolva SLAE atunci când numărul de necunoscute este egal cu numărul de ecuații.

Exemplul 1

Găsiți o soluție la un sistem de n ecuații liniare cu n necunoscute:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Vizualizare înregistrări matrice : A × X = B

unde A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n este matricea sistemului.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - coloana de necunoscute,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - coloana de coeficienți liberi.

Din ecuația pe care o obținem, trebuie să exprimăm X. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale ecuației matriceale din stânga cu A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B .

Deoarece A - 1 × A = E, atunci E × X = A - 1 × B sau X = A - 1 × B.

cometariu

Matricea inversă față de matricea A are dreptul de a exista numai dacă condiția d e t A nu este egală cu zero. Prin urmare, la rezolvarea SLAE prin metoda matricei inverse, în primul rând se găsește d e t A.

În cazul în care d e t A nu este egal cu zero, sistemul are o singură soluție: folosind metoda matricei inverse. Dacă d e t A = 0, atunci sistemul nu poate fi rezolvat prin această metodă.

Un exemplu de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare folosind metoda matricei inverse

Rezolvăm SLAE prin metoda matricei inverse:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Cum să decizi?

• Scriem sistemul sub forma unei ecuații matriceale А X = B , unde

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Exprimăm din această ecuație X:

• Găsim determinantul matricei A:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А nu este egal cu 0, prin urmare, metoda soluției cu matrice inversă este potrivită pentru acest sistem.

• Găsim matricea inversă A - 1 folosind matricea de unire. Se calculează adunările algebrice A i j la elementele corespunzătoare ale matricei A:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• Notăm matricea de unire A * , care este compusă din complemente algebrice ale matricei A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Scriem matricea inversă după formula:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Înmulțim matricea inversă A - 1 cu coloana de termeni liberi B și obținem soluția sistemului:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Răspuns : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Similar cu inversele în multe proprietăți.

YouTube enciclopedic

1 / 5

✪ Matrice inversă (2 moduri de a găsi)

✪ Cum să găsiți matricea inversă - bezbotvy

✪ Matrice inversă #1

✪ Rezolvarea unui sistem de ecuații folosind metoda matricei inverse - bezbotvy

✪ Matrice inversă

Subtitrări

Proprietățile matricei inverse

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Unde det (\displaystyle \ \det ) denotă un determinant.
• (A B) - 1 = B - 1 A - 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pentru două matrici inversabile pătrate A (\displaystyle A)Și B (\displaystyle B).
• (A T) - 1 = (A - 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Unde (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) denotă matricea transpusă.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pentru orice coeficient k ≠ 0 (\displaystyle k\nu =0).
• E - 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare, (b este un vector diferit de zero) unde x (\displaystyle x) este vectorul dorit, iar dacă A - 1 (\displaystyle A^(-1)) există, atunci x = A - 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există deloc.

Modalități de a găsi matricea inversă

Dacă matricea este inversabilă, atunci pentru a găsi inversul matricei, puteți utiliza una dintre următoarele metode:

Metode exacte (directe).

metoda Gauss-Jordan

Să luăm două matrice: el însuși A si singura E. Să aducem matricea A la matricea de identitate prin metoda Gauss-Jordan aplicând transformări în rânduri (puteți aplica și transformări în coloane, dar nu într-un mix). După aplicarea fiecărei operații la prima matrice, aplicați aceeași operație la a doua. Când se finalizează reducerea primei matrice la forma de identitate, a doua matrice va fi egală cu A -1.

Când utilizați metoda Gauss, prima matrice va fi înmulțită de la stânga cu una dintre matrici elementare Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvecție sau diagonal matrice cu cele pe diagonala principală, cu excepția unei poziții):

A doua matrice după aplicarea tuturor operațiilor va fi egală cu Λ (\displaystyle \Lambda ), adică va fi cea dorită. Complexitatea algoritmului - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Folosind matricea adunărilor algebrice

Matrice Matrice inversă A (\displaystyle A), reprezintă sub formă

A - 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Unde adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice  atașată ;

Complexitatea algoritmului depinde de complexitatea algoritmului de calcul al determinantului O det și este egală cu O(n²) O det .

Folosind descompunerea LU/LUP

Ecuația matriceală A X = eu n (\displaystyle AX=I_(n)) pentru matrice inversă X (\displaystyle X) poate fi privit ca o colecție n (\displaystyle n) sisteme de formă A x = b (\displaystyle Ax=b). Denota i (\displaystyle i)-a coloană a matricei X (\displaystyle X) prin X i (\displaystyle X_(i)); Apoi A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),deoarece i (\displaystyle i)-a coloană a matricei eu n (\displaystyle I_(n)) este vectorul unitar e i (\displaystyle e_(i)). cu alte cuvinte, găsirea matricei inverse se reduce la rezolvarea n ecuații cu aceeași matrice și părți din dreapta diferite. După rularea expansiunii LUP (timp O(n³)), fiecare dintre ecuațiile n are nevoie de timp O(n²) pentru a se rezolva, astfel încât această parte a lucrării necesită și timp O(n³).

Dacă matricea A este nesingulară, atunci putem calcula descompunerea LUP pentru ea PA = L U (\displaystyle PA=LU). Lăsa PA = B (\displaystyle PA=B), B - 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Apoi, din proprietățile matricei inverse, putem scrie: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Dacă înmulțim această egalitate cu U și L, atunci putem obține două egalități de formă U D = L - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Și D L = U - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prima dintre aceste egalități este un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) dintre care se cunosc laturile din dreapta (din proprietăţile matricelor triunghiulare). Al doilea este, de asemenea, un sistem de n² ecuații liniare pentru n (n - 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) dintre care se cunosc laturile din dreapta (tot din proprietatile matricelor triunghiulare). Împreună formează un sistem de n² egalități. Folosind aceste egalități, putem determina recursiv toate n² elemente ale matricei D. Apoi din egalitatea (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. obținem egalitatea A - 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

În cazul utilizării descompunerii LU, nu este necesară nicio permutare a coloanelor matricei D, dar soluția poate diverge chiar dacă matricea A este nesingulară.

Complexitatea algoritmului este O(n³).

Metode iterative

Metodele Schultz

( Ψ k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k)),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimarea erorii

Alegerea aproximării inițiale

Problema alegerii aproximării inițiale în procesele de inversare iterativă a matricei luate în considerare aici nu ne permite să le tratăm ca metode universale independente care concurează cu metodele de inversare directă bazate, de exemplu, pe descompunerea LU a matricelor. Există câteva recomandări pentru alegere U 0 (\displaystyle U_(0)), asigurând îndeplinirea condiţiei ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (raza spectrală a matricei este mai mică decât unitatea), ceea ce este necesar și suficient pentru convergența procesului. Totuși, în acest caz, în primul rând, este necesar să se cunoască de mai sus estimarea pentru spectrul matricei inversabile A sau a matricei A A T (\displaystyle AA^(T))(și anume, dacă A este o matrice definită pozitivă simetrică și ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta), atunci poți lua U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Unde ; dacă A este o matrice nesingulară arbitrară și ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta), atunci să presupunem U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), unde de asemenea α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Desigur, situația poate fi simplificată și, folosind faptul că ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), a pune U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). În al doilea rând, cu o astfel de specificare a matricei inițiale, nu există nicio garanție că ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) va fi mic (poate chiar ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), Și ordin înalt rata de convergenta nu este imediat evidenta.

Exemple

Matrice 2x2

Inversarea unei matrice 2x2 este posibilă numai cu condiția ca a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Matricea A -1 se numește matrice inversă față de matricea A, dacă A * A -1 \u003d E, unde E este matricea de identitate de ordinul al n-lea. Matricea inversă poate exista doar pentru matrice pătrată.

Atribuirea serviciului. Folosind acest serviciu online, puteți găsi adunări algebrice, matrice transpusă A T , matrice de unire și matrice inversă. Soluția se realizează direct pe site (online) și este gratuită. Rezultatele calculului sunt prezentate într-un raport în format Word și în format Excel (adică este posibilă verificarea soluției). vezi exemplul de proiectare.

Instruire. Pentru a obține o soluție, trebuie să specificați dimensiunea matricei. Apoi, în noua casetă de dialog, completați matricea A .

Vezi și Matrice inversă prin metoda Jordan-Gauss

Algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflarea matricei transpuse A T .
2. Definiţia algebraic additions. Înlocuiți fiecare element al matricei cu complementul său algebric.
3. Compilarea unei matrici inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei rezultate este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.

1. Determinați dacă matricea este pătrată. Dacă nu, atunci nu există o matrice inversă pentru aceasta.
2. Calculul determinantului matricei A . Dacă nu este egal cu zero, continuăm soluția, în caz contrar, matricea inversă nu există.
3. Definiţia algebraic additions.
4. Completarea matricei de unire (mutuală, adjunctă) C .
5. Compilarea matricei inverse din adunări algebrice: fiecare element al matricei adiacente C este împărțit la determinantul matricei originale. Matricea rezultată este inversul matricei originale.
6. Faceți o verificare: înmulțiți matricea originală și matricea rezultată. Rezultatul ar trebui să fie o matrice de identitate.

Exemplul #1. Scriem matricea sub forma:

Un alt algoritm pentru găsirea matricei inverse

1. Aflați determinantul matricei pătrate date A .
2. Găsim adunări algebrice la toate elementele matricei A .
3. Complementele algebrice ale elementelor rândurilor le scriem în coloane (transpunere).
4. Împărțim fiecare element al matricei rezultate la determinantul matricei A .

Un caz special: Inversul, în raport cu matricea de identitate E , este matricea de identitate E .