Transformări elementare care conduc la un sistem echivalent. Transformări matriceale elementare. §8. Spații vectoriale

§7. Sisteme ecuatii lineare

Sisteme de echilibru. Transformări elementare ale unui sistem de ecuații liniare.

Lăsa CU- camp numere complexe. Tip ecuație

Unde
, se numește ecuație liniară cu n necunoscut
. set comandat
,
se numește soluție a ecuației (1) dacă .

sistem m ecuații liniare cu n necunoscut este un sistem de ecuații de forma:

- coeficienții sistemului de ecuații liniare, - membri gratuiti.

masă dreptunghiulară

,

numită matricea mărimii
. Să introducem notația: - i- al-lea rând al matricei,
- k-a coloană a matricei. Matrice A denotă de asemenea
sau
.

Următoarele transformări ale rândurilor matricei A sunt numite elementare.
) excepție șir nul; ) înmulțirea tuturor elementelor oricărui șir cu un număr
; ) adăugare la orice șir a oricărui alt șir, înmulțit cu
. Transformări similare coloanei matriceale A se numesc transformări matriceale elementare A.

Primul element diferit de zero (numărând de la stânga la dreapta) al oricărui rând de matrice A se numește elementul conducător al acestui șir.

Definiție. Matrice
se numește treptat dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

1) rândurile zero ale matricei (dacă există) sunt sub cele diferite de zero;

2) dacă
elementele conducătoare ale rândurilor matricei, apoi

Orice matrice A diferită de zero poate fi redusă la o matrice în trepte prin transformări elementare de rând.

Exemplu. Prezentăm matricea
la matricea pasilor:
~
~
.

Matrice compusă din coeficienții sistemului ecuațiile liniare (2) se numesc matricea principală a sistemului. Matrice
, obținută din adăugarea unei coloane de termeni liberi, se numește matrice augmentată a sistemului.

O mulțime ordonată se numește soluție a sistemului de ecuații liniare (2) dacă este o soluție a fiecărei ecuații liniare a acestui sistem.

Un sistem de ecuații liniare se numește consistent dacă are cel puțin o soluție și inconsecvent dacă nu are soluții.

Un sistem de ecuații liniare se numește definit dacă are o soluție unică și nedefinit dacă are mai multe soluții.

Următoarele transformări ale unui sistem de ecuații liniare se numesc elementare:

) excluderea din sistemul de ecuaţii a formei ;

) înmulțirea ambelor părți ale oricărei ecuații cu
,
;

) adăugare la orice ecuație a oricărei alte ecuații, înmulțită cu ,.

Două sisteme de ecuații liniare din n se spune că necunoscutele sunt echivalente dacă nu sunt compatibile sau mulțimile soluțiilor lor sunt aceleași.

Teorema. Dacă un sistem de ecuații liniare se obține dintr-un altul prin transformări elementare de tipul ), ), ), atunci este echivalent cu cel original.

Rezolvarea unui sistem de ecuații liniare prin metoda eliminării necunoscutelor (prin metoda Gauss).

Lasă sistemul m ecuații liniare cu n necunoscut:

Dacă sistemul (1) conține o ecuație de forma

atunci acest sistem este inconsecvent.

Să presupunem că sistemul (1) nu conține o ecuație de forma (2). Fie în sistemul (1) coeficientul variabilei X 1 în prima ecuație
(dacă nu este cazul, atunci prin rearanjarea ecuațiilor în locuri vom obține asta, deoarece nu toți coeficienții la X 1 sunt egale cu zero). Să aplicăm următorul lanț de transformări elementare sistemului de ecuații liniare (1):

, se adaugă la a doua ecuație;

Prima ecuație înmulțită cu
, adăugați la a treia ecuație și așa mai departe;

Prima ecuație înmulțită cu
, adăugați la ultima ecuație a sistemului.

Ca rezultat, obținem un sistem de ecuații liniare (în cele ce urmează vom folosi abrevierea CLE pentru un sistem de ecuații liniare) echivalent cu sistemul (1). Se poate dovedi că în sistemul rezultat, nici o singură ecuație cu numărul i, i 2, nu conține necunoscut X 2. Lăsa k este cel mai mic numar natural, care este necunoscut X k este cuprinsă în cel puțin o ecuație cu numărul i, i 2. Atunci sistemul de ecuații rezultat are forma:

Sistemul (3) este echivalent cu sistemul (1). Aplicați acum la subsistem
sisteme de ecuații liniare (3) raționament care a fost aplicat SLE (1) . Și așa mai departe. Ca rezultat al acestui proces, ajungem la unul dintre cele două rezultate.

1. Obținem un SLE care conține o ecuație de forma (2). În acest caz, SLE (1) este inconsecvent.

2. Transformările elementare aplicate SLE (1) nu conduc la un sistem care să conțină o ecuație de forma (2). În acest caz, SLE (1) prin transformări elementare
se reduce la un sistem de ecuații de forma:

(4)

unde, 1< k < l < . . .< s,

Sistemul de ecuații liniare de forma (4) se numește treptat. Următoarele două cazuri sunt posibile aici.

A) r= n, atunci sistemul (4) are forma

(5)

Sistemul (5) are o soluție unică. În consecință, sistemul (1) are și o soluție unică.

B) r< n. În acest caz, necunoscutul
în sistemul (4) se numesc principalele necunoscute, iar necunoscutele rămase în acest sistem sunt numite libere (numărul lor este egal cu n- r). Să atribuim valori numerice arbitrare necunoscutelor libere, atunci SLE (4) va avea aceeași formă ca și sistemul (5). Din aceasta, principalele necunoscute sunt determinate în mod unic. Astfel, sistemul are o soluție, adică este articulat. Deoarece necunoscutele libere au primit valori numerice arbitrare de la CU, atunci sistemul (4) este nedefinit. În consecință, sistemul (1) este și el nedefinit. Exprimând în SLE (4) principalele necunoscute în termeni de necunoscute libere, obținem un sistem numit soluția generală a sistemului (1).

Exemplu. Rezolvați un sistem de ecuații liniare folosind metoda G aussa

Scriem matricea extinsă a sistemului de ecuații liniare și, prin intermediul transformărilor elementare de rând, o reducem la o matrice în trepte:

~

~
~
~

~ . Folosind matricea rezultată, restabilim sistemul de ecuații liniare:
Acest sistem este echivalent cu sistemul original. Ca principale necunoscute, luăm apoi
necunoscute libere. Să exprimăm principalele necunoscute numai în termeni de necunoscute libere:

A primit decizie comună SLN. Lasă atunci

(5, 0, -5, 0, 1) este o soluție particulară a SLE.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Găsiți o soluție generală și o soluție particulară a unui sistem de ecuații prin eliminarea necunoscutelor:

1)
2)

4)
6)

2. Găsiți la diferite valori ale parametrilor A solutie generala a sistemului de ecuatii:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Spații vectoriale

Conceptul de spațiu vectorial. Cele mai simple proprietăți.

Lăsa V ≠ Ø, ( F, +,∙) – câmp. Elementele câmpului se vor numi scalari.

Afişa φ : F× V –> V se numește operația de înmulțire a elementelor unei mulțimi V la scalari din câmp F. Denota φ (λ,a) prin λа produs element A la un scalar λ .

Definiție. O multime de V cu o operaţie algebrică dată de adunare a elementelor mulţimii Vși înmulțirea elementelor mulțimii V la scalari din câmp F se numește spațiu vectorial peste un câmp F dacă sunt valabile următoarele axiome:

Exemplu. Lăsa F camp, F n = {(A 1 , A 2 , … , A n) | A i F (i=)). Fiecare element al setului F n numit n-vector aritmetic dimensional. Introducem operația de adăugare n-vectori dimensionali si multiplicare n-vector dimensional la scalar din câmp F. Lăsa
. Să punem = ( A 1 + b 1 , … , A n + b n), = (λ A 1, λ A 2, …, λ A n). O multime de F n față de operațiile introduse este un spațiu vectorial și se numește n-spațiu vectorial aritmetic dimensional peste câmp F.

Lăsa V- spațiu vectorial deasupra câmpului F, ,
. Următoarele proprietăți au loc:

1)
;

3)
;

4)
;

Dovada proprietății 3.

Din egalitate conform legii reducerii în grup ( V,+) avem
.

Dependența liniară, independența sistemelor de vectori.

Lăsa V este spațiul vectorial peste câmp F,

. Un vector se numește o combinație liniară a unui sistem de vectori
. Mulțimea tuturor combinațiilor liniare ale unui sistem de vectori se numește intervalul liniar al acestui sistem de vectori și se notează cu .

Definiție. Se spune că un sistem de vectori este dependent liniar dacă există astfel de scalari
nu toate egale cu zero, care

Dacă egalitatea (1) este valabilă dacă și numai dacă λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0, atunci sistemul de vectori se numește liniar independent.

Exemplu. Aflați dacă sistemul de vectori = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) spații R 3 liniar dependente sau independente.

Soluţie. Fie λ 1 , λ 2 , λ 3
Și

 |=> (0,0,0) – soluția sistemului. Prin urmare, sistemul de vectori este liniar independent.

Proprietăți dependență liniarăși independența sistemului de vectori.

1. Sistem de vectori care conțin cel puțin unul vector nul, este dependent liniar.

2. Un sistem de vectori care conține un subsistem dependent liniar este dependent liniar.

3. Sistem de vectori , unde
este dependent liniar dacă și numai dacă cel puțin un vector al acestui sistem diferit de vector este o combinație liniară a vectorilor care îl precedă.

4. Dacă sistemul de vectori este liniar independent, iar sistemul de vectori
dependent liniar, apoi vectorul poate fi reprezentat ca combinație liniară vectori și, mai mult, într-un mod unic.

Dovada. Deoarece sistemul de vectori este dependent liniar, atunci
nu toate egale cu zero, care

În egalitate vectorială (2) λ m+1 ≠ 0. Presupunând că λ m+1 =0, apoi din (2) => Rezultă că sistemul de vectori este liniar dependent, întrucât λ 1 , λ 2 , … , λ m nu toate sunt zero. Am ajuns la o contradicție cu condiția. De la (1) => unde
.

Fie vectorul poate fi reprezentat și ca: Apoi din egalitatea vectorială
datorită independenţei liniare a sistemului de vectori rezultă că
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Fie două sisteme de vectori și
, m>k. Dacă fiecare vector al sistemului de vectori poate fi reprezentat ca o combinație liniară a sistemului de vectori, atunci sistemul de vectori este dependent liniar.

Baza, rangul sistemului de vectori.

Un sistem finit de vectori spațiali V peste câmp F notează prin S.

Definiție. Orice subsistem liniar independent al sistemului de vectori S se numește baza sistemului de vectori S, dacă vreun vector al sistemului S poate fi reprezentat ca o combinație liniară a unui sistem de vectori.

Exemplu. Găsiți baza unui sistem de vectori = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R3. Sistemul de vectori este liniar independent, deoarece, conform proprietății 5, sistemul de vectori se obține din sistemul de vectori. indemnizatie elementele de bază electromecanotronica: educationalindemnizatie elementele de bază Inginerie Electrică"; ...

Două sisteme de ecuații liniare dintr-o mulțime x 1 ,..., x n de necunoscute și, respectiv, din ecuațiile m și p

Ele se numesc echivalente dacă seturile lor soluții și coincid (adică submulțimile și în K n coincid, ). Aceasta înseamnă că fie sunt ambele submulțimi goale (adică ambele sisteme (I) și (II) sunt inconsecvente), fie sunt simultan nevide și (adică fiecare soluție a sistemului I este o soluție a sistemului II și fiecare soluție a sistemului II este o soluție a sistemului I).

Exemplul 3.2.1.

metoda Gauss

Planul algoritmului propus de Gauss a fost destul de simplu:

1. aplică transformări secvențiale sistemului de ecuații liniare care nu modifică setul de soluții (astfel salvăm setul de soluții al sistemului original), și mergem la un sistem echivalent care are o „formă simplă” (așa-numita formă de pas);
2. Pentru " formă simplă„A unui sistem (cu matrice de etape) descrie un set de soluții care coincide cu setul de soluții al sistemului original.

Rețineți că metoda strâns înrudită „fan-chen” era deja cunoscută în matematica chineză antică.

Transformări elementare ale sistemelor de ecuații liniare (rânduri de matrice)

Definiția 3.4.1 (conversie elementară de tip 1). Când i-a ecuație a sistemului este adăugată la k-a ecuație înmulțită cu număr (notația: (i)"=(i)+c(k) ; adică, doar o i-a ecuație (i) este înlocuită cu o nouă ecuație (i)"=(i)+c(k) ). Noua ecuație i-a are forma (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a în +ca kn)x n =b i +cb k, sau, pe scurt,

Adică în noua ecuație i-a a ij "=a ij +ca kj, b i"=b i + cb k.

Definiția 3.4.2 (conversie elementară de tip 2). Pentru ecuațiile i-a și k-a sunt interschimbate, ecuațiile rămase nu se modifică (notația: (i)"=(k) , (k)"=(i) ); pentru coeficienți, aceasta înseamnă următoarele: pentru j=1,...,n

Observație 3.4.3. Pentru comoditate, în calcule specifice, puteți aplica o transformare elementară de al treilea tip: ecuația i-a este înmulțită cu un număr diferit de zero , (i)"=c(i) .

Propunerea 3.4.4. Dacă am trecut de la sistemul I la sistemul II cu ajutorul unui număr finit de transformări elementare de tipul 1 și 2, atunci din sistemul II putem reveni la sistemul I și prin transformări elementare de tipul 1 și 2.

Dovada.

Observație 3.4.5. Afirmația este adevărată și cu includerea unei transformări elementare de tipul 3 în numărul de transformări elementare. Dacă și (i)"=c(i), atunci și (i)=c -1 (i)" .

Teorema 3.4.6.După aplicarea succesivă a unui număr finit de transformări elementare de tipul I sau al II-lea la un sistem de ecuații liniare se obține un sistem de ecuații liniare echivalent cu cel inițial.

Dovada. Rețineți că este suficient să luăm în considerare cazul trecerii de la sistemul I la sistemul II cu ajutorul unei transformări elementare și să dovedim includerea pentru mulțimile de soluții (deoarece, în virtutea propoziției dovedite, este posibil să revenim la sistemul I din sistemul II și deci vom avea includerea , adică se va dovedi egalitatea).

Definiția 1. Sistemul de ecuații liniare de forma (1) , unde , câmpul, se numește sistem de m ecuații liniare cu n necunoscute asupra unui câmp, - coeficienți la necunoscute, , , - termeni liberi ai sistemului (1).

Definiția 2. Ordonat n-ka (), unde , se numește rezolvarea unui sistem de ecuații liniare(1) dacă, atunci când variabila este înlocuită cu fiecare ecuație a sistemului (1), aceasta se transformă într-o egalitate numerică adevărată.

Definiția 3. comun daca are cel putin o solutie. În caz contrar, sistemul (1) este apelat incompatibil.

Definiția 4. Sistemul de ecuații liniare (1) se numește anumit dacă are o soluție unică. În caz contrar, sistemul (1) este apelat incert.

Sistem de ecuații liniare

(există o soluție) (nu există soluție)

articulare nearticulată

(singura soluție) (nu singura soluție)

definit nedefinit

Definiția 5. Sistem de ecuații liniare peste un câmp R numit omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero. În caz contrar, sistemul este apelat eterogen.

Se consideră sistemul de ecuații liniare (1). Atunci un sistem omogen al unei specii se numește sistem omogen, asociate cu sistemul (1). Un SLE omogen este întotdeauna consistent, deoarece are întotdeauna o soluție.

Pentru fiecare SLN pot fi introduse în considerare două matrice - cea principală și cea extinsă.

Definiția 6. Matricea principală a sistemului de ecuații liniare(1) se numește matrice compusă din coeficienți pentru necunoscute de următoarea formă: .

Definiția 7. Sistem matriceal extins de ecuații liniare(1) se numește matrice obținută dintr-o matrice prin adăugarea unei coloane de membri liberi: .

Definiția 8.Transformări elementare ale sistemului de ecuații liniare se numesc următoarele: 1) înmulţirea ambelor părţi ale unei ecuaţii a sistemului cu un scalar; 2) adăugarea la ambele părți ale unei ecuații a sistemului părților corespunzătoare ale celeilalte ecuații, înmulțită cu elementul; 3) adăugarea sau eliminarea unei ecuații de forma .

Definiția 9. Două sisteme de ecuații liniare peste un câmp R relativ la variabile sunt numite echivalent dacă seturile lor de soluții sunt aceleași.

Teorema 1 . Dacă un sistem de ecuații liniare este obținut dintr-un altul cu ajutorul transformărilor elementare, atunci astfel de sisteme sunt echivalente.

Este convenabil să aplicați transformări elementare nu unui sistem de ecuații liniare, ci matricei sale extinse.

Definiția 10. Fie dată o matrice cu elemente din câmpul P. Transformări elementare matricele sunt denumite după cum urmează:

1) înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând cu matrice pe aО Р # ;

2) înmulțirea tuturor elementelor oricărui rând cu matrice pe aО Р # și adunarea cu elementele corespunzătoare dintr-un alt rând;

3) permutarea oricăror două rânduri ale matricei;

4) adăugarea sau ștergerea unei linii zero.

8. Soluție SLN: m metoda excluderii succesive a necunoscutelor (metoda Gauss).

Luați în considerare una dintre principalele metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare, care se numește metoda de eliminare succesiva a necunoscutelor, sau altfel, metoda Gauss. Luați în considerare sistemul (1) m ecuații liniare cu n necunoscut peste câmp R:(1) .

În sistemul (1), cel puțin unul dintre coeficienții pentru nu este egal cu 0 . În caz contrar (1) este un sistem de ecuații cu () necunoscute - aceasta contrazice condiția. Să schimbăm ecuațiile astfel încât coeficientul la din prima ecuație să nu fie egal cu 0 . Astfel, putem presupune că. Înmulțiți ambele părți ale primei ecuații cu și adăugați părțile corespunzătoare ale celei de-a doua, a treia, ..., m respectiv ecuațiile. Obținem un sistem de forma: , unde s - cel mai mic număr, astfel încât cel puțin unul dintre coeficienții pentru nu este egal cu 0 . Schimbați ecuațiile astfel încât în ​​al doilea rând coeficientul variabilei să nu fie egal cu 0 , adică putem presupune că . Apoi înmulțim ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu și adăugăm părțile corespunzătoare ale celei de-a treia, …, m respectiv ecuațiile. Continuând acest proces, obținem un sistem de forma:

Sistemul de ecuații liniare, care, conform teoremei 1, este echivalent cu sistemul (1) . Sistemul se numește sistem în trepte de ecuații liniare. Există două cazuri: 1) Cel puțin unul dintre elemente nu este egal cu 0 . Să fie, de exemplu, . Apoi, în sistemul de ecuații liniare există o ecuație de forma , ceea ce este imposibil. Aceasta înseamnă că sistemul nu are soluții și, prin urmare, sistemul (1) nu are soluții (în acest caz (1) este un sistem inconsecvent).

2) Fie ,…, . Apoi cu ajutorul unei transformări elementare 3) obținem un sistem - un sistem r ecuații liniare cu n necunoscut. În acest caz, se numesc variabilele de la coeficienți principalele variabile(acest), totalul lor r. Restul ( n-r) sunt numite variabile gratuit.

Există două cazuri: 1) Dacă r=n, atunci este un sistem triunghiular. În acest caz, din ultima ecuație găsim variabila , din penultima - variabila , ..., din prima ecuație - variabila . Astfel, obținem o soluție unică pentru sistemul de ecuații liniare și, prin urmare, pentru sistemul de ecuații liniare (1) (în acest caz, sistemul (1) este definit).

2) Lasă r . În acest caz, variabilele principale sunt exprimate în termenii celor libere și se obține soluția generală a sistemului de ecuații liniare (1). Prin acordarea de valori arbitrare variabilelor libere, se obțin diverse soluții particulare ale sistemului de ecuații liniare (1) (în acest caz, sistemul (1) este nedefinit).