Aflați ecuația unei drepte care este intersecția a două plane. Linia de intersecție a avioanelor online. Proprietățile matricelor inverse

Cu ajutorul acestuia calculator online puteți găsi linia de intersecție a planurilor. dat solutie detaliata cu explicatii. Pentru a găsi ecuația dreptei de intersecție a planurilor, introduceți coeficienții în ecuațiile planelor și faceți clic pe butonul „Rezolvare”. Vezi mai jos partea teoretică și exemple numerice.

×

Avertizare

Ștergeți toate celulele?

Închide Clear

Instrucțiuni de introducere a datelor. Numerele sunt introduse ca numere întregi (exemple: 487, 5, -7623 etc.), numere zecimale (de ex. 67, 102,54 etc.) sau fracții. Fracția trebuie scrisă sub forma a/b, unde a și b (b>0) sunt numere întregi sau numere zecimale. Exemplele 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 etc.

Linia de intersecție a planelor - teorie, exemple și soluții

Două planuri din spațiu pot fi paralele, pot coincide sau se intersectează. În acest articol, vom determina poziția relativă a două plane, iar dacă aceste plane se intersectează, vom obține ecuația pentru dreapta de intersecție a planurilor.

Să fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular cartezian Oxyzși să fie date avioanele în acest sistem de coordonate α 1 și α 2:

Din moment ce vectorii n 1 și n 2 sunt coliniare, apoi există un număr λ ≠0, care satisface egalitatea n 1 =λ n 2, adică A 1 =λ A 2 , B 1 =λ B 2 , C 1 =λ C 2 .

Înmulțirea ecuației (2) cu λ , primim:

Dacă egalitatea D 1 =λ D 2, apoi avionul α 1 și α 2 se potrivesc dacă D 1 ≠λ D 2 apoi avionul α 1 și α 2 sunt paralele, adică nu se intersectează.

2. Vectori normali n 1 și n 2 avioane α 1 și α 2 nu sunt coliniare (Fig.2).

Dacă vectorii n 1 și n 2 nu sunt coliniare, atunci rezolvăm sistemul de ecuații liniare (1) și (2). Pentru a face acest lucru, traducem termenii liberi în partea dreaptă a ecuațiilor și compunem ecuația matriceală corespunzătoare:

Unde X 0 , y 0 , z 0 , m, p, l numere reale și t− variabilă.

Egalitatea (5) poate fi scrisă sub următoarea formă:

Exemplul 1. Aflați dreapta de intersecție a planelor α 1 și α 2:

Să rezolvăm sistemul de ecuații liniare (9) în raport cu x, y, z. Pentru a rezolva sistemul, construim o matrice augmentată:

Faza a doua. Gauss invers.

Excludeți elementele coloanei a 2-a a matricei de deasupra elementului A 22. Pentru a face acest lucru, adăugați rândul 1 cu rândul 2, înmulțit cu −2/5:

Obținem o soluție:

S-a obţinut ecuaţia dreptei de intersecţie a planelor α 1 și α 2 în formă parametrică. O scriem în formă canonică.

Răspuns. Ecuația dreptei de intersecție a planelor α 1 și α 2 arată astfel:

α 1 are un vector normal n 1 ={A 1 , B 1 , C 1)=(1, 2, 7). Avion α 2 are un vector normal n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={2, 4, 14}.

n 1 și n 2 sunt coliniare ( n 1 se poate obține prin înmulțire n 2 cu numărul 1/2), apoi avionul α 1 și α 2 sunt paralele sau coincid.

α 2 înmulțit cu numărul 1/2:

Soluţie. Să determinăm mai întâi poziția relativă a acestor plane. Avion α 1 are un vector normal n 1 ={A 1 , B 1 , C 1 )=(5, −2, 3). Avion α 2 are un vector normal n 2 ={A 2 , B 2 , C 2 }={15, −6, 9}.

Deoarece vectorii de direcţie n 1 și n 2 sunt coliniare ( n 1 se poate obține prin înmulțire n 2 cu numărul 1/3), apoi avionul α 1 și α 2 sunt paralele sau coincid.

Înmulțirea unei ecuații cu un număr diferit de zero nu schimbă ecuația. Să transformăm ecuația planului α 2 înmulțit cu numărul 1/3:

Deoarece vectorii normali ai ecuațiilor (17) și (19) coincid și termenii liberi sunt egali, planurile α 1 și α 2 meci.

O linie dreaptă în spațiu poate fi definită ca o linie de intersecție a două plane neparalele și, adică, ca o mulțime de puncte care satisfac un sistem de două ecuații liniare

(V.5)

Afirmația inversă este de asemenea adevărată: un sistem de două ecuații liniare independente de forma (V.5) definește o dreaptă drept o linie de intersecție a planelor (dacă acestea nu sunt paralele). Se numesc ecuațiile sistemului (V.5). ecuație generală drept în spațiu
.

ExempluV.12 . Compuneți ecuația canonică a dreptei date ecuații generale avioane

Soluţie. Pentru a scrie ecuația canonică a unei linii sau, care este aceeași, ecuația unei linii care trece prin două puncte date, trebuie să găsiți coordonatele oricăror două puncte de pe linie. Ele pot fi punctele de intersecție ale unei linii drepte cu oricare două plane de coordonate, de exemplu OyzȘi Oxz.

Punct de intersecție al unei drepte cu un plan Oyz are o abscisă
. Prin urmare, presupunând în acest sistem de ecuații
, obținem un sistem cu două variabile:

Decizia ei
,
impreuna cu
definește un punct
linie dreaptă dorită. Presupunând în acest sistem de ecuații
, obținem sistemul

a cărui soluție
,
impreuna cu
definește un punct
intersecția unei drepte cu un plan Oxz.

Acum scriem ecuațiile unei drepte care trece prin puncte
Și
:
sau
, Unde
va fi vectorul de direcție al acestei drepte.

ExempluV.13. Linia dreaptă este dată de ecuația canonică
. Scrieți ecuația generală pentru această dreaptă.

Soluţie. Ecuația canonică a unei linii drepte poate fi scrisă ca un sistem de două ecuații independente:



Am obținut ecuația generală a unei drepte, care este dată acum de intersecția a două plane, dintre care unul
paralel cu axa Oz (
), si celalalt
– topoare OU (
).

Această linie poate fi reprezentată ca o linie de intersecție a altor două plane prin scrierea ecuației sale canonice sub forma unei alte perechi de ecuații independente:



cometariu . Aceeași linie poate fi dată de sisteme diferite de două ecuații liniare (adică de intersecția unor planuri diferite, deoarece printr-o singură linie pot fi trase nenumărate plane), precum și de ecuații canonice diferite (în funcție de alegerea unui punct pe linie și vectorul ei de direcție) .

Un vector diferit de zero paralel cu o dreaptă, îl vom numi vector ghid .

Lăsați să intre spațiul tridimensional linie dreaptă dată l trecând prin punct
, și vectorul său de direcție
.

Orice vector
, Unde
, situat pe o linie dreaptă, este coliniar cu vectorul , deci coordonatele lor sunt proporționale, adică

. (V.6)

Această ecuație se numește ecuația canonică a dreptei. În cazul particular când ﻉ este un plan, obținem ecuația unei drepte pe un plan

. (V.7)

ExempluV.14. Aflați ecuația unei drepte care trece prin două puncte
,
.

,

Unde
,
,
.

Este convenabil să scrieți ecuația (V.6) în formă parametrică. Deoarece coordonatele vectorilor de direcție ai dreptelor paralele sunt proporționale, presupunând

,

Unde t - parametru,
.

Distanța de la punct la linie

Considerăm un spațiu euclidian bidimensional ﻉ cu un sistem de coordonate carteziene. Lasă punctul
ﻉ și lﻉ. Aflați distanța de la acest punct la linie. Sa punem
, și o linie dreaptă l este dat de ecuație
(Fig. V.8).

Distanţă
, vector
, Unde
este vectorul linie normal l,
Și sunt coliniare, deci coordonatele lor sunt proporționale, adică
, prin urmare,
,
.

De aici
sau înmulțirea acestor ecuații cu AȘi B respectiv, și adunându-le împreună, găsim
, prin urmare

.

(V.8)

definește distanța de la un punct
spre drept
.

ExempluV.15. Aflați ecuația unei drepte care trece printr-un punct
perpendicular pe linie l:
și găsiți distanța de la
spre drept l.

Din fig. V.8 avem
, iar vectorul normal este o linie dreaptă l
. Din condiția de perpendicularitate avem

Deoarece
, Acea

. (V.9)

Aceasta este ecuația dreptei care trece prin punct
, perpendicular pe linie
.

Să avem ecuația dreptei (V.9) care trece prin punct
, perpendicular pe linie l:
. Găsiți distanța de la punct
spre drept l, folosind formula (V.8).

Pentru a găsi distanța dorită, este suficient să găsiți ecuația unei drepte care trece prin două puncte
și punct
culcat pe linia de la baza perpendicularei. Lăsa
, Apoi

Deoarece
, și vectorul
, Acea

. (V.11)

De la punctul
se află pe o linie dreaptă l, atunci avem o altă egalitate
sau

Să aducem sistemul într-o formă convenabilă pentru aplicarea metodei lui Cramer

Soluția ei arată ca

,

. (V.12)

Înlocuind (V.12) în (V.10), obținem distanța inițială.

ExempluV.16. Un punct este dat în spațiul bidimensional
si direct
. Găsiți distanța de la punct
la o linie dreaptă; scrieți ecuația unei drepte care trece printr-un punct
perpendicular pe o dreaptă dată și găsiți distanța de la punct
până la baza perpendicularei pe dreapta inițială.

Prin formula (V.8) avem

Ecuația unei drepte care conține o perpendiculară poate fi găsită ca o dreaptă care trece prin două puncte
Și
, folosind formula (V.11). Deoarece
, apoi, ținând cont de faptul că
, A
, avem

.

Pentru a găsi coordonatele
avem un sistem luând în considerare faptul că punctul
se află pe linia originală

Prin urmare,
,
, de aici.

Considerăm un spațiu euclidian tridimensional ﻉ. Lasă punctul
ﻉ și avion ﻉ. Găsiți distanța de la acest punct
la planul  dat de ecuaţie (Fig. V.9).

Similar cu spațiul bidimensional, avem
și vector
ah, de aici

. (V.13)

Scriem ecuația unei drepte care conține o perpendiculară pe planul  ca ecuație a unei drepte care trece prin două puncte
Și
culcat în avion :

. (V.14)

Pentru a afla coordonatele unui punct
la oricare două egalități de formula (V.14) adăugăm ecuația

Rezolvând sistemul de trei ecuații (V.14), (V.15), găsim ,,- coordonatele punctului
. Atunci ecuația perpendiculară poate fi scrisă ca

.

Pentru a afla distanța de la un punct
la plan în loc de formula (V.13) folosim

Prin fiecare linie dreaptă din spațiu trece un număr infinit de plane. Oricare două dintre ele, intersectându-se, îl definesc în spațiu. Prin urmare, ecuațiile oricăror două astfel de planuri, considerate împreună, sunt ecuațiile acestei drepte.

În general, oricare două plane neparalele date de ecuațiile generale

determinați linia lor de intersecție. Aceste ecuații se numesc ecuații generale Drept

Biletul 6 Scrieți o expresie pentru unghiul dintre o dreaptă și un plan, condiția de paralelism și perpendicularitate a unei drepte și a unui plan.

colţîntre o dreaptă și un plan vom numi unghiul format de dreaptă și proiecția acesteia pe plan. Fie planul dat de ecuații

Luați în considerare vectorii și . Dacă unghiul dintre ele este ascuțit, atunci va fi , unde φ este unghiul dintre dreaptă și plan. Apoi .

Dacă unghiul dintre vectori și este obtuz, atunci este egal cu . Prin urmare . Prin urmare, în orice caz . Amintind formula pentru calcularea cosinusului unghiului dintre vectori, obținem .

Condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan. O dreaptă și un plan sunt perpendiculare dacă și numai dacă vectorul direcție al dreptei și vectorul normal al planului sunt coliniare, adică. .

Condiția de paralelism a unei drepte și a unui plan. O dreaptă și un plan sunt paralele dacă și numai dacă vectorii și sunt perpendiculari.

Biletul 7. Definiți o elipsă. Scrieți ecuația elipsei în formă canonică. Vârfurile, focarele, axele și excentricitatea elipsei.

Definiție: O elipsă este locul punctelor dintr-un plan, pentru fiecare dintre care suma distanțelor până la două puncte date din același plan, numite focarele elipsei, este o valoare constantă.

Lăsa F 1 și F 2 - focarele elipsei. start O sistemele de coordonate sunt situate în mijlocul segmentului F 1 F 2. Axă Bou direct de-a lungul acestui segment, axa Oi- perpendicular pe acest segment (Fig.).

Definiție: Se numesc punctele de intersecție ale unei elipse cu axele sale de simetrie elipsa de vârf a, centrul de simetrie este centrul elipsei, se numește segmentul dintre două vârfuri care conțin focare axa majoră a elipsei, jumătate din lungimea sa semi-axa majoră a unei elipse. Se numește segmentul dintre vârfurile de pe axa de simetrie care nu conține focare axa mică a elipsei, jumătate din lungimea sa este semiaxa minoră. Valoarea este numită excentricitatea elipsei.

Dacă elipsa este dată de ecuații canonice, atunci vârfurile sale au coordonatele (– A;0), (A;0),(0; –b), (0;b), semiaxa majoră este A, semiaxa minoră este egală cu b. Valoare c, care este jumătate din distanța dintre focare, este determinată din formulă c 2 = A 2 – b 2 .

Excentricitatea elipsei caracterizează gradul de alungire a elipsei. Cu cât excentricitatea este mai aproape de zero, cu atât elipsa arată mai mult ca un cerc. Cu cât excentricitatea este mai aproape de 1, cu atât elipsa este mai întinsă. Rețineți că, prin definiție, pentru o elipsă 0< <1.

Ecuația se numește ecuația canonică a elipsei.

Biletul 8 Definiți hiperbola. Scrieți ecuația hiperbolei în formă canonică. Vârfurile, focarele, axele, asimptotele și excentricitatea hiperbolei,

Definiție: O hiperbola este un loc de puncte dintr-un plan, pentru fiecare dintre care valoarea absolută a diferenței de distanțe față de două puncte fixe ale aceluiași plan, numite focarele hiperbolei, este o valoare constantă.

La fel ca în cazul unei elipse, pentru a obține ecuația unei hiperbole, alegem un sistem de coordonate adecvat. Originea coordonatelor este situată în mijlocul segmentului dintre focare, axa Bou direct de-a lungul acestui segment, iar axa y este perpendiculară pe acesta.

Ecuația se numește ecuație canonică hiperbolă.

O hiperbolă are două axe de simetrie reciproc perpendiculare, dintre care una conține focarele hiperbolei și un centru de simetrie. Dacă o hiperbolă este dată de o ecuație canonică, atunci axele sale de simetrie sunt axele de coordonate BouȘi Oi, iar originea este centrul de simetrie al hiperbolei.

Definiție: Puncte de intersecție ale hiperbolei date de ecuația canonică cu axa Bou numit vârfurile hiperbolei, segmentul dintre ele se numește axa reală a hiperbolei. Segmentul axei y dintre punctele (0;– b) și (0; b) se numește axa imaginară. Numerele AȘi b sunt numite semiaxele reale și, respectiv, imaginare ale hiperbolei. Originea coordonatelor se numește centru. Valoarea este numită excentricitate hiperbolă.

Cometariu: Din egalitate b 2 = c 2 – A 2 rezultă că c>A, adică hiperbola >1. Excentricitatea caracterizează unghiul dintre asimptote, cu cât este mai aproape de 1, cu atât este mai mic acest unghi.

Biletul 9. Definiți o parabolă. Scrieți ecuația parabolei în formă canonică. Directrix, focalizarea unei parabole

O parabolă este locul punctelor dintr-un plan care sunt echidistante de un punct dat F și o dreaptă d care nu trece printr-un punct dat. Această definiție geometrică exprimă proprietatea directorului parabolă.

Proprietatea directorială a unei parabole Punctul F se numește focarul parabolei, linia d se numește directricea parabolei, punctul de mijloc O al perpendicularei coborâte de la focar la directrice este vârful parabolei, distanța p de la focar la directrice este parametrul parabolei, iar distanța p2 de la vârful parabolei la focarul acesteia este distanța de focalizare (Fig. a). Linia dreaptă perpendiculară pe directrice și care trece prin focar se numește axa parabolei (axa focală a parabolei). Segmentul FM care leagă un punct arbitrar M al parabolei cu focarul său se numește raza focală a punctului M. Segmentul care leagă două puncte ale parabolei se numește coarda parabolei.

Pentru un punct arbitrar al parabolei, raportul dintre distanța la focalizare și distanța la directrice este egal cu unu. Comparând proprietățile directorului elipsei, hiperbolei și parabolei, concluzionăm că excentricitatea parabolei este prin definiție egal cu unu

.Definiția geometrică a unei parabole , care își exprimă proprietatea de director, este echivalent cu definiția sa analitică - linia dată de ecuația canonică a parabolei:

Biletul 10. Ce este o matrice pătrată, identică, simetrică, ortogonală. Definiți transpus și matrici inverse s.

Definiția 1.Matrice se numește tabel dreptunghiular de numere care conține - rânduri și - coloane. .

Definiția 2. Numerează și sunt chemate Comenzile matricei(sau spuneți că matricea are dimensiune)

Definiția 3. Numerele care alcătuiesc această matrice se numesc ei elemente.

1. Definiție 4. Matricea se numește Pătrat dacă numărul de rânduri este egal cu numărul de coloane. În cazul unei matrice pătrate, conceptele diagonala principală(acestea sunt numere - ) și Diagonala laterală(acestea sunt numere - ).

2.Simetric O matrice (simetrică) este o matrice pătrată ale cărei elemente sunt simetrice față de diagonala principală. Mai formal, o matrice se numește simetrică dacă .

Aceasta înseamnă că este egal cu matricea sa transpusă:

3. Matricea identitară se numește matrice diagonală în care toate elementele diagonale sunt egale cu unul. De exemplu, matricea de identitate de ordinul trei este matricea

matrice ortogonală

matrice pătrată A, pentru care A -1 = A T numit matrice ortogonală. Proprietățile de bază ale unei matrice ortogonale: Modulul determinantului unei matrice ortogonale este egal cu unu. Această proprietate rezultă din proprietățile determinanților:

Suma pătratelor elementelor oricărei coloane a unei matrice ortogonale este egală cu unu.

Produsul scalar al unui rând și el însuși este egal cu 1, iar pentru orice alt rând este 0. Același lucru este valabil și pentru coloane.

Suma produselor elementelor oricărui rând al unei matrice ortogonale cu elementele corespunzătoare dintr-un alt rând este egală cu zero.

matrice inversă este o matrice care, înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea de identitate.Notă inversul matricei A prin , apoi conform definiției obținem: Unde E este matricea identitară.

Matricea inversă nu există pentru toate matricele. O condiție necesară și suficientă pentru nondegenerare este

det( A) ≠ 0 sau rang( A) = N.

Proprietățile matricelor inverse

· , unde denotă determinantul.

· pentru oricare două matrice inversabile și .

· , unde denotă matricea transpusă.

· pentru orice coeficient .

· Dacă este necesar să se rezolve un sistem de ecuații liniare , (b este un vector diferit de zero) unde este vectorul dorit, iar dacă acesta există, atunci . În caz contrar, fie dimensiunea spațiului soluției este mai mare decât zero, fie nu există deloc.

Matrice transpusă- matrice obtinuta din matricea originala prin inlocuirea randurilor cu coloane.

Formal, matricea de transpunere pentru matricea de dimensiune este matricea de dimensiune, definită ca .

Biletul 11. Ce sunt matricele echivalente. Enumerați transformările elementare ale matricelor. Ce se poate spune despre rangurile matricelor echivalente.

Definiție. Matricele obţinute în urma unei transformări elementare se numesc echivalent.

Transformări elementare peste rânduri de matrice următoarele transformări de șir se numesc:

1. înmulțirea unui șir cu un număr diferit de zero;

2. permutarea a două linii;

3. adăugare la un rând a matricei celuilalt rând, înmulțită cu un număr diferit de zero.

4. Dacă o matrice este trecută de la matrice la matrice cu ajutorul transformărilor echivalente pe rânduri, atunci astfel de matrice se numesc echivalent si noteaza .

5. Metoda transformărilor elementare

6. Rangul matricei este egal cu numărul rânduri diferite de zero în matrice după aducerea acesteia la o formă în trepte folosind transformări elementare peste rândurile matricei.

Biletul 12 Ce este o bază minoră. Prezentați teorema minoră de bază.

Definiție. Rangul matricei A este ordinul maxim al minorului diferit de zero (minorul este determinantul matricei pătrate ). Desemnat .

Definiție. Minorul care determină rangul matricei se numește Baza minoră. Rândurile și coloanele care formează BM se numesc rânduri și coloane de bază.

Definiție. Sistemul de coloane se numește numere dependente liniar, nu toate egale cu zero și astfel încât:

Teorema minoră a bazei

Coloanele matricei incluse în baza minoră formează un sistem liniar independent. Orice coloană a matricei este exprimată liniar în termenii coloanelor rămase din minorul de bază.

În matricea mărimii, se spune că un minor de ordinul --lea este de bază dacă este diferit de zero și toate minorele de ordin -ro sunt egale cu zero sau nu există deloc.

Consecinţă. Dacă toate coloanele unei matrice sunt exprimate liniar în termeni de coloane care formează un sistem liniar independent, atunci rangul matricei este.

Biletul 13 Ce este un sistem de ecuații omogen și neomogen. Ceea ce se numește soluția unui sistem de ecuații. Explicați termenii: sistem de ecuații compatibil, sistem de ecuații incompatibil. Ce sisteme de ecuații se numesc echivalente?

Definiția 1. Dacă toți termenii liberi sunt egali cu zero, atunci sistemul se numește omogen și eterogen - în caz contrar.

Definiția 2. Soluția sistemului este mulțimea de n numere Cu 1 , Cu 2 , …, Cu n , la înlocuirea în sistem, în loc de necunoscute, m identități numerice.

Definiția 3. Un sistem se numește compatibil (incompatibil) dacă are cel puțin o soluție (nu are soluții).

Definiția 4. Un sistem comun de ecuații algebrice liniare se numește definit (nedefinit) dacă are o soluție unică (mulțime de soluții).

Definiție.

Se numesc două sisteme de ecuații liniare echivalent (echivalent), daca au aceleasi solutii.

Se obţin sisteme echivalente, în special, când transformări elementare sistem, cu condiția ca transformările să fie efectuate numai pe rânduri de sistem.

Biletul 14 Ce este un sistem fundamental de decizie sistem omogen ecuații. Ceea ce se numește soluția generală a unui sistem omogen de ecuații.

Definiție. Baza spațiului de soluții al unui sistem liniar ecuații omogene a sunat-o sistem fundamental de decizie.

Teoremă privind structura soluției generale a unui sistem omogen de ecuații:

Orice soluție a unui sistem omogen de ecuații liniare este definită de formula

Unde X 1 , X 2 , … , X n − r- sistem fundamental de soluţii ale unui sistem omogen de ecuaţii liniare şi C 1 , C 2 , … , C n − r sunt constante arbitrare.

Proprietăți ale soluției generale a unui sistem omogen de ecuații:

1. Pentru orice valori C 1 , C 2 , … , C n − r X, definit prin formula (3), este o soluție a sistemului (1).

2. Oricare ar fi decizia X 0, există numere C 1 0 , … , C n − r 0 astfel încât

Concluzie: Pentru a găsi sistemul fundamental și decizie comună sistem omogen, este necesar să se găsească baza nucleului operatorului liniar corespunzător.

Biletul 16. Dați o definiție a unui spațiu liniar și formulați proprietățile acestuia.

O multime de L numit liniar sau spațiu vectorial , dacă pentru toate elementele (vectorii) acestei mulțimi sunt definite operațiile de adunare și înmulțire cu un număr și este adevărat:

1. Fiecare pereche de elemente XȘi y din L întâlnește elementul X + y din L , numit sumăXȘi y, și:

X + y = y+x− adunarea este comutativă;

X + (y + z) = (x + y) + z− adunarea este asociativă;

X +0 = X− există doar unul nul element 0 (X +0 = X pentru oricine X din L );

X + (− X)= 0 − pentru fiecare element X din L există doar unul opus element −x (x + (−x) = 0 pentru oricine X din L) .

2. Fiecare pereche Xși α, unde α − număr, și X element din L , corespunde elementului α X, numit muncăα ȘiX, și:

α·(β · X) = (α·β) · X− înmulţirea cu un număr este asociativă: ;

1· X = X− pentru orice element X din L .

3. Operațiile de adunare și înmulțire cu un număr sunt legate prin relațiile:

α·( X + y) = α· X + α· y− înmulțirea cu un număr este distributivă în raport cu adunarea elementelor;

(α + β )· X = α· X + β · X− înmulțirea cu un vector este distributivă în raport cu adunarea numerelor.

Biletul 17. Un subspațiu al unui spațiu liniar. Proprietățile sale. Înveliș liniar.

Definiția unui subspațiu liniar

Se numește o submulțime L nevidă a unui spațiu liniar V subspațiu liniar spaţiul V dacă

1) u+v∈L ∀u,v∈L (subspațiul este închis față de operația de adunare);

2) λv∈L ∀v∈L și orice număr λ (subspațiul este închis în raport cu operația de înmulțire a unui vector cu un număr).

Proprietatea 1 Orice subspațiu al unui spațiu liniar R este un spațiu liniar.

Proprietatea 2 dim M ≤ dim Rn.

Proprietatea 3 (la finalizarea bazei). Dacă (ep)k este o bază într-un subspațiu M al unui spațiu liniar Rn și k< n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2, . . . , en, что (ep)n будет базисом в Rn.

Definiție.Înveliș liniar este un set de vectori care definesc un subspațiu liniar. Strict vorbind, intervalul liniar este setul tuturor combinații liniare vectori de date. Să evidențiem și caracteristicile:

Biletul 18. Definiți spațiul euclidian. Explicați operația de normalizare vectorială.

Definiție Fie V un spațiu vectorial. Spunem că lui V i se dă un produs interior dacă sunt alocați doi vectori x, y ∈ V numar real, numit produsul interior al acestor vectori și notat cu xy sau (x, y), astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții (aici x, y, z sunt vectori arbitrari din V și

t este un număr real arbitrar):

1) xy = yx (produsul scalar este comutativ);

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (produsul scalar este distributiv în raport cu adunarea);

4) xx >=0 și xx = 0 dacă și numai dacă x = 0.

Spațiul vectorial în care este dat produsul scalar se numește euclidian. Proprietățile 1)–4) se numesc axiomele spațiului euclidian.

Apel vectorial normalizat sau singular dacă lungimea sa este egală cu unu. A normaliza un vector arbitrar diferit de zero înseamnă a-l împărți la lungimea sa. Rezultatul este un vector unitar co-direcționat către cel original.
Produsul scalar al unui vector arbitrar cu o unitate va da lungimea exactă a proiecției acestui vector pe direcția unității. Pentru a obține nu doar lungimea, ci și vectorul de proiecție în sine, trebuie să înmulțim această lungime cu vectorul nostru unitar:

Biletul 19 Ce este o bază ortonormală. Explicați procesul de ortogonalizare Gram-Schmidt folosind o bază bidimensională ca exemplu.

Sistem ortonormal format din n vectori n Spațiul euclidian -dimensional, formează baza acestui spațiu. O astfel de bază se numește ortonormal bază.

Dacă e 1 , e 2 , ..., en -ortonormal bază n-spaţiu euclidian dimensional şi

X = X 1 e 1 + X 2 e 2 + ... + X n e n - descompunerea vectoriala X peste această bază, apoi coordonatele Xi vector Xîn bază ortonormală se calculează prin formule Xi =(x, ei ), i= 1, 2, ..., n.

GRAMA-SCHMIDT, Dat un sistem liniar independent de vectori b 1 , b 2 , …, b l , a l+1 , …, a n l ≥ 1(1) porțiunea față de care este ortogonală, notăm b l+1 componenta ortogonală a vectorului și l+1în raport cu sistemul ortogonal b 1 , b 2 , …, b l Apoi 1. Sistem vectorial b 1 , b 2 , …, b l , b l+1 , a l+2 , …, a n(2) este echivalent cu (1).

2. Sistemul de vectori (2) este liniar independent, iar partea sa b 1 , b 2 , …, b l , b l+1– ortogonal. Folosind conceptul de componentă ortogonală, descriem procesul de transformare a unui sistem liniar independent a 1 , a 2 , …, a nîntr-un sistem ortogonal b 1 , b 2 , …, b n vectori nenuli, care se numesc ortogonalizarea sistemului a 1 , a 2 , …, a n.Acest proces constă din n pași, n este numărul de vectori din sistemul original a 1 , a 2 , …, a n.

1 pas. Noi credem b 1 \u003d a 1și obțineți sistemul b 1 , a 2 , …, a n

2 pas. Să înlocuim vectorul din sistemul (3) a 2 componenta ortogonala fata de b 1, și obținem sistemul: b 1 ,b 2 , a 3 ,…, a n (4)

Conform etapelor de ortogonalizare, sistemul (4) este liniar independent, iar parte sa b 1, b 2-ortogonale.

Să presupunem că am construit deja un sistem liniar independent b 1 , b 2 , …, b k-1 , a k ,…, a n, (5)

in care b 1 , b 2 , …, b k-1 sunt ortogonale.

La pasul k = 3, n, înlocuim vectorul din sistemul (5) un k componenta sa ortogonală în raport cu sistemul b 1 , b 2 , …, b k-1și obțineți sistemul b 1 , …,b k , a k+1 , …, a n.

După efectuarea a n-a etapă, obținem un sistem de vectori liniar independent și ortogonal b 1 , b 2 , …, b n.

Biletul 20.Definiți un operator într-un spațiu liniar. Care operator se numește liniar.

Operator numită regula după care fiecare element X X un singur element este potrivit y un set nevid Y . Se spune că operatorul acționează din X V Y .

Se notează acțiunea operatorului y = A (X), y- imagine X, X- prototip y.

Dacă fiecare element y din Y are o singură preimagine X din X , y= A (X), operatorul este apelat cartografiere unu-la-unu X V Y sau transformare X , X - domeniul de aplicare al definirii operatorului.

Lăsa X Și Y două spații liniare. Operator A acţionând din X V Y , se numește operator de linie, dacă pentru oricare două elemente uȘi v din X și orice număr α este valid:

A(u+ v) = A (u) + A (v) , A (α· u) = α· A (u).

Biletul 21. Dați un exemplu de operator liniar. Ce operații pe operatori liniari cunoașteți?

Dacă două avioane intersectează, atunci sistemul de ecuații liniare definește ecuația unei drepte în spațiu.

Adică, linia dreaptă este dată de ecuațiile a două plane. O sarcină tipică și comună este de a rescrie ecuațiile unei linii drepte în forma canonică:

Exemplul 9

Soluţie: A compune ecuații canonice linie dreaptă, trebuie să cunoașteți vectorul punct și direcție. Și am dat ecuațiile a două plane ....

1) Mai întâi, găsiți un punct care aparține dreptei date. Cum să o facă? În sistemul de ecuații, trebuie să resetați unele coordonate. Fie , atunci obținem un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute: . Adăugăm ecuațiile termen cu termen și găsim soluția sistemului:

Astfel, punctul aparține acestei linii. Acordați atenție următorului punct tehnic: este de dorit să găsiți un punct cu întreg coordonate. Dacă am pune la zero „x” sau „z” în sistem, atunci nu este un fapt că am obține un punct „bun” fără coordonate fracționale. O astfel de analiză și selecție a unui punct ar trebui efectuată mental sau pe o schiță.

Să verificăm: să substituim coordonatele punctului în sistemul original de ecuații: . Primit adevărate egalităţi, ceea ce înseamnă într-adevăr.

2) Cum să găsiți vectorul de direcție al unei linii drepte? Locația sa este demonstrată clar de următorul desen schematic:

Vectorul direcție al dreptei noastre este ortogonal cu vectorii normali ai planelor. Și dacă , atunci găsim vectorul "pe" ca produs vectorial vectori normali: .

Din ecuațiile planelor, eliminăm vectorii lor normali:

Și găsim vectorul direcție al dreptei:

Cum se verifică rezultatul a fost discutat în articol Produsul încrucișat al vectorilor.

3) Să compunem ecuațiile canonice ale unei drepte după un punct și un vector de direcție:

Răspuns:

În practică, puteți folosi o formulă gata făcută: dacă o dreaptă este dată de intersecția a două plane, atunci vectorul este vectorul de direcție al acestei drepte.

Exemplul 10

Scrieți ecuațiile canonice ale dreptei

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Răspunsul dvs. poate diferi de al meu (în funcție de punctul pe care îl alegeți). Dacă există o diferență, atunci pentru a verifica, luați un punct din ecuația dvs. și înlocuiți-l în ecuația mea (sau invers).

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

În a doua parte a lecției, vom lua în considerare poziția relativă a liniilor în spațiu și vom analiza, de asemenea, sarcinile care sunt asociate cu liniile și punctele spațiale. Sunt chinuit de așteptări vagi că materialul va fi decent, așa că este mai bine să fac o pagină web separată până la urmă.

Bine ati venit: Probleme cu o linie dreaptă în spațiu >>>

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 4: Răspunsuri:

Exemplul 6: Soluţie: Găsiți vectorul direcție al dreptei:

Vom compune ecuațiile dreptei după punctul și vectorul direcție:

Răspuns : ("y" - oricare) :

Răspuns :

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Aflați coordonatele oricărui punct de pe o dreaptă dată în spațiu de ecuațiile a două plane care se intersectează .

Soluţie.

Să rescriem sistemul de ecuații în forma următoare

Ca bază minoră a matricei principale a sistemului, luăm minorul diferit de zero de ordinul doi , adică z este o variabilă necunoscută liberă. Să transferăm termenii care conțin z în părțile drepte ale ecuațiilor: .

Să acceptăm , unde este un număr real arbitrar, atunci .

Să rezolvăm sistemul de ecuații rezultat:

Astfel, soluția generală a sistemului de ecuații are forma , unde .

Dacă iei sens specific parametrul , atunci obținem o soluție particulară a sistemului de ecuații, care ne oferă coordonatele dorite ale unui punct situat pe o dreaptă dată. Să o luăm atunci , prin urmare, este punctul dorit al dreptei.

Puteți verifica coordonatele punctului găsit, înlocuindu-le în ecuațiile originale ale două plane care se intersectează:

Răspuns:

Vectorul direcție al dreptei de-a lungul căreia se intersectează cele două plane.

ÎN sistem dreptunghiular coordonate dintr-o linie dreaptă, vectorul de direcție al dreptei este inseparabil. Când linia a într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional este dată de ecuațiile a două plane care se intersectează și , atunci coordonatele vectorului de direcție al dreptei nu sunt vizibile. Acum vom arăta cum să le determinăm.

Știm că o dreaptă este perpendiculară pe un plan atunci când este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan. Atunci vectorul normal al planului este perpendicular pe orice vector diferit de zero situat în acest plan. Vom folosi aceste fapte atunci când găsim vectorul de direcție al dreptei.

Linia a se află atât în ​​plan, cât și în plan. Prin urmare, vectorul de direcție al dreptei a este de asemenea perpendicular pe vectorul normal planul și vectorul normal avioane. Astfel, vectorul de direcție al dreptei a este Și :

Mulțimea tuturor vectorilor de direcție ai dreptei și putem seta ca , unde este un parametru care ia orice valoare reală, alta decât zero.

Exemplu.

Găsiți coordonatele oricărui vector de direcție al unei linii care este dată în sistemul de coordonate dreptunghiular Oxyz în spațiul 3D prin ecuațiile a două plane care se intersectează .

Soluţie.

Vectorii normali ai planelor și sunt vectorii Și respectiv. Vectorul de direcție al dreptei, care este intersecția a două plane date, vom lua produsul vectorial vectori normali:

Răspuns:

Trecerea la ecuațiile parametrice și canonice ale unei linii drepte în spațiu.

Există cazuri în care utilizarea ecuațiilor a două plane care se intersectează pentru a descrie o dreaptă nu este foarte convenabilă. Unele probleme sunt mai ușor de rezolvat dacă ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiul formei sau ecuații parametrice ale unei linii drepte în spațiul formei , unde x 1 , y 1 , z 1 sunt coordonatele unui punct al dreptei, a x , a y , a z sunt coordonatele vectorului de direcție al dreptei și este un parametru care ia valori reale arbitrare. Să descriem procesul de tranziție de la ecuațiile directe ale formei la ecuațiile canonice și parametrice ale unei linii drepte în spațiu.

În paragrafele anterioare, am învățat cum să găsim coordonatele unui anumit punct pe o dreaptă, precum și coordonatele unui vector de direcție al unei drepte, care este dat de ecuațiile a două plane care se intersectează. Aceste date sunt suficiente pentru a scrie atât ecuațiile canonice, cât și cele parametrice ale acestei linii într-un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiu.

Luați în considerare soluția exemplului, iar după aceea vom arăta o altă modalitate de a găsi ecuațiile canonice și parametrice ale unei linii drepte în spațiu.

Exemplu.

Soluţie.

Să calculăm mai întâi coordonatele vectorului de direcție al dreptei. Pentru a face acest lucru, găsim produsul vectorial al vectorilor normali Și avioane Și :

Acesta este, .

Acum să determinăm coordonatele unui punct al dreptei date. Pentru a face acest lucru, găsim una dintre soluțiile sistemului de ecuații .

Determinant este diferit de zero, îl luăm ca bază minoră a matricei principale a sistemului. Atunci variabila z este liberă, transferăm termenii cu ea în partea dreaptă a ecuațiilor și dăm variabilei z o valoare arbitrară:

Rezolvăm sistemul de ecuații rezultat prin metoda Cramer:

Prin urmare,

Acceptăm , în timp ce obținem coordonatele punctului dreptei: .

Acum putem scrie ecuațiile canonice și parametrice necesare ale liniei originale în spațiu:

Răspuns:

Și

Iată a doua modalitate de a rezolva această problemă.

Când găsim coordonatele unui anumit punct pe o dreaptă, rezolvăm sistemul de ecuații . În general, soluțiile sale pot fi scrise ca .

Și acestea sunt doar ecuațiile parametrice dorite ale unei linii drepte în spațiu. Dacă fiecare dintre ecuațiile obținute este rezolvată în raport cu parametrul și atunci părțile din dreapta ale egalităților sunt egalate, atunci obținem ecuațiile canonice ale dreptei în spațiu

Să arătăm soluția problemei anterioare prin această metodă.

Exemplu.

O linie dreaptă în spațiul tridimensional este dată de ecuațiile a două plane care se intersectează . Scrieți ecuațiile canonice și parametrice ale acestei drepte.

Soluţie.

Rezolvăm acest sistem de două ecuații cu trei necunoscute (soluția este dată în exemplul anterior, nu o vom repeta). În același timp, primim . Acestea sunt ecuațiile parametrice dorite ale unei linii drepte în spațiu.

Rămâne să obținem ecuațiile canonice ale unei linii drepte în spațiu:

Ecuațiile obținute ale dreptei diferă în exterior de ecuațiile obținute în exemplul anterior, dar sunt echivalente, deoarece determină același set de puncte în spațiul tridimensional (și, prin urmare, aceeași linie dreaptă).

Răspuns:

Și

Bibliografie.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. matematică superioară. Volumul unu: Elementele algebră liniarăși geometria analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.