Cum se înmulțește un număr normal cu o zecimală. Tutorial video „Înmulțirea fracțiilor zecimale. Înmulțirea unei zecimale cu un număr natural

În acest tutorial, ne vom uita la fiecare dintre aceste operații una câte una.

Conținutul lecției

Adăugarea de zecimale

După cum știm, o fracție zecimală constă dintr-o parte întreagă și o parte fracțională. Când se adaugă fracții zecimale, părțile întregi și fracționale sunt adăugate separat.

De exemplu, să adăugăm zecimale 3,2 și 5,3. Este mai convenabil să adăugați fracții zecimale într-o coloană.

În primul rând, scriem aceste două fracții într-o coloană, în timp ce părțile întregi trebuie să fie sub părțile întregi, iar cele fracționale sub părțile fracționale. În școală, această cerință se numește "virgula sub virgula" .

Să scriem fracțiile într-o coloană, astfel încât virgula să fie sub virgulă:

Adăugăm părțile fracționale: 2 + 3 = 5. Notăm cele cinci în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adunăm părțile întregi: 3 + 5 = 8. Scriem cele opt în partea întreagă a răspunsului nostru:

Acum separăm partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula "virgula sub virgula" :

Am primit răspunsul 8.5. Deci expresia 3,2 + 5,3 este egală cu 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

De fapt, nu totul este atât de simplu pe cât pare la prima vedere. Și aici există capcane, despre care vom vorbi acum.

Locurile în zecimale

Decimale, ca și numerele obișnuite, au propriile cifre. Acestea sunt locurile zece, locurile sutele, locurile miile. În acest caz, cifrele încep după virgulă zecimală.

Prima cifră după virgulă este responsabilă pentru locul zecimii, a doua cifră după virgulă pentru locul sutimii, a treia cifră după virgulă pentru locul miilor.

Cifrele din fracții zecimale stochează unele Informatii utile. În special, ei raportează câte zecimi, sutimi și miimi sunt într-o zecimală.

De exemplu, luați în considerare zecimala 0,345

Poziția în care se află triplul se numește locul zece

Poziția în care se află cei patru se numește locul sutimilor

Poziția în care se află cei cinci se numește miimii

Să ne uităm la această cifră. Vedem că în categoria zecimiilor există un trei. Acest lucru sugerează că există trei zecimi în fracția zecimală 0,345.

Dacă adunăm fracțiile și atunci obținem fracția zecimală inițială 0,345

Am primit mai întâi răspunsul, dar l-am convertit în zecimal și am primit 0,345.

Adunarea zecimale urmează aceleași reguli ca și adăugarea numerelor obișnuite. Adunarea fracțiilor zecimale are loc prin cifre: zecimi se adaugă la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Prin urmare, atunci când adăugați fracții zecimale, este necesar să urmați regula "virgula sub virgula". O virgulă sub virgulă oferă aceeași ordine în care zecimile sunt adăugate la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 1,5 + 3,4

În primul rând, adăugăm părțile fracționale 5 + 4 = 9. Scriem cele nouă în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adunăm părțile întregi 1 + 3 = 4. Notăm cele patru în partea întreagă a răspunsului nostru:

Acum separăm partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula „virgulă sub virgulă”:

Am primit răspunsul 4.9. Deci valoarea expresiei 1,5 + 3,4 este 4,9

Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei: 3,51 + 1,22

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”

În primul rând, se adaugă partea fracțională, și anume sutimile 1+2=3. Scriem triplul în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum adăugați zecimi de 5+2=7. Notăm cele șapte în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum adăugați toate părțile 3+1=4. Le notăm pe cele patru în întreaga parte a răspunsului nostru:

Separăm partea întreagă de partea fracțională cu virgulă, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Am primit răspunsul 4.73. Deci valoarea expresiei 3,51 + 1,22 este 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Ca și în cazul numerelor obișnuite, atunci când se adună fracții zecimale, . În acest caz, o cifră este scrisă în răspuns, iar restul sunt transferate la următoarea cifră.

Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei 2,65 + 3,27

Scriem această expresie într-o coloană:

Adăugați sutimi de 5+7=12. Numărul 12 nu se va încadra în a suta parte a răspunsului nostru. Prin urmare, în a suta parte, scriem numărul 2 și transferăm unitatea la următorul bit:

Acum adăugăm zecimile de 6+2=8 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 9. Scriem numărul 9 în zecimea răspunsului nostru:

Acum adăugați toate părțile 2+3=5. Scriem numărul 5 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Am primit răspunsul 5.92. Deci valoarea expresiei 2,65 + 3,27 este 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemplul 4 Aflați valoarea expresiei 9,5 + 2,8

Scrieți această expresie într-o coloană

Adăugăm părțile fracționale 5 + 8 = 13. Numărul 13 nu se va potrivi în partea fracțională a răspunsului nostru, așa că mai întâi notăm numărul 3 și transferăm unitatea la următoarea cifră, sau mai degrabă o transferăm la numărul întreg. parte:

Acum adăugăm părțile întregi 9+2=11 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 12. Scriem numărul 12 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 12.3. Deci valoarea expresiei 9,5 + 2,8 este 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Când se adună fracții zecimale, numărul de cifre după virgulă în ambele fracții trebuie să fie același. Dacă nu sunt suficiente cifre, atunci aceste locuri din partea fracțională sunt umplute cu zerouri.

Exemplul 5. Aflați valoarea expresiei: 12,725 + 1,7

Înainte de a scrie această expresie într-o coloană, să facem același număr de cifre după virgulă zecimală din ambele fracții. Fracția zecimală 12,725 are trei cifre după virgulă, în timp ce fracția 1,7 are doar una. Deci, în fracția 1,7 la sfârșit, trebuie să adăugați două zerouri. Apoi obținem fracția 1.700. Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și puteți începe să calculați:

Adăugați miimi de 5+0=5. Scriem numărul 5 în a miilea parte a răspunsului nostru:

Adăugați sutimi de 2+0=2. Scriem numărul 2 în a suta parte a răspunsului nostru:

Adăugați zecimi de 7+7=14. Numărul 14 nu se va încadra într-o zecime din răspunsul nostru. Prin urmare, notăm mai întâi numărul 4 și transferăm unitatea la următorul bit:

Acum adăugăm părțile întregi 12+1=13 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 14. Scriem numărul 14 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 14.425. Deci valoarea expresiei 12,725+1,700 este 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Scăderea zecimalelor

Când scădeți fracții zecimale, trebuie să urmați aceleași reguli ca și atunci când adăugați: „o virgulă sub virgulă” și „un număr egal de cifre după o virgulă”.

Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 2.5 − 2.2

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Se calculează partea fracționară 5−2=3. Scriem numărul 3 în a zecea parte a răspunsului nostru:

Calculați partea întreagă 2−2=0. Scriem zero în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 0.3. Deci valoarea expresiei 2,5 − 2,2 este egală cu 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei 7,353 - 3,1

Această expresie are un număr diferit de cifre după virgulă. În fracția 7.353 sunt trei cifre după virgulă, iar în fracția 3.1 există doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 3.1 trebuie adăugate două zerouri la sfârșit pentru ca numărul de cifre din ambele fracții să fie același. Apoi obținem 3.100.

Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și o puteți calcula:

Am primit răspunsul 4.253. Deci valoarea expresiei 7,353 − 3,1 este 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Ca și în cazul numerelor obișnuite, uneori va trebui să împrumutați unul din bitul adiacent dacă scăderea devine imposibilă.

Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei 3,46 − 2,39

Scădeți sutimile din 6−9. Din numărul 6 nu scădeți numărul 9. Prin urmare, trebuie să luați o unitate din cifra adiacentă. După ce am împrumutat una din cifra vecină, numărul 6 se transformă în numărul 16. Acum putem calcula sutimile din 16−9=7. Notăm cele șapte în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum scade zecimi. Deoarece am luat o unitate din categoria zecimiilor, cifra care se afla acolo a scăzut cu o unitate. Cu alte cuvinte, locul al zecelea nu este acum numărul 4, ci numărul 3. Să calculăm zecimile din 3−3=0. Scriem zero în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scădeți părțile întregi 3−2=1. Scriem unitatea în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 1.07. Deci valoarea expresiei 3,46−2,39 este egală cu 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei 3−1.2

Acest exemplu scade o zecimală dintr-un număr întreg. Să scriem această expresie într-o coloană, astfel încât partea întreagă a fracției zecimale 1,23 să fie sub numărul 3

Acum să facem același număr de cifre după virgulă zecimală. Pentru a face acest lucru, după numărul 3, puneți o virgulă și adăugați un zero:

Acum scade zecimi: 0−2. Nu scădeți din zero numărul 2. Prin urmare, trebuie să luați o unitate din cifra adiacentă. Prin împrumut unul din cifra alăturată, 0 se transformă în numărul 10. Acum puteți calcula zecimile de 10−2=8. Notăm cele opt în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scade toate părțile. Anterior, numărul 3 era localizat în număr întreg, dar am împrumutat o unitate din el. Ca rezultat, s-a transformat în numărul 2. Prin urmare, scădem 1 din 2. 2−1=1. Scriem unitatea în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 1.8. Deci valoarea expresiei 3−1,2 este 1,8

Înmulțirea zecimală

Înmulțirea zecimalelor este ușor și chiar distractiv. Pentru a înmulți zecimale, trebuie să le înmulți ca numere obișnuite, ignorând virgulele.

După ce ați primit răspunsul, este necesar să separați cu o virgulă partea întreagă de partea fracțională. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții, apoi să numărați același număr de cifre din dreapta în răspuns și să puneți o virgulă.

Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 2,5 × 1,5

Înmulțim aceste fracții zecimale ca numere obișnuite, ignorând virgulele. Pentru a ignora virgulele, vă puteți imagina temporar că lipsesc cu totul:

Avem 375. În acest număr, este necesar să separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiuni de 2,5 și 1,5. În prima fracție există o cifră după virgulă, în a doua fracțiune există și una. În total două numere.

Ne întoarcem la numărul 375 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit răspunsul 3.75. Deci valoarea expresiei 2,5 × 1,5 este 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei 12,85 × 2,7

Să înmulțim aceste zecimale, ignorând virgulele:

Avem 34695. În acest număr, trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiuni de 12,85 și 2,7. În fracția 12,85 există două cifre după virgulă, în fracția 2,7 există o cifră - un total de trei cifre.

Ne întoarcem la numărul 34695 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit răspunsul 34.695. Deci valoarea expresiei 12,85 × 2,7 este 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Înmulțirea unei zecimale cu un număr obișnuit

Uneori există situații în care trebuie să înmulți o fracție zecimală cu un număr obișnuit.

Pentru a înmulți o zecimală și un număr obișnuit, trebuie să le înmulțiți, indiferent de virgula din zecimală. După ce ați primit răspunsul, este necesar să separați cu o virgulă partea întreagă de partea fracțională. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția zecimală, apoi, în răspuns, numărați același număr de cifre la dreapta și puneți o virgulă.

De exemplu, înmulțiți 2,54 cu 2

Înmulțim fracția zecimală 2,54 cu numărul obișnuit 2, ignorând virgula:

Avem numărul 508. În acest număr, trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,54. Fracția 2,54 are două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 508 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit răspunsul 5.08. Deci valoarea expresiei 2,54 × 2 este 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100, 1000

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca și înmulțirea zecimalelor cu numere obișnuite. Este necesar să se efectueze înmulțirea, ignorând virgula în fracția zecimală, apoi în răspuns, se separă partea întreagă de partea fracțională, numărând același număr de cifre în dreapta cât au fost cifre după virgulă în zecimală. fracțiune.

De exemplu, înmulțiți 2,88 cu 10

Să înmulțim fracția zecimală 2,88 cu 10, ignorând virgula din fracția zecimală:

Avem 2880. În acest număr, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,88. Vedem că în fracția 2,88 sunt două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 2880 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit răspunsul 28.80. Aruncăm ultimul zero - obținem 28,8. Deci valoarea expresiei 2,88 × 10 este 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Există o a doua modalitate de a înmulți fracțiile zecimale cu 10, 100, 1000. Această metodă este mult mai simplă și mai convenabilă. Constă în faptul că virgula din fracția zecimală se deplasează spre dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în multiplicator.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 2,88×10 în acest fel. Fără a da niciun calcul, ne uităm imediat la factorul 10. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că are un zero. Acum, în fracția 2,88, mutam punctul zecimal la dreapta cu o cifră, obținem 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 100. Ne uităm imediat la factorul 100. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că are două zerouri. Acum, în fracția 2,88, mutam punctul zecimal la dreapta cu două cifre, obținem 288

2,88 x 100 = 288

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 1000. Ne uităm imediat la factorul 1000. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că are trei zerouri. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta cu trei cifre. A treia cifră nu este acolo, așa că adăugăm un alt zero. Ca rezultat, obținem 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1 0,01 și 0,001

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,01 și 0,001 funcționează în același mod ca și înmulțirea unei zecimale cu o zecimală. Este necesar să înmulțiți fracții ca numerele obișnuite și să puneți o virgulă în răspuns, numărând în dreapta câte cifre sunt după virgulă în ambele fracții.

De exemplu, înmulțiți 3,25 cu 0,1

Înmulțim aceste fracții ca numere obișnuite, ignorând virgulele:

Avem 325. În acest număr, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiuni de 3,25 și 0,1. În fracția 3,25 sunt două cifre după virgulă, în fracția 0,1 există o cifră. Un total de trei numere.

Ne întoarcem la numărul 325 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă. După ce numărăm trei cifre, constatăm că numerele s-au terminat. În acest caz, trebuie să adăugați un zero și să puneți o virgulă:

Am primit răspunsul 0,325. Deci valoarea expresiei 3,25 × 0,1 este 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Există o a doua modalitate de a înmulți zecimale cu 0,1, 0,01 și 0,001. Această metodă este mult mai ușoară și mai convenabilă. Constă în faptul că virgula din fracția zecimală se deplasează spre stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în multiplicator.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 3,25 × 0,1 în acest fel. Fără a da niciun calcul, ne uităm imediat la factorul 0,1. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că are un zero. Acum, în fracția 3,25, mutăm punctul zecimal la stânga cu o cifră. Mutând virgula cu o cifră la stânga, vedem că nu mai există cifre înaintea celor trei. În acest caz, adăugați un zero și puneți o virgulă. Ca rezultat, obținem 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,01. Uită-te imediat la multiplicatorul de 0,01. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că are două zerouri. Acum, în fracția 3,25, mutăm virgula la stânga cu două cifre, obținem 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,001. Uită-te imediat la multiplicatorul de 0,001. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că are trei zerouri. Acum, în fracția 3,25, mutam punctul zecimal la stânga cu trei cifre, obținem 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nu confundați înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,001 și 0,001 cu înmulțirea cu 10, 100, 1000. O greșeală comună pe care o fac majoritatea oamenilor.

La înmulțirea cu 10, 100, 1000, virgula este mutată la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în multiplicator.

Și când înmulțiți cu 0,1, 0,01 și 0,001, virgula este mutată la stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în multiplicator.

Dacă la început este greu de reținut, puteți folosi prima metodă, în care înmulțirea se face ca în cazul numerelor obișnuite. În răspuns, va trebui să separați partea întreagă de partea fracțională numărând atâtea cifre din dreapta câte cifre sunt după virgulă zecimală în ambele fracții.

Împărțirea unui număr mai mic la unul mai mare. Nivel avansat.

Într-una din lecțiile anterioare am spus că atunci când împărțim mai putine Pentru mai mult, se obține o fracție, în numărătorul căreia este dividendul, iar la numitor este divizorul.

De exemplu, pentru a împărți un măr în două, trebuie să scrieți 1 (un măr) la numărător și 2 (doi prieteni) la numitor. Rezultatul este o fracție. Așa că fiecare prieten va primi un măr. Cu alte cuvinte, o jumătate de măr. O fracție este răspunsul la o problemă cum să împarți un măr între doi

Se pare că puteți rezolva această problemă în continuare dacă împărțiți 1 la 2. La urma urmei, o bară fracțională în orice fracție înseamnă împărțire, ceea ce înseamnă că această împărțire este permisă și într-o fracție. Dar cum? Suntem obișnuiți cu faptul că dividendul este întotdeauna mai mare decât divizorul. Și aici, dimpotrivă, dividendul este mai mic decât divizorul.

Totul va deveni clar dacă ne amintim că o fracție înseamnă zdrobire, împărțire, împărțire. Aceasta înseamnă că unitatea poate fi împărțită în câte părți doriți, și nu doar în două părți.

La împărțirea unui număr mai mic la unul mai mare, se obține o fracție zecimală, în care partea întreagă va fi 0 (zero). Partea fracționată poate fi orice.

Deci, să împărțim 1 la 2. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Unul nu poate fi împărțit în două doar așa. Dacă pui o întrebare "câți doi sunt într-unul" , atunci răspunsul va fi 0. Prin urmare, în privat scriem 0 și punem virgulă:

Acum, ca de obicei, înmulțim câtul cu divizorul pentru a scoate restul:

A venit momentul în care unitatea poate fi împărțită în două părți. Pentru a face acest lucru, adăugați un alt zero în dreapta celui primit:

Am primit 10. Împărțim 10 la 2, obținem 5. Notăm cele cinci în partea fracționară a răspunsului nostru:

Acum scoatem ultimul rest pentru a finaliza calculul. Înmulțind 5 cu 2, obținem 10

Am primit răspunsul 0,5. Deci fracția este 0,5

Jumătate de măr poate fi scris și folosind fracția zecimală 0,5. Dacă adăugăm aceste două jumătăți (0,5 și 0,5), obținem din nou un măr întreg original:

Acest punct poate fi înțeles și dacă ne imaginăm cum 1 cm este împărțit în două părți. Dacă împărțiți 1 centimetru în 2 părți, obțineți 0,5 cm

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei 4:5

Câte cinci sunt în patru? Deloc. Scriem în privat 0 și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem zero sub patru. Scădeți imediat acest zero din dividend:

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele patru în 5 părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta lui 4, adunăm zero și împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem pe opt în privat.

Terminăm exemplul înmulțind 8 cu 5 și obținem 40:

Am primit răspunsul 0.8. Deci valoarea expresiei 4: 5 este 0,8

Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei 5: 125

Câte numere 125 sunt în cinci? Deloc. Scriem 0 în privat și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem 0 sub cinci. Scădeți imediat din cele cinci 0

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele cinci în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta acestor cinci, scriem zero:

Împărțiți 50 la 125. Câte numere 125 sunt în 50? Deloc. Deci în coeficient scriem din nou 0

Înmulțim 0 cu 125, obținem 0. Scriem acest zero sub 50. Scădem imediat 0 din 50

Acum împărțim numărul 50 în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta lui 50, scriem un alt zero:

Împărțiți 500 la 125. Câte numere sunt 125 în numărul 500. În numărul 500 sunt patru numere 125. Le scriem pe cele patru în privat:

Completem exemplul înmulțind 4 cu 125 și obținem 500

Am primit răspunsul 0,04. Deci valoarea expresiei 5: 125 este 0,04

Împărțirea numerelor fără rest

Deci, să punem o virgulă în coeficientul după unitate, indicând astfel că împărțirea părților întregi s-a încheiat și trecem la partea fracțională:

Adăugați zero la restul de 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem cele opt în privat:

40−40=0. A primit 0 în rest. Deci diviziunea este complet finalizată. Împărțirea a 9 la 5 are ca rezultat o zecimală de 1,8:

9: 5 = 1,8

Exemplul 2. Împărțiți 84 la 5 fără rest

Mai întâi împărțim 84 la 5, ca de obicei, cu un rest:

Primit in privat 16 si inca 4 in sold. Acum împărțim acest rest la 5. Punem o virgulă în privat și adăugăm 0 la restul de 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient după virgulă:

și completați exemplul verificând dacă mai există un rest:

Împărțirea unei zecimale la un număr obișnuit

O fracție zecimală, după cum știm, constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Când împărțiți o fracție zecimală la un număr obișnuit, mai întâi de toate aveți nevoie de:

împărțiți partea întreagă a fracției zecimale la acest număr;
după ce partea întreagă este împărțită, trebuie să puneți imediat o virgulă în partea privată și să continuați calculul, ca în diviziunea obișnuită.

De exemplu, să împărțim 4,8 la 2

Să scriem acest exemplu ca un colț:

Acum să împărțim întreaga parte la 2. Patru împărțit la doi înseamnă doi. Scriem deuce în privat și punem imediat virgulă:

Acum înmulțim câtul cu divizorul și vedem dacă există un rest din împărțire:

4−4=0. Restul este zero. Nu scriem încă zero, deoarece soluția nu este finalizată. Apoi continuăm să calculăm, ca în diviziunea obișnuită. Luați 8 și împărțiți-l la 2

8: 2 = 4. Scriem cele patru în cât și îl înmulțim imediat cu divizorul:

Am primit răspunsul 2.4. Valoarea expresiei 4,8: 2 este egal cu 2,4

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei 8.43:3

Împărțim 8 la 3, obținem 2. Puneți imediat o virgulă după cele două:

Acum înmulțim câtul cu divizorul 2 × 3 = 6. Scriem șase sub opt și aflăm restul:

Împărțim 24 la 3, obținem 8. Scriem cele opt în privat. Îl înmulțim imediat cu divizorul pentru a găsi restul diviziunii:

24−24=0. Restul este zero. Zero nu este încă înregistrat. Luați ultimele trei din dividende și împărțiți la 3, obținem 1. Înmulțiți imediat 1 cu 3 pentru a completa acest exemplu:

Am primit răspunsul 2.81. Deci valoarea expresiei 8,43: 3 este egală cu 2,81

Împărțirea unei zecimale la o zecimală

Pentru a împărți o fracție zecimală într-o fracție zecimală, în dividend și în divizor, mutați virgula la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor, apoi împărțiți la un număr obișnuit.

De exemplu, împărțiți 5,95 la 1,7

Să scriem această expresie ca un colț

Acum, în dividend și în divizor, mutăm virgula la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Deci trebuie să mutam virgula la dreapta cu o cifră în dividend și în divizor. Transfer:

După ce a mutat punctul zecimal la dreapta cu o cifră, fracția zecimală 5,95 s-a transformat într-o fracțiune 59,5. Iar fracția zecimală 1,7, după ce a mutat punctul zecimal la dreapta cu o cifră, s-a transformat în numărul obișnuit 17. Și știm deja cum să împărțim fracția zecimală la numărul obișnuit. Calculul suplimentar nu este dificil:

Virgula este mutată spre dreapta pentru a facilita împărțirea. Acest lucru este permis datorită faptului că la înmulțirea sau împărțirea dividendului și a divizorului cu același număr, coeficientul nu se modifică. Ce înseamnă?

Aceasta este una dintre caracteristicile interesante ale diviziunii. Se numește proprietate privată. Luați în considerare expresia 9: 3 = 3. Dacă în această expresie dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul 3 nu se va modifica.

Să înmulțim dividendul și divizorul cu 2 și să vedem ce se întâmplă:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

După cum se poate vedea din exemplu, coeficientul nu s-a schimbat.

Același lucru se întâmplă atunci când purtăm o virgulă în dividend și în divizor. În exemplul anterior, în care am împărțit 5,91 la 1,7, am mutat virgula cu o cifră la dreapta în dividend și divizor. După mutarea virgulei, fracția 5,91 a fost convertită în fracția 59,1, iar fracția 1,7 a fost convertită în numărul obișnuit 17.

De fapt, în cadrul acestui proces, a avut loc înmulțirea cu 10. Iată cum arăta:

5,91 × 10 = 59,1

Prin urmare, numărul de cifre după virgulă zecimală din divizor depinde de ce vor fi înmulțite dividendul și divizorul. Cu alte cuvinte, numărul de cifre după virgula zecimală din divizor va determina câte cifre din dividend, iar în divizor virgula va fi mutată la dreapta.

Împărțire zecimală cu 10, 100, 1000

Împărțirea unei zecimale la 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca . De exemplu, să împărțim 2,1 la 10. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Dar există și o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este mutată la stânga cu atâtea cifre câte zerouri există în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 2.1: 10. Ne uităm la separator. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Deci, în divizibilul 2.1, trebuie să mutați virgula la stânga cu o cifră. Mutăm virgula la stânga cu o cifră și vedem că nu mai sunt cifre. În acest caz, adăugăm încă un zero înaintea numărului. Ca rezultat, obținem 0,21

Să încercăm să împărțim 2,1 la 100. Există două zerouri în numărul 100. Deci, în divizibilul 2.1, trebuie să mutați virgula la stânga cu două cifre:

2,1: 100 = 0,021

Să încercăm să împărțim 2,1 la 1000. Există trei zerouri în numărul 1000. Deci, în divizibilul 2.1, trebuie să mutați virgula la stânga cu trei cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Împărțire zecimală cu 0,1, 0,01 și 0,001

Împărțirea unei zecimale la 0,1, 0,01 și 0,001 se face în același mod ca . În dividend și în divizor, trebuie să mutați virgula la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după punctul zecimal din divizor.

De exemplu, să împărțim 6,3 la 0,1. În primul rând, mutăm virgulele în dividend și în divizor spre dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Deci, mutăm virgulele în dividend și în divizor la dreapta cu o cifră.

După mutarea punctului zecimal la dreapta cu o cifră, fracția zecimală 6,3 se transformă în numărul obișnuit 63, iar fracția zecimală 0,1, după mutarea punctului zecimal la dreapta cu o cifră, se transformă într-una. Și împărțirea a 63 la 1 este foarte simplă:

Deci valoarea expresiei 6.3: 0.1 este egală cu 63

Dar există și o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este transferată la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri există în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 6.3:0.1. Să ne uităm la separator. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Deci, în divizibilul 6.3, trebuie să mutați virgula la dreapta cu o cifră. Mutăm virgula la dreapta cu o cifră și obținem 63

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,01. Divizorul 0,01 are două zerouri. Deci, în divizibilul 6.3, trebuie să mutați virgula la dreapta cu două cifre. Dar în dividend există doar o cifră după virgulă. În acest caz, mai trebuie adăugat un zero la sfârșit. Ca rezultat, obținem 630

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,001. Divizorul lui 0,001 are trei zerouri. Deci, în divizibilul 6.3, trebuie să mutați virgula la dreapta cu trei cifre:

6,3: 0,001 = 6300

Sarcini pentru soluție independentă

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Știți deja că un * 10 = a + a + a + a + a + a + a + a + a + a. De exemplu, 0,2 * 10 = 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2. Este ușor de ghicit că această sumă este egală cu 2, adică. 0,2 * 10 = 2.

În mod similar, se poate verifica că:

5,2 * 10 = 52 ;

0,27 * 10 = 2,7 ;

1,253 * 10 = 12,53 ;

64,95 * 10 = 649,5 .

Probabil ați ghicit că atunci când înmulțiți o fracție zecimală cu 10, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu o cifră în această fracție.

Cum se înmulțește o zecimală cu 100?

Avem: a * 100 = a * 10 * 10 . Apoi:

2,375 * 100 = 2,375 * 10 * 10 = 23,75 * 10 = 237,5 .

Argumentând în mod similar, obținem că:

3,2 * 100 = 320 ;

28,431 * 100 = 2843,1 ;

0,57964 * 100 = 57,964 .

Înmulțiți fracția 7,1212 cu numărul 1000.

Avem: 7,1212 * 1000 = 7,1212 * 100 * 10 = 712,12 * 10 = 7121,2.

Aceste exemple ilustrează următoarea regulă.

Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1.000 etc., trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta în această fracție, respectiv, cu 1, 2, 3 etc. numere.

Deci, dacă mutați virgula la dreapta cu 1, 2, 3 etc. numere, atunci fracția va crește cu 10, 100, 1.000 etc., respectiv. o singura data.

Prin urmare, dacă mutați virgula la stânga cu 1, 2, 3 etc. numere, atunci fracția va scădea cu 10, 100, 1.000 etc., respectiv. o singura data .

Să arătăm că forma zecimală de notare a fracțiilor face posibilă înmulțirea lor, ghidată de regula înmulțirii numerelor naturale.

Să găsim, de exemplu, produsul 3,4 * 1,23. Să creștem primul multiplicator de 10 ori, iar al doilea de 100 de ori. Aceasta înseamnă că am mărit produsul de 1.000 de ori.

Prin urmare, produsul numerelor naturale 34 și 123 este de 1.000 de ori mai mare decât produsul dorit.

Avem: 34 * 123 = 4182. Apoi, pentru a obține un răspuns, numărul 4.182 trebuie redus de 1.000 de ori. Să scriem: 4 182 \u003d 4 182.0. Mutând virgula în numărul 4182.0 de trei cifre la stânga, obținem numărul 4.182, care este de 1000 de ori mai mic decât numărul 4182 . Deci 3,4 * 1,23 = 4,182 .

Același rezultat poate fi obținut folosind următoarea regulă.

Pentru a înmulți două zecimale:

1) înmulțiți-le ca numere naturale, ignorând virgulele;

2) în produsul rezultat, separați cu o virgulă în dreapta câte cifre sunt după virgule în ambii factori împreună.

În cazurile în care produsul conține mai puține cifre decât este necesar pentru a fi separate prin virgulă, numărul necesar de zerouri este adăugat la stânga înaintea acestui produs, iar apoi virgula este mutată la stânga cu numărul necesar de cifre.

De exemplu, 2 * 3 = 6, apoi 0,2 * 3 = 0,006; 25 * 33 = 825, apoi 0,025 * 0,33 = 0,00825.

În cazurile în care unul dintre factori este egal cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., este convenabil să folosiți următoarea regulă.

Pentru a înmulți o zecimală cu 0,1; 0,01; 0,001 etc., este necesar să mutați virgula la stânga în această fracție, respectiv, cu 1, 2, 3 etc. numere.

De exemplu, 1,58 * 0,1 = 0,158; 324,7 * 0,01 = 3,247.

Proprietățile de înmulțire ale numerelor naturale sunt valabile pentru numere fracționare:

ab = ba − proprietatea comutativă a înmulțirii,

(ab) c = a(b c) − Proprietate asociativă multiplicare,

a(b + c) = ab + ac este proprietatea distributivă a înmulțirii față de adunare.

Să trecem la studierea următoarei acțiuni cu fracții zecimale, acum vom lua în considerare în mod cuprinzător înmulțirea zecimalelor. Să discutăm mai întâi principii generaleînmulțirea zecimalelor. După aceea, să trecem la înmulțirea unei fracții zecimale cu o fracție zecimală, arătați cum se realizează înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană, luați în considerare soluțiile exemplelor. În continuare, vom analiza înmulțirea fracțiilor zecimale cu numere naturale, în special cu 10, 100 etc. În concluzie, să vorbim despre înmulțirea fracțiilor zecimale cu fracții obișnuite și numere mixte.

Să spunem imediat că în acest articol vom vorbi doar despre înmulțirea fracțiilor zecimale pozitive (vezi numere pozitive și negative). Cazurile rămase sunt analizate în articolele înmulțirea numerelor raționale și înmulțirea numerelor reale.

Navigare în pagină.

Principii generale pentru înmulțirea zecimalelor

Să discutăm despre principiile generale care ar trebui urmate atunci când se efectuează înmulțirea cu fracții zecimale.

Deoarece zecimale finite și fracții periodice infinite sunt forma zecimală a fracțiilor obișnuite, înmulțirea unor astfel de fracții zecimale este în esență înmulțirea fracțiilor obișnuite. Cu alte cuvinte, înmulțirea zecimalelor finale, înmulțirea fracțiilor zecimale finale și periodice, și înmulțirea zecimalelor periodice se rezumă la înmulțirea fracțiilor obișnuite după conversia fracțiilor zecimale în ordinare.

Luați în considerare exemple de aplicare a principiului vocal al înmulțirii fracțiilor zecimale.

Exemplu.

Efectuați înmulțirea zecimalelor 1,5 și 0,75.

Soluţie.

Să înlocuim fracțiile zecimale înmulțite cu fracțiile ordinare corespunzătoare. Deoarece 1,5=15/10 și 0,75=75/100, atunci . Puteți reduce fracția și apoi selectați întreaga parte din fracția improprie și este mai convenabil să scrieți fracția ordinară rezultată 1 125/1 000 ca fracție zecimală 1,125.

Răspuns:

1,5 0,75=1,125.

Trebuie remarcat faptul că este convenabil să înmulțiți fracțiile zecimale finale într-o coloană; vom vorbi despre această metodă de înmulțire a fracțiilor zecimale în.

Luați în considerare un exemplu de înmulțire a fracțiilor zecimale periodice.

Exemplu.

Calculați produsul zecimalelor periodice 0,(3) și 2,(36) .

Soluţie.

Să convertim fracțiile zecimale periodice în fracții obișnuite:

Apoi . Puteți converti fracția obișnuită rezultată într-o fracție zecimală:

Răspuns:

0,(3) 2,(36)=0,(78) .

Dacă există infinite fracții neperiodice printre fracțiile zecimale înmulțite, atunci toate fracțiile înmulțite, inclusiv cele finite și periodice, ar trebui rotunjite la o anumită cifră (vezi rotunjirea numerelor), iar apoi efectuați înmulțirea fracțiilor zecimale finale obținute după rotunjire.

Exemplu.

Înmulțiți zecimale 5,382... și 0,2.

Soluţie.

În primul rând, rotunjim o fracție zecimală neperiodică infinită, rotunjirea se poate face la sutimi, avem 5,382 ... ≈5,38. Fracția zecimală finală 0,2 nu trebuie să fie rotunjită la sutimi. Astfel, 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Rămâne de calculat produsul fracțiilor zecimale finale: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1.076/1.000 \u003d 1.076.

Răspuns:

5,382… 0,2≈1,076.

Înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană

Înmulțirea zecimalelor finale se poate face printr-o coloană, similar înmulțirii pe coloană a numerelor naturale.

Să formulăm regula înmulțirii pentru fracțiile zecimale. Pentru a înmulți fracțiile zecimale cu o coloană, aveți nevoie de:

ignorând virgulele, efectuați înmulțirea după toate regulile de înmulțire cu o coloană de numere naturale;
în numărul rezultat, separați în dreapta cu un punct zecimal câte zecimale există în ambii factori împreună, iar dacă nu sunt suficiente cifre în produs, atunci numărul necesar de zerouri trebuie adăugat în stânga.

Luați în considerare exemple de înmulțire a fracțiilor zecimale cu o coloană.

Exemplu.

Înmulțiți zecimale 63,37 și 0,12.

Soluţie.

Să efectuăm înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană. În primul rând, înmulțim numerele, ignorând virgulele:

Rămâne să puneți o virgulă în produsul rezultat. Ea trebuie să separe 4 cifre în dreapta, deoarece există patru zecimale în factori (două în fracția 3,37 și două în fracția 0,12). Există suficiente numere acolo, așa că nu trebuie să adăugați zerouri în stânga. Să terminăm recordul:

Ca rezultat, avem 3,37 0,12 = 7,6044.

Răspuns:

3,37 0,12=7,6044.

Exemplu.

Calculați produsul zecimalelor 3,2601 și 0,0254 .

Soluţie.

După ce am efectuat înmulțirea cu o coloană fără a ține cont de virgule, obținem următoarea imagine:

Acum, în produs, trebuie să separați 8 cifre din dreapta cu o virgulă, deoarece numărul total de zecimale ale fracțiilor înmulțite este de opt. Dar există doar 7 cifre în produs, prin urmare, trebuie să atribuiți cât mai multe zerouri în stânga, astfel încât 8 cifre să poată fi separate prin virgulă. În cazul nostru, trebuie să atribuim două zerouri:

Aceasta completează înmulțirea fracțiilor zecimale cu o coloană.

Răspuns:

3,2601 0,0254=0,08280654 .

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,01 etc.

Destul de des trebuie să înmulți zecimale cu 0,1, 0,01 și așa mai departe. Prin urmare, este recomandabil să se formuleze o regulă de înmulțire a unei fracții zecimale cu aceste numere, care decurge din principiile înmulțirii fracțiilor zecimale discutate mai sus.

Asa de, înmulțirea unei zecimale date cu 0,1, 0,01, 0,001 și așa mai departe dă o fracție, care se obține din cea originală, dacă în introducerea ei virgula este mutată la stânga cu 1, 2, 3 și, respectiv, cifre și așa mai departe, iar dacă nu sunt suficiente cifre pentru a muta virgula, atunci trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri la stânga.

De exemplu, pentru a înmulți fracția zecimală 54,34 cu 0,1, trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu 1 cifră în fracția 54,34 și obțineți fracția 5,434, adică 54,34 0,1 \u003d 5,434. Să luăm un alt exemplu. Înmulțiți fracția zecimală 9,3 cu 0,0001. Pentru a face acest lucru, trebuie să mutăm virgula 4 cifre la stânga în fracția zecimală înmulțită 9,3, dar înregistrarea fracției 9,3 nu conține un astfel de număr de caractere. Prin urmare, trebuie să atribuim cât mai multe zerouri în înregistrarea fracției 9,3 din stânga, astfel încât să putem transfera cu ușurință virgula la 4 cifre, avem 9,3 0,0001 \u003d 0,00093.

Rețineți că regula anunțată pentru înmulțirea unei fracții zecimale cu 0,1, 0,01, ... este valabilă și pentru fracțiile zecimale infinite. De exemplu, 0,(18) 0,01=0,00(18) sau 93,938... 0,1=9,3938... .

Înmulțirea unei zecimale cu un număr natural

În miezul ei înmulțirea zecimalelor cu numere naturale nu diferă de înmulțirea unei zecimale cu o zecimală.

Înmulțiți zecimala finală cu numar natural cel mai convenabil este să folosiți o coloană, în timp ce ar trebui să urmați regulile de înmulțire a fracțiilor zecimale cu o coloană, discutate într-unul din paragrafele anterioare.

Exemplu.

Calculați produsul 15 2.27 .

Soluţie.

Să efectuăm înmulțirea unui număr natural cu o fracție zecimală într-o coloană:

Răspuns:

15 2,27=34,05.

Când înmulțiți o fracție zecimală periodică cu un număr natural, fracția periodică trebuie înlocuită cu o fracție obișnuită.

Exemplu.

Înmulțiți fracția zecimală 0,(42) cu numărul natural 22.

Soluţie.

Mai întâi, să convertim zecimala periodică într-o fracție comună:

Acum să facem înmulțirea: . Acest rezultat zecimal este 9,(3) .

Răspuns:

0,(42) 22=9,(3) .

Și atunci când înmulțiți o fracție zecimală neperiodică infinită cu un număr natural, trebuie mai întâi să rotunjiți.

Exemplu.

Faceți înmulțirea 4 2.145….

Soluţie.

Rotunjind la sutimi fracția zecimală infinită originală, vom ajunge la înmulțirea unui număr natural și a unei fracții zecimale finale. Avem 4 2.145…≈4 2.15=8.60.

Răspuns:

4 2,145…≈8,60.

Înmulțirea unei zecimale cu 10, 100,...

Destul de des trebuie să înmulțiți fracțiile zecimale cu 10, 100, ... Prin urmare, este recomandabil să ne oprim asupra acestor cazuri în detaliu.

Să ne dăm voce regula pentru înmulțirea unei zecimale cu 10, 100, 1.000 etc. Când înmulțiți o fracție zecimală cu 10, 100, ... în introducerea acesteia, trebuie să mutați virgula la dreapta cu 1, 2, 3, ... cifre, respectiv, și să eliminați zerourile suplimentare din stânga; dacă nu există suficiente cifre în înregistrarea fracției înmulțite pentru a transfera virgula, atunci trebuie să adăugați numărul necesar de zerouri la dreapta.

Exemplu.

Înmulțiți zecimala 0,0783 cu 100.

Soluţie.

Să transferăm fracția 0,0783 două cifre la dreapta în înregistrare și obținem 007,83. Lăsând două zerouri în stânga, obținem fracția zecimală 7,38. Astfel, 0,0783 100=7,83.

Răspuns:

0,0783 100=7,83.

Exemplu.

Înmulțiți fracția zecimală 0,02 cu 10.000.

Soluţie.

Pentru a înmulți 0,02 cu 10.000, trebuie să mutăm virgula cu 4 cifre la dreapta. Evident, în înregistrarea fracției 0,02 nu sunt suficiente cifre pentru a transfera virgula la 4 cifre, așa că vom adăuga câteva zerouri la dreapta pentru ca virgula să poată fi transferată. În exemplul nostru, este suficient să adăugați trei zerouri, avem 0,02000. După mutarea virgulei, obținem intrarea 00200.0 . Lăsând zerourile din stânga, avem numărul 200,0, care este egal cu numărul natural 200, este rezultatul înmulțirii fracției zecimale 0,02 cu 10.000.

§ 1 Aplicarea regulii de înmulțire a fracțiilor zecimale

În această lecție, veți prezenta și învăța cum să aplicați regula pentru înmulțirea fracțiilor zecimale și regula pentru înmulțirea unei fracții zecimale cu o unitate de loc, cum ar fi 0,1, 0,01 etc. În plus, vom lua în considerare proprietățile înmulțirii atunci când găsim valorile expresiilor care conțin fracții zecimale.

Să rezolvăm problema:

Viteza vehiculului este de 59,8 km/h.

Cât de departe va călători mașina în 1,3 ore?

După cum știți, pentru a găsi o cale, trebuie să înmulțiți viteza cu timpul, adică. 59,8 ori 1,3.

Să scriem numerele într-o coloană și să începem să le înmulțim fără să observăm virgulele: de 8 ori 3 va fi 24, 4 scriem 2 în minte, de 3 ori 9 este 27, plus 2, obținem 29, scriem 9, 2 în mințile noastre. Acum înmulțim 3 cu 5, va fi 15 și mai adăugăm 2, obținem 17.

Treceți la a doua linie: 1 ori 8 este 8, 1 ori 9 este 9, 1 ori 5 este 5, adăugați aceste două rânduri, obținem 4, 9+8 este 17, 7 scrieți 1 în cap, 7 +9 este 16 plus 1, va fi 17, 7 scriem 1 în minte, 1+5 plus 1 obținem 7.

Acum să vedem câte zecimale sunt în ambele fracții zecimale! Prima fracție are o cifră după virgulă zecimală, iar a doua fracțiune are o cifră după virgulă zecimală, două cifre în total. Deci, în partea dreaptă a rezultatului, trebuie să numărați două cifre și să puneți o virgulă, adică. va fi 77,74. Deci, înmulțind 59,8 cu 1,3, obținem 77,74. Deci răspunsul din problemă este 77,74 km.

Astfel, pentru a înmulți două fracții zecimale, aveți nevoie de:

Mai întâi: faceți înmulțirea, ignorând virgulele

În al doilea rând: în produsul rezultat, separați cu virgulă atâtea cifre în dreapta câte sunt după virgulă în ambii factori împreună.

Dacă în produsul rezultat există mai puține cifre decât este necesar să se separe cu o virgulă, atunci unul sau mai multe zerouri trebuie alocate în față.

De exemplu: 0,145 ori 0,03 obținem 435 în produs și trebuie să separăm 5 cifre din dreapta cu o virgulă, așa că mai adăugăm 2 zerouri înainte de numărul 4, punem o virgulă și mai adăugăm un zero. Primim răspunsul 0,00435.

§ 2 Proprietăţi de înmulţire a fracţiilor zecimale

La înmulțirea fracțiilor zecimale, se păstrează aceleași proprietăți de înmulțire care se aplică numerelor naturale. Să facem niște sarcini.

Sarcina numărul 1:

Să rezolvăm acest exemplu aplicând proprietatea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea.

5,7 (factor comun) va fi scos din paranteze, 3,4 plus 0,6 vor rămâne între paranteze. Valoarea acestei sume este 4, iar acum 4 trebuie înmulțit cu 5,7, obținem 22,8.

Sarcina numărul 2:

Să folosim proprietatea comutativă a înmulțirii.

Mai întâi înmulțim 2,5 cu 4, obținem 10 numere întregi, iar acum trebuie să înmulțim 10 cu 32,9 și obținem 329.

În plus, atunci când înmulțiți fracții zecimale, puteți observa următoarele:

Când înmulțiți un număr cu o fracție zecimală improprie, de ex. mai mare sau egal cu 1, crește sau nu se modifică, de exemplu:

Când înmulțiți un număr cu o fracție zecimală adecvată, de ex. mai mic de 1, scade, de exemplu:

Să rezolvăm un exemplu:

23,45 ori 0,1.

Trebuie să înmulțim 2.345 cu 1 și să despărțim trei virgule din dreapta, obținem 2.345.

Acum să rezolvăm un alt exemplu: 23,45 împărțit la 10, trebuie să mutăm virgula la stânga cu un loc, pentru că 1 zero într-un bit unu, obținem 2,345.

Din aceste două exemple, putem concluziona că înmulțirea unei zecimale cu 0,1, 0,01, 0,001 etc. înseamnă împărțirea numărului la 10, 100, 1000 etc., i.e. într-o fracție zecimală, mutați punctul zecimal la stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în fața lui 1 în multiplicator.

Folosind regula rezultată, găsim valorile produselor:

13,45 ori 0,01

sunt 2 zerouri în fața numărului 1, așa că mutăm virgula la stânga cu 2 cifre, obținem 0,1345.

0,02 ori 0,001

sunt 3 zerouri în fața numărului 1, ceea ce înseamnă că mutăm virgula cu trei cifre la stânga, obținem 0,00002.

Astfel, în această lecție ați învățat cum să înmulțiți fracții zecimale. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să efectuați înmulțirea, ignorând virgulele, iar în produsul rezultat, să separați câte cifre din dreapta cu virgulă sunt după virgulă în ambii factori împreună. În plus, s-au familiarizat cu regula de înmulțire a unei fracții zecimale cu 0,1, 0,01 etc. și, de asemenea, au luat în considerare proprietățile înmulțirii fracțiilor zecimale.

Lista literaturii folosite:

Matematica clasa a V-a. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. şi alţii Ed. 31, ster. - M: 2013.
Materiale didactice la matematică clasa a 5-a. Autor - Popov M.A. - anul 2013
Calculăm fără erori. Lucrați cu autoexaminare la matematică clasele 5-6. Autor - Minaeva S.S. - anul 2014
Materiale didactice la matematică Clasa a V-a. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010
Control și muncă independentă la matematică clasa a 5-a. Autori - Popov M.A. - anul 2012
Matematică. Clasa a 5-a: manual. pentru studenții din învățământul general. instituții / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - Ed. a 9-a, Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

În cursul mediei şi liceu Elevii au parcurs tema „Fracțiuni”. Cu toate acestea, acest concept este mult mai larg decât este dat în procesul de învățare. Astăzi, conceptul de fracție este întâlnit destul de des și nu toată lumea poate calcula orice expresie, de exemplu, înmulțirea fracțiilor.

Ce este o fracție?

S-a întâmplat din punct de vedere istoric ca numerele fracționale să apară din cauza necesității de a măsura. După cum arată practica, există adesea exemple pentru a determina lungimea unui segment, volumul unui dreptunghi dreptunghiular.

Inițial, studenților li se face cunoștință cu un astfel de concept, ca atare. De exemplu, dacă împărțiți un pepene verde în 8 părți, atunci fiecare va primi o opteme dintr-un pepene verde. Această parte din opt se numește cotă.

O acțiune egală cu ½ din orice valoare se numește jumătate; ⅓ - a treia; ¼ - un sfert. Intrările precum 5/8, 4/5, 2/4 se numesc fracții comune. O fracție obișnuită este împărțită în numărător și numitor. Între ele este o linie fracțională sau linie fracțională. O bară fracțională poate fi desenată fie ca o linie orizontală, fie ca o linie înclinată. În acest caz, reprezintă semnul diviziunii.

Numitorul reprezintă câte părți egale este împărțită valoarea obiectului; iar numărătorul este câte părți egale sunt luate. Numătorul este scris deasupra barei fracționale, numitorul sub ea.

Cel mai convenabil este să afișați fracțiile obișnuite pe fascicul de coordonate. Dacă un singur segment este împărțit în 4 părți egale, fiecare parte este desemnată cu o literă latină, atunci, ca rezultat, puteți obține un ajutor vizual excelent. Deci, punctul A arată o cotă egală cu 1/4 din întregul segment de unitate, iar punctul B marchează 2/8 din acest segment.

Varietăți de fracții

Fracțiile sunt numere comune, zecimale și mixte. În plus, fracțiile pot fi împărțite în adecvate și improprii. Această clasificare este mai potrivită pentru fracțiile obișnuite.

O fracție proprie este un număr al cărui numărător este mai mic decât numitorul. În consecință, o fracție improprie este un număr al cărui numărător este mai mare decât numitorul. Al doilea fel este de obicei scris ca un număr mixt. O astfel de expresie constă dintr-o parte întreagă și o parte fracțională. De exemplu, 1½. 1 - parte întreagă, ½ - fracțional. Cu toate acestea, dacă trebuie să efectuați unele manipulări cu expresia (împărțirea sau înmulțirea fracțiilor, reducerea sau conversia acestora), numărul mixt este convertit într-o fracție improprie.

O expresie fracțională corectă este întotdeauna mai mică decât unu, iar una incorectă este întotdeauna mai mare sau egală cu 1.

În ceea ce privește această expresie, ei înțeleg o înregistrare în care este reprezentat orice număr, al cărui numitor al expresiei fracționale poate fi exprimat printr-unul cu mai multe zerouri. Dacă fracția este corectă, atunci întreaga parte în notație zecimală va fi egal cu zero.

Pentru a scrie o zecimală, trebuie să scrieți mai întâi partea întreagă, să o separați de fracționar cu o virgulă și apoi să scrieți expresia fracțională. Trebuie reținut că după virgulă numărătorul trebuie să conțină atâtea caractere numerice câte zerouri sunt în numitor.

Exemplu. Reprezentați fracția 7 21 / 1000 în notație zecimală.

Algoritm pentru conversia unei fracții improprie într-un număr mixt și invers

Este incorect să scrieți o fracție necorespunzătoare în răspunsul la problemă, așa că trebuie convertită într-un număr mixt:

împărțiți numărătorul la numitorul existent;
într-un exemplu specific, un coeficient incomplet este un număr întreg;
iar restul este numărătorul părții fracționale, numitorul rămânând neschimbat.

Exemplu. Transformă fracția improprie în număr mixt: 47 / 5 .

Soluţie. 47: 5. Coeficientul incomplet este 9, restul = 2. Prin urmare, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Uneori trebuie să reprezentați un număr mixt ca o fracție improprie. Apoi, trebuie să utilizați următorul algoritm:

partea întreagă se înmulțește cu numitorul expresiei fracționale;
produsul rezultat se adaugă la numărător;
rezultatul se scrie la numărător, numitorul rămâne neschimbat.

Exemplu. Exprimă numărul în formă mixtă ca o fracție improprie: 9 8 / 10 .

Soluţie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 este numărătorul.

Răspuns: 98 / 10.

Înmulțirea fracțiilor ordinare

Puteți efectua diverse operații algebrice pe fracții obișnuite. Pentru a înmulți două numere, trebuie să înmulțiți numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul. Mai mult, înmulțirea fracțiilor cu numitori diferiți nu diferă de produsul numerelor fracționale cu aceiași numitori.

Se întâmplă că, după găsirea rezultatului, trebuie să reduceți fracția. Este imperativ să simplificați cât mai mult posibil expresia rezultată. Desigur, nu se poate spune că o fracție improprie din răspuns este o greșeală, dar este și dificil să o numim răspunsul corect.

Exemplu. Aflați produsul a două fracții ordinare: ½ și 20/18.

După cum se poate observa din exemplu, după găsirea produsului, se obține o notație fracțională reductibilă. Atât numărătorul, cât și numitorul în acest caz sunt divizibili cu 4, iar rezultatul este răspunsul 5 / 9.

Înmulțirea fracțiilor zecimale

Produsul fracțiilor zecimale este destul de diferit de produsul fracțiilor obișnuite în principiu. Deci, înmulțirea fracțiilor este după cum urmează:

două fracții zecimale trebuie să fie scrise una sub alta, astfel încât cifrele din dreapta să fie una sub cealaltă;
trebuie să înmulțiți numerele scrise, în ciuda virgulelor, adică ca numere naturale;
numărați numărul de cifre după virgulă din fiecare dintre numere;
în rezultatul obținut după înmulțire, trebuie să numărați câte caractere digitale din dreapta sunt conținute în suma în ambii factori după virgulă zecimală și să puneți un semn de separare;
dacă există mai puține cifre în produs, atunci trebuie să fie scrise atât de multe zerouri în fața lor pentru a acoperi acest număr, puneți o virgulă și atribuiți o parte întreagă egală cu zero.

Exemplu. Calculați produsul a două zecimale: 2,25 și 3,6.

Soluţie.

Înmulțirea fracțiilor mixte

Pentru a calcula produsul a două fracții mixte, trebuie să utilizați regula pentru înmulțirea fracțiilor:

converti numere mixte în fracții improprii;
găsiți produsul numărătorilor;
găsiți produsul numitorilor;
notează rezultatul;
simplificați cât mai mult expresia.

Exemplu. Aflați produsul dintre 4½ și 6 2 / 5.

Înmulțirea unui număr cu o fracție (fracții cu un număr)

Pe lângă găsirea produsului a două fracții, numere mixte, există sarcini în care trebuie să înmulțiți cu o fracție.

Deci, pentru a găsi produsul dintre o fracție zecimală și un număr natural, aveți nevoie de:

scrieți numărul sub fracție, astfel încât cifrele din dreapta să fie una deasupra celeilalte;
găsiți lucrarea, în ciuda virgulei;
în rezultatul obținut, separă partea întreagă de partea fracțională folosind o virgulă, numărând la dreapta numărul de caractere care se află după virgulă zecimală din fracție.

Pentru a înmulți o fracție obișnuită cu un număr, ar trebui să găsiți produsul dintre numărător și factorul natural. Dacă răspunsul este o fracție reductibilă, ar trebui convertit.

Exemplu. Calculați produsul dintre 5 / 8 și 12.

Soluţie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Răspuns: 7 1 / 2.

După cum puteți vedea din exemplul anterior, a fost necesar să reduceți rezultatul rezultat și să convertiți expresia fracțională incorectă într-un număr mixt.

De asemenea, înmulțirea fracțiilor se aplică și pentru găsirea produsului dintre un număr în formă mixtă și un factor natural. Pentru a înmulți aceste două numere, ar trebui să înmulțiți partea întreagă a factorului mixt cu numărul, să înmulțiți numărătorul cu aceeași valoare și să lăsați numitorul neschimbat. Dacă este necesar, trebuie să simplificați rezultatul cât mai mult posibil.

Exemplu. Aflați produsul lui 9 5 / 6 și 9.

Soluţie. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Răspuns: 88 1 / 2.

Înmulțirea cu factori 10, 100, 1000 sau 0,1; 0,01; 0,001

Din paragraful precedent rezultă următoarea regulă. Pentru a înmulți o fracție zecimală cu 10, 100, 1000, 10000 etc., trebuie să mutați virgula la dreapta cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt în multiplicator după unu.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 0,065 și 1000.

Soluţie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Răspuns: 65.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 3,9 și 1000.

Soluţie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Răspuns: 3900.

Dacă trebuie să înmulțiți un număr natural și 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 etc., ar trebui să mutați virgula la stânga în produsul rezultat cu atâtea caractere cifre câte zerouri sunt înaintea unu. Dacă este necesar, în fața unui număr natural se scrie un număr suficient de zerouri.

Exemplul 1. Aflați produsul dintre 56 și 0,01.

Soluţie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Răspuns: 0,56.

Exemplul 2. Aflați produsul dintre 4 și 0,001.

Soluţie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Răspuns: 0,004.

Deci, găsirea produsului diferitelor fracții nu ar trebui să provoace dificultăți, cu excepția, poate, la calculul rezultatului; În acest caz, pur și simplu nu puteți face fără un calculator.