Echilibrul unui sistem spațial arbitrar de forțe. Condiții pentru echilibrul sistemului spațial de forțe. Condiții de echilibru pentru un sistem spațial de forțe convergente

Există trei tipuri de ecuații de echilibru pentru un sistem plan de forțe. Prima formă principală decurge direct din condițiile de echilibru:

;

si scris asa:

;
;
.

Alte două tipuri de ecuații de echilibru pot fi, de asemenea, derivate din condițiile de echilibru:

;
;
,

unde este linia AB nu perpendicular pe axa X;

;
;
.

puncte A, B Și C nu vă culcați pe aceeași linie.

Spre deosebire de un sistem plat de forțe, condițiile de echilibru pentru un sistem spațial arbitrar de forțe sunt două egalități vectoriale:

.

Dacă aceste relații sunt proiectate pe un sistem de coordonate dreptunghiular, atunci obținem ecuațiile de echilibru pentru sistemul spațial de forțe:

Sarcina 1. Determinarea reacțiilor suporturilor unei structuri compozite (sistem cu două corpuri)

Designul constă din două tije rupte ABCȘi CDE conectat la un punct C balama cilindrică fixă ​​și atașată la un plan fix xOy sau cu ajutorul balamalelor cilindrice fixe (НШ ), sau o balama cilindrică mobilă (PSh) și o etanșare rigidă (ZhZ). Planul de rulare al balamalei cilindrice mobile este unghiul   cu ax Bou. Coordonatele punctului A,B,C,D Și E, precum si metoda de fixare a structurii sunt date in tabel. 1. Structura este încărcată cu o sarcină de intensitate uniform distribuită q, perpendicular pe locul aplicării sale, de o pereche de forțe cu un moment Mși două forțe concentrate Și . O sarcină uniform distribuită este aplicată în așa fel încât rezultanta sa tinde să rotească structura în jurul punctului Oîn sens invers acelor de ceasornic. Site-uri de aplicații qȘi M, precum și puncte de aplicare Și , modulele și direcțiile acestora sunt indicate în Tabel. 2. Unități ale valorilor stabilite: q– kilonewton pe metru (kN/m); M- kilonewton metru (kNm); Și – kilonewton (kN);  sunt prezentate în grade, iar coordonatele punctelor sunt în metri. Unghiurile,șiar trebui să fie puse deoparte de direcția pozitivă a axei Bouîn sens invers acelor de ceasornic dacă este pozitiv și în sensul acelor de ceasornic dacă este negativ.

Determinați reacțiile legăturilor externe și interne ale structurii.

Instrucțiuni pentru finalizarea sarcinii

Pe planul de coordonate xOyîn conformitate cu condiția variantei de sarcină (Tabelul 1), este necesar să se construiască puncte A,B, C,D,E; trage tije rupte ABC,CDE; indicați modalitățile de atașare a acestor corpuri între ele și de un plan fix xOy. Apoi, luând datele din tabel. 2, încărcați structura cu două forțe concentrate Și , intensitatea sarcinii uniform distribuită qși o pereche de forțe cu un moment algebric M. Deoarece sarcina examinează echilibrul unui corp compozit, atunci trebuie să construiți un alt desen, ilustrând corpurile separat pe el. ABCȘi CDE. Extern (puncte A,E) și intern (punctul CU) legăturile din ambele figuri trebuie înlocuite cu reacțiile corespunzătoare, iar sarcina distribuită uniform trebuie înlocuită cu rezultatul
(l este lungimea secțiunii de aplicare a sarcinii) îndreptată spre sarcină și aplicată la mijlocul secțiunii. Întrucât structura luată în considerare este formată din două corpuri, pentru a afla reacțiile legăturilor, este necesar să se compună șase ecuații de echilibru. Există trei opțiuni pentru a rezolva această problemă:

a) alcătuiți trei ecuații de echilibru pentru un corp compus și trei pentru un corp ABC;

b) alcătuiți trei ecuații de echilibru pentru un corp compus și trei pentru un corp CDE;

c) alcătuiți trei ecuații de echilibru pentru corpuri ABCȘi CDE.

Exemplu

Dat:A (0;0,2);ÎN (0,3:0,2);CU (0,3:0,3);D (0,7:0,4);E (0,7:0);
kN/m,
kN, β = - 45˚ și
kN, y = - 60˚,
kNm.

Defini reacţii ale legăturilor externe şi interne ale structurii.

Soluţie. Să împărțim structura (Fig. 7, A) la punct CUîn părți constitutive ABCȘi CDE(Fig. 7, b,V). Să înlocuim balamalele AȘi B reacții corespunzătoare, ale căror componente le indicăm în Fig. 7. La punct C descrie componentele
- forțele de interacțiune între părțile structurii și .

tabelul 1

Opțiuni de muncă 1

masa 2

Date pentru sarcina 1

Intensitatea sarcinii distribuită uniform q înlocuiți rezultatul , kN:

Vector forme cu direcție pozitivă a axei y unghiul φ, care este ușor de găsit din coordonatele punctelor C Și D (vezi fig. 7, A):

Pentru a rezolva problema, folosim primul tip de ecuații de echilibru, scriindu-le separat pentru părțile din stânga și din dreapta ale structurii. La compilarea ecuațiilor de momente, alegem ca punct de moment punctele A- pentru stânga și E– pentru părțile potrivite ale structurii, ceea ce ne va permite să rezolvăm aceste două ecuații împreună și să determinăm necunoscutele
Și .

Ecuații de echilibru pentru un corp ABC:

Imaginează-ți puterea ca suma componentelor:
, Unde. Apoi ecuațiile de echilibru pentru corp CDE poate fi scris sub forma

.

Să rezolvăm împreună ecuațiile momentelor, după înlocuirea valorilor cunoscute în ele.

Având în vedere că, conform axiomei despre egalitatea forţelor de acţiune şi de reacţie
, din sistemul rezultat găsim, kN:

Apoi din ecuațiile de echilibru rămase ale corpurilor ABC Și CDE este ușor de determinat reacțiile legăturilor interne și externe, kN:

Prezentăm rezultatele calculelor într-un tabel:

Sistem spațial arbitrar de forțe numit sistem de forţe ale căror linii de acţiune nu se află în acelaşi plan.

De aici urmează condiție de echilibru pentru un sistem spațial arbitrar de forțe.

În formă geometrică: pentru echilibrul unui sistem spațial arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca vectorul principal și momentul principal al sistemului să fie egale cu zero

R = 0, Mo = 0 .

În formă analitică: pentru echilibrul unui sistem spațial arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca sumele proiecțiilor tuturor forțelor pe trei axe de coordonate și sumele momentelor tuturor forțelor în jurul acestor axe să fie egale cu zero.

ΣF kx = 0 , ΣFky = 0 , ΣF kz = 0 ,

M x (Fk) = 0 , M y (Fk) = 0 , Mz (Fk) = 0 .

Centrul de greutate. Metode de determinare a centrului de greutate. Coordonatele centrului de greutate al unui corp plat și ale secțiunilor compuse.

Centrul de greutate

Centrul de greutate al corpului este punctul de aplicare al gravitației (rezulanta forțelor gravitaționale).

Centrul de greutate împarte distanța dintre două sarcini într-un raport invers raportului dintre masele lor.

Determinarea centrului de greutate

Determinarea centrului de greutate al unui corp arbitrar prin însumarea succesivă a forțelor care acționează asupra părților sale individuale este o sarcină dificilă; este facilitată numai pentru corpurile de formă relativ simplă.

Fie ca corpul să fie format din doar două sarcini cu mase m 1 și m 2 legate printr-o tijă (Fig. 126). Dacă masa tijei este mică în comparație cu masele m 1 și m 2, atunci aceasta poate fi neglijată. Forța gravitației acționează asupra fiecărei mase:

P1 =m1g, R2 =m2g;

ambele sunt îndreptate vertical în jos, adică paralele între ele. După cum știm deja, rezultanta a două forțe paralele este aplicată în punctul O, care este determinată din condiție

Prin urmare, centrul de greutate împarte distanța dintre cele două mase în raport cu raportul invers al maselor. Dacă acest corp este suspendat în punctul O, va rămâne în echilibru.

Determinarea coordonatelor centrului de greutate

Metode de determinare a coordonatelor centrului de greutate Pe baza formulelor generale obținute mai devreme, se pot indica metodele de determinare a coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor solide: 1 Analitice (prin integrare). 2 Metoda simetriei. Dacă corpul are un plan, axă sau centru de simetrie, atunci centrul său de greutate se află respectiv în planul de simetrie, axa de simetrie sau în centrul de simetrie. 3 Experimental (metoda suspensiei corporale). 4 Compartimentare. Corpul este împărțit într-un număr finit de părți, pentru fiecare dintre acestea poziția centrului de greutate C si zona S cunoscut. De exemplu, proiecția unui corp pe un plan xOy(Figura 1.8) poate fi reprezentat ca două figuri plate cu zone S1Și S2 (S = S 1 + S 2). Centrele de greutate ale acestor figuri sunt în puncte C 1 (x 1 , y 1)Și C 2 (x 2 , y 2). Atunci coordonatele centrului de greutate al corpului sunt Figura 1.8 5 Adăugarea (metoda suprafețelor sau volumelor negative). Un caz special al metodei de partiționare. Se aplică corpurilor cu decupaje dacă sunt cunoscute centrele de greutate ale corpului fără decupaj și decupaj. De exemplu, trebuie să găsiți coordonatele centrului de greutate al unei figuri plate (Figura 1.9): Figura 1.9

Centrul de greutate al corpurilor plate omogene

(cifre plate)

Foarte des este necesar să se determine centrul de greutate al diferitelor corpuri plate și al figurilor plate geometrice de formă complexă. Pentru corpurile plate, puteți scrie: V \u003d Ah, unde A este aria figurii, h este înălțimea acesteia.

Apoi, după înlocuirea în formulele scrise mai sus, obținem:

; ; ,

unde Ak este aria unei părți a secțiunii; xk, yk - coordonatele CG ale părților secțiunii.

Expresia se numește momentul static al zonei (Sy.).

Coordonatele centrului de greutate al secțiunii pot fi exprimate în termeni de moment static:

Axele care trec prin centrul de greutate se numesc axe centrale. Momentul static în jurul axei centrale este zero.

Determinarea coordonatelor centrului de greutate al figurilor plate

Notă. Centrul de greutate al unei figuri simetrice se află pe axa de simetrie.

Centrul de greutate al tijei este la mijlocul înălțimii. Pozițiile centrelor de greutate ale simple forme geometrice se poate calcula folosind formule cunoscute (Fig. 8.3: a) - cerc; b) - pătrat, dreptunghi; c) - un triunghi; d) - un semicerc).

Sunt luate în considerare metode de rezolvare a problemelor de echilibru cu un sistem spațial arbitrar de forțe. Este dat un exemplu de rezolvare a problemei de echilibru a unei plăci susținute de tije în spațiu tridimensional. Se arată cum, datorită alegerii axelor la compilarea ecuațiilor de echilibru, este posibilă simplificarea soluției problemei.

Procedura de rezolvare a problemelor de echilibru cu un sistem spațial arbitrar de forțe

Pentru a rezolva problema echilibrului corp solid cu un sistem spațial arbitrar de forțe, trebuie să alegeți sistem dreptunghiular coordonate și, în raport cu acesta, compun ecuațiile de echilibru.

Ecuații de echilibru, pt sistem arbitrar forțele distribuite în spațiul tridimensional sunt două ecuații vectoriale:
suma vectorială a forțelor care acționează asupra corpului este zero
(1) ;
suma vectorială a momentelor forțelor, raportată la origine, este egală cu zero
(2) .

Lasă Oxyz să fie sistemul nostru de coordonate ales. Proiectând ecuațiile (1) și (2) pe axa acestui sistem, obținem șase ecuații:
sumele proiecțiilor forțelor pe axa xyz sunt egale cu zero
(1.x) ;
(1.a) ;
(1.z) ;
sumele momentelor forțelor în jurul axelor de coordonate sunt egale cu zero
(2.x) ;
(2.a) ;
(2.z) .
Aici considerăm că asupra corpului acţionează n forţe, inclusiv forţele de reacţie ale suporturilor.

Fie ca o forță arbitrară, cu componente, să fie aplicată corpului într-un punct. Atunci momentele acestei forțe în raport cu axele de coordonate sunt determinate de formulele:
(3.x) ;
(3.a) ;
(3.z) .

Astfel, procedura de rezolvare a problemei, pentru echilibrul cu un sistem spațial arbitrar de forțe, este următoarea.

1. Aruncăm suporturile și le înlocuim cu forțe de reacție. Dacă suportul este o tijă sau un fir, atunci forța de reacție este direcționată de-a lungul tijei sau filetului.
2. Alegem un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz .
3. Găsim proiecțiile vectorilor de forță pe axele de coordonate, , și punctele lor de aplicare, . Punctul de aplicare a forței poate fi mutat de-a lungul unei linii drepte trasate prin vectorul forță. De la o astfel de deplasare, valorile momentelor nu se vor schimba. Prin urmare, alegem punctele cele mai convenabile pentru calculul aplicării forțelor.
4. Compunem trei ecuații de echilibru pentru forțele (1.x,y,z).
5. Pentru fiecare forță, după formulele (3.x,y,z), găsim proiecțiile momentelor de forță pe axele de coordonate.
6. Compunem trei ecuații de echilibru pentru momentele forțelor (2.x, y, z).
7. Dacă numărul de variabile mai mult număr ecuații, atunci problema este static nedeterminată. Nu poate fi rezolvată prin metode statice. Este necesar să se utilizeze metode de rezistență a materialelor.
8. Rezolvăm ecuațiile rezultate.

Simplificarea calculelor

În unele cazuri, este posibil să se simplifice calculele utilizând o condiție de echilibru echivalentă în loc de ecuația (2).
Suma momentelor forțelor în jurul unei axe arbitrare AA′ este egală cu zero:
(4) .

Adică, puteți selecta mai multe axe suplimentare care nu coincid cu axele de coordonate. Și referitor la aceste axe să facem ecuații (4).

Un exemplu de rezolvare a problemei de echilibru a unui sistem spațial arbitrar de forțe

Echilibrul plăcii, în spațiul tridimensional, este menținut printr-un sistem de tije.

Aflați reacțiile tijelor care susțin o placă orizontală uniformă subțire în trei dimensiuni. Sistemul de atașare a tijei este prezentat în figură. Placa este afectată de: gravitația G; și forța P aplicată în punctul A, îndreptată de-a lungul laturii AB.

Dat:
G= 28 kN; P= 35 kN; a = 7,5 m; b= 6,0 m; c= 3,5 m.

Rezolvarea problemei

În primul rând, vom rezolva această problemă într-un mod standard aplicabil unui sistem spațial arbitrar de forțe. Și apoi obținem o soluție mai simplă, bazată pe geometria specifică a sistemului, datorită alegerii axelor la compilarea ecuațiilor de echilibru.

Rezolvarea problemei într-un mod standard

Deși această metodă ne va conduce la calcule destul de greoaie, ea este aplicabilă unui sistem spațial arbitrar de forțe și poate fi utilizată în calcule computerizate.

Să aruncăm legăturile și să le înlocuim cu forțe de reacție. Conexiunile aici sunt tijele 1-6. În locul lor, introducem forțe direcționate de-a lungul tijelor. Direcțiile forțelor sunt alese la întâmplare. Dacă nu ghicim cu direcția vreunei forțe, atunci obținem asta sens negativ.

Desenați un sistem de coordonate Oxyz cu originea în punctul O .

Găsim proiecțiile forțelor pe axele de coordonate.

Pentru putere avem:
.
Aici α 1 - unghiul dintre LQ si BQ. Din triunghiul dreptunghic LQB:
m;
;
.

Forțele și sunt paralele cu axa z. Componentele lor:
;
;
.

Pentru putere găsim:
.
Aici α 3 - unghiul dintre QT si DT . Din triunghiul dreptunghic QTD:
m;
;
.

Pentru putere:
.
Aici α 5 - unghiul dintre LO si LA . Din triunghiul dreptunghic LOA:
m;
;
.

Forța este îndreptată în diagonală cuboid. Are următoarele proiecții pe axele de coordonate:
.
Iată cosinusurile direcției diagonalei AQ:
m;
;
;
.

Selectăm punctele de aplicare a forțelor. Să profităm de faptul că ele pot fi deplasate de-a lungul liniilor trasate prin vectorii de forță. Deci, ca punct de aplicare a forței, puteți lua orice punct de pe dreapta TD. Să luăm un punct T, deoarece pentru el coordonatele x și z - sunt egale cu zero:
.
În mod similar, selectăm punctele de aplicare a forțelor rămase.

Ca rezultat, obținem următoarele valori ale componentelor forței și punctelor de aplicare a acestora:
; (punctul B);
; (punctul Q);
; (punctul T);
; (punctul O);
; (punctul A);
; (punctul A);
; (punctul A);
; (punctul K).

Compunem ecuațiile de echilibru pentru forțe. Sumele proiecțiilor forțelor pe axele de coordonate sunt egale cu zero.

;

;

.

Găsim proiecțiile momentelor de forțe pe axele de coordonate.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Compunem ecuațiile de echilibru pentru momentele forțelor. Sumele momentelor de forță în jurul axelor de coordonate sunt egale cu zero.


;


;


;

Deci, avem următorul sistem de ecuații:
(P1) ;
(P2) ;
(P3) ;
(P4) ;
(P5) ;
(L6) .

Acest sistem are șase ecuații și șase necunoscute. În plus, aici puteți înlocui valori numerice și puteți obține soluția sistemului folosind un program matematic pentru calcularea unui sistem de ecuații liniare.

Dar, pentru această problemă, puteți obține o soluție fără a utiliza tehnologia computerizată.

O modalitate eficientă de a rezolva o problemă

Vom profita de faptul că ecuațiile de echilibru pot fi scrise în mai multe moduri. Puteți alege în mod arbitrar sistemul de coordonate și axele în funcție de care sunt calculate momentele. Uneori, datorită alegerii axelor, se pot obține ecuații care se rezolvă mai simplu.

Să profităm de faptul că, în echilibru, suma momentelor forțelor în jurul oricărei axe este zero. Să luăm axa AD. Suma momentelor forțelor în jurul acestei axe este zero:
(P7) .
Mai mult, rețineți că toate forțele cu excepția traversează această axă. Prin urmare, momentele lor sunt egale cu zero. Doar o singură forță nu traversează axa AD. De asemenea, nu este paralel cu această axă. Prin urmare, pentru ca ecuația (A7) să se țină, forța N 1 ar trebui să fie zero:
N 1 = 0 .

Acum să luăm axa AQ. Suma momentelor forțelor relativ la acesta este egală cu zero:
(P8) .
Această axă este străbătută de toate forțele cu excepția . Deoarece forța nu este paralelă cu această axă, atunci pentru ca ecuația (A8) să fie satisfăcută, este necesar ca
N 3 = 0 .

Acum să luăm axa AB. Suma momentelor forțelor relativ la acesta este egală cu zero:
(P9) .
Această axă este străbătută de toate forțele, cu excepția , și . Dar N 3 = 0 . De aceea
.
Momentul de la forța în jurul axei este egal cu produsul dintre brațul forței și proiecția forței pe planul perpendicular pe axă. Umărul este egal cu distanța minimă dintre axă și linia dreaptă trasată prin vectorul forță. Dacă răsucirea este în direcția pozitivă, atunci cuplul este pozitiv. Dacă este negativ, atunci este negativ. Apoi
.
De aici
kN.

Forțele rămase pot fi găsite din ecuațiile (P1), (P2) și (P3). Din ecuația (P2):
N 6 = 0 .
Din ecuațiile (P1) și (P3):
kN;
kN

Astfel, rezolvând problema în al doilea mod, am folosit următoarele ecuații de echilibru:
;
;
;
;
;
.
Ca urmare, am evitat calculele greoaie legate de calculul momentelor de forță față de axele de coordonate și am obținut sistem liniar ecuații cu o matrice diagonală de coeficienți, care a fost rezolvată imediat.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kN; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kN; N 5 = 38,6 kN; N 6 = 0 ;

Semnul minus indică faptul că forța N 4 îndreptată în direcția opusă celei prezentate în figură.

După cum sa clarificat în § 4.4, condițiile necesare și suficiente pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe aplicate unui corp rigid pot fi scrise sub forma a trei ecuații de proiecție (4.16) și a trei momente (4.17):

, , . (7.14)

Dacă corpul este complet fixat, atunci forțele care acționează asupra lui sunt în echilibru și ecuațiile (7.13) și (7.14) servesc la determinarea reacțiilor de sprijin. Desigur, pot exista cazuri când aceste ecuații nu sunt suficiente pentru a determina reacțiile de suport; nu vom considera astfel de sisteme static nedeterminate.

Pentru un sistem spațial de forțe paralele, ecuațiile de echilibru iau forma (§ 4.4[‡]):

, , . (7.15)

Să luăm acum în considerare cazurile în care corpul este doar parțial fixat, adică. legăturile care se impun organismului nu garantează echilibrul corpului. Pot fi indicate patru cazuri speciale.

1. Un corp rigid are un punct fix. Cu alte cuvinte, este atașat la un punct fix prin intermediul unei balamale sferice ideale.

Punem originea sistemului de coordonate fixe în acest punct. Conectați acțiunea la un punct Aînlocuiți cu o reacție; întrucât este necunoscut în modul și în direcție, îl vom reprezenta sub forma a trei componente necunoscute , , , direcționate respectiv de-a lungul axelor , , .

Ecuațiile de echilibru (7.13) și (7.14) în acest caz se vor scrie sub forma:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) . (7.16)

Ultimele trei ecuații nu conțin componente de reacție, deoarece linia de acțiune a acestei forțe trece prin punct A. Prin urmare, aceste ecuații stabilesc relații între forțele active necesare pentru echilibrul corpului, iar primele trei ecuații pot fi folosite pentru a determina componentele reacției.

Prin urmare, condiția de echilibru pentru un corp rigid având un punct fix este egalitatea cu zero a fiecăreia dintre sumele algebrice ale momentelor tuturor forțelor active ale sistemului în jurul a trei axe care se intersectează într-un punct fix al corpului .

2. Corpul are două puncte fixe. Acesta va fi cazul, de exemplu, dacă este atașat la două puncte fixe prin intermediul unor balamale.

Alegem originea coordonatelor în punct Ași direcționați axa de-a lungul liniei care trece prin puncte AȘi ÎN. Să înlocuim acțiunea legăturilor cu reacții, direcționând componentele reacției de-a lungul axelor de coordonate. Indicați distanța dintre puncte AȘi ÎN prin A; atunci ecuațiile de echilibru (7.13) și (7.14) se vor scrie sub următoarea formă:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) . (7.17)

Ultima ecuație nu conține forțe de reacție și stabilește o legătură între forțele active necesare echilibrului corpului. Prin urmare, condiția de echilibru pentru un corp rigid având două puncte fixe este egalitatea cu zero a sumei algebrice a momentelor tuturor forțelor active aplicate corpului în jurul axei care trece prin punctele fixe . Primele cinci ecuații sunt folosite pentru a determina componentele necunoscute ale reacțiilor , , , , .

Rețineți că componentele și nu pot fi determinate separat. Din a treia ecuație, se determină doar suma + și, prin urmare, problema cu privire la fiecare dintre aceste necunoscute pentru un corp rigid este static nedeterminată. Cu toate acestea, dacă la punctul ÎN nu există o balama sferică, ci o balama cilindrică (adică un rulment) care nu împiedică alunecarea longitudinală a corpului de-a lungul axei de rotație, atunci problema devine static determinată.

Corpul are o axă fixă ​​de rotație de-a lungul căreia poate aluneca fără frecare. Aceasta înseamnă că la puncte AȘi ÎN există balamale cilindrice (lagăre), iar componentele reacțiilor lor de-a lungul axei de rotație sunt egale cu zero. Prin urmare, ecuațiile de echilibru vor lua forma:

1) ,

2) ,

4) ,

5) ,

6) . (7.18)

Două dintre ecuațiile (7.18), și anume a treia și a șasea, impun restricții asupra sistemului de forțe active, iar ecuațiile rămase servesc la determinarea reacțiilor.

Corpul se sprijină în trei puncte pe o suprafață netedă, iar punctele de sprijin nu se află pe o singură linie dreaptă. Să notăm aceste puncte prin A, ÎNȘi CUși compatibil cu avionul ABC plan de coordonate ahu. Înlocuind acțiunea constrângerilor cu reacțiile verticale , și , scriem condițiile de echilibru (7.14) sub următoarea formă:

3) ,

4) ,

5) ,

6) . (7.19)

Ecuațiile a treia - a cincea pot servi la determinarea reacțiilor necunoscute, iar prima, a doua și a șasea ecuație sunt condițiile care leagă forțele active și sunt necesare pentru echilibrul corpului. Desigur, pentru echilibrul corpului, condițiile , , , întrucât la punctul de sprijin pot apărea numai reacţii din direcţia luată mai sus.

Dacă corpul se sprijină pe un plan orizontal în mai mult de trei puncte, atunci problema devine static nedeterminată, deoarece în acest caz vor exista atâtea reacții câte puncte există și vor rămâne doar trei ecuații pentru a determina reacțiile.

Problema 7.3. Aflați vectorul principal și momentul principal al sistemului de forțe prezentat în fig. Forțele sunt aplicate vârfurilor cubului și direcționate de-a lungul muchiilor acestuia și , . Lungimea muchiei cubului este A.

Proiecțiile vectorului principal se găsesc prin formulele (4.4):

, , .

Modulul său este . Cosinusurile de direcție vor fi

, ;

, ;

, .

Vectorul principal este prezentat în fig.

,

iar modulul momentului principal conform formulei (4.8)

Acum definim cosinusurile direcției momentului principal:

, ;

, .

Punctul principal este prezentat în Fig. Unghiul dintre vectori și se calculează prin formula (4.11) și

Găsim limitele zonei dorite din condițiile:

,

.

De aici găsim

,

.

Pe fig. zona dorită, construită la , este umbrită. Când întreaga suprafață a plăcii va fi în siguranță.

Forțe care converg într-un punct. Forțe ale căror linii de acțiune NS se află în aceeași formă plană sistem spațial de forțe. Dacă liniile de acțiune ale forțelor se intersectează într-un punct, dar nu se află în același plan (Fig. 1.59), atunci ele formează sistem spațial de forțe convergente. Momentul principal al unui astfel de sistem de forțe relativ la punctul O, în care liniile de acțiune ale forțelor se intersectează, este întotdeauna egal cu zero, adică. un astfel de sistem de forțe în cazul general este echivalent cu rezultanta, a cărei linie de acțiune trece prin punctul DESPRE.

Orez. 1,59.

Când se utilizează GSS (1.5), condițiile de echilibru pentru un astfel de sistem de forțe în cazul în cauză sunt reduse la expresia /? = (), și ele pot fi scrise ca trei ecuații de echilibru:

Dacă sistemul spațial al forțelor convergente este în echilibru, atunci sumele proiecțiilor tuturor forțelor pe cele trei axe de coordonate carteziene sunt egale cu zero.

În cazul unui sistem spațial de forțe, se poate dovedi că linia de acțiune a forței și axa sunt linii oblice. În acest caz, atunci când compilăm ecuațiile de echilibru, folosim tehnica de design dublu(Fig. 1.60).

Orez. 1.B0. La recepția proiecției forței duble

Esența acestei tehnici este că, pentru a găsi proiecția forței pe axă, o proiectăm mai întâi pe planul care conține această axă și apoi direct pe axa însăși: Yo XY \u003d Ya ^ ny; ex\u003d |T^ rk |c05f \u003d / r 5myC08f.

Sistem spațial arbitrar de forțe. Formează forțe ale căror linii de acțiune nu se află în același plan și nu se intersectează într-un punct sistem spațial arbitrar de forțe(Fig. 1.61). Pentru un astfel de sistem, nu există informații prealabile despre mărimile sau direcțiile vectorului principal și momentului principal. De aceea conditiile necesare echilibrul care rezultă din OZS, eu = 0; M 0= 0 duce la șase ecuații scalare:

Din GSS rezultă că la echilibrul unui sistem spațial arbitrar de forțe, trei proiecții ale vectorului principal și trei proiecții ale momentului principal al forțelor externe sunt egale cu zero.

Orez. 1,61.

Utilizarea practică a acestor relații nu provoacă dificultăți în cazul găsirii proiecțiilor forțelor necesare calculării proiecției vectorului principal, în timp ce calculul proiecțiilor vectorilor de moment poate fi foarte dificil, deoarece nici mărimea, nici direcția acestor vectori sunt cunoscute dinainte. Rezolvarea problemelor este mult simplificată dacă se folosește conceptul de „moment de forță în jurul axei”.

Momentul de forță relativ la o axă este proiecția pe această axă a vectorului-moment de forță față de orice punct situat pe această axă (Fig. 1.62):

unde /l 0 (/ 7) = g 0 x T 7 - vector-moment de forță relativ la punct DESPRE.

Orez. 1.B2. La definirea momentului de forță în jurul axei

Modulul acestui vector este |al 0 (/ ;)| \u003d 25 TO / 1st \u003d / 7?, unde - aria unui triunghi OLV.

ocolind definiţia vectorului moment t 0 (P). Să construim un plan l, perpendicular pe axa față de care este determinat momentul și să proiectăm forța pe acest plan. Prin definiție, momentul forței în jurul axei:

de la aproximativ os - 28 TO /)-lea AO, A 1 B] - RK I H.

Astfel, modulul momentului de forță în jurul axei poate fi definit ca produsul dintre modulul proiecției forței pe planul l, perpendicular pe axa luată în considerare, cu distanța de la punctul de intersecție al axei. cu planul l la linia de acţiune a forţei R k, adică pentru a determina momentul forței în jurul axei, nu este nevoie să predeterminați vectorul Atingeți),și apoi proiectați-l pe axă Oh.

Notă. Rețineți că modulul momentului în jurul axei nu depinde de alegerea unui punct de pe axă, față de care se calculează vectorul moment, deoarece proiecția ariei AOAV la planul l nu depinde de alegerea punctului DESPRE.

Din cele de mai sus urmează succesiunea acțiunilor în determinarea momentului de forță în jurul axei (vezi Fig. 1.61):

• construiți un plan l perpendicular pe Oh,și marcați punctul O;
• proiectăm forța pe acest plan;
• calculăm modulul momentului în jurul axei și atribuim semnul „+” sau „-” rezultatului:
• (1.28)

t ox (P) = ±Pb x.

Regula semnelor rezultă din semnul de proiecţie al vectorului oh (P): când este privit din „capătul pozitiv” al axei „rotația segmentului Al lor " forta R p se vede care are loc în sens invers acelor de ceasornic, atunci momentul forței în jurul axei este considerat pozitiv, în caz contrar este negativ (Fig. 1.63).

Orez. 1,63.

1 R r - din fr. prsuessop - proiecție.

Notă. Momentul de forță în jurul unei axe este egal cu zero atunci când forța este paralelă cu axa sau traversează această axă, adică. momentul forței în jurul axei este zero dacă forța și axa se află în același plan (fig. 1.64).

Orez. 1.B4. Cazurile în care momentul forței este egal cu zero

despre axa

Din punct de vedere fizic, momentul forței în jurul axei caracterizează efectul de rotație al forței față de axă.

Ecuații de echilibru pentru un sistem spațial arbitrar de forțe. Având în vedere că, conform OZS, pentru un sistem spațial de forțe în echilibru, eu = 0; M a= 0. Exprimând proiecțiile vectorului principal prin sumele proiecțiilor forțelor sistemului, și proiecțiile momentului principal - prin sumele momentelor forțelor individuale despre axe, obținem șase ecuații de echilibru pt. un sistem spațial arbitrar de forțe:

Prin urmare, dacă un sistem spațial arbitrar de forțe este în echilibru, atunci suma proiecției tuturor forțelor pe trei axe de coordonate carteziene și suma momentelor tuturor forțelor în jurul acestor axe sunt egale cu zero.

Perechi de forțe în spațiu. Într-un sistem spațial de forțe pot apărea perechi de forțe situate în planuri diferite, iar la calcularea momentului principal, devine necesar să se găsească momentele acestor perechi de forțe în raport cu diferite puncte din spațiu care nu se află în planul perechile.

Fie ca forțele perechii să fie situate în punctele /! Și ÎN(Fig. 1.65). Atunci noi avem: R A = -R in,și modulo P A \u003d P în = R. Din fig. 1.65 rezultă că gin = g l + L V.

Orez. 1.B5. Pentru definirea momentului-vector al unei perechi de forțe față de un punct,

pereche non-plană

Aflați momentul principal al perechii de forțe în jurul punctului DESPRE:

R a x LA + r in X R în = * l x + ? V x L =

\u003d (g în -? L) x P în = x R în \u003d VLx R A \u003d t.

Deoarece poziția punctului O nu a fost inclusă în rezultatul final, observăm că vectorul-moment al perechii de forțe T nu depinde de alegerea punctului de moment DESPREși este definit ca momentul uneia dintre forțele perechii față de punctul de aplicare a celeilalte forțe. Momentul-vector al unei perechi de forțe este perpendicular pe planul de acțiune al perechii și este direcționat astfel încât de la capătul ei să se poată vedea o posibilă rotație în sens invers acelor de ceasornic. Modulul vectorului-moment al unei perechi de forțe este egal cu produsul mărimii forței perechii de către braț, i.e. valoarea determinată anterior a momentului de cuplu în sistem plat forte:

t 0 (P, -P) \u003d Pk \u003d t. (1.31)

Vectorul-moment al unei perechi de forțe este un vector „liber”; poate fi aplicat în orice punct al spațiului fără a schimba modulul și direcția, ceea ce corespunde cu posibilitatea de a transfera o pereche de forțe pe orice plan paralel.

Momentul unei perechi de forțe în jurul unei axe. Deoarece momentul unei perechi de forțe este un vector „liber”, atunci întotdeauna o pereche de forțe dată de un vector-moment,

poate fi aranjat astfel încât una dintre forțele perechii (-^) să intersecteze o axă dată într-un punct arbitrar DESPRE(Fig. 1.66). Apoi un moment

perechea de forțe va fi egală cu momentul forței R relativ la punct DESPRE:

m 0 (P, -P) \u003d OLx P \u003d m.

Orez. 1.BB. La definirea momentului unei perechi de forțe în jurul axei

Momentul unei perechi de forțe relativ la o axă este definit ca proiecția pe această axă a vectorului-moment de forță F relativ la punct DESPRE, sau, care este la fel, cu proiecția momentului-vector al unei perechi de forțe m 0 (F,-F) pentru aceasta axa:

t x (F,-F) = tn cos os = Rg x t. (1-32)

Câteva exemple de relații spațiale:

? articulație sferică(Fig. 1.67) vă permite să vă rotiți în jurul punctului în orice direcție. Prin urmare, eliminând o astfel de conexiune, este necesar să se aplice o forță /V, care trece prin centrul balamalei și este necunoscută ca mărime și direcție în spațiu. Expandând această forță în direcțiile a trei axe de coordonate, obținem trei reacții necunoscute: X A, Y a, Z A;

Orez. 1.B7. Articulația sferică și reprezentarea schematică a reacțiilor sale

? rulment simplu vă permite să implementați rotația în jurul axei sale și permite libertatea de mișcare de-a lungul acestei axe. Presupunând că dimensiunea 8 este foarte mică și momentele reactive despre x și la poate fi neglijat, obținem o forță reactivă necunoscută ca mărime și direcție N / A sau două reacții necunoscute: X A, U A(Fig. 1.68);

Orez. 1.B8. Reacții libere ale rulmentului axului

? rulment axial(Fig. 1.69), spre deosebire de un rulment, permite rotația în jurul axei sale, nepermițând mișcarea de-a lungul acestuia și are trei reacții necunoscute: X A, ? L, Z/1;

? sigiliu spațial oarbă(Fig. 1.70). Deoarece atunci când o astfel de conexiune este eliminată, apare un sistem de forțe reactiv spațial arbitrar, caracterizat de vectorul principal /? de magnitudine și direcție necunoscute și momentul principal, de exemplu, relativ la centrul de terminare A, de asemenea, necunoscut în mărime și direcție, atunci reprezentăm fiecare dintre acești vectori ca componente de-a lungul axelor: Eu \u003d X A + Y A + 2 A; M A = t AX + t AC + t Ag.

Orez. 1,70.

Concluzionăm că o etanșare spațială oarbă are șase reacții necunoscute - trei componente de forță și trei momente în raport cu axele, ale căror mărimi sunt egale cu proiecțiile corespunzătoare ale forțelor și momentelor pe axele de coordonate: X A, Y12A, tAH; t AU t A/ .

Rezolvarea problemelor. La rezolvarea problemelor pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe, este foarte important să se întocmească ecuații care pot fi rezolvate într-un mod simplu. În aceste scopuri, axele în raport cu care sunt compuse ecuațiile de moment trebuie alese astfel încât să intersecteze cât mai multe forțe necunoscute sau să fie paralele cu acestea. Este de dorit să direcționați axele de proiecție astfel încât necunoscutele individuale să fie perpendiculare pe acestea.

În cazul dificultăților apărute în procesul de determinare a momentului de forță în raport cu axele, forțele individuale ar trebui înlocuite seturi echivalente de doua forte, pentru care calculele sunt simplificate. În unele cazuri, este util să afișați proiecțiile sistemului luat în considerare pe planurile de coordonate.

Să remarcăm, omițând dovezile, că, așa cum a fost într-un sistem plan de forțe, atunci când se compun ecuațiile de echilibru pentru un sistem spațial de forțe, este posibil să se mărească numărul de ecuații de momente în jurul axelor până la șase. , respectând unele restricții impuse direcției axelor, astfel încât ecuațiile momentelor să fie liniar independente.

Sarcina 1.3. Placă dreptunghiulară sprijinită într-un punct ÎN la sferic

cu balamale și fixate în puncte Ași Cu ajutorul tijelor, sprijini-

trăiește în echilibru cu un fir, așa cum se arată în Fig. 1,71. Determinați reacțiile de legătură a plăcilor LAN.

Orez. 1,71.

D a n o: G, t, za, Z(3 = l/4.

Alegerea originii la un punct ÎN, exprimam componentele fortei reactive orientate spatial T de-a lungul axei z si avionul woo:

T 7 \u003d T cosa; TXY = T păcat a.

Condițiile de echilibru pentru acest sistem vor reprezenta un sistem de ecuații rezolvate secvențial, pe care le scriem, omițând limitele de însumare, sub forma:

X mz = 0- -X A a = 0;

=°’ ~Tz a + G~m = 0;

X mxi = 0.

X^ = o, X F n = 0;

T z a + Z c a = 0;