Condiție de echilibru pentru un sistem spațial arbitrar de forțe. Ecuații de echilibru pentru un sistem spațial de forțe. Condiția pentru echilibrul sistemului spațial de forțe

Un sistem spațial arbitrar de forțe, ca unul plat, poate fi adus într-un anumit centru DESPREși înlocuiți cu o forță rezultantă și o pereche cu moment . Argumentând în așa fel încât pentru echilibrul acestui sistem de forțe este necesar și suficient ca în același timp R= 0 și M o = 0. Dar vectorii și pot să dispară numai atunci când toate proiecțiile lor pe axele de coordonate sunt egale cu zero, adică atunci când R x= R y= R z = 0 și M x= M y= M z = 0 sau când forțele care acționează îndeplinesc condițiile

Σ X i = 0; Σ Mx(Pi) = 0;

Σ Y eu = 0; Σ Ale mele(Pi) = 0;

Σ Z i = 0; Σ Mz(Pi) = 0.

Deci pentru echilibru sistem spațial forțele sunt necesare și suficiente pentru ca sumele proiecțiilor tuturor forțelor sistemului pe fiecare axă de coordonate, precum și sumele momentelor tuturor forțelor sistemului relativ la fiecare dintre aceste axe, să fie egale. la zero.

În cazuri particulare ale unui sistem de forțe convergente sau paralele, aceste ecuații vor fi liniar dependente și doar trei dintre cele șase ecuații vor fi liniar independente.

De exemplu, ecuațiile de echilibru pentru un sistem de forțe paralel cu axa Oz, au forma:

Σ Z i = 0;

Σ Mx(Pi) = 0;

Σ Ale mele(Pi) = 0.

Probleme pentru echilibrul unui corp sub acțiunea unui sistem spațial de forțe.

Principiul rezolvării problemelor din această secțiune rămâne același ca și pentru sistem plat forte. După ce s-a stabilit echilibrul cărui corp va fi considerat, ele înlocuiesc legăturile impuse corpului cu reacțiile lor și alcătuiesc condițiile echilibrului acestui corp, considerându-l liber. Cantitățile necesare se determină din ecuațiile obținute.

Pentru mai mult sisteme simple ecuații, se recomandă ca axele să fie desenate astfel încât să intersecteze mai multe forțe necunoscute sau să fie perpendiculare pe acestea (cu excepția cazului în care acest lucru complică inutil calculul proiecțiilor și momentelor altor forțe).

Un element nou în formularea ecuațiilor este calculul momentelor forțelor în jurul axelor de coordonate.

În cazurile în care este dificil de văzut din desenul general care este momentul unei forțe date în raport cu o anumită axă, se recomandă să se înfățișeze pe desenul auxiliar proiecția corpului în cauză (împreună cu forța) pe un plan. perpendicular pe această axă.

În acele cazuri când, la calcularea momentului, există dificultăți în determinarea proiecției forței pe planul corespunzător sau umerii acestei proiecții, se recomandă descompunerea forței în două componente reciproc perpendiculare (dintre care una paralelă cu orice axă de coordonate) și apoi folosiți teorema Varignon.

Exemplul 5 Cadru AB(fig.45) este menținută în echilibru printr-o balama Ași tijă Soare. La marginea cadrului este o sarcină de cântărire R. Să determinăm reacțiile balamalei și forța în tijă.

Fig.45

Luăm în considerare echilibrul cadrului împreună cu sarcina.

Construim o schemă de calcul, înfățișând cadrul ca un corp liber și prezentând toate forțele care acționează asupra acestuia: reacțiile legăturilor și greutatea sarcinii R. Aceste forțe formează un sistem de forțe situat în mod arbitrar pe plan.

Este de dorit să se compună astfel de ecuații astfel încât fiecare să aibă o forță necunoscută.

În problema noastră, acesta este ideea A, unde necunoscutele si ; punct CU, unde liniile de acțiune ale forțelor necunoscute se intersectează și ; punct D- punctul de intersecţie al liniilor de acţiune a forţelor şi . Să facem ecuația proiecțiilor forțelor pe o axă la(pe axă X este imposibil de proiectat, pentru că este perpendicular pe linie AC).

Și, înainte de a scrie ecuații, mai facem o remarcă utilă. Dacă există o forță asupra schemei de proiectare, situată astfel încât umărul său să nu fie ușor, atunci când se determină momentul, se recomandă mai întâi să descompuneți vectorul acestei forțe în două, mai convenabil dirijate. În această problemă, descompunem forța în două: și (Fig. 37) astfel încât modulele lor

Facem ecuații:

Din a doua ecuație găsim

Din a treia

Și din prima

Deci, cum a ieșit S<0, то стержень Soare va fi comprimat.

Exemplul 6 Greutatea raftului dreptunghiular Rținut în poziție orizontală de două tije CEȘi CD atașat de perete într-un punct E. Bare de aceeași lungime, AB=2 A,EO= A. Determinați forțele în tije și reacțiile buclelor AȘi ÎN.

Fig.46

Luăm în considerare echilibrul plăcii. Construim o schemă de calcul (Fig. 46). Reacţiile buclelor sunt prezentate de obicei prin două forţe perpendiculare pe axa buclei: .

Forțele formează un sistem de forțe situat în mod arbitrar în spațiu. Putem face 6 ecuații. Necunoscut - tot șase.

Ce ecuații să faci - trebuie să te gândești. Este de dorit ca acestea să fie mai simple și să conțină mai puține necunoscute.

Să facem următoarele ecuații:

Din ecuația (1) obținem: S 1 =S 2 . Apoi din (4): .

Din (3): Y A =Y B și, conform (5), . Deci Din ecuația (6), deoarece S 1 = S 2 urmează Z A = Z B . Apoi prin (2) Z A =Z B =P/4.

Din triunghi , unde , urmează ,

De aceea Y A \u003d Y B \u003d 0,25P, Z A \u003d Z B 0,25P.

Pentru a verifica soluția, puteți compune o altă ecuație și puteți vedea dacă este mulțumit de valorile găsite ale reacțiilor:

Problema rezolvata corect.

Întrebări pentru autoexaminare

Ce structură se numește fermă?

Enumerați principalele componente ale unei ferme.

Care truss rod se numește zero?

Formulați lemele care definesc pivotul zero al armaturii.

Care este esența metodei de tăiere a nodurilor?

Pe baza ce considerații, fără calcule, se pot determina tijele de ferme spațiale, în care, la o sarcină dată, forțele sunt egale cu zero?

Care este esența metodei Ritter?

Care este relația dintre reacția normală la suprafață și forța normală de presiune?

Care este forța de frecare?

Scrieți legea Amonton-Coulomb.

Formulați legea de bază a frecării. Care este coeficientul de frecare, unghiul de frecare și de ce depinde valoarea lor?

Grinda este în echilibru, sprijinită pe un perete vertical neted și o podea orizontală aspră; centrul de greutate al fasciculului se află în mijlocul acesteia. Este posibil să se determine direcția reacției totale a podelei?

Care este dimensiunea coeficientului de frecare de alunecare.

Care este forța finală a frecării de alunecare.

Ce caracterizează conul de frecare?

Numiți cauza momentului de frecare de rulare.

Care este dimensiunea coeficientului de frecare la rulare?

Dați exemple de dispozitive în care apare frecarea de rotire.

Care este diferența dintre forța de coeziune și forța de frecare?

Ce este un con de ambreiaj?

Care sunt direcțiile posibile de reacție ale unei suprafețe rugoase?

Care este aria de echilibru și care sunt condițiile pentru echilibrul forțelor aplicate unei bare care se sprijină pe două suprafețe aspre?

Care este momentul de forță la un punct? Care este dimensiunea acestei cantități?

Cum se calculează modulul momentului de forță față de un punct?

Formulați o teoremă asupra momentului sistemului rezultant de forțe convergente.

Care este momentul forței în jurul unei axe?

Scrieți o formulă care raportează momentul de forță în jurul unui punct cu momentul aceleiași forțe în jurul unei axe care trece prin acest punct.

Cum se determină momentul forței în jurul unei axe?

De ce, atunci când se determină momentul forței în jurul unei axe, este necesar să se proiecteze forța pe un plan perpendicular pe axă?

Cum ar trebui să fie poziționată axa astfel încât momentul unei forțe date în jurul acestei axe să fie egal cu zero?

Dați formule pentru calcularea momentelor de forță în jurul axelor de coordonate.

Cum este direcționat vectorul momentului de forță față de punct?

Cum este definit momentul forței în raport cu un punct într-un plan?

Ce zonă poate determina valoarea numerică a momentului de forță în jurul unui punct dat?

Se modifică momentul forței în jurul unui punct dat când forța este transferată de-a lungul liniei sale de acțiune?

Când este momentul forței în jurul unui punct dat egal cu zero?

Determinați locul punctelor din spațiu față de care momentele unei forțe date sunt:

a) egal geometric;

b) sunt egale în valoare absolută.

Cum se determină valoarea numerică și semnul momentului de forță față de axă?

În ce condiții momentul forței în jurul axei este egal cu zero?

În ce direcție a unei forțe aplicate unui punct dat, momentul ei în jurul unei axe date este cel mai mare?

Ce relație există între momentul forței în jurul unui punct și momentul aceleiași forțe în jurul unei axe care trece prin acest punct?

În ce condiții modulul momentului de forță în jurul unui punct este egal cu momentul aceleiași forțe în jurul unei axe care trece prin acest punct?

Care sunt expresiile analitice pentru momentele de forță despre axele de coordonate?

Care sunt momentele principale ale unui sistem de forțe situat arbitrar în spațiu față de un punct și față de o axă care trece prin acest punct? Care este relația dintre ei?

Care este momentul principal al unui sistem de forțe situat într-un singur plan, raportat la orice punct al acestui plan?

Care este momentul principal al forțelor care alcătuiesc perechea, raportat la orice punct din spațiu?

Ce se numește momentul principal al sistemului de forțe față de un pol dat?

Cum este formulată lema privind transferul paralel de forță?

Formulați o teoremă privind reducerea unui sistem arbitrar de forțe la vectorul principal și momentul principal.

Notați formulele de calcul a proiecțiilor momentului principal pe axele de coordonate.

Oferiți o înregistrare vectorială a condițiilor de echilibru pentru un sistem arbitrar de forțe.

Scrieți condițiile de echilibru pentru un sistem arbitrar de forțe în proiecții pe axe de coordonate dreptunghiulare.

Câte ecuații independente de echilibru scalar pot fi scrise pentru un sistem spațial de forțe paralele?

Scrieți ecuațiile de echilibru pentru un sistem de forțe plan arbitrar.

În ce condiție sunt echilibrate trei forțe neparalele aplicate unui corp rigid?

Care este condiția de echilibru pentru trei forțe paralele aplicate unui corp rigid?

Care sunt cazurile posibile de reducere a forțelor situate arbitrar și paralele în spațiu?

La ce formă cea mai simplă poate fi redus sistemul de forțe dacă se știe că momentul principal al acestor forțe relativ la diferite puncte din spațiu este:

a) are aceeași valoare diferită de zero;

b) este egal cu zero;

c) are valori diferite și este perpendicular pe vectorul principal;

d) are valori diferite și nu este perpendicular pe vectorul principal.

Care sunt condițiile și ecuațiile pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe convergente, paralele și situate arbitrar și cum diferă ele de condițiile și ecuațiile pentru echilibrul aceluiași tip de forțe pe un plan?

Ce ecuații și câte dintre ele pot fi făcute pentru un sistem spațial echilibrat de forțe convergente?

Scrieți sistemul de ecuații de echilibru al sistemului spațial de forțe?

Care sunt condițiile geometrice și analitice pentru aducerea sistemului spațial de forțe la rezultantă?

Formulați o teoremă asupra momentului sistemului spațial de forțe rezultat în jurul unui punct și al unei axe.

Scrieți ecuațiile pentru dreapta de acțiune a rezultantei.

Care linie dreaptă din spațiu se numește axa centrală a sistemului de forțe?

Deduceți ecuațiile axei centrale a sistemului de forțe?

Arătați că două forțe de încrucișare pot fi reduse la un șurub de forță.

Ce formulă este folosită pentru a calcula cel mai mic moment principal al unui anumit sistem de forțe?

Scrieți formulele de calcul al vectorului principal al sistemului spațial de forțe convergente?

Scrieți formulele de calcul al vectorului principal al unui sistem spațial de forțe localizate în mod arbitrar?

Scrieți formula de calcul al momentului principal al sistemului spațial de forțe?

Care este dependența momentului principal al sistemului de forțe în spațiu de distanța centrului de reducere față de axa centrală a acestui sistem de forțe?

Față de ce puncte din spațiu, momentele principale ale unui sistem dat de forțe au același modul și fac același unghi cu vectorul principal?

În ce puncte din spațiu, momentele principale ale sistemului de forțe sunt egale geometric între ele?

Care sunt invarianții sistemului de forțe?

Ce condiții sunt îndeplinite de forțele date aplicate unui corp rigid cu unul și două puncte fixe, care este în repaus?

Va exista un sistem plat de forțe în echilibru, pentru care sumele algebrice ale momentelor aproximativ trei puncte situate pe aceeași dreaptă să fie egale cu zero?

Fie ca pentru un sistem plat de forțe, sumele momentelor de aproximativ două puncte sunt egale cu zero. În ce condiții suplimentare va fi sistemul în echilibru?

Formulați condițiile necesare și suficiente pentru echilibrul unui sistem plan de forțe paralele.

Ce este un punct de moment?

Ce ecuații (și câte) pot fi făcute pentru un sistem de forțe plan arbitrar echilibrat?

Ce ecuații și câte dintre ele pot fi făcute pentru un sistem spațial echilibrat de forțe paralele?

Ce ecuații și câte dintre ele pot fi făcute pentru un sistem spațial arbitrar echilibrat de forțe?

Cum se formulează planul de rezolvare a problemelor de statică privind balanța forțelor?

Un sistem spațial arbitrar de forțe, ca unul plat, poate fi adus într-un anumit centru DESPREși înlocuiți cu o forță rezultantă și o pereche cu moment . Argumentând în așa fel încât pentru echilibrul acestui sistem de forțe este necesar și suficient ca în același timp R= 0 și M o = 0. Dar vectorii și pot să dispară numai atunci când toate proiecțiile lor pe axele de coordonate sunt egale cu zero, adică atunci când R x= R y= R z = 0 și M x= M y= M z = 0 sau, când forțele care acționează îndeplinesc condițiile:

Σ X i = 0; Σ Mx(Pi) = 0;

Σ Y eu = 0; Σ Ale mele(Pi) = 0;

Σ Z i = 0; Σ Mz(Pi) = 0.

Astfel, pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe, este necesar și suficient ca suma proiecțiilor tuturor forțelor sistemului pe fiecare dintre axele de coordonate, precum și sumele momentelor tuturor forțelor de sistemul relativ la fiecare dintre aceste axe, să fie egal cu zero.

Pentru a obține sisteme de ecuații mai simple, este recomandat să desenați axele astfel încât să intersecteze mai multe forțe necunoscute sau să fie perpendiculare pe ele (cu excepția cazului în care acest lucru complică inutil calculul proiecțiilor și momentelor altor forțe).

Un element nou în formularea ecuațiilor este calculul momentelor forțelor în jurul axelor de coordonate.

În cazurile în care este dificil de văzut din desenul general care este momentul unei forțe date în raport cu o anumită axă, se recomandă să se înfățișeze în desenul auxiliar proiecția corpului în cauză (împreună cu forța) pe un plan. perpendicular pe această axă.

Fig.45

Luăm în considerare echilibrul cadrului împreună cu sarcina.

Este de dorit să se compună astfel de ecuații astfel încât fiecare să aibă o forță necunoscută.

În problema noastră, acesta este ideea A, unde necunoscutele si ; punct CU, unde liniile de acțiune ale forțelor necunoscute se intersectează și ; punct D- punctul de intersecţie al liniilor de acţiune a forţelor şi . Compunem ecuația proiecțiilor forțelor pe axă la(pe axă X este imposibil de proiectat, pentru că este perpendicular pe linie AC).

Și, înainte de a compila ecuații, mai facem o remarcă utilă. Dacă există o forță asupra schemei de proiectare situată astfel încât umărul său să nu fie ușor, atunci când se determină momentul, se recomandă mai întâi să descompuneți vectorul acestei forțe în două, mai convenabil dirijate. În această problemă, descompunem forța în două: și (Fig. 37) astfel încât modulele lor

Facem ecuații:

Din a doua ecuație găsim:

Din a treia

Și din prima

Deci, cum a ieșit S<0, то стержень Soare va fi comprimat.

Exemplul 6 Greutatea raftului dreptunghiular Rținut în poziție orizontală de două tije CEȘi CD, atașat de perete la punct E. Bare de aceeași lungime, AB = 2 A, EO = A. Să determinăm forțele din tije și reacțiile buclelor AȘi ÎN.

Fig.46

Luăm în considerare echilibrul plăcii. Construim o schemă de calcul (Fig. 46). Se obișnuiește să se arate reacțiile buclei cu două forțe perpendiculare pe axa buclei: .

Forțele formează un sistem de forțe situat în mod arbitrar în spațiu. Putem face 6 ecuații. Necunoscut - tot șase.

Ce ecuații să faci - trebuie să te gândești. Este de dorit ca acestea să fie mai simple și să conțină mai puține necunoscute.

Să facem următoarele ecuații:

Din ecuația (1) obținem: S 1 =S 2 . Apoi din (4): .

Din (3): Y A =Y B și, conform (5), . Deci Din ecuația (6), deoarece S 1 = S 2 urmează Z A = Z B . Apoi prin (2) Z A =Z B =P/4.

Din triunghi , unde , urmează ,

Prin urmare, Y A \u003d Y B \u003d 0,25P, Z A \u003d Z B 0,25P.

Pentru a verifica soluția, puteți compune o altă ecuație și puteți vedea dacă este mulțumit de valorile găsite ale reacțiilor:

Problema rezolvata corect.

Mai sus (6.5, cazul 6) s-a constatat că

Dat fiind , , proiectăm formulele (6.18) pe axele de coordonate carteziene. Avem forma analitică a ecuațiilor de echilibru ale unui sistem spațial arbitrar de forțe:

(6.19)

Ultimele trei ecuații au loc datorită faptului că proiecția momentului de forță în jurul unui punct de pe axa care trece prin acest punct este egală cu momentul de forță în jurul axei (formula (6.9)).

Concluzie sistem spațial arbitrar de forțe, care se aplică unui corp rigid, trebuie să compunem șase ecuații de echilibru(6.19), prin urmare, cu ajutorul acestor ecuații, avem ocazia să determinăm șase necunoscute.

Luați în considerare cazul sistem spațial de forțe paralele. Alegem sistemul de coordonate astfel încât axa Oz era paralelă cu liniile de acţiune ale forţelor (Fig. 6.11).

Deci au mai rămas trei ecuații:

Concluzie. La rezolvarea problemelor de echilibru sistem spațial paralel de forțe, care se aplică unui corp rigid, trebuie să compunem trei ecuații de echilibru si avem posibilitatea cu ajutorul acestor ecuatii determina trei marimi necunoscute.

În prima prelegere la secțiunea „Static”, am aflat că există șase varietăți de sisteme de forțe, care poate apărea în practica dumneavoastră de calcule inginerești. În plus, există două posibilități de localizare a perechilor de forțe: în spațiu și în plan. Să reducem toate ecuațiile de echilibru pentru forțe și pentru perechi de forțe într-un singur tabel (Tabelul 6.2), în care în ultima coloană notăm numărul de mărimi necunoscute pe care sistemul de ecuații de echilibru ne va permite să le determinăm.

Tabelul 6.2 - Ecuații de echilibrare pentru diferite sisteme de forțe

Tipul sistemului de forță	Ecuații de echilibru	Numărul de necunoscute definite

Plan convergent
Plan paralel (axa 0 la)	v. A 0xy
Plat arbitrar (în planul 0xy)	v. A- arbitrar, aparținând avionului 0xy

Tabelul 6.2 a continuat

Întrebări pentru autocontrol pe tema 6

1. Cum să găsiți momentul de forță în jurul axei?

2. Ce relație există între momentul forței în jurul unui punct și momentul aceleiași forțe în jurul unei axe care trece prin acest punct?

3. În ce cazuri momentul de forță față de axă este egal cu zero? Când este cel mai mare?

4. În ce cazuri se reduce sistemul de forţe la rezultantă?

5. În ce caz este dat sistemul spațial de forțe:

- la o pereche de forţe;

– la șurubul dinamic?

6. Ce se numește invariant static? Ce știi despre invarianții statici?

7. Scrieți ecuațiile de echilibru pentru un sistem spațial arbitrar de forțe.

8. Formulați condiția necesară și suficientă pentru echilibrul unui sistem spațial paralel de forțe.

9. Se va schimba vectorul principal al sistemului de forțe atunci când se va schimba centrul de reducere? Și punctul principal?

Subiectul 7. FERME. DEFINIȚIA EFORTULUI

Forțe care converg într-un punct. Forțe ale căror linii de acțiune NS se află în aceeași formă plană sistem spațial de forțe. Dacă liniile de acțiune ale forțelor se intersectează într-un punct, dar nu se află în același plan (Fig. 1.59), atunci ele formează sistem spațial de forțe convergente. Momentul principal al unui astfel de sistem de forțe relativ la punctul O, în care liniile de acțiune ale forțelor se intersectează, este întotdeauna egal cu zero, adică. un astfel de sistem de forțe în cazul general este echivalent cu rezultanta, a cărei linie de acțiune trece prin punctul DESPRE.

Orez. 1,59.

Când se utilizează GSS (1.5), condițiile de echilibru pentru un astfel de sistem de forțe în cazul în cauză sunt reduse la expresia /? = (), și ele pot fi scrise ca trei ecuații de echilibru:

Dacă sistemul spațial al forțelor convergente este în echilibru, atunci sumele proiecțiilor tuturor forțelor pe cele trei axe de coordonate carteziene sunt egale cu zero.

În cazul unui sistem spațial de forțe, se poate dovedi că linia de acțiune a forței și axa sunt linii oblice. În acest caz, atunci când compilăm ecuațiile de echilibru, folosim tehnica de design dublu(Fig. 1.60).

Orez. 1.B0. La recepția proiecției forței duble

Esența acestei tehnici este că, pentru a găsi proiecția forței pe axă, o proiectăm mai întâi pe planul care conține această axă și apoi direct pe axa însăși: Yo XY \u003d Ya ^ ny; ex\u003d |T^ rk |c05f \u003d / r 5myC08f.

Sistem spațial arbitrar de forțe. Formează forțe ale căror linii de acțiune nu se află în același plan și nu se intersectează într-un punct sistem spațial arbitrar de forțe(Fig. 1.61). Pentru un astfel de sistem, nu există informații prealabile despre mărimile sau direcțiile vectorului principal și momentului principal. Prin urmare, condițiile de echilibru necesare, care decurg din GSS, eu = 0; M 0= 0 duce la șase ecuații scalare:

	M oh = 0;
	M 0U = 0;
am 7 ani -0,	M o? = 0.

Din GSS rezultă că la echilibrul unui sistem spațial arbitrar de forțe, trei proiecții ale vectorului principal și trei proiecții ale momentului principal al forțelor externe sunt egale cu zero.

Orez. 1,61.

Utilizarea practică a acestor relații nu provoacă dificultăți în cazul găsirii proiecțiilor forțelor necesare calculării proiecției vectorului principal, în timp ce calculul proiecțiilor vectorilor de moment poate fi foarte dificil, deoarece nici mărimea, nici direcția acestor vectori sunt cunoscute dinainte. Rezolvarea problemelor este mult simplificată dacă se folosește conceptul de „moment de forță în jurul axei”.

Momentul de forță relativ la o axă este proiecția pe această axă a vectorului-moment de forță față de orice punct situat pe această axă (Fig. 1.62):

unde /l 0 (/ 7) = g 0 x T 7 - vector-moment de forță relativ la punct DESPRE.

Orez. 1.B2. La definirea momentului de forță în jurul axei

Modulul acestui vector este |al 0 (/ ;)| \u003d 25 TO / 1st \u003d / 7?, unde - aria unui triunghi OLV.

ocolind definiţia vectorului moment t 0 (P). Să construim un plan l, perpendicular pe axa față de care este determinat momentul și să proiectăm forța pe acest plan. Prin definiție, momentul forței în jurul axei:

de la aproximativ os - 28 TO /)-lea AO, A 1 B] - RK I H.

Astfel, modulul momentului de forță în jurul axei poate fi definit ca produsul dintre modulul proiecției forței pe planul l, perpendicular pe axa luată în considerare, cu distanța de la punctul de intersecție al axei. cu planul l la linia de acţiune a forţei R k, adică pentru a determina momentul forței în jurul axei, nu este nevoie să predeterminați vectorul Atingeți),și apoi proiectați-l pe axă Oh.

Notă. Rețineți că modulul momentului în jurul axei nu depinde de alegerea unui punct de pe axă, față de care se calculează vectorul moment, deoarece proiecția ariei AOAV la planul l nu depinde de alegerea punctului DESPRE.

Din cele de mai sus urmează succesiunea acțiunilor în determinarea momentului de forță în jurul axei (vezi Fig. 1.61):

construiți un plan l perpendicular pe Oh,și marcați punctul O;
proiectăm forța pe acest plan;
calculăm modulul momentului în jurul axei și atribuim semnul „+” sau „-” rezultatului:
(1.28)

t ox (P) = ±Pb x.

Regula semnelor rezultă din semnul de proiecţie al vectorului oh (P): când este privit din „capătul pozitiv” al axei „rotația segmentului Al lor " forta R p se vede care are loc în sens invers acelor de ceasornic, atunci momentul forței în jurul axei este considerat pozitiv, în caz contrar este negativ (Fig. 1.63).

Orez. 1,63.

1 R r - din fr. prsuessop - proiecție.

Notă. Momentul de forță în jurul unei axe este egal cu zero atunci când forța este paralelă cu axa sau traversează această axă, adică. momentul forței în jurul axei este zero dacă forța și axa se află în același plan (fig. 1.64).

Orez. 1.B4. Cazurile în care momentul forței este egal cu zero

despre axa

Din punct de vedere fizic, momentul forței în jurul axei caracterizează efectul de rotație al forței față de axă.

Ecuații de echilibru pentru un sistem spațial arbitrar de forțe. Având în vedere că, conform OZS, pentru un sistem spațial de forțe în echilibru, eu = 0; M a= 0. Exprimând proiecțiile vectorului principal prin sumele proiecțiilor forțelor sistemului, și proiecțiile momentului principal - prin sumele momentelor forțelor individuale despre axe, obținem șase ecuații de echilibru pt. un sistem spațial arbitrar de forțe:

Prin urmare, dacă un sistem spațial arbitrar de forțe este în echilibru, atunci suma proiecției tuturor forțelor pe trei axe de coordonate carteziene și suma momentelor tuturor forțelor în jurul acestor axe sunt egale cu zero.

Perechi de forțe în spațiu. Într-un sistem spațial de forțe pot apărea perechi de forțe situate în planuri diferite, iar la calcularea momentului principal, devine necesar să se găsească momentele acestor perechi de forțe în raport cu diferite puncte din spațiu care nu se află în planul perechile.

Fie ca forțele perechii să fie situate în punctele /! Și ÎN(Fig. 1.65). Atunci noi avem: R A = -R in,și modulo P A \u003d P în = R. Din fig. 1.65 rezultă că gin = g l + L V.

Orez. 1.B5. Pentru definirea momentului-vector al unei perechi de forțe față de un punct,

pereche non-plană

Aflați momentul principal al perechii de forțe în jurul punctului DESPRE:

R a x LA + r in X R în = * l x + ? V x L =

\u003d (g în -? L) x P în = x R în \u003d VLx R A \u003d t.

Deoarece poziția punctului O nu a fost inclusă în rezultatul final, observăm că vectorul-moment al perechii de forțe T nu depinde de alegerea punctului de moment DESPREși este definit ca momentul uneia dintre forțele perechii față de punctul de aplicare a celeilalte forțe. Momentul-vector al unei perechi de forțe este perpendicular pe planul de acțiune al perechii și este direcționat astfel încât de la capătul ei să se poată vedea o posibilă rotație în sens invers acelor de ceasornic. Modulul vectorului-moment al unei perechi de forțe este egal cu produsul mărimii forței perechii de către braț, i.e. valoarea determinată anterior a momentului unei perechi într-un sistem plan de forțe:

t 0 (P, -P) \u003d Pk \u003d t. (1.31)

Vectorul-moment al unei perechi de forțe este un vector „liber”; poate fi aplicat în orice punct al spațiului fără a schimba modulul și direcția, ceea ce corespunde cu posibilitatea de a transfera o pereche de forțe pe orice plan paralel.

Momentul unei perechi de forțe în jurul unei axe. Deoarece momentul unei perechi de forțe este un vector „liber”, atunci întotdeauna o pereche de forțe dată de un vector-moment,

poate fi aranjat astfel încât una dintre forțele perechii (-^) să intersecteze o axă dată într-un punct arbitrar DESPRE(Fig. 1.66). Apoi un moment

perechea de forțe va fi egală cu momentul forței R relativ la punct DESPRE:

m 0 (P, -P) \u003d OLx P \u003d m.

Orez. 1.BB. La definirea momentului unei perechi de forțe în jurul axei

Momentul unei perechi de forțe relativ la o axă este definit ca proiecția pe această axă a vectorului-moment de forță F relativ la punct DESPRE, sau, care este la fel, cu proiecția momentului-vector al unei perechi de forțe m 0 (F,-F) pentru aceasta axa:

t x (F,-F) = tn cos os = Rg x t. (1-32)

Câteva exemple de relații spațiale:

? articulație sferică(Fig. 1.67) vă permite să vă rotiți în jurul punctului în orice direcție. Prin urmare, eliminând o astfel de conexiune, este necesar să se aplice o forță /V, care trece prin centrul balamalei și este necunoscută ca mărime și direcție în spațiu. Expandând această forță în direcțiile a trei axe de coordonate, obținem trei reacții necunoscute: X A, Y a, Z A;

Orez. 1.B7. Articulația sferică și reprezentarea schematică a reacțiilor sale

? rulment simplu vă permite să implementați rotația în jurul axei sale și permite libertatea de mișcare de-a lungul acestei axe. Presupunând că dimensiunea 8 este foarte mică și momentele reactive despre x și la poate fi neglijat, obținem o forță reactivă necunoscută ca mărime și direcție N / A sau două reacții necunoscute: X A, U A(Fig. 1.68);

Orez. 1.B8. Reacții libere ale rulmentului axului

? rulment axial(Fig. 1.69), spre deosebire de un rulment, permite rotația în jurul axei sale, nepermițând mișcarea de-a lungul acestuia și are trei reacții necunoscute: X A, ? L, Z/1;

? sigiliu spațial oarbă(Fig. 1.70). Deoarece atunci când o astfel de conexiune este eliminată, apare un sistem de forțe reactiv spațial arbitrar, caracterizat de vectorul principal /? de magnitudine și direcție necunoscute și momentul principal, de exemplu, relativ la centrul de terminare A, de asemenea, necunoscut în mărime și direcție, atunci reprezentăm fiecare dintre acești vectori ca componente de-a lungul axelor: Eu \u003d X A + Y A + 2 A; M A = t AX + t AC + t Ag.

Orez. 1,70.

Concluzionăm că o etanșare spațială oarbă are șase reacții necunoscute - trei componente de forță și trei momente în raport cu axele, ale căror mărimi sunt egale cu proiecțiile corespunzătoare ale forțelor și momentelor pe axele de coordonate: X A, Y12A, tAH; t AU t A/ .

Rezolvarea problemelor. La rezolvarea problemelor pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe, este foarte important să se întocmească ecuații care să poată fi rezolvate într-un mod simplu. În aceste scopuri, axele în raport cu care sunt compuse ecuațiile de moment trebuie alese astfel încât să intersecteze cât mai multe forțe necunoscute sau să fie paralele cu acestea. Este de dorit să direcționați axele de proiecție astfel încât necunoscutele individuale să fie perpendiculare pe acestea.

În cazul dificultăților apărute în procesul de determinare a momentului de forță în raport cu axele, forțele individuale ar trebui înlocuite seturi echivalente de doua forte, pentru care calculele sunt simplificate. În unele cazuri, este util să afișați proiecțiile sistemului luat în considerare pe planurile de coordonate.

Să remarcăm, omițând dovezile, că, așa cum a fost într-un sistem plan de forțe, atunci când se compun ecuațiile de echilibru pentru un sistem spațial de forțe, este posibil să se mărească numărul de ecuații de momente în jurul axelor până la șase. , respectând unele restricții impuse direcției axelor, astfel încât ecuațiile momentelor să fie liniar independente.

Sarcina 1.3. Placă dreptunghiulară sprijinită într-un punct ÎN la sferic

cu balamale și fixate în puncte Ași Cu ajutorul tijelor, sprijini-

trăiește în echilibru cu un fir, așa cum se arată în Fig. 1,71. Determinați reacțiile de legătură a plăcilor LAN.

Orez. 1,71.

D a n o: G, t, za, Z(3 = l/4.

Alegerea originii într-un punct ÎN, exprimam componentele fortei reactive orientate spatial T de-a lungul axei z si avionul woo:

T 7 \u003d T cosa; TXY = T păcat a.

Condițiile de echilibru pentru acest sistem vor reprezenta un sistem de ecuații rezolvate secvențial, pe care le scriem, omițând limitele de însumare, sub forma:

X mz = 0- -X A a = 0;

=°’ ~Tz a + G~m = 0;

X mxi = 0.

X^ = o, X F n = 0;

T z a + Z c a = 0;

DESPRER= 0 și M R x= R y= R z = 0 și M x= M y= M

Condiții de echilibru pentru un sistem spațial arbitrar de forțe.

Un sistem spațial arbitrar de forțe, ca unul plat, poate fi adus într-un anumit centru DESPREși înlocuiți cu o forță rezultantă și o pereche cu un moment. Argumentând în așa fel încât pentru echilibrul acestui sistem de forțe este necesar și suficient ca în același timp R= 0 și M o \u003d 0. Dar vectorii pot dispărea numai atunci când toate proiecțiile lor pe axele de coordonate sunt egale cu zero, adică atunci când R x= R y= R z = 0 și M x= M y= M z = 0 sau când forțele care acționează îndeplinesc condițiile

Astfel, pentru echilibrul unui sistem spațial arbitrar de forțe, este necesar și suficient ca suma proiecțiilor tuturor forțelor pe fiecare dintre cele trei axe de coordonate și suma momentelor lor în jurul acestor axe să fie egală cu zero.

Principii de rezolvare a problemelor privind echilibrul unui corp sub acţiunea unui sistem spaţial de forţe.

Principiul rezolvării problemelor din această secțiune rămâne același ca și pentru un sistem plan de forțe. După ce s-a stabilit echilibrul cărui corp va fi considerat, ele înlocuiesc legăturile impuse corpului cu reacțiile lor și alcătuiesc condițiile echilibrului acestui corp, considerându-l liber. Cantitățile necesare se determină din ecuațiile obținute.

Un element nou în formularea ecuațiilor este calculul momentelor forțelor în jurul axelor de coordonate.

Exemplul 5

Cadru AB(fig.45) este menținută în echilibru printr-o balama Ași tijă Soare. La marginea cadrului este o sarcină de cântărire R. Să determinăm reacțiile balamalei și forța în tijă.

Fig.45

Luăm în considerare echilibrul cadrului împreună cu sarcina.

Este de dorit să se compună astfel de ecuații astfel încât fiecare să aibă o forță necunoscută.

În problema noastră, acesta este ideea A, unde se aplică necunoscutele și; punct CU, unde liniile de acțiune ale forțelor necunoscute și se intersectează; punct D- punctul de intersecţie al liniilor de acţiune a forţelor şi. Să facem ecuația proiecțiilor forțelor pe o axă la(pe axă X este imposibil de proiectat, pentru că este perpendicular pe linie AC).

Facem ecuații:

Din a doua ecuație găsim . Din a treia Și din prima

Deci, cum a ieșit S<0, то стержень Soare va fi comprimat.