Serii numerice: definiții, proprietăți, criterii de convergență, exemple, soluții. Serii numerice: definiții, proprietăți, criterii de convergență, exemple, soluții Aplicarea semnului d'Alembert

Jean Léron d'Alembert este un matematician francez celebru din secolul al XVIII-lea. În general, d'Alembert s-a specializat în ecuatii diferentiale iar pe baza cercetărilor sale a studiat balistica pentru ca ghiulele Majestăţii Sale să zboare mai bine. În același timp, nu am uitat de seria numerică, nu degeaba rândurile trupelor napoleoniene au convergit și s-au separat atât de clar.

Înainte de a formula semnul în sine, să luăm în considerare o întrebare importantă:
Când ar trebui utilizat criteriul de convergență d'Alembert?

Să începem mai întâi cu repetarea. Amintiți-vă cazurile în care trebuie să utilizați cele mai populare criteriul de comparare marginală. Criteriul de comparare a limitei se aplică atunci când în membrul comun al seriei:
1) Numitorul conține un polinom.
2) Polinoamele sunt atât la numărător, cât și la numitor.
3) Unul sau ambele polinoame pot fi sub rădăcină.

Principalele condiții preliminare pentru aplicarea semnului d'Alembert sunt următoarele:

1) Membrul comun al seriei („umplutura” seriei) include un număr în grad, de exemplu, , și așa mai departe. Mai mult, nu contează deloc unde se află acest lucru, la numărător sau la numitor - este important să fie prezent acolo.

2) Termenul comun al seriei include factorialul. Ce este factorial? Nimic complicat, factorialul este doar o înregistrare pliată a produsului:

…

…

! Când folosim testul d'Alembert, trebuie doar să pictăm factorialul în detaliu. Ca și în paragraful anterior, factorialul poate fi situat în partea de sus sau de jos a fracției.

3) Dacă există un „lanț de factori” în termenul comun al seriei, de exemplu, . Acest caz este rar, dar! Când studiezi o astfel de serie, se face adesea o greșeală - vezi Exemplul 6.

Alături de puteri și (și) factoriali, polinoamele se găsesc adesea în umplerea seriei, acest lucru nu schimbă lucrurile - trebuie să utilizați testul d'Alembert.

În plus, în termenul general al seriei, atât gradul cât și factorialul pot apărea în același timp; pot fi doi factoriali, două grade, important este să existe măcar ceva dintre punctele luate în considerare - și aceasta este doar o condiție prealabilă pentru utilizarea semnului d'Alembert.

Semnul lui d'Alembert: Considera serie de numere pozitive. Dacă există o limită a raportului dintre termenul următor și cel anterior: , atunci:
a) La un rând converge
b) La un rând diverge
c) Când semnul nu răspunde. Trebuie să folosiți un alt semn. Cel mai adesea, o unitate se obține atunci când încearcă să aplice testul d'Alembert acolo unde este necesar să se folosească testul de comparare a limitelor.

Pentru cei care mai au probleme cu limitele sau neînțelegerea limitelor, vă rugăm să consultați subiectul Limite. Exemple de soluții. Fără o înțelegere a limitei și capacitatea de a dezvălui mai departe incertitudinea, din păcate, nu se poate avansa. Și acum exemplele mult așteptate.

Exemplul 1
Vedem că în termenul comun al seriei avem , și aceasta este premisa corectă că trebuie să folosim testul d'Alembert. În primul rând, o soluție completă și un eșantion de design, comentarii mai jos.

Folosim semnul d'Alembert:

converge.

(1) Compuneți raportul dintre următorul membru al seriei față de cel anterior: . Din condiție, vedem că termenul comun al seriei . Pentru a obține următorul membru al seriei, este necesar inlocuieste in schimb: .
(2) Scăpați de fracția cu patru etaje. Cu ceva experiență în rezolvarea acestui pas, îl puteți sări peste el.
(3) Deschideți parantezele din numărător. La numitor scoatem cele patru din grad.
(4) Reduceți cu . Scoatem constanta dincolo de semnul limitei. La numărător, dăm termeni similari între paranteze.
(5) Incertitudinea este eliminată în modul standard - prin împărțirea numărătorului și numitorului la „en” la cel mai înalt grad.
(6) Împărțiți numeratorii la numitori termen cu termen și indicați termenii care tind spre zero.
(7) Simplificam raspunsul si notam ca cu concluzia ca, dupa criteriul d'Alembert, seria studiata converge.

În exemplul considerat, în termenul general al seriei, am întâlnit un polinom de gradul II. Ce se întâmplă dacă există un polinom de gradul 3, 4 sau superior? Faptul este că, dacă este dat un polinom de un grad superior, atunci vor apărea dificultăți la deschiderea parantezelor. În acest caz, puteți aplica metoda soluției „turbo”.

Exemplul 2 Luați o serie similară și examinați-o pentru convergență
Mai întâi soluția completă, apoi comentariile:

Folosim semnul d'Alembert:

Astfel, seria în studiu converge.

(1) Compuneți raportul .
(2) Scăpați de fracția cu patru etaje.
(3) Luați în considerare expresia din numărător și expresia din numitor. Vedem că în numărător trebuie să deschideți parantezele și să ridicați la a patra putere: , ceea ce nu doriți să faceți deloc. În plus, pentru cei care nu sunt familiarizați cu binomul lui Newton, această sarcină poate să nu fie deloc fezabilă. Să analizăm cele mai înalte grade: dacă deschidem parantezele de sus, obținem cel mai înalt grad. Mai jos avem aceeași grad superior: . Prin analogie cu exemplul anterior, este evident că cu împărțirea termen cu termen a numărătorului și numitorului prin vom obține unul în limită. Sau, după cum spun matematicienii, polinoamele și - un ordin de creștere. Astfel, este foarte posibil să încercuiți raportul cu un simplu creion și să indicați imediat că acest lucru tinde spre unitate. În mod similar, avem de-a face cu a doua pereche de polinoame: și, de asemenea, ele un ordin de creștere, iar raportul lor tinde spre unitate.

De fapt, un astfel de „hack” ar fi putut fi făcut în Exemplul nr. 1, dar pentru un polinom de gradul al 2-lea, o astfel de soluție încă arată cumva nedemn. Personal, fac asta: dacă există un polinom (sau polinoame) de gradul I sau al II-lea, folosesc metoda „lungă” de rezolvare a Exemplului 1. Dacă se întâlnește un polinom de al treilea sau mai mult grade înalte, folosesc metoda „turbo” similară cu Exemplul 2.

Exemplul 3 .

Luați în considerare exemple tipice cu factoriali:

Exemplul 4 Examinați seria pentru convergență

Termenul comun al seriei include atât gradul, cât și factorialul. Este clar ca lumina zilei că semnul lui d'Alembert trebuie folosit aici. Noi decidem.

Astfel, seria în studiu diverge.

(1) Compuneți raportul . Repetăm din nou. După condiție, termenul comun al seriei: . Pentru a obține următorul membru al seriei, ar trebui înlocuit în schimb, Prin urmare: .
(2) Scăpați de fracția cu patru etaje.
(3) Ciupim cele șapte de la grad. Factorialii sunt descriși în detaliu. Cum să faci asta - vezi începutul lecției.
(4) Reduceți tot ceea ce poate fi redus.
(5) Mutăm constanta dincolo de semnul limitei. Deschideți parantezele la numărător.
(6) Incertitudinea este eliminată în mod standard - prin împărțirea numărătorului și numitorului la „en” la cel mai înalt grad.

Exemplul 5 Examinați seria pentru convergență Soluția completă este mai jos.

Exemplul 6 Examinați seria pentru convergență

Uneori există rânduri care conțin un „lanț” de multiplicatori în umplerea lor; încă nu am luat în considerare acest tip de rând. Cum să explorezi o serie cu un „lanț” de factori? Folosește semnul lui d'Alembert. Dar mai întâi, pentru a înțelege ce se întâmplă, vom scrie o serie în detaliu:

Din expansiune, vedem că pentru fiecare membru următor al seriei, se adaugă un factor suplimentar la numitor, prin urmare, dacă membrul comun al seriei este , atunci următorul membru al seriei:
. Aici ei greșesc adesea automat, notând oficial conform algoritmului care

Eșantion Eșantion soluția poate arăta astfel: Folosim testul d'Alembert:
Astfel, seria în studiu converge.
SEMN CAUCHY RADICAL

Augustin Louis Cauchy este un matematician francez și mai faimos. Orice student de specialitate tehnică vă poate spune biografia lui Cauchy. In cele mai frumoase culori. Nu întâmplător acest nume de familie este sculptat la primul etaj al Turnului Eiffel.

Testul de convergență Cauchy pentru seriile numerice pozitive este oarecum similar cu testul d'Alembert luat în considerare.

Semnul radical al lui Cauchy: Considera serie de numere pozitive. Dacă există o limită: , atunci:
a) La un rând converge. În special, seria converge pentru .
b) La un rând diverge. În special, seria diverge la .
c) Când semnul nu răspunde. Trebuie să folosiți un alt semn. Este interesant de observat că dacă testul Cauchy nu ne oferă un răspuns la întrebarea convergenței seriei, atunci nici testul d'Alembert nu ne va oferi un răspuns. Dar dacă semnul lui d'Alembert nu dă un răspuns, atunci semnul lui Cauchy poate „funcționează”. Adică semnul Cauchy este în acest sens un semn mai puternic.

Când ar trebui să utilizați semnul radical Cauchy? Testul radical Cauchy este folosit de obicei în cazurile în care termenul comun al seriei COMPLET este în grad dependent de "ro". Sau când rădăcina „bun” este extrasă din membrul comun al seriei. Mai sunt cazuri exotice, dar nu ne vom bate capul cu ele.

Exemplul 7 Examinați seria pentru convergență

Vedem că termenul comun al seriei este complet sub gradul în funcție de , ceea ce înseamnă că trebuie să folosim testul radical Cauchy:

Astfel, seria în studiu diverge.

(1) Facem termenul comun al seriei sub rădăcină.
(2) Rescriem același lucru, doar fără rădăcină, folosind proprietatea gradelor.
(3) În exponent, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen, indicând că
(4) Ca urmare, avem incertitudinea . Aici ați putea parcurge un drum lung: cub, cub, apoi împărțiți numărătorul și numitorul la „en” în cel mai înalt grad. Dar în acest caz, există o soluție mai eficientă: puteți împărți numărătorul și numitorul termen cu termen chiar sub constanta de grad. Pentru a elimina incertitudinea, împărțim numărătorul și numitorul la (puterea cea mai mare).
(5) Efectuăm de fapt împărțirea după termen și indicăm termenii care tind spre zero.
(6) Ne aducem în minte răspunsul, notăm asta și concluzionăm că seria diverge.

Și iată un exemplu mai simplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 8 Examinați seria pentru convergență

Și încă câteva exemple tipice.

Soluția completă și designul eșantionului sunt mai jos.

Exemplul 9 Examinați seria pentru convergență
Folosim testul radical Cauchy:

Astfel, seria în studiu converge.

(1) Puneți termenul comun al seriei sub rădăcină.
(2) Rescriem același lucru, dar fără rădăcină, în timp ce deschidem parantezele folosind formula de înmulțire prescurtată: .
(3) În exponent, împărțim numărătorul la numitor termen cu termen și indicăm că .
(4) Se obține o incertitudine a formei. Aici puteți împărți numărătorul la numitor cu „en” la gradul cel mai înalt, chiar în paranteză. Am întâlnit ceva asemănător când am studiat a doua limită remarcabilă. Dar aici situația este diferită. Dacă coeficienţii la puteri mai mari ar fi aceeași, de exemplu: , atunci trucul cu împărțirea termen cu termen nu ar fi trecut și ar fi necesar să se folosească a doua limita minunata. Dar avem acești coeficienți diferit(5 și 6), prin urmare este posibil (și necesar) să se împartă termen cu termen (apropo, dimpotrivă - a doua limită minunată pentru diferit coeficienții la puteri mai mari nu mai funcționează).
(5) Efectuăm de fapt împărțirea termen cu termen și indicăm care termeni tind spre zero în cazul nostru.
(6) Incertitudinea este eliminată, cea mai simplă limită rămâne: De ce în infinit de mare gradul tinde spre zero? Deoarece baza gradului satisface inegalitatea . Dacă cineva are îndoieli cu privire la corectitudinea limitei, atunci nu voi fi leneș, voi ridica un calculator:
Daca atunci
Daca atunci
Daca atunci
Daca atunci
Daca atunci
… etc. la infinit - adică la limită:
(7) Indicăm asta și concluzionăm că seria converge.

Exemplul 10 Examinați seria pentru convergență

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Uneori se oferă un exemplu provocator pentru o soluție, de exemplu:. Aici în exponent nu vorbesc engleza", doar o constantă. Aici trebuie să pătrați numărătorul și numitorul (se vor dovedi polinoame), apoi urmați algoritmul din articol Rânduri pentru ceainice. Într-un astfel de exemplu, fie criteriul necesar pentru convergența seriei, fie criteriul limită pentru comparație ar trebui să funcționeze.
TEST INTEGRAL CAUCHY

Îi voi dezamăgi pe cei care au învățat prost materialul de la primul curs. Pentru a aplica criteriul Cauchy integral, este necesar să fii mai mult sau mai puțin încrezător să găsești derivate, integrale și, de asemenea, să ai priceperea de a calcula integrală improprie primul fel. În manuale pentru analiză matematică Criteriul integral al lui Cauchy este dat matematic riguros, să formulăm criteriul destul de primitiv, dar înțeles. Și imediat exemple pentru clarificare.

Testul Cauchy integral: Considera serie de numere pozitive. Această serie converge sau diverge

Exemplul 11 Examinați seria pentru convergență

Aproape un clasic. Logaritm natural și niște prostii.

Principala condiție prealabilă pentru utilizarea testului Cauchy integral este faptul că membrul comun al seriei conține o anumită funcție și derivata ei. Din subiect Derivat probabil vă amintiți cel mai simplu lucru tabelar: , și avem doar un astfel de caz canonic.

Cum se folosește semnul integral? În primul rând, luăm pictograma integrală și rescriem limitele superioare și inferioare din „contorul” rândului: . Apoi, sub integrală, rescriem „umplutura” rândului cu litera „el”:. Ceva lipsește ..., oh, da, trebuie să lipiți și o pictogramă diferențială în numărător: .

Acum trebuie să calculăm integrală improprie. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

1) Dacă se dovedește că integrala converge, atunci și seria noastră va converge.

2) Dacă se dovedește că integrala diverge, atunci și seria noastră va diverge.

Repet, dacă materialul rulează, atunci citirea paragrafului va fi dificilă și obscură, deoarece aplicarea caracteristicii se rezumă în esență la calcul integrală improprie primul fel.

Soluția completă și designul exemplului ar trebui să arate cam așa:

Folosim caracteristica integrală:

Astfel, seria în studiu divergeîmpreună cu integrala improprie corespunzătoare.

Exemplul 12 Examinați seria pentru convergență

Soluția și proiectarea eșantionului la sfârșitul lecției

În exemplele luate în considerare, logaritmul ar putea fi și sub rădăcină, acest lucru nu ar schimba metoda de soluție.

Și încă două exemple pentru o gustare

Exemplul 13 Examinați seria pentru convergență

Conform „parametrilor” comuni, termenul comun al seriei pare a fi potrivit pentru utilizarea criteriului de comparare a limitei. Trebuie doar să deschideți parantezele și să predați imediat candidatului pentru a compara această serie cu seria convergentă cât mai mult posibil. Totuși, am fost puțin viclean, parantezele poate să nu fie deschise, dar totuși, soluția prin criteriul de comparare a limitelor va părea destul de pretențioasă.

Prin urmare, folosim testul Cauchy integral:

Integrand continuu pe

convergeîmpreună cu integrala improprie corespunzătoare.

! Notă:numarul primit -nu este suma seriei!

Exemplul 14 Examinați seria pentru convergență

Șablon de soluție și design la sfârșitul secțiunii care se termină.

În scopul asimilării finale și irevocabile a subiectului seriei de numere, vizitați subiectele.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 3:Folosim testul d'Alembert:

Astfel, seria în studiu diverge.
Notă: Puteți folosi și metoda soluției „turbo”: încercuiți imediat raportul cu un creion, indicați că tinde spre unitate și notați: „de aceeași ordine de creștere”.

Exemplul 5: Utilizarea testului d'Alembert: Astfel, seria în studiu converge.

Exemplul 8:

Astfel, seria în studiu converge.

Exemplul 10:
Folosim testul radical Cauchy.

Astfel, seria în studiu diverge.
Notă: Aici este baza gradului, deci

Exemplul 12: Folosim semnul integral.

Se obține un număr finit, ceea ce înseamnă că seria în studiu converge

Exemplul 14: Folosim semnul integral
Integrandul este continuu pe .

Astfel, seria în studiu divergeîmpreună cu integrala improprie corespunzătoare.
Notă: O serie poate fi, de asemenea, explorată folosindCriteriul de comparare limită . Pentru a face acest lucru, trebuie să deschideți parantezele de sub rădăcină și să comparați seria în studiu cu seria divergentă.

Alternând rânduri. semnul Leibniz. Exemple de soluții

Pentru a înțelege exemplele această lecție este necesar să fii bine versat în seria numerică pozitivă: să înțelegi ce este o serie, să cunoști semnul necesar de convergență al unei serii, să poți aplica semne de comparație, semnul lui d'Alembert, semnele lui Cauchy. Subiectul poate fi ridicat aproape de la zero prin studierea secvențială a articolelor Rânduri pentru ceainiceȘi Semnul lui d'Alembert. Semne ale lui Cauchy. În mod logic, această lecție este a treia la rând și va permite nu numai înțelegerea rândurilor alternante, ci și consolidarea materialului deja parcurs! Nu va fi puțină noutate și nu va fi dificil să stăpânești rândurile alternative. Totul este simplu și accesibil.

Ce este un serial alternativ? Acest lucru este clar sau aproape clar din numele în sine. Imediat cel mai simplu exemplu. Luați în considerare seria și scrieți-o mai detaliat:

Acum pentru comentariul criminalului. Membrii unei serii alternative alternează semne: plus, minus, plus, minus, plus, minus etc. catre infinit.
Intercalarea oferă un multiplicator: dacă este par, atunci va exista un semn plus, dacă este impar, un semn minus. În jargonul matematic, acest instrument se numește flasher. Astfel, seria alternantă este „identificată” cu minus unu la puterea lui „en”.

În exemple practice, alternarea termenilor seriei poate oferi nu numai factorul , ci și frații săi: , , , …. De exemplu:

Capcana sunt "trucuri":,, etc. sunt astfel de multiplicatori nu furnizați schimbarea semnului. Este destul de clar că pentru orice natură : , , . Rândurile cu trucuri sunt alunecate nu numai elevilor deosebit de talentați, ci apar ocazional „de la sine” în cursul rezolvării rânduri funcționale.

Cum să examinăm o serie alternativă pentru convergență? Folosește semnul Leibniz. Nu vreau să vorbesc despre gigantul german al gândirii Gottfried Wilhelm Leibniz, deoarece, pe lângă lucrările de matematică, a lansat mai multe volume despre filosofie. Periculoasă pentru creier.

semnul Leibniz: Dacă membrii seriei alternante monoton scade modulo, apoi seria converge. Sau în două paragrafe:

2) Termenii seriei descresc modulo: . Mai mult, ele scad monoton.

Dacă este îndeplinită ambii condiții, atunci seria converge.

Informatie scurta despre modul este dat în manualFormule fierbinți curs şcolar matematică , dar din nou pentru comoditate:

Ce înseamnă „modulo”? Modulul, așa cum ne amintim de la școală, „mănâncă” semnul minus. Să revenim la serie. Ștergeți mental toate semnele cu o radieră și uita-te la numere. Vom vedea asta fiecare în continuare membru de rând Mai puțin decât precedentul. Astfel, următoarele expresii înseamnă același lucru:

– Membrii unei serii fara semn scădea.
– Membrii seriei sunt în scădere modulo.
– Membrii seriei sunt în scădere în valoare absolută.
– Modul termenul comun al seriei tinde spre zero: Sfârșitul ajutorului

Acum să vorbim puțin despre monotonie. Monotonia este o constanță plictisitoare.

Membrii de rând strict monoton scade modulo dacă FIECARE URMĂTOR membru al seriei modulo MAI MAI MULT decât anterior: . Pentru serie, se efectuează o monotonitate strictă de scădere, poate fi scrisă în detaliu:

Și putem spune pe scurt: fiecare membru următor al seriei modulo mai puțin decât precedentul: .

Membrii de rând nu strict monoton scăderea modulului, dacă FIECARE URMĂTOR termen al seriei modulo NU ESTE MAI MARE DECĂT cel precedent: . Să luăm în considerare o serie cu un factorial: Aici are loc monotonitatea nestrictă, deoarece primii doi termeni ai seriei au același modul. Adică fiecare membru următor al seriei modulo nu mai mult decât precedentul: .

În condițiile teoremei lui Leibniz, monotonitatea scăderii trebuie satisfăcută (nu contează dacă este strictă sau nestrictă). În acest caz, membrii seriei pot chiar crește modulo de ceva timp, dar „coada” serialului trebuie neapărat să fie monoton în scădere. Nu trebuie să-ți fie frică de ceea ce am adunat, exemple practice vor pune totul la locul său:

Exemplul 1 Examinați seria pentru convergență

Termenul comun al seriei include factorul , ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați testul Leibniz

1) Verificarea rândului pentru alternanță. De obicei, în acest moment al deciziei, seria este descrisă în detaliu și este dat verdictul „Seria alternează în semn”.

2) Termenii seriei scad modulo? Este necesar să se rezolve limita, care este de cele mai multe ori foarte simplă.

– termenii seriei nu descresc modulo. Apropo, nu este nevoie de raționament cu privire la monotonitatea scăderii. Concluzie: seria diverge.

Cum să-ți dai seama ce este egal? Foarte simplu. După cum știți, modulul distruge minusurile, așa că pentru a compensa, trebuie doar să îndepărtați farul intermitent de pe acoperiș. În acest caz, termenul comun al seriei este . Scoateți în mod prostesc „fulgerul”:.

Exemplul 2 Examinați seria pentru convergență

Folosim semnul Leibniz:

1) Seria este alternant de semne.

2) - termenii seriei scad în valoare absolută. Fiecare termen următor al seriei este mai puțin în modul decât cel anterior: astfel, scăderea este monotonă.

Concluzie: seria converge.

Totul ar fi foarte simplu - dar acesta nu este sfârșitul soluției!

Dacă seria converge conform testului Leibniz, atunci se spune că și seria este converge conditionat.

Dacă și seria compusă din module converge: , atunci spunem că seria converge absolut.

Prin urmare, a doua etapă a rezolvării unei sarcini tipice este pe ordinea de zi - studiul unei serii alternative pentru convergența absolută.

Nu sunt vinovat - o astfel de teorie a seriei de numere =)

Examinăm seria noastră pentru convergență absolută.
Să compunem o serie de module - din nou pur și simplu eliminăm factorul, care asigură alternarea semnelor: - diverge (seria armonică).

Astfel, seria noastră nu este absolut convergent.
Seria de studii converge doar conditionat.

Rețineți că în Exemplul nr. 1 nu este necesar să se efectueze un studiu de convergență non-absolută, deoarece la prima etapă s-a ajuns la concluzia că seria diverge.

Colectăm găleți, lopeți, mașini și lăsăm cutia cu nisip pentru a privi lumea cu ochii mari din cabina excavatorului meu:

Exemplul 3 Investigați seria pentru convergență Folosim testul Leibniz:

1)
Această serie este alternativă de semne.

2) - termenii seriei scad în valoare absolută. Fiecare termen următor al seriei are mai puțin modul decât cel anterior: , ceea ce înseamnă că scăderea este monotonă. Concluzie: seria converge.

Analizând umplerea seriei ajungem la concluzia că aici este necesar să folosim semnul limită de comparație. Este mai convenabil să deschideți parantezele din numitor:

Comparați această serie cu seria convergentă. Folosim testul limită de comparație.

Se obține un număr finit, altul decât zero, ceea ce înseamnă că seria converge împreună cu seria . Seria de studii converge absolut.

Exemplul 4 Examinați seria pentru convergență

Exemplul 5 Examinați seria pentru convergență

Acestea sunt exemple de autoajutorare. O soluție completă și un model de probă la sfârșitul secțiunii.

După cum puteți vedea, rândurile alternative sunt simple și plictisitoare! Dar nu vă grăbiți să închideți pagina, în doar câteva ecrane vom lua în considerare un caz care îi derută pe mulți. Între timp, câteva exemple pentru antrenament și repetare.

Exemplul 6 Examinați seria pentru convergență

Folosim testul Leibniz.
1) Seria este alternant de semne.
2)
Termenii seriei descresc modulo. Fiecare termen următor al seriei este mai puțin în modul decât cel anterior, ceea ce înseamnă că scăderea este monotonă. Concluzie: seria converge.

Vă rugăm să rețineți că nu am descris în detaliu membrii seriei. Este întotdeauna de dorit să le pictezi, dar de la lene insurmontabilă în cazurile „grave”, te poți limita la sintagma „Seria alternează în semn”. Apropo, nu trebuie să luați acest punct în mod oficial, verifica mereu(cel puțin mental) că seria într-adevăr ia pe rând. O privire scurtă eșuează și se face o greșeală „pe mașină”. Amintiți-vă despre „smecherii” , , , dacă există, atunci trebuie să scăpați de ele obținând o serie „normală” cu membri pozitivi.

A doua subtilitate se referă la sintagma despre monotonie, pe care am redus-o și eu pe cât posibil. Puteți face acest lucru și aproape întotdeauna sarcina dvs. va fi creditată. Voi spune un lucru foarte rău - personal, adesea tac despre monotonie și un astfel de număr trece. Dar fii pregătit să pictezi totul în detaliu, până la lanțuri detaliate de inegalități (vezi exemplul de la începutul lecției). În plus, uneori monotonia nu este strictă, iar acest lucru trebuie, de asemenea, monitorizat pentru a înlocui cuvântul „mai puțin” cu cuvântul „nu mai mult”.

Examinăm seria pentru convergență absolută:

Evident, trebuie să utilizați testul radical Cauchy:

Astfel, seria converge. Seria de studii converge absolut.

Exemplul 7 Examinați seria pentru convergență

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă.Adesea există serii alternative care provoacă dificultăți.

Exemplul 8 Examinați seria pentru convergență

Folosim semnul Leibniz:
1) Seria este alternant de semne.

Faptul este că nu există trucuri standard de zi cu zi pentru a rezolva astfel de limite. Unde se duce aceasta limita? La zero, la infinit? Este important aici ca CE să crească mai repede la infinit- numărător sau numitor.

NOTĂ: conceptul de ordine de creștere a unei funcții este tratat în detaliu în articolMetode de rezolvare a limitelor . Avem limitele secvenței, dar asta nu schimbă ideea.

Să încercăm să scriem primii termeni ai seriei:
puteți înlocui un polinom de gradul al miilea, iar acest lucru nu va schimba situația - mai devreme sau mai târziu, factorialul va „depăși” un polinom atât de teribil. Factorială Mai mult ordin înalt creştere decât orice secvență de putere.

– Factorialul crește mai repede decât produs de orice cantitate secvențe exponențiale și de putere (cazul nostru).

– Orice secvența exponențială crește mai repede decât orice secvență de putere, de exemplu: , . secvență exponențială ordin superior de creștere decât orice secvență de putere. Similar factorialului, șirul exponențial „trage” produsul oricărui număr de secvențe de putere sau polinoame: .

– Există ceva mai „mișto” decât factorial? Mânca! Secvența exponențială („en” la puterea lui „en”) crește mai repede decât factorialul. În practică, este rar, dar informațiile nu vor fi de prisos. Sfârșitul ajutorului

Astfel, al doilea punct al studiului (mai ții minte asta? =)) poate fi scris astfel:
2) , din cauza unui ordin de creștere mai mare decât .
Termenii seriei descresc modulo, pornind de la un anumit număr, în același timp, fiecare termen următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât cel anterior, astfel, scăderea este monotonă.

Concluzie: seria converge.

Iată doar acel caz curios când termenii seriei cresc pentru prima dată în valoare absolută, motiv pentru care avem o părere inițială eronată despre limită. Dar, incepand de la un numar "en", factorialul este depășit de numărător, iar „coada” seriei devine monoton descrescătoare, ceea ce este fundamental pentru îndeplinirea condițiilor teoremei Leibniz. Este destul de dificil să afli cu ce exact este egal cu acest „en”.

Conform teoremei corespunzătoare, convergența absolută a seriei implică convergența condiționată a seriei. Concluzie: Seria de studiu converge absolut.

Și în sfârșit, câteva exemple pentru o decizie independentă. Una din aceeași operă (recitiți ajutorul), dar mai simplu. Un alt pentru gurmanzi este fixarea semnului integral al convergenței.

Exemplul 9 Examinați seria pentru convergență

Exemplul 10 Examinați seria pentru convergență

După un studiu calitativ al serii numerice pozitive și alternante cu conștiința curată, puteți merge la rânduri funcționale, care nu sunt mai puțin monotone și uniforme, sunt interesante.

Solutii si raspunsuri:

Exemplul 4: Folosim semnul Leibniz:

1) Această serie este alternativă.
2)
Termenii seriei nu descresc modulo. Concluzie: seria diverge.. , în același timp, fiecare termen următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât cel anterior, astfel, scăderea este monotonă.

Astfel, seria diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare. Seria de studii converge doar conditionat.

Criteriul de convergență al lui d'Alembert Criteriul de convergență radicală al lui Cauchy Criteriul de convergență integrală al lui Cauchy

Unul dintre semnele de comparație comune care apare în exemplele practice este semnul d'Alembert. Semnele lui Cauchy sunt mai puțin frecvente, dar și foarte populare. Ca întotdeauna, voi încerca să prezint materialul într-un mod simplu, accesibil și de înțeles. Subiectul nu este cel mai dificil și toate sarcinile sunt stereotipate într-o anumită măsură.

Jean Léron d'Alembert este un matematician francez celebru din secolul al XVIII-lea. În general, d'Alembert s-a specializat în ecuaţii diferenţiale şi, pe baza cercetărilor sale, s-a angajat în balistică, pentru ca ghiulele Majestăţii Sale să zboare mai bine. În același timp, nu am uitat de seria numerică, nu degeaba rândurile trupelor napoleoniene au convergit și s-au separat atât de clar.

Înainte de a formula semnul în sine, să luăm în considerare o întrebare importantă:
Când ar trebui utilizat criteriul de convergență d'Alembert?

Principalele condiții preliminare pentru aplicarea semnului d'Alembert sunt următoarele:

2) Termenul comun al seriei include factorialul. Cu factoriali, am încrucișat săbiile la lecție Secvența de numere și limita sa. Cu toate acestea, nu strica să răspândești din nou fața de masă cu auto-asamblare:

…

…

! Când folosim testul d'Alembert, trebuie doar să pictăm factorialul în detaliu. Ca și în paragraful anterior, factorialul poate fi situat în partea de sus sau de jos a fracției.

3) Dacă există un „lanț de factori” în termenul comun al seriei, de exemplu, . Acest caz este rar, dar! Când studiezi o astfel de serie, se face adesea o greșeală - vezi Exemplul 6.

Alături de puteri și (și) factoriali, polinoamele se găsesc adesea în umplerea seriei, acest lucru nu schimbă lucrurile - trebuie să utilizați testul d'Alembert.

În plus, în termenul general al seriei, atât gradul cât și factorialul pot apărea în același timp; pot fi doi factoriali, două grade, important este să existe cel putin o parte din puncte luate în considerare - și aceasta este doar o condiție prealabilă pentru utilizarea semnului d'Alembert.

Semnul lui d'Alembert: Considera serie de numere pozitive. Dacă există o limită a raportului dintre termenul următor și cel anterior: , atunci:
a) La un rând converge. În special, seria converge pentru .
b) La un rând diverge. În special, seria diverge la .
c) Când semnul nu răspunde. Trebuie să folosiți un alt semn. Cel mai adesea, o unitate se obține atunci când încearcă să aplice testul d'Alembert acolo unde este necesar să se folosească testul de comparare a limitelor.

Dacă mai aveți probleme cu limitele sau neînțelegerea limitelor, vă rugăm să consultați lecția Limite. Exemple de soluții. Fără o înțelegere a limitei și capacitatea de a dezvălui mai departe incertitudinea, din păcate, nu se poate avansa.

Și acum exemplele mult așteptate.

Exemplul 1

Vedem că în termenul comun al seriei avem , și aceasta este premisa corectă că trebuie să folosim testul d'Alembert. În primul rând, o soluție completă și un eșantion de design, comentarii mai jos.

Folosim semnul d'Alembert:

converge.

Exemplul 2

Luați o serie similară și examinați-o pentru convergență

Mai întâi soluția completă, apoi comentariile:

Folosim semnul d'Alembert:

Astfel, seria în studiu converge.

De fapt, un astfel de „hack” ar fi putut fi făcut în Exemplul nr. 1, dar pentru un polinom de gradul al 2-lea, o astfel de soluție încă arată cumva nedemn. Personal, fac asta: dacă există un polinom (sau polinoame) de gradul I sau al II-lea, folosesc metoda „lungă” de rezolvare Exemplul 1. Dacă apare un polinom de gradul III sau mai mare, folosesc „turbo”. " metodă similară cu Exemplul 2.

Exemplul 3

Examinați seria pentru convergență

Soluție completă și eșantion de proiectare la sfârșitul lecției despre secvențele de numere.
(4) Reduceți tot ceea ce poate fi redus.
(5) Mutăm constanta dincolo de semnul limitei. Deschideți parantezele la numărător.
(6) Incertitudinea este eliminată în mod standard - prin împărțirea numărătorului și numitorului la „en” la cel mai înalt grad.

Exemplul 5

Examinați seria pentru convergență

Soluție completă și eșantion de proiectare la sfârșitul lecției

Exemplul 6

Examinați seria pentru convergență

Un exemplu de soluție ar putea arăta astfel:

Folosim semnul d'Alembert:

Astfel, seria în studiu converge.

Înainte de a începe lucrul cu acest subiect, vă sfătuiesc să vă uitați la secțiunea cu terminologie pentru seriile de numere. În special, merită să acordați atenție conceptului de termen comun al unei serii. Dacă aveți îndoieli cu privire la alegerea corectă a semnului de convergență, vă sfătuiesc să priviți subiectul „Alegerea semnului de convergență al seriei numerice”.

Testul D'Alembert (sau testul d'Alembert) este folosit pentru a studia convergenţa seriilor al căror termen comun este strict mai mare decât zero, adică $u_n > 0$. Astfel de serii se numesc strict pozitiv. În exemplele standard, semnul lui D „Alembert este folosit în forma limitativă.

Semnul lui D "Alamber (în forma limitativă)

Dacă seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ este strict pozitivă și $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ apoi pentru $L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (iar pentru $L=\infty$) seria diverge.

Formularea este destul de simplă, dar următoarea întrebare rămâne deschisă: ce se întâmplă dacă $L=1$? Semnul lui D „Alembert nu poate răspunde la această întrebare. Dacă $L \u003d 1 $, atunci seria poate converge și diverge.

Cel mai adesea, în exemplele standard, semnul lui D „Alembert este folosit dacă expresia termenului comun al seriei conține un polinom în $n$ (polinomul poate fi și sub rădăcină) și un grad de forma $a ^n$ sau $n!$. De exemplu, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (vezi exemplul #1) sau $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Ce înseamnă expresia „n!”? arată ascunde

Înregistrarea „n!” (a se citi „en factorial”) denotă produsul tuturor numere naturale de la 1 la n, adică

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Prin definiție, se presupune că $0!=1!=1$. De exemplu, să găsim 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

În plus, testul D „Alembert este adesea folosit pentru a determina convergența unei serii al cărei termen comun conține produsul următoarei structuri: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n). +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Exemplul #1

Examinați seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ pentru convergență.

Deoarece limita inferioară de însumare este egală cu 1, termenul comun al seriei se scrie sub semnul sumei: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Deoarece pentru $n≥ 1$ avem $3n+7 > 0$, $5^n>0$ și $2n^3-1 > 0$, apoi $u_n > 0$. Prin urmare, seria noastră este strict pozitivă.

$$ 5\cdot\lim_(n\la\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\right) )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|= 5\cdot\lim_(n\la\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\la\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2() n+1)^3-1\right))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ stânga(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\dreapta)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n))+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\la\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\dreapta)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\dreapta))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\right)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Deoarece $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, atunci în funcție de seria dată diverge.

Sincer să fiu, semnul lui D „Alembert nu este singura opțiune în această situație. Puteți folosi, de exemplu, semnul radical Cauchy. Cu toate acestea, utilizarea semnului radical Cauchy va necesita cunoașterea (sau demonstrarea) unor formule suplimentare. Prin urmare, folosirea semnului D" Alembert în această situație este mai convenabilă.

Răspuns: seria diverge.

Exemplul #2

Explorați seria $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Deoarece limita inferioară de însumare este 1, termenul comun al seriei este scris sub semnul sumei: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Termenul comun al seriei conține un polinom sub rădăcină, adică. $\sqrt(4n+5)$ și factorial $(3n-2)!$. Prezența unui factorial într-un exemplu standard este o garanție de aproape sută la sută a aplicării semnului D „Alembert.

Pentru a aplica această caracteristică, trebuie să găsim limita relației $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Pentru a scrie $u_(n+1)$, trebuie să utilizați formula $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Deoarece $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, formula pentru $u_(n+1)$ poate fi scrisă altfel :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Această intrare este convenabilă pentru o soluție ulterioară atunci când trebuie să reducem fracția sub limită. Dacă egalitatea cu factoriali necesită clarificări, atunci vă rugăm să extindeți nota de mai jos.

Cum am obținut $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? arată ascunde

Notația $(3n+1)!$ înseamnă produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la $3n+1$. Acestea. această expresie poate fi scrisă astfel:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Imediat înaintea numărului $3n+1$ există un număr cu unu mai puțin, adică. numărul $3n+1-1=3n$. Și imediat înaintea numărului $3n$ este numărul $3n-1$. Ei bine, chiar înainte de numărul $3n-1$ avem numărul $3n-1-1=3n-2$. Să rescriem formula pentru $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Care este produsul lui $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Acest produs este egal cu $(3n-2)!$. Prin urmare, expresia pentru $(3n+1)!$ poate fi rescrisă în această formă:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Această intrare este convenabilă pentru o soluție ulterioară atunci când trebuie să reducem fracția sub limită.

Calculați valoarea lui $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\la\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\la\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Deoarece $\lim_(n\la\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Înainte de a formula semnul în sine, să luăm în considerare o întrebare importantă:
Când ar trebui utilizat criteriul de convergență d'Alembert?

Principalele premise pentru aplicarea testului d'Alembert sunt următoarele:

1) Membrul comun al seriei („umplutura” seriei) include un număr în grad, de exemplu, , și așa mai departe. Mai mult, nu contează deloc unde se află aceste funcții, la numărător sau la numitor - este important să fie prezente acolo.

2) Termenul comun al seriei include factorialul. Ce este factorial?

…

…

! Când folosim testul d'Alembert, trebuie doar să pictăm factorialul în detaliu. Ca și în paragraful anterior, factorialul poate fi situat în partea de sus sau de jos a fracției.

3) Dacă există un „lanț de factori” în termenul comun al seriei, de exemplu, . Acest caz este rar.

Alături de puteri și (și) factoriali, polinoamele se găsesc adesea în umplerea seriei, acest lucru nu schimbă lucrurile - trebuie să utilizați testul d'Alembert.

Fără o înțelegere a limitei și capacitatea de a dezvălui mai departe incertitudinea, din păcate, nu se poate avansa.

Exemplu:
Soluţie: Vedem că în termenul comun al seriei avem , și aceasta este premisa corectă că trebuie să folosim testul d'Alembert.

Folosim semnul d'Alembert:

converge.

Semnul radical al lui Cauchy.

Testul de convergență Cauchy pentru seriile numerice pozitive este oarecum similar cu testul d'Alembert luat în considerare.

! Este interesant de observat că dacă testul Cauchy nu ne oferă un răspuns la întrebarea convergenței seriei, atunci nici testul d'Alembert nu ne va oferi un răspuns. Dar dacă semnul lui d'Alembert nu dă un răspuns, atunci semnul lui Cauchy poate „funcționează”. Adică semnul Cauchy este în acest sens un semn mai puternic.

!!! Când ar trebui să utilizați semnul radical Cauchy? Testul radical Cauchy este folosit de obicei în cazurile în care termenul comun al seriei COMPLET este în grad dependent de "ro". Sau când rădăcina „bun” este extrasă din membrul comun al seriei. Mai sunt cazuri exotice, dar nu ne vom bate capul cu ele.

Exemplu: Examinați seria pentru convergență

Soluţie: Vedem că termenul comun al seriei este complet sub gradul în funcție de , ceea ce înseamnă că trebuie să folosim testul radical Cauchy:

Astfel, seria în studiu diverge.

Testul Cauchy integral.

Pentru a aplica criteriul Cauchy integral, este necesar să fii mai mult sau mai puțin încrezător să găsești derivate, integrale și, de asemenea, să ai priceperea de a calcula integrală improprie primul fel.

Voi formula cu propriile mele cuvinte (pentru ușurința înțelegerii).

Testul Cauchy integral: Considera serie de numere pozitive. Această serie converge sau diverge împreună cu integrala improprie corespunzătoare.

! !! Principala condiție prealabilă pentru utilizarea testului Cauchy integral este faptul că membrul comun al seriei conține o anumită funcție și derivata ei.

Exemplu: Examinați seria pentru convergență

Soluţie: Din subiect Derivat probabil vă amintiți cel mai simplu lucru tabelar: , și avem doar un astfel de caz canonic.

Acum trebuie să calculăm integrala improprie. În acest caz, sunt posibile două cazuri:

1) Dacă se dovedește că integrala converge, atunci și seria noastră va converge.

2) Dacă se dovedește că integrala diverge, atunci și seria noastră va diverge.

Folosim caracteristica integrală:

Integrand este continuu

Astfel, seria în studiu divergeîmpreună cu integrala improprie corespunzătoare.

Exemplu: Investigați convergența unei serii

Soluţie:În primul rând, verificăm un criteriu necesar pentru convergenţa seriei. Aceasta nu este o formalitate, ci o mare șansă de a face față exemplului „mică vărsare de sânge”.

Secvență numerică superior ordinea de creștere decât , prin urmare , adică este îndeplinit criteriul necesar pentru convergență, iar seria poate atât converge, cât și diverge.

Astfel, trebuie folosit un semn. Dar ce? Semn limită de comparațieîn mod clar nu se potrivește, deoarece logaritmul a fost introdus în termenul comun al seriei, semne ale lui d'Alembert şi Cauchy nici nu conduc la rezultate. Dacă am fi avut-o, atunci cel puțin ar fi posibil să ne descurcăm caracteristică integrală.

„Inspecția scenei” sugerează o serie divergentă (cazul unei serii armonice generalizate), dar din nou se pune întrebarea, cum să luăm în considerare logaritmul în numărător?

Rămâne chiar primul semn de comparație, bazat pe inegalități, care de multe ori nu este luat în considerare și adună praf pe raftul îndepărtat. Să scriem o serie mai detaliată:

Vă reamintesc că - creștere nelimitată succesiune numerică:

Și, pornind de la numărul , se va îndeplini inegalitatea:

adică membrii seriei vor fi chiar mai mult membri relevanți divergente rând .

În consecință, nu mai rămâne nimic pentru serie decât să diverge.

Convergența sau divergența unei serii numerice depinde de „coada sa infinită” (restul). În cazul nostru, putem ignora faptul că inegalitatea nu este adevărată pentru primele două numere - acest lucru nu afectează concluzia.

Designul curat al exemplului ar trebui să arate cam așa:

Comparați această serie cu seria divergentă.
Pentru toate numerele, începând de la , inegalitatea este satisfăcută, prin urmare, prin comparație, seria studiată diverge.

Alternând rânduri. semnul Leibniz. Exemple de soluții.

Ce este un serial alternativ? Acest lucru este clar sau aproape clar din numele în sine. Doar cel mai simplu exemplu.

Luați în considerare seria și scrieți-o mai detaliat:

Alternarea oferă un multiplicator: dacă par, atunci va exista un semn plus, dacă este impar, un semn minus

În exemple practice, alternarea termenilor seriei poate oferi nu numai factorul , ci și frații săi: , , , …. De exemplu:

Capcana sunt "trucuri":,, etc. sunt astfel de multiplicatori nu furnizați schimbarea semnului. Este destul de clar că pentru orice natură : , , .

Cum să examinăm o serie alternativă pentru convergență? Folosește semnul Leibniz.

semnul Leibniz: Dacă în seria alternativă sunt îndeplinite două condiții: 1) termenii seriei scad monoton în valoare absolută. 2) limita termenului comun este egală cu zero în valoare absolută, atunci seria converge, iar modulul sumei acestei serii nu depășește modulul primului termen.

Informații scurte despre modul:

Ce înseamnă „modulo”? Modulul, așa cum ne amintim de la școală, „mănâncă” semnul minus. Să revenim la serie . Ștergeți mental toate semnele cu o radieră și uita-te la numere. Vom vedea asta fiecare în continuare membru de rând Mai puțin decât precedentul.

Acum puțin despre monotonie.

Membrii de rând strict monoton scade modulo dacă FIECARE URMĂTOR membru al seriei modulo MAI MAI MULT decât anterior: . Pentru un număr monotonitatea strictă a scăderii este îndeplinită, poate fi descrisă în detaliu:

Și putem spune pe scurt: fiecare membru următor al seriei modulo mai puțin decât precedentul: .

Membrii de rând nu strict monoton scăderea modulului, dacă FIECARE URMĂTOR termen al seriei modulo NU ESTE MAI MARE DECĂT cel precedent: . Luați în considerare o serie cu un factorial: Aici are loc monotonitatea nestrictă, deoarece primii doi termeni ai seriei sunt identici ca valoare absolută. Adică fiecare membru următor al seriei modulo nu mai mult decât precedentul: .

Exemplu: Examinați seria pentru convergență

Soluţie: Termenul comun al seriei include factorul , ceea ce înseamnă că trebuie să utilizați testul Leibniz

1) Verificarea seriei pentru scădere monotonă.

1<2<3<…, т.е. n+1>n prima condiție nu este îndeplinită

2) – nici a doua condiție nu este îndeplinită.

Concluzie: seria diverge.

Definiție: Dacă o serie converge după criteriul Leibniz și converge și o serie compusă din module, atunci spunem că seria converge absolut.

Dacă seria converge după criteriul Leibniz, iar seria compusă din module diverge, atunci seria se spune că este converge conditionat.

Dacă o serie compusă din module converge, atunci converge și această serie.

Prin urmare, o serie convergentă alternativă trebuie examinată pentru convergență absolută sau condiționată.

Exemplu:

Soluţie: Folosim semnul Leibniz:

1) Fiecare membru următor al seriei are un modul mai mic decât cel anterior: – prima condiție este îndeplinită.

2) – este îndeplinită și a doua condiție.

Concluzie: seria converge.

Verificați dacă există convergență condiționată sau absolută.

Să facem o serie de module - din nou doar eliminăm multiplicatorul, care asigură alternanța:
- diverge (seria armonică).

Astfel, seria noastră nu este absolut convergent.
Seria de studii converge conditionat.

Exemplu: Examinați o serie pentru convergență condiționată sau absolută

Soluţie: Folosim semnul Leibniz:
1) Să încercăm să scriem primii termeni ai seriei:

…?!

Dacă numărătorul la crește mai repede decât factorialul, atunci . Dacă, la infinit, factorialul crește mai repede decât numărătorul, atunci, dimpotrivă, „trage” limita la zero: . Sau poate că această limită este egală cu un număr diferit de zero? sau . În schimb, puteți înlocui un polinom de gradul al miilea, iar acest lucru nu va schimba situația - mai devreme sau mai târziu, factorialul va „depăși” un polinom atât de teribil. Factorială ordin superior de creștere.

– Factorialul crește mai repede decât produs de orice cantitate secvențe exponențiale și de putere(cazul nostru).

– Orice secvența exponențială crește mai repede decât orice secvență de putere, de exemplu: , . secvență exponențială ordin superior de creștere decât orice secvență de putere. Similar cu factorialul, secvența exponențială „trage” produsul oricărui număr de secvențe de putere sau polinoame: .

– Există ceva „mai puternic” decât factorialul? Mânca! Secvența exponențială („en” la puterea lui „en”) crește mai repede decât factorialul. În practică, este rar, dar informațiile nu vor fi de prisos.

Sfârșitul ajutorului

Astfel, al doilea punct al studiului poate fi redactat astfel:
2) , deoarece un ordin de creștere mai mare decât .
Termenii seriei descresc modulo, pornind de la un anumit număr, în același timp, fiecare termen următor al seriei este mai puțin în valoare absolută decât cel anterior, astfel, scăderea este monotonă.

Concluzie: seria converge.

Iată doar acel caz curios când termenii seriei cresc pentru prima dată în valoare absolută, motiv pentru care avem o părere inițială eronată despre limită. Dar, incepand de la un numar "en", factorialul îl depășește pe numărător, iar „coada” seriei devine monoton descrescătoare, ceea ce este fundamental pentru îndeplinirea condiției teoremei Leibniz. Ce este exact acest „en” este destul de greu de aflat.

Examinăm seria pentru convergență absolută sau condiționată:

Și aici semnul d'Alembert funcționează deja:

Folosim semnul d'Alembert:

Astfel, seria converge.

Seria de studii converge absolut.

Exemplul analizat poate fi rezolvat în alt mod (folosim un criteriu suficient pentru convergența unei serii alternative).

Un criteriu suficient pentru convergența unei serii alternative este: Dacă o serie compusă din valorile absolute ale membrilor unei serii date converge, atunci și seria dată converge.

A doua cale:

Examinați o serie pentru convergență condiționată sau absolută

Soluţie : Examinăm seria pentru convergență absolută:

Folosim semnul d'Alembert:

Astfel, seria converge.
Pe baza unui criteriu suficient pentru convergența unei serii alternative, seria în sine converge.

Concluzie: Seria de studiu converge absolut.

Pentru a calcula suma unei serii cu o precizie dată vom folosi următoarea teoremă:

Lasă seria alternativă satisface condiţiile testului Leibniz şi lasă - it n-a-a sumă parțială. Apoi seria converge și eroarea în calculul aproximativ al sumei sale Sîn valoare absolută nu depășește modulul primului termen aruncat:

rânduri funcționale. Serie de puteri.
Regiunea de convergență a seriei.

Pentru a stăpâni cu succes subiectul, trebuie să fii bine versat în serii numerice obișnuite.

Acest articol a colectat și structurat informațiile necesare pentru a rezolva aproape orice exemplu pe tema serii de numere, de la găsirea sumei unei serii până la examinarea convergenței acesteia.

Revizuirea articolului.

Să începem cu definițiile unei serii cu semn pozitiv, semn alternant și conceptul de convergență. Apoi, luați în considerare seria standard, cum ar fi o serie armonică, o serie armonică generalizată și amintiți-vă formula pentru găsirea sumei unei progresii geometrice infinit descrescătoare. După aceea, ne întoarcem la proprietățile seriei convergente, ne oprim asupra condiției necesare pentru convergența seriei și stabilim condiții suficiente pentru convergența seriei. Vom dilua teoria rezolvând exemple tipice cu explicații detaliate.

Navigare în pagină.

Definiții și concepte de bază.

Să avem o succesiune numerică , unde .

Iată un exemplu de succesiune numerică: .

Seria de numere este suma membrilor unei secvente numerice de forma .

Ca exemplu de serie de numere, putem da suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare cu numitorul q = -0,5: .

sunt numite membru comun al seriei de numere sau al k-lea membru al seriei.

Pentru exemplul anterior, termenul comun al seriei de numere este .

Suma parțială a unei serii de numere este o sumă de forma , unde n este un număr natural. numită și a n-a sumă parțială a seriei de numere.

De exemplu, a patra sumă parțială a seriei Există .

Sume parțiale formează o succesiune infinită de sume parțiale ale unei serii numerice.

Pentru seria noastră, a n-a sumă parțială se găsește prin formula pentru suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice , adică vom avea următoarea succesiune de sume parțiale: .

Linia numerică este numită convergente, dacă există o limită finită a succesiunii de sume parțiale . Dacă limita șirului de sume parțiale ale unei serii numerice nu există sau este infinită, atunci seria se numește divergente.

Suma unei serii de numere convergente se numește limita șirului sumelor sale parțiale, adică .

În exemplul nostru, așadar, seria converge, iar suma sa este egală cu șaisprezece treimi: .

Un exemplu de serie divergentă este suma unei progresii geometrice cu un numitor mai mare decât unu: . A n-a sumă parțială este dată de , iar limita sumelor parțiale este infinită: .

Un alt exemplu de serie de numere divergente este suma formei . În acest caz, a n-a sumă parțială poate fi calculată ca . Limita sumelor parțiale este infinită .

Vedere suma numit serie de numere armonice.

Vedere suma , unde s este un număr real, se numește serie de numere armonice generalizate.

Definițiile de mai sus sunt suficiente pentru a fundamenta următoarele afirmații utilizate foarte frecvent, vă recomandăm să le amintiți.

SERIA ARMONICĂ ESTE Divergentă.

Să demonstrăm divergența seriei armonice.

Să presupunem că seria converge. Apoi există o limită finită a sumelor sale parțiale. În acest caz, putem scrie și , ceea ce ne duce la egalitate .

Pe de alta parte,

Următoarele inegalități sunt fără îndoială. Prin urmare, . Inegalitatea rezultată ne spune că egalitatea nu poate fi realizat, ceea ce contrazice presupunerea noastră despre convergența seriei armonice.

Concluzie: seria armonică diverge.

SUMAREA UNEI PROGRESII GEOMETRICE A TIPULUI CU UN DENOMINATOR q ESTE O SERIE NUMERICĂ CONVERGENTĂ DACĂ ȘI O SERIE DIVERGENTĂ LA .

Să demonstrăm.

Știm că suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice se găsește prin formula .

Când e corect

ceea ce indică convergenţa seriei numerice.

Pentru q = 1 avem o serie de numere . Sumele sale parțiale se găsesc ca , iar limita sumelor parțiale este infinită , ceea ce indică divergența seriei în acest caz.

Dacă q \u003d -1, atunci seria de numere va lua forma . Sumele parțiale iau o valoare pentru n impar și pentru n par. De aici putem concluziona că limita sumelor parțiale nu există și seria diverge.

Când e corect

ceea ce indică divergenţa seriei numerice.

SERIA ARMONICĂ GENERALIZATĂ CONVERGE PENTRU s > 1 ȘI DIVERS PENTRU .

Dovada.

Pentru s = 1 obținem seria armonică , iar mai sus am stabilit divergența acesteia.

La s inegalitatea este valabilă pentru toate k naturale. Datorită divergenței seriei armonice, se poate susține că succesiunea sumelor sale parțiale este nelimitată (din moment ce nu există o limită finită). Atunci succesiunea sumelor parțiale ale seriei numerice este cu atât mai nelimitată (fiecare membru al acestei serii este mai mare decât membrul corespunzător al seriei armonice), prin urmare seria armonică generalizată diverge la s.

Rămâne de demonstrat convergența seriei pentru s > 1 .

Să scriem diferența:

Evident, atunci

Să scriem inegalitatea rezultată pentru n = 2, 4, 8, 16, …

Folosind aceste rezultate, pot fi efectuate următoarele acțiuni cu seria numerică originală:

Expresie este suma unei progresii geometrice al cărei numitor este . Deoarece luăm în considerare cazul pentru s > 1, atunci . De aceea
. Astfel, succesiunea de sume parțiale ale seriei armonice generalizate pentru s > 1 este crescătoare și în același timp mărginită de sus de valoarea , prin urmare, are o limită, care indică convergența seriei . Dovada este completă.

Linia numerică este numită semn-pozitiv dacă toți termenii săi sunt pozitivi, adică .

Linia numerică este numită alternativ dacă semnele termenilor săi vecini sunt diferite. O serie de numere alternante poate fi scrisă ca sau , Unde .

Linia numerică este numită alternativ dacă conține un număr infinit de termeni atât pozitivi, cât și negativi.

O serie de numere alternante este un caz special de serie alternantă.

ranguri

sunt semn-pozitive, semn alternant și, respectiv, semn alternant.

Pentru o serie alternativă, există conceptul de convergență absolută și condiționată.

absolut convergente, dacă o serie de valori absolute ale membrilor săi converge, adică o serie numerică cu semn pozitiv converge.

De exemplu, linii numerice Și converg absolut, deoarece seria converge , care este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare.

Seria alternantă se numește convergent condiționat dacă seria diverge și seria converge.

Un exemplu de serie de numere convergente condiționat este seria . Seria de numere , compus din valorile absolute ale membrilor seriei originale, divergente, deoarece este armonică. În același timp, seria originală este convergentă, care se stabilește ușor folosind . Astfel, seria numerică alternant de semne convergent condiționat.

Proprietăţile seriilor numerice convergente.

Exemplu.

Demonstrați convergența seriei numerice.

Soluţie.

Să scriem seria într-o altă formă . Seria de numere converge, deoarece seria armonică generalizată este convergentă pentru s > 1, iar datorită celei de-a doua proprietăți a seriei de numere convergente va converge și seria cu coeficientul numeric.

Exemplu.

Converge seria de numere?

Soluţie.

Să transformăm seria originală: . Astfel, am obținut suma a două serii numerice și , și fiecare dintre ele converge (vezi exemplul anterior). Prin urmare, datorită celei de-a treia proprietăți a seriei numerice convergente, seria originală converge și ea.

Exemplu.

Demonstrați convergența seriei de numere si calculeaza-i suma.

Soluţie.

Această serie de numere poate fi reprezentată ca diferența a două serii:

Fiecare dintre aceste serii este suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare, prin urmare, este convergentă. A treia proprietate a seriei convergente ne permite să afirmăm că seria numerică inițială converge. Să-i calculăm suma.

Primul termen al seriei este unul, iar numitorul progresiei geometrice corespunzătoare este 0,5, prin urmare, .

Primul termen al seriei este 3, iar numitorul progresiei geometrice corespunzătoare în scădere infinită este 1/3, deci .

Să folosim rezultatele obținute pentru a găsi suma seriei numerice originale:

O condiție necesară pentru convergența unei serii.

Dacă seria de numere converge, atunci limita k-lea termen al său este egală cu zero: .

În studiul oricărei serii numerice pentru convergență, în primul rând, este necesar să se verifice îndeplinirea condiției necesare pentru convergență. Nerespectarea acestei condiții indică divergența seriei numerice, adică dacă , atunci seria diverge.

Pe de altă parte, trebuie să se înțeleagă că această condiție nu este suficientă. Adică îndeplinirea egalității nu indică convergența seriei numerice. De exemplu, pentru o serie armonică, condiția de convergență necesară este îndeplinită, iar seria diverge.

Exemplu.

Examinați seria de numere pentru convergență.

Soluţie.

Să verificăm condiția necesară pentru convergența seriei numerice:

Limită Al-lea membru al seriei numerice nu este egal cu zero, prin urmare, seria diverge.

Condiții suficiente pentru convergența unei serii cu semne pozitive.

Folosind semne suficiente pentru a studia serii numerice pentru convergență, trebuie să vă ocupați constant de , așa că vă recomandăm să consultați această secțiune în caz de dificultate.

O condiție necesară și suficientă pentru convergența unei serii de numere cu semn pozitiv.

Pentru convergența unei serii de numere semn pozitiv este necesar și suficient ca șirul sumelor sale parțiale să fie mărginit.

Să începem cu caracteristicile de comparare a seriei. Esența lor constă în compararea seriei numerice studiate cu o serie a cărei convergență sau divergență este cunoscută.

Primul, al doilea și al treilea semn de comparație.

Primul semn de comparație a rândurilor.

Fie și două serii numerice cu semn pozitiv și inegalitatea este valabilă pentru toate k = 1, 2, 3, ... Atunci convergența seriei implică convergența , iar divergența seriei implică divergența .

Primul criteriu de comparație este folosit foarte des și este un instrument foarte puternic pentru studierea seriilor numerice pentru convergență. Problema principală este alegerea unei serii potrivite pentru comparație. Seria pentru comparație este de obicei aleasă (dar nu întotdeauna) astfel încât exponentul k-lea membru al său să fie egal cu diferența dintre exponenții numărătorului și numitorul k-lea membru al seriei numerice studiate. De exemplu, fie , diferența dintre exponenții numărătorului și numitorului este 2 - 3 = -1, prin urmare, pentru comparație, selectăm o serie cu membrul k-lea, adică o serie armonică. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

Setați convergența sau divergența seriei.

Soluţie.

Deoarece limita termenului comun al seriei este egală cu zero, atunci condiția necesară pentru convergența seriei este îndeplinită.

Este ușor de observat că inegalitatea este adevărată pentru toate k naturale. Știm că seria armonică diverge, prin urmare, conform primului semn de comparație, seria originală este și ea divergentă.

Exemplu.

Examinați seria de numere pentru convergență.

Soluţie.

Stare necesară convergenţa seriei numerice este satisfăcută, întrucât . Este evident că inegalitatea pentru orice valoare naturală a lui k. Seria converge deoarece seria armonică generalizată converge pentru s > 1. Astfel, primul semn al comparației de serie ne permite să enunțăm convergența seriei numerice originale.

Exemplu.

Determinați convergența sau divergența seriei de numere.

Soluţie.

, prin urmare, este îndeplinită condiția necesară pentru convergența seriei numerice. Ce rând să alegi pentru comparație? O serie numerică se sugerează, iar pentru a determina s, examinăm cu atenție șirul numeric. Termenii șirului numeric cresc spre infinit. Astfel, plecând de la un număr N (și anume, de la N = 1619 ), termenii acestei secvențe vor fi mai mari decât 2 . Pornind de la acest număr N , inegalitatea este valabilă . Seria numerică converge datorită primei proprietăți a seriei convergente, deoarece se obține dintr-o serie convergentă prin eliminarea primilor N - 1 termeni. Astfel, după primul semn de comparație, seria este convergentă, iar datorită primei proprietăți a seriei numerice convergente, seria va converge și ea.

Al doilea semn de comparație.

Fie și fie serie numerică cu semn pozitiv. Dacă , atunci convergența seriei implică convergența lui . Dacă , atunci divergența seriei numerice implică divergența lui .

Consecinţă.

Dacă și , atunci convergența unei serii implică convergența celeilalte, iar divergența implică divergența.

Examinăm seria pentru convergență folosind al doilea criteriu de comparație. Să luăm o serie convergentă ca o serie. Să găsim limita raportului dintre k-lea membri ai seriei numerice:

Astfel, conform celui de-al doilea criteriu de comparație, convergența seriei numerice implică convergența seriei originale.

Exemplu.

Investigați convergența unei serii de numere.

Soluţie.

Să verificăm condiția necesară pentru convergența seriei . Condiția este îndeplinită. Pentru a aplica al doilea semn de comparație, să luăm o serie armonică. Să găsim limita raportului dintre k-ei termeni:

În consecință, divergența seriei inițiale rezultă din divergența seriei armonice conform celui de-al doilea criteriu de comparație.

Pentru informare, prezentăm al treilea criteriu de comparare a seriilor.

Al treilea semn de comparație.

Fie și fie serie numerică cu semn pozitiv. Dacă condiția este îndeplinită de la un anumit număr N, atunci convergența seriei implică convergența, iar divergența seriei implică divergența.

Semnul lui d'Alembert.

Cometariu.

Semnul lui d'Alembert este valabil dacă limita este infinită, adică dacă , atunci seria converge dacă , apoi seria diverge.

Dacă , atunci testul d'Alembert nu oferă informații despre convergența sau divergența seriei și sunt necesare cercetări suplimentare.

Exemplu.

Examinați seria de numere pentru convergență pe baza lui d'Alembert.

Soluţie.

Să verificăm îndeplinirea condiției necesare pentru convergența seriei numerice, calculăm limita prin:

Condiția este îndeplinită.

Să folosim semnul lui d'Alembert:

Astfel, seria converge.

Semnul radical al lui Cauchy.

Fie o serie de numere cu semn pozitiv. Dacă , atunci seria converge, dacă , atunci seria diverge.

Cometariu.

Testul radical al lui Cauchy este valabil dacă limita este infinită, adică dacă , atunci seria converge dacă , apoi seria diverge.

Dacă , atunci testul radical Cauchy nu oferă informații despre convergența sau divergența seriei și sunt necesare cercetări suplimentare.

De obicei, este destul de ușor să vezi cazurile în care cel mai bine este să folosești testul radical Cauchy. Un caz caracteristic este atunci când termenul comun al seriei numerice este o expresie de putere exponențială. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplu.

Investigați o serie de numere cu semn pozitiv pentru convergență folosind testul radical Cauchy.

Soluţie.

. Prin testul radical Cauchy, obținem .

Prin urmare, seria converge.

Exemplu.

Converge seria de numere? .

Soluţie.

Să folosim un semn radical Cauchy , prin urmare, seria de numere converge.

Testul Cauchy integral.

Fie o serie de numere cu semn pozitiv. Să compunem o funcție de argument continuu y = f(x) , similară cu funcția . Fie funcția y = f(x) pozitivă, continuă și descrescătoare pe intervalul , unde ). Apoi, în caz de convergență integrală improprie converge seria numerică studiată. Dacă integrala improprie diverge, atunci și seria originală diverge.

Când verificați dezintegrarea unei funcții y = f(x) pe un interval, puteți găsi teoria din secțiune utilă.

Exemplu.

Examinați seria de numere cu termeni pozitivi pentru convergență.

Soluţie.

Condiția necesară pentru convergența seriei este îndeplinită, întrucât . Să luăm în considerare o funcție. Este pozitivă, continuă și descrescătoare pe interval . Continuitatea și pozitivitatea acestei funcții este dincolo de orice îndoială, dar să ne oprim puțin mai detaliat asupra scăderii. Să găsim derivata:
. Este negativă pe intervalul , prin urmare, funcția scade pe acest interval.