Criterii suficiente pentru maximul și minimul unei funcții. Cum să găsiți punctele maxime și minime ale unei funcții. Continuăm să căutăm împreună extreme ale funcției

Din acest articol, cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în practică. Studiul unui astfel de concept este extrem de important pentru înțelegerea elementelor de bază matematică superioară. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.

In contact cu

Ce este o extremă?

ÎN curs şcolar sunt date multe definiții ale conceptului de „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.

Extremul este atât valoarea minimă a funcției, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe în care este utilizat acest concept:

• statistici;
• controlul mașinii;
• econometrie.

Punctele extreme joacă un rol important în determinarea secvenței funcţie dată. Sistemul de coordonate de pe grafic arată cel mai bine schimbarea poziției extreme în funcție de schimbarea funcționalității.

Extreme ale funcției derivate

Există, de asemenea, un astfel de lucru ca un „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.

Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-o ordine sau alta.

Derivata în sine este determinată pe baza datelor punctelor extreme, și nu pe cea mai mare sau pe cea mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.

Să considerăm acum un astfel de lucru drept un „extrem ascuțit”. Până în prezent, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificarea rusă a punctelor critice ale unei funcții. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe o diagramă.

Pentru a defini un astfel de concept se folosește teorema lui Fermat. Este esențial în studiu puncte extremeși oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții de scădere sau creștere pe diagramă.

Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsești punctul maxim”, trebuie să urmați următoarele prevederi:

1. Găsirea zonei exacte de definiție pe diagramă.
2. Căutați derivata unei funcții și a unui punct extrem.
3. Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul argumentului.
4. Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.

Atenţie! Căutare punct critic funcția este posibilă numai în cazul existenței unei derivate de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.

Condiție necesară pentru extremul funcției

Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și puncte maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.

Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important să înțelegem că cazul în care un punct dispare nu este principiul principal al găsirii unui punct diferențiabil.

Un extremum ascuțit, precum și un minim de funcție, este un aspect extrem de important al deciziei problema matematica folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să ne referim la valorile tabelare pentru definirea funcționalului.

Extremul funcțional

Pentru a găsi valoarea de mai sus, trebuie să respectați următoarele reguli:

• determinați condiția necesară pentru raportul extremal;
• luați în considerare starea suficientă a punctelor extreme de pe grafic;
• efectuați calculul unui extremum acut.

Există, de asemenea, concepte precum minim slab și minim puternic. Acest lucru trebuie luat în considerare la determinarea extremului și calculul exact al acestuia. În același timp, funcționalitatea ascuțită este căutarea și crearea tuturor condițiilor necesare pentru lucrul cu graficul funcției.

O funcție și studiul trăsăturilor sale ocupă unul dintre capitolele cheie ale matematicii moderne. Componenta principală a oricărei funcții sunt graficele care descriu nu numai proprietățile sale, ci și parametrii derivatei acestei funcții. Să aruncăm o privire la acest subiect complicat. Deci, care este cel mai bun mod de a găsi punctele maxime și minime ale unei funcții?

Funcție: Definiție

Orice variabilă care depinde într-un fel de valorile unei alte mărimi poate fi numită funcție. De exemplu, funcția f(x 2) este pătratică și determină valorile pentru întreaga mulțime x. Să presupunem că x = 9, atunci valoarea funcției noastre va fi egală cu 9 2 = 81.

Funcțiile vin într-o varietate de tipuri: logice, vectoriale, logaritmice, trigonometrice, numerice și altele. În studiul lor au fost implicate minți remarcabile precum Lacroix, Lagrange, Leibniz și Bernoulli. Scrierile lor servesc drept bastion în modalitățile moderne de studiere a funcțiilor. Înainte de a găsi punctele minime, este foarte important să înțelegeți sensul însuși al funcției și al derivatei sale.

Derivatul și rolul său

Toate funcțiile depind de variabilele lor, ceea ce înseamnă că își pot schimba valoarea în orice moment. Pe grafic, aceasta va fi reprezentată ca o curbă care fie coboară, fie se ridică de-a lungul axei y (acesta este întregul set de numere „y” de-a lungul verticalei graficului). Și astfel definirea unui punct de maxim și minim de funcție este legată de aceste „oscilații”. Să explicăm care este această relație.

Derivata oricărei funcții este reprezentată grafic pentru a studia principalele sale caracteristici și a calcula cât de repede se schimbă funcția (adică își schimbă valoarea în funcție de variabila „x”). În momentul în care funcția crește, graficul derivatei sale va crește și el, dar în orice secundă funcția poate începe să scadă, iar apoi graficul derivatei va scădea. Acele puncte în care derivata trece de la minus la plus se numesc puncte minime. Pentru a ști cum să găsești puncte minime, ar trebui să înțelegi mai bine

Cum se calculează derivata?

Definiția și funcțiile implică mai multe concepte din În general, însăși definiția derivatului poate fi exprimată în felul următor: aceasta este valoarea care indică rata de modificare a funcției.

Modul matematic de a-l defini pentru mulți studenți pare complicat, dar de fapt totul este mult mai simplu. Este necesar doar să urmați planul standard pentru găsirea derivatei oricărei funcții. În cele ce urmează se descrie cum puteți găsi punctul minim al unei funcții fără a aplica regulile de diferențiere și fără a memora tabelul de derivate.

1. Puteți calcula derivata unei funcții folosind un grafic. Pentru a face acest lucru, trebuie să descrieți funcția în sine, apoi luați un punct pe ea (punctul A din figură), trageți o linie vertical în jos până la axa absciselor (punctul x 0) și în punctul A trageți o tangentă la graficul funcției. Axa absciselor și tangenta formează un unghi a. Pentru a calcula valoarea cât de repede crește funcția, trebuie să calculați tangentei acestui unghi a.
2. Rezultă că tangenta unghiului dintre tangentă și direcția axei x este derivata funcției într-o zonă mică cu punctul A. Această metodă este considerată o modalitate geometrică de a determina derivata.

Metode de examinare a unei funcții

ÎN curiculumul scolar matematică, este posibil să găsim punctul minim al unei funcții în două moduri. Am analizat deja prima metodă folosind graficul, dar cum se determină valoarea numerică a derivatei? Pentru a face acest lucru, va trebui să înveți mai multe formule care descriu proprietățile derivatei și ajută la transformare variabile tastați „x” în numere. Următoarea metodă este universală, deci poate fi aplicată la aproape toate tipurile de funcții (atât geometrice, cât și logaritmice).

1. Este necesar să echivalăm funcția cu funcția derivată și apoi să simplificați expresia folosind regulile de diferențiere.
2. În unele cazuri, atunci când este dată o funcție în care variabila „x” este un divizor, este necesar să se determine intervalul de valori acceptabile prin excluderea punctului „0” din aceasta (din simplul motiv că în matematică nu poate împărți niciodată la zero).
3. După aceea, forma originală a funcției ar trebui convertită într-o ecuație simplă, echivalând întreaga expresie cu zero. De exemplu, dacă funcția arată astfel: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, atunci, conform regulilor de diferențiere, derivata sa este egală cu f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Apoi transformăm aceasta expresie într-o ecuație de următoarea formă: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. După rezolvarea ecuației și găsirea punctelor „x”, ar trebui să le reprezentați pe axa x și să determinați dacă derivata din aceste zone dintre punctele marcate este pozitivă sau negativă. După desemnare, va deveni clar în ce moment funcția începe să scadă, adică își schimbă semnul de la minus la opus. În acest fel puteți găsi atât punctele minime, cât și cele maxime.

Reguli de diferențiere

Cea mai de bază componentă în studiul unei funcții și a derivatei sale este cunoașterea regulilor de diferențiere. Numai cu ajutorul lor este posibil să se transforme expresii greoaie și mari funcții complexe. Să facem cunoștință cu ele, există o mulțime de ele, dar toate sunt foarte simple datorită proprietăților regulate atât ale funcțiilor de putere, cât și ale funcțiilor logaritmice.

1. Derivata oricărei constante este zero (f(x) = 0). Adică, derivata f (x) \u003d x 5 + x - 160 va lua următoarea formă: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Derivata sumei a doi termeni: (f+w)" = f"w + fw".
3. Derivată a unei funcții logaritmice: (log a d)" = d/ln a*d. Această formulă se aplică tuturor tipurilor de logaritmi.
4. Derivată de putere: (x n)"= n*x n-1. De exemplu, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Derivată a funcției sinusoidale: (sin a)" = cos a. Dacă sinul unghiului a este 0,5, atunci derivata sa este √3/2.

puncte extremum

Am discutat deja cum să găsim punctele minime, totuși, există conceptul de puncte maxime ale unei funcții. Dacă minimul denotă acele puncte în care funcția trece de la minus la plus, atunci punctele maxime sunt acele puncte de pe axa x la care derivata funcției se schimbă de la plus la opus - minus.

Îl puteți găsi folosind metoda descrisă mai sus, doar că trebuie luat în considerare faptul că acestea denotă acele zone în care funcția începe să scadă, adică derivata va fi mai mică decât zero.

În matematică, se obișnuiește să se generalizeze ambele concepte, înlocuindu-le cu sintagma „puncte de extremă”. Când sarcina solicită determinarea acestor puncte, aceasta înseamnă că este necesar să se calculeze derivata acestei funcții și să se găsească punctele minime și maxime.

Se consideră funcția y = f(x), care este considerată pe intervalul (a, b).

Dacă este posibil să se specifice o astfel de b-vecinătate a punctului x1 aparținând intervalului (a, b) încât pentru tot x (x1, b) să fie satisfăcută inegalitatea f(x1) > f(x), atunci y1 = f1(x1) se numește functia maxima y = f(x) vezi fig.

Maximul funcției y = f(x) se notează cu max f(x). Dacă este posibil să se specifice o vecinătate de 6 a punctului x2 aparținând intervalului (a, b) astfel încât pentru tot x să aparțină lui O(x2, 6), x nu este egal cu x2, inegalitatea f(x2)< f(x) , atunci y2= f(x2) se numește minimul funcției y-f(x) (vezi Fig.).

Un exemplu de găsire a maximului, vezi următorul videoclip

Caracteristică minimă

Minimul funcției y = f(x) se notează cu min f(x). Cu alte cuvinte, maximul sau minimul unei funcții y = f(x) numit valoarea sa, care este mai mare (mai mică) decât toate celelalte valori luate în puncte suficient de apropiate de cea dată și diferite de aceasta.

Observație 1. Caracteristică maximă, determinat de inegalitate se numește maxim strict; Maximul nestrict este definit de inegalitatea f(x1) > = f(x2)

Observația 2. au un caracter local (acestea sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției într-o vecinătate suficient de mică a punctului corespunzător); minimele individuale ale unei anumite funcții pot fi mai mari decât maximele aceleiași funcție

Ca rezultat, se apelează maximul (minimul) al funcției maxim local(minimum local) în contrast cu maximul absolut (minimul) - cea mai mare (cea mai mică) valoare din domeniul funcției.

Maximul și minimul unei funcții se numește extremum. . Extreme în găsire pentru funcții de trasare

latin extremum înseamnă „extrem” sens. Valoarea argumentului x, la care se atinge extremul, se numește punctul extremum. Stare necesară extremul este exprimat prin următoarea teoremă.

Teorema. În punctul de extremum al funcției diferențiabile și derivata ei este egală cu zero.

Teorema are o simplă sens geometric: tangenta la graficul funcției diferențiabile în punctul corespunzător este paralelă cu axa x

Un algoritm simplu pentru găsirea extremelor...

• Găsirea derivatei unei funcții
• Echivalează această derivată cu zero
• Găsim valorile variabilei expresiei rezultate (valorile variabilei la care derivata este convertită la zero)
• Împărțim linia de coordonate în intervale cu aceste valori (în același timp, nu ar trebui să uităm de punctele de întrerupere, care trebuie aplicate și liniei), toate aceste puncte sunt numite puncte „suspecte” pentru extremum
• Calculăm pe care dintre aceste intervale derivata va fi pozitivă și pe care va fi negativă. Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea din interval în derivată.

Dintre punctele suspectate de un extremum, este necesar să se găsească exact . Pentru a face acest lucru, ne uităm la golurile noastre pe linia de coordonate. Dacă, la trecerea printr-un punct, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, atunci acest punct va fi maxim, iar dacă de la minus la plus, atunci minim.

Pentru a găsi cel mai mare și cea mai mică valoare funcție, trebuie să calculați valoarea funcției la capetele segmentului și la punctele extreme. Apoi alegeți cea mai mare și cea mai mică valoare.

Luați în considerare un exemplu
Găsim derivata și o echivalăm cu zero:

Aplicăm valorile obținute ale variabilelor la linia de coordonate și calculăm semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Ei bine, de exemplu, pentru prima luare-2 , atunci derivata va fi-0,24 , pentru a doua luare0 , atunci derivata va fi2 , iar pentru al treilea luăm2 , atunci derivata va fi-0,24. Punem jos semnele potrivite.

Vedem că la trecerea prin punctul -1, derivata își schimbă semnul din minus în plus, adică va fi un punct minim, iar la trecerea prin 1, respectiv din plus în minus, acesta este un punct maxim.

Maximul ar trebui să fie numit cel mai mult număr mare sau cea mai mare limită care poate fi atinsă. Minimul este, după cum știm cu toții foarte bine, exact opusul maximului, adică. este cel mai mic număr și cea mai mică limită. Cuvintele minim și maxim, precum și derivatele lor, se găsesc în expresii și expresii precum:

Profitați la maximum de comunicare.

Pentru a învăța o poezie, trebuie să o citești de cel puțin 3-4 ori.

Cel mai mult poate face este...

Au cel puțin doi prieteni comuni.

A luat cel mai mare punctaj.

Profită la maximum de oportunitățile tale!

Acesta este minimul pe care trebuie să-l știți.

Salariul de trai.

Presiunea atmosferică minimă.

Minim/maxim rece timp de ….. ani.

Veți avea nevoie de cel puțin câteva ore pentru a finaliza această lucrare.

Concepte precum maxim și minim pot fi găsite și în termeni științifici speciali. De exemplu, în matematică există un astfel de lucru ca maximul și minimul unei funcții.

Astfel, se numește maximul la matematică cea mai mare valoare funcții. În acest caz, valoarea maximă a funcției este mai mare decât toate valorile adiacente acesteia. Maximul unei funcții este valoarea acesteia atunci când valoarea crește mai întâi și apoi începe imediat să scadă, în timp ce are un maxim în punctul în care creșterea și scăderea funcției trec de la una la alta. Minimul unei funcții este, în consecință, cea mai mică valoare a funcției.

Prima derivată a unei funcții poate fi considerată pozitivă, dacă crește atunci când creștem variabila, atunci funcția poate fi considerată pozitivă. Dacă prima variabilă scade odată cu creșterea derivatei, atunci funcția ar trebui considerată negativă.

Derivata este principala valoare utilizată în calculele diferențiale (studiul derivatei și diferențialei, care ajută la studiul funcțiilor matematice), poate fi înțeleasă ca rata de schimbare a unei funcții într-un anumit punct. Cu cât viteza este mai mare, cu atât funcția se schimbă mai puternică, cu atât mai mică, cu atât mai lent (totuși, acest lucru este adevărat numai dacă funcția este pozitivă). Astfel, rata de schimbare a unei funcții la un punct dat este cea care determină pantele și umflăturile acesteia. O variabilă este o cantitate care își poate schimba valoarea. Este notat cu x sau timp.

O variabilă poate fi considerată un atribut al unui sistem (atât fizic, cât și abstract) care își poate schimba valoarea. Într-un sens mai global, o variabilă poate fi numită atât timp, cât și temperatură și, în general, toată viața (se pot schimba). O variabilă are multe valori pe care le poate prelua. Putem presupune că această mulțime este o variabilă.

În ceea ce privește funcția în sine, aceasta trebuie să treacă de la valoarea pozitivă la valoarea negativă prin zero. Astfel, la valoarea variabilei, care corespunde maximului funcției, derivata acesteia va fi egală cu zero. Această proprietate a funcției face posibilă determinarea valorilor lui x la care funcția atinge maximul. Totuși, dacă creștem variabila și, în același timp, funcția crește mai întâi și apoi scade, apoi funcția, la schimbarea de la valoare negativă la unul pozitiv (trecând prin zero), nu va atinge maximul, ci, dimpotrivă, valoarea minimă. Deși, logic, aceasta ar putea fi luată ca valoare maximă (este în partea de sus a funcției).

Punctele maxime și minime ale unei funcții sunt numite și puncte extreme.

Astfel, atât în ​​viața obișnuită, cât și în matematică, maximul și minimul sunt două extreme opuse care denotă ceva cel mai mare și ceva cel mai mic.