Proprietățile numerelor iraționale. Număr irațional. Definiția unui număr irațional

Exemplu:
\(4\) este un număr rațional, deoarece poate fi scris ca \(\frac(4)(1)\) ;
\(0,0157304\) este de asemenea rațional deoarece poate fi scris ca \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)…\) - și acesta este un număr rațional: poate fi reprezentat ca \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) este rațional deoarece poate fi reprezentat ca \(\frac(1)(2)\) . Într-adevăr, putem efectua un lanț de transformări \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

număr irațional este un număr care nu poate fi scris ca fracție cu numărător și numitor întreg.

Imposibil pentru că fără sfârşit fracții și chiar neperiodice. Prin urmare, nu există numere întregi care, atunci când sunt împărțite între ele, ar da număr irațional.

Exemplu:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) este un număr irațional;
\(π≈3,1415926… \) este un număr irațional;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) este un număr irațional.

Exemplu (Sarcina de la OGE). Valoarea căruia dintre expresii este un număr rațional?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Soluţie:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) este, de asemenea, imposibil de reprezentat un număr ca o fracție cu numere întregi , prin urmare numărul este irațional.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) - nu au mai rămas rădăcini, numărul poate fi reprezentat cu ușurință ca o fracție, de exemplu, \(\frac(-5)(1)\) , deci este rațional.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11) \) - rădăcina nu poate fi extrasă - numărul este irațional.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) este de asemenea iraţional.

Din abstractismul conceptelor matematice, uneori respiră atât de mult cu detașare, încât se naște involuntar gândul: „Pentru ce sunt toate acestea?”. Dar, în ciuda primei impresii, toate teoremele, operațiile aritmetice, funcțiile etc. - nimic mai mult decât dorința de a satisface nevoi urgente. Acest lucru poate fi văzut mai ales clar în exemplul apariției diferitelor seturi.

Totul a început cu apariția numere naturale. Și, deși este puțin probabil ca acum cineva să poată răspunde cum exact a fost, dar cel mai probabil, picioarele reginei științelor cresc de undeva în peșteră. Aici, analizând numărul de piei, pietre și oameni de trib, o persoană are o mulțime de „numere de numărat”. Și asta a fost suficient pentru el. Până la un moment dat, desigur.

Apoi a fost necesar să se împartă și să se îndepărteze pieile și pietrele. Deci a fost nevoie de operații aritmetice și, odată cu ele, de cele raționale, care pot fi definite ca o fracțiune de tipul m / n, unde, de exemplu, m este numărul de piei, n este numărul de membri ai tribului.

S-ar părea că aparatul matematic deja descoperit este suficient pentru a vă bucura de viață. Dar s-a dovedit curând că există cazuri în care rezultatul nu este ceva care nu este un întreg, ci nici măcar o fracțiune! Și, într-adevăr, rădăcina pătrată a lui doi nu poate fi exprimată în niciun alt mod folosind numărătorul și numitorul. Sau, de exemplu, binecunoscutul număr Pi, descoperit de savantul grec antic Arhimede, nu este nici rațional. Și de-a lungul timpului, au existat atât de multe astfel de descoperiri încât toate numerele care nu erau susceptibile de „raționalizare” au fost combinate și numite iraționale.

Proprietăți

Mulțimile considerate mai devreme aparțin setului de concepte fundamentale ale matematicii. Aceasta înseamnă că nu pot fi definite prin obiecte matematice mai simple. Dar acest lucru se poate face cu ajutorul categoriilor (din grecescul „enunturi”) sau postulatelor. În acest caz, cel mai bine a fost să desemnați proprietățile acestor seturi.

o Ir numere rationale definiți secțiunile Dedekind în mulțimea numerelor raționale care nu au cel mai mare număr în cel de jos și nici cel mai mic număr în cel de sus.

o Fiecare număr transcendent este iraţional.

o Fiecare număr irațional este fie algebric, fie transcendental.

o Mulțimea numerelor iraționale este peste tot densă pe dreapta reală: există un număr irațional între oricare două numere.

o Mulțimea numerelor iraționale este nenumărabilă, este mulțimea celei de-a doua categorii Baer.

o Această mulțime este ordonată, adică pentru fiecare două numere raționale diferite a și b, puteți indica care dintre ele este mai mic decât celălalt.
o Între fiecare două numere raționale diferite, există cel puțin încă un număr rațional și, prin urmare, un număr infinit de numere raționale.

o Operațiile aritmetice (adunare, scădere, înmulțire și împărțire) pe oricare două numere raționale sunt întotdeauna posibile și au ca rezultat un anumit număr rațional. O excepție este împărțirea la zero, ceea ce este imposibil.

o Fiecare număr rațional poate fi reprezentat ca fracție zecimală(periodic finit sau infinit).

Cu un segment de lungime unitară, matematicienii antici știau deja: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție ireductibilă, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:

Din aceasta rezultă că chiar, deci, chiar și . Lasă unde întregul. Apoi

Prin urmare, chiar, deci, chiar și . Am obținut că și suntem pari, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Prin urmare, presupunerea inițială a fost greșită și este un număr irațional.

Logaritmul binar al numărului 3

Presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și poate fi considerat pozitiv. Apoi

Dar e clar, e ciudat. Primim o contradicție.

e

Poveste

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manawa (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) a constatat că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, precum 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit.

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreean care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor unei pentagrame. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care este un număr întreg de ori inclus în orice segment. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că, dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar în același timp. Dovada arăta astfel:

• Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b selectat ca cel mai mic posibil.
• Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
• Deoarece A² chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
• Deoarece A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
• Deoarece A chiar, denotă A = 2y.
• Apoi A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², prin urmare b este chiar, atunci b chiar.
• S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.

Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(inexprimabil), dar conform legendelor, lui Hippasus nu i s-a acordat respectul cuvenit. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreici „pentru a crea un element al universului, care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor. " Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Vezi si

Note

Am arătat deja mai devreme că $1\frac25$ este aproape de $\sqrt2$. Dacă ar fi exact egal cu $\sqrt2$, . Atunci raportul - $\frac(1\frac25)(1)$, care poate fi transformat într-un raport de numere întregi $\frac75$ prin înmulțirea părților superioare și inferioare ale fracției cu 5, ar fi valoarea dorită.

Dar, din păcate, $1\frac25$ nu este valoarea exactă a $\sqrt2$. Un răspuns mai precis $1\frac(41)(100)$ este dat de relația $\frac(141)(100)$. Obținem o acuratețe și mai mare atunci când echivalăm $\sqrt2$ cu $1\frac(207)(500)$. În acest caz, raportul în numere întregi va fi egal cu $\frac(707)(500)$. Dar nici $1\frac(207)(500)$ nu este valoarea exactă a rădăcinii pătrate a lui 2. Matematicienii greci au petrecut mult timp și efort pentru a calcula valoarea exactă a lui $\sqrt2$, dar nu au reușit niciodată. Ei nu au reușit să reprezinte raportul $\frac(\sqrt2)(1)$ ca raport de numere întregi.

În cele din urmă, marele matematician grec Euclid a demonstrat că, indiferent de cât de acuratețe a calculelor crește, este imposibil să obținem valoarea exactă a $\sqrt2$. Nu există nicio fracție care, la pătrat, să rezulte în 2. Se spune că Pitagora a fost primul care a ajuns la această concluzie, dar acest fapt inexplicabil l-a impresionat atât de tare pe om de știință încât s-a jurat și a jurat de la studenții săi să respecte această descoperire este un secret. Cu toate acestea, este posibil ca aceste informații să nu fie adevărate.

Dar dacă numărul $\frac(\sqrt2)(1)$ nu poate fi reprezentat ca un raport de numere întregi, atunci niciun număr care să conțină $\sqrt2$, de exemplu $\frac(\sqrt2)(2)$ sau $\frac De asemenea, (4)(\sqrt2)$ nu poate fi reprezentat ca un raport al numerelor întregi, deoarece toate astfel de fracții pot fi convertite în $\frac(\sqrt2)(1)$ înmulțit cu un anumit număr. Deci $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Sau $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, care poate fi convertit prin înmulțirea de sus și de jos cu $\sqrt2$ pentru a obține $\frac(4) (\sqrt2)$. (Nu trebuie să uităm că indiferent de numărul $\sqrt2$, dacă îl înmulțim cu $\sqrt2$ obținem 2.)

Deoarece numărul $\sqrt2$ nu poate fi reprezentat ca raport de numere întregi, se numește număr irațional. Pe de altă parte, toate numerele care pot fi reprezentate ca raport de numere întregi sunt numite raţional.

Raționale sunt toate numere întregi și numere fracționare, atât pozitive cât și negative.

După cum se dovedește, majoritatea rădăcini pătrate sunt numere iraționale. Rădăcinile pătrate raționale sunt numai pentru numerele incluse într-o serie numere pătrate. Aceste numere sunt numite și pătrate perfecte. Numerele raționale sunt, de asemenea, fracții formate din aceste pătrate perfecte. De exemplu, $\sqrt(1\frac79)$ este un număr rațional deoarece $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ sau $1\frac13$ (4 este rădăcina pătratul lui 16, iar 3 este rădăcina pătrată a lui 9).

Materialul acestui articol este informația inițială despre numere irationale. În primul rând, vom da o definiție a numerelor iraționale și o vom explica. Iată câteva exemple de numere iraționale. În cele din urmă, să ne uităm la câteva abordări pentru a afla dacă un anumit număr este irațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere iraționale

În studiul fracțiilor zecimale, am luat în considerare separat fracțiile zecimale neperiodice infinite. Astfel de fracții apar în măsurarea zecimală a lungimilor segmentelor cu care sunt incomensurabile un singur segment. De asemenea, am observat că fracțiile zecimale neperiodice infinite nu pot fi convertite în fracții obișnuite (vezi conversia fracțiilor ordinare în zecimale și invers), prin urmare, aceste numere nu sunt numere raționale, ele reprezintă așa-numitele numere iraționale.

Așa că am ajuns la definirea numerelor iraționale.

Definiție.

Se numesc numere care în notație zecimală reprezintă infinite fracții zecimale nerecurente numere irationale.

Definiția sonoră permite să aducă exemple de numere iraționale. De exemplu, fracția zecimală neperiodică infinită 4,10110011100011110000... (numărul de unu și zero crește cu unul de fiecare dată) este un număr irațional. Să dăm un alt exemplu de număr irațional: −22,353335333335 ... (numărul de triple care separă opt crește de fiecare dată cu două).

Trebuie remarcat faptul că numerele iraționale sunt destul de rare sub formă de fracții zecimale neperiodice infinite. De obicei se găsesc sub forma , etc., precum și sub forma unor litere special introduse. Cele mai cunoscute exemple de numere iraționale într-o astfel de notație sunt rădăcina pătrată aritmetică a lui doi, numărul „pi” π=3,141592..., numărul e=2,718281... și numărul de aur.

Numerele iraționale pot fi definite și în termeni de numere reale, care combină numerele raționale și iraționale.

Definiție.

Numere irationale- Acest numere reale, care nu sunt raționale.

Este acest număr irațional?

Când un număr este dat nu ca o fracție zecimală, ci ca o anumită rădăcină, logaritm etc., atunci în multe cazuri este destul de dificil să răspunzi la întrebarea dacă este irațional.

Fără îndoială, pentru a răspunde la întrebarea pusă, este foarte util să știm care numere nu sunt iraționale. Din definiția numerelor iraționale rezultă că numerele raționale nu sunt numere iraționale. Astfel, numerele iraționale NU sunt:

• fracții zecimale periodice finite și infinite.

De asemenea, orice compoziție de numere raționale legate prin semne ale operațiilor aritmetice (+, −, ·, :) nu este un număr irațional. Acest lucru se datorează faptului că suma, diferența, produsul și câtul a două numere raționale este un număr rațional. De exemplu, valorile expresiilor și sunt numere raționale. Aici observăm că dacă în astfel de expresii printre numerele raționale există un singur număr irațional, atunci valoarea întregii expresii va fi un număr irațional. De exemplu, în expresie, numărul este irațional, iar restul numerelor sunt raționale, deci numărul irațional. Dacă ar fi un număr rațional, atunci raționalitatea numărului ar decurge din aceasta, dar nu este rațional.

Dacă expresia, căreia i se dă un număr, conține mai multe numere iraționale, semne rădăcină, logaritmi, funcții trigonometrice, numerele π, e etc., atunci se cere să se dovedească iraționalitatea sau raționalitatea unui număr dat în fiecare caz specific. Cu toate acestea, există o serie de rezultate deja obținute care pot fi utilizate. Să le enumerăm pe cele principale.

Se dovedește că o k-a rădăcină a unui întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub rădăcină este k-a putere a unui alt întreg, în alte cazuri o astfel de rădăcină definește un număr irațional. De exemplu, numerele și sunt iraționale, deoarece nu există un întreg al cărui pătrat este 7 și nu există un întreg a cărui creștere la puterea a cincea dă numărul 15. Și numerele și nu sunt iraționale, deoarece și .

Cât despre logaritmi, uneori se poate dovedi iraționalitatea lor prin contradicție. De exemplu, să demonstrăm că log 2 3 este un număr irațional.

Să presupunem că log 2 3 este un număr rațional, nu irațional, adică poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită m/n . şi permiteţi-ne să scriem următorul lanţ de egalităţi: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece pe partea stângă numar impar , și chiar pe partea dreaptă. Așa că am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră s-a dovedit a fi greșită și asta demonstrează că log 2 3 este un număr irațional.

Rețineți că lna pentru orice rațional pozitiv și non-untar a este un număr irațional. De exemplu, și sunt numere iraționale.

De asemenea, se dovedește că numărul e a este irațional pentru orice rațional a diferit de zero și că numărul π z este irațional pentru orice număr întreg z diferit de zero. De exemplu, numerele sunt iraționale.

Numerele iraționale sunt, de asemenea, trigonometrice funcţiile păcatului, cos , tg și ctg pentru orice valoare rațională și diferită de zero a argumentului. De exemplu, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , sunt numere iraționale.

Există și alte rezultate dovedite, dar ne vom limita la cele deja enumerate. De asemenea, trebuie spus că în demonstrarea rezultatelor de mai sus, teoria asociată cu numere algebrice Și numere transcendente.

În concluzie, observăm că nu trebuie să tragem concluzii pripite despre iraționalitatea numerelor date. De exemplu, pare evident că un număr irațional într-un grad irațional este un număr irațional. Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Ca o confirmare a faptului exprimat, vă prezentăm gradul. Se știe că - un număr irațional și, de asemenea, a demonstrat că - un număr irațional, dar - un număr rațional. De asemenea, puteți da exemple de numere iraționale, a căror sumă, diferența, produsul și coeficientul sunt numere raționale. Mai mult decât atât, raționalitatea sau iraționalitatea numerelor π+e , π−e , π e , π π , π e și multe altele nu a fost încă dovedită.

Bibliografie.

• Matematică. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.