Un fragment care caracterizează Numărul Transcendent

număr transcendental este un număr complex care nu este algebric, adică nu este o rădăcină a vreunui polinom diferit de zero cu coeficienți raționali.

Existența numerelor transcendentale a fost stabilită pentru prima dată de J. Liouville în 1844; a construit și primele exemple de astfel de numere. Liouville a observat că numerele alebraice nu pot fi aproximate „prea bine” prin numere raționale. Și anume, teorema lui Liouville afirmă că, dacă un număr algebric este rădăcina unui polinom de grad cu coeficienți raționali, atunci pentru orice număr rațional inegalitatea

unde constanta depinde numai de . Din aceasta afirmatie rezulta semn suficient transcendență: dacă numărul este astfel încât pentru orice constantă există o mulțime infinită de numere raționale care satisfac inegalitățile

asta este transcendent. Ulterior, astfel de numere au fost numite numere Liouville. Un exemplu de astfel de număr este

O altă dovadă a existenței numerelor transcendentale a fost obținută de G. Kantor în 1874 pe baza teoriei mulțimilor pe care a creat-o. Kantor a demonstrat numărabilitatea mulțimii numerelor algebrice și nenumărabilitatea mulțimii numerelor reale, de unde rezultă că mulțimea numerelor transcendentale este nenumărabilă. Totuși, spre deosebire de demonstrația lui Liouville, aceste argumente nu ne permit să dăm un exemplu de cel puțin un astfel de număr.

Lucrarea lui Liouville a dat naștere unei întregi ramuri a teoriei numerelor transcendentale - teoria aproximării numerelor algebrice prin numere raționale sau, mai general, algebrice. Teorema lui Liouville a fost consolidată și generalizată în lucrările multor matematicieni. Acest lucru a făcut posibilă construirea de noi exemple de numere transcendentale. Deci, K. Mahler a arătat că dacă este un polinom neconstant care ia valori întregi nenegative pentru toate numerele naturale, atunci pentru orice număr natural, unde este înregistrarea numărului în sistemul numeric cu bază, este transcendental , dar nu este un număr Liouville. De exemplu, pentru și obținem următorul rezultat elegant: numărul

transcendent, dar nu este un număr Liouville.

În 1873, Sh. Hermite, folosind alte idei, a dovedit transcendența numărului Napier (baza logaritmului natural):

După ce a dezvoltat ideile lui Hermite, F. Lindemann în 1882 a dovedit transcendența numărului, punând astfel capăt străvechii probleme a cercului la pătrat: folosind o busolă și o riglă, este imposibil să construiești un pătrat care este egal în dimensiune (adică având aceeași zonă) unui cerc dat. Mai general, Lindemann a arătat că, pentru orice număr algebric, este transcendental. Formulare echivalentă: pentru orice număr algebric, altul decât și, logaritmul său natural este un număr transcendental.

În 1900, la un congres al matematicienilor de la Paris, D. Hilbert, dintre cele 23 de probleme de matematică nerezolvate, a subliniat următoarele, formulate într-o formă privată de L. Euler:

Lăsa Și sunt numere algebrice și transcendent? În special, sunt numerele transcendentale? Și?

Această problemă poate fi reformulată în următoarea formă, apropiată de formularea originală a lui Euler:

Lăsa Și sunt numere algebrice altele decât și, în plus, raportul dintre logaritmii lor naturali iraţional. Va numărul transcendent?

Prima soluție parțială a problemei a fost obținută în 1929 de A. O. Gel'fond, care, în special, a dovedit transcendența unui număr. În 1930, R. O. Kuzmin a îmbunătățit metoda lui Gelfond, în special, a reușit să demonstreze transcendența unui număr. O soluție completă a problemei Euler-Hilbert (în sens afirmativ) a fost obținută în 1934 independent de A. O. Gel'fond și T. Schneider.

A. Baker a generalizat în 1966 teoremele lui Lindemann și Gelfond-Schneider, demonstrând, în special, transcendența produsului unui număr finit arbitrar de numere de formă și cu cele algebrice sub restricții naturale.

În 1996 Yu.V. Nesterenko a demonstrat independența algebrică a valorilor seriei Eisenstein și, în special, a numerelor u. Aceasta înseamnă transcendența oricărui număr al formei în care diferit de zero este o funcție rațională cu coeficienți algebrici. De exemplu, suma seriei va fi transcendentală

În 1929-1930. K. Mahler a propus într-o serie de lucrări o nouă metodă de demonstrare a transcendenței valorilor funcțiilor analitice care satisfac ecuații funcționale de un anumit tip (ulterior, astfel de funcții au fost numite funcții Mahler).

Metodele teoriei numerelor transcendentale și-au găsit aplicație și în alte ramuri ale matematicii, în special, în teoria ecuațiilor diofantine.

În această secțiune, vom părăsi din nou tărâmul frumos și confortabil al numerelor întregi, pe care ne-am plimbat (aproape am spus - am rătăcit) studiind teoria comparațiilor. Dacă urmărim istoria apariției și dezvoltării cunoașterii numerelor de către omenire, atunci va ieși la iveală un fapt destul de paradoxal - pentru aproape întreaga sa istorie veche de secole, omenirea a folosit în practică și a studiat îndeaproape o fracțiune excepțional de mică din întreaga sa istorie. set de numere care trăiesc în natură. Multă vreme, oamenii au fost complet inconștienți de existența, așa cum sa dovedit mai târziu, a marii majorități a numerelor reale înzestrate cu proprietăți uimitoare și misterioase și acum numite transcendentale. Judecă singur (enumerez etapele aproximative ale dezvoltării conceptului de număr real):

1) Venind din adâncurile mileniilor, o abstractizare matematică ingenioasă a unui număr natural

Geniul acestei abstracții este izbitor, iar semnificația ei pentru dezvoltarea omenirii depășește, poate, chiar și invenția roții. Ne-am obișnuit atât de mult, încât am încetat să mai admirăm această realizare deosebită a minții umane. Încearcă însă, pentru o mai mare certitudine, să te imaginezi nu ca un student la matematică, ci ca o persoană primitivă, sau, să zicem, un student la filologie, să formulezi exact ce este comun între trei colibe, trei tauri, trei banane și trei ecografe ( ceea ce este comun între trei prieteni de băutură nu luăm în considerare aici). A explica unui non-matematician ce este numărul natural „trei” este o întreprindere aproape fără speranță, cu toate acestea, deja un pui de om de cinci ani simte în interior această abstracție și este capabil să opereze în mod rezonabil cu ea, cerându-i mamei sale trei. dulciuri în loc de două.

2) Fracții, adică numere raționale pozitive

Fracțiile au apărut în mod natural la rezolvarea problemelor privind împărțirea proprietății, măsurarea terenului, calcularea timpului etc. ÎN Grecia antică numerele raţionale erau în general un simbol al armoniei lumii înconjurătoare şi o manifestare a început divin, iar toate segmentele, până la un timp, au fost considerate proporționale, adică. raportul dintre lungimile lor trebuia exprimat printr-un număr rațional, altfel - o țeavă (și zeii nu pot permite acest lucru).

3) Numerele negative și zero (conform unor surse științifice

Numerele negative au fost inițial interpretate ca datorii în decontări financiare și de troc, dar apoi s-a dovedit că fără numere negative iar în alte domenii ale activității umane nu poți ajunge nicăieri (cine nu crede, lasă-l să se uite iarna la termometrul din afara ferestrei). Numărul zero, după părerea mea, a servit inițial mai degrabă nu ca simbol al unui spațiu gol și al absenței oricărei cantități, ci ca simbol al egalității și completității procesului de decontare (cât datoram vecinului meu, i-am dat atât de mult). mult, iar acum - zero, adică îmi pare rău).

4) Numerele algebrice iraționale

Numerele iraționale au fost descoperite în școala pitagoreică atunci când încercau să măsoare diagonala unui pătrat cu latura sa, dar au păstrat această descoperire într-un secret teribil - indiferent cât de necazuri au apărut! Doar cei mai stabili din punct de vedere mental și cei mai dovediți studenți au fost inițiați în această descoperire și a fost interpretată ca un fenomen dezgustător care încalcă armonia lumii. Dar nevoia și războiul au făcut ca omenirea să învețe să decidă ecuații algebrice nu numai de gradul I cu coeficienţi întregi. După Galileo, scoicile au început să zboare de-a lungul parabolelor, după Kepler, planetele au zburat de-a lungul elipselor, mecanica și balistica au devenit științe exacte și peste tot era necesar să se rezolve și să se rezolve ecuații, ale căror rădăcini erau numere iraționale. Prin urmare, existența rădăcinilor iraționale ale ecuațiilor algebrice a trebuit să fie reconciliată, oricât de dezgustătoare ar părea acestea. Mai mult, metodele de rezolvare a ecuațiilor cubice și a ecuațiilor de gradul al patrulea, descoperite în secolul al XVI-lea de matematicienii italieni Scipio del Ferro, Niccolò Tartaglia (Tartaglia este o poreclă care înseamnă în traducere - un bâlbâit, nu-i cunosc numele adevărat) , Ludovic Ferrari și Rafael Bombelli au dus la inventarea unor numere complexe foarte „supranaturale”, care au fost destinate să primească recunoaștere deplină abia în secolul al XIX-lea. Iraționalitatea algebrică a fost ferm stabilită în practica umană încă din secolul al XVI-lea.

În această istorie a dezvoltării conceptului de număr, nu a existat loc pentru numerele transcendentale, adică. numere care nu sunt rădăcini ale vreunei ecuații algebrice cu rațional sau, care este echivalent (după reducerea la numitor comun), coeficienți întregi. Adevărat, chiar și grecii antici cunoșteau numărul remarcabil p, care, după cum s-a dovedit mai târziu, este transcendental, dar îl cunoșteau doar ca raport dintre circumferința unui cerc și diametrul său. Întrebarea cu privire la adevărata natură a acestui număr a fost, în general, de puțin interes pentru nimeni până când oamenii au avut suficient și au rezolvat fără succes problema antică grecească a cercului la pătrat, iar numărul p însuși s-a târât într-un fel misterios în diferite secțiuni ale matematicii și științelor naturale.

Abia în 1844, Liouville a construit primul exemplu istoric al unui număr transcendental, iar lumea matematică a fost surprinsă de însuși faptul existenței unor astfel de numere. Abia în secolul al XIX-lea, genialul Georg Cantor și-a dat seama, folosind conceptul de cardinalitate a unei mulțimi, că pe linia numerică există o majoritate covârșitoare de numere transcendentale. Abia în al cincilea paragraf al acestei mici cărți ne vom îndrepta în sfârșit atenția asupra numerelor transcendentale.

Punctul 24. Măsura și categoria pe linie dreaptă.

În acest paragraf, voi oferi câteva informații preliminare din analiza matematică necesare pentru înțelegerea prezentării ulterioare. În matematică au fost inventate destul de multe formalizări diferite ale conceptului de „micitate” a unei mulțimi. Vom avea nevoie de două dintre ele - seturi de măsură zero și seturi de prima categorie conform lui Baer. Ambele concepte se bazează pe noțiunea de numărătoare a unei mulțimi. Se știe că mulțimea numerelor raționale este numărabilă (| Q|= A 0), și că orice mulțime infinită conține o submulțime numărabilă, adică seturile numărabile sunt cele „mai mici” dintre infinit. Între orice mulțime numărabilă și mulțimea numerelor naturale N există o mapare bijectivă, adică elementele oricărui set numărabil pot fi renumerotate sau, cu alte cuvinte, orice set numărabil poate fi aranjat într-o secvență. Niciun interval de pe linie nu este un set numărabil. Acest lucru rezultă în mod evident din următoarea teoremă.

Teorema 1 (Cantor). Pentru orice secvență ( un n) numere reale și pentru orice interval eu există un punct R DESPRE eu astfel încât p № un n pentru oricine n DESPRE N .

Dovada. Proces. Luăm un segment (și anume, un segment, împreună cu capete) eu 1M eu astfel încât A 1 p eu 1 . Din segment eu 1 iau un segment eu 2 M eu 1 astfel încât A 2 P eu 2 etc. Continuarea procesului, din segment În 1 ia un segment eu n M eu n-1 astfel încât A n P eu n. Ca rezultat al acestui proces, obținem o succesiune de segmente imbricate eu 1 eu 2 Y... Y eu a-a... intersecție
care, după cum se știe de la primul fel, sunt negoale, adică. conţine un punct
. Este evident că p Nr. a n pentru toți Nu N .

Nu cred că cititorii nu au întâlnit anterior această demonstrație elegantă (deși în practica mea au existat și studenți foarte obscuri), doar că ideea acestei dovezi va fi folosită mai târziu în demonstrarea teoremei lui Baer și, prin urmare, este util să-l reamintiți în prealabil.

Definiție. O multime de A strâns în interval eu, dacă are o intersecție nevide cu fiecare subinterval din eu. O multime de A strâns dacă este strâns R. O multime de A nu este dens nicăieri dacă este dens în niciun interval pe linia reală, i.e. fiecare interval de pe linie conține un subinterval care se află în întregime în complementul lui A .

Este ușor de înțeles că mulți A nu este nicăieri dens dacă și numai dacă complementul său A conține un set dens deschis. Este ușor de înțeles că mulți A nu este nicăieri dens dacă și numai dacă închiderea sa
nu are puncte interioare.

Nicăieri seturile dense de pe linie se simt intuitiv mici, în sensul că sunt pline de găuri, iar punctele unui astfel de set sunt destul de rar localizate pe linie. Formulăm unele proprietăți ale mulțimilor dense nicăieri în masă sub forma unei teoreme.

Teorema 2. 1) Orice submulțime a unui set dens nicăieri nu este dens nicăieri.

2) Unirea a două (sau a oricărui număr finit) mulțimi dense nicăieri nu este densă nicăieri.

3) Închiderea unui set dens nicăieri nu este dens nicăieri.

Dovada. 1) Evident.

2) Dacă A 1 și A 2 nu sunt nicăieri dense, atunci pentru fiecare interval eu sunt intervale eu 1 milion ( eu \ A 1) și eu 2 M ( eu 1 \ A 2). Mijloace, eu 2 M eu \(A 1 și A 2), ceea ce înseamnă că A 1 și A 2 nu este nicăieri strâns.

3) Evident, orice interval deschis conținut în A, este cuprins și în
.

Astfel, clasa mulțimilor dense nicăieri este închisă sub operația de preluare a submulților, operația de închidere și uniuni finite. O uniune numărabilă de mulțimi dense de nicăieri nu trebuie, în general, să fie un set dense de nicăieri. Un exemplu în acest sens este mulțimea de numere raționale, care este peste tot densă, dar este o uniune numărabilă de puncte separate, fiecare dintre ele formând o mulțime de un element dens nicăieri în R .

Definiție. O mulțime care poate fi reprezentată ca o uniune finită sau numărabilă de mulțimi dense nicăieri se numește mulțime din prima categorie (după Baer). O mulțime care nu poate fi reprezentată în această formă se numește mulțime din a doua categorie.

Teorema 3. 1) Complementul oricărei mulțimi din prima categorie de pe linie este dens.

2) Niciun interval în R nu este un set din prima categorie.

3) Intersecția oricărei secvențe de mulțimi dense deschise este o mulțime densă.

Dovada. Cele trei proprietăți formulate în teoremă sunt în esență echivalente. Să demonstrăm primul. Lăsa

– reprezentare setată A prima categorie ca o uniune numărabilă de seturi dense nicăieri, eu- interval arbitrar. Mai departe - procesul ca în demonstrarea teoremei lui Cantor. Să alegem un segment (și anume un segment, împreună cu capete) eu 1 milion ( eu \ A 1). Acest lucru este posibil deoarece, în plus față de setul dens nicăieri A 1 interval interior eu există întotdeauna un întreg subinterval și acesta, la rândul său, conține un întreg segment în sine. Să alegem un segment eu 2 M ( eu 1 \ A 2). Să alegem un segment eu 3M ( eu 2 \ A 3) etc. Intersecția segmentelor imbricate
nu este gol, de unde complementul eu \ A nu este gol, ceea ce înseamnă că complementul A strans.

A doua aserțiune a teoremei decurge direct din prima, a treia aserțiune decurge tot din prima, dacă doar cineva face un efort pe sine și trece la complementele unei secvențe de mulțimi dense deschise.

Definiție. O clasă de mulțimi care conține toate uniunile posibile finite sau numărabile ale membrilor săi și orice submulțimi ale membrilor săi este numită s-ideal.

Evident, clasa tuturor cel mult seturile numărabile este un ideal. După puțină gândire, este ușor de observat că clasa tuturor setiilor din prima categorie de pe linie este și ea un s-ideal. Un alt exemplu interesant al idealului s este oferit de clasa așa-numitelor seturi zero (sau seturi de măsură zero).

Definiție. O multime de A M R se numeste multime de masura nula (multime nula) daca A poate fi acoperit de cel mult un set numărabil de intervale a căror lungime totală este mai mică decât orice număr dat e >0 , i.e. pentru orice e >0 există o astfel de succesiune de intervale eu n, Ce
și e S I n S< e .

Conceptul de mulțime nulă este o altă formalizare a conceptului intuitiv de „micitate” a unei mulțimi: mulțimile nule sunt mulțimi cu lungime mică. Este evident că un singur punct este o mulțime nulă și că orice submulțime a unei mulțimi nule este în sine o mulțime nulă. Prin urmare, faptul că mulțimile nule formează un ideal s rezultă din următoarea teoremă.

Teorema 4 (Lebesgue). Orice uniune numărabilă de mulțimi nule este un set nul.

Dovada. Lăsa A i- seturi nule, i= 1, 2, ... . Apoi pentru fiecare i există o succesiune de intervale eu ij( j=1, 2, ...) astfel încât
Și
. Setul tuturor intervalelor eu ij acoperă A iar suma lungimilor lor este mai mică decât e, deoarece
. Mijloace, A– zero-set.

Niciun interval sau segment nu este un set nul, deoarece corect

Teorema 5 (Heine-Borel). Dacă o succesiune finită sau infinită de intervale eu n acoperă intervalul eu, Acea

S S eu n Ѕ і Ѕ eu Ѕ .

Nu voi da aici dovada acestei teoreme intuitiv evidente, deoarece poate fi găsită în orice curs mai mult sau mai puțin serios de analiză matematică.

Din teorema Heine-Borel rezultă că idealul s al mulțimilor zero, la fel ca s-ofertele nu mai mult de mulțimi și mulțimi numărabile din prima categorie, nu conține intervale și segmente. Aceste trei idealuri s au, de asemenea, în comun faptul că includ toate mulțimile finite și numărabile. În plus, există seturi nenumărate din prima categorie de măsură zero. Cel mai familiar exemplu al unui astfel de set este setul perfect (*) Cantor c M, format din numere în notația ternară a căror unitate nu există. Amintiți-vă procesul de construire a setului perfect Cantor: segmentul este împărțit în trei părți egale și intervalul mediu deschis este aruncat. Fiecare dintre cele două treimi rămase ale segmentului este din nou împărțită în trei părți egale, iar intervalele mijlocii deschise sunt aruncate din ele etc. Evident, setul rămas după acest proces nu este nicăieri dens, adică prima categorie. Este ușor de calculat că lungimea totală a părților din mijloc aruncate este egală cu unu, adică. Cu are măsura zero. Se știe că Cu nenumărate, pentru că nenumărate șiruri infinite formate din zerouri și doi (fiecare element Cu reprezentată printr-o fracție ternară în care punctul zecimal este exact succesiunea de zerouri și două).

Invit cititorii să verifice singuri dacă există seturi din prima categorie care nu sunt seturi nule și există seturi nule care nu sunt seturi din prima categorie (cu toate acestea, dacă vă este dificil să veniți cu exemple adecvate, nu dispera, ci doar citește acest paragraf până la Teorema 6) .

Astfel, imaginea relațiilor dintre cele trei idealuri s luate în considerare este următoarea:

Astfel, am introdus două concepte de micșorarea mulțimilor. Nu este nimic paradoxal în faptul că un set mic într-un sens poate fi mare în alt sens. Următoarea teoremă ilustrează destul de bine această idee și arată că în unele cazuri, conceptele de micime introduse de noi se pot dovedi a fi diametral opuse.

Teorema 6. Linia numerică poate fi împărțită în două seturi complementare AȘi ÎN Asa de A există un set de prima categorie, și ÎN are măsura zero.

Dovada. Lăsa A 1 , A 2 ,…, A n ,... este o mulțime enumerată de numere raționale (sau orice altă submulțime densă numărabilă peste tot R). Lăsa eu ij este un interval deschis de lungime 1/2 i+j centrat într-un punct un i. Luați în considerare seturile:

, j =1,2,...;

; A = R \ B = B ў .

Evident, pentru orice e >0, se poate alege j astfel încât 1/2 j< e . Тогда

,

prin urmare, ÎN– zero-set.

Mai departe,
este un subset dens deschis R deoarece este unirea unei succesiuni de intervale deschise și conține toate punctele raționale. Aceasta înseamnă că adăugarea sa Gj¢ nu este nicăieri dens, prin urmare
este un set de prima categorie.

Nu este un rezultat uimitor! Din teorema demonstrată rezultă că fiecare submulțime a dreptei, se dovedește, poate fi reprezentată ca o uniune a unei mulțimi nule și a unei mulțimi din prima categorie. În secțiunea următoare, vom lua în considerare o anumită partiție Rîn două submulțimi, dintre care unul este numerele transcendentale Liouville - măsoară zero, dar din a doua categorie conform lui Baer. Grăbește-te la următorul punct!

4.2. Numerele algebrice și transcendentale

Numerele reale sunt uneori subdivizate în algebrice și transcendentale.

Numerele algebrice sunt numere care sunt rădăcini ale polinoamelor algebrice cu coeficienți întregi, de exemplu, 4, . Toate celelalte numere (non-algebrice) sunt transcendentale. Deoarece fiecare număr rațional p/q este o rădăcină a polinomului corespunzător de gradul I cu coeficienți întregi qx -p, atunci toate numerele transcendentale sunt iraționale.

Să evidențiem trăsăturile caracteristice ale numerelor considerate (naturale, raționale, reale): modelează o singură proprietate - cantitatea; sunt unidimensionale și toate sunt reprezentate prin puncte pe o singură dreaptă, numită axa de coordonate.

5. Numere complexe

5.1. numere imaginare

Chiar și mai ciudate decât cele iraționale au fost numerele de natură nouă descoperite de omul de știință italian Cardano în 1545. El a arătat că un sistem de ecuații care nu are soluții în mulțimea numerelor reale are soluții de forma, . Este necesar doar să fim de acord să acţionăm asupra unor astfel de expresii conform regulilor algebrei obişnuite şi să presupunem că · = -.

Cardano a numit astfel de cantități „pur negative” și chiar „sofistic negative”, le-a considerat inutile și a încercat să nu le folosească.

Multă vreme aceste numere au fost considerate imposibile, inexistente, imaginare. Descartes i-a numit imaginari, Leibniz – „un ciudat din lumea ideilor, o entitate situată între ființă și neființă”.

De fapt, cu ajutorul unor astfel de numere este imposibil de exprimat nici rezultatul măsurării unei cantități, fie modificarea unei cantități.

Numerele imaginare nu aveau loc pe axa de coordonate. Cu toate acestea, oamenii de știință au observat că dacă luăm numărul real b pe partea pozitivă a axei de coordonate și îl înmulțim cu, obținem numărul imaginar b, nimeni nu știe unde este situat. Dar dacă acest număr este din nou înmulțit cu, atunci obținem -b, adică numărul original, dar deja pe partea negativă a axei de coordonate. Deci, cu două înmulțiri cu am răsturnat numărul b de la pozitiv la negativ, iar exact la mijlocul acestei aruncări, numărul era imaginar. Așa că au găsit un loc pentru numerele imaginare în puncte de pe axa coordonatelor imaginare perpendiculare pe mijlocul axei coordonatelor reale. Punctele planului dintre axa imaginară și reală înfățișează numerele găsite de Cardano, care în general formează a + b i conțin numere reale a și imaginare b i într-un singur complex (compunere), de aceea se numesc numere complexe.

Era al 4-lea nivel de generalizare a numerelor.

Tehnica operațiilor asupra numerelor imaginare s-a dezvoltat treptat. La începutul secolelor al XVII-lea și al XVII-lea, s-a construit o teorie generală a rădăcinilor puterilor a n-a, mai întâi din negativ și apoi din orice numere complexe, bazată pe următoarea formulă a matematicianului englez A. De Moivre:

Folosind această formulă, a fost, de asemenea, posibil să se obțină formule pentru cosinus și sinusuri ale arcelor multiple.

Leonhard Euler a venit cu o formulă minunată în 1748:

care a legat între ele funcţia exponenţială cu funcţia trigonometrică. Cu ajutorul formulei lui Euler, a fost posibilă ridicarea numărului e la orice putere complexă. Este curios, de exemplu, că. Puteți găsi sinul și cosul numerelor complexe, puteți calcula logaritmii unor astfel de numere și așa mai departe.

Multă vreme, chiar și matematicienii au considerat numerele complexe misterioase și le-au folosit doar pentru manipulări matematice. Astfel, matematicianul elvețian Bernoulli a folosit numere complexe pentru a rezolva integrale. Puțin mai târziu, cu ajutorul numerelor imaginare, au învățat să exprime soluții ale ecuațiilor diferențiale liniare cu coeficienți constanți. Astfel de ecuații sunt întâlnite, de exemplu, în teoria oscilațiilor unui punct material într-un mediu rezistent.

Grupuri de matrice algebrice

Sisteme algebrice de închideri

Să începem cu conceptul de operație algebrică. Fie A o algebră universală cu un set de operații algebrice W. Fiecare operație w în W are o anumită aritate n, nN(0). Pentru orice n natural, operația n-ară u este o mapare de la An la A...

Puterea numerelor prime

Numerele prime reciproc sunt numere naturale sau întregi, așa că nu te poți gândi la cele mai mari duble pentru 1, sau, altfel, se pare că cele mai mari duble ale tale sunt bune pentru 1. În această ordine, 2 și 3 sunt reciproc simple, iar 2 i 4 -- nі (împărțit la 2)...

Grafice și funcțiile lor

Luați în considerare operațiile algebrice de bază asupra funcțiilor și graficele acestora, cum ar fi adunarea și scăderea (y = f(x) ±g(x)), înmulțirea (y = f(x) g(x)), împărțirea (y = f() x) / g(x)). Când construiți acest tip de grafic, ar trebui să luați în considerare ...

Numerele complexe: trecutul și prezentul lor

Matematica în Evul Mediu

O condiție necesară pentru aplicarea metodei Fang Cheng la sistemele de ecuații a fost introducerea numerelor negative. De exemplu, atunci când rezolvăm un sistem, obținem un tabel. Următorul pas: scădeți elementele coloanei a treia din dreapta din elementele primei...

numerologie

Numerele din Pitagora au fost considerate nu doar substitute abstracte ale lucrurilor reale, ci și entități vii care reflectă proprietățile spațiului, energiei sau vibrația sonoră. Principala știință a numerelor, aritmetica...

numerologie

Legenda spune că numerele armonice, al căror raport dă naștere muzicii sferelor, au fost găsite de Pitagora. Flammarion povestește această legendă astfel: „Se spune că trecând pe lângă o forjă, a auzit zgomotul ciocanelor...

Aplicarea practică a formulelor de cuadratura cu greutatea Chebyshev-Hermite

Să fie dată o funcție de greutate uniformă pe întreaga axă. (1.1) Diferențiând succesiv această funcție, aflăm (1.2) Este ușor de demonstrat prin inducție că derivata de ordin n a funcției (1.1) este produsul acestei funcții de un polinom de gradul n...

Să introducem un nou număr invalid al cărui pătrat este egal cu -1. Notăm acest număr prin simbolul I și numim unitatea imaginară. Deci, (2.1) Atunci. (2.2) 1. Forma algebrică a unui număr complex Dacă, atunci numărul (2.3) se numește număr complex...

Secvențe numerice recurente

Când rezolvi multe probleme, de multe ori trebuie să te confrunți cu secvențe date în mod recurent, dar, spre deosebire de succesiunea Fibonacci, nu este întotdeauna posibil să obții sarcina analitică...

Ecuații transcendentale cu parametri și metode pentru soluțiile lor

O ecuație transcendentală este o ecuație care conține funcții transcendentale (iraționale, logaritmice, exponențiale, trigonometrice și trigonometrice inverse) dintr-o necunoscută (variabilă), de exemplu, o ecuație...

Numere uimitoare

Cu mult timp în urmă, ajutându-se la numărarea cu pietricele, oamenii au acordat atenție cifrelor corecte care pot fi așezate din pietricele. Poți doar să pui pietricelele pe rând: una, două, trei. Dacă le pui în două rânduri pentru a face dreptunghiuri...

Numere uimitoare

Uneori numerele perfecte sunt considerate un caz special de numere prietenoase: fiecare număr perfect este prietenos cu el însuși. Nicomachus din Gheras, celebrul filozof și matematician, a scris: „Numerele perfecte sunt frumoase. Dar știm...

Proprietăți fractale ale proceselor sociale

Fractalii geometrici sunt figuri statice. O astfel de abordare este destul de acceptabilă atâta timp cât nu este nevoie să se ia în considerare fenomene naturale cum ar fi căderea fluxurilor de apă, vârtejurile turbulente de fum...