Care este mulțimea numerelor iraționale. Numere iraționale, definiție, exemple. Un număr irațional este un număr care nu poate fi scris ca o fracție cu numărător și numitor întreg.

Multe dintre toate numere naturale notate cu litera N. Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim la numărarea obiectelor: 1,2,3,4, ... În unele surse, numărul 0 se referă și la numere naturale.

Mulțimea tuturor numerelor întregi este notată cu litera Z. Numerele întregi sunt toate numerele naturale, zero și numere negative:

1,-2,-3, -4, …

Acum să adăugăm la mulțimea tuturor numerelor întregi mulțimea tuturor fracțiilor ordinare: 2/3, 18/17, -4/5 și așa mai departe. Apoi obținem mulțimea tuturor numerelor raționale.

Set de numere raționale

Mulțimea tuturor numerelor raționale se notează cu litera Q. Mulțimea tuturor numerelor raționale (Q) este mulțimea formată din numere de forma m/n, -m/n și numărul 0. În ca n,m poate fi orice număr natural. Trebuie remarcat faptul că toate numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție zecimală PERIODICĂ finită sau infinită. Este adevărat și invers, că orice fracție zecimală periodică finită sau infinită poate fi scrisă ca număr rațional.

Dar cum rămâne cu, de exemplu, numărul 2.0100100010...? Este o zecimală infinit NON-PERIODICĂ. Și nu se aplică numerelor raționale.

ÎN curs şcolar Algebrele sunt studiate numai numere reale (sau reale). Mulțimea tuturor numerelor reale se notează cu litera R. Mulțimea R este formată din toate numerele raționale și toate numerele iraționale.

Conceptul de numere iraționale

Numerele iraționale sunt toate fracții zecimale neperiodice infinite. Numerele iraționale nu au o notație specială.

De exemplu, toate numerele obținute prin extragerea rădăcinii pătrate a numerelor naturale care nu sunt pătrate ale numerelor naturale vor fi iraționale. (√2, √3, √5, √6 etc.).

Dar să nu credeți că numerele iraționale se obțin doar prin extragere rădăcini pătrate. De exemplu, numărul „pi” este, de asemenea, irațional și se obține prin împărțire. Și oricât de mult ai încerca, nu poți obține luând rădăcina pătrată a oricărui număr natural.

Ir Numar rational poate fi reprezentat ca o fracție neperiodică infinită. Mulțimea numerelor iraționale se notează cu $I$ și este egală cu: $I=R / Q$ .

De exemplu. Numerele iraționale sunt:

Operații pe numere iraționale

Pe mulțimea numerelor iraționale se pot introduce patru operații aritmetice de bază: adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea; dar pentru niciuna dintre operaţiile enumerate mulţimea numerelor iraţionale nu are proprietatea de închidere. De exemplu, suma a două numere iraționale poate fi un număr rațional.

De exemplu. Găsiți suma a două numere iraționale $0,1010010001 \ldots$ și $0,0101101110 \ldots$ . Primul dintre aceste numere este format dintr-o succesiune de unu, despărțite respectiv de un zero, două zerouri, trei zerouri etc., al doilea - printr-o succesiune de zerouri, între care unul, doi, trei, etc. sunt puse:

$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

Astfel, suma a două numere iraționale date este numărul $\frac(1)(9)$ , care este rațional.

Exemplu

Exercițiu. Demonstrați că numărul $\sqrt(3)$ este irațional.

Dovada. Vom folosi metoda probei prin contradicție. Să presupunem că $\sqrt(3)$ este un număr rațional, adică poate fi reprezentat ca o fracție $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , unde $m$ și $n$ sunt numere naturale coprime numere.

Punem la patrat ambele părți ale egalității, obținem

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

Numărul 3$\cdot n^(2)$ este divizibil cu 3. Prin urmare $m^(2)$ și deci $m$ este divizibil cu 3. Punând $m=3 \cdot k$, egalitatea $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ poate fi scris ca

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

Din ultima egalitate rezultă că $n^(2)$ și $n$ sunt divizibile cu 3, deci fracția $\frac(m)(n)$ poate fi redusă cu 3. Dar prin presupunere, fracția $\ frac(m)( n)$ este ireductibil. Contradicția rezultată demonstrează că numărul $\sqrt(3)$ nu poate fi reprezentat ca o fracție $\frac(m)(n)$ și, prin urmare, este irațional.

Q.E.D.

Materialul acestui articol este informația inițială despre numere irationale. În primul rând, vom da o definiție a numerelor iraționale și o vom explica. Iată câteva exemple de numere iraționale. În cele din urmă, să ne uităm la câteva abordări pentru a afla dacă un anumit număr este irațional sau nu.

Navigare în pagină.

Definiție și exemple de numere iraționale

În studiul fracțiilor zecimale, am considerat separat infinit neperiodic zecimale. Astfel de fracții apar în măsurarea zecimală a lungimilor segmentelor cu care sunt incomensurabile un singur segment. De asemenea, am observat că fracțiile zecimale neperiodice infinite nu pot fi convertite în fracții obișnuite (vezi conversia fracțiilor ordinare în zecimale și invers), prin urmare, aceste numere nu sunt numere raționale, ele reprezintă așa-numitele numere iraționale.

Așa că am ajuns la definirea numerelor iraționale.

Definiție.

Se numesc numere care în notație zecimală reprezintă infinite fracții zecimale nerecurente numere irationale.

Definiția sonoră permite să aducă exemple de numere iraționale. De exemplu, fracția zecimală neperiodică infinită 4,10110011100011110000... (numărul de unu și zero crește cu unul de fiecare dată) este un număr irațional. Să dăm un alt exemplu de număr irațional: −22,353335333335 ... (numărul de triple care separă opt crește de fiecare dată cu două).

Trebuie remarcat faptul că numerele iraționale sunt destul de rare sub formă de fracții zecimale neperiodice infinite. De obicei se găsesc sub forma , etc., precum și sub forma unor litere special introduse. Cele mai cunoscute exemple de numere iraționale într-o astfel de notație sunt rădăcina pătrată aritmetică a lui doi, numărul „pi” π=3,141592..., numărul e=2,718281... și numărul de aur.

Numerele iraționale pot fi definite și în termeni de numere reale, care combină numerele raționale și iraționale.

Definiție.

Numere irationale- Acest numere reale, care nu sunt raționale.

Este acest număr irațional?

Când un număr este dat nu ca o fracție zecimală, ci ca o anumită rădăcină, logaritm etc., atunci în multe cazuri este destul de dificil să răspunzi la întrebarea dacă este irațional.

Fără îndoială, pentru a răspunde la întrebarea pusă, este foarte util să știm care numere nu sunt iraționale. Din definiția numerelor iraționale rezultă că numerele raționale nu sunt numere iraționale. Astfel, numerele iraționale NU sunt:

• fracții zecimale periodice finite și infinite.

De asemenea, orice compoziție de numere raționale legate prin semne ale operațiilor aritmetice (+, −, ·, :) nu este un număr irațional. Acest lucru se datorează faptului că suma, diferența, produsul și câtul a două numere raționale este un număr rațional. De exemplu, valorile expresiilor și sunt numere raționale. Aici observăm că dacă în astfel de expresii printre numerele raționale există un singur număr irațional, atunci valoarea întregii expresii va fi un număr irațional. De exemplu, în expresie, numărul este irațional, iar restul numerelor sunt raționale, deci numărul irațional. Dacă ar fi un număr rațional, atunci raționalitatea numărului ar decurge din aceasta, dar nu este rațional.

Dacă expresia, căreia i se dă un număr, conține mai multe numere iraționale, semne rădăcină, logaritmi, funcții trigonometrice, numerele π, e etc., atunci se cere să se dovedească iraționalitatea sau raționalitatea unui număr dat în fiecare caz specific. Cu toate acestea, există o serie de rezultate deja obținute care pot fi utilizate. Să le enumerăm pe cele principale.

Se dovedește că o k-a rădăcină a unui întreg este un număr rațional numai dacă numărul de sub rădăcină este k-a putere a unui alt întreg, în alte cazuri o astfel de rădăcină definește un număr irațional. De exemplu, numerele și sunt iraționale, deoarece nu există un întreg al cărui pătrat este 7 și nu există un întreg a cărui creștere la puterea a cincea dă numărul 15. Și numerele și nu sunt iraționale, deoarece și .

Cât despre logaritmi, uneori se poate dovedi iraționalitatea lor prin contradicție. De exemplu, să demonstrăm că log 2 3 este un număr irațional.

Să presupunem că log 2 3 este un număr rațional, nu irațional, adică poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită m/n . şi permiteţi-ne să scriem următorul lanţ de egalităţi: . Ultima egalitate este imposibilă, deoarece pe partea stângă numar impar , și chiar pe partea dreaptă. Așa că am ajuns la o contradicție, ceea ce înseamnă că presupunerea noastră s-a dovedit a fi greșită și asta demonstrează că log 2 3 este un număr irațional.

Rețineți că lna pentru orice rațional pozitiv și non-untar a este un număr irațional. De exemplu, și sunt numere iraționale.

De asemenea, se dovedește că numărul e a este irațional pentru orice rațional a diferit de zero și că numărul π z este irațional pentru orice număr întreg z diferit de zero. De exemplu, numerele sunt iraționale.

Numerele iraționale sunt, de asemenea, trigonometrice funcţiile păcatului, cos , tg și ctg pentru orice valoare rațională și diferită de zero a argumentului. De exemplu, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , sunt numere iraționale.

Există și alte rezultate dovedite, dar ne vom limita la cele deja enumerate. De asemenea, trebuie spus că în demonstrarea rezultatelor de mai sus, teoria asociată cu numere algebrice Și numere transcendente.

În concluzie, observăm că nu trebuie să tragem concluzii pripite despre iraționalitatea numerelor date. De exemplu, pare evident că un număr irațional într-un grad irațional este un număr irațional. Cu toate acestea, acest lucru nu este întotdeauna cazul. Ca o confirmare a faptului exprimat, vă prezentăm gradul. Se știe că - un număr irațional, și, de asemenea, a demonstrat că - un număr irațional, dar - un număr rațional. De asemenea, puteți da exemple de numere iraționale, a căror sumă, diferența, produsul și coeficientul sunt numere raționale. Mai mult decât atât, raționalitatea sau iraționalitatea numerelor π+e , π−e , π e , π π , π e și multe altele nu a fost încă dovedită.

Bibliografie.

• Matematică. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

Am arătat deja mai devreme că $1\frac25$ este aproape de $\sqrt2$. Dacă ar fi exact egal cu $\sqrt2$, . Atunci raportul - $\frac(1\frac25)(1)$, care poate fi transformat într-un raport de numere întregi $\frac75$ prin înmulțirea părților superioare și inferioare ale fracției cu 5, ar fi valoarea dorită.

Dar, din păcate, $1\frac25$ nu este valoarea exactă a $\sqrt2$. Un răspuns mai precis $1\frac(41)(100)$ este dat de relația $\frac(141)(100)$. Obținem o acuratețe și mai mare atunci când echivalăm $\sqrt2$ cu $1\frac(207)(500)$. În acest caz, raportul în numere întregi va fi egal cu $\frac(707)(500)$. Dar nici $1\frac(207)(500)$ nu este valoarea exactă a rădăcinii pătrate a lui 2. Matematicienii greci au petrecut mult timp și efort pentru a calcula valoarea exactă a lui $\sqrt2$, dar nu au reușit niciodată. Ei nu au reușit să reprezinte raportul $\frac(\sqrt2)(1)$ ca raport de numere întregi.

În cele din urmă, marele matematician grec Euclid a demonstrat că, indiferent de cât de acuratețe a calculelor crește, este imposibil să obținem valoarea exactă a $\sqrt2$. Nu există nicio fracție care, la pătrat, să rezulte în 2. Se spune că Pitagora a fost primul care a ajuns la această concluzie, dar acest fapt inexplicabil l-a impresionat atât de tare pe om de știință încât s-a jurat și a jurat de la studenții săi să respecte această descoperire este un secret. Cu toate acestea, este posibil ca aceste informații să nu fie adevărate.

Dar dacă numărul $\frac(\sqrt2)(1)$ nu poate fi reprezentat ca un raport de numere întregi, atunci niciun număr care să conțină $\sqrt2$, de exemplu $\frac(\sqrt2)(2)$ sau $\frac De asemenea, (4)(\sqrt2)$ nu poate fi reprezentat ca un raport al numerelor întregi, deoarece toate astfel de fracții pot fi convertite în $\frac(\sqrt2)(1)$ înmulțit cu un anumit număr. Deci $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. Sau $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, care poate fi convertit prin înmulțirea de sus și de jos cu $\sqrt2$ pentru a obține $\frac(4) (\sqrt2)$. (Nu trebuie să uităm că indiferent de numărul $\sqrt2$, dacă îl înmulțim cu $\sqrt2$ obținem 2.)

Deoarece numărul $\sqrt2$ nu poate fi reprezentat ca raport de numere întregi, se numește număr irațional. Pe de altă parte, toate numerele care pot fi reprezentate ca raport de numere întregi sunt numite raţional.

Raționale sunt toate numere întregi și numere fracționare, atât pozitive cât și negative.

După cum se dovedește, majoritatea rădăcinilor pătrate sunt numere iraționale. Rădăcinile pătrate raționale sunt numai pentru numerele incluse într-o serie numere pătrate. Aceste numere sunt numite și pătrate perfecte. Numerele raționale sunt, de asemenea, fracții formate din aceste pătrate perfecte. De exemplu, $\sqrt(1\frac79)$ este un număr rațional deoarece $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ sau $1\frac13$ (4 este rădăcina pătratul lui 16, iar 3 este rădăcina pătrată a lui 9).

Toate numerele raționale pot fi reprezentate ca o fracție comună. Acest lucru se aplică numerelor întregi (de exemplu, 12, -6, 0) și fracțiilor zecimale finale (de exemplu, 0,5; -3,8921) și fracțiilor zecimale periodice infinite (de exemplu, 0,11(23); -3 ,(87); )).

in orice caz infinite zecimale nerecurente nu pot fi reprezentate ca fracții obișnuite. Asta sunt ei numere irationale(adică irațional). Un exemplu de astfel de număr este π, care este aproximativ egal cu 3,14. Cu toate acestea, nu se poate determina exact ceea ce este egal, deoarece după numărul 4 există o serie nesfârșită de alte numere în care nu se pot distinge perioade care se repetă. În același timp, deși numărul π nu poate fi exprimat exact, el are un specific sens geometric. Numărul π este raportul dintre lungimea oricărui cerc și lungimea diametrului său. Astfel, numerele iraționale există în natură, la fel ca și numerele raționale.

Un alt exemplu de numere iraționale este rădăcinile pătrate ale lui numere pozitive. Extragerea rădăcinilor din unele numere dă valori raționale, din altele - iraționale. De exemplu, √4 = 2, adică rădăcina lui 4 este un număr rațional. Dar √2, √5, √7 și multe altele au ca rezultat numere iraționale, adică pot fi extrase doar cu o aproximare, rotunjită la o anumită zecimală. În acest caz, fracția se obține neperiodic. Adică, este imposibil să spunem exact și sigur care este rădăcina acestor numere.

Deci √5 este un număr între 2 și 3, deoarece √4 = 2 și √9 = 3. De asemenea, putem concluziona că √5 este mai aproape de 2 decât de 3, deoarece √4 este mai aproape de √5 decât √9 de √5. Într-adevăr, √5 ≈ 2,23 sau √5 ≈ 2,24.

Numerele iraționale se obțin și în alte calcule (și nu numai la extragerea rădăcinilor), ele sunt negative.

În raport cu numerele iraționale, putem spune că indiferent de ce segment de unitate luăm pentru a măsura lungimea exprimată de un astfel de număr, nu o vom putea măsura definitiv.

În operațiile aritmetice, numerele iraționale pot participa împreună cu cele raționale. În același timp, există o serie de regularități. De exemplu, dacă într-o operație aritmetică sunt implicate numai numere raționale, atunci rezultatul este întotdeauna un număr rațional. Dacă doar cei iraționali participă la operațiune, atunci este imposibil să spunem fără echivoc dacă va rezulta un număr rațional sau irațional.

De exemplu, dacă înmulțiți două numere iraționale √2 * √2, obțineți 2 - acesta este un număr rațional. Pe de altă parte, √2 * √3 = √6 este un număr irațional.

Dacă o operație aritmetică implică un număr rațional și un număr irațional, atunci se va obține un rezultat irațional. De exemplu, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 - 4.

De ce este √17 - 4 un număr irațional? Imaginați-vă că obțineți un număr rațional x. Atunci √17 = x + 4. Dar x + 4 este un număr rațional, deoarece am presupus că x este rațional. Numărul 4 este de asemenea rațional, deci x + 4 este rațional. Totuși, un număr rațional nu poate fi egal cu iraționalul √17. Prin urmare, ipoteza că √17 - 4 dă un rezultat rațional este incorectă. Rezultatul unei operații aritmetice va fi irațional.

Cu toate acestea, există o excepție de la această regulă. Dacă înmulțim un număr irațional cu 0, obținem un număr rațional 0.