Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale. Variabilă aleatoare bidimensională Legea condițională de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale

Definiția 2.7. este o pereche de numere aleatoare (X, Y), sau un punct pe planul de coordonate (Fig. 2.11).

Orez. 2.11.

2D valoare aleatorie- Acest caz special variabilă aleatoare multidimensională sau vector aleatoriu.

Definiția 2.8. Vector aleatoriu - Acest functie aleatorie?,(/) cu un set finit de valori posibile ale argumentelor t, a cărui valoare pentru orice valoare t este o variabilă aleatorie.

O variabilă aleatoare bidimensională se numește continuă dacă coordonatele sale sunt continue și discretă dacă coordonatele sale sunt discrete.

A stabili legea distribuției variabilelor aleatoare bidimensionale înseamnă a stabili o corespondență între valorile posibile ale acesteia și probabilitatea acestor valori. În funcție de modalitățile de setare, variabilele aleatoare sunt împărțite în continue și discrete, deși există modalități generale de stabilire a legii de distribuție a oricărui RV.

Variabilă aleatoare bidimensională discretă

O variabilă aleatoare bidimensională discretă este specificată folosind un tabel de distribuție (Tabelul 2.1).

Tabelul 2.1

Tabel de alocare (alocare comună) BC ( X, U)

Elementele tabelului sunt definite de formulă

Proprietățile elementului tabelului de distribuție:

Distribuția pe fiecare coordonată este numită unidimensional sau marginal:

R 1> = P(X =.d,) - distribuția marginală a SW X;

p^2) = P(Y= y,)- distribuția marginală a SV U.

Comunicarea distribuirii în comun a CB Xși Y, dat de setul de probabilități [p () ), i = 1,..., n,j = 1,..., T(tabel de distribuție) și distribuție marginală.

La fel și pentru SV U p- 2)= X p, g

Problema 2.14. Dat:

Variabilă aleatoare 2D continuă

/(X, y)dxdy- element de probabilitate pentru o variabilă aleatoare bidimensională (X, Y) - probabilitatea de a lovi o variabilă aleatoare (X, Y) într-un dreptunghi cu laturi cbc, dy la dx, dy -* 0:

f(x, y) - densitatea distributiei variabilă aleatoare bidimensională (X, Y). Sarcina /(x, y) noi dam informatii complete asupra distribuţiei unei variabile aleatoare bidimensionale.

Sunt date distribuțiile marginale în felul următor: conform X - densitatea de distribuție a SW X/,(x); De Y- Densitatea distribuției SV f>(y).

Stabilirea legii de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale prin funcția de distribuție

O modalitate universală de a specifica legea distribuției pentru o variabilă aleatoare bidimensională discretă sau continuă este funcția de distribuție F(x, y).

Definiția 2.9. Funcția de distribuție F(x, y)- probabilitatea producerii comune a evenimentelor (Xy), i.e. F(x0,y n) = = P(X y), aruncat pe planul de coordonate, se încadrează într-un cadran infinit cu un vârf în punctul M(x 0, tu i)(în zona umbrită din fig. 2.12).

Orez. 2.12. Ilustrație a funcției de distribuție F( X y)

Proprietățile funcției F(x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, y) = 0; F( oo, oo) = 1;
• 3) F(x, y)- nedescrescătoare în fiecare argument;
• 4) F(x, y) - continuă stânga și jos;
• 5) consistența distribuțiilor:

F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - distribuţie marginală peste Y F( oo, y) = F 2 (y). Conexiune /(X y) Cu F(x, y):

Relația dintre densitatea articulației și densitatea marginală. Dana f(x, y). Obținem densitățile de distribuție marginală f(x),f 2 (y)”.

Cazul coordonatelor independente ale unei variabile aleatoare bidimensionale

Definiția 2.10. SW XȘi Independent de Y(nc) dacă orice evenimente asociate cu fiecare dintre aceste RV sunt independente. Din definiția nc CB rezultă:

• 1 )Pij = p X) pf
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Se pare că pentru SW independenți XȘi Y finalizat și

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Să demonstrăm că pentru SW independente XȘi Y2) 3). dovada, a) Fie 2), adică

în același timp F(x,y) = f J f(u,v)dudv, de unde rezultă 3);

b) să țină 3 acum, atunci

acestea. adevărat 2).

Să luăm în considerare sarcinile.

Problema 2.15. Distribuția este dată de următorul tabel:

Construim distribuții marginale:

Primim P(X = 3, U = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0,1485 => => SV Xși Dependenții.

Funcția de distribuție:

Problema 2.16. Distribuția este dată de următorul tabel:

Primim P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => SW XȘi Y nz.

Problema 2.17. Dana /(x, y) = 1/st exp| -0,5(d "+ 2xy + 5d/ 2)]. Găsi Oh)Și /Ay)-

Soluţie

(calculați-vă).

Definiție. Dacă două variabile aleatoare sunt date pe același spațiu de evenimente elementare XȘi Y, apoi spun că este dat variabilă aleatoare bidimensională (X,Y) .

Exemplu. Mașina ștampilă plăci de oțel. Lungime controlată Xși lățimea Y. − SW bidimensional.

SW XȘi Y au propriile funcții de distribuție și alte caracteristici.

Definiție. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale (X, Y) se numeste functie.

Definiție. Legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale discrete (X, Y) numită masă

Pentru un SW discret bidimensional.

Proprietăți:

2) dacă , atunci ; daca atunci ;

4) − funcţia de distribuţie X;

− funcţia de distribuţie Y.

Probabilitatea de a atinge valorile SW bidimensionale în dreptunghi:

Definiție. Variabilă aleatoare 2D (X Y) numit continuu dacă funcţia sa de distribuţie este continuă și are peste tot (cu excepția posibilă a unui număr finit de curbe) o derivată parțială mixtă continuă de ordinul 2 .

Definiție. Densitatea distribuției comune de probabilitate a SW bidimensională continuă se numeste functie.

Apoi, evident .

Exemplul 1 SW bidimensional continuu este dat de functia de distributie

Atunci densitatea de distribuție are forma

Exemplul 2 SW bidimensional continuu este dat de densitatea distributiei

Să găsim funcția de distribuție:

Proprietăți:

3) pentru orice zonă.

Fie cunoscută densitatea distribuției comune. Apoi, densitatea de distribuție a fiecăreia dintre componentele SW bidimensionale se găsește după cum urmează:

Exemplul 2 (continuare).

Densitățile de distribuție ale componentelor SW bidimensionale sunt numite de unii autori marginal densitățile distribuției probabilităților .

Legile condiționale ale distribuției componentelor sistemului de RV discret.

Probabilitate condiționată , unde .

Legea condiționată distribuția componentelor X la:

În mod similar pentru , unde .

Să facem o lege de distribuție condiționată X la Y= 2.

Apoi legea distribuției condiționate

Definiție. Densitatea de distribuție condiționată a componentei X la o valoare dată Y=y numit .

În mod similar: .

Definiție. condiţional matematic așteptând SW Y discret at se numește , unde − vezi mai sus.

Prin urmare, .

Pentru continuu SW Y .

Evident, este o funcție a argumentului X. Această funcție este numită funcția de regresie Y pe X .

Definit în mod similar funcția de regresie x-pe-y : .

Teorema 5. (Despre funcția de distribuție a RV independente)

SW XȘi Y

Consecinţă. SW continuu XȘi Y sunt independente dacă și numai dacă .

În exemplul 1 cu . Prin urmare, SW XȘi Y independent.

Caracteristici numerice componente ale unei variabile aleatoare bidimensionale

Pentru CB discret:

Pentru SW continuu: .

Dispersia și abaterea standard pentru toate SW sunt determinate de aceleași formule cunoscute de noi:

Definiție. Punctul se numește centru de împrăștiere SW bidimensional.

Definiție. Covarianta (moment de corelare) NE se numește

Pentru SW discret: .

Pentru SW continuu: .

Formula de calcul: .

Pentru OC independente.

Inconvenientul caracteristicii este dimensiunea acesteia (pătratul unității de măsură a componentelor). Următoarea cantitate este lipsită de acest neajuns.

Definiție. Coeficient de corelație SW XȘi Y numit

Pentru OC independente.

Pentru orice pereche de SW . Se știe că dacă și numai dacă , unde .

Definiție. SW XȘi Y numit necorelat , Dacă .

Relația dintre corelația și dependența SW:

− dacă CB XȘi Y corelate, adică , atunci sunt dependente; inversul nu este adevărat;

− dacă CB XȘi Y independent, atunci ; contrariul nu este adevărat.

Observație 1. Dacă SW XȘi Y distribuit de legea normalăȘi , atunci sunt independente.

Observația 2. Valoare practică ca măsură a dependenţei se justifică numai atunci când distribuţia comună a perechii este normală sau aproximativ normală. Pentru SW arbitrar XȘi Y poți ajunge la o concluzie eronată, adică Pot fi chiar și când XȘi Y asociată cu o relație funcțională strictă.

Observația 3.ÎN statistici matematice Corelația este o dependență probabilistică (statistică) între mărimi, care, în general, nu are un caracter strict funcțional. Dependența de corelație apare atunci când una dintre mărimi depinde nu numai de secunda dată, ci și de un număr de factori aleatori, sau când printre condițiile de care depinde una sau cealaltă mărime, există condiții comune ambelor.

Exemplul 4 Pentru SW XȘi Y din exemplul 3 găsi .

Soluţie.

Exemplul 5 Este dată densitatea de distribuție comună a SW bidimensională.

O variabilă aleatoare bidimensională se numește ( X, Y), ale căror posibile valori sunt perechi de numere ( X y). Componente XȘi Y, considerată simultan, formă sistem două variabile aleatorii.

O mărime bidimensională poate fi interpretată geometric ca un punct aleatoriu M(X; Y) la suprafață xOy sau ca vector aleatoriu OM.

Discret numită mărime bidimensională, ale cărei componente sunt discrete.

continuu numită mărime bidimensională, ale cărei componente sunt continue.

legea distributiei Probabilitățile unei variabile aleatoare bidimensionale se numesc corespondența dintre valorile posibile și probabilitățile acestora.

Legea de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale discrete poate fi dată: a) sub forma unui tabel cu intrări duble care conține valorile posibile și probabilitățile acestora; b) analitic, de exemplu, sub forma unei funcţii de distribuţie.

funcția de distribuție probabilitățile unei variabile aleatoare bidimensionale se numește funcție F(x, y), definind pentru fiecare pereche de numere (X y) probabilitatea ca X ia o valoare mai mică decât x și, în același timp Y capătă o valoare mai mică decât y:

F(x, y) = P(X< x, Y < y).

Din punct de vedere geometric, această egalitate poate fi interpretată după cum urmează: F(x, y) există probabilitatea ca un punct aleatoriu ( X Y) se încadrează într-un cadran infinit cu vârf ( X y) situat în stânga și sub acest vârf.

Uneori se folosește termenul „funcție integrală” în locul termenului „funcție de distribuție”.

Funcția de distribuție are următoarele proprietăți:

Proprietatea 1. Valorile funcției de distribuție satisfac inegalitatea dublă

0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Proprietatea 2. Funcția de distribuție este o funcție nedescrescătoare în raport cu fiecare argument:

F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y) dacă x 2 > x 1 ,

F(x, y 2) ≥ F(x, y 1) dacă y 2 > y 1 .

Proprietatea 3. Există relații limită:

1) F(–∞, y) = 0,

3) F(–∞, –∞) = 0,

2) F(x, –∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Proprietatea 4. A) La=∞ funcția de distribuție a sistemului devine funcția de distribuție a componentei X:

F(x, ∞) = F 1 (x).

b) Pentru x = ∞ funcția de distribuție a sistemului devine funcția de distribuție a componentei Y:

F(∞, y) = F 2 (y).

Folosind funcția de distribuție, puteți găsi probabilitatea de a lovi punct aleatoriuîntr-un dreptunghi x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P(x1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Densitatea distribuției comune de probabilitate (densitatea de probabilitate bidimensională) o variabilă aleatoare bidimensională continuă se numește derivata a doua mixtă a funcției de distribuție:

Uneori, în locul termenului „densitate de probabilitate bidimensională”, este folosit termenul „funcție diferențială a sistemului”.

Densitatea distribuției comune poate fi considerată ca limita a raportului probabilității ca un punct aleator să cadă într-un dreptunghi cu laturile D X si D y la aria acestui dreptunghi când ambele laturi tind spre zero; geometric, poate fi interpretat ca o suprafață, care se numește suprafata de distributie.

Cunoscând densitatea distribuției, se poate găsi funcția de distribuție prin formula

Probabilitatea ca un punct aleatoriu (X, Y) să cadă în regiunea D este determinată de egalitate

O densitate de probabilitate bidimensională are următoarele proprietăți:

Proprietatea 1. Densitatea de probabilitate bivariată este nenegativă:

f(x,y) ≥ 0.

Proprietatea 2. Integrala dublă improprie cu limite infinite ale densității de probabilitate bidimensională este egală cu unu:

În special, dacă toate valorile posibile ale lui (X, Y) aparțin unui domeniu finit D, atunci

226. Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale discrete este dată:

Aflați legile distribuției componentelor.

228. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale

Găsiți probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y X = 0, X= p/4, y= p/6, y= p/3.

229. Găsiți probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un dreptunghi mărginit de linii X = 1, X = 2, y = 3, y= 5 dacă funcția de distribuție este cunoscută

230. Este dată funcția de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale

Aflați densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului.

231. Într-un cerc x 2 + y 2 ≤ R 2 densitate de probabilitate bivariată; în afara cercului f(x, y)= 0. Aflați: a) o constantă C; b) probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un cerc de rază r= 1 centrat la origine dacă R = 2.

232. În primul cadran este dată funcția de distribuție a sistemului a două variabile aleatoare F(x, y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x - y. Aflați: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X Y) într-un triunghi cu vârfuri A(1; 3), B(3; 3), C(2; 8).

8.2. Legile condiționale ale distribuției probabilităților componentelor
variabilă aleatoare bidimensională discretă

Lăsați componentele XȘi Y sunt discrete și au următoarele valori posibile, respectiv: x 1 , x 2 , …, x n ; y 1 , y 2 , …, ym.

Distribuția condiționată a componentei X la Y=y j(j păstrează aceeași valoare pentru toate valorile posibile ale lui X) se numește mulțime de probabilități condiționate

p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).

Distribuția condiționată Y este definită în mod similar.

Probabilitățile condiționate ale componentelor X și Y sunt calculate, respectiv, prin formule

Pentru a controla calculele, este recomandabil să vă asigurați că suma probabilităților distribuției condiționate este egală cu unu.

233. Având în vedere o variabilă aleatoare bidimensională discretă ( X Y):

Aflați: a) legea distribuției condiționate X cu conditia ca Y=10; b) legea distribuţiei condiţionate Y cu conditia ca X=6.

8.3. Găsirea densităților și a legilor de distribuție condiționată
componente ale unei variabile aleatoare bidimensionale continue

Densitatea de distribuție a uneia dintre componente este egală cu integrală improprie cu limite infinite asupra densității distribuției comune a sistemului, iar variabila de integrare corespunde unei alte componente:

Se presupune aici că valorile posibile ale fiecăreia dintre componente aparțin întregii axe numerice; dacă valorile posibile aparțin unui interval finit, atunci numerele finite corespunzătoare sunt luate ca limite de integrare.

Densitatea de distribuție condiționată a componentei X la o valoare dată Y=y este raportul dintre densitatea de distribuție a îmbinării sistemului și densitatea de distribuție a componentei Y:

Densitatea de distribuție condiționată a componentei este determinată în mod similar Y:

Dacă densitățile de distribuție condiționată ale variabilelor aleatoare XȘi Y sunt egale cu densitățile lor necondiționate, atunci astfel de cantități sunt independente.

Uniformă se numește distribuția unei variabile aleatoare continue bidimensionale ( X Y) dacă în regiunea căreia îi aparțin toate valorile posibile ( X y), densitatea distribuției comune de probabilitate rămâne constantă.

235. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y) este dată

Aflați: a) densitatea de distribuție a componentelor; b) densitățile de distribuție condiționată a componentelor.

236. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue ( X Y)

Gaseste un) factor constant C; b) densitatea de distribuție a componentelor; c) densitățile de distribuție condiționată a componentelor.

237. Variabilă aleatoare bidimensională continuă ( X Y) este distribuită uniform în interiorul unui dreptunghi cu centrul de simetrie la origine și laturile 2a și 2b paralele cu axele de coordonate. Aflați: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) densitatea de distribuţie a componentelor.

238. Variabilă aleatoare bidimensională continuă ( X Y) este distribuit uniform în interiorul unui triunghi dreptunghic cu vârfuri O(0; 0), A(0; 8), ÎN(8;0). Aflați: a) densitatea de probabilitate bidimensională a sistemului; b) densitățile și densitățile de distribuție condiționată ale componentelor.

8.4. Caracteristicile numerice ale unui sistem continuu
două variabile aleatorii

Cunoscând densitățile de distribuție ale componentelor X și Y ale unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y), putem găsi așteptările și variațiile lor matematice:

Uneori este mai convenabil să folosiți formule care conțin o densitate de probabilitate bidimensională ( integrale duble sunt preluate în intervalul de valori posibile ale sistemului):

Momentul inițial n k, s Ordin k+s sisteme ( X Y) se numește așteptarea produsului X k Y s:

nk, s = M.

În special,

n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).

Momentul central m k, s Ordin k+s sisteme ( X Y) se numește așteptarea matematică a produsului abaterilor, respectiv k-lea și s gradele:

m k, s = M( k ∙ s ).

În special,

m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0;

m 2,0 = M2 = D(X), m 0,2 = M2 = D(Y);

Momentul de corelare m xу sisteme ( X Y) se numește momentul central m 1.1 comanda 1 + 1:

m xу = M( ∙ ).

Coeficient de corelație valorile X și Y sunt raportul dintre momentul de corelare și produsul abaterilor standard ale acestor valori:

r xy = m xy / (s x s y).

Coeficientul de corelație este o mărime adimensională și | rxy| ≤ 1. Coeficientul de corelație este utilizat pentru estimarea etanșeității conexiune liniarăîntre XȘi Y: cu cât valoarea absolută a coeficientului de corelație este mai aproape de unu, cu atât relația este mai puternică; cu cât valoarea absolută a coeficientului de corelație este mai aproape de zero, cu atât relația este mai slabă.

corelat două variabile aleatoare sunt numite dacă momentul lor de corelare este diferit de zero.

Necorelat două variabile aleatoare sunt numite dacă momentul lor de corelare este egal cu zero.

Două mărimi corelate sunt, de asemenea, dependente; dacă două mărimi sunt dependente, atunci ele pot fi fie corelate, fie necorelate. Din independența a două mărimi rezultă necorelația lor, dar din necorelare este încă imposibil de concluzionat că aceste mărimi sunt independente (pentru mărimile normal distribuite, independența lor decurge din necorelatitatea acestor mărimi).

Pentru cantități continue Momentul de corelație X și Y poate fi găsit prin formulele:

239. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y) este dată:

Aflați: a) așteptări matematice; b) varianţele componentelor X şi Y.

240. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue (X, Y) este dată:

Găsiți așteptările și variațiile matematice ale componentelor.

241. Densitatea distribuției comune a unei variabile aleatoare bidimensionale continue ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx confortabil pătrat 0 ≤ X≤p/4, 0 ≤ y≤p/4; în afara pieţei f(x, y)= 0. Aflați așteptările matematice ale componentelor.

242. Demonstrați că dacă densitatea de probabilitate bidimensională a unui sistem de variabile aleatoare ( X Y) poate fi reprezentat ca un produs a două funcții, dintre care una depinde numai de X, iar celălalt - numai din y, apoi cantitățile XȘi Y independent.

243. Demonstraţi că dacă XȘi Y conectat dependență liniară Y = topor + b, atunci valoarea absolută a coeficientului de corelație este egală cu unu.

Soluţie. Prin definiția coeficientului de corelație,

r xy = m xy / (s x s y).

m xу = M( ∙ ). (*)

Să găsim așteptările matematice Y:

M(Y) = M = aM(X) + b. (**)

Înlocuind (**) în (*), după transformări elementare primim

m xy \u003d aM 2 \u003d aD (X) \u003d ca 2 x.

Dat fiind

Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,

găsiți varianța Y:

D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .

De aici s y = |a|s x. Prin urmare, coeficientul de corelație

Dacă A> 0, atunci rxy= 1; Dacă A < 0, то rxy = –1.

Deci, | rxy| = 1, ceea ce urma să fie demonstrat.

O pereche ordonată (X , Y) de variabile aleatoare X și Y se numește o variabilă aleatoare bidimensională sau un vector aleator al unui spațiu bidimensional. O variabilă aleatoare bidimensională (X,Y) se mai numește și un sistem de variabile aleatoare X și Y. Mulțimea tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare discrete cu probabilitățile lor se numește legea de distribuție a acestei variabile aleatoare. O variabilă aleatoare bidimensională discretă (X, Y) este considerată dată dacă legea sa de distribuție este cunoscută:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Atribuirea serviciului. Folosind serviciul, conform unei legi de distribuție date, puteți găsi:

• seriile de distribuție X și Y, așteptarea matematică M[X], M[Y], varianța D[X], D[Y];
• covarianța cov(x,y), coeficientul de corelație r x,y , seria de distribuție condiționată X, așteptarea condiționată M;

Instruire. Precizați dimensiunea matricei de distribuție a probabilității (număr de rânduri și coloane) și forma acesteia. Soluția rezultată este salvată într-un fișier Word.

Exemplul #1. O variabilă aleatoare discretă bidimensională are un tabel de distribuție:

Soluţie. Găsim valoarea q din condiția Σp ij = 1
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. De unde q = 0,09

Folosind formula ∑P(x i,y j) = p i(j=1..n), găsiți seria de distribuție X.

covarianta cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0.11 + 3 10 0.12 + 4 10 0.03 + 2 20 0.13 + 3 20 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 0.02 + 1 30 0.02 + 0.02 + 0.03 + 0. 0 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Coeficient de corelație rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

Exemplul 2 . Date prelucrare statistică informatiile referitoare la doi indicatori X si Y sunt reflectate in tabelul de corelatie. Necesar:

1. scrieți seriile de distribuție pentru X și Y și calculați mediile eșantionului și abaterile standard ale eșantionului pentru acestea;
2. scrieți seria de distribuție condiționată Y/x și calculați mediile condiționate Y/x;
3. descrieți grafic dependența mediilor condiționate Y/x de valorile lui X;
4. se calculează coeficientul de corelație al eșantionului Y pe X;
5. scrieți un exemplu de ecuație de regresie directă;
6. reprezentați geometric datele tabelului de corelare și construiți o linie de regresie.

Așteptări condiționate M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Varianta condiționată D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Legea distribuției condiționate X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Așteptări condiționate M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Legea distribuției condiționate X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Așteptări condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Legea distribuției condiționate X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Așteptări condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Legea distribuției condiționate X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Așteptări condiționate M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Varianta condiționată D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Legea distribuției condiționate Y.
Legea distribuției condiționate Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Așteptări condiționate M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Varianta condiționată D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Legea distribuției condiționate Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Așteptări condiționate M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Varianta condiționată D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Legea distribuției condiționate Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Așteptări condiționate M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Legea distribuției condiționate Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Așteptare condiționată M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Legea distribuției condiționate Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Așteptări condiționate M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Legea distribuției condiționate Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Așteptări condiționate M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Varianta condiționată D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
covarianta.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 21 3 + 40 31 6 + 6 + 6 3 0 3 6 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Dacă variabilele aleatoare sunt independente, atunci covarianța lor este zero. În cazul nostru cov(X,Y) ≠ 0.
Coeficient de corelație.


Ecuația de regresie liniară de la y la x este:

Ecuația de regresie liniară de la x la y este:

Găsiți caracteristicile numerice necesare.
Eșantion înseamnă:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
dispersii:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3))/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
De unde obținem abaterile standard:
σ x = 9,99 și σ y = 4,9
si covarianta:
Cov(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 21 3 + 40 31 + 6 + 6 3 6 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Să definim coeficientul de corelație:


Să scriem ecuațiile dreptelor de regresie y(x):

și calculând, obținem:
yx = 0,38x + 9,14
Să scriem ecuațiile dreptelor de regresie x(y):

și calculând, obținem:
x y = 1,59 y + 2,15
Dacă construim punctele definite de tabel și de liniile de regresie, vom vedea că ambele drepte trec prin punctul cu coordonate (42.3; 25.3) iar punctele sunt situate aproape de liniile de regresie.
Semnificația coeficientului de corelație.

Conform tabelului Student cu nivelul de semnificație α=0,05 și grade de libertate k=100-m-1 = 98 găsim t crit:
t crit (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
unde m = 1 este numărul de variabile explicative.
Dacă t obs > t este critic, atunci valoarea obținută a coeficientului de corelație este recunoscută ca semnificativă (se respinge ipoteza nulă care afirmă că coeficientul de corelație este egal cu zero).
Deoarece t obl > t crit, respingem ipoteza că coeficientul de corelație este egal cu 0. Cu alte cuvinte, coeficientul de corelație este semnificativ statistic.

Exercițiu. Numărul de accesări ale perechilor de valori ale variabilelor aleatoare X și Y în intervalele corespunzătoare este prezentat în tabel. Din aceste date, găsiți coeficientul de corelație al eșantionului și ecuațiile eșantionului ale dreptelor de regresie Y pe X și X pe Y.
Soluţie

Exemplu. Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare bidimensionale (X, Y) este dată de un tabel. Aflați legile de distribuție a mărimilor componente X, Y și coeficientul de corelație p(X, Y).
Descărcați soluția

Exercițiu. 2D cantitate discretă(X, Y) este dat de legea distribuției. Găsiți legile de distribuție ale componentelor X și Y, covarianța și coeficientul de corelație.

Set de variabile aleatoare X 1 ,X 2 ,...,X p definite pe formele spațiului de probabilitate (). P- variabilă aleatoare dimensională ( X 1 ,X 2 ,...,X p). Dacă proces economic este descris folosind două variabile aleatorii X 1 și X 2, atunci se determină o variabilă aleatoare bidimensională ( X 1 ,X 2)sau( X,Y).

funcția de distribuție sisteme de două variabile aleatorii ( X,Y), considerată în funcție de variabile este probabilitatea producerii unui eveniment. :

Valorile funcției de distribuție satisfac inegalitatea

Din punct de vedere geometric, funcția de distribuție F(X,y) determină probabilitatea ca un punct aleatoriu ( X,Y) va cădea într-un cadran infinit cu vârf în punctul ( X,la), din moment ce punctul ( X,Y) va fi sub și la stânga vârfului specificat (Fig. 9.1).

X,Y) într-o semibandă (Figura 9.2) sau într-o semibandă (Figura 9.3) se exprimă prin formulele:

respectiv. Probabilitatea de a atinge valori X,Y) într-un dreptunghi (Fig. 9.4) poate fi găsită prin formula:

Fig.9.2 Fig.9.3 Fig.9.4

Discret numită mărime bidimensională, ale cărei componente sunt discrete.

legea distributiei variabilă aleatoare discretă bidimensională ( X,Y) este setul de valori posibile ( x i, y j), , variabile aleatoare discrete XȘi Yși probabilitățile corespunzătoare acestora care caracterizează probabilitatea ca componenta X va căpăta sensul x i si in acelasi timp componenta Y va căpăta sensul y j, și

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete bidimensionale ( X,Y) sunt date sub forma unui tabel. 9.1.

Tabelul 9.1

Ω X Ω Y	X 1	X 2	…	x i	…
y 1	p(X 1 ,y 1)	p(X 2 ,y 1)	…	p( x i,y 1)	…
y 2	p(X 1 ,y 2)	p(X 2 ,y 2)	…	p( x i,y 2)	…
…	…	…	…	…	…
y eu	p(X 1 ,y eu)	p(X 2 ,y eu)	…	p( x i,y eu)	…
…	…	…	…	…	…

continuu este o variabilă aleatoare bidimensională ale cărei componente sunt continue. Funcţie R(X,la) egal cu limita raportului dintre probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare bidimensională ( X,Y) la un dreptunghi cu laturi și la aria acestui dreptunghi, atunci când ambele laturi ale dreptunghiului tind spre zero, se numește densitatea distribuției de probabilitate:

Cunoscând densitatea distribuției, puteți găsi funcția de distribuție prin formula:

În toate punctele în care există o derivată mixtă de ordinul doi a funcției de distribuție , densitatea distribuției de probabilitate poate fi găsit folosind formula:

Probabilitatea de a atinge un punct aleatoriu ( X,la) către zonă D este definit de egalitatea:

Probabilitatea ca variabila aleatoare X a căpătat sensul X<х cu condiţia ca variabila aleatoare Y a luat o valoare fixă Y=y, se calculează prin formula:

De asemenea,

Formule pentru calcularea densităților de distribuție de probabilitate condiționată a componentelor XȘi Y :

Set de probabilități condiționate p(X 1 |y eu), p(X 2 |y eu), …, p(x i |y i), … îndeplinind condiția Y=y i, se numește distribuția condiționată a componentei X la Y=y iX,Y), Unde

În mod similar, distribuția condiționată a componentei Y la X=x i variabilă aleatoare bidimensională discretă ( X,Y) este un set de probabilități condiționate corespunzătoare condiției X=x i, Unde

Momentul inițial al comenziik+s variabilă aleatoare bidimensională ( X,Y și , adică .

Dacă XȘi Y- variabile aleatoare discrete, atunci

Dacă XȘi Y- variabile aleatoare continue, atunci

Moment central Ordin k+s variabilă aleatoare bidimensională ( X,Y) se numește așteptarea produselor Și ,acestea.

Dacă mărimile constitutive sunt discrete, atunci

Dacă cantitățile constitutive sunt continue, atunci

Unde R(X,y) este densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale ( X,Y).

Așteptarea condiționatăY(X)la X=x(la Y=y) se numește expresie de forma:

– pentru o variabilă aleatoare discretă Y(X);

– pentru o variabilă aleatoare continuă Y(X).

Aşteptări matematice ale componentelor XȘi Y variabile aleatoare bidimensionale sunt calculate prin formulele:

moment de corelare variabile aleatoare independente XȘi Y, inclusă în variabila aleatoare bidimensională ( X,Y), se numește așteptarea matematică a produselor abaterilor acestor mărimi:

Momentul de corelare a două variabile aleatoare independente XX,Y) este egal cu zero.

Coeficient de corelație variabile aleatoare Xși Y incluse într-o variabilă aleatoare bidimensională ( X,Y), ei numesc raportul dintre momentul de corelare și produsul abaterilor standard ale acestor mărimi:

Coeficientul de corelație caracterizează gradul (etanșeitatea) dependenței de corelație liniară între XȘi Y.Variabile aleatoare pentru care , se numesc necorelate.

Coeficientul de corelație satisface proprietățile:

1. Coeficientul de corelație nu depinde de unitățile de măsură ale variabilelor aleatoare.

2. Valoarea absolută a coeficientului de corelație nu depășește unu:

3. Dacă atunci între componente XȘi Y variabilă aleatorie ( X, Y) există o dependență funcțională liniară:

4. Dacă atunci componente XȘi Y variabile aleatoare bivariate sunt necorelate.

5. Dacă atunci componente XȘi Y variabile aleatoare bidimensionale sunt dependente.

Ecuații M(X|Y=y)=φ( la)Și M(Y|X=x)=ψ( X) se numesc ecuații de regresie, iar liniile definite de acestea se numesc drepte de regresie.

Sarcini

9.1. Variabilă aleatoare discretă bidimensională (X Y) dat de legea distributiei:

Tabelul 9.2

Ω x Ω y
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

Aflați: a) legile distribuției componentelor XȘi Y;

b) legea distribuţiei condiţionate a cantităţii Y la X =1;

c) funcţia de distribuţie.

Aflați dacă cantitățile sunt independente XȘi Y. Calculați probabilitatea și caracteristicile numerice de bază M(X),M(Y),D(X),D(Y),R(X,Y), .

Soluţie. a) Variabile aleatoare Xși Y sunt definite pe setul format din rezultate elementare, care are forma:

eveniment ( X= 1) corespunde un set de astfel de rezultate pentru care prima componentă este egală cu 1: (1;0), (1;1), (1;2). Aceste rezultate sunt incompatibile. Probabilitatea ca X va căpăta sensul x i, conform axiomei 3 a lui Kolmogorov, este egal cu:

În mod similar

Prin urmare, distribuția marginală a componentei X, poate fi dat sub forma unui tabel. 9.3.

Tabelul 9.3

b) Mulțimea probabilităților condiționate R(1;0), R(1;1), R(1;2) satisfacerea condiției X=1, se numește distribuția condiționată a componentei Y la X=1. Probabilitatea valorilor mărimii Y la X=1 găsim folosind formula:

Din moment ce, atunci, înlocuind valorile probabilităților corespunzătoare, obținem

Deci, distribuția condiționată a componentei Y la X=1 arată astfel:

Tabelul 9.5

y j
	0,48	0,30	0,22

Deoarece legile distribuției condiționate și necondiționate nu coincid (vezi tabelele 9.4 și 9.5), atunci mărimile XȘi Y dependent. Această concluzie este confirmată de faptul că egalitatea

pentru orice pereche de valori posibile XȘi Y.

De exemplu,

c) Funcția de distribuție F(X,y) a unei variabile aleatoare bidimensionale (X Y) se pare ca:

unde însumarea se realizează pe toate punctele (), pentru care inegalitățile sunt satisfăcute simultan x i Și y j . Atunci, pentru o lege de distribuție dată, obținem:

Este mai convenabil să prezentați rezultatul sub forma tabelului 9.6.

Tabelul 9.6

X y
		0,20	0,35	0,43	0,48
		0,30	0,5	0,63	0,78
		0,35	0,62	0,83

Folosim formulele pentru momentele inițiale și rezultatele din tabelele 9.3 și 9.4 și calculăm așteptările matematice ale componentelor XȘi Y:

Dispersiile sunt calculate prin al doilea moment inițial și rezultatele din tabel. 9.3 și 9.4:

Pentru a calcula covarianța LA(X Y) folosim o formulă similară în ceea ce privește momentul inițial:

Coeficientul de corelație este determinat de formula:

Probabilitatea dorită este definită ca probabilitatea de a cădea într-o regiune a planului, definită de inegalitatea corespunzătoare:

9.2. Nava transmite un mesaj SOS, care poate fi primit de două posturi de radio. Acest semnal poate fi recepționat de un post de radio independent de celălalt. Probabilitatea ca semnalul să fie recepționat de primul post de radio este de 0,95; probabilitatea ca semnalul să fie recepționat de al doilea post de radio este de 0,85. Aflați legea de distribuție a unei variabile aleatoare bidimensionale care caracterizează recepția unui semnal de către două stații radio. Scrieți o funcție de distribuție.

Soluţie: Lăsa X– un eveniment constând în faptul că semnalul este recepţionat de primul post de radio. Y– evenimentul este că semnalul este recepționat de al doilea post de radio.

Multe valori .

X=1 – semnal primit de primul post de radio;

X=0 – semnalul nu a fost primit de primul post de radio.

Multe valori .

Y=l – semnal primit de al doilea post de radio,

Y=0 – semnalul nu a fost recepționat de al doilea post de radio.

Probabilitatea ca semnalul să nu fie recepționat nici de primul, nici de cel de-al doilea post de radio este egală cu:

Probabilitatea de a primi semnalul de către primul post de radio:

Probabilitatea ca semnalul să fie recepționat de al doilea post de radio:

Probabilitatea ca semnalul să fie recepţionat atât de primul cât şi de cel de-al doilea post de radio este egală cu: .

Atunci legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale este egală cu:

y X
	0,007	0,142
	0,042	0,807

X,y) sens F(X,y) este egală cu suma probabilităților acelor valori posibile ale variabilei aleatoare ( X,Y) care se încadrează în interiorul dreptunghiului specificat.

Apoi funcția de distribuție va arăta astfel:

9.3. Două firme produc același produs. Fiecare, independent de celălalt, poate decide să modernizeze producția. Probabilitatea ca prima firmă să fi luat această decizie este de 0,6. Probabilitatea de a lua o astfel de decizie de către a doua firmă este de 0,65. Scrieți legea distribuției unei variabile aleatoare bidimensionale care caracterizează decizia de modernizare a producției a două firme. Scrieți o funcție de distribuție.

Răspuns: Legea distributiei:

	0,14	0,21
	0,26	0,39

Pentru fiecare valoare fixă ​​a punctului cu coordonate ( X,y) valoarea este egală cu suma probabilităților acelor valori posibile care se încadrează în dreptunghiul specificat .

9.4. Segurile de piston pentru motoarele auto sunt realizate pe un strung automat. Se măsoară grosimea inelului (valoare aleatorie X) și diametrul găurii (valoare aleatorie Y). Aproximativ 5% din toate segmentele de piston sunt cunoscute ca fiind defecte. Mai mult, 3% dintre rebuturi se datorează diametrelor de găuri nestandard, 1% - grosimi nestandard și 1% - sunt respinse din ambele motive. Găsiți: distribuția comună a unei variabile aleatoare bidimensionale ( X,Y); distribuții de componente unidimensionale XȘi Y;aşteptările componentelor XȘi Y; momentul de corelație și coeficientul de corelație între componente XȘi Y variabilă aleatoare bidimensională ( X,Y).

Răspuns: Legea distributiei:

	0,01	0,03
	0,01	0,95

; ; ; ; ; .

9.5. În producția fabricii, căsătoria din cauza unui defect A este de 4% și din cauza unui defect ÎN- 3,5%. Producția standard este de 96%. Determinați ce procent din toate produsele au defecte de ambele tipuri.

9.6. Valoare aleatoare ( X,Y) distribuite cu o densitate constantă în interiorul pătratului R, ale căror vârfuri au coordonate (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Determinați densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare ( X,Y) și densitățile de distribuție condiționată R(X\la), R(la\X).

Soluţie. Să construim pe un avion X 0y un pătrat dat (Fig. 9.5) și determinați ecuațiile laturilor pătratului ABCD folosind ecuația unei drepte care trece prin două puncte date: Înlocuind coordonatele vârfurilor AȘi ÎN obţinem succesiv ecuaţia laturii AB: sau .

În mod similar, găsim ecuația laturii soare: ;latură CD: si laturi DA: . : .D X , Y) este o emisferă centrată la originea razei R.Aflați densitatea distribuției de probabilitate.

Răspuns:

9.10. O variabilă aleatoare bidimensională discretă este dată:

	0,25	0,10
	0,15	0,05
	0,32	0,13

Aflați: a) legea distribuției condiționate X, cu conditia ca y= 10;

b) legea distribuţiei condiţionate Y, cu conditia ca X =10;

c) așteptare matematică, varianță, coeficient de corelație.

9.11. Variabilă aleatoare bidimensională continuă ( X,Y) este distribuit uniform în interiorul unui triunghi dreptunghic cu vârfuri DESPRE(0;0), A(0;8), ÎN(8,0).

Aflați: a) densitatea distribuției de probabilitate;