Variabila aleatoare are o densitate de distribuție a formei. Caracteristici numerice. Probabilitate densitate

După cum se știe, variabilă aleatorie numit variabil, care poate lua anumite valori în funcție de caz. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule ale alfabetului latin (X, Y, Z), iar valorile lor - cu literele mici corespunzătoare (x, y, z). Variabilele aleatoare sunt împărțite în discontinue (discrete) și continue.

Variabilă aleatorie discretă numit valoare aleatorie, care ia doar un set finit sau infinit (numărabil) de valori cu anumite probabilități diferite de zero.

Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este o funcție care conectează valorile unei variabile aleatoare cu probabilitățile corespunzătoare. Legea distribuției poate fi specificată în una din următoarele moduri.

1 . Legea distribuției poate fi dată de tabelul:

unde λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V) prin utilizarea funcția de distribuție F(x) , care determină pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia o valoare mai mică decât x, adică. F(x) = P(X< x).

Proprietățile funcției F(x)

3 . Legea distribuției poate fi stabilită grafic – poligon de distribuție (poligon) (vezi problema 3).

Rețineți că pentru a rezolva unele probleme nu este necesar să cunoașteți legea distribuției. În unele cazuri, este suficient să cunoașteți unul sau mai multe numere care reflectă cele mai importante caracteristici ale legii distribuției. Poate fi un număr care are semnificația „valorii medii” a unei variabile aleatoare sau un număr care arată dimensiunea medie a abaterii unei variabile aleatoare de la valoarea sa medie. Numerele de acest fel sunt numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatorii.

Caracteristicile numerice de bază ale unei variabile aleatoare discrete :

• Așteptări matematice (valoarea medie) a unei variabile aleatoare discrete M(X)=Σ x i p i.
  Pentru distribuția binomială M(X)=np, pentru distribuția Poisson M(X)=λ
• Dispersia variabilă aleatoare discretă D(X)=M2 sau D(X) = M(X 2) − 2. Diferența X–M(X) se numește abaterea unei variabile aleatoare de la așteptările ei matematice.
  Pentru distribuția binomială D(X)=npq, pentru distribuția Poisson D(X)=λ
• Deviație standard (deviație standard) σ(X)=√D(X).

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete”

Sarcina 1.

Au fost emise 1.000 de bilete de loterie: 5 dintre ele vor câștiga 500 de ruble, 10 vor câștiga 100 de ruble, 20 vor câștiga 50 de ruble și 50 vor câștiga 10 ruble. Determinați legea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare X - câștiguri pe bilet.

Soluţie. În funcție de starea problemei, sunt posibile următoarele valori ale variabilei aleatoare X: 0, 10, 50, 100 și 500.

Numărul de bilete fără câștig este 1000 - (5+10+20+50) = 915, apoi P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

În mod similar, găsim toate celelalte probabilități: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=0,01). =500) = 5/1000=0,005. Prezentăm legea rezultată sub forma unui tabel:

Sa gasim valorea estimata valorile X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Sarcina 3.

Dispozitivul este format din trei elemente de operare independentă. Probabilitatea de eșec a fiecărui element dintr-un experiment este de 0,1. Întocmește o lege de distribuție pentru numărul de elemente eșuate într-un experiment, construiește un poligon de distribuție. Găsiți funcția de distribuție F(x) și trasați-o. Aflați așteptările matematice, varianța și abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete.

Soluţie. 1. Variabila aleatorie discretă X=(numărul de elemente eșuate într-un experiment) are următoarele valori posibile: x 1 =0 (niciunul dintre elementele dispozitivului nu a eșuat), x 2 =1 (un element a eșuat), x 3 =2 ( două elemente au eșuat ) și x 4 \u003d 3 (trei elemente au eșuat).

Eșecurile elementelor sunt independente unele de altele, probabilitățile de eșec ale fiecărui element sunt egale între ele, prin urmare, este aplicabil formula lui Bernoulli . Având în vedere că, prin condiție, n=3, p=0,1, q=1-p=0,9, determinăm probabilitățile valorilor:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Verificați: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Astfel, cel dorit legea binomială distribuția X are forma:

Pe axa absciselor, graficăm valorile posibile x i, iar pe axa ordonatelor, probabilitățile corespunzătoare р i . Să construim punctele M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Conectând aceste puncte cu segmente de linie, obținem poligonul de distribuție dorit.

3. Aflați funcția de distribuție F(x) = P(X

Graficul funcției F(x)

4. Pentru distribuția binomială X:
- așteptarea matematică М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersia D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- abaterea standard σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Sarcina 2. Aflați varianța variabilei aleatoare X dată de funcția integrală.

Sarcina 3. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X dată de o funcție de distribuție.

Sarcina 4. Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare este dată astfel: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Găsiți coeficientul A , funcția de distribuție F(x) , așteptarea și varianța matematică, precum și probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare în intervalul . Trasează graficele f(x) și F(x).

Sarcină. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată după cum urmează:

Determinați parametrii a și b , găsiți expresia pentru densitatea de probabilitate f(x) , așteptarea și varianța matematică, precum și probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare în intervalul . Trasează graficele f(x) și F(x).

Să găsim funcția de densitate de distribuție ca o derivată a funcției de distribuție.
F′=f(x)=a
Știind că vom găsi parametrul a:

sau 3a=1, de unde a = 1/3
Găsim parametrul b din următoarele proprietăți:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 de unde b = -1/3
Prin urmare, funcția de distribuție este: F(x) = (x-1)/3

Exemplul #1. Este dată densitatea distribuției de probabilitate f(x) a unei variabile aleatoare continue X. Necesar:

1. Determinați coeficientul A .
2. găsiți funcția de distribuție F(x) .
3. reprezentați schematic F(x) și f(x) .
4. găsiți așteptarea și varianța matematică a lui X .
5. găsiți probabilitatea ca X să ia o valoare din intervalul (2;3).

Variabila aleatoare X este dată de densitatea distribuției f(x):

Să verificăm dacă este îndeplinită cerința de mărginire uniformă a varianței. Să scriem legea distribuției :

Să găsim așteptările matematice
:

Să găsim variația
:

Această funcție este în creștere, așa că pentru a calcula constanta de limitare a varianței, puteți calcula limita:

Astfel, varianțele variabilelor aleatoare date sunt nemărginite, ceea ce urma să fie demonstrat.

B) Din formularea teoremei lui Cebyshev rezultă că cerința mărginirii uniforme a variațiilor este o condiție suficientă, dar nu necesară, prin urmare nu se poate susține că această teoremă nu poate fi aplicată unei anumite secvențe.

Secvența variabilelor aleatoare independente Х 1 , Х 2 , …, Х n , … este dată de legea distribuției

D(X n)=M(X n 2)- 2 ,

rețineți că M(X n)=0, vom găsi (calculele sunt lăsate la latitudinea cititorului)

Să presupunem temporar că n se modifică continuu (pentru a sublinia această ipoteză, notăm n cu x) și examinăm funcția φ(x)=x 2 /2 x-1 pentru un extremum.

Echivalând prima derivată a acestei funcții cu zero, găsim punctele critice x 1 \u003d 0 și x 2 \u003d ln 2.

Renunțăm la primul punct ca neinteresant (n nu ia o valoare egală cu zero); este uşor de observat că în punctele x 2 =2/ln 2 funcţia φ(x) are un maxim. Având în vedere că 2/ln 2 ≈ 2,9 și că N este un întreg pozitiv, se calculează varianța D(X n)= (n 2 /2 n -1)α 2 pentru numerele întregi cele mai apropiate de 2,9 (stânga și dreapta), t . e. pentru n=2 și n=3.

La n=2, dispersia D(X2)=2a2, la n=3, dispersia D(X3)=9/4a2. Evident,

(9/4)α 2 > 2α 2 .

Astfel, cea mai mare varianță posibilă este egală cu (9/4)α 2 , adică. varianțele variabilelor aleatoare Хn sunt limitate uniform de numărul (9/4)α 2 .

Secvența variabilelor aleatoare independente X 1 , X 2 , …, X n , … este dată de legea distribuției

Este teorema lui Cebyshev aplicabilă unei anumite secvențe?

Cometariu. Deoarece variabilele aleatoare X sunt distribuite egal și independente, cititorul familiarizat cu teorema lui Khinchin se poate limita la calcularea așteptărilor matematice și se poate asigura că aceasta s-a terminat.

Deoarece variabilele aleatoare X n sunt independente, ele sunt chiar mai mult și independente pe perechi, adică. prima cerinţă a teoremei lui Cebişev este îndeplinită.

Este ușor de găsit că M(X n)=0, adică prima cerință a caracterului finit al așteptărilor matematice este satisfăcută.

Rămâne de verificat fezabilitatea cerinței de limitare uniformă a variațiilor. Conform formulei

D(X n)=M(X n 2)- 2 ,

rețineți că M(X n)=0, găsim

Astfel, cea mai mare varianță posibilă este 2, adică. dispersiile variabilelor aleatoare Х n sunt limitate uniform de numărul 2.

Deci, toate cerințele teoremei Chebyshev sunt îndeplinite, prin urmare, această teoremă este aplicabilă șirului luat în considerare.

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în intervalul (0, 1/3).

Variabila aleatoare Х este dată pe toată axa Оx de funcția distribuită F(x)=1/2+(arctg x)/π. Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în intervalul (0, 1).

Probabilitatea ca X să ia valoarea conținută în intervalul (a, b) este egală cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval: P(a

P(0< Х <1) = F(1)-F(0) = x =1 - x =0 = 1/4

Funcția de distribuție X variabilă aleatoare

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în intervalul (-1, 1).

Probabilitatea ca X să ia valoarea conținută în intervalul (a, b) este egală cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval: P(a

P(-1< Х <1) = F(1)-F(-1) = x =-1 – x =1 = 1/3.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X (timp de funcționare a unui dispozitiv) este egală cu F(x)=1-e -x/ T (x≥0). Găsiți probabilitatea de funcționare fără defecțiuni a dispozitivului pentru timpul x≥T.

Probabilitatea ca X să ia valoarea conținută în intervalul x≥T este egală cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval: P(0

P(x≥T) = 1 - P(T

Variabila aleatoare X este dată de funcția de distribuție

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, X să capete o valoare: a) mai mică de 0,2; b) mai puțin de trei; c) cel puțin trei; d) cel puțin cinci.

a) Deoarece pentru x≤2 funcția F(x)=0, atunci F(0, 2)=0, i.e. P(x< 0, 2)=0;

b) P(X< 3) = F(3) = x =3 = 1.5-1 = 0.5;

c) evenimentele Х≥3 și Х<3 противоположны, поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая, что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;

d) suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu, deci P(X≥5) + P(X<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>Cu funcția F(x)=1, obținem P(X≥5) = 1-P(X<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.

Variabila aleatoare X este dată de funcția de distribuție

Găsiți probabilitatea ca, în urma a patru încercări independente, valoarea lui X să ia exact de trei ori o valoare care aparține intervalului (0,25, 0,75).

Probabilitatea ca X să ia valoarea conținută în intervalul (a, b) este egală cu incrementul funcției de distribuție pe acest interval: P(a

P(0,25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5

Prin urmare, sau De aici, sau.

Variabila aleatoare X este dată pe toată axa Ox de funcția de distribuție. Găsiți o posibilă valoare care să îndeplinească condiția: cu o probabilitate aleatorie X ca rezultat al testului va lua o valoare mai mare decât

Soluţie. Evenimentele și sunt opuse, prin urmare. Prin urmare, . De atunci .

Prin definiția funcției de distribuție, .

Prin urmare, sau . De aici, sau.

Variabila aleatoare discretă X este dată de legea distribuției

Deci, funcția de distribuție dorită are forma

Variabila aleatoare discretă X este dată de legea distribuției

Găsiți funcția de distribuție și desenați graficul acesteia.

Având în vedere funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X

Aflați densitatea distribuției f(x).

Densitatea distribuției este egală cu derivata întâi a funcției de distribuție:

Pentru x=0 derivata nu există.

O variabilă aleatoare continuă X este dată de densitatea distribuției în intervalul ; în afara acestui interval. Aflați probabilitatea ca X să ia o valoare care aparține intervalului .

Să folosim formula. După condiție și . Prin urmare, probabilitatea dorită

O variabilă aleatoare continuă X este dată de densitatea distribuției în interval; în afara acestui interval. Aflați probabilitatea ca X să ia o valoare care aparține intervalului .

Să folosim formula. După condiție și . Prin urmare, probabilitatea dorită

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X în intervalul (-π/2, π/2) este egală cu f(x)=(2/π)*cos2x ; în afara acestui interval f(x)=0. Aflați probabilitatea ca în trei încercări independente X să ia exact de două ori valoarea conținută în interval (0, π/4).

Folosim formula Р(a

P(0

Răspuns: π+24π.

fx=0, la x≤0cosx, la 0

Folosim formula

Dacă x ≤0, atunci f(x)=0, prin urmare,

F(x)=-∞00dx=0.

Daca 0

F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx.

Dacă x≥ π2 , atunci

F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1.

Deci, funcția de distribuție dorită

Fx=0, la x≤0sinx, la 0 π2.

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X este dată:

Fx=0, la x≤0sinx, la 0 π2.

Găsiți funcția de distribuție F(x).

Folosim formula

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X este dată pe toată axa Oh de ecuația . Găsiți parametrul constant C.

.

. (*)

.

Prin urmare,

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue este dată pe întreaga axă de egalitatea Găsiți parametrul constant C.

Soluţie. Densitatea de distribuție trebuie să îndeplinească condiția . Cerem ca această condiție să fie îndeplinită pentru funcția dată:

.

. (*)

Să găsim mai întâi integrala nedefinită:

.

Apoi calculăm integrala improprie:

Prin urmare,

Înlocuind (**) în (*), obținem în sfârșit .

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X în interval este ; în afara acestui interval f(x) = 0. Aflați parametrul constant C.

.

. (*)

Să găsim mai întâi integrala nedefinită:

Apoi calculăm integrala improprie:

(**)

Înlocuind (**) în (*), obținem în sfârșit .

Densitatea de distribuție a unei variabile aleatoare continue X este dată în interval de egalitatea ; în afara acestui interval f(x) = 0. Aflați parametrul constant C.

Soluţie. Densitatea distribuției trebuie să îndeplinească condiția , dar întrucât f(x) în afara intervalului este egal cu 0, este suficient să îndeplinească: Cerem ca această condiție să fie îndeplinită pentru funcția dată:

.

. (*)

Să găsim mai întâi integrala nedefinită:

Apoi calculăm integrala improprie:

(**)

Înlocuind (**) în (*), obținem în sfârșit .

Variabila aleatoare X este dată de densitatea distribuției ƒ(x) = 2x în intervalul (0,1); în afara acestui interval ƒ(x) = 0. Aflați așteptarea matematică a lui X.

R soluţie. Folosim formula

Înlocuind a = 0, b = 1, ƒ(x) = 2x, obținem

Raspuns: 2/3.

Variabila aleatoare X este dată de densitatea distribuției ƒ(x) = (1/2)x în intervalul (0;2); în afara acestui interval ƒ(x) = 0. Aflați așteptarea matematică a lui X.

R soluţie. Folosim formula

Înlocuind a = 0, b = 2, ƒ(x) = (1/2)x, obținem

M(X) = = 4/3

Raspuns: 4/3.

Variabila aleatoare X în intervalul (–s, s) este dată de densitatea distribuției

ƒ (x) = ; în afara acestui interval ƒ(x) = 0. Aflați așteptarea matematică a lui X.

R soluţie. Folosim formula

Înlocuind a = –с, b = c, ƒ(x) = , obținem

Considerând că integrandul este impar și limitele integrării sunt simetrice față de origine, concluzionăm că integrala este egală cu zero. Prin urmare, M(X) = 0.

Acest rezultat poate fi obținut imediat dacă ținem cont de faptul că curba de distribuție este simetrică față de dreapta x = 0.

Variabila aleatoare X în intervalul (2, 4) este dată de densitatea distribuției f(x)=

. Din aceasta se poate observa ca la x=3 densitatea distributiei atinge un maxim; prin urmare, . Curba de distribuție este simetrică față de dreapta x=3, deci și .

Variabila aleatoare X în intervalul (3, 5) este dată de densitatea distribuției f(x)= ; în afara acestui interval f(x)=0. Găsiți modul, media și mediana lui X.

Soluţie. Reprezentăm densitatea de distribuție în formă . Din aceasta se poate observa ca la x=3 densitatea distributiei atinge un maxim; prin urmare, . Curba de distribuție este simetrică față de dreapta x=4, deci și .

Variabila aleatoare X în intervalul (-1, 1) este dată de densitatea distribuției ; în afara acestui interval f(x)=0. Găsiți: a) modă; b) mediana X.

Exemple de rezolvare a problemelor pe tema „Variabile aleatoare”.

Sarcină 1 . Sunt 100 de bilete emise la loterie. S-a jucat o victorie de 50 USD. și zece câștiguri de 10 USD fiecare. Aflați legea distribuției valorii X - costul unui posibil câștig.

Soluţie. Valori posibile ale lui X: x 1 = 0; X 2 = 10 și x 3 = 50. Deoarece există 89 de bilete „goale”, atunci p 1 = 0,89, probabilitatea de castig este de 10 c.u. (10 bilete) – p 2 = 0,10 și pentru un câștig de 50 c.u. –p 3 = 0,01. Prin urmare:

Ușor de controlat: .

Sarcină 2. Probabilitatea ca cumpărătorul să se fi familiarizat în avans cu reclama produsului este de 0,6 (p = 0,6). Controlul selectiv al calității reclamei este efectuat prin sondajul cumpărătorilor înaintea primului care a studiat reclama în prealabil. Faceți o serie de distribuție a numărului de cumpărători intervievați.

Soluţie. După condiţia problemei p = 0,6. Din: q=1 -p = 0,4. Înlocuind aceste valori, obținem:și construiți o serie de distribuție:

Sarcină 3. Un computer este format din trei elemente care funcționează independent: o unitate de sistem, un monitor și o tastatură. Cu o singură creștere bruscă a tensiunii, probabilitatea de defecțiune a fiecărui element este de 0,1. Pe baza distribuției Bernoulli, întocmește legea distribuției pentru numărul de elemente defectate în timpul unei supratensiuni în rețea.

Soluţie. Considera distribuția Bernoulli(sau binom): probabilitatea ca în n teste, evenimentul A va apărea exact k o singura data: , sau:

ÎN să revenim la sarcină.

Valori posibile ale lui X (număr de defecțiuni):

x 0 =0 - niciunul dintre elemente nu a eșuat;

x 1 =1 - defectarea unui element;

x 2 =2 - defectarea a două elemente;

x 3 =3 - defectarea tuturor elementelor.

Deoarece, prin condiție, p = 0,1, atunci q = 1 – p = 0,9. Folosind formula Bernoulli, obținem

, ,

, .

Control: .

Prin urmare, legea de distribuție dorită:

Sarcina 4. Produs 5000 de runde. Probabilitatea ca un cartuş să fie defect . Care este probabilitatea ca în întregul lot să fie exact 3 cartușe defecte?

Soluţie. Aplicabil Distribuția Poisson: această distribuție este utilizată pentru a determina probabilitatea ca, având în vedere un foarte mare

număr de încercări (încercări în masă), în fiecare dintre ele probabilitatea evenimentului A este foarte mică, evenimentul A va avea loc de k ori: , Unde .

Aici n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Găsim , apoi probabilitatea dorită: .

Sarcina 5. Când trageți înainte de prima lovitură cu probabilitatea de a lovi p = 0,6 pentru o lovitură, trebuie să găsiți probabilitatea ca lovitura să apară la a treia lovitură.

Soluţie. Să aplicăm distribuția geometrică: să fie efectuate încercări independente, în fiecare dintre ele evenimentul A are o probabilitate de apariție p (și de neapariție q = 1 - p). Încercările se încheie imediat ce apare evenimentul A.

În astfel de condiții, probabilitatea ca evenimentul A să se producă la testul k este determinată de formula: . Aici p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4;k \u003d 3. Prin urmare, .

Sarcina 6. Să fie dată legea de distribuție a unei variabile aleatoare X:

Găsiți așteptările matematice.

Soluţie. .

Rețineți că sensul probabilistic al așteptării matematice este valoarea medie a unei variabile aleatoare.

Sarcina 7. Aflați varianța unei variabile aleatoare X cu următoarea lege de distribuție:

Soluţie. Aici .

Legea distribuției pătratului lui X 2 :

Varianta necesară: .

Dispersia caracterizează gradul de abatere (împrăștiere) a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică.

Sarcina 8. Fie variabila aleatoare dată de distribuția:

Găsiți caracteristicile sale numerice.

Rezolvare: m, m 2 ,

M 2 , m.

Despre o variabilă aleatoare X, se poate spune fie - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o varianță de 13,04 m 2 , sau - așteptarea sa matematică este de 6,4 m cu o abatere de m. A doua formulare este evident mai clară.

Sarcină 9. Valoare aleatoare X dat de funcția de distribuție:
.

Aflați probabilitatea ca, în urma testului, valoarea X să capete o valoare cuprinsă în interval .

Soluţie. Probabilitatea ca X să ia o valoare dintr-un interval dat este egală cu incrementul funcției integrale în acest interval, i.e. . În cazul nostru și, prin urmare

.

Sarcină 10. Variabilă aleatorie discretă X dat de legea distributiei:

Găsiți funcția de distribuție F(x ) și construiește-i graficul.

Soluţie. Deoarece funcţia de distribuţie

Pentru , Acea

la ;

la ;

la ;

la ;

Graficul relevant:

Sarcina 11. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcția de distribuție diferențială: .

Găsiți probabilitatea de a lovi X la interval

Soluţie. Rețineți că acesta este un caz special al legii distribuției exponențiale.

Să folosim formula: .

Sarcină 12. Aflați caracteristicile numerice ale unei variabile aleatoare discrete X date de legea distribuției:

Variabilă aleatorie este o variabilă care poate lua anumite valori în funcție de diverse circumstanțe și variabila aleatoare se numeste continua , dacă poate lua orice valoare dintr-un interval mărginit sau nemărginit. Pentru o variabilă aleatoare continuă, este imposibil să se specifice toate valorile posibile, prin urmare, intervalele acestor valori care sunt asociate cu anumite probabilități sunt notate.

Exemple de variabile aleatoare continue sunt: ​​diametrul unei piese transformate la o dimensiune dată, înălțimea unei persoane, raza de acțiune a unui proiectil etc.

Deoarece pentru variabile aleatoare continue funcţia F(X), Spre deosebire de variabile aleatoare discrete, nu are salturi nicăieri, atunci probabilitatea oricărei valori unice a unei variabile aleatoare continue este egală cu zero.

Aceasta înseamnă că pentru o variabilă aleatoare continuă nu are sens să vorbim despre distribuția probabilității dintre valorile sale: fiecare dintre ele are probabilitate zero. Cu toate acestea, într-un anumit sens, printre valorile unei variabile aleatoare continue există „mai mult și mai puțin probabil”. De exemplu, este puțin probabil ca cineva să se îndoiască de faptul că valoarea unei variabile aleatoare - înălțimea unei persoane întâlnite aleatoriu - 170 cm - este mai probabilă decât 220 cm, deși una și cealaltă valoare pot apărea în practică.

Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue și densitatea de probabilitate

Ca lege de distribuție, care are sens numai pentru variabile aleatoare continue, este introdus conceptul de densitate de distribuție sau densitate de probabilitate. Să o abordăm comparând semnificația funcției de distribuție pentru o variabilă aleatoare continuă și pentru o variabilă aleatoare discretă.

Deci, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare (atât discrete cât și continue) sau funcţie integrală se numește funcție care determină probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare X mai mică sau egală cu valoarea limită X.

Pentru o variabilă aleatoare discretă în punctele valorilor sale X1 , X 2 , ..., X eu,... mase concentrate de probabilităţi p1 , p 2 , ..., p eu,..., iar suma tuturor maselor este egală cu 1. Să transferăm această interpretare în cazul unei variabile aleatoare continue. Imaginați-vă că o masă egală cu 1 nu este concentrată în puncte separate, ci este continuu „untată” de-a lungul axei x Bou cu o oarecare densitate neuniformă. Probabilitatea de a atinge o variabilă aleatoare pe orice site Δ X va fi interpretată ca masa atribuibilă acestei secțiuni, iar densitatea medie din această secțiune - ca raportul dintre masă și lungime. Tocmai am introdus un concept important în teoria probabilității: densitatea distribuției.

Probabilitate densitate f(X) a unei variabile aleatoare continue este derivata funcției sale de distribuție:

.

Cunoscând funcția de densitate, putem găsi probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue să aparțină intervalului închis [ A; b]:

probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul [ A; b], este egal cu o anumită integrală a densității sale de probabilitate în intervalul de la A inainte de b:

.

În acest caz, formula generală a funcției F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue, care poate fi utilizată dacă funcția de densitate este cunoscută f(X) :

.

Graficul densității de probabilitate a unei variabile aleatoare continue se numește curba de distribuție a acesteia (fig. de mai jos).

Aria figurii (umbrită în figură), delimitată de o curbă, linii drepte trase din puncte AȘi b perpendicular pe axa absciselor, iar pe axa Oh, afișează grafic probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare continue X se află în raza de A inainte de b.

Proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue

1. Probabilitatea ca o variabilă aleatorie să ia orice valoare din interval (și aria figurii, care este limitată de graficul funcției f(X) și axa Oh) este egal cu unu:

2. Funcția de densitate de probabilitate nu poate lua valori negative:

iar în afara existenței distribuției, valoarea acesteia este zero

Densitatea de distribuție f(X), precum și funcția de distribuție F(X), este una dintre formele legii distribuției, dar spre deosebire de funcția de distribuție, nu este universală: densitatea distribuției există doar pentru variabile aleatoare continue.

Să menționăm cele două cele mai importante în practică tipuri de distribuție a unei variabile aleatoare continue.

Dacă funcţia de densitate de distribuţie f(X) o variabilă aleatoare continuă într-un interval finit [ A; b] ia o valoare constantă C, iar în afara intervalului ia o valoare egală cu zero, atunci aceasta distribuția se numește uniformă .

Dacă graficul funcției densității distribuției este simetric față de centru, valorile medii sunt concentrate în apropierea centrului, iar atunci când se îndepărtează de centru, sunt colectate mai diferite de medii (graficul funcției seamănă cu o tăietură de un clopot), apoi asta distribuția se numește normală .

Exemplul 1 Funcția de distribuție a probabilității a unei variabile aleatoare continue este cunoscută:

Găsiți o caracteristică f(X) densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Trasează grafice pentru ambele funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8: .

Soluţie. Obținem funcția de densitate a probabilității găsind derivata funcției de distribuție a probabilității:

Graficul funcției F(X) - parabola:

Graficul funcției f(X) - linie dreapta:

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 4 la 8:

Exemplul 2 Funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este dată astfel:

Calculați factorul C. Găsiți o caracteristică F(X) distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare continue. Trasează grafice pentru ambele funcții. Aflați probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5: .

Soluţie. Coeficient C găsim, folosind proprietatea 1 a funcției de densitate de probabilitate:

Astfel, funcția de densitate de probabilitate a unei variabile aleatoare continue este:

Integrând, găsim funcția F(X) distribuţii de probabilitate. Dacă X < 0 , то F(X) = 0 . Daca 0< X < 10 , то

.

X> 10, atunci F(X) = 1 .

Astfel, înregistrarea completă a funcției de distribuție a probabilității este:

Graficul funcției f(X) :

Graficul funcției F(X) :

Să găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă să ia orice valoare în intervalul de la 0 la 5:

Exemplul 3 Densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X este dat de egalitate , în timp ce . Găsiți coeficientul A, probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X ia o anumită valoare din intervalul ]0, 5[, funcția de distribuție a unei variabile aleatoare continue X.

Soluţie. Prin condiție, ajungem la egalitate

Prin urmare, de unde. Asa de,

.

Acum găsim probabilitatea ca o variabilă aleatoare continuă X va lua orice valoare din intervalul ]0, 5[:

Acum obținem funcția de distribuție a acestei variabile aleatoare:

Exemplul 4 Aflați densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare continue X, care ia numai valori nenegative și funcția de distribuție .