Legea distribuției binomiale. Distribuția binomială a unei variabile aleatoare O variabilă aleatoare are o distribuție binomială

Distribuția binomială este una dintre cele mai importante distribuții de probabilitate pentru o variabilă aleatoare care se schimbă discret. Distribuția binomială este distribuția de probabilitate a unui număr m eveniment A V n observații reciproc independente. Adesea un eveniment A numit „succes” al observației, iar evenimentul opus - „eșec”, dar această desemnare este foarte condiționată.

Termenii distribuției binomiale:

• efectuate in totalitate n procese în care evenimentul A poate sau nu să apară;
• eveniment Aîn fiecare dintre încercări pot apărea cu aceeași probabilitate p;
• testele sunt independente reciproc.

Probabilitatea ca în n eveniment de testare A exact m ori, poate fi calculat folosind formula Bernoulli:

Unde p- probabilitatea producerii evenimentului A;

q = 1 - p este probabilitatea ca evenimentul opus să se producă.

Să ne dăm seama de ce distribuția binomială este legată de formula Bernoulli în modul descris mai sus . Eveniment - numărul de succese la n testele sunt împărțite într-un număr de opțiuni, în fiecare dintre acestea succesul este obținut în mîncercări și eșec - în n - m teste. Luați în considerare una dintre aceste opțiuni - B1 . Conform regulii adunării probabilităților, înmulțim probabilitățile evenimentelor opuse:

,

iar dacă notăm q = 1 - p, Acea

.

Aceeași probabilitate va avea orice altă opțiune în care m succes și n - m eșecuri. Numărul de astfel de opțiuni este egal cu numărul de moduri în care este posibil n test get m succes.

Suma probabilităților tuturor m numărul evenimentului A(numerele de la 0 la n) este egal cu unu:

unde fiecare termen este un termen al binomului Newton. Prin urmare, distribuția considerată se numește distribuție binomială.

În practică, este adesea necesar să se calculeze probabilitățile „cel mult m succes in n teste” sau „cel puțin m succes in n teste". Pentru aceasta se folosesc următoarele formule.

Funcția integrală, adică probabilitate F(m) că în n eveniment de observare A nu va mai veni m o singura data, poate fi calculat folosind formula:

La randul lui probabilitate F(≥m) că în n eveniment de observare A vino măcar m o singura data, se calculează prin formula:

Uneori este mai convenabil să se calculeze probabilitatea ca în n eveniment de observare A nu va mai veni m ori, prin probabilitatea evenimentului opus:

.

Care dintre formule să folosiți depinde de care dintre ele conține mai puțini termeni.

Caracteristicile distribuției binomiale se calculează folosind următoarele formule .

Valorea estimata: .

dispersie: .

Deviație standard: .

Distribuție binomială și calcule în MS Excel

Probabilitatea distribuției binomiale P n ( m) și valoarea funcției integrale F(m) poate fi calculat folosind funcția MS Excel BINOM.DIST. Fereastra pentru calculul corespunzător este prezentată mai jos (faceți clic pe butonul stâng al mouse-ului pentru a mări).

MS Excel vă solicită să introduceți următoarele date:

• numărul de succese;
• numărul de teste;
• probabilitatea de succes;
• integrală - valoare logică: 0 - dacă trebuie să calculați probabilitatea P n ( m) și 1 - dacă probabilitatea F(m).

Exemplul 1 Managerul companiei a rezumat informații despre numărul de camere vândute în ultimele 100 de zile. Tabelul rezumă informațiile și calculează probabilitățile ca un anumit număr de camere să fie vândute pe zi.

Ziua se încheie cu un profit dacă sunt vândute 13 sau mai multe camere. Probabilitatea ca ziua să fie calculată cu profit:

Probabilitatea ca ziua să fie lucrată fără profit:

Fie ca probabilitatea ca ziua să fie calculată cu profit să fie constantă și egală cu 0,61, iar numărul de camere vândute pe zi nu depinde de zi. Apoi puteți utiliza distribuția binomială, unde evenimentul A- ziua va fi calculată cu profit, - fără profit.

Probabilitatea ca din 6 zile toate să fie rezolvate cu profit:

.

Obținem același rezultat folosind funcția MS Excel BINOM.DIST (valoarea valorii integrale este 0):

P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.

Probabilitatea ca din 6 zile 4 sau mai multe zile să fie lucrate cu profit:

Unde ,

,

Folosind funcția MS Excel BINOM.DIST, calculăm probabilitatea ca din 6 zile nu mai mult de 3 zile să fie finalizate cu profit (valoarea valorii integrale este 1):

P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3, 6, 0,61, 1) = 0,435.

Probabilitatea ca din 6 zile toate să fie rezolvate cu pierderi:

,

Calculăm același indicator folosind funcția MS Excel BINOM.DIST:

P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.

Rezolvați singur problema și apoi vedeți soluția

Exemplul 2 O urna contine 2 bile albe si 3 negre. Se scoate o minge din urna, se pune culoarea si se pune la loc. Încercarea se repetă de 5 ori. Numărul de apariții de bile albe este o variabilă aleatorie discretă X, distribuit conform legii binomului. Alcătuiți legea distribuției unei variabile aleatoare. Definiți moda valorea estimatași dispersie.

Continuăm să rezolvăm problemele împreună

Exemplul 3 De la serviciul de curierat a mers la obiecte n= 5 curieri. Fiecare curier cu o probabilitate p= 0,3 este întârziat pentru obiect, indiferent de celelalte. Variabilă aleatorie discretă X- numarul de curieri intarziati. Construiți o serie de distribuție a acestei variabile aleatoare. Găsiți așteptările sale matematice, varianța, abaterea standard. Găsiți probabilitatea ca cel puțin doi curieri să întârzie obiectele.

Buna ziua! Știm deja ce este o distribuție de probabilitate. Poate fi discretă sau continuă și am învățat că se numește distribuția densității de probabilitate. Acum să explorăm câteva distribuții mai comune. Să presupunem că am o monedă și moneda corectă și o voi întoarce de 5 ori. Voi defini, de asemenea, o variabilă aleatoare X, o notez cu literă mare X, va fi egală cu numărul de „vulturi” în 5 aruncări. Poate am 5 monede, le voi arunca pe toate odată și voi număra câte capete am. Sau aș putea avea o monedă, aș putea întoarce-o de 5 ori și aș număra de câte ori am primit capete. Chiar nu contează. Dar să presupunem că am o monedă și o răsturn de 5 ori. Atunci nu vom avea nicio incertitudine. Deci, aici este definiția variabilei mele aleatoare. După cum știm, o variabilă aleatoare este ușor diferită de o variabilă obișnuită, este mai mult ca o funcție. Acesta atribuie o anumită valoare experimentului. Și această variabilă aleatorie este destul de simplă. Numărăm pur și simplu de câte ori „vulturul” a căzut după 5 aruncări - aceasta este variabila noastră aleatoare X. Să ne gândim la ce probabilități pot fi valori diferiteîn cazul nostru? Deci, care este probabilitatea ca X (majusculul X) să fie 0? Acestea. Care este probabilitatea ca după 5 aruncări să nu iasă niciodată în cap? Ei bine, aceasta este, de fapt, aceeași cu probabilitatea de a obține niște „cozi” (așa este, o mică prezentare generală a teoriei probabilităților). Ar trebui să iei niște „cozi”. Care este probabilitatea fiecăreia dintre aceste „cozi”? Aceasta este 1/2. Acestea. ar trebui să fie de 1/2 ori 1/2, 1/2, 1/2 și din nou 1/2. Acestea. (1/2)⁵. 1⁵=1, împărțiți la 2⁵, adică. la 32. Destul de logic. Așa că... o să repet puțin prin ce am trecut despre teoria probabilității. Acest lucru este important pentru a înțelege unde ne mișcăm acum și cum, de fapt, distribuție discretă probabilități. Deci, care este probabilitatea să obținem capete exact o dată? Ei bine, s-ar putea să fi apărut capete la prima aruncare. Acestea. ar putea fi așa: „vultur”, „cozi”, „cozi”, „cozi”, „cozi”. Sau ar putea apărea capete la a doua aruncare. Acestea. ar putea exista o astfel de combinație: „cozi”, „capete”, „cozi”, „cozi”, „cozi” și așa mai departe. Un „vultur” ar putea cădea după oricare dintre cele 5 aruncări. Care este probabilitatea fiecăreia dintre aceste situații? Probabilitatea de a obține capete este 1/2. Apoi probabilitatea de a obține „cozi”, egală cu 1/2, se înmulțește cu 1/2, cu 1/2, cu 1/2. Acestea. probabilitatea fiecăreia dintre aceste situații este de 1/32. La fel ca și probabilitatea unei situații în care X=0. De fapt, probabilitatea oricărei ordine speciale de capete și cozi va fi 1/32. Deci probabilitatea acestui lucru este 1/32. Și probabilitatea acestui lucru este 1/32. Și astfel de situații au loc pentru că „vulturul” ar putea cădea pe oricare dintre cele 5 aruncări. Prin urmare, probabilitatea ca exact un „vultur” să cadă este egală cu 5 * 1/32, adică. 5/32. Destul de logic. Acum începe interesantul. Care este probabilitatea... (voi scrie fiecare dintre exemple într-o culoare diferită)... care este probabilitatea ca variabila mea aleatoare să fie 2? Acestea. Voi arunca o monedă de 5 ori și care este probabilitatea ca aceasta să aterizeze exact capete de 2 ori? Asta e mai interesant, nu? Ce combinații sunt posibile? Ar putea fi capete, capete, cozi, cozi, cozi. Ar putea fi, de asemenea, capete, cozi, capete, cozi, cozi. Și dacă credeți că acești doi „vulturi” pot sta în locuri diferite ale combinației, atunci puteți deveni puțin confuz. Nu vă mai puteți gândi la destinații de plasare așa cum am făcut-o aici mai sus. Deși... poți, riști doar să te încurci. Trebuie să înțelegi un lucru. Pentru fiecare dintre aceste combinații, probabilitatea este 1/32. ½*½*½*½*½. Acestea. probabilitatea fiecăreia dintre aceste combinații este 1/32. Și ar trebui să ne gândim câte astfel de combinații există care ne satisface condiția (2 „vulturi”)? Acestea. de fapt, trebuie să vă imaginați că există 5 aruncări de monede și trebuie să alegeți 2 dintre ele, în care „vulturul” cade. Să ne prefacem că cele 5 aruncări ale noastre sunt în cerc, de asemenea, imaginați-vă că avem doar două scaune. Și spunem: „Bine, care dintre voi va sta pe aceste scaune pentru Vulturi? Acestea. care dintre voi va fi „vulturul”? Și nu ne interesează ordinea în care se așează. Dau un astfel de exemplu, sperând că îți va fi mai clar. Și poate doriți să urmăriți câteva tutoriale de teoria probabilității pe acest subiect când vorbesc despre binomul lui Newton. Pentru că acolo voi aprofunda în toate acestea mai detaliat. Dar dacă raționezi în acest fel, vei înțelege ce este un coeficient binom. Pentru că dacă gândești așa: OK, am 5 aruncări, care aruncare va ateriza primele capete? Ei bine, iată 5 posibilități din care flip va ateriza primele capete. Și câte oportunități pentru al doilea „vultur”? Ei bine, prima aruncare pe care am folosit-o deja a luat o șansă de capete. Acestea. o poziție a capului în combo este deja ocupată de una dintre aruncări. Acum au mai rămas 4 aruncări, ceea ce înseamnă că al doilea „vultur” poate cădea pe unul dintre cele 4 aruncări. Și ai văzut-o, chiar aici. Am ales să am capete la prima aruncare și am presupus că la 1 din cele 4 aruncări rămase ar trebui să apară și capete. Deci aici sunt doar 4 posibilități. Tot ce spun este că pentru primul cap aveți 5 poziții diferite pe care poate ateriza. Iar pentru al doilea au mai rămas doar 4 posturi. Gandeste-te la asta. Când calculăm așa, se ia în considerare comanda. Dar pentru noi acum nu contează în ce ordine cad „capetele” și „cozile”. Nu spunem că este „vulturul 1” sau că este „vulturul 2”. În ambele cazuri, este doar „vultur”. Am putea presupune că acesta este capul 1 și acesta este capul 2. Sau ar putea fi invers: ar putea fi al doilea „vultur”, iar acesta este „primul”. Și spun asta pentru că este important să înțelegeți unde să folosiți destinațiile de plasare și unde să folosiți combinațiile. Nu ne interesează succesiunea. Deci, de fapt, există doar 2 căi de proveniență a evenimentului nostru. Deci, să împărțim asta la 2. Și după cum veți vedea mai târziu, este 2! moduri de origine a evenimentului nostru. Daca ar fi 3 capete, atunci ar fi 3! si va arat de ce. Deci asta ar fi... 5*4=20 împărțit la 2 este 10. Deci există 10 combinații diferite din 32 în care cu siguranță vei avea 2 capete. Deci 10*(1/32) este egal cu 10/32, ce înseamnă asta? 5/16. Voi scrie prin coeficientul binom. Aceasta este valoarea chiar aici, în partea de sus. Dacă vă gândiți bine, acesta este același cu 5! împărțit la... Ce înseamnă acest 5 * 4? 5! este 5*4*3*2*1. Acestea. dacă am nevoie doar de 5 * 4 aici, atunci pentru asta pot împărți 5! pentru 3! Acesta este egal cu 5*4*3*2*1 împărțit la 3*2*1. Și rămân doar 5 * 4. Deci este același cu acest numărător. Și apoi, pentru că nu ne interesează secvența, aici avem nevoie de 2. De fapt, 2!. Înmulțiți cu 1/32. Aceasta ar fi probabilitatea ca să lovim exact 2 capete. Care este probabilitatea ca să obținem capete exact de 3 ori? Acestea. probabilitatea ca x=3. Deci, după aceeași logică, prima apariție a capetelor poate apărea în 1 din 5 flip-uri. A doua apariție a capetelor poate apărea la 1 din cele 4 aruncări rămase. Și o a treia apariție a capetelor poate apărea la 1 din cele 3 aruncări rămase. Câte există diferite căi aranjați 3 aruncări? În general, câte moduri există de a aranja 3 obiecte în locurile lor? Sunt 3! Și vă puteți da seama, sau poate doriți să revedeți tutorialele în care am explicat-o mai detaliat. Dar dacă luați literele A, B și C, de exemplu, atunci există 6 moduri în care le puteți aranja. Vă puteți gândi la acestea ca la titluri. Aici ar putea fi ACB, CAB. Ar putea fi BAC, BCA și... Care este ultima opțiune pe care nu am numit-o? CBA. Există 6 moduri de a aranja 3 articole diferite. Împărțim la 6 pentru că nu vrem să-i numărăm din nou pe cei 6 căi diferite pentru că le tratăm ca echivalente. Aici nu ne interesează ce număr de aruncări vor duce la capete. 5*4*3... Acesta poate fi rescris ca 5!/2!. Și împărțiți-l cu încă 3!. Acesta este ceea ce este el. 3! este egal cu 3*2*1. Cei trei se micșorează. Acesta devine 2. Acesta devine 1. Din nou, 5*2, adică. este 10. Fiecare situație are o probabilitate de 1/32, deci aceasta este din nou 5/16. Și este interesant. Probabilitatea de a obține 3 capete este aceeași cu probabilitatea de a obține 2 capete. Și motivul pentru asta... Ei bine, sunt multe motive pentru care sa întâmplat. Dar dacă te gândești bine, probabilitatea de a obține 3 capete este aceeași cu probabilitatea de a obține 2 cozi. Și probabilitatea de a obține 3 cozi ar trebui să fie aceeași cu probabilitatea de a obține 2 capete. Și este bine că valorile funcționează așa. Amenda. Care este probabilitatea ca X=4? Putem folosi aceeași formulă pe care am folosit-o înainte. Ar putea fi 5*4*3*2. Deci, aici scriem 5 * 4 * 3 * 2 ... Câte moduri diferite există pentru a aranja 4 obiecte? Sunt 4!. 4! - Aceasta este, de fapt, această parte, chiar aici. Acesta este 4*3*2*1. Deci, aceasta se anulează, lăsând 5. Apoi, fiecare combinație are o probabilitate de 1/32. Acestea. aceasta este egală cu 5/32. Din nou, rețineți că probabilitatea de a obține capete de 4 ori este egală cu probabilitatea de a obține capete de 1 dată. Și asta are sens, pentru că. 4 capete este la fel cu 1 cozi. Veți spune: bine, și la ce fel de aruncare vor cădea „cozile” acestea? Da, există 5 combinații diferite pentru asta. Și fiecare dintre ele are o probabilitate de 1/32. Și în sfârșit, care este probabilitatea ca X=5? Acestea. ridică capul de 5 ori la rând. Ar trebui să fie așa: „vultur”, „vultur”, „vultur”, „vultur”, „vultur”. Fiecare dintre capete are o probabilitate de 1/2. Le înmulțiți și obțineți 1/32. Puteți merge în altă direcție. Dacă există 32 de moduri în care puteți obține cap și coadă în aceste experimente, atunci acesta este doar unul dintre ele. Aici au fost astfel de moduri 5 din 32. Aici - 10 din 32. Cu toate acestea, am efectuat calculele și acum suntem gata să desenăm distribuția probabilității. Dar timpul meu a trecut. Lasă-mă să continui în lecția următoare. Și dacă aveți chef, atunci poate desenați înainte de a urmări următoarea lecție? Pe curând!

- (distribuție binomială) Distribuție care vă permite să calculați probabilitatea de apariție a oricăruia eveniment aleatoriu, obținută ca urmare a observațiilor unui număr de evenimente independente, dacă probabilitatea de apariție a elementului său constitutiv ... ... Dicționar economic

- (distribuția Bernoulli) distribuția de probabilitate a numărului de apariții ale unui eveniment în încercări independente repetate, dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este egală cu p(0 p 1). Exact, numărul? există apariții ale acestui eveniment ...... Dicţionar enciclopedic mare

distribuție binomială- - Subiecte de telecomunicații, concepte de bază EN distribuția binomială ...

- (distribuția Bernoulli), distribuția de probabilitate a numărului de apariții ale unui eveniment în studii independente repetate, dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este p (0≤p≤1). Și anume, numărul μ de apariții ale acestui eveniment… … Dicţionar enciclopedic

distribuție binomială- 1,49. distribuție binomială Distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete X, luând orice valori întregi de la 0 la n, astfel încât pentru x = 0, 1, 2, ..., n și parametrii n = 1, 2, ... și 0< p < 1, где Источник … Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Distribuția Bernoulli, distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare X, care ia valori întregi cu probabilități, respectiv (coeficient binomial; parametru p B. R., numit probabilitatea unui rezultat pozitiv, care ia valorile... Enciclopedie matematică

Distribuția probabilității a numărului de apariții ale unui eveniment în studii independente repetate. Dacă la fiecare încercare probabilitatea de apariție a unui eveniment este egală cu p și 0 ≤ p ≤ 1, atunci numărul μ de apariții a acestui eveniment cu n independent ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

- (distribuția Bernoulli), distribuția de probabilitate a numărului de apariții ale unui anumit eveniment în încercări independente repetate, dacă probabilitatea de apariție a acestui eveniment în fiecare încercare este p (0<или = p < или = 1). Именно, число м появлений … Științele naturii. Dicţionar enciclopedic

Distribuție de probabilitate binomială- (distribuție binomială) Distribuția observată în cazurile în care rezultatul fiecărui experiment independent (observare statistică) ia una dintre cele două valori posibile: victorie sau înfrângere, includere sau excludere, plus sau... Dicţionar economic şi matematic

distribuție de probabilitate binomială- Distribuția care se observă în cazurile în care rezultatul fiecărui experiment independent (observare statistică) ia una dintre cele două valori posibile: victorie sau înfrângere, includere sau excludere, plus sau minus, 0 sau 1. Adică ... ... Manualul Traducătorului Tehnic

Cărți

• Teoria probabilității și statistică matematică în probleme. Peste 360 ​​de sarcini și exerciții, D. A. Borzykh. Manualul propus conține sarcini de diferite niveluri de complexitate. Cu toate acestea, accentul principal este pus pe sarcini de complexitate medie. Acest lucru se face intenționat pentru a încuraja elevii să...
• Teoria probabilității și statistica matematică în probleme Peste 360 ​​de probleme și exerciții, Borzykh D. Manualul propus conține probleme de diferite niveluri de complexitate. Cu toate acestea, accentul principal este pus pe sarcini de complexitate medie. Acest lucru se face intenționat pentru a încuraja elevii să...

Luați în considerare distribuția binomială, calculați așteptarea, varianța, modul ei matematic. Folosind funcția MS EXCEL BINOM.DIST(), vom reprezenta graficul funcției de distribuție și al densității probabilității. Să estimăm parametrul de distribuție p, așteptarea matematică a distribuției și abaterea standard. Luați în considerare și distribuția Bernoulli.

Definiție. Lasă-le să fie ținute n teste, în fiecare dintre ele pot apărea doar 2 evenimente: evenimentul „succes” cu o probabilitate p sau evenimentul „eşec” cu probabilitatea q =1-p (așa-numitul Schema Bernoulli,Bernoulliîncercări).

Probabilitatea de a obține exact X succes in acestea n teste este egal cu:

Numărul de succese din eșantion X este o variabilă aleatoare care are Distribuție binomială(Engleză) Binomdistributie) pȘi n – sunt parametri ai acestei distribuţii.

Amintiți-vă că pentru a aplica Scheme Bernoulliși în mod corespunzător distribuție binomială, trebuie îndeplinite următoarele condiții:

• fiecare încercare trebuie să aibă exact două rezultate, numite condiționat „succes” și „eșec”.
• rezultatul fiecărui test nu trebuie să depindă de rezultatele testelor anterioare (independența testului).
• rata de succes p ar trebui să fie constantă pentru toate testele.

Distribuție binomială în MS EXCEL

În MS EXCEL, începând cu versiunea 2010, pt există o funcție BINOM.DIST(), numele englezesc este BINOM.DIST(), care vă permite să calculați probabilitatea ca eșantionul să aibă exact X„succesuri” (adică funcția de densitate de probabilitate p(x), vezi formula de mai sus) și funcția de distribuție integrală(probabilitatea ca eșantionul să aibă X sau mai puține „reușite”, inclusiv 0).

Înainte de MS EXCEL 2010, EXCEL avea funcția BINOMDIST(), care vă permite, de asemenea, să calculați funcția de distribuțieȘi probabilitate densitate p(x). BINOMDIST() este lăsat în MS EXCEL 2010 pentru compatibilitate.

Fișierul exemplu conține grafice densitatea distribuției de probabilitateȘi .

Distribuție binomială are denumirea B (n ; p) .

Notă: Pentru constructii funcția de distribuție integrală tip grafic de potrivire perfectă Programa, Pentru densitatea distributiei – Histogramă cu grupare. Pentru mai multe informații despre construirea diagramelor, citiți articolul Principalele tipuri de diagrame.

Notă: Pentru confortul scrierii formulelor în fișierul exemplu, au fost create Nume pentru parametri Distribuție binomială: n și p.

Fișierul exemplu arată diferite calcule de probabilitate folosind funcțiile MS EXCEL:

După cum se vede în imaginea de mai sus, se presupune că:

• Populația infinită din care este făcut eșantionul conține 10% (sau 0,1) elemente bune (parametru p, al treilea argument al funcției = BINOM.DIST() )
• Pentru a calcula probabilitatea ca într-un eșantion de 10 elemente (parametrul n, al doilea argument al funcției) vor fi exact 5 elemente valide (primul argument), trebuie să scrieți formula: =BINOM.DIST(5; 10; 0,1; FALSE)
• Ultimul, al patrulea element este setat = FALSE, i.e. valoarea funcției este returnată densitatea distributiei .

Dacă valoarea celui de-al patrulea argument = TRUE, atunci funcția BINOM.DIST() returnează valoarea funcția de distribuție integrală sau pur și simplu funcția de distribuție. În acest caz, puteți calcula probabilitatea ca numărul de articole bune din eșantion să fie dintr-un anumit interval, de exemplu, 2 sau mai puțin (inclusiv 0).

Pentru a face acest lucru, scrieți formula: = BINOM.DIST(2; 10; 0,1; TRUE)

Notă: Pentru o valoare neîntregătoare a lui x, . De exemplu, următoarele formule vor returna aceeași valoare: =BINOM.DIST( 2 ; 10; 0,1; ADEVĂRAT)=BINOM.DIST( 2,9 ; 10; 0,1; ADEVĂRAT)

Notă: În fișierul exemplu probabilitate densitateȘi funcția de distribuție de asemenea, calculat folosind definiția și funcția COMBIN().

Indicatori de distribuție

ÎN fișier exemplu pe foaie Exemplu există formule pentru calcularea unor indicatori de distribuție:

• =n*p;
• (abatere standard pătrată) = n*p*(1-p);
• = (n+1)*p;
• =(1-2*p)*ROOT(n*p*(1-p)).

Deducem formula așteptări matematiceDistribuție binomială folosind Schema Bernoulli .

Prin definiție, o variabilă aleatoare X în Schema Bernoulli(variabilă aleatoare Bernoulli) are funcția de distribuție :

Această distribuție se numește distribuția Bernoulli .

Notă : distribuția Bernoulli- caz special Distribuție binomială cu parametrul n=1.

Să generăm 3 matrice de 100 de numere cu probabilități diferite de succes: 0,1; 0,5 și 0,9. Pentru a face acest lucru, în fereastră Generarea numerelor aleatorii setați următorii parametri pentru fiecare probabilitate p:

Notă: Dacă setați opțiunea Imprăștire aleatorie (Sămânță aleatorie), apoi puteți alege un anumit set aleatoriu de numere generate. De exemplu, setând această opțiune =25, puteți genera aceleași seturi de numere aleatorii pe computere diferite (dacă, desigur, alți parametri de distribuție sunt aceiași). Valoarea opțiunii poate lua valori întregi de la 1 la 32 767. Numele opțiunii Imprăștire aleatorie poate deruta. Ar fi mai bine să o traducem ca Setați un număr cu numere aleatorii .

Ca urmare, vom avea 3 coloane de 100 de numere, pe baza cărora, de exemplu, putem estima probabilitatea de succes p dupa formula: Număr de succese/100(cm. exemplu de fișă de fișier Generarea lui Bernoulli).

Notă: Pentru distribuții Bernoulli cu p=0,5, puteți folosi formula =RANDBETWEEN(0;1) , care corespunde cu .

Generarea numerelor aleatorii. Distribuție binomială

Să presupunem că există 7 articole defecte în eșantion. Aceasta înseamnă că este „foarte probabil” ca proporția produselor defecte să se fi schimbat. p, care este o caracteristică a procesului nostru de producție. Deși această situație este „foarte probabilă”, există o posibilitate (risc alfa, eroare de tip 1, „alarma falsă”) ca p a rămas neschimbată, iar numărul crescut de produse defecte s-a datorat prelevării aleatorii.

După cum se poate observa în figura de mai jos, 7 este numărul de produse defecte care este acceptabil pentru un proces cu p=0,21 la aceeași valoare Alfa. Acest lucru ilustrează faptul că, atunci când pragul de articole defecte dintr-o probă este depășit, p„probabil” a crescut. Expresia „cel mai probabil” înseamnă că există doar o șansă de 10% (100%-90%) ca abaterea procentului de produse defecte peste prag să se datoreze doar unor cauze aleatorii.

Astfel, depășirea numărului prag de produse defecte din probă poate servi drept semnal că procesul a devenit deranjat și a început să producă b O procent mai mare de produse defecte.

Notă: Înainte de MS EXCEL 2010, EXCEL avea o funcție CRITBINOM() , care este echivalentă cu BINOM.INV() . CRITBINOM() este lăsat în MS EXCEL 2010 și mai sus pentru compatibilitate.

Relația distribuției binomiale cu alte distribuții

Dacă parametrul nDistribuție binomială tinde spre infinit şi p tinde spre 0, atunci în acest caz Distribuție binomială poate fi aproximată. Este posibil să se formuleze condiții când aproximarea Distribuția Poisson functioneaza bine:

• p(mai putin pși altele n, cu atât aproximarea este mai precisă);
• p >0,9 (având în vedere că q =1- p, calculele în acest caz trebuie efectuate folosind q(A X trebuie inlocuit cu n - X). Prin urmare, cu atât mai puțin qși altele n, cu atât aproximarea este mai precisă).

La 0,110 Distribuție binomială poate fi aproximată.

La randul lui, Distribuție binomială poate servi ca o bună aproximare atunci când dimensiunea populației este N Distribuție hipergeometrică mult mai mare decât dimensiunea eșantionului n (adică N>>n sau n/N Puteți citi mai multe despre relația dintre distribuțiile de mai sus în articol. Exemple de aproximare sunt, de asemenea, date acolo, iar condițiile sunt explicate când este posibil și cu ce precizie.

SFAT: Puteți citi despre alte distribuții ale MS EXCEL în articol.