1 diagramă. Construirea de diagrame online. Trasarea unei funcții liniare

The material metodic are scop de referință și acoperă o gamă largă de subiecte. Articolul oferă o prezentare generală a graficelor principalelor funcții elementare și ia în considerare cea mai importantă întrebare – cum să construiți corect și RAPID un grafic. În timpul studiului matematică superioară fără a cunoaște graficele funcțiilor elementare de bază, va fi dificil, așa că este foarte important să ne amintim cum arată graficele unei parabole, hiperbole, sinus, cosinus etc., pentru a reține unele valori ale funcției. Vom vorbi și despre câteva proprietăți ale principalelor funcții.

Nu pretind completitudinea și temeinicia științifică a materialelor, accentul va fi pus, în primul rând, pe practică - acele lucruri cu care trebuie să te confrunți literalmente la fiecare pas, în orice subiect de matematică superioară. Grafice pentru manechine? Se poate spune si asa.

La cererea populară din partea cititorilor cuprins pe care se poate face clic:

În plus, există un rezumat ultra-scurt pe această temă
– stăpânește 16 tipuri de diagrame studiind șase pagini!

Serios, șase, chiar și eu am fost surprins. Acest rezumat conține grafică îmbunătățită și este disponibil pentru o taxă nominală, o versiune demo poate fi vizualizată. Este convenabil să imprimați fișierul, astfel încât graficele să fie întotdeauna la îndemână. Vă mulțumim pentru susținerea proiectului!

Și începem imediat:

Cum să construiți corect axele de coordonate?

În practică, testele sunt aproape întotdeauna întocmite de către elevi în caiete separate, aliniate într-o cușcă. De ce ai nevoie de marcaje în carouri? La urma urmei, munca, în principiu, se poate face pe coli A4. Și cușca este necesară doar pentru designul de înaltă calitate și precis al desenelor.

Orice desen al unui grafic de funcții începe cu axe de coordonate.

Desenele sunt bidimensionale și tridimensionale.

Să luăm mai întâi în considerare cazul bidimensional Sistemul de coordonate carteziene:

1) Desenăm axe de coordonate. Axa se numește axa x , și axa axa y . Întotdeauna încercăm să le desenăm îngrijită și nu strâmbă. De asemenea, săgețile nu ar trebui să semene cu barba lui Papa Carlo.

2) Semnăm axele cu majuscule „x” și „y”. Nu uitați să semnați topoarele.

3) Setați scara de-a lungul axelor: trage zero și doi unu. Când faceți un desen, scara cea mai convenabilă și obișnuită este: 1 unitate = 2 celule (desenul din stânga) - rămâneți de ea dacă este posibil. Totuși, din când în când se întâmplă ca desenul să nu încapă pe o foaie de caiet - atunci reducem scara: 1 unitate = 1 celulă (desen din dreapta). Rareori, dar se întâmplă ca scara desenului să fie redusă (sau mărită) și mai mult

NU mâzgăliți dintr-o mitralieră... -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, .... Căci planul de coordonate nu este un monument al lui Descartes, iar elevul nu este un porumbel. Am pus zeroȘi două unități de-a lungul axelor. Uneori în loc de unități, este convenabil să „detecți” alte valori, de exemplu, „două” pe axa absciselor și „trei” pe axa ordonatelor - și acest sistem (0, 2 și 3) va seta, de asemenea, grila de coordonate în mod unic.

Este mai bine să estimați dimensiunile estimate ale desenului ÎNAINTE de a fi desenat desenul.. Deci, de exemplu, dacă sarcina necesită desenarea unui triunghi cu vârfuri , , , atunci este destul de clar că scara populară 1 unitate = 2 celule nu va funcționa. De ce? Să ne uităm la subiect - aici trebuie să măsori cincisprezece centimetri în jos și, evident, desenul nu se va potrivi (sau abia se va potrivi) pe o foaie de caiet. Prin urmare, selectăm imediat o scară mai mică 1 unitate = 1 celulă.

Apropo, despre centimetri și celule de notebook. Este adevărat că sunt 15 centimetri în 30 de celule de notebook? Măsurați într-un caiet pentru dobândă 15 centimetri cu o riglă. În URSS, poate că acest lucru a fost adevărat ... Este interesant de remarcat că, dacă măsurați acești centimetri pe orizontală și pe verticală, atunci rezultatele (în celule) vor fi diferite! Strict vorbind, caietele moderne nu sunt în carouri, ci dreptunghiulare. Poate părea o prostie, dar desenarea, de exemplu, a unui cerc cu o busolă în astfel de situații este foarte incomod. Sincer să fiu, în astfel de momente începi să te gândești la corectitudinea tovarășului Stalin, care a fost trimis în lagăre pentru muncă de hack în producție, ca să nu mai vorbim de industria auto autohtonă, căderea avioanelor sau exploziile centralelor electrice.

Apropo de calitate, sau o scurtă recomandare despre papetărie. Până în prezent, majoritatea caietelor puse în vânzare, fără a spune cuvinte rele, sunt complet spiriduși. Din motivul că se udă, și nu numai de la pixurile cu gel, ci și de la pixurile cu bilă! Economisiți pe hârtie. Pentru clearance lucrări de control Recomand să folosiți caietele fabricii de celuloză și hârtie din Arkhangelsk (18 coli, cușcă) sau Pyaterochka, deși este mai scump. Este indicat să alegeți un pix cu gel, chiar și cea mai ieftină reumplere chinezească cu gel este mult mai bună decât un pix, care fie untează, fie rupe hârtia. Singurul pix „competitiv” din memoria mea este Erich Krause. Ea scrie clar, frumos și stabil - fie cu tulpina plină, fie cu una aproape goală.

În plus: viziunea unui sistem de coordonate dreptunghiular prin ochii geometriei analitice este acoperită în articol Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorială, informații detaliate despre sferturile de coordonate pot fi găsite în al doilea paragraf al lecției Inegalități liniare.

carcasă 3D

Aici este aproape la fel.

1) Desenăm axe de coordonate. Standard: aplica axa – îndreptat în sus, ax – îndreptat spre dreapta, ax – în jos spre stânga strict la un unghi de 45 de grade.

2) Semnăm axele.

3) Setați scara de-a lungul axelor. Scala de-a lungul axei - de două ori mai mică decât scara de-a lungul celorlalte axe. De asemenea, rețineți că, în desenul din dreapta, am folosit un "serif" non-standard de-a lungul axei (această posibilitate a fost deja menționată mai sus). Din punctul meu de vedere, este mai precis, mai rapid și mai plăcut din punct de vedere estetic - nu trebuie să căutați mijlocul celulei la microscop și să „sculptați” unitatea până la origine.

Când faceți din nou un desen 3D - acordați prioritate scalei
1 unitate = 2 celule (desen din stânga).

Pentru ce sunt toate aceste reguli? Regulile sunt acolo pentru a fi încălcate. Ce am de gând să fac acum. Cert este că desenele ulterioare ale articolului vor fi făcute de mine în Excel, iar axele de coordonate vor arăta incorect din punct de vedere design corect. Aș putea desena toate graficele cu mâna, dar este foarte înfricoșător să le desenezi, deoarece Excel este reticent să le deseneze mult mai precis.

Grafice și proprietăți de bază ale funcțiilor elementare

Funcția liniară este dată de ecuația . Graficul funcției liniare este direct. Pentru a construi o linie dreaptă este suficient să cunoaștem două puncte.

Exemplul 1

Trasează funcția. Să găsim două puncte. Este avantajos să alegeți zero ca unul dintre puncte.

Daca atunci

Luăm un alt punct, de exemplu, 1.

Daca atunci

La pregătirea sarcinilor, coordonatele punctelor sunt de obicei rezumate într-un tabel:

Și valorile însele sunt calculate oral sau pe o schiță, calculator.

S-au găsit două puncte, să desenăm:

Când întocmim un desen, semnăm întotdeauna grafica.

Nu va fi de prisos să amintim cazuri speciale funcție liniară:

Observați cum am plasat legendele, semnăturile nu trebuie să fie ambigue atunci când studiați desenul. În acest caz, a fost foarte nedorit să se pună o semnătură lângă punctul de intersecție al liniilor sau în dreapta jos între grafice.

1) O funcție liniară de forma () se numește proporționalitate directă. De exemplu, . Graficul de proporționalitate directă trece întotdeauna prin origine. Astfel, construcția unei linii drepte este simplificată - este suficient să găsiți un singur punct.

2) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este construit imediat, fără a găsi niciun punct. Adică, intrarea trebuie înțeleasă după cum urmează: „y este întotdeauna egal cu -4, pentru orice valoare a lui x”.

3) O ecuație de formă definește o linie dreaptă paralelă cu axa, în special, axa însăși este dată de ecuație. Graficul funcției este de asemenea construit imediat. Intrarea ar trebui să fie înțeleasă după cum urmează: „x este întotdeauna, pentru orice valoare a lui y, egal cu 1”.

Unii se vor întreba, ei bine, de ce să-ți amintești de clasa a VI-a?! Așa este, poate așa, doar în anii de practică am întâlnit o duzină bună de studenți care au fost derutați de sarcina de a construi un grafic ca sau .

Desenarea unei linii drepte este cea mai comună acțiune atunci când faceți desene.

Linia dreaptă este discutată în detaliu în cursul geometriei analitice, iar cei care doresc pot consulta articolul Ecuația unei drepte pe un plan.

Graficul funcției patratice, graficul funcției cubice, graficul polinomial

Parabolă. Graficul unei funcții pătratice () este o parabolă. Luați în considerare celebrul caz:

Să ne amintim câteva proprietăți ale funcției.

Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei. De ce este așa poate fi învățat din articolul teoretic despre derivată și din lecția despre extremele funcției. Între timp, calculăm valoarea corespunzătoare a lui „y”:

Deci vârful este în punct

Acum găsim alte puncte, în timp ce folosim cu nerăbdare simetria parabolei. Trebuie remarcat faptul că funcția – nu este chiar, dar, cu toate acestea, nimeni nu a anulat simetria parabolei.

În ce ordine să găsim punctele rămase, cred că va fi clar din masa finală:

Acest algoritm de construcție poate fi numit în mod figurat „navetă” sau principiul „înainte și înapoi” cu Anfisa Cehova.

Hai sa facem un desen:

Din graficele luate în considerare, îmi vine în minte o altă caracteristică utilă:

Pentru o funcție pătratică () următoarele este adevărată:

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Dacă , atunci ramurile parabolei sunt îndreptate în jos.

Cunoașterea aprofundată a curbei poate fi obținută la lecția Hiperbola și parabolă.

Parabola cubică este dată de funcția . Iată un desen cunoscut de la școală:

Enumerăm principalele proprietăți ale funcției

Graficul funcției

Reprezintă una dintre ramurile parabolei. Hai sa facem un desen:

Principalele proprietăți ale funcției:

În acest caz, axa este asimptotă verticală pentru graficul hiperbolei la .

Va fi o MARE greșeală dacă, la întocmirea unui desen, din neglijență, vei permite graficului să se intersecteze cu asimptota.

De asemenea, limite unilaterale, spune-ne că o hiperbolă nelimitat de susȘi nelimitat de jos.

Să explorăm funcția la infinit: , adică dacă începem să ne mișcăm de-a lungul axei la stânga (sau la dreapta) la infinit, atunci „jocurile” vor fi un pas subțire infinit de aproape se apropie de zero și, în consecință, de ramurile hiperbolei infinit de aproape se apropie de ax.

Deci axa este asimptotă orizontală pentru graficul funcției, dacă „x” tinde spre plus sau minus infinit.

Funcția este ciudat, ceea ce înseamnă că hiperbola este simetrică față de origine. Acest fapt este evident din desen, în plus, poate fi ușor verificat analitic: .

Graficul unei funcții de forma () reprezintă două ramuri ale unei hiperbole.

Dacă , atunci hiperbola este situată în primul și al treilea cadran de coordonate(vezi poza de mai sus).

Dacă , atunci hiperbola este situată în al doilea și al patrulea cadran de coordonate.

Nu este dificil de analizat regularitatea specificată a locului de reședință al hiperbolei din punctul de vedere al transformărilor geometrice ale graficelor.

Exemplul 3

Construiți ramura dreaptă a hiperbolei

Folosim metoda de construcție punctual, în timp ce este avantajos să selectăm valorile astfel încât să se împartă complet:

Hai sa facem un desen:

Nu va fi dificil să construiți ramura stângă a hiperbolei, aici ciudatenia funcției va ajuta doar. Aproximativ, în tabelul de construcție punctual, adăugați mental un minus fiecărui număr, puneți punctele corespunzătoare și desenați a doua ramură.

Informații geometrice detaliate despre linia considerată pot fi găsite în articolul Hiperbolă și parabolă.

Graficul unei funcții exponențiale

În acest paragraf, voi lua în considerare imediat funcția exponențială, deoarece în problemele de matematică superioară în 95% din cazuri este exponentul care apare.

Vă reamintesc că asta este număr irațional: , acest lucru va fi necesar la construirea unui grafic, pe care, de fapt, îl voi construi fără ceremonie. Trei puncte sunt probabil suficiente:

Să lăsăm graficul funcției deocamdată, despre asta mai târziu.

Principalele proprietăți ale funcției:

În principiu, graficele funcțiilor arată la fel etc.

Trebuie să spun că al doilea caz este mai puțin frecvent în practică, dar apare, așa că am simțit că este necesar să îl includ în acest articol.

Graficul unei funcții logaritmice

Se consideră o funcție cu logaritm natural.
Să facem un desen în linie:

Dacă ați uitat ce este un logaritm, vă rugăm să consultați manualele școlare.

Principalele proprietăți ale funcției:

Domeniu:

Interval de valori: .

Funcția nu este limitată de mai sus: , deși încet, dar ramura logaritmului urcă până la infinit.
Să examinăm comportamentul funcției aproape de zero din dreapta: . Deci axa este asimptotă verticală pentru graficul funcției cu „x” tinde spre zero în dreapta.

Asigurați-vă că cunoașteți și rețineți valoarea tipică a logaritmului: .

În mod fundamental, graficul logaritmului de la bază arată la fel: , , (logaritmul zecimal la baza 10), etc. În același timp, cu cât baza este mai mare, cu atât graficul va fi mai plat.

Nu vom lua în considerare cazul, ceva ce nu-mi amintesc când am construit ultima dată un grafic pe o astfel de bază. Da, iar logaritmul pare a fi un invitat foarte rar în problemele de matematică superioară.

În încheierea paragrafului, voi mai spune un fapt: Funcția exponențială și funcția logaritmicăsunt două reciproce funcții inverse . Dacă te uiți îndeaproape la graficul logaritmului, poți vedea că acesta este același exponent, doar că este situat puțin diferit.

Grafice ale funcțiilor trigonometrice

Cum începe chinul trigonometric la școală? Dreapta. Din sinus

Să diagramăm funcția

Această linie se numește sinusoid.

Vă reamintesc că „pi” este un număr irațional:, iar în trigonometrie orbiește în ochi.

Principalele proprietăți ale funcției:

Această funcție este periodic cu punct. Ce înseamnă? Să ne uităm la tăietură. În stânga și în dreapta acestuia, exact aceeași bucată a graficului se repetă la nesfârșit.

Domeniu: , adică pentru orice valoare a lui „x” există o valoare sinus.

Interval de valori: . Funcția este limitat: , adică toate „jocurile” stau strict în segmentul .
Acest lucru nu se întâmplă: sau, mai exact, se întâmplă, dar aceste ecuații nu au o soluție.

Un grafic al funcției este o reprezentare vizuală a comportamentului unei anumite funcții pe planul de coordonate. Graficele ajută la înțelegerea diferitelor aspecte ale unei funcții care nu pot fi determinate din funcția în sine. Puteți construi grafice cu mai multe funcții, iar fiecare dintre ele va fi dată printr-o formulă specifică. Graficul oricărei funcții este construit conform unui anumit algoritm (dacă ați uitat procesul exact de trasare a graficului unei anumite funcții).

Pași

Trasarea unei funcții liniare

Determinați dacă funcția este liniară. O funcție liniară este dată de o formulă de formă F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b) sau y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(de exemplu, ), iar graficul său este o linie dreaptă. Astfel, formula include o variabilă și o constantă (constantă) fără exponenți, semne de rădăcină și altele asemenea. Având în vedere o funcție de formă similară, trasarea unei astfel de funcție este destul de simplă. Iată și alte exemple de funcții liniare:

Utilizați o constantă pentru a marca un punct pe axa y. Constanta (b) este coordonata „y” a punctului de intersecție al graficului cu axa Y. Adică este un punct a cărui coordonată „x” este 0. Astfel, dacă x = 0 este înlocuit în formula , atunci y = b (constant). În exemplul nostru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) constanta este 5, adică punctul de intersecție cu axa Y are coordonatele (0,5). Trasează acest punct pe planul de coordonate.

Aflați panta dreptei. Este egal cu multiplicatorul variabilei. În exemplul nostru y = 2x + 5 (\displaystyle y=2x+5) cu variabila „x” este un factor de 2; astfel, panta este 2. Panta determină unghiul de înclinare al dreptei față de axa X, adică cu cât panta este mai mare, cu atât funcția crește sau scade mai repede.

Scrieți panta sub formă de fracție. Panta este egală cu tangenta unghiului de înclinare, adică raportul dintre distanța verticală (între două puncte pe o linie dreaptă) și distanța orizontală (între aceleași puncte). În exemplul nostru, panta este 2, deci putem spune că distanța verticală este 2 și distanța orizontală este 1. Scrieți aceasta ca o fracție: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Dacă panta este negativă, funcția este descrescătoare.

1. Din punctul în care linia se intersectează cu axa Y, desenați un al doilea punct folosind distanțele verticale și orizontale. O funcție liniară poate fi reprezentată folosind două puncte. În exemplul nostru, punctul de intersecție cu axa Y are coordonate (0,5); din acest punct mutați 2 spații în sus și apoi 1 spațiu spre dreapta. Marcați un punct; va avea coordonatele (1,7). Acum puteți trage o linie dreaptă.

   Folosește o riglă pentru a trage o linie dreaptă prin două puncte. Pentru a evita greșelile, găsiți al treilea punct, dar în cele mai multe cazuri graficul poate fi construit folosind două puncte. Astfel, ați trasat o funcție liniară.

   Desenarea punctelor pe planul de coordonate

   1. Definiți o funcție. Funcția se notează ca f(x). Toate valorile posibile ale variabilei „y” sunt numite domeniul funcției, iar toate valorile posibile ale variabilei „x” sunt numite domeniul funcției. De exemplu, luăm în considerare funcția y = x+2, și anume f(x) = x+2.

      Desenați două drepte perpendiculare care se intersectează. Linia orizontală este axa X. Linia verticală este axa Y.

      Etichetați axele de coordonate.Împărțiți fiecare axă în segmente egale și numerotați-le. Punctul de intersecție al axelor este 0. Pentru axa X: la dreapta (de la 0) sunt trasate numere pozitive, iar în stânga sunt negative. Pentru axa Y: numerele pozitive sunt trasate în partea de sus (de la 0), iar numerele negative în partea de jos.

      Găsiți valorile „y” din valorile „x”.În exemplul nostru f(x) = x+2. Înlocuiți anumite valori „x” în această formulă pentru a calcula valorile „y” corespunzătoare. Dacă i se oferă o funcție complexă, simplificați-o prin izolarea „y” de pe o parte a ecuației.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Desenați puncte pe planul de coordonate. Pentru fiecare pereche de coordonate, procedați în felul următor: găsiți valoarea corespunzătoare pe axa x și trasați o linie verticală (linie punctată); găsiți valoarea corespunzătoare pe axa y și trasați o linie orizontală (linie punctată). Marcați punctul de intersecție al celor două linii punctate; astfel, ați trasat un punct grafic.

      Ștergeți liniile punctate. Faceți acest lucru după ce ați trasat toate punctele graficului pe planul de coordonate. Notă: graficul funcției f(x) = x este o dreaptă care trece prin centrul coordonatelor [punct cu coordonatele (0,0)]; graficul f(x) = x + 2 este o dreaptă paralelă cu dreapta f(x) = x, dar deplasată în sus cu două unități și, prin urmare, trece prin punctul cu coordonatele (0,2) (deoarece constanta este 2) .

   Trasarea unei funcții complexe

   Aflați zerourile funcției. Zerourile unei funcții sunt valorile variabilei „x” la care y = 0, adică acestea sunt punctele de intersecție ale graficului cu axa x. Rețineți că nu toate funcțiile au zerouri, dar acesta este primul pas în procesul de a reprezenta un grafic al oricărei funcții. Pentru a găsi zerourile unei funcții, setați-o egală cu zero. De exemplu:

   Găsiți și etichetați asimptotele orizontale. O asimptotă este o linie pe care graficul unei funcții se apropie, dar nu o traversează niciodată (adică funcția nu este definită în această zonă, de exemplu, atunci când este împărțită la 0). Marcați asimptota cu o linie punctată. Dacă variabila „x” se află la numitorul unei fracții (de exemplu, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))), setați numitorul la zero și găsiți „x”. În valorile obținute ale variabilei „x”, funcția nu este definită (în exemplul nostru, trageți linii întrerupte prin x = 2 și x = -2), deoarece nu puteți împărți la 0. Dar asimptotele există nu numai în cazurile în care funcția conține expresie fracționată. Prin urmare, se recomandă utilizarea bunului simț:

Mai întâi, încercați să găsiți domeniul de aplicare al funcției:

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile:

În regulă? Bine făcut!

Acum să încercăm să găsim intervalul funcției:

Găsite? Comparaţie:

A fost de acord? Bine făcut!

Să lucrăm din nou cu graficele, doar că acum este puțin mai dificil - să găsim atât domeniul funcției, cât și domeniul funcției.

Cum să găsiți atât domeniul, cât și domeniul unei funcții (avansat)

Iată ce s-a întâmplat:

Cu grafica, cred ca ti-ai dat seama. Acum să încercăm să găsim domeniul funcției în conformitate cu formulele (dacă nu știți cum să faceți acest lucru, citiți secțiunea despre):

Ai reușit? Control răspunsuri:

1. , deoarece expresia rădăcină trebuie să fie mai mare sau egală cu zero.
2. , deoarece este imposibil de împărțit la zero și expresia radicală nu poate fi negativă.
3. , întrucât, respectiv, pentru toți.
4. pentru că nu poți împărți la zero.

Cu toate acestea, mai avem încă un moment care nu a fost rezolvat...

Permiteți-mi să reiterez definiția și să mă concentrez asupra ei:

Ai observat? Cuvântul „doar” este un element foarte, foarte important al definiției noastre. Voi încerca să vă explic pe degete.

Să presupunem că avem o funcție dată de o dreaptă. . Când, înlocuim această valoare în „regula noastră” și obținem asta. O valoare corespunde unei singure valori. Putem chiar să facem un tabel cu diferite valori și să trasăm o funcție dată pentru a verifica acest lucru.

"Uite! - spui tu, - "" se intalneste de doua ori!" Deci poate parabola nu este o funcție? Nu este!

Faptul că „” apare de două ori este departe de a fi un motiv pentru a acuza parabola de ambiguitate!

Cert este că, atunci când calculăm pentru, avem un joc. Și când calculăm cu, avem un joc. Deci, așa este, parabola este o funcție. Uită-te la grafic:

Am înţeles? Dacă nu, iată un exemplu real pentru tine, departe de matematică!

Să presupunem că avem un grup de solicitanți care s-au întâlnit la depunerea documentelor, fiecare dintre ei a spus într-o conversație unde locuiește:

De acord, este destul de realist că mai mulți bărbați locuiesc în același oraș, dar este imposibil ca o persoană să trăiască în mai multe orașe în același timp. Aceasta este, parcă, o reprezentare logică a „parabolei” noastre - Mai multe x-uri diferite corespund aceluiași y.

Acum să venim cu un exemplu în care dependența nu este o funcție. Să presupunem că aceiași tipi au spus pentru ce specialități au aplicat:

Aici avem o situație complet diferită: o persoană poate aplica cu ușurință pentru una sau mai multe direcții. Acesta este un element seturile sunt puse în corespondență elemente multiple seturi. Respectiv, nu este o functie.

Să-ți testăm cunoștințele în practică.

Determinați din imagini ce este o funcție și ce nu este:

Am înţeles? Și iată răspunsuri:

• Funcția este - B,E.
• Nu este o funcție - A, B, D, D.

Te intrebi de ce? Da, iată de ce:

În toate cifrele, cu excepția ÎN)Și E) sunt mai multe pentru unul!

Sunt sigur că acum puteți distinge cu ușurință o funcție de o non-funcție, puteți spune ce este un argument și ce este o variabilă dependentă și, de asemenea, puteți determina sfera argumentului și sfera funcției. Să trecem la următoarea secțiune - cum se definește o funcție?

Modalități de a seta o funcție

Ce crezi că înseamnă cuvintele "setare functie"? Așa e, înseamnă să explicăm tuturor despre ce funcție vorbim în acest caz. Mai mult, explicați în așa fel încât toată lumea să vă înțeleagă corect și graficele funcțiilor desenate de oameni conform explicației dvs. au fost aceleași.

Cum pot face acest lucru? Cum se setează o funcție? Cel mai simplu mod, care a fost deja folosit de mai multe ori în acest articol - folosind o formulă. Scriem o formulă și, substituind o valoare în ea, calculăm valoarea. Și după cum vă amintiți, o formulă este o lege, o regulă conform căreia devine clar pentru noi și pentru o altă persoană cum un X se transformă într-un Y.

De obicei, acest lucru este exact ceea ce fac ei - în sarcini vedem funcții gata făcute definite prin formule, cu toate acestea, există și alte modalități de a seta o funcție de care toată lumea uită și, prin urmare, întrebarea „cum altfel poți seta o funcție?” încurcă. Să aruncăm o privire la totul în ordine și să începem cu metoda analitică.

Mod analitic de definire a unei funcții

Metoda analitică este sarcina unei funcții care utilizează o formulă. Aceasta este cea mai universală, cuprinzătoare și lipsită de ambiguitate. Dacă aveți o formulă, atunci știți absolut totul despre funcție - puteți face un tabel de valori pe ea, puteți construi un grafic, puteți determina unde crește funcția și unde scade, în general, explorați-o în întregime.

Să luăm în considerare o funcție. Ce conteaza?

"Ce înseamnă?" - tu intrebi. Voi explica acum.

Permiteți-mi să vă reamintesc că în notație, expresia dintre paranteze se numește argument. Și acest argument poate fi orice expresie, nu neapărat simplă. În consecință, oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie.

În exemplul nostru, va arăta astfel:

Luați în considerare o altă sarcină legată de metoda analitică de specificare a unei funcții pe care o veți avea la examen.

Găsiți valoarea expresiei, la.

Sunt sigur că la început, te-ai speriat când ai văzut o astfel de expresie, dar nu este absolut nimic înfricoșător în ea!

Totul este la fel ca în exemplul anterior: oricare ar fi argumentul (expresia între paranteze), îl vom scrie în schimb în expresie. De exemplu, pentru o funcție.

Ce ar trebui făcut în exemplul nostru? În schimb, trebuie să scrieți și în loc de -:

scurtați expresia rezultată:

Asta e tot!

Muncă independentă

Acum încercați să găsiți singur sensul următoarelor expresii:

1. , Dacă
2. , Dacă

Ai reușit? Să comparăm răspunsurile noastre: Suntem obișnuiți cu faptul că funcția are forma

Chiar și în exemplele noastre, definim funcția în acest fel, dar analitic este posibil să definim funcția implicit, de exemplu.

Încercați să construiți singur această funcție.

Ai reușit?

Iată cum l-am construit.

Cu ce ​​ecuație am ajuns?

Dreapta! Liniar, ceea ce înseamnă că graficul va fi o linie dreaptă. Să facem un tabel pentru a determina ce puncte aparțin liniei noastre:

Tocmai despre asta vorbeam... Unul corespunde mai multor.

Să încercăm să desenăm ce s-a întâmplat:

Este ceea ce avem o funcție?

Așa e, nu! De ce? Încercați să răspundeți la această întrebare cu o imagine. Ce ai primit?

„Pentru că o singură valoare corespunde mai multor valori!”

Ce concluzie putem trage din asta?

Așa este, o funcție nu poate fi întotdeauna exprimată în mod explicit, iar ceea ce este „deghizat” ca funcție nu este întotdeauna o funcție!

Mod tabelar de definire a unei funcții

După cum sugerează și numele, această metodă este o placă simplă. Da Da. Ca cel pe care l-am făcut deja. De exemplu:

Aici ați observat imediat un model - Y este de trei ori mai mare decât X. Și acum sarcina „gândește foarte bine”: crezi că o funcție dată sub formă de tabel este echivalentă cu o funcție?

Să nu mai vorbim multă vreme, dar să desenăm!

Asa de. Desenăm o funcție dată în ambele moduri:

Vedeți diferența? Nu e vorba de punctele marcate! Priveste mai atent:

L-ai văzut acum? Când setăm funcția într-un mod tabelar, reflectăm pe grafic doar acele puncte pe care le avem în tabel și linia (ca și în cazul nostru) trece doar prin ele. Când definim o funcție într-un mod analitic, putem lua orice puncte, iar funcția noastră nu se limitează la ele. Iată o astfel de caracteristică. Tine minte!

Mod grafic de a construi o funcție

Modul grafic de construire a unei funcții nu este mai puțin convenabil. Ne desenăm funcția și o altă persoană interesată poate găsi cu ce este y la un anumit x și așa mai departe. Metodele grafice și analitice sunt printre cele mai comune.

Cu toate acestea, aici trebuie să vă amintiți despre ce am vorbit la început - nu fiecare „squiggle” desenat în sistemul de coordonate este o funcție! Amintit? Pentru orice eventualitate, voi copia aici definiția a ceea ce este o funcție:

De regulă, oamenii numesc de obicei exact acele trei moduri de a specifica o funcție pe care le-am analizat - analitic (folosind o formulă), tabelar și grafic, uitând complet că o funcție poate fi descrisă verbal. Ca aceasta? Da, foarte usor!

Descrierea verbală a funcției

Cum să descrii funcția verbal? Să luăm exemplul nostru recent - . Această funcție poate fi descrisă ca „fiecare valoare reală a lui x corespunde valorii sale triple”. Asta e tot. Nimic complicat. Desigur, veți obiecta - „sunt atât de multe funcții complexe pe care pur și simplu este imposibil să-l întrebați verbal!” Da, există unele, dar există funcții care sunt mai ușor de descris verbal decât de stabilit cu o formulă. De exemplu: „fiecare valoare naturală a lui x corespunde diferenței dintre cifrele din care constă, în timp ce cea mai mare cifră conținută în intrarea numărului este luată ca minuend”. Acum, ia în considerare modul nostru descriere verbală funcțiile sunt implementate în practică:

Cea mai mare cifră dintr-un număr dat -, respectiv, - se reduce, apoi:

Principalele tipuri de funcții

Acum să trecem la cele mai interesante - luați în considerare principalele tipuri de funcții cu care ați lucrat/lucrați și veți lucra în cursul școlii și institutului de matematică, adică le vom cunoaște, ca să spunem așa, și le vom oferi descriere scurta. Citiți mai multe despre fiecare funcție în secțiunea corespunzătoare.

Funcție liniară

Funcția formei unde, - numere reale.

Graficul acestei funcții este o linie dreaptă, astfel încât construcția unei funcții liniare se reduce la găsirea coordonatelor a două puncte.

Poziția dreptei pe planul de coordonate depinde de pantă.

Domeniul de aplicare al funcției (cunoscut și sub numele de interval de argumente) - .

Gama de valori este .

funcţie pătratică

Funcția formei, unde

Graficul funcției este o parabolă, când ramurile parabolei sunt îndreptate în jos, când - în sus.

Multe proprietăți ale unei funcții pătratice depind de valoarea discriminantului. Discriminantul se calculează prin formula

Poziția parabolei pe planul de coordonate în raport cu valoarea și coeficientul este prezentată în figură:

Domeniu

Gama de valori depinde de extremul funcției date (vârful parabolei) și de coeficient (direcția ramurilor parabolei)

Proporționalitate inversă

Funcția dată de formula, unde

Numărul se numește factor de proporționalitate inversă. În funcție de ce valoare, ramurile hiperbolei sunt în pătrate diferite:

Domeniu - .

Gama de valori este .

REZUMAT ȘI FORMULA DE BAZĂ

1. O funcție este o regulă conform căreia fiecărui element al unei mulțimi i se atribuie un element unic al mulțimii.

• - aceasta este o formulă care denotă o funcție, adică dependența unei variabile de alta;
• - variabil, sau, argument;
• - variabilă dependentă- se modifică atunci când argumentul se schimbă, adică după o formulă specifică care reflectă dependența unei cantități de alta.

2. Valorile argumentelor valide, sau domeniul de aplicare al unei funcții, este ceea ce este legat de posibilul sub care funcția are sens.

3. Gama de valori ale funcției- acestea sunt valorile necesare, cu valori valide.

4. Există 4 moduri de a seta funcția:

• analitice (folosind formule);
• tabular;
• grafic
• descriere verbală.

5. Principalele tipuri de funcții:

• : , unde, sunt numere reale;
• : , Unde;
• : , Unde.

Una dintre cele mai cunoscute funcții exponențiale la matematică este exponentul. Este numărul Euler ridicat la puterea specificată. În Excel, există un operator separat care vă permite să îl calculați. Să vedem cum poate fi folosit în practică.

Exponentul este numărul Euler ridicat la o putere dată. Numărul Euler în sine este de aproximativ 2,718281828. Uneori este numit și numărul Napier. Funcția exponent arată ca în felul următor:

unde e este numărul Euler și n este exponentul.

Pentru a calcula acest indicator în Excel, se folosește un operator separat - EXP. În plus, această funcție poate fi afișată sub formă de grafic. Vom vorbi în continuare despre lucrul cu aceste instrumente.

Metoda 1: calcularea exponentului prin introducerea manuală a unei funcții

EXP(număr)

Adică această formulă conține un singur argument. Acesta reprezintă doar gradul în care trebuie să creșteți numărul Euler. Acest argument poate fi fie sub forma unei valori numerice, fie sub forma unei referințe la o celulă care conține un indicator de grad.

Metoda 2: Utilizarea Expertului Funcție

Deși sintaxa pentru calcularea exponentului este extrem de simplă, unii utilizatori preferă să o folosească Expertul de funcții. Să vedem cum se face asta cu un exemplu.

Dacă o referință la o celulă care conține un exponent este folosită ca argument, atunci trebuie să puneți cursorul în câmp "Număr"și doar selectați acea celulă de pe foaie. Coordonatele sale vor fi afișate imediat în câmp. După aceea, pentru a calcula rezultatul, faceți clic pe butonul Bine.

Metoda 3: trasarea unui grafic

În plus, în Excel există posibilitatea de a construi un grafic pe baza rezultatelor obținute ca urmare a calculării exponentului. Pentru a construi un grafic pe foaie, trebuie să existe deja valori calculate ale exponentului de diferite grade. Le puteți calcula folosind una dintre metodele descrise mai sus.

Să alegem în avion sistem dreptunghiular coordonatele și vom reprezenta pe axa x valorile argumentului X, iar pe axa y - valorile funcției y = f(x).

Graficul funcției y = f(x) se numește mulțimea tuturor punctelor, pentru care abscisele aparțin domeniului funcției, iar ordonatele sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției.

Cu alte cuvinte, graficul funcției y \u003d f (x) este mulțimea tuturor punctelor din plan, coordonatele X, la care satisfac relatia y = f(x).

Pe fig. 45 și 46 sunt grafice ale funcțiilor y = 2x + 1Și y \u003d x 2 - 2x.

Strict vorbind, ar trebui să distingem între graficul unei funcții (a cărui definiție matematică exactă a fost dată mai sus) și curba desenată, care oferă întotdeauna doar o schiță mai mult sau mai puțin precisă a graficului (și chiar și atunci, de regulă, nu întregul grafic, ci doar partea lui situată în părțile finale ale planului). În cele ce urmează, însă, ne vom referi de obicei la „diagramă” mai degrabă decât la „schiță diagramă”.

Folosind un grafic, puteți găsi valoarea unei funcții într-un punct. Și anume, dacă punctul x = a aparține domeniului funcției y = f(x), apoi pentru a găsi numărul fa)(adică valorile funcției la punctul x = a) ar trebui să facă acest lucru. Trebuie printr-un punct cu o abscisă x = a trageți o linie dreaptă paralelă cu axa y; această linie va intersecta graficul funcției y = f(x) la un moment dat; ordonata acestui punct va fi, în virtutea definiţiei graficului, egală cu fa)(Fig. 47).

De exemplu, pentru funcție f(x) = x 2 - 2x folosind graficul (Fig. 46) găsim f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 etc.

Un grafic al funcției ilustrează vizual comportamentul și proprietățile unei funcții. De exemplu, dintr-o considerație a fig. 46 este clar că funcţia y \u003d x 2 - 2x acceptă valori pozitive la X< 0 iar la x > 2, negativ - la 0< x < 2; cea mai mică valoare funcţie y \u003d x 2 - 2x acceptă la x = 1.

Pentru a reprezenta o funcție f(x) trebuie să găsiți toate punctele avionului, coordonatele X,la care satisfac ecuația y = f(x). În cele mai multe cazuri, acest lucru este imposibil, deoarece există o infinitate de astfel de puncte. Prin urmare, graficul funcției este reprezentat aproximativ - cu o precizie mai mare sau mai mică. Cea mai simplă este metoda de reprezentare în mai multe puncte. Constă în faptul că argumentul X dați un număr finit de valori - să spunem, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k și faceți un tabel care include valorile selectate ale funcției.

Tabelul arată astfel:

După ce am compilat un astfel de tabel, putem contura mai multe puncte pe graficul funcției y = f(x). Apoi, conectând aceste puncte cu o linie netedă, obținem o vedere aproximativă a graficului funcției y = f(x).

Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că metoda de reprezentare în mai multe puncte este foarte nesigură. De fapt, comportamentul graficului dintre punctele marcate și comportamentul acestuia în afara segmentului dintre punctele extreme luate rămâne necunoscut.

Exemplul 1. Pentru a reprezenta o funcție y = f(x) cineva a compilat un tabel de valori ale argumentelor și ale funcției:

Cele cinci puncte corespunzătoare sunt prezentate în Fig. 48.

Pe baza locației acestor puncte, a concluzionat că graficul funcției este o linie dreaptă (prezentată în Fig. 48 printr-o linie punctată). Această concluzie poate fi considerată de încredere? Cu excepția cazului în care există considerații suplimentare care să susțină această concluzie, cu greu poate fi considerată de încredere. de încredere.

Pentru a susține afirmația noastră, luați în considerare funcția

.

Calculele arată că valorile acestei funcții la punctele -2, -1, 0, 1, 2 sunt descrise doar de tabelul de mai sus. Totuși, graficul acestei funcții nu este deloc o linie dreaptă (este prezentat în Fig. 49). Un alt exemplu este funcția y = x + l + sinx; semnificațiile sale sunt descrise și în tabelul de mai sus.

Aceste exemple arată că, în forma sa „pură”, metoda de reprezentare în mai multe puncte este nesigură. Prin urmare, pentru a reprezenta o funcție dată, de regulă, procedați după cum urmează. În primul rând, sunt studiate proprietățile acestei funcții, cu ajutorul căreia se poate construi o schiță a graficului. Apoi, calculând valorile funcției în mai multe puncte (ale căror alegere depinde de proprietățile setate ale funcției), se găsesc punctele corespunzătoare ale graficului. Și, în sfârșit, o curbă este trasată prin punctele construite folosind proprietățile acestei funcții.

Vom lua în considerare câteva (cele mai simple și mai frecvent utilizate) proprietăți ale funcțiilor folosite pentru a găsi o schiță a unui grafic mai târziu, iar acum vom analiza câteva metode utilizate în mod obișnuit pentru trasarea graficelor.

Graficul funcției y = |f(x)|.

Adesea este necesar să reprezentați o funcție y = |f(x)|, unde f(x) - funcţie dată. Amintiți-vă cum se face acest lucru. Prin definiția valorii absolute a unui număr, se poate scrie

Aceasta înseamnă că graficul funcției y=|f(x)| pot fi obținute din grafic, funcții y = f(x) astfel: toate punctele graficului funcţiei y = f(x), ale căror ordonate sunt nenegative, trebuie lăsate neschimbate; mai departe, în locul punctelor graficului funcției y = f(x), având coordonate negative, se construiesc punctele corespunzătoare ale graficului funcției y = -f(x)(adică o parte a graficului funcției
y = f(x), care se află sub axă X, ar trebui să fie reflectată simetric în jurul axei X).

Exemplul 2 Trasează o funcție y = |x|.

Luăm graficul funcției y = x(Fig. 50, a) și o parte din acest grafic când X< 0 (întins sub ax X) este reflectată simetric în jurul axei X. Ca rezultat, obținem graficul funcției y = |x|(Fig. 50, b).

Exemplul 3. Trasează o funcție y = |x 2 - 2x|.

Mai întâi graficăm funcția y = x 2 - 2x. Graficul acestei funcții este o parabolă, ale cărei ramuri sunt îndreptate în sus, vârful parabolei are coordonatele (1; -1), graficul său intersectează axa absciselor în punctele 0 și 2. Pe intervalul (0; 2). ) funcția ia valori negative, prin urmare această parte a graficului se reflectă simetric față de axa x. Figura 51 prezintă un grafic al funcției y \u003d |x 2 -2x |, pe baza graficului funcției y = x 2 - 2x

Graficul funcției y = f(x) + g(x)

Luați în considerare problema reprezentării grafice a funcției y = f(x) + g(x). dacă sunt date grafice ale funcţiilor y = f(x)Și y = g(x).

Rețineți că domeniul funcției y = |f(x) + g(х)| este mulțimea tuturor acelor valori ale lui x pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x) și y = g(x), adică acest domeniu de definiție este intersecția domeniilor de definiție, funcțiile f(x). ) și g(x).

Lasă punctele (x 0, y 1) Și (x 0, y 2) aparțin respectiv graficelor de funcții y = f(x)Și y = g(x), adică y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Atunci punctul (x0;. y1 + y2) aparține graficului funcției y = f(x) + g(x)(pentru f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. și orice punct al graficului funcției y = f(x) + g(x) pot fi obținute în acest fel. Prin urmare, graficul funcției y = f(x) + g(x) pot fi obținute din graficele de funcții y = f(x). Și y = g(x) prin înlocuirea fiecărui punct ( x n, y 1) grafică funcțională y = f(x) punct (x n, y 1 + y 2), Unde y 2 = g(x n), adică prin deplasarea fiecărui punct ( x n, y 1) graficul funcției y = f(x) de-a lungul axei la prin suma y 1 \u003d g (x n). În acest caz, sunt luate în considerare numai astfel de puncte. X n pentru care sunt definite ambele funcții y = f(x)Și y = g(x).

Această metodă de a reprezenta graficul unei funcții y = f(x) + g(x) se numește adunarea graficelor de funcții y = f(x)Și y = g(x)

Exemplul 4. În figură, prin metoda adunării grafice, se construiește un grafic al funcției
y = x + sinx.

La trasarea unei funcții y = x + sinx am presupus că f(x) = x, A g(x) = sinx. Pentru a construi un grafic al funcției, selectăm puncte cu abscise -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Valori f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx vom calcula la punctele selectate și vom plasa rezultatele în tabel.