Starea de rezistență a materialelor tensionată plană. starea de stres plană. Torsiunea grinzii dreptunghiulare

STARE DE STRESS PLAT

Cursul 15

Un exemplu de structură, ale cărei toate punctele sunt într-o stare de efort plană, este o placă subțire încărcată la capete de forțele care se află în planul său. Deoarece suprafețele laterale ale plăcii sunt libere de tensiuni, datorită dimensiunii mici a grosimii sale, putem presupune că chiar și în interiorul plăcii pe zone paralele cu suprafața acesteia, tensiunile sunt neglijabil de mici. O situație similară apare, de exemplu, la încărcarea arborilor și grinzilor unui profil cu pereți subțiri.

În cazul general, vorbind de o stare de efort plană, ne referim nu la întreaga structură, ci doar la punctul considerat al elementului său. Un semn că la un punct dat starea de stres este plată este prezența unei platforme care trece prin ea, pe care nu există solicitări. Astfel de puncte vor fi, în special, punctele suprafeței exterioare fără sarcină a corpului, care în cele mai multe cazuri sunt periculoase. Prin urmare, este de înțeles că se acordă atenție analizei acestui tip de stare de stres.

Când se înfățișează un paralel-epiped elementar într-o stare de tensiune plană, este suficient să se arate una dintre fețele sale neîncărcate, aliniind-o cu planul de desen (Fig. 15.1), apoi fețele încărcate ale elementului vor fi aliniate cu limitele zonei afișate. În același timp, sistemul de notație pentru tensiuni și regulile semnelor rămân aceleași - componentele stării de stres prezentate în figură sunt pozitive. Ținând cont de legea împerecherii tensiunilor tăietoare

t xy = t yx, starea de efort plană (PNS) este descrisă de trei componente independente - s X , s y , t X y. .

TENSIUNI PE PLANTE INCLINATE SUB O STARE DE TENSIUNE PLATA

Să selectăm din elementul ͵ prezentat în Fig. 15.1, o prismă triunghiulară, tăind-o mental cu o secțiune înclinată perpendiculară pe planul desenului xOy. Poziția rampei și axelor asociate X 1 ,y 1 este stabilit folosind unghiul a, pe care îl vom considera pozitiv atunci când axele sunt rotite în sens invers acelor de ceasornic.

În ceea ce privește cazul general descris mai sus, prezentat în Fig. 15.2, tensiunile pot fi considerate acționând la un moment dat, dar pe amplasamente orientate diferit. Găsim tensiunile pe zona înclinată din starea de echilibru a prismei, exprimându-le în termenii tensiunilor date s X , s y , t X y pe feţele care coincid cu planurile de coordonate. Indicați zona feței înclinate dA, atunci zonele fețelor de coordonate pot fi găsite după cum urmează:

dA x = dA ca a ,

dA y = dA păcat A .

Proiectăm forțele care acționează pe fețele prismei pe axă X 1 și y 1:

Reducerea printr-un factor comun dA, și făcând transformări elementare, primim

Dacă luăm în calcul că

expresiilor (15.1) li se poate da următoarea formă finală:

Pe fig. 15.3, împreună cu cel original, este prezentat un element infinitezimal, orientat de-a lungul axelor X 1 ,y 1 . Tensiuni pe fețele sale normale cu axa X 1 sunt determinate de formulele (15.2). Pentru a găsi tensiunea normală pe o față perpendiculară pe axă y 1, este extrem de important să înlocuiți valoarea a + 90° în locul unghiului a:

Tensiuni de forfecare și într-un sistem de coordonate rotit X 1 y 1 respectă legea împerecherii, adică

Suma tensiunilor normale, după cum se știe din analiza stării de tensiuni volumetrice, este unul dintre invarianții săi și trebuie să rămână constantă la înlocuirea unui sistem de coordonate cu altul. Acest lucru poate fi ușor verificat prin adăugarea tensiunilor normale determinate din formulele (15.2), (15.3):

stresuri primare

Mai devreme am stabilit că zonele pe care nu există solicitări de forfecare se numesc zone principale, iar tensiunile asupra acestora se numesc tensiuni principale. Într-o stare plată tensionată, poziția uneia dintre zonele principale este cunoscută dinainte - ϶ᴛᴏ zona pe care nu există stres, ᴛ.ᴇ. combinat cu planul de desen (vezi Fig.15.1). Găsiți platformele principale perpendiculare pe acesta. Pentru a face acest lucru, se stabilește efortul de forfecare din (15.1) egal cu zero, din care obținem

Unghiul a 0 arată direcția normalei față de locul principal, sau directia principala, de aceea se numește unghiul principal. Deoarece tangenta unui unghi dublu este o funcție periodică cu perioada p/2, unghiul

a 0 + p/2 este, de asemenea, unghiul principal. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, există trei platforme principale în total și toate sunt reciproc perpendiculare. Singura excepție este cazul când nu există trei zone principale, ci un set infinit - de exemplu, cu compresie integrală, când orice direcție aleasă este cea principală, iar tensiunile sunt aceleași pe toate zonele care trec prin punct.

Merită spus că pentru a găsi tensiunile principale, puteți folosi prima dintre formulele (15.2), înlocuind succesiv valorile a 0 și

Se ia in calcul aici ca

Funcții trigonometrice expresiile (15.5) pot fi eliminate folosind binecunoscuta egalitate

Și luați în considerare și formula (15.4). Apoi primim

Semnul plus din formulă corespunde uneia dintre tensiunile principale, semnul minus celuilalt. După calcularea acestora, puteți folosi notația acceptată pentru tensiunile principale s 1, s 2, s 3, având în vedere că s 1 este cea mai mare din punct de vedere algebric, iar s 3 este cea mai mică tensiune algebrică. Cu alte cuvinte, dacă ambele tensiuni principale găsite din expresiile (15.6) se dovedesc a fi pozitive, obținem

Dacă ambele tensiuni sunt negative, vom avea

În cele din urmă, dacă expresia (15.6) dă valori ale tensiunii cu semne diferite, atunci tensiunile principale vor fi egale

CELE MAI MARE VALORI ALE TENSIUNILOR NORMALE SI TANGENTE

Dacă rotiți mental axa X 1 y 1 și elementul asociat acestora (vezi Fig. 15.3), tensiunile de pe fețele sale se vor modifica, iar la o anumită valoare a unghiului a, efortul normal va atinge un maxim. Deoarece suma tensiunilor normale pe zone reciproc perpendiculare rămâne constantă, tensiunea va fi cea mai mică în acest moment.

Pentru a găsi această poziție a pad-urilor, trebuie să examinați expresia pentru un extremum, considerând-o în funcție de argumentul a:

Comparând expresia dintre paranteze cu (15.2), ajungem la concluzia că tensiunile de forfecare pe zonele dorite sunt egale cu zero. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, tensiunile normale ating valori extreme tocmai la principalele site-uri.

Pentru a găsi cea mai mare efort de forfecare, luăm zonele principale ca inițiale, aliniind axele XȘi y cu linii principale. Formulele (15.1), în care unghiul a va fi acum măsurat din direcția s 1, vor lua forma:

Din ultima expresie rezultă că ajung tensiunile de forfecare cele mai mari valori pe site-urile rotite la cele principale cu 45 °, când

sin2a = ±1. Valoarea lor maximă este atunci

Rețineți că formula (15.8) este valabilă și atunci când

REPREZENTARE GRAFICĂ A UNEI STĂRI DE TENSIUNE PLANĂ. CERCUL DE MORA

Formulele (15.7), care determină tensiunile pe un loc rotit printr-un anumit unghi α în raport cu cel principal, au o interpretare geometrică clară. Presupunând ca ambele tensiuni principale să fie pozitive, introducem următoarea notație:

Apoi expresiile (15.7) iau forma destul de recunoscută ecuație parametrică cercuri în coordonatele σ și τ:

Indicele „α”, în notație subliniază faptul că tensiunile sunt pe șantier, rotite la original la un unghi dat. Valoare A determină poziția centrului cercului pe axa σ; raza cercului este R. Arată în fig. 15.5, conform tradiției stabilite, se obișnuiește să se numească diagrama circulară a tensiunilor cercul Mohr, după celebrul om de știință german Otto Mohr (1835 - 1918 ᴦ.ᴦ.), care a propus-o. Direcția axei verticale se alege ținând cont de semn τ α în (15.10). Fiecare valoare a unghiului α corespunde punctului reprezentativ K (σ α, τ α ) pe un cerc ale cărui coordonate sunt egale cu tensiunile pe zona rotită. Zonele reciproc perpendiculare, în care unghiul de rotație diferă cu 90˚, corespund punctelor KȘi K' situată la capete opuse ale diametrului.

Se ia in calcul aici ca

întrucât formulele (15.2) și (15.7) când unghiul se modifică cu 90 0 dau semnul efortului de forfecare într-un sistem de coordonate rotit, în care una dintre axe coincide în direcție cu axa inițială, iar cealaltă este opusă în direcție (Fig. 15.5)

Dacă site-urile principale acționează ca site-uri inițiale, ᴛ.ᴇ. valoarea lui σ 1 și σ 2 este cunoscută, cercul Mohr se construiește ușor din punctele 1 și 2. O grindă trasă din centrul cercului la un unghi de 2a față de axa orizontală, la intersecția cu cercul, va da un punct reprezentativ, ale cărui coordonate sunt egale cu tensiunile dorite pe zona rotită. În acest caz, este mai convenabil să folosiți așa-numitul pol al cercului, direcționând un fascicul din acesta sub un unghi a. Din relația evidentă dintre raza și diametrul unui cerc, polul, notat în desen cu litera A, va coincide în acest caz cu punctul 2. În cazul general, polul este situat la intersecția normalelor cu zonele inițiale. Dacă site-urile sursă nu sunt cele principale, se construiește cercul Mohr în felul următor: punctele reprezentative sunt trasate pe planul σ - t K (σ X,t X y) Și K’(σ y,-t X y) corespunzătoare siturilor inițiale verticale și orizontale. Conectând punctele cu o linie dreaptă, la intersecția cu axa σ găsim centrul cercului, după care se construiește diagrama circulară în sine. Intersecția cercului cu axa orizontală va da valoarea tensiunilor principale, iar raza va fi egală cu cea mai mare efort de forfecare. Pe fig. 15.7 arată cercul lui Mohr, construit pe locuri inițiale care nu sunt principalele. Pol A situat la intersectia normalelor cu locurile originale KAȘi K’A. Ray A.M, trasă din pol sub un unghi a față de axa orizontală, la intersecția cu cercul va da un punct reprezentativ M(σ a ,t a), ale căror coordonate sunt tensiunile asupra zonei de interes pentru noi. Razele trase de la pol la punctele 1 și 2 vor arăta unghiurile principale a 0 și a 0 +90 0 . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, cercurile Mohr sunt un instrument grafic convenabil pentru analiza unei stări de stres plan.

b) Efortul pe marginea elementului ͵ rotit cu 45 0 , găsim prin (15.1)

Stresul normal pe un loc perpendicular

(a = 45 0 +90 0) va fi egal cu

c) Găsim cele mai mari solicitări de forfecare conform (15.8)

2. Soluție grafică.

Să construim cercul Mohr reprezentând puncte K(160,40) și K’ (60, -40)

Stâlp cerc A găsiți la intersecția normalelor cu locurile originale.

Cercul va traversa axa orizontală în punctele 1 și 2. Punctul 1 corespunde tensiunii principale σ 1 = 174 MPa, punctul 2 corespunde valorii tensiunii principale σ 2 = 46 MPa. O rază trasă dintr-un stâlp A prin punctele 1 și 2, va arăta valoarea unghiurilor principale. Tensiunile pe amplasament, rotite cu 45 0 fata de original, sunt egale cu coordonatele punctului reprezentativ. M situat la intersectia cercului cu o raza trasa din pol A la un unghi de 45 0 . După cum puteți vedea, soluția grafică a problemei analizei stării de stres coincide cu cea analitică.

Să considerăm o placă subțire sub acțiunea forțelor aflate în planul plăcii (Fig. 2.12). În acest plan vom plasa sistemul de coordonate (x, y). Suprafețele de capăt (față) ale plăcii sunt lipsite de stres și, prin urmare

Vectorii de stres și se află în același plan, iar starea de stres se numește plată. Rețineți că toate punctele plăcii sunt într-o stare de efort plană. În cazul general, conceptul de „stare de efort plană” se referă la punctul considerat al elementului structural.

Dacă la un punct dat A există o zonă în care nu există tensiuni (normale și tangenţiale), atunci starea de tensiuni în punct este plată. De exemplu, în punctele suprafeței libere a piesei (Fig. 2.13), starea de efort va fi plată (axa z în punctul A este îndreptată de-a lungul normalei la suprafață).

Importanța deosebită a stării de efort plană se datorează faptului că aceasta se realizează în punctele suprafeței elementelor structurale, care sunt adesea „puncte periculoase”. (punctele cu cele mai mari solicitări din stratul de suprafață).

Tensiuni în zone oblice sub o stare de efort plană. Să studiem tensiunile în zone oblice perpendiculare pe planul plăcii (Fig. 2.14).

Orez. 2.12. Stare de stres în plan

Orez. 2.13. Stare de efort plană în puncte ale suprafeței libere a piesei

Termenul condițional „oblic” sau „înclinat” înseamnă că normalul locului nu coincide cu niciuna dintre axele sistemului de coordonate selectat.

În zona BC, normala la care v formează un unghi a cu axa x, acţionează tensiunile normale şi de forfecare. Tensiunile sunt distribuite uniform pe grosimea plăcii h, fețele de capăt elementul ABC nu este încărcat. Sarcina imediată este de a determina cantitățile din condițiile de echilibru ale elementului ABS. Proiectând toate eforturile pe direcția normalului v, găsim

Forțele de masă care acționează asupra elementului,

sunt forțe de ordinul doi de micime și sunt absente în ecuația (15). Avand in vedere ca din fig. Urmează 2.14

obținem din relația (15)

Proiectând toate eforturile pe direcția vectorului, găsim

Formulele (17) și (19) dau valoarea tensiunilor normale și de forfecare în zona oblică.

Remarci. 1. Trebuie înțeles cu strictețe că la derivarea ecuațiilor (15) și (18), condițiile de echilibru sunt luate în considerare nu pentru solicitări (nu există astfel de condiții!), ci pentru forțele care acționează pe fețele elementului.

2. Tensiunile de-a lungul fețelor unui volum elementar (Fig. 2.14) sunt distribuite uniform. O zonă oblică poate fi considerată ca o secțiune oblică într-un paralelipiped elementar (Fig. 2.15), iar aceleași rezultate (egalitățile (17) și (19)) rezultă din condițiile de echilibru pentru partea umbrită a paralelipipedului.

3. Mărimile vectoriale necunoscute, pentru care se adoptă o anumită regulă de semn, ar trebui luate ca direcționate pozitiv în timpul derivării. De exemplu, în fig. 2.14 este direcționată ca efort de tracțiune.

Fundamentele teoriei elasticității

Cursul 4

Problemă plană a teoriei elasticității

slide 2

În teoria elasticității, există o clasă mare de probleme care sunt importante în sensul aplicațiilor practice și, în același timp, permit simplificări semnificative ale laturii matematice a soluției. Simplificarea constă în faptul că în aceste probleme una dintre axele de coordonate ale corpului, de exemplu, axa z, poate fi renunțată și toate fenomenele pot fi considerate ca având loc în același plan de coordonate x0y al corpului încărcat. În acest caz, tensiunile, deformațiile și deplasările vor fi funcții a două coordonate - x și y.

O problemă considerată în două coordonate se numește problema plană a teoriei elasticității.

sub termenul " problema plană a teoriei elasticității» combina două probleme fizic diferite, ducând la relații matematice foarte asemănătoare:

1) problema unei stări plane deformate (plane deformation);

2) problema unei stări de stres plan.

Aceste probleme sunt cel mai adesea caracterizate de o diferență semnificativă între o dimensiune geometrică și celelalte două dimensiuni ale corpurilor luate în considerare: o lungime mare în primul caz și o grosime mică în al doilea caz.

Deformarea plană

Deformația se numește plată dacă deplasările tuturor punctelor corpului pot avea loc numai în două direcții într-un singur plan și nu depind de coordonatele normale la acest plan, adică.

u=u(x,y); v=v(x,y); w=0 (4,1)

Deformarea plană are loc în corpuri prismatice sau cilindrice lungi cu o axă paralelă cu axa z, de-a lungul căreia o sarcină acționează pe suprafața laterală, perpendicular pe această axă și neschimbându-se în mărime de-a lungul acesteia.

Un exemplu de deformare plană este starea de efort-deformare care apare într-un baraj drept lung și un arc lung al unui tunel subteran (Fig. 4.1).

Figura - 4.1. Deformarea plană are loc în corpul barajului și bolta tunelului subteran

slide 3

Înlocuind componentele vectorului deplasare (4.1) în formulele Cauchy (2.14), (2.15), obținem:

(4.2)

Absența deformațiilor liniare pe direcția axei z duce la apariția tensiunilor normale σ z . Din formula legii lui Hooke (3.2) pentru deformarea ε z rezultă că

de unde se obține expresia tensiunii σ z:

(4.3)

Înlocuind acest raport în primele două formule ale legii lui Hooke, găsim:

(4.4)

slide 4

Din analiza formulelor (4.2) − (4.4) și (3.2) mai rezultă că

Astfel, ecuațiile de bază ale teoriei tridimensionale a elasticității în cazul deformării plane sunt mult simplificate.

Din cele trei ecuații de echilibru diferențial Navier (2.2), rămân doar două ecuații:

(4.5)

iar al treilea se transformă într-o identitate.

Deoarece direcția cosinus este peste tot pe suprafața laterală n=cos(v,z)=cos90 0 =0, Z v =0, din cele trei condiții de pe suprafața (2.4) rămân doar două ecuații:

(4.6)

unde l, m sunt cosinusurile direcției normalei exterioare v la suprafața de contur;

X, Y, X v, Y v sunt componentele forțelor corpului și intensitatea sarcinilor de suprafață exterioare pe axele x și respectiv y.

slide 5

Cele șase ecuații Cauchy (2.14), (2.15) sunt reduse la trei:

(4.7)

Din cele șase ecuații de continuitate a deformării Saint-Venant (2.17), (2.18), rămâne o ecuație:

(4.8)

iar restul se transformă în identități.

Din cele șase formule ale legii lui Hooke (3.2), ținând cont de (4.2), (4.4), rămân trei formule:

În aceste relații, pentru tipul de înregistrare tradițional în teoria elasticității, se introduc noi constante elastice:

slide 6

Stare de stres în plan

O stare de efort plană apare atunci când lungimea aceluiași corp prismatic este mică în comparație cu celelalte două dimensiuni. În acest caz, se numește grosime. Tensiunile din corp acționează numai în două direcții în planul de coordonate xOy și nu depind de coordonata z. Un exemplu de astfel de corp este o placă subțire de grosime h, încărcată de-a lungul suprafeței laterale (nervatură) cu forțe paralele cu planul plăcii și distribuite uniform pe grosimea acesteia (Fig. 4.2).

Figura 4.2 - Placă subțire și sarcini aplicate acesteia

În acest caz, sunt posibile și simplificări similare cu cele din problema deformarii plane. Componentele tensoarelor tensoare σ z , τ xz , τ yz pe ambele planuri ale plăcii sunt egale cu zero. Deoarece placa este subțire, putem presupune că acestea sunt egale cu zero și în interiorul plăcii. Atunci starea de stres va fi determinată doar de componentele σ x , σ y , τ xy care nu depind de coordonata z, adică nu se modifică de-a lungul grosimii plăcii, ci sunt funcții doar ale lui x și y.

Astfel, următoarea stare de stres are loc într-o placă subțire:

Slide 7

În ceea ce privește tensiunile, starea tensiunii plane diferă de deformarea plană prin condiție

În plus, din formula legii lui Hooke (3.2), ținând cont de (4.10), pentru deformația liniară ε z obținem că aceasta nu este egală cu zero:

În consecință, bazele plăcii vor fi curbate, deoarece vor exista deplasări de-a lungul axei z.

În aceste ipoteze, ecuațiile de bază ale deformațiilor plane: ecuațiile de echilibru diferențial (4.5), condițiile de suprafață (4.6), ecuațiile Cauchy (4.7) și ecuațiile de continuitate a deformarii (4.8) păstrează aceeași formă în problema tensiunii plane.

Formulele legii lui Hooke vor lua următoarea formă:

Formulele (4.11) diferă de formulele (4.9) ale legii lui Hooke pentru deformarea plană numai prin valorile constantelor elastice: E și E 1 , vȘi v 1 .

Slide 8

În formă inversă, legea lui Hooke poate fi scrisă după cum urmează:

(4.12)

Astfel, atunci când rezolvăm aceste două probleme (deformarea plană și starea tensiunii plane), se pot folosi aceleași ecuații și se pot combina problemele într-o singură problemă plană a teoriei elasticității.

Există opt necunoscute în problema plană a teoriei elasticității:

sunt două componente ale vectorului deplasare u și v;

– trei componente ale tensorului tensiunii σ x , σ y , τ xy ;

sunt trei componente ale tensorului deformare ε x , ε y , γ xy .

Pentru rezolvarea problemei se folosesc opt ecuații:

– două ecuații de echilibru diferențial (4.5);

– trei ecuații Cauchy (4.7);

sunt trei formule ale legii lui Hooke (4.9) sau (4.11).

În plus, deformațiile obținute trebuie să se supună ecuației de continuitate a deformarii (4.8), iar condițiile de echilibru (4.6) între tensiunile interne și intensitățile sarcinii de suprafață exterioară X trebuie îndeplinite pe suprafața corpului. v, Y v.

Să scoatem din corpul din vecinătatea punctului o prismă triunghiulară infinit de mică, de-a lungul bazei căreia tensiunile normale și de forfecare sunt egale cu zero.

Regula semnului pentru orice σ > 0 dacă tensiunile normale sunt direcționate departe de amplasament; t > 0 dacă tinde să rotească planul de desen în sensul acelor de ceasornic; a > 0 dacă fața bc trebuie rotită în sens invers acelor de ceasornic printr-un unghi ascuțit pentru a fi aliniată cu fața ac.

Aflați forța rezultantă aplicată fiecărei fețe a prismei. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți tensiunile corespunzătoare cu zona feței.

Aceste forțe rezultante trebuie să satisfacă toate condițiile acțiunii rezultante. Să desenăm axele U și V și să implementăm șase condiții de echilibru.

åU =0 Ta + Fy cos a - Tx sin a - Fx sin a - Ty cos a

Ta + cos a (Fy - Ty) - sin a (Tx + Fx) (1)

åV = 0 Fa - Fx cos a+ Ty sin a - Fx cos a - Fy sin a

Fa -Fx + Tx cos a + (Ty - Fy sin a) = 0 (2)

Suma momentelor în jurul unui punct de pe axa å m 0 = 0

å m 0 = 0 Tx dy/2 + Ty dx/2 = 0 (3)

Înlocuiți valorile Tx și Ty și împărțiți ambele părți la dx/2 dy dz

t x dx/2 dy dz + t y dx/2 dy dz = 0

Tensiunile de forfecare în două zone reciproc perpendiculare sunt egale în valoare absolută și inverse în semn. Dependența (4) se numește legea împerecherii tensiunilor tăietoare. Din (4) rezultă că tensiunile tangenţiale sunt îndreptate sau spre vârf unghi drept sau de la el.

Dacă înlocuim în dependență (1) și (2) și înlocuim t y cu - t h și, de asemenea, ținem cont de faptul că dx / ds \u003d sin a și dy / ds \u003d cos a, atunci după transformări obținem valorile tensiunilor normale și de forfecare pe site-ul rotit cu un unghi x și a site-ului cu yσ.

σ a = σ x cos 2 a + σ y sin 2 a + tx sin2a (5)

t y = ((σ x σ y)/2) sin2a - tx cos2a (6)

Dacă formula (5) este înlocuită în valoarea a și a ¹ 90°, atunci obținem

σ a + σ (a+90°) = σ x + σ y = const. (7)

Concluzie: suma tensiunilor normale pe două zone reciproc perpendiculare este o valoare constantă, ceea ce înseamnă că dacă avem tensiuni normale max pe prima zonă, atunci σ min va fi pe zona perpendiculară pe aceasta.

principalele tensiuni. Pătratele principale.

În calculele de inginerie, nu este nevoie să se determine tensiunile pentru toate zonele care trec printr-un punct dat. Este suficient să cunoaștem valorile lor extreme σ max și σ min, care se numesc tensiuni principale, iar zonele asupra cărora acţionează sunt numite zone principale.

Pentru a obține valoarea extremă a lui σ, prima derivată a expresiei (5) față de unghiul a trebuie egalată cu zero.

Concluzie: pe zonele principale, tensiunile de forfecare sunt egale cu zero.

tg2a 0 = (8)

tg2a 0 = (9)

Pentru a determina poziţia platformelor principale, platformele pe care acţionează σ x şi σ y trebuie rotite cu un unghi a 0 în sens invers acelor de ceasornic dacă a 0 > 0 .

Din formula (8) 2a 0 se modifică de la –90° la 90°, ceea ce înseamnă - 45° £a 0 £45°, ceea ce înseamnă că rotația poate fi la un unghi de cel mult 45°.

La determinarea tensiunilor principale, valoarea lui a 0 din (8) poate fi substituită în (5) sau se poate folosi formula obținută din dependențe (6) și (9).

(10)

Tensiuni de forfecare extreme.

Zonele asupra cărora acţionează solicitările de forfecare extreme se numesc zone de forfecare.

Pentru a determina tensiunile de forfecare extreme, trebuie să luați prima derivată a lui (6) în raport cu unghiul a, echivalând-o cu zero.

;
;

Împărțiți ambele părți ale ecuației la cos2a 1 și obțineți:

(σ x - σ y) + 2 t x tg2a 1 = 0

tg2a 1 = (11)

Unghiul de înclinare al planului cu forfecare extremă față de locul cu dx trebuie rotit în sens invers acelor de ceasornic cu un unghi a 1.

Din formula (11) puteți obține un 1 și un 1 +90, care sunt determinate de două arii reciproc perpendiculare. Pe una dintre ele va acţiona t max, iar pe cealaltă, t min. Dar în conformitate cu legile de împerechere a tensiunilor de forfecare t max \u003d - t min. Comparând (8) și (11) obținem un 1 ¹ a 0 +45°

Concluzie: Unghi de 45° între palierele principale și palierele de forfecare

Înlocuind în formula (6) σ x = σ max ; σy = σmin ; t x = 0; a 1 = + 45° obținem

= + (12)

înlocuim în (12) valoarea din (10) și după transformări obținem dependența tensiunilor de forfecare extreme de tensiuni pe zone aleatorii

= + 1/2 (13)

Cercuri Mohr.

Să fie dată o stare de stres plană.

Să construim un cerc Mohr pentru această stare de stres în sistemul de coordonate dreptunghiulare.

Procedură:

1. pe axa d, lasă deoparte valoarea maximă dx

2. pe axa t, graficați valoarea ty

3. la intersecție obținem punctul A

4. în mod similar amână) dу și tх; punctul A caracterizează direcția de-a lungul fețelor verticale, punctul B - de-a lungul celor orizontale.

5. Conectați punctele A și B și la intersecția cu axa d obținem punctul O

6. Din punctul O, ca din centrul cercului, desenați un cerc

7. Determinați raza cercului din triunghiul dreptunghic OKW

La intersecția zonelor orizontale și verticale cu un cerc, obținem un punct C, pe care îl numim pol.

Acum puteți determina direcția pe orice site, pentru aceasta trebuie să trasați o linie dreaptă prin polul paralel cu locul dat până când se intersectează cu cercul.

Punctul M va avea coordonatele da și ta. De asemenea, este posibil să se rezolve problema inversă, adică să se determine unghiul a din valorile lui da și ta.

STĂRI DEFORMATE („PROBLEMĂ PLATĂ”)

Stările plane de stres și deformare plană sunt caracterizate de următoarele caracteristici.

1. Toate componentele tensiunii nu depind de una dintre coordonatele comune tuturor componentelor și rămân constante atunci când se modifică.

2. În planuri normale pe axa acestei coordonate:

a) componentele tensiunii de forfecare sunt egale cu zero;

b) tensiunea normală este fie egală cu zero (starea de tensiune plană), fie egală cu jumătate din suma altor două tensiuni normale (starea de deformare plană).

Să luăm pentru axa, care a fost menționată mai devreme, axa y. Este clar din cele de mai sus că această axă va fi principală, adică poate fi de asemenea notată cu indicele 2. Mai mult, , și nu depind de y; în același timp, și , și, prin urmare, și și sunt egale cu zero.

Pentru o stare plană solicitată = 0. Pentru o stare plană deformată (această caracteristică a unei stări plane deformate va fi demonstrată mai jos).

Ar trebui să se țină cont întotdeauna de diferența semnificativă dintre stările de tensiune plană și stările de deformare plană.

În prima, în direcția celei de-a treia axe, nu există stres normal, dar există deformare, în a doua există stres normal, dar nu există deformare.

O stare de efort plană poate fi, de exemplu, într-o placă supusă acțiunii forțelor aplicate pe contur paralel cu planul plăcii și distribuite uniform pe grosimea acesteia (Fig. 3.16). Modificarea grosimii plăcii în acest caz nu contează, iar grosimea acesteia poate fi luată ca unitate. Cu suficientă precizie, starea de efort a flanșei poate fi considerată plată atunci când extrageți o țagle cilindrice din material de tablă.

O stare deformată plană poate fi acceptată pentru secțiuni ale unui corp cilindric sau prismatic de mare lungime, îndepărtate de capete, dacă corpul este încărcat cu forțe care nu se modifică pe lungimea sa și sunt direcționate perpendicular pe generatoare. Într-o stare deformată plată, de exemplu, o grindă poate fi considerată a fi supusă deformarii în direcția sa de grosime, atunci când deformarea de-a lungul lungimii poate fi neglijată.

Toate ecuațiile stării tensiunii pentru o problemă plană sunt mult simplificate și numărul de variabile este redus.

Ecuațiile pentru problema plană pot fi obținute cu ușurință din cele derivate mai devreme pentru starea de tensiune în vrac, ținând cont de faptul că \u003d 0 și luând \u003d 0, deoarece zonele înclinate ar trebui considerate doar paralele cu axa y, adică normale zonelor care sunt libere de solicitări într-o stare de efort plană sau lipsite de deformații într-o stare de deformare plană (Fig. 3.17).

În cazul în cauză

Notând unghiul (vezi Fig. 3.17) dintre normala zonei înclinate și axă (sau axă, dacă starea de efort este dată în axele principale 1 și 2) prin , obținem , de unde .

Avand in vedere cele de mai sus, prin substituiri directe in expresiile corespunzatoare (3.10) si (3.11) pentru starea de solicitare volumetrica se obtin tensiunile normale si taietoare in zona inclinata (vezi Fig. 3.17).

Fig.3.15. Stare de tensiune plană (a), efort pe o platformă înclinată (b)

tensiune normală

efort de forfecare

. (3.41)

Din expresia (3.41) este ușor de observat că are un maxim la sin 2 \u003d 1, adică la \u003d 45 °:

. (3.42)

Mărimea tensiunilor principale poate fi exprimată în termeni de componente în axe arbitrare, folosind ecuația (3.13), din care obținem

. (3.43)

În acest caz, pentru o stare de efort plană = 0; pentru starea de tensionare plată

Cunoscând starea de stres în axele principale, este ușor să treceți la orice axe de coordonate arbitrare (Fig. 3.18). Fie ca noua axă de coordonate x să facă un unghi cu axa, apoi, considerând-o ca o normală la zona înclinată, avem pentru aceasta din urmă conform ecuației (3.40)

dar pentru axă, tensiunea este tensiunea, deci

această expresie poate fi convertită după cum urmează:

(3.44)

Noua axă va fi înclinată către axa 1 cu un unghi (+90°); prin urmare, înlocuind în ecuația anterioară cu ( + 90°), obținem

Determinăm tensiunea din expresia (3.41):

. (3.46)

Indicând tensiunea medie prin, adică luând

, (3.47)

și ținând cont de ecuația (3.42), obținem așa-numitele formule de transformare, care exprimă componentele tensiunii în funcție de unghi:

(3.48)

Când construim diagrama Mohr, luăm în considerare faptul că, deoarece luăm în considerare zone paralele cu axa y (adică, axa 2), direcția cosinus este întotdeauna zero, adică unghi = 90 °. Prin urmare, toate valorile corespunzătoare și vor fi situate pe cercul definit de ecuația (3.36 b) atunci când se substituie = 0 în el, și anume:

, (3.49)

sau luând în considerare expresiile (3.47) și (3.42)

. (3.49a)

Acest cerc este prezentat în fig. 3.19 și este diagrama Mohr. Coordonatele unui punct P, situat pe cerc, determină valorile corespunzătoare și Să conectăm punctul P cu punctul . Este ușor de observat că segmentele 0 2 P = ;

Рр= , Ор= , și, în consecință, păcat = .

Comparând expresiile obţinute cu ecuaţiile (3.48), putem stabili că

P0 2 A \u003d 2, P0 2 A \u003d.

Astfel, cunoscând poziția zonei înclinate, determinată de unghi, se pot găsi valorile tensiunilor și care acționează în această zonă.

Fig.3.17. Diagrama Mohr

atunci segmentul OP exprimă solicitarea totală S.

Dacă un element al unui corp solicitat, în a cărui față înclinată sunt considerate tensiuni, este desenat astfel încât solicitarea principală să fie îndreptată paralel cu axa, atunci normalul N trasat pe această față înclinată și, prin urmare, direcția tensiunii, va fi paralel cu segmentul СР.

Continuând linia P0 2 până la intersecția cu cercul, în punctul P „obținem a doua pereche de valoriși pentru o altă zonă înclinată, pentru care” \u003d + 90 °, adică pentru zona perpendiculară pe prima, cu direcția normalei ". Direcțiile normalelor N și N" pot fi luate ca direcții ale noilor și, respectiv, coordonate a tensiunilor ", respectiv axele - stresul ". es si . Astfel, este posibil sa se determine starea de solicitare in axe arbitrare fara a folosi formulele (3.44) - ( 3.46).Mărimile absolute ale tensiunilor „g” sunt egale între ele conform legii împerecherii.

Nu este dificil de rezolvat problema inversă: pentru tensiuni date în două zone reciproc perpendiculare și , t "(unde t" = t) găsiți tensiunile principale.

Desenăm axele de coordonate n și (Fig. 3.19). Reprezentăm punctele P și P „cu coordonatele corespunzătoare tensiunilor date , și , . Intersecția segmentului PP” cu axa va determina centrul cercului Mohr 0 2 cu un diametru de PP „= 2 31. În plus, dacă construim axele N, N” (sau, ceea ce este același, , ) și direcțiile care se rotesc pe direcțiile acestor tensiuni sunt considerate paralele față de figura a punct al corpului dat, atunci direcțiile axelor și diagramelor vor fi paralele cu direcția axelor principale 1 și 2.

Obținem ecuația de echilibru diferențial pentru o problemă plană din ecuațiile (3.38), ținând cont de faptul că toate derivatele față de y sunt egale cu zero și sunt, de asemenea, egale cu zero și:

(3.50)

La rezolvarea unor probleme legate de cele plate, uneori este convenabil să folosiți coordonatele polare în locul coordonatelor dreptunghiulare, determinând poziția unui punct prin vectorul rază și unghiul polar, adică unghiul pe care vectorul rază îl face cu axa.

Condițiile de echilibru în coordonate polare pot fi obținute cu ușurință din aceleași condiții în coordonate cilindrice, echivalând

Și dat fiind că derivatele sunt egale

(3.51)

Un caz special al unei probleme plane este atunci când tensiunile nu depind și de coordonată (distribuția tensiunilor simetrică față de axă). În acest caz, derivatele în raport cu și tensiunile și vor dispărea, iar condițiile de echilibru vor fi determinate de unul ecuație diferențială

. (3.52)

Este clar că stresurile sunt principalele și aici.

O astfel de stare solicitată poate fi luată pentru flanșa unei țagle rotunde în timpul tragerii fără a apăsa paharul cilindric.

Tip de stare de stres

Starea de efort în orice punct al corpului deformabil este caracterizată de trei tensiuni și direcții normale principale ale axelor principale.

Există trei tipuri principale de stări de tensiuni: volumetrice (triaxiale), în care toate cele trei tensiuni principale sunt diferite de zero, plate (biaxiale), în care una dintre tensiunile principale este zero și liniară (uniaxiale), în care o singură tensiune principală este diferită de zero.

Dacă toate tensiunile normale au același semn, atunci starea de stres este numită cu același nume, iar pentru tensiuni de semn diferit - opus.

Astfel, există nouă tipuri de stări de efort: patru volumetrice, trei plate și două liniare (Fig. 3.18).

Starea de solicitare se numește omogenă atunci când în orice punct al corpului deformabil direcțiile axelor principale și mărimea tensiunilor normale principale rămân neschimbate.

Tipul de stare de tensiune afectează capacitatea metalului de a se deforma plastic fără a se prăbuși și mărimea forței externe care trebuie aplicată pentru a efectua deformarea unei valori date.

Deci, de exemplu, deformarea în condiții de aceeași stare de solicitare volumetrică necesită mai mult efort decât în condiții de stare de efort opusă, toate celelalte lucruri fiind egale.

Întrebări de control

1. Ce este tensiunea? Ce caracterizează starea de stres a unui punct, a unui corp în ansamblu?

2. Ce exprimă indicii în notația componentelor tensorilor de tensiuni?

3. Dați regula semnului pentru componentele tensorii tensiunii.

4. Notează formulele lui Cauchy pentru tensiuni pe platforme înclinate. Care este baza concluziei lor?

5. Ce este un tensor de stres? Care sunt componentele tensorului tensiunii?

6. Cum se numesc vectorii și valorile proprii ale tensorului de stres?

7. Care sunt tensiunile principale? Câți?

8. Dați regula de atribuire a indicilor principalelor tensiuni normale.

9. Oferiți o interpretare fizică a principalelor tensiuni normale și a axelor principale ale tensorului de tensiuni.

10. Afișați diagramele principalelor tensiuni normale pentru principalele procese ale OMD - laminare, tragere, presare.

11. Ce sunt invarianții tensorilor de stres? Câți?

12. Ce este simțul mecanic primul invariant al tensorului tensiunii?

13. Ce se numește intensitatea tensiunilor de forfecare?

14..Care sunt principalele tensiuni de forfecare? Găsiți platformele lor

15.. Câte zone ale tensiunilor de forfecare principale pot fi indicate într-un punct al corpului deformabil?

16. Care este efortul de forfecare maxim, efortul normal pe locul pe care actioneaza?

17. Ce este o stare de tensiune axisimetrică? Dă exemple.

18. Afișați diagramele principalelor tensiuni normale pentru principalele procese OMD - laminare, tragere, presare.

19. Ce este comun între un plan solicitat și o stare plană deformată și care este diferența dintre ele? La care dintre aceste stări se referă o simplă schimbare?

20. Dați formulele teoriei stresului cunoscute de dvs. în sistemul de coordonate principal

21. Ce este un elipsoid de stres? Notează-i ecuația și indică ordinea de construcție. Care este forma elipsoidului de stres pentru presiunea hidrostatică, stările de efort plană și liniară?

22. Scrieți o ecuație pentru găsirea principalelor tensiuni normale și trei sisteme de ecuații pentru găsirea axelor principale T a.

23..Ce este un tensor sferic și un deviator al tensiunii? Ce cantități sunt folosite pentru a calcula al doilea și al treilea invariant al deviatorului de stres?

24. Să se arate că principalele sisteme de coordonate ale tensorului tensiunii și ale deviatorului tensiunii coincid.

25. De ce sunt introduse în considerare intensitatea tensiunii și intensitatea tensiunii de forfecare? Explicați-le sens fizicși da interpretări geometrice.

26. Ce este o diagramă Mohr? Care sunt razele cercurilor principale?

27. Cum se va schimba diagrama Mohr atunci când se schimbă tensiunea medie?

28. Ce sunt tensiunile octaedrice?

29. Câte zone caracteristice pot fi trasate printr-un punct al unui corp aflat în stare tensionată?

30. Condiții de echilibru pentru starea de solicitare volumetrică în coordonate dreptunghiulare, în coordonate cilindrice și sferice.

31. Ecuații de echilibru pentru o problemă plană.

BIBLIOGRAFIE

1. Ilyushin A. A. Plasticitate. Ch. I. M.-L., GTI, 1948. 346 p. (33)

2. I. M. Pavlov, „Despre natura fizică a reprezentărilor tensorilor în teoria plasticității”, Izvestiya vuzov. Metalurgia feroasă”, 1965, nr. 6, p. 100–104.

3. V. V. Sokolovsky, Teoria plasticității. M., " facultate”, 1969. 608 p. (91)

4. M. V. Storozhev și E. A. Popov, Teoria tratamentului cu presiunea metalelor. M., „Inginerie”, 1971. 323 p. (99)

5. S. P. Timoshenko, Teoria elasticității. Gostekhizdat, 1934. 451 p. (104)

6. Shofman L. A. Fundamentele calculului procesului de ștanțare și presare. Mashgiz, 1961. (68)