Анықталмаған интегралдарды есептеу әдістері. Антитуынды және анықталмаған интеграл - Білім гипермаркети

Есептеу әдістеріне шолу анықталған интегралдар. Қосынды мен айырманы интегралдау, тұрақтыны интегралдық таңбадан шығару, айнымалыны өзгерту, бөліктер бойынша интегралдау кіретін интегралдаудың негізгі әдістері қарастырылады. Бөлшектерді, түбірлерді, тригонометриялық және интегралдаудың арнайы әдістері мен тәсілдері де қарастырылады көрсеткіштік функциялар.

Мазмұны

Қосынды (айырма) интегралдау ережесі

Тұрақтыны интегралдық таңбадан шығару

c мәні х-ке тәуелсіз тұрақты болсын. Сонда оны интегралдық таңбадан шығаруға болады:

Айнымалы алмастыру

Онда x t , x = φ(t) айнымалысының функциясы болсын
.
Немесе керісінше, t = φ(x) ,
.

Айнымалының өзгеруінің көмегімен жай интегралдарды есептеп қана қоймай, күрделіректердің есептеуін жеңілдетуге болады.

Бөліктер бойынша интеграция ережесі

Бөлшектерді интегралдау (рационал функциялар)

Белгілеуді енгізейік. P k (x), Q m (x), R n (x) х айнымалысына қатысты сәйкесінше k, m, n дәрежелі көпмүшелерді белгілейік.

Көпмүшелердің бөлігінен тұратын интегралды қарастырайық (рационал функция деп аталады):

Егер k ≥ n болса, онда алдымен бөлшектің бүтін бөлігін таңдау керек:
.
S k-n (x) көпмүшесінің интегралы интегралдар кестесінен есептеледі.

Интеграл қалады:
, мұндағы м< n .
Оны есептеу үшін интегралды жай бөлшектерге ыдырату керек.

Ол үшін теңдеудің түбірін табу керек:
Q n (x) = 0 .
Алынған түбірлерді пайдаланып, бөлгішті факторлардың туындысы ретінде көрсету керек:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Мұнда s - x n , x 2 + ex + f > 0 , x 2 + gx + k > 0 , ... үшін коэффициент.

Осыдан кейін бөлшекті ең қарапайымға бөліңіз:

Интегралдау, біз қарапайым интегралдардан тұратын өрнек аламыз.
Пішіннің интегралдары

кестелік ауыстыруға келтіріледі t = x - a .

Интегралды қарастырайық:

Санды түрлендірейік:
.
Интегралды алмастыра отырып, біз екі интегралды қамтитын өрнек аламыз:
,
.
Біріншіден, t \u003d x 2 + ex + f ауыстыру кестеге келтіріледі.
Екіншісі, азайту формуласы бойынша:

интегралға келтіріледі

Оның бөлгішін квадраттардың қосындысына келтіреміз:
.
Содан кейін ауыстыру арқылы интегралды

кестеде де берілген.

Иррационал функцияларды интегралдау

Белгілеуді енгізейік. R(u 1 , u 2 , ... , u n) u 1 , u 2 , ... , u n айнымалыларының рационал функциясын белгілейік. Яғни
,
мұндағы P, Q - u 1 , u 2 , ... , u n айнымалыларындағы көпмүшелер.

Бөлшек сызықты иррационалдық

Қарастырыңыз түрінің интегралдары:
,
Қайда - рационал сандар, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - бүтін сандар.
n болсын - ортақ бөлгіш r 1 , ..., r s сандары.
Сонда интеграл алмастыру арқылы рационал функциялардың интегралына келтіріледі:
.

Дифференциалдық биномдардан алынған интегралдар

Интегралды қарастырайық:
,
мұндағы m, n, p рационал сандар, a, b - нақты сандар.
Мұндай интегралдар үш жағдайда рационал функциялардың интегралдарына келтіріледі.

1) Егер p бүтін сан болса. Ауыстыру x = t N , мұндағы N - m және n бөлшектерінің ортақ бөлімі.
2) Егер бүтін сан болса. Ауыстыру a x n + b = t M, мұндағы M - p санының бөлгіші.
3) Егер бүтін сан болса. Ауыстыру a + b x - n = t M, мұндағы M - p азайғышы.

Егер үш санның ешқайсысы бүтін сан болмаса, Чебышев теоремасы бойынша бұл түрдегі интегралдарды элементар функциялардың ақырлы комбинациясы арқылы өрнектеуге болмайды.

Кейбір жағдайларда алдымен интегралды m және p мәндерінің қолайлырақ мәндеріне келтіру пайдалы болуы мүмкін. Мұны құйылған формулалар арқылы жасауға болады:
;
.

Квадрат үшмүшесінің квадрат түбірі бар интегралдар

Мұнда форманың интегралдарын қарастырамыз:
,

Эйлер алмастырулары

Мұндай интегралдарды үш Эйлер алмастыруларының біреуінің рационал функцияларының интегралдарына келтіруге болады:
, a > 0 үшін;
, c > 0 үшін;
, мұндағы x 1 – a x 2 + b x + c = 0 теңдеуінің түбірі. Егер бұл теңдеудің нақты түбірлері болса.

Тригонометриялық және гиперболалық алмастырулар

Тікелей әдістер

Көп жағдайда Эйлер алмастырулары тікелей әдістерге қарағанда ұзағырақ есептеулерге әкеледі. Тура әдістерді қолдану арқылы интеграл келесі түрлердің біріне келтіріледі.

теремін

Пішіннің интегралы:
,
мұндағы P n (x) - n дәрежелі көпмүше.

Мұндай интегралдар анықталмаған коэффициенттер әдісімен, сәйкестікті пайдалана отырып табылады:

Бұл теңдеуді дифференциялап, сол және оң жақтарын теңестіре отырып, A i коэффициенттерін табамыз.

II түрі

Пішіннің интегралы:
,
мұндағы P m (x) - m дәрежелі көпмүше.

Ауыстыру t = (x - α) -1бұл интеграл алдыңғы түрге келтірілген. Егер m ≥ n болса, онда бөлшектің бүтін бөлігі болуы керек.

III түрі

Үшінші және ең қиын түрі:
.

Мұнда сізге ауыстыру қажет:
.
Сонда интеграл келесі форманы алады:
.
Әрі қарай α, β константаларын t кезіндегі коэффициенттер жойылатындай етіп таңдау керек:
B = 0, B 1 = 0 .
Сонда интеграл екі түрдегі интегралдардың қосындысына ыдырайды:
;
,
олар сәйкесінше алмастырулармен біріктірілген:
z 2 \u003d A 1 t 2 + C 1;
y 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.

Жалпы жағдай

Трансценденттік (тригонометриялық және көрсеткіштік) функцияларды интегралдау

Қолданылатын әдістерді алдын ала ескертеміз тригонометриялық функциялар, гиперболалық функциялар үшін де қолданылады. Осы себепті гиперболалық функцияларды интегралдауды бөлек қарастырмаймыз.

cos x және sin x рационал тригонометриялық функцияларын интегралдау

Тригонометриялық функциялардың интегралдарын қарастырайық:
,
мұндағы R – рационал функция. Бұған синустар мен косинустар арқылы түрлендіру керек тангенстер мен котангенттер де кіруі мүмкін.

Мұндай функцияларды біріктіру кезінде үш ережені есте ұстаған жөн:
1) егер R( cosx, sinx)шамалардың біреуінің алдындағы белгінің өзгеруінен -1-ге көбейтіледі cos xнемесе күнә x, онда олардың екіншісін t арқылы белгілеу пайдалы.
2) егер R( cosx, sinx)бұрынғы бір уақытта таңбаны өзгертуден өзгермейді cos xЖәне күнә x, онда қою пайдалы күңгірт x = тнемесе ctg x = t.
3) алмастыру барлық жағдайда рационал бөлшектің интегралына әкеледі. Өкінішке орай, бұл ауыстыру, егер қажет болса, алдыңғыларға қарағанда ұзағырақ есептеулерге әкеледі.

cos x және sin x дәрежелік функцияларының туындысы

Пішіннің интегралдарын қарастырайық:

Егер m және n рационал сандар болса, онда ауыстырулардың бірі t = күнә xнемесе t= cos xинтеграл дифференциалдық биномның интегралына келтіріледі.

Егер m және n бүтін сандар болса, онда интегралдар бөліктер бойынша интегралдау арқылы есептеледі. Бұл келесі азайту формулаларына әкеледі:

;
;
;
.

Бөлшектері бойынша интеграция

Эйлер формуласын қолдану

Егер интеграл функциялардың біріне қатысты сызықты болса
өйткені балтанемесе синакс, онда Эйлер формуласын қолдану ыңғайлы:
e iax = cos ax + isin балта(мұндағы i 2 = - 1 ),
бұл функцияны ауыстырыңыз eiaxжәне нақтыны бөлектеу (алмастыру кезінде өйткені балта) немесе ойдан шығарылған бөлік (ауыстыру кезінде синакс) нәтижеден.

Қолданылған әдебиет:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Жоғары математикадағы есептер жинағы, Лан, 2003 ж.

Сондай-ақ қараңыз:

АНЫҚТАМАҒАН ИНТЕГРАЛ

Технологияның көптеген салаларында кеңінен қолданылатын интегралды зерттей бастаймыз. Анықталмаған интегралдан бастайық.

Антитуынды және анықталмаған интеграл

Дифференциалдық есептеудің негізгі міндеті – бұл функцияларды дифференциалдау, басқаша айтқанда, берілген функцияның өзгеру жылдамдығын табу міндеті. Ғылым мен техниканың көптеген сұрақтары кері есептің тұжырымдалуына әкеледі: берілген функция f (x) f (x) туынды болатын F(x) функциясын қалпына келтіреді: F ¢ (x) = f (x).

Анықтама. F(x) функциясы f (x) үшін антитуынды деп аталады, егер

F ¢ (x) = f (x) немесе dF(x) = f (x) dx.

Мысалдар. 1) f (x) \u003d 3x 2, F (x) \u003d x 3;

2) f(x) = cosx, F(x) = sinx.

Бұл f (x) = 3x 2 функциясы бір антитуындыға емес, жиынға сәйкес келетінін көру оңай: x 3 ; x 3 + 1; x 3 - 1; x 3 + 5; x 3 - 100; x 3 + C.

Шынында да, (x 3)¢ \u003d 3x 2; (x 3 + 1)¢ = 3x 2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + C)¢ \u003d 3x 2.

Жалпы алғанда, егер F(x) берілген f (x) функциясының антитуындысы болса, онда антитуынды функция да F(x) + c, "СнR функциясы болады, өйткені:

¢ = F¢(x) = f (x).

Барлық антитуынды f(x) жиыны F(x) + C түріндегі өрнектермен таусылған ба, әлде С-ның кез келген мәні үшін F(x) + C нәтижесінен шықпайтын осы функцияның антитуындылары бар ма? Бұл тұжырым ақиқат болып шықты: f (x) функциясының басқа антитуындылары жоқ. Басқаша айтқанда, егер F 1 (x) және F 2 (x) f (x) үшін екі қарсы туынды болса, онда F 1 (x) = F 2 (x) + C,

мұндағы C - кейбір тұрақты.

Шынымен, бері F 1 (x) және F 2 (x) f (x) үшін антитуынды болып табылады, онда

Айырмашылықты қарастырыңыз барлық x үшін.

x 0 аргументтің кейбір тұрақты мәні болсын,

x - ерікті басқа мән.

Лагранж формуласы бойынша

мұндағы х 0 мен х арасындағы қандай да бір сан. Өйткені:

Әрбір f(x) функциясының антитуындысы бар ма?

Теорема.Егер f(x) функциясы қандай да бір интервалда үзіліссіз болса, онда оның антитуындысы болады (дәлелдеусіз).

Анықтама.Егер F (x) f (x) үшін антитуындының қандай да бір түрі болса, онда C ерікті тұрақты болып табылатын F (x) + C өрнегі анықталмаған интеграл деп аталады және былай белгіленеді: , ал f (х) деп аталады. интеграл және f (x) dx өрнегі - интеграл:

Белгісіз интегралды табу, әйтпесе берілген функцияның барлық қарсы туындыларын табу әрекеті деп аталады. интеграциябұл функция. Әлбетте, дифференциация мен интеграция операциялары өзара кері.

Қосу және азайту, дәрежеге шығару және түбір алу, көбейту және бөлу өзара математикалық амалдардың мысалдары болып табылады.

Функция F(x ) шақырды қарапайым функциясы үшін f(x) берілген аралықта, егер барлығы үшін болса x осы аралықтан теңдік

F"(x ) = f(x ) .

Мысалы, функция F(x) = x 2 f(x ) = 2X , өйткені

F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Антитуындының негізгі қасиеті

Егер F(x) функцияның қарсы туындысы болып табылады f(x) берілген интервалда, содан кейін функция f(x) шексіз көп антитуындылары бар және бұл барлық антитуындыларды былай жазуға болады F(x) + C, Қайда МЕН ерікті тұрақты болып табылады.

Мысалы.

Функция F(x) = x 2 + 1 функцияның қарсы туындысы болып табылады

f(x ) = 2X , өйткені F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x);

функциясы F(x) = x 2 - 1 функцияның қарсы туындысы болып табылады

f(x ) = 2X , өйткені F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ;

функциясы F(x) = x 2 - 3 функцияның қарсы туындысы болып табылады

f(x) = 2X , өйткені F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x);

кез келген функция F(x) = x 2 + МЕН , Қайда МЕН ерікті тұрақты болып табылады және тек осындай функция функция үшін қарсы туынды болады f(x) = 2X . ◄

Антитуындыларды есептеу ережелері

Егер F(x) - үшін түпнұсқа f(x) , А G(x) - үшін түпнұсқа g(x) , Бұл F(x) + G(x) - үшін түпнұсқа f(x) + g(x) . Басқа сөздермен айтқанда, қосындының қарсы туындысы қарсы туындылардың қосындысына тең .
Егер F(x) - үшін түпнұсқа f(x) , Және к тұрақты, сонда к · F(x) - үшін түпнұсқа к · f(x) . Басқа сөздермен айтқанда, тұрақты факторды туындының таңбасынан шығаруға болады .
Егер F(x) - үшін түпнұсқа f(x) , Және к,б- тұрақты және k ≠ 0 , Бұл 1 / к F(к x +б ) - үшін түпнұсқа f(к x + б) .

Анықталмаған интеграл

Анықталмаған интеграл функциясынан f(x) өрнек деп аталады F(x) + C, яғни берілген функцияның барлық қарсы туындыларының жиыны f(x) . Анықталмаған интеграл былай белгіленеді:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- деп шақырды интеграл ;

f(x) dx- деп шақырды интеграл ;

x - деп шақырды интеграциялық айнымалы ;

F(x) функцияның антитуындыларының бірі болып табылады f(x) ;

МЕН ерікті тұрақты болып табылады.

Мысалы, ∫ 2 x dx =X 2 + МЕН , ∫ cosx dx =күнә X + МЕН тағыда басқа. ◄

«Интеграл» сөзі латын сөзінен шыққан бүтін сан , бұл «қалпына келтірілген» дегенді білдіреді. -ның анықталмаған интегралын қарастыру 2 x, біз функцияны қалпына келтіреміз X 2 , оның туындысы 2 x. Функцияны оның туындысынан қалпына келтіру немесе сол сияқты, берілген интегралдан анықталмаған интегралды табу деп аталады. интеграция бұл функция. Интеграция дифференциалдаудың кері операциясы.Интеграцияның дұрыс орындалғанын тексеру үшін нәтижені дифференциациялау және алу жеткілікті. интеграл.

Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері

Анықталмаған интегралдың туындысы интегралға тең:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

Интегралдың тұрақты коэффициентін интегралдық таңбадан шығаруға болады:

∫ к · f(x) dx = к · ∫ f(x) dx .

Функциялар қосындысының (айырымы) интегралы осы функциялардың интегралдарының қосындысына (айырымы) тең:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

Егер к,б- тұрақты және k ≠ 0 , Бұл

∫ f( к x + б) dx = 1 / к F(к x +б ) + C .

Антитуынды және анықталмаған интегралдар кестесі

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
I.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln \|x\|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln \|x\|+C$$
v.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
x.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln\|x+\sqrt(a^2+x^2)\|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln \|\cos x\|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln \|\cos x\|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln \|\sin x\|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln \|\sin x\|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\сол (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \оң жақ) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\сол (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \оң ) \end(vmatrix)+C $$
Бұл кестеде берілген қарабайыр және анықталмаған интегралдар әдетте аталады кестелік примитивтер Және кестелік интегралдар .

Анықталған интеграл

Арасында болсын [а; б] үздіксіз функция берілген y = f(x) , Содан кейін a-дан b-ге дейінгі анықталған интеграл функциялары f(x) примитивтің өсімі деп аталады F(x) бұл функция, яғни

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Сандар аЖәне бсәйкес деп аталады төмен Және жоғарғы интеграциялық шектеулер.

Анықталған интегралды есептеудің негізгі ережелері

1. $\int_(a)^(a)f(x)dx=0$;

2. $\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx$;

3. $\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,$ мұндағы к - тұрақты;

4. $\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx $;

5. $\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx$;

6. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx$, мұндағы f(x) жұп функция;

7. $\int_(-a)^(a)f(x)dx=0$, мұндағы f(x) тақ функция болып табылады.

Түсініктеме . Барлық жағдайларда шекаралары интегралдау шегі болатын сандық интервалдарда интегралдарды интегралдауға болады деп болжанады.

Анықталған интегралдың геометриялық және физикалық мағынасы

геометриялық мағына анықталған интеграл	физикалық мағынасы анықталған интеграл

Шаршы С қисық сызықты трапеция(аралықта үздіксіз оң графигімен шектелген фигура [а; б] функциялары f(x) , ось Өгіз және тікелей x=a , x=b ) формуласымен есептеледі $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Жол скім жеңді материалдық нүкте, заңға сәйкес өзгеретін жылдамдықпен түзу сызықпен қозғалу v(t) , уақыт аралығы үшін a ; б], содан кейін осы функциялардың графиктерімен және түзу сызықтармен шектелген фигураның ауданы x = a , x = b , формуласымен есептеледі $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Мысалы. Фигураның ауданын есептеңіз сызықтармен шектелген y=x 2 Және у= 2- x . Біз осы функциялардың графиктерін схемалық түрде бейнелейміз және ауданы басқа түсте табылуы керек фигураны бөлектейміз. Интегралдау шегін табу үшін мына теңдеуді шешеміз: x 2 = 2- x ; x 2 + x- 2 = 0 ; x 1 = -2, x 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\сол (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \оң )\бигм\|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Революция денесінің көлемі

Егер дене ось бойынша айналу нәтижесінде алынса Өгіз интервалдағы үздіксіз және теріс емес графигімен шектелген қисық сызықты трапеция [а; б] функциялары y = f(x) және тікелей x = aЖәне x = b , содан кейін ол аталады революция денесі .

Айналым денесінің көлемі формула бойынша есептеледі

$$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$

Егер революция денесі функция графиктерімен жоғары және төмен шектелген фигураның айналуы нәтижесінде алынса y = f(x) Және y = g(x) , сәйкесінше, содан кейін

$$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$

Мысалы. Радиусы бар конустың көлемін есептеңдер r және биіктігі h .

Конусты орналастырайық тікбұрышты жүйеоның осі осімен сәйкес келетіндей координаттар Өгіз , ал базаның центрі координаталар басының басында орналасты. Генератордың айналуы ABконусты анықтайды. Теңдеуден бері AB

$$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$

$$y=r-\frac(rx)(h)$$

және конустың көлемі үшін бізде бар

$$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2сағ\сол (0-\frac(1)(3) \оң)=\frac(\pi r^2сағ)(3).$$

◄

Мемлекеттік бюджеттік кәсіптік білім беру мекемесі

«Невинномысск энергетикалық колледжі»

Әдістемелік өңдеу ашық сабақ«математика» пәні бойынша

Сабақтың тақырыбы :

Функцияның антитуындысы. Анықталмаған интеграл.

Математика пәнінің мұғалімі:

Скрылникова Валентина Евгеньевна

Невинномысск 2016 ж.

Сабақтың мақсаттары :

тәрбиелік : Интегралдық есептеулер туралы түсініктерін қалыптастыру, оның мәнін түсіну. Анықталмаған интегралды және қарсы туындыларды табу дағдыларын, интегралдау қасиеттері мен әдістерін қолдана білу дағдыларын дамыту.

Әзірлеуші: Математикалық сауатты сөйлеуін, зейінін, оқу материалын саналы қабылдауын дамыту.

Тәрбиелік : Тәрбиелеу танымдық белсенділік, ұлы математиктердің интеграция саласындағы жетістіктерінің арқасында тапқырлық пен ойлау.

Сынып түрі : сабақ

Сабақтың түрі : жаңа білім туралы хабарламалар

Өткізу әдісі : ауызша, көрнекілік, өзіндік жұмыс.

Біліктілік талаптары:

Студенттер міндетті:

Тақырыпты оқу барысында «Функцияның антитуындысы. Анықталмаған интеграл » студенттерүйрену негізгі ұғымдар мен мәлімдемелер,идеялары бар геометриялық, физикалық және басқа қолданбалы есептерде интегралдық есептеу құралдарын қолдану мүмкіндіктері туралы.

Білу:

антитуынды функция мен анықталмаған интегралды анықтау;

қасиеттері мен интегралдарын табу әдістері

қарапайым интегралдардың формулалары.

Істей білу:

негізгі қасиеттері мен табу әдістерін пайдалана отырып, антитуынды және анықталмаған интегралдарды есептеу.

Пәнаралық байланыстар Негізгі сөздер: физика, математика тарихы.

Пәнаралық байланыстар : «Туындыны табу», «Денелердің көлемдерін есептеу», «Анықталған интегралды есептеу».

Сабақты қамтамасыз ету :

-Көрнекі құралдар : интегралдық есептеулер туралы идеясы бар ұлы математиктердің портреттері

-Үлестірме материал : сызбалармен, тапсырмалар карталарымен реферат (бекіту кезеңінде).

-Жабдық : сурет салу керек-жарақтары, сызғыш.

Сабақтың құрылымы.

1. Ұйымдастыру уақыты(1 мин.)

Мотивация оқу іс-әрекеттері. (3 мин.)

Жаңа материалды таныстыру. (50-51 мин.)

Өздік жұмыс(10 мин)

Оқыған материалды бекіту. (5 минут.)

Сабақты қорытындылау. (2-3 мин.)

Хабар үй жұмысы. (1 мин.)

Курстың барысы.

Ұйымдастыру уақыты . (1 мин.)

Мұғалім оқушылармен амандасады, аудиторияда отырғандарды тексереді.

Оқушылар жұмысқа дайындалуда. Басшы хаттама толтырады. Офицерлер жадынамалар таратады.

Оқу әрекетіне мотивация .(3 мин.)

Бүгінгі сабағымыздың тақырыбы «Функцияның антитуындысы. Анықталмаған интеграл. Бұл тақырып бойынша білімді біз келесі сабақтарда жазық фигуралардың белгілі бір интегралдарын, аудандарын табуда пайдаланамыз. Бөлімдердегі интегралдық есептеулерге көп көңіл бөлінеді жоғары математикажоғарыда оқу орындарықолданбалы есептерді шешу кезінде.

Біздің бүгінгі сабағымыз жаңа материалды меңгеру сабағы, сондықтан ол теориялық сипатта болады.

Сабақтың мақсаты: интегралдық есептеулер туралы түсініктерін қалыптастыру, оның мәнін түсіну, антитуынды және анықталмаған интегралды табу дағдыларын дамыту.

Оқушылар сабақтың күні мен тақырыбын жазып алады.

3. Жаңа материалды баяндау (50-51 мин)

Тақырып : «Функцияның қарсы туындысы. Анықталмаған интеграл».

Интегралдық есептеулер тарихынан. Терминдер мен атаулардың шығу тегі туралы.

Антитуынды анықтамасы, оның негізгі қасиеті, қарсы туындыны табу ережелері.

Анықталмаған интеграл туралы түсінік, оның қасиеттері.

1. Интеграл ұғымының тарихы квадратураларды табу есептерімен тығыз байланысты. Математиканың бір немесе басқа жазық фигураларының квадратурасына есептер Ежелгі Грецияжәне Рим есептер деп аталды, біз қазір аудандарды есептеуге арналған есептерге сілтеме жасаймыз.

Ежелгі грек математиктерінің мұндай есептерді шешудегі көптеген елеулі жетістіктері Евдокс Книдский ұсынған сарқылу әдісін қолданумен байланысты. Осы әдіс арқылы Евдокс дәлелдеді:

1. Екі шеңбердің аудандары олардың диаметрлерінің квадраттарымен байланысты.

2. Конустың көлемі биіктігі мен табаны бірдей цилиндр көлемінің 1/3 бөлігіне тең.

Евдокс әдісін Архимед жетілдірді және келесі нәрселер дәлелденді:

1. Шеңбер ауданының формуласын шығару.

2. Шардың көлемі цилиндр көлемінің 2/3 бөлігін құрайды.

Барлық жетістіктерді ұлы математиктер интегралдар көмегімен дәлелдеді.

Таңба1675 жылы Лейбниц енгізген. Бұл белгі латынның S әрпінен өзгерген. Сөз «ажырамас ” дегенді 1690 жылы Бернулли ойлап тапқан. Ол латын тілінен шыққан integro, ол бұрынғы күйіне қайтару, қалпына келтіру дегенді білдіреді. Шынында да, интеграция операциясы дифференциацияға кері, яғни. интегралды табудың дұрыстығын тексеру үшін жауапты дифференциялап, интегралды алу керек. Басқаша айтқанда, интегралдық есептеу мәселені шешеді: белгісіз функцияның туындысын немесе дифференциалын ескере отырып, бұл функцияны анықтау қажет. Бұдан қорытынды шығаруға болады, оны анықтама түрінде жазамыз.

2. Анықтама 1 : Функция Ф(x) аталады қарапайым функциясы үшін f(x) осы аралықта, егер бар болсаxосы аралықтанФ’(x) = f(x).

Мысалы: Функцияға қарсы туындыf( x)= x 3 бүтін сан осінде орналасқанФ( x)= x 4 /4 себебі (x 4 /4)’= x.

Примитивтердің негізгі қасиеті

Егер Ф(x) функцияның қарсы туындысыf(x), содан кейін функция Ф(x)+ C, Қайда Cерікті тұрақты, сонымен қатар функцияның антитуындысы болып табыладыf(x).

Геометриялық интерпретация

берілген функцияның барлық қарсы туындыларының графиктері f ( x ) алынады ось бойынша параллель тасымалдаулар арқылы кез келген бір антитуындының графигіненж.

Антитуындыларды табудың үш ережесі

№1 ереже: Егер F - f-ның антитуындысы, ал G - g-ның антитуындысы болса, F+G - f+g туындысының қарсы туындысы.

(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g

№2 ереже: Егер F f үшін қарсы туынды болса, ал k тұрақты болса, kF функциясы kf үшін қарсы туынды болады.

(kF)' = kF' = kf

№3 ереже: Егер F f үшін қарсы туынды болса және k және b тұрақтылар (
), содан кейін функция

- f(kx+b) үшін антитуынды.

3. 1-теоремаға оралып, жаңа анықтаманы шығарайық.

Анықтама 2 : F(x) + C өрнегі, мұндағы C ерікті тұрақты, анықталмаған интеграл деп аталады және символмен белгіленеді.

Анықтамадан бізде:

(1)

Функцияның анықталмаған интегралы f(x) осылайша барлық антитуындылардың жиыны болып табылады f(x).

(1) теңдікте функция f(x) деп аталадыинтеграл , және f(x)dx– өрнегіинтеграл , айнымалы x –интеграциялық айнымалы , C термині -интегралдау константасы .

Интеграция – дифференциацияға кері. Интеграцияның дұрыстығын тексеру үшін нәтижені дифференциациялау және интегралды алу жеткілікті.

Анықталмаған интеграл

Берілген функцияның барлық қарсы туындыларының жиыныf( x) оны деп атайдыанықталмаған интеграл және белгіленеді :

ҚайдаCерікті тұрақты болып табылады.

Анықталмаған интегралдың қасиеттері.

Антитуынды анықтамасына сүйене отырып, мынаны дәлелдеу оңайанықталмаған интегралдың қасиеттері

Анықталмаған интегралдың дифференциалы интегралға тең

Кейбір функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функцияға және ерікті тұрақтыға тең

Екі немесе одан да көп функциялардың алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы олардың интегралдарының алгебралық қосындысына тең

Тұрақты коэффициентті интегралдық таңбадан шығаруға болады, яғни a=const болса, онда

Жай интегралдар кестесі.

Оқушылар ұлы математиктердің есімдерін және олардың интегралдық есептеу саласындағы жетістіктерін жазады.

Оқушылар интегралдың шығу тарихы туралы мәліметтерді жазып алады.

Студенттер үлестірмелі материал мен мұғалімнің түсіндірмелерін пайдалана отырып, лекцияны жазып алады. Антитуынды және интегралдық қасиеттерін дәлелдеу кезінде дифференциалдау тақырыбы бойынша білімдерін пайдаланады.

Анықталмаған интегралды табуға мысалдар шешу.

Өздік жұмыс

1 нұсқа

4. Оқыған материалды бекіту (12 мин)

Оқыған материалды бекіту кезеңінде «Жан жарыңды тап» ойыны ұсынылады. Барлық қатысушыларды сегіз кіші топқа бөлуге шақырады. Әрбір топшаға «функция» немесе «қарабайыр» және сәйкес тапсырма жазылған карточка беріледі, яғни.

Егер сіздің картаңызда «функция» сөзі жазылған болса, онда бұл функцияның интегралын табу үшін қарапайым интегралдар кестесін пайдалану керек.

Егер «антитуынды» деп жазылса, дифференциалдау операциясы арқылы функцияның өзін табу керек.

Тақтадан жан жарыңызды табыңыз. Содан кейін жауабыңызды магнитпен бекітіңіз. Толық жиынтықтан кейін барлық сәйкестіктердің дұрыс екеніне көз жеткізіңіз. Қалайша? Жауаптарды кері жағымен аударыңыз, мұнда «Интеграл» түйінді сөзі жасалады - сабақ тақырыбы.

Ойын ережелері бойынша нұсқауларды орындаңыз.

IKTIB ITA SFU

МАТЕМАТИКА ПӘНІНЕН ДӘРІС КУРСЫ

5-тарау Интегралдық есептеулер
бір айнымалының функциялары

Дәріс 21 Антитуынды, анықталмаған интеграл

Дәріс жоспары

Антитуынды және анықталмаған интеграл. Анықталмаған интегралдың қасиеттері. Кестені біріктіру. Интегралдау формулаларының инварианттық қасиеті. Дифференциал белгісінің астына келтіру. Анықталмаған интегралдағы айнымалының өзгеруі. Бөлшектері бойынша интеграция. Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлу. Дұрыс рационал бөлшектерді жай бөлшектерге жіктеу. Жай және рационал бөлшектерді интегралдау. Тригонометриялық функцияларды және кейбір иррационал өрнектерді интегралдау.

Антитуынды және анықталмаған интеграл туралы түсінік

Интеграл дегеніміз не? Интеграция дифференциацияға қарама-қарсы екені рас па? Осы және басқа да сұрақтарға жауап берейік.

Анықтама 1 . Функцияның антитуындысы - бұл функция.

Демек, антитуынды дегеніміз туындысы берілген функцияға тең функция. Берілген функция үшін антитуынды бірегей анықталмағанын ескеріңіз. Мысалы, функцияның туындысы функцияға тең. Демек, функция функция үшін қарсы туынды болып табылады. Бірақ, ақыр соңында, функцияның туындысы да функцияға тең. Демек, функция , сонымен қатар функциясы үшін де антитуынды болып табылады, мұндағы - ерікті тұрақты.

1-теорема . (Жалпы формаберілген функция үшін қарсы туындылар) функциясы функция үшін қарсы туынды болсын. Сонда функцияның кез келген қарсы туындысы ретінде көрсетіледі, мұндағы - ерікті тұрақты. Және керісінше, кез келген функция үшін функцияға қарсы туынды болып табылады.

Дәлелдеу . Теореманың екінші бөлігі анық, өйткені бұл анық. Енді екі функцияның туындылары тең болса, онда бұл функциялар тұрақты шамамен ерекшеленетінін дәлелдеу жеткілікті. Шын мәнінде, егер функцияның туындысы (аталған функциялардың айырмасы) 0-ге тең болса, онда бұл тұрақты шаманың туындысы екенін дәлелдеу жеткілікті. Бірақ бұл шындық. Кез келген екі нүктені алыңыз. Осы нүктелердегі функция мәндерінің арасындағы айырмашылық, Лагранждың ақырлы өсу формуласына сәйкес, аргументтердің айырмасына көбейтілген кейбір аралық нүктедегі туындыға тең ( ). Бірақ, түптеп келгенде, туынды барлық жерде 0-ге тең, сондықтан функцияның өсімі әрқашан 0-ге тең, яғни функция тұрақтыға тең. Теорема дәлелденді.

Анықтама 2 . Функцияның барлық қарсы туындыларының жиыны функцияның анықталмаған интегралы деп аталады және таңбамен белгіленеді.

Сонымен, шын мәнінде, белгісіз интегралды есептеу туындыны есептеуге кері әрекетті орындауды білдіреді. Сонымен қатар, 1-теореманы ескере отырып, анықталмаған интегралды есептеу формуласы жарамды , (1) мұндағы - астында шақырылатын функцияның антитуындыларының бірі синтегралдық функция.

Функцияның туындысының көптеген қосымшалары бар екенін біз бұрыннан білеміз. Қолданбалардағы сөйлеу, әрине, жеке нүктелердегі туынды мәндер туралы, яғни сандар туралы. Анықталмаған интеграл функциялар жиыны екенін ескеріңіз. Сондықтан анықталмаған интегралдың тікелей қолданылуы өте шектеулі. Қолданбаларда интегралдың басқа түрлері бар, мұнда нәтиже сан болып табылады және техникалық тұрғыдан есептеу антитуынды функцияны табуға дейін қысқарады. Сондықтан анықталмаған интегралды есептеуді үйрену өте маңызды.

1. Қандай функциялардан есептеуге болады
анықталмаған интеграл

Кез келген элементар функцияның туындысын негізгі элементар функциялардың туындылары кестесін және туындыларды есептеу ережелерін (қосынды, айырма, көбейтінді, бөлім, күрделі функция).

Осы жерден «оңнан солға қарай» туындылар кестесін оқу арқылы антитуындылар кестесін жазуға болады. Туындыны есептеу ережелеріне сәйкес келетін ережелерді тұжырымдауға да болады. Сандық жиынның қосындысы, айырмасы, көрсетілуі кезінде дифференциалдау және интегралдау ережелері бірдей болады. Бірақ күрделі функцияның туындысы, көбейтіндісі және есебімен жағдай күрделірек. Өйткені, туынды, айталық, туынды «туынды өнімге» тең емес. Сондықтан антитуындылар кестесі және антитуындыларды есептеу ережелері кез келген элементар функцияның антитуындысын табуға мүмкіндік бермейді. Элементар функциялардың «алынбаған» деп аталатын интегралдары бар. Мысалы, қарапайым интегралды біздің түсінігімізде есептеу мүмкін емес сияқты көрінеді, өйткені элементар функциялардың ішінде туындысы -ге тең болатын функция жоқ. үшін антитуынды үздіксіз функцияәрқашан бар, бірақ бұл жағдайда ол қарапайымдардың қатарында емес. Мұндай функциялар арнайы деп аталады. Олардың көпшілігі қосымшаларда қажет және олар бөлек зерттеледі.

Сонымен, функцияның туындысын есептеуден айырмашылығы, бізге кез келген элементар функцияның анықталмаған интегралын есептей білудің қажеті жоқ. Біз анықталмаған интегралдарды есептеуді үйренуіміз керек элементар функциялардың белгілі бір түрлерін зерттейміз.

Қарапайым анықталмаған интегралдар кестесі

Негізгі элементар функциялардың туындылары кестесін еске түсірейік:

1)	2)	3)	4)
5)	6)	7)	8)
9)	10)	11)	12)

Көптеген жолдармен ол қарапайым анықталмаған интегралдардың кестесін жасайды. Мұнда басқа да интегралдар бар. Олардың барлығын оң жақтың туындысын есептеу арқылы оңай тексеруге болады.

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)

	\|	келесі дәріс ==>
	\|