Желіде сызықтармен шектелген фигураның көлемінің шешімі. Қос интеграл көмегімен жазық фигураның ауданын қалай есептеуге болады? Қайталау сұрақтары

Шындығында, фигураның ауданын табу үшін сізге белгісіз және анықталған интеграл туралы көп білім қажет емес. «Анықталған интеграл көмегімен ауданды есептеу» тапсырмасы әрқашан сызбаның құрылысын қамтиды, тағы да көп өзекті мәселесіздің біліміңіз бен сурет салу дағдыларыңыз болады. Осыған байланысты негізгі элементар функциялардың графиктерін жадыны жаңарту және ең аз дегенде түзу және гиперболаны құра білу пайдалы.

Қисық сызықты трапеция деп осьпен, түзу сызықтармен және осы аралықта таңбасын өзгертпейтін кесіндідегі үзіліссіз функцияның графигімен шектелген жазық фигураны айтады. Бұл фигура орналассын кем емесабсцисса:

Содан кейін қисық сызықты трапецияның ауданы белгілі бір интегралға сандық түрде тең. Кез келген белгілі бір интеграл (бар) өте жақсы геометриялық мағынаға ие.

Геометрия тұрғысынан анықталған интеграл - AREA.

Яғни,анықталған интеграл (егер ол бар болса) қандай да бір фигураның ауданына геометриялық түрде сәйкес келеді. Мысалы, анықталған интегралды қарастырайық. Интегралосьтің үстінде орналасқан жазықтықта қисық сызықты анықтайды (қалағандар сызбаны аяқтай алады), ал анықталған интегралдың өзі сәйкес қисық сызықты трапеция ауданына сандық түрде тең.

1-мысал

Бұл әдеттегі тапсырма мәлімдемесі. Шешімнің бірінші және ең маңызды сәті сызбаның құрылысы болып табылады. Оның үстіне сызбаны салу керек ДҰРЫС.

Жоспар құру кезінде мен келесі тәртіпті ұсынамын: алғашқыдабарлық сызықтарды (бар болса) және тек қана құрастырған дұрыс Содан кейін- парабола, гипербола, басқа функциялардың графиктері. Функция графиктерін құру тиімдірек нүктелік.

Бұл мәселеде шешім келесідей болуы мүмкін.
Сызба жасайық (теңдеу осьті анықтайтынын ескеріңіз):

кесіндісінде функцияның графигі орналасқан ось үстінде, Сондықтан:

Жауап:

Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаға қарап, жауаптың нақты екенін анықтау әрқашан пайдалы. Бұл жағдайда «көзбен» біз сызбадағы ұяшықтардың санын санаймыз - жақсы, шамамен 9 терілетін болады, бұл дұрыс сияқты. Егер бізде жауап болса, айталық: 20 шаршы бірлік, демек, бір жерде қателік жіберілгені анық - 20 ұяшық бұл фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көп дегенде ондаған. Егер жауап теріс болып шықса, онда тапсырма да қате шешілген.

3-мысал

Фигураның ауданын есептеңіз сызықтармен шектелген, және координаталық осьтер.

Шешім: Сурет салайық:

Егер қисық сызықты трапеция орналасса осьтің астында(немесе кем дегенде жоғары емесберілген ось), онда оның ауданын мына формула бойынша табуға болады:

Бұл жағдайда:

Назар аударыңыз! Тапсырмалардың екі түрін шатастырмаңыз:

1) Егер сізден тек анықталған интегралды ешбірсіз шешу сұралса геометриялық мағынасы, онда ол теріс болуы мүмкін.

2) Егер сізге белгілі интеграл көмегімен фигураның ауданын табу сұралса, онда аудан әрқашан оң болады! Міне, сондықтан минус қарастырылған формулада пайда болады.

Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады, сондықтан қарапайым мектеп есептерінен біз мағыналы мысалдарға көшеміз.

4-мысал

Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз.

Шешім: Алдымен сызбаны аяқтау керек. Жалпы алғанда, аудан есептерінің сызбасын салғанда, бізді сызықтардың қиылысу нүктелері қызықтырады. Парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін табайық. Мұны екі жолмен жасауға болады. Бірінші әдіс – аналитикалық. Теңдеуді шешеміз:

Демек, интеграцияның төменгі шегі , интеграцияның жоғарғы шегі .

Мүмкіндігінше бұл әдісті қолданбаған дұрыс..

Интеграцияның шегі «өздігінен» анықталғандай, сызықтарды нүкте бойынша салу әлдеқайда тиімді және жылдамырақ. Дегенмен, шектерді табудың аналитикалық әдісін әлі де кейде қолдануға тура келеді, егер, мысалы, график жеткілікті үлкен болса немесе бұрандалы конструкция интеграцияның шектерін ашпаса (олар бөлшек немесе иррационал болуы мүмкін). Сондай-ақ біз мұндай мысалды қарастырамыз.

Біз тапсырмамызға ораламыз: алдымен түзу сызықты, содан кейін ғана параболаны тұрғызу ұтымдырақ. Сурет салайық:

Ал енді жұмыс формуласы: аралықта үздіксіз функция болса артық немесе теңкейбір үздіксіз функция, содан кейін осы функциялардың графиктерімен және түзу сызықтармен шектелген фигураның ауданын мына формула бойынша табуға болады:

Бұл жерде фигураның қай жерде орналасқанын ойлаудың қажеті жоқ - осьтің үстінде немесе осінен төмен, және, шамамен айтқанда, қай диаграмманың ЖОҒАРЫДА екені маңызды(басқа графикке қатысты), және қайсысы ТӨМЕН.

Қарастырылып отырған мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, сондықтан одан шегеру керек.

Шешімнің аяқталуы келесідей болуы мүмкін:

Қажетті фигура жоғарыдан параболамен және төменнен түзу сызықпен шектеледі.
Сәйкес формула бойынша сегментінде:

Жауап:

4-мысал

, , , сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеңдер.

Шешім: Алдымен сурет салайық:

Ауданын табуымыз керек фигура көк түспен боялған.(шартты мұқият қараңыз - фигура қалай шектелген!). Бірақ іс жүзінде абайсыздықтың салдарынан жасыл түске боялған фигураның аймағын табу керек болатын «ақаулық» жиі орын алады!

Бұл мысал сонымен қатар пайдалы, өйткені онда фигураның ауданы екі анықталған интегралдың көмегімен есептеледі.

Шынымен:

1) Ось үстіндегі кесіндіде түзу графигі бар;

2) Ось үстіндегі кесіндіде гипербола графигі орналасқан.

Аймақтарды қосуға болатыны (және қажет) екені анық, сондықтан:

Айналым денесінің көлемін қалай есептеу кереканықталған интегралды қолданады?

Координаталық жазықтықта қандай да бір жалпақ фигураны елестетіңіз. Біз оның аумағын тауып алдық. Бірақ, сонымен қатар, бұл фигураны екі жолмен айналдыруға және айналдыруға болады:

x осінің айналасында;

Y осінің айналасында .

Бұл мақалада екі жағдай да талқыланады. Айналдырудың екінші әдісі әсіресе қызықты, ол ең үлкен қиындықтарды тудырады, бірақ іс жүзінде шешім х осінің айналасындағы жиірек айналудағы сияқты дерлік.

Ең танымал айналу түрінен бастайық.

Біз қисық сызықты трапеция G ауданын қалай табуға болатындығын анықтадық. Міне, нәтиже формулалары:
үзіліссіз және теріс емес функция үшін y=f(x) кесіндісінде,
үзіліссіз және оң емес функция үшін y=f(x) кесіндісінде.

Дегенмен, ауданды табу мәселелерін шешу кезінде жиі күрделі сандармен айналысуға тура келеді.

Бұл мақалада шекаралары функциялармен, яғни y=f(x) немесе x=g(y) түрінде нақты көрсетілген фигуралардың ауданын есептеу туралы сөйлесеміз және типтік мысалдардың шешімін егжей-тегжейлі талдаймыз. .

Бетті шарлау.

y=f(x) немесе x=g(y) сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу формуласы.

Теорема.

және функциялары кесіндіде анықталған және үзіліссіз болсын және кез келген х мәні үшін -ден. Содан кейін сызықтармен шектелген G фигурасының ауданы x=a , x=b , және формула бойынша есептеледі .

Ұқсас формула y \u003d c, y \u003d d сызықтарымен шектелген фигураның ауданы үшін жарамды және: .

Дәлелдеу.

Үш жағдай үшін формуланың дұрыстығын көрсетейік:

Бірінші жағдайда, екі функция да теріс емес болғанда, ауданның аддитивтік қасиетіне байланысты, бастапқы G фигурасының және қисық сызықты трапецияның ауданының қосындысы фигураның ауданына тең болады. Демек,

Сондықтан, . Соңғы көшу анықталған интегралдың үшінші қасиетінің арқасында мүмкін болады.

Сол сияқты, екінші жағдайда теңдік ақиқат. Міне графикалық иллюстрация:

Үшінші жағдайда, екі функция да оң емес болғанда, бізде болады. Мұны суреттеп көрейік:

Енді функциялар мен Ox осін кесіп өткенде жалпы жағдайға көшуге болады.

Қиылысу нүктелерін белгілейік. Бұл нүктелер кесіндіні n бөлікке бөледі, мұндағы. G фигурасын фигуралардың бірігуімен көрсетуге болады . Оның интервалында бұрын қарастырылған үш жағдайдың біріне жататыны анық, сондықтан олардың аудандары болып табылады

Демек,

Соңғы көшу анықталған интегралдың бесінші қасиетіне байланысты жарамды.

Осылайша формула дәлелденген.

y=f(x) және x=g(y) түзулерімен шектелген фигуралардың ауданын табу мысалдарын шешуге көшудің уақыты келді.

y=f(x) немесе x=g(y) сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу мысалдары.

Әр есептің шешімін жазықтықта фигураны салудан бастаймыз. Бұл бізге мүмкіндік береді күрделі фигурақарапайым пішіндердің бірлестігі ретінде қарастырыңыз. Құрылыста қиындықтар туындаған жағдайда мақалаларды қараңыз:; Және .

Мысал.

Параболамен шектелген фигураның ауданын есептеңдер және түзулер , x=1 , x=4 .

Шешім.

Мына сызықтарды жазықтықта тұрғызайық.

Сегменттің барлық жерінде парабола графигі тікелей үстінде. Сондықтан ауданға бұрын алынған формуланы қолданып, Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды есептейміз:

Мысалды сәл күрделендіріп көрейік.

Мысал.

Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.

Шешім.

Бұл алдыңғы мысалдардан қалай ерекшеленеді? Бұрын бізде әрқашан x осіне параллель екі түзу болатын, ал енді бір ғана x=7 . Бірден сұрақ туындайды: интеграцияның екінші шегін қайдан алуға болады? Ол үшін сызбаны қарастырайық.

Фигураның ауданын табу кезінде интеграцияның төменгі шегі y \u003d x түзу сызығының және жартылай параболаның қиылысу нүктесінің абсциссасы екені белгілі болды. Бұл абсциссаны теңдіктен табамыз:

Демек, қиылысу нүктесінің абсциссасы x=2 .

Назар аударыңыз.

Біздің мысалда және сызбада y=x түзулері (2;2) нүктесінде қиылысатынын және алдыңғы есептеулер артық болып көрінетінін көруге болады. Бірақ басқа жағдайларда бәрі соншалықты айқын болмауы мүмкін. Сондықтан түзулердің қиылысу нүктелерінің абсциссалары мен ординаталарын әрқашан аналитикалық есептеуді ұсынамыз.

y=x функциясының графигі функция графигінің үстінде аралықта орналасқаны анық. Ауданды есептеу үшін формуланы қолданамыз:

Тапсырманы одан да күрделендірейік.

Мысал.

және функцияларының графиктерімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз .

Шешім.

Кері пропорционалдық пен параболаның графигін тұрғызайық .

Фигураның ауданын табу формуласын қолданбас бұрын, интеграцияның шектері туралы шешім қабылдау керек. Ол үшін және өрнектерін теңестіру арқылы түзулердің қиылысу нүктелерінің абсциссаларын табамыз.

Нөлден басқа х мәндері үшін теңдік үшінші дәрежелі теңдеуге тең бүтін коэффициенттері бар. Оны шешу алгоритмін еске түсіру үшін бөлімге жүгінуге болады.

Бұл теңдеудің түбірі x=1 екенін тексеру оңай: .

Өрнекті бөлу x-1 биномына, бізде:

Осылайша, қалған түбірлер теңдеуден табылады :

Енді сызбадан G фигурасы интервалда көк түстің үстінде және қызыл сызықтан төмен орналасқаны белгілі болды. . Осылайша, қажетті аумақ тең болады

Тағы бір типтік мысалды қарастырайық.

Мысал.

Қисықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңдер және абсцисса осі.

Шешім.

Сурет салайық.

Бұл үштен бір көрсеткіші бар кәдімгі дәрежелік функция, функцияның графигі графиктен оны х осіне қатысты симметриялы түрде көрсету және оны бір жоғары көтеру арқылы алуға болады.

Барлық түзулердің қиылысу нүктелерін табыңыз.

x осінде y=0 теңдеуі бар.

және y=0 функцияларының графиктері (0;0) нүктесінде қиылысады, өйткені x=0 теңдеудің жалғыз нақты түбірі.

Функционалдық графиктер және y=0 (2;0) нүктесінде қиылысады, өйткені x=2 теңдеудің жалғыз түбірі. .

Функция графиктері және (1;1) нүктесінде қиылысады, өйткені x=1 теңдеудің жалғыз түбірі . Бұл мәлімдеме толығымен анық емес, бірақ қатаң өсетін функция болып табылады және - қатаң кемімелі, демек, теңдеу ең көбі бір тамыры бар.

Жалғыз ескерту: бұл жағдайда ауданды табу үшін пішін формуласын пайдалану керек . Яғни, шектейтін сызықтар аргументтің функциялары ретінде ұсынылуы керек y, бірақ қара сызықпен.

Түзулердің қиылысу нүктелерін анықтайық.

Функциялардың графиктерінен бастайық және:

Функциялардың графиктерінің қиылысу нүктесін табайық және:

Түзулердің қиылысу нүктесін табу қалады және:

Көріп отырғаныңыздай, мәндер сәйкес келеді.

Қорытындылау.

Біз нақты берілген сызықтармен шектелген фигураның ауданын табудың барлық жиі кездесетін жағдайларын талдадық. Ол үшін жазықтықта түзулерді тұрғызу, түзулердің қиылысу нүктелерін табу және белгілі бір интегралдарды есептеу мүмкіндігін білдіретін ауданды табу формуласын қолдана білу керек.

Бұл сабақта біз есептеуді үйренеміз жазық фигуралардың аудандары, деп аталады қисық сызықты трапециялар .

Мұндай сандардың мысалдары төмендегі суретте берілген.

Бір жағынан, белгілі бір интеграл көмегімен жазық фигураның ауданын табу өте қарапайым. Біз фигураның ауданы туралы айтып отырмыз, ол жоғарыдан белгілі бір қисықпен, төменнен абсцисса осімен шектеледі ( Өгіз), ал сол және оң жақта бірнеше түзу сызықтар бар. Қарапайымдылығы сол анықталған интегралқисық берілген функция осындай фигураның ауданы болып табылады(қисық сызықты трапеция).

Фигураның ауданын есептеу үшін бізге қажет:

1. Қисықты анықтайтын функцияның анықталған интегралы , ол қисық сызықты трапецияны жоғарыдан шектейді. Міне, бірінші маңызды нюанс: қисық сызықты трапеция тек жоғарыдан ғана емес, төменнен де қисықпен шектелуі мүмкін . Бұл жағдайда қалай әрекет ету керек? Қарапайым, бірақ есте сақтау маңызды: бұл жағдайда интеграл минус таңбасымен алынады .
2. Интеграцияның шектері аЖәне б, біз оны сол және оң жақтағы фигураны шектейтін сызықтардың теңдеулерінен табамыз: x = а , x = б, Қайда аЖәне б- сандар.

Бөлек, тағы бірнеше нюанстар.

Қисық сызықты трапецияны жоғарыдан (немесе төменнен) шектейтін қисық болуы керек үздіксіз және теріс емес функцияның графигі ж = f(x) .

X мәндері сегментке тиесілі болуы керек [а, б]. Яғни, мысалы, саңырауқұлақтың бөлігі сияқты сызықтар ескерілмейді, онда аяғы осы сегментке өте жақсы сәйкес келеді, ал қалпақ әлдеқайда кең.

Бүйірлік сегменттер нүктелерге айналуы мүмкін . Егер сіз сызбада мұндай фигураны көрген болсаңыз, бұл сізді шатастырмауы керек, өйткені бұл нүкте әрқашан x осінде өз мәніне ие. Демек, интеграцияның шегінде бәрі реттелген.

Енді формулалар мен есептеулерге көшуге болады. Сонымен аудан сқисық сызықты трапецияны формула бойынша есептеуге болады

Егер f(x) ≤ 0 (функцияның графигі осьтің астында орналасқан Өгіз), Бұл қисық трапеция ауданыформула бойынша есептеуге болады

Сонымен қатар фигураның жоғарғы және төменгі шекаралары сәйкесінше функция болатын жағдайлар да бар ж = f(x) Және ж = φ (x) , онда мұндай фигураның ауданы формула бойынша есептеледі

. (3)

Біз проблемаларды бірге шешеміз

Фигураның ауданын формула (1) арқылы есептеуге болатын жағдайлардан бастайық.

1-мысалӨгіз) және тікелей x = 1 , x = 3 .

Шешім. Өйткені ж = 1/xсегментінде > 0 болса, қисық сызықты трапецияның ауданы (1) формула бойынша табылады:

.

2-мысалФункция графигі түзу сызықпен шектелген фигураның ауданын табыңыз x= 1 және x осі ( Өгіз ).

Шешім. (1) формуланы қолдану нәтижесі:

Егер онда с= 1/2; егер онда с= 1/3 және т.б.

3-мысалФункция графигі х осімен шектелген фигураның ауданын табыңыз ( Өгіз) және тікелей x = 4 .

Шешім. Есептің шартына сәйкес келетін фигура қисық сызықты трапеция болып табылады, оның сол жақ сегменті нүктеге айналған. Интегралдау шектері 0 және 4. Өйткені (1) формулаға сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданын табамыз:

.

4-мысал, , сызықтарымен шектелген және 1-ші ширекте орналасқан фигураның ауданын табыңыз.

Шешім. (1) формуланы қолдану үшін мысалдың шарттарымен берілген фигураның ауданын үшбұрыштың аудандарының қосындысы ретінде көрсетеміз. OABжәне қисық сызықты трапеция ABC. Үшбұрыштың ауданын есептеу кезінде OABинтегралдау шегі нүктелердің абсциссалары болып табылады ОЖәне А, және фигура үшін ABC- нүктелердің абсциссалары АЖәне C (Атүзудің қиылысу нүктесі болып табылады О.Ажәне параболалар, және C- параболаның осімен қиылысу нүктесі Өгіз). Түзу мен параболаның теңдеулерін бірге (жүйе ретінде) шешіп, (нүктенің абсциссасын) аламыз. А) және (шешу үшін қажет емес түзу мен параболаның басқа қиылысу нүктесінің абсциссасы). Сол сияқты біз , (нүктелердің абсциссаларын аламыз CЖәне D). Енді бізде фигураның ауданын табу үшін бәрі бар. Біз табамыз:

5-мысалҚисық сызықты трапеция ауданын табыңыз ACDB, қисық теңдеуі болса CDжәне абсцисса АЖәне Бтиісінше 1 және 2.

Шешім. Қисықтың бұл теңдеуін Y арқылы өрнектейміз: Қисық сызықты трапецияның ауданы (1) формула бойынша табылады:

.

Фигураның ауданын формула (2) арқылы есептеуге болатын жағдайларға көшейік.

6-мысалПараболамен және х осімен шектелген фигураның ауданын табыңыз ( Өгіз ).

Шешім. Бұл сурет x осінің астында орналасқан. Сондықтан оның ауданын есептеу үшін (2) формуланы қолданамыз. Интегралдау шегі абсциссалар мен параболаның осімен қиылысу нүктелері болып табылады. Өгіз. Демек,

7-мысал x осінің арасындағы ауданды табыңыз ( Өгіз) және екі көршілес синустық толқындар.

Шешім. Бұл фигураның ауданын (2) формула бойынша табуға болады:

.

Әр терминді бөлек табайық:

.

.

Соңында біз ауданды табамыз:

.

8-мысалПарабола мен қисық сызықтың арасында орналасқан фигураның ауданын табыңыз.

Шешім. Түзулердің теңдеулерін Y арқылы өрнектеп көрейік:

(2) формулаға сәйкес аудан ретінде алынады

,

Қайда аЖәне б- нүктелердің абсциссалары АЖәне Б. Оларды теңдеулерді бірге шешу арқылы табамыз:

Соңында біз ауданды табамыз:

Ақырында, фигураның ауданын формула (3) арқылы есептеуге болатын жағдайлар бар.

9-мысалПараболалардың арасына салынған фигураның ауданын табыңыз Және .

Мысал 1 . Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 және x = 2

Фигураны тұрғызайық (суретті қараңыз) Екі A (4; 0) және В (0; 2) нүктелерінің бойымен x + 2y - 4 \u003d 0 түзуін саламыз. y мәнін x арқылы өрнектесек, біз у \u003d -0,5x + 2 аламыз. (1) формулаға сәйкес, мұнда f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, табамыз

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 ш. бірлік

2-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 және y \u003d 0.

Шешім. Фигураны құрастырайық.

x - 2y + 4 = 0 түзуін тұрғызайық: у = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

x + y - 5 = 0 түзуін салайық: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Теңдеулер жүйесін шешу арқылы түзулердің қиылысу нүктесін табыңыз:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Қажетті ауданды есептеу үшін AMC үшбұрышын екі AMN және NMC үшбұрыштарына бөлеміз, өйткені х А-дан N-ге өзгергенде, аудан түзумен шектеледі, ал х N-ден С-ге өзгергенде, ол түзу болады.

AMN үшбұрышы үшін бізде: ; y \u003d 0,5x + 2, яғни f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

NMC үшбұрышы үшін бізде: y = - x + 5, яғни f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Үшбұрыштардың әрқайсысының ауданын есептеп, нәтижелерді қоса отырып, біз табамыз:

шаршы бірлік

шаршы бірлік

9 + 4, 5 = 13,5 ш. бірлік Тексеріңіз: = 0,5AC = 0,5 кв. бірлік

3-мысал Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y = x 2 , y=0, x=2, x=3.

Бұл жағдайда у = x параболасымен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданын есептеу қажет. 2 , x \u003d 2 және x \u003d 3 түзу сызықтары және Ox осі (суретті қараңыз) Формула (1) бойынша біз қисық сызықты трапецияның ауданын табамыз.

= = 6 кв. бірлік

4-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d - x 2 + 4 және у = 0

Фигураны құрастырайық. Қажетті аймақ y \u003d - x параболасының арасына салынған 2 + 4 және ось Oh.

Параболаның х осімен қиылысу нүктелерін табыңыз. y \u003d 0 деп есептесек, біз x \u003d табамыз Бұл фигура Oy осіне симметриялы болғандықтан, біз Oy осінің оң жағында орналасқан фигураның ауданын есептейміз және нәтижені екі есе көбейтеміз: \u003d + 4x] шаршы бірлік 2 = 2 шаршы бірлік

5-мысал Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: у 2 = x, yx = 1, x = 4

Мұнда у параболаның жоғарғы тармағымен шектелген қисық сызықты трапеция ауданын есептеу қажет. 2 \u003d x, Ox осі және түзу сызықтар x \u003d 1x \u003d 4 (суретті қараңыз)

(1) формуласына сәйкес, мұндағы f(x) = a = 1 және b = 4, бізде = (= шаршы бірліктері бар)

6-мысал . Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Қажетті аймақ жарты толқынды синусоидпен және Ox осімен шектелген (суретті қараңыз).

Бізде - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 шаршы метр. бірлік

7-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d - 6x, y \u003d 0 және x \u003d 4.

Сурет Ox осінің астында орналасқан (суретті қараңыз).

Сондықтан оның ауданы (3) формула бойынша табылады.

= =

8-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d және x \u003d 2. Біз y \u003d қисығын нүктелер арқылы саламыз (суретті қараңыз). Осылайша, фигураның ауданы (4) формуласы бойынша табылады.

9-мысал .

X 2 + ж 2 = r 2 .

Мұнда x шеңберімен шектелген ауданды есептеу керек 2 + ж 2 = r 2 , яғни координаталар координатасында центрленген r радиусы бар шеңбердің ауданы. 0-ден интегралдау шегін алып, осы ауданның төртінші бөлігін табайық

дор; бізде бар: 1 = = [

Демек, 1 =

10-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d x 2 және y = 2x

Бұл көрсеткіш y \u003d x параболасымен шектелген 2 және түзу y \u003d 2x (суретті қараңыз) Қиылысу нүктелерін анықтау үшін берілген сызықтартеңдеулер жүйесін шешіңіз: x 2 – 2x = 0 x = 0 және x = 2

Ауданды табу үшін (5) формуланы қолданып аламыз

= функциясы арқылы құрылған қисық сызықты трапеция ауданы f,осы функцияның антитуынды өсіміне тең:

1-жаттығу:

Функция графигімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданын табыңыз: f(x) = x 2және тікелей y=0, x=1, x=2.

Шешімі: ( 3-слайд алгоритмі бойынша)

Функцияның графигін және түзулерін сал

біреуін табайық антитуынды функциялар f(x) = x 2 :

Слайдтың өзін-өзі тексеруі

Ажырамас

Функциямен берілген қисық сызықты трапецияны қарастырайық fсегментінде [ а; б]. Осы сегментті бірнеше бөлікке бөлейік. Бүкіл трапецияның ауданы кішірек қисық сызықты трапециялардың аудандарының қосындысына бөлінеді. ( слайд 5). Әрбір осындай трапецияны шамамен тіктөртбұрыш деп санауға болады. Осы тіктөртбұрыштардың аудандарының қосындысы қисық сызықты трапецияның бүкіл ауданы туралы шамамен түсінік береді. Біз сегментті неғұрлым кішірек бөлеміз [ а; б], ауданды неғұрлым дәл есептейміз.

Бұл ойларды формулалар түрінде жазамыз.

сегментті бөліңіз [ а; б] нүктелері бар n бөлікке x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b.Ұзындығы к- th арқылы белгілеңіз xk = xk - xk-1. Қорытындылайық

Геометриялық тұрғыдан бұл қосынды суретте көлеңкеленген фигураның ауданы болып табылады ( ш.м.)

Пішіннің қосындылары функция үшін интегралдық қосындылар деп аталады f. (ш.м.)

Интегралдық қосындылар ауданның жуық мәнін береді. Нақты мән шекке өту арқылы алынады. Біз сегменттің бөлігін нақтылайтынымызды елестетіңіз [ а; б] барлық шағын сегменттердің ұзындықтары нөлге бейім болатындай етіп. Содан кейін құрастырылған фигураның ауданы қисық сызықты трапеция ауданына жақындайды. Қисық сызықты трапецияның ауданы интегралдық қосындылардың шегіне тең деп айта аламыз, Ск.т. (ш.м.)немесе интегралдық, яғни,

Анықтамасы:

функция интегралы f(x)бастап абұрын бинтегралдық қосындылардың шегі деп аталады

= (ш.м.)

Ньютон-Лейбниц формуласы.

Есіңізде болсын, интегралдық қосындылардың шегі қисық сызықты трапецияның ауданына тең, сондықтан мынаны жаза аламыз:

Ск.т. = (ш.м.)

Екінші жағынан, қисық сызықты трапецияның ауданы формула бойынша есептеледі

С-ден т. (ш.м.)

Осы формулаларды салыстыра отырып, мынаны аламыз:

Бұл теңдік Ньютон-Лейбниц формуласы деп аталады.

Есептеулер ыңғайлы болу үшін формула былай жазылады:

Тапсырмалар: (ш.м.)

1. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша интегралды есептеңіз: ( 5-слайдты тексеру)

2. Сызба бойынша интегралды құрастырыңыз ( 6 слайдты тексеріңіз)

3. Сызықтармен шектелген фигураның ауданын табыңыз: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Слайд 7)

Жазық фигуралардың аудандарын табу ( слайд 8)

Қисықсызықты трапеция емес фигуралардың ауданын қалай табуға болады?

Графиктерін слайдтан көріп тұрған екі функция берілсін . (ш.м.)Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз . (ш.м.). Қарастырылып отырған фигура қисық сызықты трапеция ма? Ал ауданның аддитивтілік қасиетін пайдаланып оның ауданын қалай табуға болады? Екі қисық трапецияны қарастырып, олардың біреуінің ауданынан екіншісінің ауданын шегеріңіз ( в.м)

Слайдтағы анимациядан ауданды табу алгоритмін құрайық:

1. Сюжеттік функциялар
2. Графиктердің қиылысу нүктелерін х осіне проекциялаңыз
3. Графиктерді кесіп өту арқылы алынған фигураны бояңыз
4. Қиылысуы немесе бірігуі берілген фигура болатын қисық сызықты трапецияларды табыңыз.
5. Әрқайсысының ауданын есептеңіз
6. Аудандардың айырмасын немесе қосындысын табыңыз

Ауызша тапсырма: Көлеңкеленген фигураның ауданын қалай алуға болады (анимация арқылы айту, слайд 8 және 9)

Үй жұмысы:Аннотацияны пысықтау, №353 (а), №364 (а).

Әдебиеттер тізімі

1. Алгебра және талдаудың басы: кешкі (ауысымдық) мектептің 9-11 сыныптарына арналған оқулық / ред. Г.Д. Глейзер. - М: Ағарту, 1983 ж.
2. Башмаков М.И. Алгебра және талдаудың басы: орта мектептің 10-11 сыныптарына арналған оқулық / Башмаков М.И. - М: Ағарту, 1991 ж.
3. Башмаков М.И. Математика: бастауыш мекемелерге арналған оқулық. және орт. проф. білім / М.И. Башмаков. - М: Академия, 2010 ж.
4. Колмогоров А.Н. Алгебра және талдаудың басы: 10-11 ұяшыққа арналған оқулық. оқу орындары / А.Н.Колмогоров. - М: Ағарту, 2010 ж.
5. Островский С.Л. Сабаққа презентацияны қалай жасауға болады?/ С.Л. Островский. – М.: Бірінші қыркүйек, 2010 ж.