Қисық сызықты трапецияның ауданы Интеграл көмегімен жазық фигуралардың аудандарын есептеу. y=f(x) немесе x=g(y) сызықтарымен шектелген фигураның ауданын есептеу мысалдары
Бұл сабақта біз есептеуді үйренеміз жазық фигуралардың аудандары, деп аталады қисық сызықты трапециялар .
Мұндай сандардың мысалдары төмендегі суретте берілген.
Бір жағынан, белгілі бір интеграл көмегімен жазық фигураның ауданын табу өте қарапайым. Біз жоғарыдан белгілі бір қисықпен, төменнен абсцисса осімен шектелген фигураның ауданы туралы айтып отырмыз ( Өгіз), ал сол және оң жақта бірнеше түзу сызықтар бар. Қарапайымдылығы сол қисық берілген функцияның анықталған интегралы және мұндай фигураның ауданы бар(қисық сызықты трапеция).
Фигураның ауданын есептеу үшін бізге қажет:
- Қисықты анықтайтын функцияның анықталған интегралы , ол қисық сызықты трапецияны жоғарыдан шектейді. Міне, бірінші маңызды нюанс: қисық сызықты трапеция тек жоғарыдан ғана емес, төменнен де қисықпен шектелуі мүмкін . Бұл жағдайда қалай әрекет ету керек? Қарапайым, бірақ есте сақтау маңызды: бұл жағдайда интеграл минус таңбасымен алынады .
- Интеграцияның шектері аЖәне б, біз оны сол және оң жақтағы фигураны шектейтін сызықтардың теңдеулерінен табамыз: x = а , x = б, Қайда аЖәне б- сандар.
Бөлек, тағы бірнеше нюанстар.
Қисық сызықты трапецияны жоғарыдан (немесе төменнен) шектейтін қисық болуы керек үздіксіз және теріс емес функцияның графигі ж = f(x) .
X мәндері сегментке тиесілі болуы керек [а, б]. Яғни, мысалы, саңырауқұлақтың кесіндісі сияқты сызықтар ескерілмейді, онда аяғы осы сегментке өте жақсы сәйкес келеді, ал шляпа әлдеқайда кең.
Бүйірлік сегменттер нүктелерге айналуы мүмкін . Егер сіз сызбада мұндай фигураны көрген болсаңыз, бұл сізді шатастырмауы керек, өйткені бұл нүкте әрқашан x осінде өз мәніне ие. Демек, интеграцияның шегінде бәрі реттелген.
Енді формулалар мен есептеулерге көшуге болады. Сонымен аудан сқисық сызықты трапецияны формула бойынша есептеуге болады
Егер f(x) ≤ 0 (функцияның графигі осьтің астында орналасқан Өгіз), Бұл қисық трапеция ауданыформула бойынша есептеуге болады
Сонымен қатар фигураның жоғарғы және төменгі шекаралары сәйкесінше функция болатын жағдайлар да бар ж = f(x) Және ж = φ (x) , онда мұндай фигураның ауданы формула бойынша есептеледі
. (3)
Біз проблемаларды бірге шешеміз
Фигураның ауданын формула (1) арқылы есептеуге болатын жағдайлардан бастайық.
1-мысалӨгіз) және тікелей x = 1 , x = 3 .
Шешім. Өйткені ж = 1/xсегментінде > 0 болса, қисық сызықты трапецияның ауданы (1) формула бойынша табылады:
.
2-мысалФункция графигі түзу сызықпен шектелген фигураның ауданын табыңыз x= 1 және x осі ( Өгіз ).
Шешім. (1) формуланы қолдану нәтижесі:
Егер онда с= 1/2; егер онда с= 1/3 және т.б.
3-мысалФункция графигі х осімен шектелген фигураның ауданын табыңыз ( Өгіз) және тікелей x = 4 .
Шешім. Есептің шартына сәйкес келетін фигура қисық сызықты трапеция болып табылады, оның сол жақ сегменті нүктеге айналған. Интегралдау шектері 0 және 4. Өйткені (1) формулаға сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданын табамыз:
.
4-мысалФигураның ауданын табыңыз сызықтармен шектелген, , және 1 тоқсанда орналасқан.
Шешім. (1) формуланы қолдану үшін мысалдың шарттарымен берілген фигураның ауданын үшбұрыштың аудандарының қосындысы ретінде көрсетеміз. OABжәне қисық сызықты трапеция ABC. Үшбұрыштың ауданын есептеу кезінде OABинтегралдау шегі нүктелердің абсциссалары болып табылады ОЖәне А, және фигура үшін ABC- нүктелердің абсциссалары АЖәне C (Атүзудің қиылысу нүктесі болып табылады О.Ажәне параболалар, және C- параболаның осімен қиылысу нүктесі Өгіз). Түзу мен параболаның теңдеулерін бірге (жүйе ретінде) шешіп, (нүктенің абсциссасын) аламыз. А) және (шешу үшін қажет емес түзу мен параболаның басқа қиылысу нүктесінің абсциссасы). Сол сияқты біз , (нүктелердің абсциссаларын аламыз CЖәне D). Енді бізде фигураның ауданын табу үшін бәрі бар. Біз табамыз:
5-мысалҚисық сызықты трапеция ауданын табыңыз ACDB, қисық теңдеуі болса CDжәне абсцисса АЖәне Бтиісінше 1 және 2.
Шешім. Қисықтың бұл теңдеуін Y арқылы өрнектейміз: Қисық сызықты трапецияның ауданы (1) формула бойынша табылады:
.
Фигураның ауданын формула (2) арқылы есептеуге болатын жағдайларға көшейік.
6-мысалПараболамен және х осімен шектелген фигураның ауданын табыңыз ( Өгіз ).
Шешім. Бұл сурет x осінің астында орналасқан. Сондықтан оның ауданын есептеу үшін (2) формуланы қолданамыз. Интегралдау шегі абсциссалар мен параболаның осімен қиылысу нүктелері болып табылады. Өгіз. Демек,
7-мысал x осінің арасындағы ауданды табыңыз ( Өгіз) және екі көршілес синустық толқындар.
Шешім. Бұл фигураның ауданын (2) формула бойынша табуға болады:
.
Әр терминді бөлек табайық:
.
.
Соңында біз ауданды табамыз:
.
8-мысалПарабола мен қисық сызықтың арасында орналасқан фигураның ауданын табыңыз.
Шешім. Түзулердің теңдеулерін Y арқылы өрнектеп көрейік:
(2) формулаға сәйкес аудан ретінде алынады
,
Қайда аЖәне б- нүктелердің абсциссалары АЖәне Б. Оларды теңдеулерді бірге шешу арқылы табамыз:
Соңында біз ауданды табамыз:
Ақырында, фигураның ауданын формула (3) арқылы есептеуге болатын жағдайлар бар.
9-мысалПараболалардың арасына салынған фигураның ауданын табыңыз 
Және .
Қолданбалы есептерді шешуге интегралды қолдану
Ауданды есептеу
Үзіліссіз теріс емес функцияның анықталған интегралы f(x) сан жағынан тең y \u003d f (x) қисығымен, O x осімен және x \u003d a және x \u003d b түзулерімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы. Тиісінше аудан формуласы былай жазылады:
Жазық фигуралардың аудандарын есептеудің кейбір мысалдарын қарастырыңыз.
№ 1 тапсырма. y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 сызықтарымен шектелген аумақты есептеңіз.
Шешім.Біз фигураны құрастырайық, оның ауданын есептеуіміз керек.
y \u003d x 2 + 1 - тармақтары жоғары бағытталған парабола, ал парабола O y осіне қатысты бір бірлікке жоғары ығысқан (1-сурет).
Сурет 1. у = x 2 + 1 функциясының графигі
№ 2 тапсырма. 0-ден 1-ге дейінгі аралықта y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 сызықтарымен шектелген аумақты есептеңіз.
 |
Шешім.Бұл функцияның графигі жоғары бағытталған тармақтың параболасы болып табылады, ал парабола O y осіне қатысты бір бірлікке төмен ығысқан (2-сурет).
Сурет 2. y \u003d x 2 - 1 функциясының графигі
Тапсырма № 3. Сызба жасаңыз және сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз
y = 8 + 2x - x 2 және y = 2x - 4.
Шешім.Бұл екі түзудің біріншісі - тармақтары төмен бағытталған парабола, өйткені x 2-дегі коэффициент теріс, ал екінші сызық - екі координат осін қиып өтетін түзу.
Парабола тұрғызу үшін оның төбесінің координаталарын табайық: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абсцисса шыңы; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 – оның ординатасы, N(1;9) – шыңы.
Енді парабола мен түзудің қиылысу нүктелерін теңдеулер жүйесін шешу арқылы табамыз:
Сол жақтары тең теңдеудің оң жақтарын теңестіру.
Біз 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 немесе x 2 - 12 \u003d 0 аламыз, қайдан 
.
Сонымен, нүктелер парабола мен түзудің қиылысу нүктелері болып табылады (1-сурет).
3-сурет y = 8 + 2x – x 2 және y = 2x – 4 функцияларының графиктері
y = 2x - 4 түзуін тұрғызайық.Ол координаталық осьтердегі (0;-4), (2; 0) нүктелері арқылы өтеді.
Парабола тұрғызу үшін оның 0x осімен қиылысу нүктелері де болуы мүмкін, яғни 8 + 2x - x 2 = 0 немесе x 2 - 2x - 8 = 0 теңдеуінің түбірлері. Виета теоремасы бойынша ол оның түбірін табу оңай: x 1 = 2, x 2 = 4.
3-суретте осы сызықтармен шектелген фигура (М 1 N M 2 параболалық кесінді) көрсетілген.
Есептің екінші бөлігі - бұл фигураның ауданын табу. Оның аумағын пайдаланып табуға болады анықталған интегралформула бойынша 
.
Осы шартқа байланысты интегралды аламыз: 
2 Айналым денесінің көлемін есептеу
y \u003d f (x) қисығының O x осінің айналасында айналуынан алынған дененің көлемі мына формуламен есептеледі:
O y осінің айналасында айналу кезінде формула келесідей болады:
№4 тапсырма. x \u003d 0 x \u003d 3 түзу сызықтармен және O x осінің айналасындағы у \u003d қисықпен шектелген қисық сызықты трапецияның айналуынан алынған дененің көлемін анықтаңыз.
Шешім.Сызбаны құрастырайық (4-сурет).
Сурет 4. y = функциясының графигі
Қажетті көлем тең 
№5 тапсырма. y = x 2 қисығымен және y = 0 және y = 4 түзу сызықтарымен шектелген қисық сызықты трапецияның айналуынан алынған дененің көлемін O y осінің айналасында есептеңдер.
Шешім.Бізде бар:
Қайталау сұрақтары
Тапсырма мектептік тапсырма, бірақ, сіздің курсыңызда 100% дерлік орындалады жоғары математика. Сондықтан барлық байыптылықпенбіз БАРЛЫҚ мысалдарды қарастырамыз, ең алдымен танысу керек қолдану Функционалдық графиктер элементар графиктерді тұрғызу техникасын пысықтау. …Тамақтану? Тамаша! Типтік тапсырма мәлімдемесі келесідей:
10-мысал
.
ЖӘНЕ бірінші белес шешімдерішінде ғана тұрады сызба құру. Осыған байланысты мен келесі тәртіпті ұсынамын: алғашқыдабарлығын салған дұрыс Түзу(бар болса) және тек Содан кейін – параболалар, гипербола, басқа функциялардың графиктері.
Біздің тапсырмада: Түзуосін анықтайды Түзуосіне параллель және параболаосіне қатысты симметриялы, ол үшін біз бірнеше анықтамалық нүктелерді табамыз: 
Қажетті фигураны шығарған жөн: 
Екінші кезеңболып табылады дұрыс құрастыруЖәне дұрыс есептеңізанықталған интеграл. кесіндісінде функцияның графигі орналасқан ось үстінде, сондықтан қажетті аумақ:
Жауап:
Тапсырма орындалғаннан кейін сызбаны қарау пайдалы
және жауаптың шынайы екенін тексеріңіз.
Ал біз «көзбен» көлеңкеленген ұяшықтардың санын есептейміз - жақсы, 9-ға жуық терілетін болады, бұл рас сияқты. Егер бізде, айталық, 20 шаршы бірлік болса, онда, әрине, бір жерде қате жіберілгені анық - 20 ұяшық салынған фигураға сәйкес келмейтіні анық, ең көбі ондаған. Егер жауап теріс болып шықса, онда тапсырма да қате шешілген.
11-мысал
Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз 
және ось
Біз тез жылынамыз (міндетті түрде!) Және «айна» жағдайын қарастырамыз - қисық трапеция орналасқан кезде. ось астында:
12-мысал
Түзулермен және координат осьтерімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.
Шешім: дәрежені құру үшін бірнеше тірек нүктелерін табыңыз:
және екі ұяшыққа жуық ауданы бар фигураны алып, сызбаны орындаңыз: 
Егер қисық сызықты трапеция орналасса жоғары емесосі , онда оның ауданын мына формула бойынша табуға болады: .
Бұл жағдайда: 
Жауап: - ақиқатқа өте, өте ұқсас.
Іс жүзінде фигура көбінесе жоғарғы және төменгі жарты жазықтықта орналасады, сондықтан қарапайым мектеп есептерінен біз мағыналы мысалдарға көшеміз:
13-мысал
Түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз.
Шешім: алдымен сызбаны аяқтау керек, ал бізді әсіресе парабола мен түзудің қиылысу нүктелері қызықтырады, өйткені ол жерде болады интеграциялық шектеулер. Сіз оларды екі жолмен таба аласыз. Бірінші әдіс – аналитикалық. Теңдеуді құрайық және шешейік:
Осылайша:
Қадіраналитикалық әдіс одан тұрады дәлдік, А кемшілік- В ұзақтығы(және бұл мысалда біз әлі де бақыттымыз). Сондықтан, көптеген есептердегі сызықтарды нүкте-нүкте тұрғызу тиімдірек, ал интеграцияның шегі «өздігінен» анықталғандай.
Түзу сызықпен бәрі түсінікті, бірақ параболаны тұрғызу үшін оның төбесін табу ыңғайлы, ол үшін туындыны алып, оны нөлге теңейміз:
- бұл төбенің орналасатын нүктесі. Ал параболаның симметриясына байланысты біз «сол-оң» принципі бойынша қалған тірек нүктелерін табамыз: 
Сурет салайық: 
Ал енді жұмыс формуласы:аралықта кейбір үздіксізфункциясы артық немесе тең үздіксізфункциялар, содан кейін осы функциялардың графиктерімен және сызық сегменттерімен шектелген фигураның ауданын мына формула бойынша табуға болады: 
Мұнда фигураның қай жерде орналасқанын ойлаудың қажеті жоқ - осьтің үстінде немесе осьтің астында, бірақ, шамамен айтқанда, екі графиктің қайсысы жоғарыда екені маңызды.
Біздің мысалда парабола кесіндіде түзу сызықтың үстінде орналасқаны анық, сондықтан одан шегеру керек.
Шешімнің аяқталуы келесідей болуы мүмкін:
сегментінде: , сәйкес формула бойынша:
Жауап:
Параграфтың басында қарастырылған қарапайым формулалар формуланың ерекше жағдайлары болып табылатынын атап өткен жөн 
. Ось теңдеу арқылы берілгендіктен, функциялардың бірі нөлге тең болады және қисық сызықты трапецияның жоғары немесе төмен орналасуына байланысты формуланы аламыз немесе
Енді тәуелсіз шешімге арналған бірнеше типтік тапсырмалар
14-мысал
Сызықтармен шектелген фигуралардың ауданын табыңыз:
Кітаптың соңында сызбалармен және қысқаша түсініктемелермен шешім
Қарастырылып отырған мәселені шешу барысында кейде күлкілі оқиға орын алады. Сызба дұрыс жасалды, интеграл дұрыс шешілді, бірақ назар аудармағандықтан ... қате фигураның ауданын тапты, осылайша сенің мойынсұнғыш құлың бірнеше рет қателесті. Міне, нақты өмірлік оқиға:
15-мысал
Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз 
Шешім: қарапайым сурет салайық, 
оның айласы сол қалаған аймақ көлеңкеленген жасыл түсте
(шартты мұқият қараңыз - фигура қалай шектелген!). Бірақ іс жүзінде абайсыздықтың салдарынан фигураның көлеңкеленген аймағын табу керек болатын «ақаулық» жиі кездеседі. сұр түсті! Ерекше қулық - сызықты оське дейін түсіруге болады, содан кейін біз қалаған фигураны мүлдем көрмейміз.
Бұл мысал сонымен қатар пайдалы, өйткені онда фигураның ауданы екі анықталған интегралдың көмегімен есептеледі. Шынымен:
1) ось үстіндегі кесіндіде түзу графигі бар;
2) ось үстіндегі кесіндіде гиперболаның графигі бар.
Аймақтарды қосуға болатыны (және қажет) екені анық: 
Жауап:
Және тәуелсіз шешім үшін ақпараттық мысал:
16-мысал
, , және координат осьтерімен шектелген фигураның ауданын есептеңіз.
Сонымен, біз бұл тапсырманың маңызды тұстарын жүйелейміз:
Бірінші қадамдаШартты мұқият зерттеңіз - бізге қандай функциялар берілген? Қателер бұл жерде де орын алады, атап айтқанда, доға дейінТангенс жиі доғаның жанамасына қателеседі. Айтпақшы, бұл доғаның жанасуы орын алатын басқа тапсырмаларға да қатысты.
Әрі қарайсызба ДҰРЫС орындалуы керек. Алдымен салған дұрыс Түзу(бар болса), онда басқа функциялардың графиктері (бар болса J). Соңғысын салу көп жағдайда тиімдірек нүкте бойынша- бірнеше тірек нүктелерін тауып, оларды сызықпен мұқият қосыңыз.
Бірақ бұл жерде келесі қиындықтар күтуі мүмкін. Біріншіден, бұл әрқашан сызбадан анық емес интеграциялық шектеулер- бұл олар бөлшек болған кезде болады. mathprofi.ru сайтында тиісті мақалаМен парабола мен түзумен мысалды қарастырдым, мұнда олардың қиылысу нүктелерінің бірі сызбада анық емес. Мұндай жағдайларда сіз аналитикалық әдісті қолдануыңыз керек, біз теңдеуді құрастырамыз:
және оның түбірін табыңыз:
– интеграцияның төменгі шегі, – жоғарғы шегі.
Сызба салынғаннан кейін, алынған суретті талдаңыз - ұсынылған функцияларды тағы бір рет қарап шығыңыз және БҰЛ фигура екенін екі рет тексеріңіз. Содан кейін біз оның пішіні мен орналасуын талдаймыз, бұл аймақ өте күрделі, содан кейін оны екі немесе тіпті үш бөлікке бөлу керек.
Анықталған интегралды құрастырамызнемесе формулаға сәйкес бірнеше интегралдар 
, біз жоғарыда барлық негізгі вариацияларды талдадық.
Анықталған интегралды шешеміз(лар). Сонымен қатар, бұл өте күрделі болуы мүмкін, содан кейін біз кезеңдік алгоритмді қолданамыз: 1) қарсы туындыны тауып, оны дифференциалдау арқылы тексеру, 2) Ньютон-Лейбниц формуласын қолданамыз.
Нәтижені тексеру пайдалыбағдарламалық жасақтаманы / онлайн қызметтерді пайдалану немесе ұяшықтар бойынша сызбаға сәйкес жай ғана «бағалау». Бірақ екеуі де әрқашан мүмкін емес, сондықтан біз шешімнің әрбір кезеңіне өте мұқият боламыз!
Бұл курстың pdf форматындағы толық және жаңартылған нұсқасы,
сондай-ақ басқа тақырыптар бойынша курстарды табуға болады.
Сіз сондай-ақ жасай аласыз - қарапайым, қолжетімді, көңілді және тегін!
Ізгі тілекпен, Александр Емелин
Мысал 1 . Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 және x = 2
Фигураны тұрғызайық (суретті қараңыз) Екі A (4; 0) және В (0; 2) нүктелерінің бойымен x + 2y - 4 \u003d 0 түзуін саламыз. y мәнін x арқылы өрнектесек, біз у \u003d -0,5x + 2 аламыз. (1) формулаға сәйкес, мұнда f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, біз табу
S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 ш. бірлік
2-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 және y \u003d 0.
Шешім. Фигураны құрастырайық.
x - 2y + 4 = 0 түзуін тұрғызайық: у = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
x + y - 5 = 0 түзуін салайық: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Теңдеулер жүйесін шешу арқылы түзулердің қиылысу нүктесін табыңыз:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Қажетті ауданды есептеу үшін AMC үшбұрышын екі AMN және NMC үшбұрыштарына бөлеміз, өйткені х А-дан N-ге өзгергенде, аудан түзумен шектеледі, ал х N-ден С-ге өзгергенде, ол түзу болады.
AMN үшбұрышы үшін бізде: ; y \u003d 0,5x + 2, яғни f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.
NMC үшбұрышы үшін бізде: y = - x + 5, яғни f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Үшбұрыштардың әрқайсысының ауданын есептеп, нәтижелерді қоса отырып, біз табамыз:
шаршы бірлік
шаршы бірлік
9 + 4, 5 = 13,5 ш. бірлік Тексеріңіз: = 0,5AC = 0,5 кв. бірлік
3-мысал Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y = x 2 , y=0, x=2, x=3.
Бұл жағдайда у = x параболасымен шектелген қисық сызықты трапецияның ауданын есептеу қажет. 2 , x \u003d 2 және x \u003d 3 түзу сызықтары және Ox осі (суретті қараңыз) (1) формулаға сәйкес, қисық сызықты трапецияның ауданын табамыз.
= = 6 кв. бірлік
4-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d - x 2 + 4 және у = 0
Фигураны құрастырайық. Қажетті аймақ y \u003d - x параболасының арасына салынған 2 + 4 және ось Oh.
Параболаның х осімен қиылысу нүктелерін табыңыз. y \u003d 0 деп есептесек, біз x \u003d табамыз Бұл фигура Oy осіне қатысты симметриялы болғандықтан, біз Oy осінің оң жағында орналасқан фигураның ауданын есептейміз және нәтижені екі есе көбейтеміз: \u003d + 4x] шаршы бірлік 2 = 2 шаршы бірлік
5-мысал Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: у 2 = x, yx = 1, x = 4
Мұнда у параболаның жоғарғы тармағымен шектелген қисық сызықты трапеция ауданын есептеу қажет. 2 \u003d x, Ox осі және түзу сызықтар x \u003d 1x \u003d 4 (суретті қараңыз)
(1) формуласына сәйкес, мұндағы f(x) = a = 1 және b = 4, бізде = (= шаршы бірліктері бар)
6-мысал . Түзулермен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Қажетті аймақ жарты толқынды синусоидпен және Ox осімен шектелген (суретті қараңыз).
Бізде - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 шаршы метр. бірлік
7-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d - 6x, y \u003d 0 және x \u003d 4.
Сурет Ox осінің астында орналасқан (суретті қараңыз).
Сондықтан оның ауданы (3) формула бойынша табылады.
= =
8-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d және x \u003d 2. Біз y \u003d қисығын нүктелер арқылы саламыз (суретті қараңыз). Осылайша, фигураның ауданы (4) формуласы бойынша табылады.
9-мысал .
X 2 + ж 2 = r 2 .
Мұнда x шеңберімен шектелген ауданды есептеу керек 2 + ж 2 = r 2 , яғни координаталар координатасында центрленген r радиусы бар шеңбердің ауданы. 0-ден интегралдау шегін алып, осы ауданның төртінші бөлігін табайық
дор; бізде бар: 1 = = [
Демек, 1 =
10-мысал Сызықтармен шектелген фигураның ауданын есептеңіз: y \u003d x 2 және y = 2x
Бұл көрсеткіш y \u003d x параболасымен шектелген 2 және түзу y \u003d 2x (суретті қараңыз) Қиылысу нүктелерін анықтау үшін берілген сызықтартеңдеулер жүйесін шешіңіз: x 2 – 2x = 0 x = 0 және x = 2
Ауданды табу үшін (5) формуланы қолданып аламыз
= }
Жүктелуде...
