Параметрлік анықталған қисықпен шектелген фигураның ауданын есептеу. Егер сызық параметрлік түрде берілсе, фигураның ауданы мен айналу денесінің көлемі қалай есептеледі? Параметрлік анықталған функцияның ауданы

Циклоидты доғаның оның табанының айналасында айналуынан пайда болған дененің көлемін табайық. Роберваль оны пайда болған жұмыртқа тәрізді денені (5.1-сурет) шексіз жұқа қабаттарға бөліп, осы қабаттарға цилиндрлерді жазып, олардың көлемін қосу арқылы тапты. Дәлелдеу ұзақ, жалықтырады және толығымен қатаң емес. Сондықтан, оны есептеу үшін біз жүгінеміз жоғары математика. Циклоидтық теңдеуді параметрлік түрде орнатайық.

Интегралдық есептеулерде көлемді зерттегенде ол келесі ескертуді қолданады:

Егер қисық сызықты трапецияны шектейтін қисық параметрлік теңдеулер арқылы берілсе және бұл теңдеулердегі функциялар айнымалының белгілі бір интегралдағы өзгеруі туралы теореманың шарттарын қанағаттандырса, онда трапецияның Ох осінің айналасында айналу денесінің көлемі болады. формула бойынша есептеледі:

Бізге қажетті көлемді табу үшін осы формуланы қолданайық.

Сол сияқты біз бұл дененің бетін есептейміз.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - құн), 0 ? t ? 2р)

Интегралдық есептеуде параметрлік түрде сегментте көрсетілген қисықтың х осі айналасындағы айналу денесінің бетінің ауданын табу үшін келесі формула бар (t 0 ?t ?t 1):

Бұл формуланы циклоидтық теңдеуімізге қолданып, мынаны аламыз:

Циклоидты доғаның айналуынан пайда болатын басқа бетті де қарастырайық. Ол үшін циклоидты доғаның оның табанына қатысты айналық шағылыстырғышын саламыз және циклоид пен оның шағылысуынан пайда болған сопақ фигураны КТ осінің айналасында айналдырамыз (5.2-сурет).

Алдымен циклоидты доғаның КТ осінің айналасында айналуынан пайда болған дененің көлемін табайық. Оның көлемі (*) формуласымен есептеледі:

Осылайша, біз осы шалқан денесінің жартысының көлемін есептедік. Сонда жалпы көлем болады

Революция бетінің ауданы формулаларына көшпес бұрын, біз революция бетінің өзінің қысқаша тұжырымын береміз. Айналым беті немесе сол сияқты революция денесінің беті сегменттің айналуынан пайда болған кеңістіктік фигура ABось айналасында қисық Өгіз(төмендегі сурет).

Жоғарыдан қисық сызықтың аталған сегментімен шектелген қисық сызықты трапецияны елестетейік. Осы трапецияның бір ось айналасында айналуынан пайда болған дене Өгіз, және төңкеріс денесі бар. Ал айналу бетінің ауданы немесе айналу денесінің беті сызықтар осінің айналасында айналу нәтижесінде пайда болған шеңберлерді есептемегенде оның сыртқы қабығы болып табылады. x = аЖәне x = б .

Айналыс денесін және сәйкесінше оның бетін фигураны ось айналасында емес айналдыру арқылы да жасауға болатынын ескеріңіз. Өгіз, және осьтің айналасында Ой.

Тік бұрышты координатада берілген айналу бетінің ауданын есептеу

Теңдеу бойынша жазықтықтағы тікбұрышты координаталарды алайық ж = f(x) қисық берілген, оның координат осінің айналасында айналуы айналу денесін құрайды.

Айналым бетінің ауданын есептеу формуласы келесідей:

(1).

1-мысалПараболоидтың ось бойынша айналуынан пайда болған бетінің ауданын табыңыз Өгізөзгеріске сәйкес параболаның доғасы xбастап x= 0 дейін x = а .

Шешім. Парабола доғасын анықтайтын функцияны анық көрсетеміз:

Осы функцияның туындысын табайық:

Революция бетінің ауданын табу формуласын қолданбас бұрын, оның интегралының түбірі болатын бөлігін жазып, сол жерден жаңа тапқан туындының орнына қойайық:

Жауабы: Қисықтың доғасының ұзындығы

.

2-мысалОсь бойынша айналу нәтижесінде пайда болған беттің ауданын табыңыз Өгізастроидтар.

Шешім. Бірінші тоқсанда орналасқан астроидтың бір тармағының айналуының нәтижесінде пайда болатын бетінің ауданын есептеп, оны 2-ге көбейту жеткілікті. Астроид теңдеуінен біз формулада алмастыру қажет болатын функцияны анық көрсетеміз. айналу бетінің ауданын табу үшін:

.

0-ден бастап интеграцияны орындаймыз а:

Параметрлік берілген айналым бетінің ауданын есептеу

Айналым бетін құрайтын қисық параметрлік теңдеулер арқылы берілген жағдайды қарастырайық

Содан кейін айналым бетінің ауданы формула бойынша есептеледі

(2).

3-мысалОсь бойынша айналу нәтижесінде пайда болатын айналу бетінің ауданын табыңыз Ойциклоидпен және түзумен шектелген фигура ж = а. Циклоид параметрлік теңдеулер арқылы берілген

Шешім. Циклоид пен түзудің қиылысу нүктелерін табыңыз. Циклоидтық теңдеу мен түзу теңдеуін теңестіру ж = а, табыңыз

Осыдан келіп интеграцияның шегі сәйкес келеді

Енді (2) формуланы қолдануға болады. Туындыларды табайық:

Табылған туындылардың орнына радикалды өрнекті формулаға жазамыз:

Мына өрнектің түбірін табайық:

.

(2) өрнектегіні ауыстырыңыз:

.

Ауыстыру жасайық:

Ақырында табамыз

Өрнектерді түрлендіруде тригонометриялық формулалар қолданылды

Жауап: Революция бетінің ауданы .

Полярлық координатада берілген айналу бетінің ауданын есептеу

Айналуы бетті құрайтын қисық полярлық координатада берілсін.

Ауданды табу мәселесі сияқты, сізге сенімді сурет салу дағдылары қажет - бұл ең маңызды нәрсе (өйткені интегралдардың өзі жиі оңай болады). Құзыретті және жылдам техникакөмегімен диаграмма құруға болады оқу материалдарыжәне геометриялық графиктік түрлендірулер. Бірақ, шын мәнінде, мен сабақта сызбаның маңыздылығы туралы бірнеше рет айттым.

Жалпы, интегралды есептеуде көптеген қызықты қолданбалар бар, белгілі бір интегралдың көмегімен фигураның ауданын, айналу денесінің көлемін, доғаның ұзындығын, бетінің ауданын есептеуге болады. айналу және т.б. Сондықтан бұл қызықты болады, оптимистік болыңыз!

Кейбіреулерді елестетіп көріңіз жалпақ фигуракоординаталық жазықтықта. ұсынылған? ... Қызық, кім не ұсынды ... =))) Біз оның аумағын тауып алдық. Бірақ, сонымен қатар, бұл фигураны екі жолмен айналдыруға және айналдыруға болады:

- абсцисса осінің айналасында;
- у осінің айналасында.

Бұл мақалада екі жағдай да талқыланады. Айналдырудың екінші әдісі әсіресе қызықты, ол ең үлкен қиындықтарды тудырады, бірақ іс жүзінде шешім х осінің айналасындағы жиірек айналудағы сияқты дерлік. Бонус ретінде мен қайта ораламын фигураның ауданын табу мәселесі, және ауданды екінші жолмен - ось бойымен қалай табуға болатынын айтыңыз. Материал тақырыпқа жақсы сәйкес келетіндіктен, тіпті бонус емес.

Ең танымал айналу түрінен бастайық.

ось айналасындағы жалпақ фигура

1-мысал

Түзулермен шектелген фигураны ось айналасында айналдыру арқылы алынған дененің көлемін есептеңіз.

Шешім: Аудан мәселесі сияқты, шешім жалпақ фигураның суретінен басталады. Яғни, жазықтықта , түзулерімен шектелген фигураны тұрғызу керек, бұл ретте теңдеу осьті анықтайтынын ұмытпау керек. Сызбаны қалай ұтымды және тезірек жасауға болатынын беттерден табуға болады Элементар функциялардың графиктері және қасиеттеріЖәне Анықталған интеграл. Фигураның ауданын қалай есептеу керек. Бұл қытайлық ескерту және мен осы сәтте тоқтамаймын.

Мұнда сурет өте қарапайым:

Қажетті жазық фигура көк түспен боялған және дәл осы фигура осьтің айналасында айналады.Айналу нәтижесінде оське қатысты симметриялы осындай сәл жұмыртқа тәрізді ұшатын табақша алынады. Шын мәнінде, дененің математикалық атауы бар, бірақ анықтамалықта бірдеңені көрсету тым жалқау, сондықтан біз әрі қарай жүреміз.

Айналым денесінің көлемін қалай есептеуге болады?

Айналым денесінің көлемін формула бойынша есептеуге болады:

Формулада интегралдың алдында сан болуы керек. Дәл солай болды - өмірде айналатын барлық нәрсе осы тұрақтымен байланысты.

«А» және «болу» интеграциясының шектерін қалай орнатуға болады, менің ойымша, аяқталған сызбадан болжау оңай.

Функция... бұл қандай функция? Сызбаға назар аударайық. Жазық фигура жоғарыдан парабола графигімен шектелген. Бұл формулада көрсетілген функция.

IN практикалық тапсырмаларжазық фигура кейде осьтің астында орналасуы мүмкін. Бұл ештеңені өзгертпейді – формуладағы интеграл квадрат: , осылайша интеграл әрқашан теріс емес, бұл өте қисынды.

Мына формула бойынша айналым денесінің көлемін есептеңіз:

Жоғарыда атап өткенімдей, интеграл әрқашан дерлік қарапайым болып шығады, ең бастысы - абай болу.

Жауап:

Жауапта өлшемді – текше бірліктерді көрсету қажет. Яғни, біздің айналу денемізде шамамен 3,35 «текше» бар. Неліктен дәл текше бірлік? Өйткені ең әмбебап тұжырым. Текше сантиметр болуы мүмкін, текше метр болуы мүмкін, текше километр болуы мүмкін және т.б., сіздің қиялыңыз ұшатын табақшаға қанша кішкентай жасыл ерлерді сыйдырады.

2-мысал

, , түзулерімен шектелген фигураның осін айналдыру нәтижесінде пайда болған дененің көлемін табыңыз.

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Тағы екі күрделі мәселені қарастырайық, олар да тәжірибеде жиі кездеседі.

3-мысал

, және түзулерімен шектелген фигураның абсцисса осін айналдыру арқылы алынған дененің көлемін есептеңдер.

Шешім: Сызбада , , , сызықтарымен шектелген жалпақ фигураны сызыңыз, бұл ретте теңдеу осьті анықтайтынын естен шығармаңыз:

Қажетті фигура көк түспен боялған. Ол ось айналасында айналғанда, төрт бұрышы бар осындай сюрреальды пончик алынады.

Айналым денесінің көлемі ретінде есептеледі дене көлемінің айырмашылығы.

Алдымен қызыл түспен шеңберленген фигураға назар аударайық. Ол ось айналасында айналғанда, кесілген конус алынады. Осы қиық конустың көлемін деп белгілейік.

Дөңгелектелген фигураны қарастырыңыз жасыл түсте. Егер сіз бұл фигураны осьтің айналасында айналдырсаңыз, сіз сонымен қатар кесілген конусты аласыз, тек сәл кішірек. Оның көлемін арқылы белгілейік.

Және, анық, көлемдердегі айырмашылық дәл біздің «пончиктің» көлемі.

Айналым денесінің көлемін табу үшін стандартты формуланы қолданамыз:

1) Қызыл түспен дөңгеленген фигура жоғарыдан түзу сызықпен шектелген, сондықтан:

2) Жасыл түспен дөңгеленген фигура жоғарыдан түзу сызықпен шектелген, сондықтан:

3) Қажетті айналу денесінің көлемі:

Жауап:

Бір қызығы, бұл жағдайда шешімді кесілген конустың көлемін есептеу үшін мектеп формуласы арқылы тексеруге болады.

Шешімнің өзі жиі қысқарақ қабылданады, мысалы:

Енді үзіліс жасап, геометриялық иллюзиялар туралы сөйлесейік.

Адамдарда жиі томдарға байланысты иллюзиялар бар, оны Перельман (басқасы) кітапта байқаған Қызықты геометрия. Шешілген мәселедегі жалпақ фигураны қараңыз - ауданы бойынша шағын болып көрінеді, ал революция денесінің көлемі 50 текше бірліктен сәл ғана асады, бұл тым үлкен болып көрінеді. Айтпақшы, орташа адам бүкіл өмірінде көлемі 18 шаршы метр болатын сұйықтықты ішеді, бұл, керісінше, тым аз көлем болып көрінеді.

Жалпы, КСРО-дағы білім беру жүйесі шынымен де ең жақсы болды. Перельманның 1950 жылы шыққан кітабы өте жақсы дамып келеді, әзілкеш айтқандай, дәлелдеп, проблемалардың стандартты емес шешімдерін іздеуге үйретеді. Жақында мен кейбір тарауларды үлкен қызығушылықпен қайта оқыдым, мен оны ұсынамын, ол тіпті гуманитарлық мамандар үшін де қолжетімді. Жоқ, мен керемет уақытты ұсындым деп күлудің қажеті жоқ, қарым-қатынастағы эрудиция және кең көзқарас - бұл керемет нәрсе.

Лирикалық шегінуден кейін шығармашылық тапсырманы шешу орынды:

4-мысал

түзулерімен шектелген жазық фигураның осінен айналу нәтижесінде пайда болған дененің көлемін есептеңдер, , мұндағы.

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Барлық нәрселер жолақта болатынын ескеріңіз, басқаша айтқанда, дайын интеграциялық шектеулер нақты берілген. Графиканы дұрыс алыңыз тригонометриялық функциялар, туралы сабақтың материалын еске түсіру графиктердің геометриялық түрлендірулері: аргумент екіге бөлінетін болса: , онда графиктер ось бойымен екі рет созылады. Кем дегенде 3-4 ұпай тапқан жөн тригонометриялық кестелерге сәйкессызбаны дәлірек аяқтау үшін. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру. Айтпақшы, тапсырманы өте ұтымды емес, ұтымды шешуге болады.

Айналу арқылы пайда болған дененің көлемін есептеу
ось айналасындағы жалпақ фигура

Екінші абзац біріншіден де қызықты болады. У осі айналасындағы айналу денесінің көлемін есептеу міндеті де жиі кездеседі. бақылау жұмысы. Өткізу кезінде қарастырылады фигураның ауданын табу мәселесіекінші жол – ось бойымен интеграция, бұл сіздің дағдыларыңызды жақсартуға ғана емес, сонымен қатар ең тиімді шешімді қалай табуға болатынын үйретуге мүмкіндік береді. Оның практикалық мәні де бар! Математиканы оқыту әдістемесі бойынша ұстазым күлімсіреп еске алғанда, көптеген түлектер оған: «Сіздің пәніңіз бізге көп көмектесті, қазір біз тиімді менеджерміз және қызметкерлерімізді оңтайлы басқарамыз» деп алғыстарын білдірді. Осы мүмкіндікті пайдалана отырып, мен де оған үлкен алғысымды білдіремін, әсіресе мен алған білімімді мақсатты түрде пайдаланамын =).

Мен оны барлығына, тіпті толық манекендерге де оқуға кеңес беремін. Сонымен қатар, екінші абзацтың игерілген материалы қос интегралдарды есептеуде таптырмас көмек болады..

5-мысал

, , , сызықтарымен шектелген жазық фигура берілген.

1) Осы түзулермен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз.
2) Осы түзулермен шектелген жазық фигураны ось айналасында айналдыру арқылы алынған дененің көлемін табыңыз.

Назар аударыңыз!Сіз тек екінші абзацты оқығыңыз келсе де, алдымен Міндетті түрдебіріншісін оқы!

Шешім: Тапсырма екі бөлімнен тұрады. Шаршыдан бастайық.

1) Сызбаны орындаймыз:

Функция параболаның жоғарғы тармағын, ал функция параболаның төменгі тармағын анықтайтынын көру оңай. Біздің алдымызда тривиальды парабола тұр, ол «бүйірінде жатыр».

Қалаған фигура, оның аумағын табуға болады, көк түспен боялған.

Фигураның ауданын қалай табуға болады? Оны сабақта қарастырылған «әдеттегі» жолмен табуға болады. Анықталған интеграл. Фигураның ауданын қалай есептеу керек. Сонымен қатар, фигураның ауданы аудандардың қосындысы ретінде табылады:
- сегментте ;
- сегментте.

Сондықтан:

Бұл жағдайда әдеттегі шешімде не дұрыс емес? Біріншіден, екі интеграл бар. Екіншіден, интегралдар астындағы түбірлер, ал интегралдардағы түбірлер сыйлық емес, оның үстіне интегралдау шегін ауыстыруда шатастыруға болады. Шын мәнінде, интегралдар, әрине, өлімге әкелмейді, бірақ іс жүзінде бәрі әлдеқайда қайғылы, мен тапсырма үшін «жақсы» функцияларды алдым.

Неғұрлым ұтымды шешім бар: ол көшуден тұрады кері функцияларжәне ось бойынша интеграция.

Кері функцияларға қалай өтуге болады? Дөрекі сөзбен айтқанда, «х»-ті «у» арқылы көрсету керек. Алдымен параболамен айналысайық:

Бұл жеткілікті, бірақ сол функцияның төменгі тармақтан алынуы мүмкін екеніне көз жеткізейік:

Түзу сызықпен бәрі оңайырақ:

Енді оське қараңыз: түсіндіріп жатқанда басыңызды мезгіл-мезгіл оңға 90 градусқа еңкейтіңіз (бұл әзіл емес!). Бізге қажет фигура қызыл нүктелі сызықпен көрсетілген сегментте жатыр. Сонымен қатар, сегментте түзу сызық параболаның үстінде орналасқан, бұл фигураның ауданын сізге бұрыннан таныс формула арқылы табу керек дегенді білдіреді: . Формулада не өзгерді? Тек хат, басқа ештеңе жоқ.

! Ескерту: ось бойымен интеграциялық шектеулер орнатылуы керек қатаң түрде төменнен жоғарыға қарай!

Ауданды табу:

Сондықтан сегментте:

Интеграцияны қалай жасағаныма назар аударыңыз, бұл ең көп ұтымды жол, ал тапсырманың келесі абзацында неге екені анық болады.

Интеграцияның дұрыстығына күмәнданатын оқырмандар үшін мен туындыларды табамын:

Түпнұсқа интеграл алынады, бұл интеграцияның дұрыс орындалғанын білдіреді.

Жауап:

2) Осы фигураның ось айналасында айналуынан пайда болған дененің көлемін есептеңдер.

Мен сызбаны сәл басқа дизайнда қайта саламын:

Сонымен, көк түспен боялған фигура осьтің айналасында айналады. Нәтижесінде өз осінің айналасында айналатын «қалқыған көбелек» пайда болады.

Айналым денесінің көлемін табу үшін ось бойымен интегралдаймыз. Алдымен кері функцияларға көшу керек. Бұл қазірдің өзінде жасалған және алдыңғы параграфта егжей-тегжейлі сипатталған.

Енді біз басымызды қайтадан оңға қисайтып, фигурамызды зерттейміз. Көлемдер арасындағы айырмашылық ретінде революция денесінің көлемін табу керек екені анық.

Біз қызыл түспен дөңгеленген фигураны осьтің айналасында айналдырамыз, нәтижесінде кесілген конус пайда болады. Бұл көлемді деп белгілейік.

Біз жасыл түспен дөңгеленген фигураны осьтің айналасына айналдырамыз және оны пайда болған революция денесінің көлемі арқылы белгілейміз.

Біздің көбелектің көлемі көлемдік айырмашылыққа тең.

Айналым денесінің көлемін табу үшін формуланы қолданамыз:

Оның алдыңғы абзацтағы формуладан айырмашылығы неде? Тек әріптерде.

Міне, мен жақында айтқан интеграцияның артықшылығын табу әлдеқайда оңай алдын ала орнатуға қарағанда интеграл 4-ші дәрежеге дейін.

Жауап:

Дегенмен, ауру көбелек.

Есіңізде болсын, егер бірдей жалпақ фигураны осьтің айналасында айналдырса, онда басқа, табиғи көлемдегі мүлдем басқа революция денесі шығады.

6-мысал

Берілген жазық фигура сызықтармен шектелген және ось.

1) Кері функцияларға өтіп, айнымалының үстіне интегралдау арқылы осы сызықтармен шектелген жазық фигураның ауданын табыңыз.
2) Осы түзулермен шектелген жазық фигураны ось айналасында айналдыру арқылы алынған дененің көлемін есептеңдер.

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Қалағандар фигураның ауданын «әдеттегі» жолмен таба алады, осылайша 1) тармақты тексеруді аяқтайды. Бірақ, қайталап айтамын, сіз осьтің айналасында жалпақ фигураны айналдырсаңыз, онда сіз басқа көлеммен мүлде басқа айналу денесін аласыз, айтпақшы, дұрыс жауап (сондай-ақ шешуді ұнататындар үшін).

Сабақтың соңында ұсынылған екі тапсырманың толық шешімі.

О, айналу денелерін және интеграцияны түсіну үшін басыңызды оңға еңкейтуді ұмытпаңыз!

Дәрістер 8. Анықталған интегралдың қолданылуы.

Интегралдың физикалық есептерге қолданылуы интегралдың жиынға қосындысының қасиетіне негізделген. Демек, интегралдың көмегімен жиында өздері қосымша болатын шамаларды есептеуге болады. Мысалы, фигураның ауданы оның бөліктерінің аудандарының қосындысына тең.Доғаның ұзындығы, бетінің ауданы, дененің көлемі және дененің массасы бірдей қасиетке ие. Сондықтан бұл шамалардың барлығын белгілі интеграл көмегімен есептеуге болады.

Мәселені шешудің екі жолы бар: интегралдық қосындылар әдісі және дифференциалдар әдісі.

Интегралдық қосындылар әдісі анықталған интегралды құруды қайталайды: бөлім құрастырылады, нүктелер белгіленеді, оларда функция есептеледі, интегралдық қосынды есептеледі және шекке өту орындалады. Бұл әдісте негізгі қиындық - есепте қажет нәрсенің шегінде нақты алынатынын дәлелдеу.

Дифференциалдар әдісі қолданылады анықталмаған интегралжәне Ньютон-Лейбниц формуласы. Анықталатын шаманың дифференциалы есептеледі, содан кейін осы дифференциалды интегралдаса, Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы қажетті шама алынады. Бұл әдісте негізгі қиындық - бұл басқа нәрсе емес, қалаған мәннің дифференциалы есептелетінін дәлелдеу.

Жазық фигуралардың аудандарын есептеу.

1. Суретте көрсетілген функцияның графигімен шектелген Декарттық жүйекоординаттар.

Біз аудан есебінен белгілі бір интеграл ұғымына келдік қисық сызықты трапеция(шын мәнінде интегралдық қосындылар әдісін қолдану). Егер функция қабылдамаса ғана теріс мәндер, онда кесіндідегі функцияның графигінің астындағы ауданды анықталған интеграл көмегімен есептеуге болады. байқа, бұл сондықтан мұнда дифференциал әдісін көруге болады.

Бірақ функция белгілі бір сегментте теріс мәндерді де қабылдай алады, содан кейін осы сегменттегі интеграл аумақтың анықтамасына қайшы келетін теріс аумақты береді.

Формула арқылы ауданды есептеуге боладыС=. Бұл функция теріс мәндерді қабылдайтын аймақтардағы таңбаны өзгертуге тең.

Егер сізге жоғарыдан функция графигімен, ал төменнен функция графигімен шектелген фигураның ауданын есептеу қажет болса, онда формуласын қолдануға боладыС= , өйткені .

Мысал. x=0, x=2 түзулерімен және y=x 2 , y=x 3 функцияларының графиктерімен шектелген фигураның ауданын есептеңдер.

(0,1) интервалында x 2 > x 3 теңсіздігі орындалатынын, ал x >1 үшін x 3 > x 2 теңсіздігі орындалатынын ескеріңіз. Сондықтан

2. Суретте көрсетілген функцияның графигімен шектелген полярлық жүйекоординаттар.

Функцияның графигі полярлық координаталар жүйесінде берілсін және біз екі сәулемен шектелген қисық сызықты сектордың ауданын және полярлық координаталар жүйесіндегі функцияның графигін есептегіміз келеді.

Мұнда функция графигі шеңбер доғасымен ауыстырылатын элементар секторлар аудандарының қосындысының шегі ретінде қисық сектордың ауданын есептейтін интегралдық қосындылар әдісін қолдануға болады. .

Сондай-ақ дифференциалды әдісті қолдануға болады: .

Сіз осылай дәлелдей аласыз. Орталық бұрышқа сәйкес келетін элементар қисық сызықты секторды дөңгелек сектормен ауыстырсақ, бізде пропорция пайда болады. Осы жерден . Ньютон-Лейбниц формуласын интегралдау және қолдану арқылы аламыз .

Мысал. Шеңбердің ауданын есептеңіз (формуланы тексеріңіз). Біз сенеміз . Шеңбердің ауданы .

Мысал. Кардиоидпен шектелген ауданды есептеңіз .

3 Сурет параметрлік түрде көрсетілген функцияның графигімен шектелген.

Функцияны пішінде параметрлік түрде көрсетуге болады. Біз формуланы қолданамыз С= , оған жаңа айнымалыға қатысты интеграция шегін ауыстыру. . Әдетте, интегралды есептеу кезінде интегралдың белгілі бір белгісі бар және сол немесе басқа таңбасы бар сәйкес облыс ескерілетін облыстар бөлінеді.

Мысал. Эллипспен қоршалған ауданды есептеңіз.

Эллипстің симметриясын пайдаланып, бірінші ширекте орналасқан эллипстің төрттен бірінің ауданын есептейміз. осы квадрантта. Сондықтан .

Денелердің көлемдерін есептеу.

1. Параллель қималардың аудандарынан денелердің көлемдерін есептеу.

Кейбір V дененің көлемін осы дененің кесінділерінің белгілі аудандарынан OX түзуінің кез келген х нүктесі арқылы жүргізілген OX түзуіне перпендикуляр жазықтықтар арқылы есептеу талап етілсін.

Біз дифференциал әдісін қолданамыз. Қарап отырып, элементар көлемін, жоғарыда сегментінің көлемі ретінде оң дөңгелек цилиндр базасының ауданы мен биіктігі, біз аламыз . Ньютон-Лейбниц формуласын интегралдау және қолдану арқылы аламыз

2. Төңкеріс денелерінің көлемдерін есептеу.

Есептеу қажет болсын ӨҚ.

Содан кейін .

Сияқты, дененің ось айналасындағы айналу көлеміОй, егер функция түрінде берілген болса, формула арқылы есептеуге болады.

Егер функция түрінде берілген болса және осьтің айналасындағы айналу денесінің көлемін анықтау қажет болсаОй, содан кейін көлемді есептеу формуласын алуға болады келесідей.

Дифференциалға өтіп, квадрат мүшелерді елемейміз . Ньютон-Лейбниц формуласын интегралдау және қолдану арқылы бізде .

Мысал. Шардың көлемін есептеңдер.

Мысал. Бетпен және жазықтықпен шектелген тік дөңгелек конустың көлемін есептеңдер.

Көлемді катеттері OZ осінде және z \u003d H түзуінде жататын OXZ жазықтығында тік бұрышты үшбұрыштың OZ осінің айналасында айналу нәтижесінде пайда болған айналу денесінің көлемі ретінде есептейік. гипотенузасы түзуде жатыр.

x-ті z арқылы өрнектесек, аламыз .

Доғаның ұзындығын есептеу.

Доғаның ұзындығын есептеу формулаларын алу үшін 1 семестрде алынған доға ұзындығының дифференциал формулаларын еске түсірейік.

Егер доға үздіксіз дифференциалданатын функцияның графигі болса, доға ұзындығының дифференциалын формула бойынша есептеуге болады

. Сондықтан

Егер тегіс доға параметрлік түрде көрсетілсе, Бұл

. Сондықтан .

Егер доға полярлық координатада болса, Бұл

. Сондықтан .

Мысал. Функция графигінің доға ұзындығын есептеңіз, . .

Біз түсінген кезде геометриялық мағынасыбелгілі бір интеграл, бізде x осімен, түзулармен шектелген қисық сызықты трапеция ауданын табуға болатын формула бар. x=a, x=b, сонымен қатар үздіксіз (теріс емес немесе оң емес) функция y = f(x) .Кейде фигураны параметрлік түрде шектейтін функцияны орнату ыңғайлырақ, яғни. білдіру функционалдық тәуелділік t параметрі арқылы. Осы материалдың аясында біз фигураның ауданын параметрлік берілген қисықпен шектелген жағдайда қалай табуға болатынын көрсетеміз.

Теорияны түсіндіріп, формуланы шығарғаннан кейін біз мұндай фигуралардың ауданын табу үшін бірнеше типтік мысалдарды талдаймыз.

Есептеудің негізгі формуласы

Шекаралары x = a, x = b түзулері, O x осі және параметрлік анықталған қисық x = φ (t) y = ψ (t) , және х функциялары болатын қисық сызықты трапеция бар деп есептейік. = φ (t) және y = ψ (t) α интервалында үздіксіз; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Анықтама 1

Мұндай жағдайларда трапецияның ауданын есептеу үшін S (G) = ∫ α β ψ (t) φ "(t) d t формуласын қолдану керек.

Біз оны x = φ (t) y = ψ (t) ауыстыру әдісін қолданып, қисық сызықты трапеция S (G) = ∫ a b f (x) d x формуласынан шығардық:

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Анықтама 2

β интервалында x = φ (t) функциясының монотонды кемуін қарастырсақ; α , β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Егер x = φ (t) функциясы негізгі элементарларға жатпайтын болса, онда функцияның өсетінін немесе кеметінін анықтау үшін интервалдағы функцияны көбейту және азайтудың негізгі ережелерін есте сақтау керек.

Бұл параграфта біз жоғарыда келтірілген формуланы қолданудың бірнеше мәселелерін талдаймыз.

1-мысал

Шарт: x = 2 cos t y = 3 sin t түріндегі теңдеулер арқылы берілген түзу арқылы құрылған фигураның ауданын табыңыз.

Шешім

Бізде параметрлік анықталған сызық бар. Графикалық түрде оны екі жартылай осьтері 2 және 3 бар эллипс түрінде көрсетуге болады. Суретті қараңыз:

Алынған фигураның бірінші квадрантты алып жатқан 1 4 ауданын табуға тырысайық. Аудан x ∈ a интервалында; b = 0 2. Содан кейін алынған мәнді 4-ке көбейтіп, бүкіл фигураның ауданын табыңыз.

Міне, біздің есептеулеріміздің барысы:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

k 0-ге тең болса, β интервалын аламыз; α = 0 ; π 2. Оған x = φ (t) = 2 cos t функциясы монотонды түрде азаяды (толығырақ ақпаратты негізгі элементар функциялар және олардың қасиеттері туралы мақаланы қараңыз). Сонымен, Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы аудан формуласын қолдануға және белгілі интегралды табуға болады:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 т) d t = = 3 t - sin (2 т) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2

Бұл бастапқы қисықпен берілген фигураның ауданы S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π тең болады дегенді білдіреді.

Жауабы: S (G) = 6 π

Жоғарыдағы есепті шешкен кезде эллипстің төрттен бір бөлігін ғана емес, оның жартысын – жоғарғы немесе төменгі бөлігін де алуға болатынын түсіндірейік. Бір жартысы x ∈ a интервалында орналасады; b = - 2 ; 2. Бұл жағдайда бізде:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Осылайша, k 0-ге тең болса, біз β алдық; α = 0 ; π. Бұл аралықта x = φ (t) = 2 cos t функциясы монотонды түрде азаяды.

Осыдан кейін эллипстің жартысының ауданын есептейміз:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 т) d t = = 3 t - sin (2 т) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Оңды немесе солды емес, тек үстіңгі немесе астыңғы жағын алуға болатынын ескеру маңызды.

Құрастыруға болады параметрлік теңдеуцентрі координат басында орналасатын эллипс берілген. Ол x = a cos t y = b sin t сияқты болады. Жоғарыдағы мысалдағыдай әрекет ете отырып, S e l және p эллипсінің ауданын \u003d πab арқылы есептеу формуласын аламыз.

x = R cos t y = R sin t теңдеуінің көмегімен центрі координат басында орналасқан шеңберді анықтауға болады, мұндағы t - параметр және R - берілген шеңбердің радиусы. Егер біз бірден эллипс ауданы үшін формуланы қолданатын болсақ, онда біз R радиусы бар шеңбердің ауданын есептей алатын формуланы аламыз: S дөңгелек a = πR 2.

Тағы бір мәселені қарастырайық.

2-мысал

Шарты: x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t параметрлік берілген қисықпен шектелген фигураның ауданы қандай болатынын табыңыз.

Шешім

Бұл қисықтың ұзартылған астроид пішіні бар екенін бірден анықтайық. Әдетте астроид x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t түріндегі теңдеу арқылы өрнектеледі.

Енді біз мұндай қисық сызықты қалай салу керектігін егжей-тегжейлі талдаймыз. Жеке нүктелерге сүйенейік. Бұл ең кең таралған әдіс және көптеген тапсырмаларға қолданылады. Көбірек күрделі мысалдарпараметрлік берілген функцияны ашу үшін дифференциалдық есептеуді қажет етеді.

Бізде x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y \u003d ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.

Бұл функциялар t-тің барлық нақты мәндері үшін анықталған. Sin және cos үшін олардың периодты және периоды 2 пи болатыны белгілі. Кейбір t = t 0 ∈ 0 үшін x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t функцияларының мәндерін есептеу; 2 π π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8, біз x 0 ұпайларын аламыз; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Жалпы мәндер кестесін жасайық:

Осыдан кейін жазықтықта қажетті нүктелерді белгілеп, оларды бір сызықпен қосыңыз.

Енді біз бірінші координаталық ширектегі фигураның сол бөлігінің ауданын табуымыз керек. Оның үшін x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Егер k 0 болса, онда β интервалын аламыз; α = 0 ; π 2 , ал оған x = φ (t) = 3 cos 3 t функциясы монотонды түрде кемиді. Енді аудан формуласын алып, есептейміз:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) d t = 18 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Бізде бар анықталған интегралдар, оны Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы есептеуге болады. Бұл формуланың примитивтерін J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) рекурсивті формуласы арқылы табуға болады, мұндағы J n (x) = ∫ күнә n x d x.

∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ d π 2t 04 6 3 π 16 = 15 π 96

Біз фигураның төрттен бірінің ауданын есептедік. Ол 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16 тең.

Егер бұл мәнді 4-ке көбейтсек, біз бүкіл фигураның ауданын аламыз - 9 π 4.

Дәл осылай, x \u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t теңдеулерімен берілген астроидтың ауданын сызықпен шектелген формула бойынша табуға болатынын дәлелдей аламыз. x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t, S = 3 πab 8 формуласымен есептеледі.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз