Кері тригонометриялық функциялардың туындылары тең. Синус туындысы: (sin x)′. Жоғары ретті туындылар

Кестенің ең бірінші формуласын шығарған кезде функцияның нүктедегі туындысын анықтауға кірісеміз. Қайдан алайық x- кез келген нақты сан, яғни, x– функцияны анықтау аймағындағы кез келген сан . Функция өсімінің аргумент өсіміне қатынасының шегін мына жерде жазайық:

Шектеу белгісінің астында нөлдің нөлге бөлінетін белгісіздігі емес өрнек алынғанын ескеру қажет, өйткені алым құрамында шексіз аз мән емес, дәл нөл бар. Басқаша айтқанда, тұрақты функцияның өсімі әрқашан нөлге тең болады.

Осылайша, тұрақты функцияның туындысыанықтаудың барлық доменінде нөлге тең.

Дәрежелік функцияның туындысы.

Дәрежелік функцияның туындысының формуласы пішінге ие , мұндағы көрсеткіш бкез келген нақты сан.

Алдымен натурал көрсеткіштің, яғни үшін формуласын дәлелдеп алайық p = 1, 2, 3, ...

Біз туынды сөздің анықтамасын қолданамыз. Дәрежелік функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының шегін жазайық:

Алымдағы өрнекті жеңілдету үшін Ньютонның биномдық формуласына жүгінеміз:

Демек,

Бұл натурал көрсеткіш үшін дәрежелік функцияның туындысының формуласын дәлелдейді.

Көрсеткіштік функцияның туындысы.

Анықтама негізінде туынды формуланы шығарамыз:

Белгісіздікке келді. Оны кеңейту үшін біз , және үшін жаңа айнымалысын енгіземіз. Содан кейін. Соңғы көшуде логарифмнің жаңа негізіне көшу формуласын қолдандық.

Бастапқы шекте ауыстыруды орындайық:

Екіншісін еске түсірсек тамаша шек, онда көрсеткіштік функцияның туындысының формуласына келеміз:

Логарифмдік функцияның туындысы.

Барлығы үшін логарифмдік функцияның туындысының формуласын дәлелдеп көрейік xауқымынан және барлық жарамды негізгі мәндерден алогарифм. Туындының анықтамасы бойынша бізде:

Өздеріңіз байқағандай, дәлелдеуде түрлендірулер логарифмнің қасиеттерін пайдалана отырып жүргізілді. Теңдік екінші керемет шекке байланысты жарамды.

Тригонометриялық функциялардың туындылары.

Тригонометриялық функциялардың туындыларының формулаларын шығару үшін біз кейбір тригонометрия формулаларын, сондай-ақ бірінші тамаша шекті еске түсіруіміз керек.

Синус функциясының туындысының анықтамасы бойынша бізде бар .

Синустар айырымы формуласын қолданамыз:

Бірінші керемет шекке көшу қалады:

Сонымен, функцияның туындысы күнә xСонда бар cos x.

Косинус туындысының формуласы дәл осылай дәлелденген.

Демек, функцияның туындысы cos xСонда бар – sin x.

Тангенс пен котангенс үшін туындылар кестесінің формулаларын шығару дифференциалдаудың (бөлшек туындысы) дәлелденген ережелерін қолдану арқылы жүзеге асырылатын болады.

Гиперболалық функциялардың туындылары.

Дифференциалдау ережелері және туындылар кестесінен көрсеткіштік функцияның туындысының формуласы гиперболалық синусының, косинусының, тангенстің және котангенстің туындыларының формулаларын шығаруға мүмкіндік береді.

Кері функцияның туындысы.

Презентацияда шатасу болмас үшін, дифференциалдау орындалатын функцияның аргументін төменгі индексте белгілейік, яғни бұл функцияның туындысы f(x)Авторы x.

Енді біз тұжырымдаймыз кері функцияның туындысын табу ережесі.

Функцияларға рұқсат етіңіз y = f(x)Және x = g(y)өзара кері, аралықтарда және сәйкесінше анықталады. Егер нүктеде функцияның нөлге тең емес соңғы туындысы бар болса f(x), онда нүктеде кері функцияның ақырлы туындысы бар g(y), және . Басқа жазбада .

Бұл ережені кез келген адам үшін қайта құруға болады xинтервалынан , содан кейін аламыз .

Осы формулалардың дұрыстығын тексерейік.

Натурал логарифмге кері функцияны табайық (Мұнда жфункциясы болып табылады және x- аргумент). Бұл теңдеуді шешу x, біз аламыз (мұнда xфункциясы болып табылады және жоның дәлелі). Яғни, және өзара кері функциялар.

Туындылар кестесінен біз мұны көреміз Және .

Кері функцияның туындыларын табу формулалары бізді бірдей нәтижелерге әкелетініне көз жеткізейік:

Көріп отырғаныңыздай, біз туынды құралдар кестесіндегідей нәтиже алдық.

Енді бізде кері тригонометриялық функциялардың туындыларының формулаларын дәлелдейтін білім бар.

Арксинустың туындысынан бастайық.

. Содан кейін кері функцияның туындысының формуласы бойынша аламыз

Трансформацияны жүзеге асыру қалды.

Арксинус диапазоны интервал болғандықтан , Бұл (негізгі элементар функциялар, олардың қасиеттері және графиктері бөлімін қараңыз). Сондықтан қарастырмаймыз.

Демек, . Арксинус туындысының анықталу облысы интервал болып табылады (-1; 1) .

Арккосин үшін бәрі дәл осылай жасалады:

Доғаның жанамасының туындысын табыңыз.

Кері функция үшін .

Алынған өрнекті жеңілдету үшін доғаның косинусы арқылы доғаның тангенсін өрнектейміз.

Болсын арктанкс = z, Содан кейін

Демек,

Сол сияқты кері тангенстің туындысы табылады:

Тақырыпты зерделеу кезінде ыңғайлылық пен түсінікті болу үшін мұнда жиынтық кесте берілген.

Көрсетілген кестенің формулалары қалай алынғанын талдап көрейік, немесе басқаша айтқанда, функцияның әрбір түрі үшін туынды формулаларды шығаруды дәлелдейміз.

Тұрақтының туындысы

Бұл формуланы шығару үшін функцияның нүктедегі туындысының анықтамасын негізге аламыз. Біз x 0 = x пайдаланамыз, мұнда xкез келген нақты санның мәнін қабылдайды, немесе, басқаша айтқанда, x f (x) = C функциясының облысындағы кез келген сан. Функция өсімінің аргумент өсіміне қатынасының шегін ∆ x → 0 түрінде жазайық:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

0 ∆ x өрнегі шек белгісінің астына түсетінін ескеріңіз. Бұл «нөлдің нөлге бөлінуі» белгісіздігі емес, өйткені алым құрамында шексіз аз мән емес, нөл бар. Басқаша айтқанда, тұрақты функцияның өсімі әрқашан нөлге тең болады.

Сонымен, f (x) = C тұрақты функциясының туындысы анықтаудың барлық облысы бойынша нөлге тең.

1-мысал

Берілген тұрақты функциялар:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Шешім

Берілген шарттарды сипаттайық. Бірінші функцияда 3 натурал санының туындысын көреміз. Келесі мысалда туындысын алу керек А, Қайда А- кез келген нақты сан. Үшінші мысал бізге туындыны береді иррационал сан 4 . 13 7 22 , төртінші – нөлдің туындысы (нөл – бүтін сан). Ақырында, бесінші жағдайда рационал бөлшектің туындысы бар - 8 7 .

Жауап:туындылар функцияларды орнатукез келген нақты үшін нөлге тең x(анықтаудың барлық домені бойынша)

f 1 "(x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Қуат функциясының туындысы

Біз қуат функциясына және оның туындысының формуласына жүгінеміз, оның келесі түрі бар: (x p) " = p x p - 1, мұндағы көрсеткіш бкез келген нақты сан.

Дәлелдеу 2

Көрсеткіш болған кезде формуланың дәлелін келтіреміз натурал сан: p = 1 , 2 , 3 , …

Тағы да біз туынды анықтамасына сүйенеміз. Дәрежелік функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының шегін жазайық:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Алымдағы өрнекті жеңілдету үшін Ньютонның биномдық формуласын қолданамыз:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Осылайша:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1) x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Сонымен, дәрежелік функцияның туындысының формуласын көрсеткіші натурал сан болған кезде дәлелдедік.

Дәлелдеу 3

Қашан болған жағдайға дәлел келтіру p-нөлден басқа кез келген нақты сан үшін логарифмдік туындыны қолданамыз (бұл жерде логарифмдік функцияның туындысынан айырмашылығын түсіну керек). Толығырақ түсіну үшін логарифмдік функцияның туындысын зерттеп, қосымша берілген функцияның туындысы мен туындысын қарастырған жөн. күрделі функция.

Екі жағдайды қарастырыңыз: қашан xоң және қашан xтеріс.

Сондықтан x > 0. Содан кейін: x p > 0 . y \u003d x p теңдігінің логарифмін e негізіне аламыз және логарифмнің қасиетін қолданамыз:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Бұл кезеңде жасырын түрде анықталған функция алынды. Оның туындысын анықтайық:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Енді біз қашан болған жағдайды қарастырамыз x-теріс сан.

Егер көрсеткіш бСонда бар жұп сан, онда қуат функциясы х үшін де анықталады< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Содан кейін xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Егер бСонда бар тақ сан, онда қуат функциясы х үшін де анықталады< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Соңғы ауысу мүмкін, өйткені егер бонда тақ сан болады p - 1жұп сан немесе нөл (p = 1 үшін), демек, теріс үшін x(- x) p - 1 = x p - 1 теңдігі ақиқат.

Сонымен, біз кез келген нақты р үшін дәрежелік функцияның туындысының формуласын дәлелдедік.

2-мысал

Берілген функциялар:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Олардың туындыларын анықтаңыз.

Шешім

Берілген функциялардың бір бөлігін дәреже қасиеттеріне сүйене отырып, кестелік түрге түрлендіреміз y = x p , содан кейін формуланы қолданамыз:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x журнал 7 12 = x - журнал 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Көрсеткіштік функцияның туындысы

Анықтамаға сүйене отырып, туындының формуласын шығарамыз:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Бізде белгісіздік болды. Оны кеңейту үшін z = a ∆ x - 1 (z → 0 ∆ x → 0 түрінде) жаңа айнымалыны жазамыз. Бұл жағдайда a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Соңғы көшу үшін логарифмнің жаңа негізіне көшу формуласы қолданылады.

Бастапқы шекте ауыстыруды орындайық:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z) + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Екінші керемет шекті еске түсіріңіз, содан кейін туындының формуласын аламыз көрсеткіштік функция:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

3-мысал

Көрсеткіштік функциялар берілген:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Біз олардың туындыларын табуымыз керек.

Шешім

Көрсеткіштік функцияның туындысы және логарифм қасиеттері үшін формуланы қолданамыз:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Логарифмдік функцияның туындысы

Кез келген үшін логарифмдік функцияның туындысы формуласының дәлелін келтіреміз xанықтау облысында және логарифмнің а негізінің кез келген жарамды мәндері. Туындының анықтамасына сүйене отырып, біз аламыз:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Көрсетілген теңдік тізбегінен түрлендірулердің логарифмдік қасиеті негізінде салынғанын көруге болады. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e теңдігі екінші тамаша шекке сәйкес ақиқат.

4-мысал

Логарифмдік функциялар берілген:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Олардың туындыларын есептеу қажет.

Шешім

Алынған формуланы қолданайық:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Сонымен, натурал логарифмнің туындысы бірге бөлінеді x.

Тригонометриялық функциялардың туындылары

Тригонометриялық функцияның туындысының формуласын шығару үшін біз кейбір тригонометриялық формулаларды және бірінші тамаша шекті қолданамыз.

Синус функциясының туындысының анықтамасына сәйкес мынаны аламыз:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Синустар айырмасының формуласы келесі әрекеттерді орындауға мүмкіндік береді:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Соңында, біз бірінші керемет шектеуді қолданамыз:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Сонымен функцияның туындысы күнә xерік cos x.

Косинус туындысының формуласын да дәл осылай дәлелдейміз:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Анау. cos x функциясының туындысы болады – күнә x.

Дифференциалдау ережелеріне сүйене отырып, тангенс пен котангенс туындыларының формулаларын шығарамыз:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Кері тригонометриялық функциялардың туындылары

Кері функциялардың туындысы бөлімінде арксинус, арккосинус, арктангенс және арккотангенс туындыларының формулаларын дәлелдеу туралы жан-жақты ақпарат берілген, сондықтан бұл жерде материалды қайталамаймыз.

Гиперболалық функциялардың туындылары

Дифференциалдау ережесін және көрсеткіштік функцияның туындысының формуласын пайдаланып гиперболалық синустың, косинустың, тангенстің және котангенстің туындылары үшін формулаларды шығара аламыз:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s ч 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Туынды

Математикалық функцияның туындысын есептеу (дифференциалдау) шешу кезінде өте кең таралған тапсырма болып табылады. жоғары математика. Қарапайым (элементар) математикалық функциялар үшін бұл өте қарапайым мәселе, өйткені элементар функциялар үшін туынды кестелер бұрыннан құрастырылған және оңай қол жетімді. Дегенмен, күрделі математикалық функцияның туындысын табу тривиальды тапсырма емес және көбінесе айтарлықтай күш пен уақытты қажет етеді.

Туындыны желіден табыңыз

Біздің онлайн қызмет сізге мағынасыз ұзақ есептеулерден құтылуға мүмкіндік береді және туындыны желіден табыңызбір сәтте. Сонымен қатар, веб-сайтта орналасқан біздің сервисті пайдалану www.site, есептей аласыз туынды онлайнқарапайым функциядан да, шешімі жоқ өте күрделі функциядан да аналитикалық нысаны. Біздің сайттың басқалармен салыстырғандағы негізгі артықшылықтары: 1) туындыны есептеу үшін математикалық функцияны енгізу әдісіне қатаң талаптар жоқ (мысалы, sine x функциясын енгізгенде, оны sin x немесе sin ретінде енгізуге болады. (x) немесе sin [x] және т.б.) d.); 2) туындыны онлайн есептеу режимде бірден жүреді желідежәне мүлдем Тегін; 3) функцияның туындысын табуға мүмкіндік береміз кез келген тапсырыс, туындының ретін өзгерту өте оңай және түсінікті; 4) біз кез келген дерлік математикалық функцияның туындысын онлайн табуға мүмкіндік береміз, тіпті өте күрделі, басқа қызметтер үшін қолжетімсіз. Берілген жауап әрқашан дәл және қателерді қамтуы мүмкін емес.

Біздің серверді пайдалану сізге 1) сіз үшін туындыны онлайн есептеуге мүмкіндік береді, бұл сізді қате немесе қате жіберуі мүмкін ұзақ және жалықтыратын есептеулерден сақтайды; 2) егер сіз математикалық функцияның туындысын өзіңіз есептесеңіз, онда нәтижені біздің қызметіміздің есептеулерімен салыстыруға және шешімнің дұрыстығына көз жеткізуге немесе жасырын қатені табуға мүмкіндік береміз; 3) қажетті функцияны табу үшін көп уақытты қажет ететін қарапайым функциялардың туынды кестелерін пайдаланудың орнына біздің қызметті пайдаланыңыз.

Сізден талап етілетіннің бәрі туындыны желіден табыңызқызметімізді пайдалану болып табылады

Синус туындысы – sin(x) формуласының дәлелі мен туындысы берілген. Sin 2x, синус квадраты мен кубтың туындыларын есептеу мысалдары. n-ші ретті синусының туындысының формуласын шығару.

Сондай-ақ қараңыз: Синус және косинус – қасиеттері, графиктері, формулалары

х синусының х айнымалысына қатысты туынды х косинусына тең:
(sin x)′ = cos x.

Дәлелдеу

Синустың туындысының формуласын шығару үшін туындының анықтамасын қолданамыз:
.

Бұл шекті табу үшін өрнекті белгілі заңдарға, қасиеттерге және ережелерге келтіретіндей түрлендіру керек. Ол үшін төрт қасиетті білуіміз керек.
1) Бірінші керемет шектің мағынасы:
(1) ;
2) Косинус функциясының үзіліссіздігі:
(2) ;
3) Тригонометриялық формулалар. Бізге келесі формула қажет:
(3) ;
4) Функция шегінің арифметикалық қасиеттері:
Егер және содан кейін
(4) .

Біз бұл ережелерді өз шегімізге дейін қолданамыз. Алдымен алгебралық өрнекті түрлендіреміз
.
Ол үшін формуланы қолданамыз
(3) .
Біздің жағдайда
; . Содан кейін
;
;
;
.

Енді ауыстыруды жасайық. , . Бірінші керемет шектеуді қолданайық (1):
.

Біз бірдей ауыстыруды жасаймыз және үздіксіздік қасиетін қолданамыз (2):
.

Жоғарыда есептелген шектеулер болғандықтан, біз (4) сипатты қолданамыз:

.

Синустың туындысының формуласы дәлелденді.

Мысалдар

Құрамында синусы бар функциялардың туындыларын табудың қарапайым мысалдарын қарастырыңыз. Келесі функциялардың туындыларын табамыз:
y=sin2x; у= sin2xжәне y= sin3x.

1-мысал

-ның туындысын табыңыз күнә 2x.

Алдымен қарапайым бөліктің туындысын табамыз:
(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.
Біз өтініш береміз.
.
Мұнда .

(sin 2x)′ = 2 cos 2x.

2-мысал

Квадрат синустың туындысын табыңыз:
у= sin2x.

Түпнұсқа функцияны түсінікті түрде қайта жазайық:
.
Ең қарапайым бөлшектің туындысын табыңыз:
.
Күрделі функцияның туындысы үшін формуланы қолданамыз.

.
Мұнда .

Тригонометрия формулаларының бірін қолдануға болады. Содан кейін
.

3-мысал

Синустың кубының туындысын табыңыз:
у= sin3x.

Жоғары ретті туындылар

-ның туындысы екенін ескеріңіз күнә xБірінші ретті синус арқылы келесідей көрсетуге болады:
.

Күрделі функцияның туындысының формуласы арқылы екінші ретті туындыны табайық:

.
Мұнда .

Енді біз дифференциацияны көреміз күнә xаргументінің артуын тудырады. Сонда n-ші ретті туынды келесі түрде болады:
(5) .

Мұны математикалық индукция әдісін қолдану арқылы дәлелдейік.

Біз (5) формуласы үшін жарамды екенін тексердік.

(5) формуласы -ның кейбір мәні үшін жарамды деп есептейік. Бұдан шығатыны (5) формуласы үшін дұрыс болатынын дәлелдейміз.

(5) формуланы келесіге жазамыз:
.
Бұл теңдеуді күрделі функцияны дифференциалдау ережесін қолдану арқылы ажыратамыз:

.
Мұнда .
Сонымен, біз таптық:
.
Егер орнына қойсақ, онда бұл формула (5) түрін алады.

Формула дәлелденді.