Күрделі функциялардың бірінші ретті жеке туындылары. Бірнеше айнымалы күрделі функциялардың туындылары. Бағытты туынды

Көбінесе практикалық есептерді шешу кезінде (мысалы, жоғары геодезияда немесе аналитикалық фотограмметрияда) бірнеше айнымалылардың күрделі функциялары пайда болады, яғни аргументтер. x, y, z бір функция f(x,y,z) ) өздері жаңа айнымалылардың функциялары болып табылады У, В, В ).

Мәселен, бұл тіркелген координаттар жүйесінен жылжу кезінде орын алады Oxyz мобильді жүйеге О 0 UVW және кері. Бұл жағдайда «тұрақты» - «ескі» және «жылжымалы» - «жаңа» айнымалыларға қатысты барлық ішінара туындыларды білу маңызды, өйткені бұл ішінара туындылар әдетте осы координаттар жүйелеріндегі объектінің орнын сипаттайды, және, атап айтқанда, аэрофотосуреттердің нақты объектіге сәйкестігіне әсер етеді. Мұндай жағдайларда келесі формулалар қолданылады:

Яғни, күрделі функция берілген Т үш «жаңа» айнымалы У, В, В үш «ескі» айнымалы арқылы x, y, z Содан кейін:

Түсініктеме. Айнымалылар санының өзгеруі мүмкін. Мысалы: егер

Атап айтқанда, егер z = f(xy), y = y(x) , онда біз «жалпы туынды» деп аталатын формуланы аламыз:

«Жалпы туынды» үшін бірдей формула:

нысанда болады:

(1.27) - (1.32) формулаларының басқа нұсқалары да мүмкін.

Ескерту: «жалпы туынды» формуласы физика курсында «Гидродинамика» тарауында сұйықтық қозғалысының іргелі теңдеулер жүйесін шығару кезінде қолданылады.

1.10-мысал. Берілген:

(1.31) сәйкес:

§7 Бірнеше айнымалының жасырын берілген функциясының жартылай туындылары

Өздеріңіз білетіндей, бір айнымалының жасырын анықталған функциясы келесідей анықталады: тәуелсіз айнымалының функциясы x қатысты шешілмеген теңдеу арқылы берілсе, жасырын деп аталады ж :

1.11-мысал.

теңдеу

жанама түрде екі функцияны анықтайды:

Және теңдеу

ешқандай функцияны анықтамайды.

1.2 теорема (жасырын функцияның болуы).

Функция болсын z \u003d f (x, y) және оның жартылай туындылары f" x Және f" ж кейбір маңайда анықталған және үздіксіз У M0 ұпай М 0 (x 0 ж 0 ) . Сонымен қатар, f(x 0 , ж 0 )=0 Және f"(x 0 , ж 0 )≠0 , онда (1.33) теңдеу маңайда анықталады У M0 жасырын функция y= y(x) , үздіксіз және кейбір интервалда дифференциалданатын D нүктеге центрленген x 0 , және y(x 0 )=y 0 .

Дәлелсіз.

1.2 теоремасынан осы аралықта болатыны шығады D :

яғни жеке басы бар

мұндағы "жалпы" туынды (1.31) сәйкес табылған.

Яғни (1.35) туындыны жанама түрде табу формуласын береді берілген функциябір айнымалы x .

Екі немесе одан да көп айнымалылардың жасырын функциясы ұқсас анықталады.

Мысалы, егер кейбір аймақта болса В ғарыш Oxyz теңдеу орындалады:

содан кейін функцияда белгілі бір шарттарда Ф ол функцияны жасырын түрде анықтайды

Сонымен бірге (1.35) ұқсастығы бойынша оның ішінара туындылары келесі түрде табылады:

1.12-мысал. теңдеу деп есептесек

функцияны жасырын түрде анықтайды

табу z" x , z" ж .

сондықтан (1.37) сәйкес жауап аламыз.

§8 Екінші және жоғары ретті жартылай туындылар

Анықтама 1.9 Функцияның екінші ретті дербес туындылары z=z(x,y) келесідей анықталады:

Олардың төртеуі болды. Сонымен қатар, функциялар бойынша белгілі бір жағдайларда z(x,y) теңдік сақталады:

Түсініктеме. Екінші ретті ішінара туындыларды келесі түрде де белгілеуге болады:

Анықтама 1.10 Үшінші ретті жартылай туындылар – сегіз (2 3).

§ 5. Күрделі функциялардың жеке туындылары. күрделі функциялардың дифференциалдары

1. Күрделі функцияның жеке туындылары.

Аргументтері екі айнымалының функциясы болсын Және , өздері екі немесе функциялары болып табылады Көбірекайнымалылар. Мысалы, рұқсат етіңіз
,
.

Содан кейін ерік күрделі функция тәуелсіз айнымалылар Және , айнымалылар және ол үшін болады аралық айнымалылар. Бұл жағдайда функцияның қатысты дербес туындыларын қалай табуға болады Және ?

Әрине, тікелей және арқылы білдіруге болады:

және алынған функцияның жартылай туындыларын іздеңіз. Бірақ өрнек өте күрделі болуы мүмкін, және ішінара туынды табу , кейін көп күш жұмсауды қажет етеді.

функциялары болса
,
,
дифференциалданады, содан кейін табыңыз және арқылы тікелей өрнекке жүгінбей-ақ орындалуы мүмкін. Бұл жағдайда формулалар жарамды болады

(5.1)

Расында, біз дәлел келтіреміз арттыру
, – const. Содан кейін функциялар
Және өсімдерді алады

және функция ұлғайтылады

Қайда , -де шексіз кішкентай
,
. Соңғы теңдіктің барлық мүшелерін -ге бөліңіз. Біз алып жатырмыз:

Функциялары және болжам бойынша дифференциалданатындықтан, олар үздіксіз. Сондықтан, егер
, содан кейін және . Сонымен, соңғы теңдіктің шегіне өту арқылы біз мынаны аламыз:

(өйткені, , үшін шексіз аз).

(5.1) екінші теңдік дәл осылай дәлелденген.

МЫСАЛ. Болсын
, Қайда
,
. Сонда тәуелсіз айнымалылардың күрделі функциясы және . Оның жартылай туындыларын табу үшін (5.1) формуланы қолданамыз. Бізде бар

(5.1) орнына қойып, аламыз

,

Формулалар (5.1) табиғи түрде тәуелсіз және аралық аргументтердің көбірек санының функциясының жағдайына жалпыланады. Атап айтқанда, егер

………………………

және барлық қарастырылатын функциялар дифференциалданады, онда кез келген үшін
теңдік бар

Сондай-ақ функция аргументтері тек бір айнымалының функциялары болуы мүмкін, яғни.

,
.

Сонда тек бір айнымалыдан тұратын күрделі функция болады және туындыны табу мәселесін қоюға болады . Функциялар болса
,
дифференциалданатын болса, оны формула арқылы табуға болады
(5.2)

МЫСАЛ. Болсын
, Қайда
,
. Мұнда бір тәуелсіз айнымалының күрделі функциясы берілген . (5.2) формуланы қолданып, аламыз

.

Және, сайып келгенде, жағдай тәуелсіз айнымалының рөлін атқарған кезде мүмкін болады, яғни. ,

Қайда
.

(5.2) формуладан біз аламыз

(5.3)

(өйткені
). Туынды , оң жақта (5.3) формулада тұрған функцияның -ға қатысты жартылай туындысы. Ол тұрақты мәнмен есептеледі. Туынды (5.3) формуланың сол жағында шақырылады функцияның толық туындысы . Оны есептеу кезінде оның екі жолмен тәуелді екендігі ескеріледі: тікелей және екінші аргумент арқылы .

МЫСАЛ. Функция үшін және табыңыз
, Қайда
.

Бізде бар
.

Табу үшін (5.3) формуланы қолданамыз. Алу

.

Осы бөлімшені қорытындылау үшін (5.2) және (5.3) формулаларды аралық аргументтердің көп саны бар функциялар жағдайына оңай жалпылауға болатынын атап өтеміз.

2. Күрделі функцияның дифференциалы.

Еске салайық, егер

екі тәуелсіз айнымалының дифференциалданатын функциясы, содан кейін анықтамасы бойынша

, (5.4)

немесе басқа нысанда
. (5.5)

(5.5) формуласының артықшылығы, ол күрделі функция болғанда да ақиқат болып қалады.

Шынында да, рұқсат етіңіз, қайда, . , , функциялары дифференциалданатын деп алайық. Сонда комплекс функциясы да дифференциалданатын болады және оның (5.5) формуласы бойынша толық дифференциалы тең болады

.

Жартылай туындыларды есептеу үшін (5.1) формуласын қолдану күрделі функция, Біз алып жатырмыз

Функциялардың жалпы дифференциалдары жақшада болғандықтан, бізде ақырында бар

Сонымен, біз және тәуелсіз айнымалы болған жағдайда да, қашан және тәуелді айнымалы болған жағдайда да функцияның дифференциалын (5.5) түрінде жазуға болатынын көрдік. Осыған байланысты толық дифференциалды жазудың бұл түрі деп аталады инвариантты . (5.4) тармағында ұсынылған дифференциалды жазу формасы инвариантты болмайды, оны тек тәуелсіз айнымалылар болғанда ғана қолдануға болады. Дифференциалды жазу формасы да өзгермейтін болады - ші бұйрық. Еске салайық, біз бұрын тәртіп дифференциалын көрсеткен болатынбыз екі айнымалының функцияларын формула арқылы табуға болады

. (4.12)

Бірақ егер және тәуелсіз айнымалылар болмаса, онда (4.12) үшін формула
ақиқат болудан қалады.

Екі айнымалы функция үшін осы бөлімшеде орындалған барлық аргументтерді аргументтері көп функция жағдайында қайталауға болатыны анық. Демек, функция үшін дифференциалды екі түрде де жазуға болады:

мұнда екінші белгі инвариантты болады, яғни. әділ болса да
тәуелсіз айнымалылар емес, аралық аргументтер.

§ 6. Инплицитті функцияларды дифференциалдау

Бір және бірнеше айнымалы функцияны анықтау әдістері туралы айта отырып, функцияның аналитикалық анықтамасы айқын немесе жасырын болуы мүмкін екенін атап өттік. Бірінші жағдайда функцияның мәні аргументтердің белгілі мәндерінен табылады; екіншісінде функцияның мәні мен оның аргументтері қандай да бір теңдеумен байланысты. Дегенмен, теңдеулердің қашан болатынын нақтыламадық

Және

жанама түрде анықталған функцияларды және сәйкесінше анықтау. Имплицитті функцияның болуының қолайлы жеткілікті шарттары айнымалылар (
) келесі теоремада қамтылған.

ТЕОРЕМА6.1 . (жасырын функцияның болуы) Функция болсын
және оның жартылай туындылары
нүктенің кейбір төңірегінде анықталған және үздіксіз. Егер
Және
, онда мұндай көршілестік бар теңдеу орындалатын нүкте

анықтайды үздіксіз функцияжәне

1) Теңдеуді қарастырыңыз
. Теореманың шарттары орындалады, мысалы, нүктенің кез келген маңайында
. Сондықтан, нүктенің кейбір төңірегінде
бұл теңдеу екі айнымалының жасырын функциясы ретінде анықтайды және . Бұл функция үшін айқын өрнекті келесі теңдеуді шешу арқылы алу оңай:

2) Теңдеуді қарастырыңыз
. Ол екі айнымалының екі функциясын анықтайды және . Шынында да, теореманың шарттары, мысалы, нүктенің кез келген маңайында орындалады

, онда берілген теңдеу нүктедегі мәнді қабылдайтын үздіксіз функцияны анықтайды
.

Екінші жағынан, теореманың шарттары нүктенің кез келген маңайында орындалады
. Сондықтан нүктенің кейбір маңайында теңдеу нүктедегі мәнді қабылдайтын үздіксіз функцияны анықтайды
.

Функция бір нүктеде екі мән қабылдай алмайтындықтан, бұл жерде біз екі түрлі функция туралы айтып отырмыз.
және сәйкесінше. Олардың айқын өрнектерін табайық. Ол үшін -ге қатысты бастапқы теңдеуді шешеміз. Алу

3) Теңдеуді қарастырыңыз
. Теореманың шарттары нүктенің кез келген маңайында орындалатыны анық
. Сондықтан нүктенің осындай көршілестігі бар
, онда теңдеу айнымалының жасырын функциясы ретінде анықтайды. Бұл функция үшін айқын өрнек алу мүмкін емес, өйткені теңдеуді -ге қатысты шешу мүмкін емес.

4) Теңдеу
ешқандай жасырын функцияны анықтамайды, өйткені мұндай жұптар жоқ нақты сандаржәне бұл оны қанағаттандырады.

Функция
, теңдеуімен берілген
, 6.1 теоремасы бойынша нүктенің маңайындағы барлық аргументтерге қатысты үзіліссіз ішінара туындылары бар. Функцияның анық анықтамасынсыз оларды қалай табуға болатынын білейік.

Функция болсын
6.1 теоремасының шарттарын қанағаттандырады. Содан кейін теңдеу
үздіксіз функция
. Күрделі функцияны қарастырайық
, Қайда. Функция бір айнымалының күрделі функциясы болып табылады және егер
, Бұл

(6.1)

Екінші жағынан, (5.3) формулаға сәйкес, жалпы туындыны есептеу үшін
(6.2)

(6.1) және (6.2) тармақтарынан егер болса, онда деп аламыз

(6.3)

Түсініктеме.Бөліңіз мүмкін, өйткені 6.1 теоремасы бойынша
көршінің кез келген нүктесінде.

МЫСАЛ. Теңдеу арқылы берілген жасырын функцияның туындысын табыңыз және оның мәнін есептеңіз
.

,
.

Жартылай туындыларды (6.3) формулаға қойып, аламыз

.

Әрі қарай, бастапқы теңдеуді алмастыра отырып, біз екі мәнді табамыз:
Және
.

Демек, нүктенің маңайында теңдеу екі функцияны анықтайды:
Және
, Қайда
,
. Олардың туындылары тең болады

Және
.

Енді теңдеуді алайық
нүктенің кейбір маңайында анықтайды
функциясы. Табайық. Еске салайық, бұл шын мәнінде тұрақты мәндегі айнымалының функциясы ретінде қарастырылатын функцияның кәдімгі туындысы. Сондықтан оны функция, - аргумент, - тұрақты деп қарастыра отырып, оны табу үшін (6.3) формуланы қолдануға болады. Алу

. (6.4)

Сол сияқты функцияны, - аргументті, - тұрақтыны қарастырсақ, (6.3) формуласы бойынша табамыз.

. (6.5)

МЫСАЛ. Теңдеу арқылы берілген функцияның дербес туындыларын табыңыз
.

,
,
.

(6.4) және (6.5) формулаларын қолданып, аламыз

,
.

Соңында, теңдеу болатын жалпы жағдайды қарастырыңыз

нүктенің кейбір маңайындағы айнымалылар функциясын анықтайды. Екі айнымалының жанама берілген функциясы үшін жүргізілген пайымдауды қайталай отырып, біз аламыз

,
, …,
.

§ 7. Бағытты туынды

1. Бағытты туынды.

Қандай да бір облыста екі айнымалы функция анықталсын
ұшақ
, бұл ауданның нүктесі, кез келген бағыттағы вектор болып табылады. Нүктеден көшейік
векторының бағыты бойынша нүктеге. Содан кейін функция ұлғайтылады

Біз функция өсімін бөлеміз
ығысу сегментінің ұзындығы бойынша
. Алынған коэффициент
графиктегі функцияның орташа өзгеру жылдамдығын береді
. Сонда бұл қатынастың шегі
(егер ол бар болса және ақырлы болса) нүктедегі функцияның өзгеру жылдамдығы болады
векторының бағытында. Ол шақырылады векторының бағыттағы нүктедегі функциясының туындысы және белгілеңіз
немесе
.

Функцияның өзгеру жылдамдығының мәнінен басқа, ол функцияның вектор бағыты бойынша нүктедегі өзгеру сипатын анықтауға мүмкіндік береді. (өсу немесе кему):

Бұл бекітулер бір айнымалы функция үшін ұқсас бекітулер сияқты дәлелденеді.

Функцияның жеке туындылары бағытталған туындының ерекше жағдайы екенін ескеріңіз. Атап айтқанда,
вектордың бағытына қатысты функцияның туындысы болып табылады (ось бағыты
), вектордың бағытына қатысты функцияның туындысы болып табылады (ось бағыты
).

Функция нүктесінде дифференциалданатын деп есептейік. Содан кейін

Қайда -де шексіз кішкентай
.

z - f(x, y) функциясы xOy жазықтығының кейбір D облысында анықталсын. D аймағынан ішкі нүктені (x, y) алайық және x-ке (x + Ax, y) нүктесі 6 D болатындай Ax өсімін берейік (9-сурет). Мәнді z функциясының х-ке қатысты жартылай өсімі деп атаймыз. Қатынас құрастырыңыз Берілген нүкте үшін (x, y) бұл қатынас Анықтама функциясы болып табылады. Егер Ax -* 0 үшін ^ қатынасының шекті шегі болса, онда бұл шек (x, y) нүктесіндегі х тәуелсіз айнымалысына қатысты z = /(x, y) функциясының ішінара туындысы деп аталады және jfc символымен белгіленеді (немесе /i(x, jj ) немесе z "x (x, Дәл осылай, анықтамасы бойынша немесе, ол бірдей, Аналогтық Егер және n тәуелсіз айнымалының функциясы болса, онда Ескерту Arz өзгермеген y айнымалысының мәнімен және Atz өзгермеген x айнымалысының мәнімен есептелетінін, ішінара туындылардың анықтамаларын келесідей тұжырымдауға болады: Жартылай туындылар геометриялық мағынаекі айнымалы функцияның жартылай туындылары Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы Қажетті шарттар функцияның дифференциалдығы Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдығы үшін жеткілікті шарттар Толық дифференциал. Жартылай дифференциалдар z = /(x, y) функциясының х қатысты жеке туындының құрама функциясының туындылары у тұрақты шама деп есептелетін осы функцияның х-ке қатысты жай туындысы деп аталады; z - /(x, y) функциясының у-ға қатысты ішінара туындысы оның у-ға қатысты туындысы болып табылады, х тұрақты болады деген жорамалмен есептелген. Бұдан жартылай туындыларды есептеу ережелері бір айнымалы функция үшін дәлелденген ережелермен сәйкес келетіні шығады. Мысал. Функцияның жеке туындыларын табыңыз 4 Бізде алмастырулар бар*. Барлық аргументтерге қатысты жартылай туындылардың берілген нүктесінде y = /(x, y) функциясының болуы функцияның осы нүктедегі үздіксіздігін білдірмейді. Сонымен, функция 0(0,0) нүктесінде үздіксіз емес. Дегенмен, осы кезде бұл функцияның х-қа қатысты және у-ға қатысты ішінара туындылары бар. Бұл /(x, 0) = 0 және /(0, y) = 0, демек, екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасынан шығады.Үш өлшемді кеңістіктегі S беті болсын. теңдеумен берілген, мұнда f(x, y) функция болып табылады, кейбір D облысында үзіліссіз және онда х пен у-ға қатысты ішінара туындылары бар. Бұл туындылардың z = f(x)y бетінде f(x0)yo) нүктесі сәйкес келетін Mo(x0, y0) 6 D нүктесіндегі геометриялық мағынасын анықтайық. M0 нүктесіндегі ішінара туындыны тапқанда, біз z аргументінің x функциясы ғана деп есептейміз, ал у аргументі y \u003d yo тұрақты мәнін сақтайды, яғни fi (x) функциясы геометриялық түрде L қисығымен бейнеленген. , оның бойымен S беті шамамен y \u003d жазықтығымен қиылысады. Бір айнымалы функцияның туындысының геометриялық мағынасына байланысты f \ (xo) = tg a, мұндағы a - Ox осімен JV0 нүктесінде L түзуіне жанаманың түзетін бұрышы (10-сурет). . Сонымен, ішінара туынды ($|) Ox осі арасындағы а бұрышының тангенсіне және N0 нүктесіндегі жанаманың z \u003d / (x, y) бетінің кесіндісінде алынған қисыққа тең. y жазықтығы бойынша Сол сияқты §6 аламыз. Бірнеше айнымалылар функциясының дифференциалдануы z = /(x, y) функциясы xOy жазықтығындағы кейбір D облысында анықталсын. (x, y) € D нүктесін алайық және таңдалған x және y мәндеріне кез келген Ax және Dy өсімдерін берейік, бірақ нүкте болатындай. Анықтама. r = /(x, y) функциясы дифференциалданатын * нүктесі (x, y) € 2E деп аталады, егер аргументтердің Dx, Dy өсіміне сәйкес келетін осы функцияның жалпы өсімі, мұндағы A және B түрінде ұсынылуы мүмкін. Dx және D y-ге тәуелді емес (бірақ жалпы олар x пен у-ға тәуелді), ал a(Ax, Dy) және f(Ax, Dy) нөлге ұмтылады, өйткені Ax және Dy нөлге ұмтылады. . Егер z = /(x, y) функциясы (x, y) нүктесінде дифференциалданатын болса, Dx және Dy қатысты сызықтық функция өсімшесінің A Dx 4 - VDy бөлігі толық дифференциал деп аталады. бұл функцияның (х, у) нүктесінде және dz символымен белгіленеді: Таним жолы, мысал. r = x2 + y2 болсын. Кез келген нүктеде (r, y) және кез келген Dx және Dy үшін бізде Мұнда бар. Бұдан a және /3 нөлге бейім, өйткені Ax және Dy нөлге ұмтылады. Анықтау бойынша бұл функция xOy жазықтығының кез келген нүктесінде дифференциалданады. Бұл жерде біз өз пайымдауымызда Dx, Dy өсімдері жеке немесе тіпті екеуі де бірден нөлге тең болатын жағдайды ресми түрде жоққа шығармағанымызды ескереміз. Формула (1) ықшамырақ жазылуы мүмкін, егер біз өрнекті енгізсек (нүктелер арасындағы қашықтық (Оны пайдаланып, біз жақшадағы өрнекті e арқылы белгілей отырып жаза аламыз, онда c J, Du-ға тәуелді және нөлге ұмтылады, егер J 0 және Dy 0, немесе қысқаша айтқанда, егер p 0 болса. z = f(xt y) функциясының (x, y) нүктесінде дифференциалдану шартын өрнектейтін (1) формуланы енді жазуға болады. Сонымен, жоғарыдағы 6.1 мысалда Теорема 4. Егер r = f(x, y) функциясы қандай да бір нүктеде дифференциалданатын болса, онда ол сол нүктеде үздіксіз болады.4 Егер r = f(x, y) функциясы дифференциалданатын болса. (x, y) нүктесінде, онда аргументтердің j және dy өсімшелеріне сәйкес келетін осы нүктедегі""e функциясының өсімшесінің қосындысын b теоремасы түрінде көрсетуге болады. Егер функция z = f(x, y) берілген нүктеде дифференциалданады, mo o o u. ) (x, y) нүктесіне дифференциалданады. Сонда аргументтердің Dx, Ay өсімшелеріне сәйкес келетін бұл функцияның Dx өсімін (1) түрінде көрсетуге болады. (1) Dx F 0, Dn = 0 теңдігін ала отырып, біз қайдан аламыз, өйткені соңғы теңдіктің оң жағында А мәні тәуелді емес, Бұл (х, у) нүктесінде жартылай болатынын білдіреді. x-ке қатысты r \u003d / (x, y) функциясының туындысы және осыған ұқсас пайымдаулар арқылы біз (x, zу функциясының ішінара туындысы бар екенін және теоремадан мынаны көреміз: Теореманы баса көрсетеміз 5 ішінара туындылардың (x, y) нүктесінде ғана бар екенін бекітеді, бірақ олардың үздіксіздігі туралы ештеңе айтпайды 6.2 Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдануының жеткілікті шарттары Белгілі болғандай, функцияның дифференциалдануының қажетті және жеткілікті шарты. xo нүктесіндегі бір айнымалының y = f(x) - x0 нүктесінде ақырлы туынды / "(x) бар болуы. Функция бірнеше айнымалыға тәуелді болған жағдайда, жағдай әлдеқайда күрделі: екі тәуелсіз айнымалы x, y z = /(x, y) функциясы үшін дифференциалдаудың қажетті және жеткілікті шарттары жоқ; тек жеке қажетті шарттар (жоғарыдан қараңыз) және бөлек жеткілікті шарттар бар. Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдануының бұл жеткілікті шарттары келесі теорема арқылы өрнектеледі. Теорема c. Егер функцияның жіңішке сызықтың (xo, y0) кейбір маңайында /£ және f"v жеке туындылары болса және бұл туындылар (xo, y0) нүктесінің өзінде үздіксіз болса, онда z = f(x, y) функциясы. ) нүктесінде дифференциалданады (x- Мысал Функцияны қарастырайық Бөлінбейтін туындылар Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы Функцияның дифференциалдалуының қажетті шарттары Функцияның дифференциалдалуының жеткілікті шарттары Бірнеше айнымалының толық дифференциалы Бөлімше дифференциалы Күрделі функцияның туындылары Ол барлық жерде анықталған Дербес туындылардың анықтамасына сүйене отырып, бізде бұл функцияның ™ 0(0, 0) нүктесінде бар және оның өсімі өткірленеді. Du 0. Біз D0 қоямыз.Одан кейін (1) формуладан бізде болады Сондықтан, / (x, y) \u003d функциялары 0 (0, 0) нүктесінде дифференциалданбайды, бірақ бұл нүктеде біз fa аламыз. және f "r Алынған нәтиже f"z және f"t туындыларының §7 нүктесінде үзіліссіз болуымен түсіндіріледі. толық дифференциал. Жартылай дифференциалдар Егер r - f(z> y) функциясы дифференциалданатын болса, онда оның соңғы дифференциалы dz тең болады A \u003d B \u003d w екенін ескеріп, (1) формуланы келесі түрде жазамыз. Біз ұғымды кеңейтеміз. функцияны тәуелсіз айнымалыларға дифференциалдау, олардың өсімшелеріне тең тәуелсіз айнымалылардың дифференциалдарын орнату: Осыдан кейін функцияның толық дифференциалының формуласы мысалды алады. i - 1l(x + y2) болсын. Сонда Дәл осылай, егер u =) n тәуелсіз айнымалының дифференциалданатын функциясы болса, онда Өрнек x айнымалысына қатысты z = f(x, y) функциясының арық дифференциалы деп аталады; өрнек у айнымалысының z = /(x, y) функциясының ішінара дифференциалы деп аталады. (3), (4) және (5) формулалардан функцияның толық дифференциалы оның жеке дифференциалдарының қосындысы болатыны шығады: z = /(x, y) функциясының жалпы өсімі Az екенін ескеріңіз, жалпы айтқанда , ішінара өсімдердің қосындысына тең емес. Егер (х, у) нүктесінде y = /(x, y) функциясы дифференциалданатын болса және осы нүктедегі дифференциалы dz φ 0 болса, онда оның толық өсімі оның сызықтық бөлігінен соңғы aAx 4 мүшелерінің қосындысымен ғана ерекшеленеді. -/? DE, олар Ax 0 және Ay -» O кезінде шексіз аз артық жоғары тәртіп сызықтық бөліктің мүшелеріне қарағанда. Сондықтан, dz Ф 0 болғанда дифференциалданатын функцияның өсімшесінің сызықтық бөлігі функцияның өсімшесінің негізгі бөлігі деп аталады және дәлірек болған сайын шамалардың абсолюттік мәні кішірек болатын жуық формула қолданылады. аргументтер. §8. Күрделі функцияның туындылары 1. Функция xOy жазықтығында қандай да бір D облысында анықталсын, ал x, y айнымалыларының әрқайсысы өз кезегінде t аргументінің функциясы болып табылады: Біз t өзгерген кезде деп есептейміз. интервал (сәйкес нүктелер (x, y) D аймағынан шықпайды. Егер мәндерді z = / (x, y) функциясына ауыстырсақ, онда бір t айнымалысының күрделі функциясын аламыз. және сәйкес мәндер үшін / (x, y) функциясы дифференциалданады, онда t нүктесіндегі күрделі функцияның туындысы бар және M t өсімін Dt берейік.Содан кейін x және y кейбір Ax және Dy өсімдерін алады. нәтижесінде (J)2 + (Dy)2 ∩ 0 үшін z функциясы да кейбір Dt өсімін алады, ол z = f , y) функциясының (x, y) нүктесіндегі дифференциалдығына байланысты: мұндағы a) Ax және Du нөлге бейім болғандықтан, нөлге ұмтылады. a және Ax = Ay = 0 үшін a және /3 мәнін анықтайық, онда a( J = Dy = 0 үшін үзіліссіз болады. Берілген үшін қатынасты тұрақты деп есептейік, шарт бойынша туындылардың болуының шегі бар ^ және £ нүктесінде x = y(t) және y = функциялары осы нүктеде үзіліссіз болады, сондықтан 0-де J және Dy екеуі де нөлге ұмтылады, бұл өз кезегінде a(Ax, Dy) және P мәнін береді. (Ax, Ay) нөлге бейім.Осылайша, (2) 0-де теңдіктің оң жақ шегіне тең шегі бар Демек, (2)-нің сол жақ шегі 0-де бар, яғни бар. тең (2) теңдікте шегіне At -» 0 ретінде өте отырып, біз қажетті формуланы аламыз, демек, z x-тің күрделі функциясы болған жағдайда, біз x-тен у) аламыз, оны есептеу кезінде f(x, y) өрнегі у аргументі тұрақты.тұрақты ретінде қабылданады және өз кезегінде х-тің функциясы ретінде қарастырылады: y = tp(x)t, сондықтан z-тің х-ке тәуелділігі толығымен алынады. есепке алу. Мысал. Табыңыз және jg егер 2. Енді бірнеше айнымалы күрделі функцияның дифференциалын қарастырыңыз. (() нүктесінде u, 3 үзіліссіз дербес туындылары бар болсын делік? » a сәйкес нүктеде (x, y), мұнда f(x, y) функциясы дифференциалданады. Осы шарттарда t7) нүктесіндегі z = z(() y) күрделі фунхионының туындылары мен u болатынын көрсетіп, осы туындыларға өрнектерді табайық. Бұл жағдайдың бұрын зерттелгеннен айтарлықтай айырмашылығы жоқ екенін ескеріңіз. Шынында да, z-ді £-қа қатысты дифференциалдағанда, екінші тәуелсіз айнымалы rj тұрақты ретінде қабылданады, нәтижесінде х пен у бір айнымалының функциясына айналады x" = c), y = c) бұл операцияда, және туынды Φ мәселесі дәл осылай (3) формуланы шығару кезінде (3) формуланы қолданып, ондағы g және ^ туындыларын u туындыларымен формальды түрде алмастырғанда туынды мәселесі сияқты шешіледі және сәйкесінше, егер аламыз күрделі функция «Формулалармен көрсетілген, сонда сәйкес шарттарда бізде болады Нақты жағдайда қашан And = мұндағы Бөлшек туындылар Екі айнымалы функцияның жеке туындыларының геометриялық мағынасы Бірнеше айнымалы функцияның дифференциалдануы үшін қажетті шарттар функцияның дифференциалдығы Бірнеше айнымалы функциялардың дифференциалдануының жеткілікті шарттары Толық дифференциал Бөлімше дифференциал Бізде күрделі функцияның туындылары бар.y, d) k есептегенде х-де

Мысал. Егер, қайда табыңыз.

Шешім. (1) формулаға сәйкес бізде:

Мысал. Егер жартылай туынды және толық туындыны табыңыз.

Шешім. .

Формула (2) негізінде аламыз .

2°. Бірнеше тәуелсіз айнымалылар жағдайы.

Болсын z = f(x;y) -екі айнымалының функциясы XЖәне у,олардың әрқайсысы функция болып табылады

тәуелсіз айнымалы t: x = x(t), y = y(t).Бұл жағдайда функция z=f(x(t);y(t))болып табылады

бір тәуелсіз айнымалының күрделі функциясы т;айнымалылар x және y - аралық айнымалылар.

Теорема. Егер z == f(x; у) -нүктеде дифференциалданады M(x; y) Dфункциясы

Және x = x(t)Және сағ =y(t) -тәуелсіз айнымалының дифференциалданатын функциялары т,

содан кейін күрделі функцияның туындысы z(t) == f(x(t);y(t))формула бойынша есептеледі

(3)

Ерекше жағдай: z = f(x; y),мұндағы у = y(x),анау. z= f(x;y(x)) -күрделі функциясы

тәуелсіз айнымалы X.Бұл жағдай алдыңғыға дейін және айнымалының рөлін азайтады

тойнайды X.(3) формулаға сәйкес бізде:

.

Соңғы формула деп аталады жалпы туындының формулалары.

Жалпы жағдай: z = f(x;y),Қайда x = x(u;v), y=y(u;v).Сонда z = f(x(u;v);y(u;v)) -кешен

тәуелсіз айнымалылар функциясы ЖәнеЖәне v.Оның жартылай туындыларын табуға болады

(3) формуланы қолдану келесідей. Бекіту v,оған ауыстырыңыз

сәйкес жартылай туындылар

Сонымен, әрбір тәуелсіз айнымалыға қатысты құрама функцияның (z) туындысы (ЖәнеЖәне v)

осы функцияның (z) аралық туындысына қатысты туындыларының қосындысына тең

айнымалылар (x және y)сәйкес тәуелсіз айнымалыға қатысты олардың туындыларына (u және v).

Қарастырылған барлық жағдайларда формула

(толық дифференциалдың инварианттық қасиеті).

Мысал. Егер z= болса, табыңыз f(x,y), мұндағы x=uv, .

Жартылай туындылар бірнеше айнымалы функциялары бар тапсырмаларда қолданылады. Табудың ережелері бір айнымалының функцияларымен бірдей, тек айырмашылығы - айнымалылардың біреуі дифференциалдау кезінде тұрақты (тұрақты сан) ретінде қарастырылуы керек.

Формула

$ z(x,y) $ екі айнымалы функциясының ішінара туындылары келесі $ z"_x, z"_y $ түрінде жазылады және формулалар арқылы табылады:

Бірінші ретті жартылай туындылар

$$ z"_x = \frac(\жартылай z)(\жартылай x) $$

$$ z"_y = \frac(\жартылай z)(\жартылай y) $$

Екінші ретті жартылай туындылар

$$ z""_(xx) = \frac(\жартылай^2 z)(\жартылай x \жартылай x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\жартылай^2 z)(\жартылай y \жартылай y) $$

аралас туынды

$$ z""_(xy) = \frac(\жартылай^2 z)(\жартылай x \жартылай y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\жартылай^2 z)(\жартылай y \жартылай x) $$

Күрделі функцияның жартылай туындысы

а) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ болсын, онда күрделі функцияның туындысы мына формуламен анықталады:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\жартылай z)(\жартылай x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\жартылай y) \cdot \frac (күн)(dt) $$

б) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ болсын, онда функцияның жеке туындылары мына формула бойынша табылады:

$$ \frac(\жартылай z)(\жартылай u) = \frac(\жартылай z)(\жартылай x) \cdot \frac(\жартылай x)(\жартылай u) + \frac(\жартылай z)( \жартылай y) \cdot \frac(\жартылай y)(\жартылай u) $$

$$ \frac(\жартылай z)(\жартылай v) = \frac(\жартылай z)(\жартылай x) \cdot \frac(\жартылай x)(\жартылай v) + \frac(\жартылай z)( \жартылай y) \cdot \frac(\жартылай y)(\жартылай v) $$

Жанама берілген функцияның жартылай туындылары

а) $ F(x,y(x)) = 0 $ болсын, онда $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

ә) $ F(x,y,z)=0 $ болсын, онда $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Шешу мысалдары