Бүтін сандар жүйесінің аксиоматикалық құрылысы. Нақты сандар аксиомалары. Басқа сөздіктерде «Нақты сандар аксиоматикасының» не екенін қараңыз

Бүтін сандар жүйесі

Еске салайық, табиғи қатар объектілерді санау үшін пайда болды. Бірақ егер біз объектілермен кейбір әрекеттерді орындағымыз келсе, онда сандарға арифметикалық амалдар қажет. Яғни, алмаларды жинағымыз келсе немесе тортты бөлгіміз келсе, бұл әрекеттерді сандар тіліне аудару керек.

+ және * амалдарын натурал сандар тіліне енгізу үшін осы амалдардың қасиеттерін анықтайтын аксиомаларды қосу қажет екенін ескеріңіз. Бірақ онда натурал сандар жиынының өзі де болады кеңейеді.

Натурал сандар жиыны қалай кеңейетінін көрейік. Алғашқылардың бірі қажет болатын қарапайым операция - қосу. Қосу амалын анықтағымыз келсе, оның кері, азайту амалын анықтауымыз керек. Шынында да, егер біз қосу нәтижесінде не болатынын білсек, мысалы, 5 және 2, онда біз келесідей есептерді шығара білуіміз керек: 11 алу үшін 4-ке не қосу керек. Яғни, қосуға байланысты есептер міндетті түрде шығады. жасау және кері әрекетті - алуды талап етеді. Бірақ егер натурал сандарды қосу қайтадан натурал санды берсе, онда натурал сандарды азайту N-ге сәйкес келмейтін нәтиже береді. Кейбір басқа сандар қажет болды. -дан анық алудың ұқсастығы бойынша Көбіреккішіден үлкенге қарай азайту ережесі енгізілді - теріс бүтін сандар осылай пайда болды.

Табиғи қатарды + және - амалдарымен толықтыра отырып, бүтін сандар жиынына келеміз.

Z=N+операциялар(+-)

Рационал сандар жүйесі арифметика тілі ретінде

Енді келесі ең күрделі операцияны қарастырайық - көбейту. Шын мәнінде, бұл бірнеше қосымша. Ал бүтін сандардың көбейтіндісі әлі де бүтін сан болып табылады.

Бірақ көбейтуге кері операция бөлу болып табылады. Және бұл әрқашан толық нәтиже бермейді. Тағы да, біз дилеммаға тап болдық - не бөлу нәтижесі «болмауы мүмкін» деп қабылдаңыз немесе қандай да бір жаңа түрдегі сандарды ойлап табыңыз. Рационал сандар осылай пайда болды.

Бүтін сандар жүйесін алып, оны көбейту және бөлу амалдарын анықтайтын аксиомалармен толықтырайық. Біз рационал сандар жүйесін аламыз.

Q=Z+операциялар(*/)

Сонымен, рационал сандар тілі бізге шығаруға мүмкіндік береді барлық арифметикалық амалдарсандардан асып түседі. Бұл үшін натурал сандар тілі жеткіліксіз болды.

Рационал сандар жүйесіне аксиоматикалық анықтама берейік.

Анықтама. Рационал сандар аксиоматикасы деп аталатын келесі шарттар жиыны орындалса, Q жиынын рационал сандар жиыны, ал оның элементтерін рационал сандар деп атайды:

Қосу амалының аксиомалары. Кез келген тапсырыс берілген жұп үшін x,yэлементтерінен Qкейбір элемент анықталған x+yнQ, қосынды деп аталады XЖәне сағ. Бұл жағдайда келесі шарттар орындалады:

1. (Нөлдің болуы) Кез келген элемент үшін 0 (нөл) элементі бар XОQ

X+0=0+X=X.

2. Кез келген элемент үшін Xн Q элементі бар - Xн Q (қарама-қарсы X) солай

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Коммутативтілік) Кез келген үшін x,yО Q

4. (Ассоциативтілік) Кез келген x, y, zО Q үшін

x + (y + z) = (x + y) + z

Көбейту амалының аксиомалары.

Кез келген тапсырыс берілген жұп үшін x, y Q элементінен кейбір элемент анықталған хун Q, туынды деп аталады XЖәне ж.Бұл жағдайда келесі шарттар орындалады:

5. (Сәйкестендіру элементінің болуы) 1 О Q элементі бар, сондықтан кез келген XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Кез келген элемент үшін XО Q , ( X≠ 0) бар кері элемент X-1 ≠0, осылайша

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Ассоциативтілік) Кез келген үшін x, y, zО Q

X . (сағ . z) = (x . у) . z

8. (Коммутативтілік) Кез келген үшін x, yО Q

Қосу мен көбейтудің байланыс аксиомасы.

9. (Таралу) Кез келген үшін x, y, zО Q

(x+y) . z=x . z+y . z

Тәртіп аксиомалары.

Кез келген екі элемент x, y,н Q ≤ салыстыру қатынасына енеді. Бұл жағдайда келесі шарттар орындалады:

10. (X≤сағ)L ( сағ≤x) ó x=y

11. (X≤у)Л ( y≤ z) => x≤z

12. Кез келген үшін x, yн Q немесе x< у, либо у < x .

Қатынас< называется строгим неравенством,

= қатынасы Q-дан элементтердің теңдігі деп аталады.

Қосу мен реттілік арасындағы байланыс аксиомасы.

13. Кез келген x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z үшін

Көбейту мен реттілік арасындағы байланыс аксиомасы.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Архимедтің үздіксіздік аксиомасы.

15. Кез келген a > b > 0 үшін m О N және n О Q бар, олар m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Сонымен, рационал сандар жүйесі арифметика тілі болып табылады.

Бірақ бұл тіл практикалық есептеу есептерін шешу үшін жеткіліксіз.

Ұсыныстар «Алгебра және сандар теориясы» пәнін оқитын педагогикалық жоғары оқу орындарының студенттеріне арналған. Осы пән аясында мемлекеттік стандартқа сәйкес «Сандық жүйелер» бөлімі 6 семестрде оқытылады. Бұл ұсыныстар натурал сандар жүйелерінің (Пеано аксиомаларының жүйесі), бүтін және рационал сандар жүйелерінің аксиоматикалық құрылысы бойынша материалды ұсынады. Бұл аксиоматика мектеп математика курсының негізгі ұғымдарының бірі болып табылатын санның не екенін жақсы түсінуге мүмкіндік береді. Материалды жақсы меңгеру үшін тиісті тақырыптар бойынша тапсырмалар беріледі. Ұсыныстардың соңында жауаптар, нұсқаулар, проблемаларды шешу жолдары берілген.

Рецензент: п.ғ.к., проф. Далингер В.А.

(c) Можан Н.Н.

Жариялауға қол қойылған – 22.10.98

1. ТАБИҒИ САНДАР.

1.1 Пиано аксиомаларының жүйесі және ең қарапайым қорытындылары.

Пеаноның аксиоматикалық теориясындағы бастапқы ұғымдар N жиыны (оны натурал сандар жиыны деп атайтын боламыз), одан арнайы нөлдік сан (0) және N бойынша екілік қатынас «артынан келеді», оны S(a) арқылы белгілейді ( немесе a().
АКСИОМДАР:
1. ((a(N) a"(0 (Ешбір саннан кейін келмейтін 0 натурал саны бар.)
2. a=b (a"=b" (Әрбір натурал саны үшін a келесі натурал саны бар және тек біреу.)
3. a"=b" (a=b (Әр натурал сан ең көбі бір саннан кейін келеді).
4. (индукция аксиомасы) Егер M(N және M) жиыны екі шартты қанағаттандырса:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, онда M=N).
Функционалдық терминологияда бұл S:N®N салыстыру инъекциялық екенін білдіреді. 1 аксиома S:N®N картасының сюрьективті емес екенін білдіреді. Аксиома 4 «математикалық индукция әдісі» арқылы тұжырымдарды дәлелдеуге негіз болады.
Аксиомалардан тікелей шығатын натурал сандардың кейбір қасиеттерін атап өтеміз.
1-қасиет. Әрбір натурал саны a(0 бір және тек бір саннан кейін келеді.
Дәлелдеу. Құрамында нөл бар натурал сандар жиынын және әрқайсысы белгілі бір саннан кейін келетін барлық натурал сандар жиынын M арқылы белгілеңіз. M=N екенін көрсету жеткілікті, бірегейлік 3-аксиомадан туындайды. 4-индукция аксиомасын қолданайық:
A) 0(M - М жиынының құрылысы бойынша;
B) егер a(M, онда a"(M, өйткені a" a кейін.
Демек, 4 аксиоманың күшімен M=N.
2-қасиет. Егер a(b), онда a"(b".
Меншік 3 аксиома арқылы «қайшылық арқылы» әдісімен дәлелденеді. Сол сияқты біз дәлелдейміз. келесі мүлік 3 аксиома 2 арқылы.
3-қасиет. Егер a"(b" болса, онда a(b).
4-қасиет. ((a(N)a(a". (Өзінен кейін бірде-бір натурал сан болмайды).)
Дәлелдеу. M=(x(x(N, x(x")) болсын. M=N екенін көрсету жеткілікті. Өйткені 1 аксиома бойынша ((x(N)x"(0), атап айтқанда, 0"(0, және осылайша 4 0(M) аксиомасының А) шарты орындалады. Егер x(M, яғни x(x) болса, онда 2 x"((x")" қасиеті бойынша, бұл B) x( M ® x шартын білдіреді. «(М. Бірақ содан кейін, 4-аксиомаға сәйкес, M=N.
( натурал сандардың кейбір қасиеті болсын. а санының ((а) қасиетке ие болуын жазамыз.
1.1.1-тапсырма. Натурал сандар жиынының анықтамасындағы 4-аксиоманың келесі тұжырымға эквивалентті екенін дәлелдеңдер: кез келген қасиет үшін (, егер ((0) және, онда).
1.1.2-тапсырма. Үш элементті жиында A=(a,b,c) келесідейунарлы операция (: a(=c, b(=c, c(=a)) анықталған. А жиынында Пеано аксиомаларының қайсысы (?) операциясы бар дұрыс.
1.1.3-тапсырма. A=(a) бір элементті жиын болсын, a(=a. (?) операциясы бар А жиынында Пеано аксиомаларының қайсысы дұрыс болады?
1.1.4-тапсырма. N жиынында кез келгенге орнату арқылы унарлы операцияны анықтаймыз. Пеано аксиомаларының амал бойынша айтылған тұжырымдары N-де дұрыс па екенін табыңыз.
1.1.5-тапсырма. Болсын. (. Операциясы кезінде А тұйықталғанын дәлелдеңіз. А жиынындағы Пиано аксиомаларының ақиқаттығын (.) амалымен тексеріңіз.
1.1.6-тапсырма. Болсын,. А бойынша біртұтас операцияны орнату арқылы анықтаймыз. Операциясы бар А жиынында Пеано аксиомаларының қайсысы дұрыс?

1.2. Пеано аксиомалары жүйесінің жүйелілігі мен категориялығы.

Аксиомалар жүйесі дәйекті деп аталады, егер Т теоремасын және оның аксиомаларынан оны теріске шығаруды дәлелдеу мүмкін болмаса (Т. Аксиомалардың сәйкес келмейтін жүйелерінің математикада мағынасы жоқ екені анық, өйткені мұндай теорияда кез келген нәрсені дәлелдеуге болады және мұндай теория нақты дүниенің заңдылықтарын көрсетпейді Сондықтан аксиомалар жүйесінің жүйелілігі абсолютті қажетті талап болып табылады.
Егер аксиоматикалық теорияда Т теоремасы және оны теріске шығару (Т) болмаса, онда бұл аксиомалар жүйесі дәйекті дегенді білдірмейді, мұндай теориялар келешекте пайда болуы мүмкін.Сондықтан аксиомалар жүйесінің сәйкестігі дәлелденуі керек. .Күйістілікті дәлелдеудің ең кең тараған тәсілі белгілі консенциялық S теориясында аксиомалар жүйесінің интерпретациясы бар болса, аксиомалар жүйесінің өзі дәйекті болатынына негізделген интерпретациялар әдісі.Шынымен де, егер жүйе аксиомалардың саны сәйкес келмейтін болса, онда Т және (Т) теоремалары онда дәлелденетін болады, бірақ бұл теоремалар оның түсіндірілуінде жарамды және дұрыс болар еді, және бұл S теориясының дәйектілігіне қайшы келеді. Түсіндіру әдісі тек мынаны дәлелдеуге мүмкіндік береді. теорияның салыстырмалы сәйкестігі.
Пеано аксиомаларының жүйесі үшін көптеген әртүрлі интерпретациялар салынуы мүмкін. Жиын теориясы әсіресе интерпретацияларға бай. Осы түсіндірмелердің бірін көрсетейік. Натурал сандар ретінде біз (, ((), ((()), (((())),... жиындарын қарастырамыз, арнайы сан ретінде нөлді қарастырамыз (. «Келесі» қатынасы түсіндіріледі келесідей: M жиынынан кейін жалғыз элементі M өзі болатын жиын (M) келеді. Осылайша, ("=((), (()"=((()) т.б. 1-4 аксиомалардың жарамдылығы мүмкін Бірақ мұндай интерпретацияның тиімділігі шамалы: ол жиындар теориясы сәйкес келсе, Пиано аксиомаларының жүйесі сәйкес келетінін көрсетеді. қиын міндет. Пиано аксиомаларының жүйесінің ең сенімді түсіндірмесі интуитивті арифметика болып табылады, оның жүйелілігі оның дамуындағы көп ғасырлық тәжірибесімен расталады.
Аксиомалардың дәйекті жүйесі тәуелсіз деп аталады, егер бұл жүйенің әрбір аксиомасы басқа аксиомалардың негізінде теорема ретінде дәлелденбесе. Аксиоманың (жүйенің басқа аксиомаларына тәуелді емес екенін) дәлелдеу
(1, (2, ..., (n, ((1))
аксиомалар жүйесінің дәйекті екендігін дәлелдеу жеткілікті
(1, (2, ..., (n, ((2))
Шынында да, егер (1-жүйенің қалған аксиомалары негізінде дәлелденсе), онда (2) жүйе сәйкес келмейтін болар еді, өйткені теорема (және аксиома ((.).
Сонымен, аксиоманың тәуелсіздігін дәлелдеу үшін ((1) жүйенің қалған аксиомаларынан (2) аксиомалар жүйесінің интерпретациясын құрастыру жеткілікті.
Аксиомалар жүйесінің тәуелсіздігі міндетті емес талап болып табылады. Кейде «қиын» теоремаларды дәлелдемеу үшін аксиомалардың әдейі артық (тәуелді) жүйесі құрастырылады. Дегенмен, «артық» аксиомалар теориядағы аксиомалардың рөлін, сондай-ақ теорияның әртүрлі бөлімдері арасындағы ішкі логикалық байланыстарды зерттеуді қиындатады. Сонымен қатар, аксиомалардың тәуелді жүйелері үшін интерпретацияларды құру тәуелсіз жүйелерге қарағанда әлдеқайда қиын; Өйткені, «артық» аксиомалардың дұрыстығын тексеру керек. Осы себептерге байланысты аксиомалар арасындағы тәуелділік мәселесіне бұрыннан басты мән берілген. Кезінде Евклид аксиоматикасындағы «А нүктесі арқылы түзу сызыққа параллель өтетін ең көбі бір түзу бар» деген 5-ші постулат теорема (яғни, қалған аксиомаларға байланысты) екенін дәлелдеуге тырысулар және Лобачевский геометриясының ашылуы.
Берілген теорияның кез келген А сөйлемі не дәлелденсе, не теріске шығарылса, яғни А немесе дедуктивті толық емес болса, бірізді жүйе дедуктивті толық деп аталады.Дедуктивті толықтық та міндетті талап емес.Мысалы, топтық теорияның аксиомалар жүйесі. , сақина теориясы, өріс теориясы аяқталмаған; соңғы және шексіз топтар, сақиналар, өрістер болғандықтан, бұл теорияларда ұсынысты дәлелдеу де, жоққа шығару да мүмкін емес : «Топта (сақина, өріс) соңғы саны бар элементтері».
Айта кететін жайт, көптеген аксиоматикалық теорияларда (атап айтқанда, формалданбағандарда) ұсыныстар жиынтығын нақты анықталған деп санауға болмайды, сондықтан мұндай теорияның аксиомалар жүйесінің дедуктивтік толықтығын дәлелдеу мүмкін емес. Басқа толықтық сезімі категориялық деп аталады. Аксиомалар жүйесі категориялық деп аталады, егер оның интерпретацияларының кез келген екеуі изоморфты болса, яғни бір және басқа интерпретацияның бастапқы объектілерінің жиындары арасында барлық бастапқы қатынастар үшін сақталатын осындай бір-бірден сәйкестік болса. Категориялылық та таңдау шарты болып табылады. Мысалы, топ теориясының аксиома жүйесі категориялық емес. Бұл ақырлы топтың шексіз топқа изоморфты бола алмайтындығынан туындайды. Алайда кейбір санау жүйесінің теориясын аксиоматизациялау кезінде категориялық болу міндетті; мысалы, натурал сандарды анықтайтын аксиомалар жүйесінің категориялық сипаты изоморфизмге дейін бір ғана натурал қатар болатынын білдіреді.
Пеано аксиомаларының жүйесінің категориялылығын дәлелдеп көрейік. (N1, s1, 01) және (N2, s2, 02) Пеано аксиомаларының жүйесінің кез келген екі түсіндірмесі болсын. Мынадай шарттар орындалатын f:N1®N2 екіжақты (бірден-бір) картаны көрсету қажет:
a) N1 кез келген х үшін f(s1(x)=s2(f(x));
b) f(01)=02
Егер s1 және s2 біртұтас амалдарының екеуі де бірдей жай санмен белгіленсе, онда а) шарты келесі түрде қайта жазылады.
a) f(x()=f(x)(.
N1(N2) жиынындағы f екілік қатынасты келесі шарттармен анықтайық:
1) 01f02;
2) егер xfy болса, онда x(fy(.
Бұл қатынас N1-ден N2-ге, яғни N1-ден әрбір х үшін салыстыру екеніне көз жеткізейік.
(((y(N2)xfy(1)
(1) шарты орындалатын N1 бастап барлық x элементтерінің жиынын M1 арқылы белгілеңіз. Содан кейін
A) 01(M1 1-ге байланысты);
B) x(M1 ® x((2-ге байланысты M1) және 1-тармақтың 1-қасиеттері.
Демек, 4-аксиомаға сәйкес, M1=N1 деген қорытындыға келеміз, бұл f қатынасы N1-нің N2-ге кескінделуін білдіреді. Оның үстіне 1)-ден f(01)=02 шығады. 2) шарты былай жазылады: f(x)=y болса, f(x()=y(. Бұдан f(x()=f(x)( деген сөз шығады. Осылайша, f(а) шартын бейнелеу үшін) және b) қанағаттандырылды. f картасының екіжақты екенін дәлелдеу ғана қалады.
N2 элементтерінің жиынын M2 арқылы белгілеңіз, олардың әрқайсысы f салыстыру астында N1 элементінің бір және бір ғана элементінің бейнесі болып табылады.
f(01)=02 болғандықтан, 02 кескін болады. Сонымен қатар, егер x(N2 және x(01), онда 1-тармақтың 1-қасиеті бойынша х N1-ден кейбір c элементіне бағынады, содан кейін f(x)=f(c()=f(c)((02). Демек, 02 жалғыз 01 элементінің кескіні, яғни 02 (M2.
Әрі қарай y(M2 және y=f(x) болсын, мұндағы x — y элементінің жалғыз алдын ала кескіні. Сонда а) шарты бойынша y(=f(x)(=f(x()), яғни у (х элементінің кескіні (. c y( элементінің кез келген кері кескіні болсын, яғни f(c)=y(. c)=f(d()=f(d)(, мұндағы, 3-аксиоманың күші бойынша, y=f(d).Бірақ y(M2, онда d=x) болғандықтан, мұндағы c=d(=x(. y бірегей элементтің бейнесі болса, онда у() болатынын дәлелдедік. бірегей элементтің бейнесі болып табылады, яғни y(M2 ® y((M2. 4-аксиоманың екі шарты да орындалады, демек, M2=N2, бұл категориялық дәлелдеуді аяқтайды.
Гректерге дейінгі барлық математика эмпирикалық сипатта болды. Теорияның жекелеген элементтері шешудің эмпирикалық әдістерінің массасына батып кетті практикалық тапсырмалар. Гректер бұл эмпирикалық материалды логикалық өңдеуге ұшыратты, әртүрлі эмпирикалық ақпараттардың арасындағы байланысты табуға тырысты. Осы тұрғыдан алғанда Пифагор және оның мектебі (б.з.б. 5 ғ.) геометрияда маңызды рөл атқарды. Аксиоматикалық әдіс идеялары Аристотельдің еңбектерінде (б.з.б. 4 ғ.) анық айтылған. Дегенмен, бұл идеяларды іс жүзінде жүзеге асыруды Евклид өзінің «Бастауында» (б.з.б. 3 ғ.) жүзеге асырды.
Қазіргі кезде аксиоматикалық теориялардың үш формасын бөліп көрсетуге болады.
1). Өткен ғасырдың ортасына дейін жалғыз болған мағыналы аксиоматика.
2). Өткен ғасырдың соңғы ширегінде пайда болған жартылай формалды аксиоматика.
3). Формальды (немесе формальданған) аксиоматика, оның туған күнін Д.Гильберт формальдандырылған математиканың негізгі принциптері туралы өзінің әйгілі бағдарламасын жариялаған 1904 жыл деп санауға болады.
Әрбір жаңа пішін алдыңғысын жоққа шығармайды, бірақ оның дамуы мен нақтылануы болып табылады, сондықтан әрбір жаңа форманың ауырлық деңгейі жаңа пішіналдыңғысынан жоғары.
Мағыналы аксиоматика бастапқы ұғымдардың аксиомалар тұжырымдалмай тұрып-ақ интуитивті айқын мағынаға ие болуымен сипатталады. Сонымен, Евклидтің Элементтерінде нүкте дәл осы тұжырымдаманың астында интуитивті түрде елестететін нәрсе ретінде түсініледі. Бұл жағдайда Аристотельден қалған қарапайым тіл мен кәдімгі интуитивтік логика қолданылады.
Жартылай формалды аксиоматикалық теориялар қарапайым тіл мен интуитивті логиканы да пайдаланады. Бірақ мағыналы аксиоматикадан айырмашылығы бастапқы ұғымдарға ешқандай интуитивті мағына берілмейді, олар тек аксиомалармен сипатталады. Бұл қатаңдықты арттырады, өйткені интуиция белгілі бір дәрежеде қатаңдыққа кедергі жасайды. Сонымен қатар, жалпылық пайда болады, өйткені мұндай теорияда дәлелденген әрбір теорема оның кез келген интерпретациясында жарамды болады. Жартылай формалды аксиоматикалық теорияның мысалы ретінде Гильберттің «Геометрия негіздері» (1899) кітабында ұсынылған теориясын айтуға болады. Жартылай формалды теориялардың мысалдары сонымен қатар сақиналар теориясы және алгебра курсында берілген бірқатар басқа теориялар болып табылады.
Формальданған теорияның мысалы ретінде математикалық логика курсында оқытылатын болжамды есептеуді келтіруге болады. Мазмұнды және жартылай формалды аксиоматикадан айырмашылығы, формальданған теория арнайы символдық тілді пайдаланады. Дәлірек айтқанда, теорияның әліпбиі, яғни кәдімгі тілдегі әріптермен бірдей рөл атқаратын белгілі бір белгілер жиынтығы беріледі. Таңбалардың кез келген соңғы тізбегі өрнек немесе сөз деп аталады. Өрнектер арасында формулалар класы ажыратылады және әрбір өрнектің формула екенін анықтауға мүмкіндік беретін нақты критерий көрсетіледі. Формулалар қарапайым тілдегі сөйлемдер сияқты рөл атқарады. Кейбір формулалар аксиома деп жарияланған. Сонымен қатар, логикалық қорытынды ережелері орнатылады; әрбір мұндай ереже нақты анықталған формула формулалардың белгілі бір жиынынан бірден шығатынын білдіреді. Теореманың дәлелі - соңғы формула теореманың өзі, ал әрбір формула аксиома, немесе бұрын дәлелденген теорема болып табылатын формулалардың ақырлы тізбегі. шығару ережелерінен. Осылайша, дәлелдемелердің ауырлығы туралы мәселе мүлдем мүмкін емес: не бұл тізбек дәлел, не олай емес, күмәнді дәлелдер жоқ. Осыған байланысты формальдандырылған аксиоматика математикалық теорияларды негіздеудің ерекше нәзік сұрақтарында қолданылады, бұл кезде кәдімгі интуитивті логика қате тұжырымдарға әкелуі мүмкін, бұл негізінен біздің қарапайым тіліміздегі дәлсіздіктер мен түсініксіздіктерге байланысты.
Формалданған теорияда әрбір өрнек туралы айтуға болатындықтан - ол формула ма, онда формальданған теорияның сөйлемдер жиынтығын анықтауыш деп санауға болады. Осыған байланысты түсіндірмелерге жүгінбей-ақ дедуктивті толықтықты дәлелдеу, сонымен қатар жүйелілікті дәлелдеу мәселесін принципті түрде қоюға болады. Санда қарапайым жағдайлармұны жасауға болады. Мысалы, болжамдық есептеудің жүйелілігі түсіндірмелерсіз дәлелденеді.
Формальды емес теорияларда сөйлемдер жиынтығы нақты анықталмаған, сондықтан түсіндірулерге жүгінбей, бірізділікті дәлелдеу мәселесін көтеру мағынасыз. Дедуктивті толықтықты дәлелдеу мәселесіне де қатысты. Алайда, дәлелдеуге де, жоққа шығаруға да болмайтын ресми емес теорияның мұндай ұсынысы болса, онда теория дедуктивті түрде толық емес екені анық.
Аксиоматикалық әдіс тек математикада ғана емес, физикада да бұрыннан қолданылып келеді. Бұл бағыттағы алғашқы әрекеттерді Аристотель жасады, бірақ аксиоматикалық әдіс физикада өзінің нақты қолданылуын тек Ньютонның механика жөніндегі еңбектерінде ғана алды.
Ғылымдарды математикаландырудың турбулентті процесіне байланысты аксиоматизация процесі де жүріп жатыр. Қазіргі кезде аксиоматикалық әдіс тіпті биологияның кейбір салаларында, мысалы, генетикада қолданылады.
Дегенмен, аксиоматикалық әдістің мүмкіндіктері шексіз емес.
Ең алдымен, формальданған теориялардың өзінде интуициядан толығымен құтылу мүмкін емес екенін атап өтеміз. Түсіндірусіз формальданған теорияның өзі ешқандай мағынаға ие емес. Сондықтан формальданған теория мен оның интерпретациясы арасындағы байланыс туралы бірқатар сұрақтар туындайды. Сонымен қатар, формальданған теориялардағыдай аксиомалар жүйесінің жүйелілігі, тәуелсіздігі және толықтығы туралы сұрақтар қойылады. Барлық осындай сұрақтардың жиынтығы формальданған теорияның метатеориясы деп аталатын басқа теорияның мазмұнын құрайды. Формальданған теориядан айырмашылығы, метатеория тілі кәдімгі күнделікті тіл болып табылады, ал логикалық пайымдау кәдімгі интуитивтік логика ережелерімен жүзеге асырылады. Осылайша, формальды теориядан толығымен қуылған интуиция өзінің метатеориясында қайтадан пайда болады.
Бірақ аксиоматикалық әдістің негізгі осал тұсы осында емес. Формальданған аксиоматикалық әдістің негізін қалаған Д.Гильберт бағдарламасын жоғарыда айттық. Гильберттің негізгі идеясы классикалық математиканы формальданған аксиоматикалық теория ретінде көрсету, содан кейін оның жүйелілігін дәлелдеу болды. Алайда бұл бағдарлама өзінің негізгі тұстары бойынша утопиялық болып шықты. 1931 жылы австриялық математик К.Годель өзінің әйгілі теоремаларын дәлелдеді, одан Гильберт қойған негізгі екі тапсырманың да мүмкін еместігі шықты. Ол формальды арифметика формулалары арқылы метатеориядан кейбір шынайы болжамдарды білдіру және бұл формулалардың формальдандырылған арифметикада туынды емес екенін дәлелдеу үшін өзінің кодтау әдісін қолдана алды. Осылайша, формалданған арифметика дедуктивті түрде толық емес болып шықты. Годельдің нәтижелерінен, егер бұл дәлелденбейтін формула аксиомалардың қатарына қосылса, онда қандай да бір ақиқат ұсынысты білдіретін басқа дәлелденбейтін формула пайда болады. Мұның бәрі тек математиканың түгелдей емес, тіпті арифметиканың, оның ең қарапайым бөлігінің де толық формалдануы мүмкін еместігін білдірді. Атап айтқанда, Годель «Формалданған арифметика дәйекті» деген тұжырымға сәйкес формуланы құрастырып, бұл формуланың да туынды емес екенін көрсетті. Бұл факт формальданған арифметиканың дәйектілігін арифметиканың өзінде дәлелдеуге болмайтынын білдіреді. Әрине, одан да күшті формалданған теорияны құруға және оның құралдары арқылы формальданған арифметиканың дәйектілігін дәлелдеуге болады, бірақ содан кейін бұл жаңа теорияның дәйектілігі туралы қиынырақ сұрақ туындайды.
Годельдің нәтижелері аксиоматикалық әдістің шектеулерін көрсетеді. Дегенмен, таным теориясында танылмайтын ақиқат бар деген пессимистік тұжырымдарға мүлдем негіз жоқ. Формальданған арифметикада дәлелденбейтін арифметикалық ақиқаттардың болуы танылмайтын ақиқат бар дегенді білдірмейді, адам ойлауының шектелгендігін де білдірмейді. Бұл тек біздің ойлау мүмкіндіктеріміздің толығымен рәсімделетін процедуралармен шектелмейтінін және адамзат әлі дәлелдеудің жаңа принциптерін ашып, ойлап таппағанын білдіреді.

1.3.Натурал сандарды қосу

Натурал сандарды қосу және көбейту амалдары Пеано аксиомаларымен тұжырымдалмаған, біз бұл амалдарды анықтаймыз.
Анықтама. Натурал сандарды қосу N жиынындағы екілік алгебралық + операциясы болып табылады, оның келесі қасиеттері бар:
1с. ((a(N)a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Сұрақ туындайды - мұндай операция бар ма, егер бар болса, ол бірегей ме?
Теорема. Натурал сандардың бір ғана қосындысы бар.
Дәлелдеу. N жиынындағы екілік алгебралық операция бейнелеу болып табылады (:N(N®N. Бірегей салыстыру бар екенін дәлелдеу қажет (:N(N®N қасиеттері бар: 1) ((x(N) (() x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))(. Әрбір натурал x саны үшін fx салыстыруының бар екенін дәлелдесек: N®N қасиеттері 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(, содан кейін ((x,y) функциясы ((x,y)) теңдігімен анықталады. fx(y) және 1) және 2) шарттарын қанағаттандырады.
N жиынында fx екілік қатынасын шарттармен анықтаймыз:
а) 0fxx;
б) yfxz болса, онда y(fxz(.
Бұл қатынастың N-ден N-ге, яғни N-ден әрбір у-ға салыстыру екеніне көз жеткізейік
(((z(N) yfxz (1)
(1) шарты орындалатын y натурал сандар жиынын M арқылы белгілеңіз. Сонда а) шартынан 1-тармақтың 0(M, ал b шартынан) және 1-қасиетінен y(M, онда у((M) болады деген қорытынды шығады. Демек, 4-аксиомаға сүйене отырып, М. =N, бұл fx қатынасы N мен N арасындағы салыстыру екенін білдіреді. Бұл салыстыру келесі шарттарды қанағаттандырады:
1() fx(0)=x - a есебінен);
2() fx((y)=fx(y() - b есебінен).
Осылайша, қосудың бар екендігі дәлелденді.
Бірегейлікті дәлелдейік. + және ( 1c және 2c қасиеттері бар N жиынындағы кез келген екі екілік алгебралық амал болсын. Дәлелдеу қажет.
((x,y(N)x+y=x(y)
Түзетейік ерікті сан x және теңдігі болатын y натурал сандар жиынын S арқылы белгілеңіз
x+y=x(y (2)
орындалды. Өйткені 1c сәйкес x+0=x және x(0=x, онда
A) 0(S
Енді y(S, яғни (2) теңдігі орындалсын. x+y(=(x+y))(, x(y(=(x(y))(және x+y=x(y)) болғандықтан, аксиома 2 x+y(=x(y(, яғни шарт
C) y(S ® y((S.
Демек, 4 аксиома бойынша S=N теореманы дәлелдеуді аяқтайды.
Қосудың кейбір қасиеттерін дәлелдеп көрейік.
1. 0 саны қосудың бейтарап элементі, яғни әрбір а натурал саны үшін a+0=0+a=a.
Дәлелдеу. a+0=a теңдігі 1c шартынан шығады. 0+a=a теңдігін дәлелдейік.
Ол орындалатын барлық сандар жиынын M арқылы белгілеңіз. Әлбетте, 0+0=0 және демек 0(M. a(M, яғни 0+a=a болсын. Сонда 0+a(=(0+a)(=a(демек a((M. Демек, М) =N, бұл дәлелденуі керек еді.
Әрі қарай, бізге лемма керек.
Лемма. a(+b=(a+b)(.
Дәлелдеу. M барлық b натурал сандар жиыны болсын, олар үшін a(+b=(a+b)(a)-ның кез келген мәні үшін теңдігі дұрыс болады. Сонда:
A) 0(M, өйткені a(+0=(a+0))(;
C) b(M ® b((M.)) Шынында да, b(M және 2c), бізде
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b()(,
яғни b((M. Демек, M=N, дәлелдеуге тиіс болатын.
2. Натурал сандарды қосу коммутативті.
Дәлелдеу. M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a)) болсын. M=N екенін дәлелдеу жеткілікті. Бізде:
A) 0(M - 1 қасиетіне байланысты.
C) a(M ® a((M. Шынында да, лемманы және a(M) фактісін қолданып, біз мынаны аламыз:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Демек, a((M, және 4 аксиома бойынша M=N.
3. Үстеу ассоциативті.
Дәлелдеу. Болсын
M=(c(c(N((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c))
M=N екенін дәлелдеу қажет. (a+b)+0=a+b және a+(b+0)=a+b болғандықтан, онда 0(M. c(M, яғни (a+b)+c=a+(b+c ) болсын). Содан кейін
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Демек, c((M және 4 аксиома бойынша M=N.
4. a+1=a(, мұндағы 1=0(.
Дәлелдеу. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Егер b(0), онда ((a(N)a+b(a).
Дәлелдеу. M=(a(a(N(a+b(a)) болсын. 0+b=b(0) болғандықтан, 0(M. Әрі қарай, егер a(M, яғни a+b(a)), онда 2-қасиет 1-тармақ (a+b)((a(немесе a(+b(a(.) Сондықтан a((M және M=N.).
6. Егер b(0), онда ((a(N)a+b(0).
Дәлелдеу. Егер a=0 болса, онда 0+b=b(0, бірақ егер a(0 және a=c(), онда a+b=c(+b=(c+b)((0. Сонымен, кез келген жағдайда, a +b(0.
7. (қосудың трихотомия заңы). Кез келген а және b натурал сандары үшін үш қатынастың біреуі және тек біреуі ақиқат:
1) a=b;
2) b=a+u, мұндағы u(0;
3) a=b+v, мұндағы v(0.
Дәлелдеу. Ерікті а санын бекітеміз және 1), 2), 3) қатынастарының ең болмағанда біреуі орындалатын барлық натурал b сандар жиынын M деп белгілейміз. M=N екенін дәлелдеу қажет. b=0 болсын. Сонда a=0 болса, онда 1) қатынас орындалады, ал егер а(0, онда 3) қатынас ақиқат, өйткені a=0+a. Сонымен 0(М.
Енді b(M, яғни таңдалған а үшін 1), 2), 3) қатынасының бірі орындалды деп есептейік. Егер a=b болса, онда b(=a(=a+1, яғни b үшін(2 қатынасы орындалады)). b=a+u болса, b(=a+u(, яғни b(қатысы) үшін 2) Егер a=b+v болса, онда екі жағдай мүмкін: v=1 және v(1. Егер v=1 болса, онда a=b+v=b", яғни b" үшін 1 қатынасы орындалады). v(1, содан кейін v=c", мұнда c(0, содан кейін a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, мұндағы c(0, яғни b" қатынасы 3 орындалады).Осылайша, b(M®b"(M, демек, M=N, яғни кез келген a және b үшін 1), 2), 3 қатынасының ең болмағанда біреуі орындалатынын дәлелдедік. ).Екеуі бір уақытта орындай алмайтынын.Шынымен, егер 1) және 2) қатынастары орындалса, онда біз b=b+u болар едік, мұндағы u(0, және бұл 5 қасиетке қайшы келеді. Қанағаттанушылықтың мүмкін еместігі 1) және 3) Ақырында, егер 2) және 3) қатынастары орындалса, онда a=(a+u)+v = a+ +(u+v) болады, бұл 5 және 6 қасиеттеріне байланысты мүмкін емес. 7-қасиет толығымен дәлелдеді.
1.3.1-тапсырма. 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5)(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)) болсын. 3+5=8, 2+4=6.

1.4. Натурал САНдарды КӨбейту.

1.5. ТАБИҒИ САНДАР ЖҮЙЕСІНІҢ ТӘРТІБІ.

1.6. ТАБИҒИ САНДАР ЖҮЙЕСІН ТОЛЫҚ РЕТТЕУ.

1.7. ИНДУКЦИЯ ПРИНЦИПІ.

1.8. Натурал САНдарды АЗАЙТУ ЖӘНЕ БӨЛУ.

1.10. ДИСКРЕТТІК ТОЛЫҚ ТӘРТІПТІ ЖИНАҚ РЕТІНДЕГІ НАТУРАЛ САНДАР ЖҮЙЕСІ.

2. БҮТІН ЖӘНЕ РАЦИОНАЛДЫ САНДАР.

2.2. БҮТІН САНДАР ЖҮЙЕСІНІҢ БАР БОЛУЫ.

2.3. БҮТІН САНДАР ЖҮЙЕСІНІҢ ЕРЕКШЕЛІГІ.

2.4. РАЦИОНАЛДЫҚ САНДАР ЖҮЙЕСІНІҢ АНЫҚТАМАСЫ ЖӘНЕ ҚАСИЕТТЕРІ.

2.5. РАЦИОНАЛДЫ САНДАР ЖҮЙЕСІНІҢ БАР БОЛУЫ.

2.6. РАЦИОНАЛДЫҚ САНДАР ЖҮЙЕСІНІҢ ЕРЕКШЕЛІГІ.

ЖАУАПТАР, НҰСҚАУЛАР, ШЕШІМДЕР.

ӘДЕБИЕТ

Кез келген математикалық теорияның аксиоматикалық құрылысында белгілі ережелер:

теорияның кейбір концепциялары негізгі ретінде таңдалады және анықтамасыз қабылданады;

негізгілер тізімінде жоқ теорияның әрбір тұжырымдамасына анықтама беріледі;

аксиомалар тұжырымдалған – бұл теорияда дәлелсіз қабылданған сөйлемдер; олар негізгі ұғымдардың қасиеттерін ашады;

· аксиомалар тізімінде жоқ теорияның әрбір сөйлемі дәлелденуі керек; мұндай ұсыныстар теоремалар деп аталады және аксиомалар мен терминдер негізінде дәлелденеді.

Теорияның аксиоматикалық құрылысында барлық тұжырымдар аксиомалардан дәлелдеу арқылы шығарылады.

Сондықтан аксиомалар жүйесі ерекше бағынады талаптар:

Жүйелілік (аксиомалар жүйесі, егер одан логикалық түрде бір-бірін жоққа шығаратын екі сөйлемді шығару мүмкін болмаса, жүйелі деп аталады);

тәуелсіздік (аксиомалар жүйесі тәуелсіз деп аталады, егер бұл жүйенің аксиомаларының ешқайсысы басқа аксиомалардың салдары болмаса).

Өзінде қатынасы берілген жиын, егер осы жүйенің барлық аксиомалары орындалса, берілген аксиомалар жүйесінің моделі деп аталады.

Натурал сандар жиыны үшін аксиомалар жүйесін құрудың көптеген жолдары бар. Негізгі ұғым үшін, мысалы, сандар қосындысын немесе реттік қатынасты алуға болады. Кез келген жағдайда негізгі ұғымдардың қасиеттерін сипаттайтын аксиомалар жүйесін көрсету қажет.

Қосу амалының негізгі түсінігін қабылдай отырып, аксиомалар жүйесін берейік.

Бос емес жиын Ноперациясы болса натурал сандар жиыны деп аталады (а; б) → a + b, қосу деп аталады және қасиеттері бар:

1. үстеу ауыспалы, яғни. a + b = b + a.

2. үстеу ассоциативті, яғни. (a + b) + c = a + (b + c).

4. кез келген жиынтықта А, ол жиынның ішкі жиыны болып табылады Н, Қайда Асаны бар, бәрі де бар Ха, тең a+b, Қайда б.Н.

Натурал сандардың бүтін арифметикасын құру үшін 1 - 4 аксиомалары жеткілікті. Бірақ мұндай конструкциямен енді бұл аксиомаларда көрсетілмеген ақырлы жиындардың қасиеттеріне сүйену мүмкін емес.

Негізгі ұғым ретінде бос емес жиында анықталған «тікелей жалғасатын...» қатынасын алайық Н. Сонда сандардың натурал қатары N жиыны болады, онда «тікелей орындалатын» қатынас анықталады және N-ның барлық элементтері натурал сандар деп аталады және келесі орындалады: Пиано аксиомалары:

АКСИОМ 1.

көптіктеНосы жиынның ешбір элементіне бірден бағынбайтын элемент бар. Оны бірлік деп, 1 белгісімен белгілейміз.

АКСИОМ 2.

Әрбір элемент үшін aНa бірден кейін бір элементі бар.

АКСИОМ 3.

Әрбір элемент үшін aНбірден кейін бірден а болатын ең көбі бір элемент бар.

AXOIM 4.

Жиынның кез келген M ішкі жиыныНсәйкес келедіН, егер ол қасиеттерге ие болса: 1) 1 М құрамында болса; 2) а-ның М-де болуынан а-ның М-де де бар екендігі шығады.

Бір топ N, 1 - 4 аксиомаларды қанағаттандыратын "бірден кейін ..." қатынасы орнатылған элементтері үшін деп аталады. натурал сандар жиыны , және оның элементтері натурал сандар.

Егер жиынтық ретінде Н 1 - 4 аксиомаларды қанағаттандыратын нақты қатынас «тікелей орындалатын ...» берілген кейбір нақты жиынды таңдаңыз, содан кейін біз әртүрлі аламыз интерпретациялар (модельдер) берілген аксиома жүйелері.

Пеано аксиомалары жүйесінің стандартты моделі болып табылады тарихи дамуықоғам сандар қатары: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Кез келген есептелетін жиын Пеано аксиомаларының үлгісі бола алады.

Мысалы, I, II, III, III, ...

ой ой...

бір екі үш төрт, …

Жиын (oo) бастапқы элемент болып табылатын жиындар тізбегін қарастырайық және әрбір келесі жиын тағы бір шеңберді тағайындау арқылы алдыңғысынан алынады (Cурет 15).

Содан кейін Нсипатталған түрдегі жиындардан тұратын жиын болып табылады және ол Пеано аксиомаларының жүйесінің үлгісі болып табылады.

Шынында да, көпте Нберілген жиынның кез келген элементіне бірден бағынбайтын элемент (oo) бар, яғни. аксиома 1 орындалады.Әр жиын үшін Ақарастырылып отырған жиынтықтан алынған бірегей жиынтық бар Абір шеңберді қосу арқылы, яғни. Аксиома 2 орындалады.Әр жиын үшін Ажиын құрылатын ең көбі бір жиын бар Абір шеңберді қосу арқылы, яғни. Аксиома 3 орындалады МНжәне жиынтық екені белгілі Ақұрамында қамтылған М,жиынтыққа қарағанда бір шеңбер көп болатын жиын шығады А, құрамында да бар М, Бұл М =Н, бұл аксиома 4 қанағаттандырылғанын білдіреді.

Натурал санның анықтамасында аксиомалардың ешқайсысын алып тастауға болмайды.

Суретте көрсетілген жиынтықтардың қайсысын анықтайық. 16 - Пиано аксиомаларының үлгісі.

Шешім. 16 а) суретте 2 және 3 аксиомалары орындалатын жиын көрсетілген.Шынында да әрбір элемент үшін өзінен бірден кейін келетін бірегей элемент бар және оған сәйкес келетін бірегей элемент бар. Бірақ бұл жиында 1 аксиома орындалмайды (4 аксиоманың мағынасы жоқ, өйткені жиында басқа ешқайсысынан бірден кейін келмейтін элемент жоқ). Сондықтан бұл жиын Пеано аксиомаларының үлгісі емес.

16 б) суретте 1, 3 және 4 аксиомалары орындалатын, бірақ элементтің артында тұрған жиын көрсетілген. А 2-аксиомада талап етілгендей бір емес, бірден екі элемент келеді. Сондықтан бұл жиын Пиано аксиомаларының үлгісі емес.

Суретте. 16 в) 1, 2, 4 аксиомалары орындалатын жиынды көрсетеді, бірақ элементі біргебірден екі элементтен кейін жүреді. Сондықтан бұл жиын Пеано аксиомаларының үлгісі емес.

Суретте. 16 г) 2, 3 аксиомаларды қанағаттандыратын жиынды көрсетеді, ал егер бастапқы элемент ретінде 5 санын алсақ, онда бұл жиын 1 және 4 аксиомаларды қанағаттандырады. Яғни, бұл жиында әрбір элемент үшін бірден жалғыз болады. оған бағынады және оның соңынан еретін бір ғана элемент бар. Сондай-ақ бұл жиынның ешбір элементіне бірден бағынбайтын элемент бар, бұл 5 , анау. 1 аксиома орындалады.Сәйкесінше 4 аксиома да орындалады.Сондықтан бұл жиын Пиано аксиомаларының үлгісі болып табылады.

Пеано аксиомаларын пайдалана отырып, біз бірқатар тұжырымдарды дәлелдей аламыз.Мысалы, барлық натурал сандар үшін теңсіздік болатынын дәлелдейміз. x x.

Дәлелдеу.арқылы белгілеңіз Аол үшін натурал сандар жиыны а а.Сан 1 тиесілі А, өйткені ол ешқандай саннан кейін жүрмейді Н, сондықтан өздігінен жүрмейді: 1 1. Болсын аа,Содан кейін а а.Белгілеу Аарқылы б. 3-аксиоманың арқасында, Аб,анау. б.бЖәне бА.

Бүтін сандар теориясының берілген аксиома жүйесі 3.1.4-жаттығуда көрсетілгендей тәуелсіз емес.

Теорема 1.Бүтін сандардың аксиоматикалық теориясы сәйкес келеді.

Дәлелдеу. Натурал сандардың аксиоматикалық теориясы сәйкес келеді деген болжамнан бастап, бүтін сандардың аксиоматикалық теориясының сәйкестігін дәлелдейміз. Ол үшін теориямыздың барлық аксиомалары қанағаттандырылатын модель құрастырамыз.

Алдымен сақина құрастырайық. Жиынтықты қарастырыңыз

Н´ Н = {(а, б)ï а, бÎ Н}.

а, б) натурал сандар. Мұндай жұп деп натурал сандардың айырмасын айтамыз а-б. Бірақ мұндай айырмашылық бар бүтін сандар жүйесінің бар екендігі дәлелденбейінше, мұндай белгілеуді қолдануға құқығымыз жоқ. Сонымен қатар, бұл түсінік бізге жұптардың қасиеттерін қажетінше орнатуға мүмкіндік береді.

Натурал сандардың әртүрлі айырмашылықтары бір бүтін санға тең болуы мүмкін екенін білеміз. Сәйкесінше, біз түсірілімде таныстырамыз Н´ Нтеңдік қатынасы:

(а, б) = (в, г) Û a + d = b + c.

Бұл қатынастың рефлексивті, симметриялы және өтпелі екенін байқау қиын емес. Демек, ол эквиваленттік қатынас болып табылады және теңдік деп атауға құқылы. Жиындардың факторлық жиыны Н´ Н З. Оның элементтері бүтін сандар деп аталады. Олар жұптар жиынындағы эквиваленттік сыныптар. Жұпты қамтитын сынып
(а, б), [ арқылы белгіленеді а, б].

З а, б] айырмашылық туралы не айтасыз а-б

[а, б] + [в, г] = [a+c, b+d];

[а, б] × [ в, г] = [ac+bd, ad+bc].

Бұл жерде қатаң түрде операциялық белгілерді пайдалану мүлде дұрыс емес екенін есте ұстаған жөн. Сол + белгісі натурал сандар мен жұптардың қосылуын білдіреді. Бірақ берілген операцияның қай жиында орындалатыны әрқашан түсінікті болғандықтан, біз мұнда бұл операциялар үшін бөлек белгілерді енгізбейміз.

Бұл операциялардың анықтамаларының дұрыстығын тексеру қажет, атап айтқанда нәтижелер элементтерді таңдауға байланысты емес. аЖәне бжұпты анықтау [ а, б]. Расында, рұқсат етіңіз

[а, б] = [а 1 , б 1 ], [в, г] = [бірге 1 , d 1 ].

Соны білдіреді a+b 1 = б+а 1 , c + d 1 =г + бірге 1 . Осы теңдіктерді қосқанда біз аламыз

a+b 1 + c + d 1 = б+а 1 +г + бірге 1 Þ[ a + b, c + d] = [а 1 +бірге 1 , б 1 + г 1 ]

Þ [ а, б] + [в, г] = [а 1 , б 1 ] + [в 1 , d 1 ].

Көбейтудің анықтамасының дұрыстығы да осылай анықталады. Бірақ бұл жерде біз алдымен тексеруіміз керек [ а, б] × [ в, г] = [а 1 , б 1]×[ в, г].

Енді алынған алгебраның сақина екенін, яғни (Z1) - (Z6) аксиомаларын тексеруіміз керек.

Мысалы, қосудың ауыстырымдылығын, яғни аксиоманы (Z2) тексерейік. Бізде бар

[в, г] + [а, б] = = [a+c, b+d] = [а, б] + [в, г].

Бүтін сандар үшін қосудың ауыстырымдылығы бұрыннан белгілі деп есептелетін натурал сандар үшін қосудың ауыстырымдылығынан алынған.

Аксиомалар (Z1), (Z5), (Z6) дәл осылай тексеріледі.

Нөлдің рөлін жұп ойнайды. арқылы белгілейік 0 . Шынымен,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [a+ 1,b+ 1] = [а, б].

Ақырында, -[ а, б] = [б, а]. Шынымен,

[а, б] + [б, а] = [a+b, b+a] = = 0 .

Енді кеңейту аксиомаларын тексерейік. Салынған сақинада мұндай натурал сандар болмайтынын есте ұстаған жөн, өйткені сақинаның элементтері натурал сандар жұптарының кластары болып табылады. Сондықтан натурал сандардың жарты сақинасына изоморфты субалгебраны табу қажет. Мұнда тағы да жұп ұғымы [ а, б] айырмашылық туралы не айтасыз а-б. Натурал сан nекі натурал санның айырмасы ретінде көрсетуге болады, мысалы, келесідей: n = (n+ 1) - 1. Корреспонденцияны орнату ұсынысы осыдан туындайды f: Н ® Зережеге сәйкес

f(n) = [n + 1, 1].

Бұл сәйкестік инъекциялық болып табылады:

f(n) = f(м) Þ [ n + 1, 1]= [м+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (м+ 1) n=m.

Сондықтан, бізде бір-бір хат алмасу бар Нжәне кейбір ішкі жиын З, біз онымен белгілейміз N*. Оның операцияларды сақтайтынын тексерейік:

f(n) + f(м) = [n + 1, 1]+ [м + 1, 1] = [n + м + 2, 2]= [n + м+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(м) = [n+ 1, 1]× [ м + 1, 1] = [nm+n + м + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Осылайша, бұл анықталды N*ішінде қалыптасады ЗҚосу және көбейту амалдары бойынша изоморфты субалгебра Н

Жұпты белгілеңіз [ n+ 1, 1] бастап N* n, арқылы n а, б] бізде бар

[а, б] = [а + 1, 1] + = [а + 1, 1] – [б + 1, 1] = а – б .

Осылайша, ең соңында, жұп [ а, б] натурал сандардың айырымы ретінде. Бұл ретте құрастырылған жиынтықтан әрбір элементтің болатыны анықталды Зекі натурал санның айырмасы ретінде берілген. Бұл минималдылық аксиомасын тексеруге көмектеседі.

Болсын М -ішкі жиын З, қамтитын N*және кез келген элементтермен бірге АЖәне болардың айырмашылығы а - б. Осы жағдайда дәлелдеп көрейік М =З. Шынында да, кез келген элемент Зшарты бойынша жататын екі натурал санның айырмасы ретінде көрсетіледі Моның айырмашылығымен бірге.

З

2-теорема.Бүтін сандардың аксиоматикалық теориясы категориялық.

Дәлелдеу. Берілген теорияның барлық аксиомалары орындалатын кез келген екі модель изоморфты екенін дәлелдейік.

А болсын З 1 , +, ×, Н 1 c және b З 2 , +, ×, Н 2 ñ – біздің теориямыздың екі моделі. Қатаң айтқанда, олардағы амалдар әртүрлі белгілермен белгіленуі керек. Есептерді шатастыруға жол бермеу үшін біз бұл талаптан ауытқып кетеміз: қай операция туралы сөз болған сайын анық. Қарастырылып отырған үлгілерге жататын элементтер сәйкес 1 немесе 2 индекстермен қамтамасыз етіледі.

Біз бірінші модельден екіншісіне дейінгі изоморфты картаны анықтаймыз. Өйткені Н 1 және Н 2 натурал сандардың жарты сақиналары болса, бірінші жарты сақинаның j екіншіге изоморфты кескіні бар. Карталауды анықтайық f: З 1® З 2. Әрбір бүтін сан X 1 О З 1 екі натурал санның айырмасы ретінде берілген:
X 1 = а 1 – б 1 . Біз сенеміз

f (x 1) = j( а 1) – j( б 1).

Соны дәлелдеп көрейік fизоморфизм болып табылады. Карталау жақсы анықталған: егер X 1 = сағ 1 , қайда ж 1 = в 1 – г 1 , содан кейін

а 1 – б 1 = в 1 – г 1 а 1 +d 1 = б 1 + в 1 Þ j( а 1 +d 1) = j( б 1 + в 1)

Þ j( а 1) + j( г 1) = j( б 1) + j( в 1) Þ j( а 1)–j( б 1)=j( в 1) – j( г 1) f(x 1) =f (ж 1).

Демек, осыдан шығады f-бір мәнді картаға түсіру З 1 дюйм З 2. Бірақ кез келген адам үшін X 2-ден З 2 табиғи элементтерді таба алады а 2 және б 2 солай X 2 = а 2 – б 2. j - изоморфизм болғандықтан, бұл элементтердің кері бейнелері болады а 1 және б 1 . білдіреді, x 2 = j( а 1) – j( б 1) =
= f (а 1 – б 1) және әрбір элемент З 2 прототипі болып табылады. Сондықтан хат алмасу fөзара бір мағыналы. Оның операцияларды сақтайтынын тексерейік.

Егер X 1 = а 1 – б 1 , ж 1 = c 1 – д 1 , содан кейін

X 1 + ж 1 = (а 1 + в 1) – (б 1 +г 1),

f(X 1 + ж 1) = j( а 1 + в 1) – j( б 1 +г 1) =j( а 1)+ j( в 1) – j( б 1) – j( г 1) =

J( а 1) – j( б 1)+ j( в 1)– j( г 1) =f(X 1) + f(ж 1).

Сол сияқты біз көбейтудің сақталғанын тексереміз. Осылайша, бұл анықталды fизоморфизм болып табылады және теорема дәлелденді.

Жаттығулар

1. Натурал сандар жүйесі бар кез келген сақинаға бүтін сандар сақинасы да кіретінін дәлелдеңдер.

2. Бірлігі бар әрбір минималды реттелген коммутативті сақина бүтін сандар сақинасына изоморфты екенін дәлелдеңіз.

3. Бірлігі бар және нөлдік бөлгіштері жоқ әрбір реттелген сақинада бүтін сандар сақинасына изоморфты бір ғана қосалқы мүше бар екенін дәлелдеңдер.

4. Нақты сандар өрісіндегі екінші ретті матрицалық сақинада бүтін сандар сақинасына изоморфты шексіз көп ішкі сақиналар бар екенін дәлелдеңіз.

Рационал сандар өрісі

Рационал сандар жүйесін анықтау және құру бүтін сандар жүйесіне жасалғандай жүзеге асырылады.

Анықтама.Рационал сандар жүйесі – бүтін сандар сақинасының жалғасы болып табылатын минималды өріс.

Осы анықтамаға сәйкес рационал сандар жүйесінің келесі аксиоматикалық құрылысын аламыз.

Негізгі терминдер:

Qрационал сандар жиыны болып табылады;

0, 1 - тұрақтылар;

+, × қосылатын екілік амалдар Q;

З- ішкі жиын Q, бүтін сандар жиыны;

Å, Ä - екілік амалдар З.

Аксиомалар:

I. Өріс аксиомалары.

(1-тоқсан) а+ (b+c) = (a+b) + в.

(2-тоқсан) a + b = b + a.

(3-тоқсан)(" а) а + 0 = а.

(4)(" а)($(–а)) а + (–а) = 0.

(5-сұрақ) а× ( б× в) = (а× б) × в.

(6-сұрақ) а× b = b× а.

(7-сұрақ) А× 1 = А.

(8-сұрақ)(" а¹ 0)($ а –1) а × а –1 = 1.

(9-сұрақ) ( a+b) × c = a × c + b× в.

II. Кеңейту аксиомалары.

(Q10) a З, M, L, 0, 1ñ натурал сандар сақинасы болсын.

(11-тоқсан) З Í Q.

(12-сұрақ)(" а,бÎ З) a+b=aÅ б.

(13-тоқсан)(" а,бÎ З) а× b = aÄ б.

III. Минималдылық аксиомасы.

(14-тоқсан) МÍ Q, ЗÍ М, ("а, бÎ М)(б ¹ 0 ® а× б–1 О М)Þ М = Q.

Сан а× б-1 көбейтінді деп аталады АЖәне б, белгіленген а/бнемесе .

Теорема 1.Әрбір рационал сан екі бүтін санның бөлімі ретінде берілген.

Дәлелдеу. Болсын М- екі бүтін санның бөлімі ретінде ұсынылатын рационал сандар жиыны. Егер nонда бүтін сан болады n = n/1 жатады М, демек, ЗÍ М. Егер а, бÎ М, Бұл a = k/l, b = m/n,Қайда k, l, m, nÎ З. Демек, а/б=
= (кн) / (лм)Î М. Аксиома бойынша (Q14) М= Q, және теорема дәлелденді.

2-теорема.Рационал сандар өрісі сызықтық және қатаң реттелген және бірегей түрде болуы мүмкін. Рационал сандар өрісіндегі реттілік архимедтік және бүтін сандар сақинасындағы тәртіпті жалғастырады.

Дәлелдеу. арқылы белгілеңіз Q+ бөлшек түрінде көрсетілетін сандар жиыны, мұндағы kl> 0. Бұл шарт санды білдіретін бөлшек түріне тәуелді емес екенін байқау қиын емес.

Соны тексеріп көрейік Q + – өрістің оң бөлігі Q. Өйткені бүтін сан үшін klүш жағдай болуы мүмкін: kl = 0, klÎ Н, –kl Î Н, онда a = үшін үш мүмкіндіктің бірін аламыз: a = 0, a Q+ , –аО Q + . Әрі қарай, егер a = болса, b = тиесілі Q+ , содан кейін kl > 0, mn> 0. Сонда a + b = , және ( кн+мл)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Демек, a + bн Q + . Бұл abn екенін дәл осылай тексеруге болады Q + . Осылайша, Q + өрістің оң бөлігі болып табылады Q.

Болсын Q++ осы өрістің кейбір оң бөлігі болып табылады. Бізде бар

l =.l 2 н Q ++ .

Осы жерден НÍ Q++ . 2.3.4 теоремасы бойынша натурал сандардың кері сандары да жатады Q++ . Содан кейін Q + Í Q++ . 2.3.6 теоремасы бойынша Q + =Q++ . Демек, оң бөліктермен анықталған тәртіптер де сәйкес келеді. Q+ және Q ++ .

Өйткені З + = НÍ Q+ , содан кейін ретті енгізіңіз Qбұйрықты жалғастырады З.

Енді a => 0, b => 0 болсын. Бүтін сандар сақинасындағы реттілік архимедтік болғандықтан, оң үшін кнЖәне млтабиғи бар біргесолай бірге× кн>мл. Осы жерден бірге a = бірге>= б. Демек, рационал сандар өрісіндегі реттілік Архимедтік болып табылады.

Жаттығулар

1. Рационал сандар өрісі тығыз, яғни кез келген рационал сандар үшін екенін дәлелдеңдер а < брационалдылық бар rсолай а < r < б.

2. теңдеу екенін дәлелде X 2 = 2-де шешімдер жоқ Q.

3. Жиын екенін дәлелде Qесептелетін.

Теорема 3.Рационал сандардың аксиоматикалық теориясы сәйкес келеді.

Дәлелдеу. Рационал сандардың аксиоматикалық теориясының жүйелілігі бүтін сандар сияқты дәлелденеді. Ол үшін теорияның барлық аксиомалары орындалатын модель құрастырылады.

Негіз ретінде біз жиынтықты аламыз

З´ Z* = {(а, б)ï а, бÎ З, б ¹ 0}.

Бұл жиынның элементтері жұптар ( а, б) бүтін сандар. Мұндай жұп деп біз бүтін сандардың бөлімін айтамыз а/б. Осыған сәйкес жұптардың қасиеттерін орнатамыз.

Түсірілімде таныстырамыз З´ Z*теңдік қатынасы:

(а, б) = (в, г) Û жарнама = б.з.б.

Оның эквиваленттік қатынас екенін және теңдік деп атауға құқығы бар екенін ескереміз. Жиындардың факторлық жиыны З´ Z*осы теңдік қатынасына қатысты деп белгілейміз Q. Оның элементтері рационал сандар деп аталады. Жұпты қамтитын сынып ( а, б), [ арқылы белгіленеді а, б].

Біз құрастырылған жиынтықта таныстырамыз Qқосу және көбейту амалдары. Бұл бізге [ элементі туралы түсінік беруге көмектеседі. а, б] жеке туралы не айтасыз а/б. Осыған сәйкес анықтама бойынша біз мынаны аламыз:

[а, б] + [в, г] = [ad+bc, bd];

[а, б] × [ в, г] = [ac, bd].

Біз осы операциялардың анықтамаларының дұрыстығын тексереміз, атап айтқанда, нәтижелер элементтерді таңдауға байланысты емес. аЖәне бжұпты анықтау [ а, б]. Бұл 3.2.1 теоремасының дәлелдеуіндегідей орындалады.

Нөлдің рөлін жұп ойнайды. арқылы белгілейік 0 . Шынымен,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [а, б].

Қарама-қарсы [ а, б] жұп –[ а, б] = [–а, б]. Шынымен,

[а, б] + [–а, б]= [ab-ab, bb] = = 0 .

Бірлік жұп = 1 . Жұпқа кері [ а, б] - жұп [ б, а].

Енді кеңейту аксиомаларын тексерейік. Хат жазайық
f: З ® Qережеге сәйкес

f(n) = [n, 1].

Бұл бір-бірінің арасындағы хат алмасу екенін тексереміз Зжәне кейбір ішкі жиын Q, біз онымен белгілейміз Z*. Біз одан әрі оның операцияларды сақтайтынын тексереміз, демек, ол арасында изоморфизм орнатады Зжәне субринг Z*В Q. Осылайша, кеңейту аксиомалары тексерілді.

Жұпты белгілеңіз [ n, 1] бастап Z*сәйкес натурал сан n, арқылы n . Содан кейін ерікті жұп үшін [ а, б] бізде бар

[а, б] = [а, 1] × = [ а, 1] / [б, 1] = а /б .

Бұл жұп тұжырымдамасын негіздейді [ а, б] бүтін сандардың бөлімі туралы. Бұл ретте құрастырылған жиынтықтан әрбір элементтің болатыны анықталды Qекі бүтін санның бөлімі ретінде берілген. Бұл минималдылық аксиомасын тексеруге көмектеседі. Тексеру 3.2.1 теоремадағыдай жүргізіледі.

Осылайша, салынған жүйе үшін Qбүтін сандар теориясының барлық аксиомалары қанағаттандырылды, яғни біз бұл теорияның моделін құрдық. Теорема дәлелденді.

Теорема 4.Рационал сандардың аксиоматикалық теориясы категориялық.

Дәлелдеу 3.2.2 теоремасының дәлелдеуіне ұқсас.

5-теорема.Архимед ретті өріс рационал сандар өрісінің кеңейтімі болып табылады.

Дәлел жаттығу ретінде.

Теорема 6.Болсын ФАрхимедтік реттелген өріс, а > б,Қайда а, бÎ Ф. н рационал саны бар Фсолай а > > б.

Дәлелдеу. Болсын а > б³ 0. Содан кейін а-б> 0 және ( а-б) –1 > 0. Табиғи бар Тсолай м×1 > ( а-б) –1 , қайдан м –1 < а-б £ А. Бұдан басқа, табиғи бар ксолай к× м-1³ а. Болсын к – ең кіші санол үшін бұл теңсіздік орындалады. Өйткені к> 1, содан кейін қоюға болады k = n + 1, n Î Н. Бола тұра
(n+ 1)× м-1³ а, n× м –1 < а. Егер n× м-1 £ б, Бұл а = б + (а-б) > б+м-1³ n× м –1 + м –1 =
= (n+ 1)× м-1. Қарама-қайшылық. білдіреді, а >n× м –1 > б.

Жаттығулар

4. Бүтін сандар сақинасы бар кез келген өріске рационал сандар өрісі де кіретінін дәлелдеңіз.

5. Әрбір минималды реттелген өрістің рационал сандар өрісіне изоморфты екенін дәлелдеңіз.

Нақты сандар

(R туралған деп аталатын) арқылы белгіленген нақты сандар қосу («+») операциясы енгізіледі, яғни элементтердің әрбір жұбы ( x,ж) нақты сандар жиынынан, элемент x + жқосынды деп аталатын сол жиыннан xЖәне ж .

Көбейтудің аксиомалары

Көбейту операциясы («·») енгізіледі, яғни әрбір элементтер жұбы ( x,ж) нақты сандар жиынынан элемент тағайындалады (немесе қысқаша айтқанда, xж) туынды деп аталатын сол жиынтықтан xЖәне ж .

Қосу мен көбейтудің өзара байланысы

Тәртіп аксиомалары

«» реттік қатынасы (кем немесе тең) бойынша берілген, яғни кез келген жұп үшін x, yшарттардың кем дегенде біреуін немесе .

Тәртіп пен қосу арасындағы байланыс

Тәртіп пен көбейту арасындағы байланыс

Үздіксіздік аксиомасы

Пікір

Бұл аксиома егер XЖәне Ы- нақты сандардың бос емес екі жиыны, оның кез келген элементі Xешбір элементтен аспайды Ы, содан кейін осы жиындардың арасына нақты санды енгізуге болады. Рационал сандар үшін бұл аксиома орындалмайды; классикалық мысал: оң рационал сандарды қарастыру және жиынға сілтеме жасау Xквадраты 2-ден кіші сандар, ал қалғандары - дейін Ы. Сосын арасында XЖәне Ырационал санды енгізуге болмайды (рационал сан емес).

Бұл негізгі аксиома тығыздықты қамтамасыз етеді және осылайша есептеулерді құруға мүмкіндік береді. Оның маңыздылығын көрсету үшін біз оның екі негізгі салдарын атап өтеміз.

Аксиомалардың салдары

Бұл кейбір аксиомалардан тікелей шығады маңызды қасиеттернақты сандар, мысалы,

• нөлдің бірегейлігі,
• қарама-қарсы және кері элементтердің бірегейлігі.

Әдебиет

• Зорих В.А.Математикалық талдау. I. М .: Фазис, 1997, 2 тарау.

да қараңыз

Сілтемелер

Викимедиа қоры. 2010 ж.

Басқа сөздіктерде «Нақты сандар аксиоматикасының» не екенін қараңыз:

Нақты немесе нақты сан – бізді қоршаған дүниенің геометриялық және физикалық шамаларын өлшеу, сондай-ақ түбір алу, логарифмдерді есептеу, шешу сияқты операцияларды орындау қажеттілігінен туындаған математикалық абстракция ... ... Wikipedia

Нақты немесе нақты сандар - бұл физикалық шамалардың мәндерін көрсету және салыстыру үшін қызмет ететін математикалық абстракция. Мұндай санды түзу сызықтағы нүктенің орнын сипаттайтын интуитивті түрде беруге болады. ... ... Wikipedia

Нақты немесе нақты сандар - бұл физикалық шамалардың мәндерін көрсету және салыстыру үшін қызмет ететін математикалық абстракция. Мұндай санды түзу сызықтағы нүктенің орнын сипаттайтын интуитивті түрде беруге болады. ... ... Wikipedia

Нақты немесе нақты сандар - бұл физикалық шамалардың мәндерін көрсету және салыстыру үшін қызмет ететін математикалық абстракция. Мұндай санды түзу сызықтағы нүктенің орнын сипаттайтын интуитивті түрде беруге болады. ... ... Wikipedia

Нақты немесе нақты сандар - бұл физикалық шамалардың мәндерін көрсету және салыстыру үшін қызмет ететін математикалық абстракция. Мұндай санды түзу сызықтағы нүктенің орнын сипаттайтын интуитивті түрде беруге болады. ... ... Wikipedia

Нақты немесе нақты сандар - бұл физикалық шамалардың мәндерін көрсету және салыстыру үшін қызмет ететін математикалық абстракция. Мұндай санды түзу сызықтағы нүктенің орнын сипаттайтын интуитивті түрде беруге болады. ... ... Wikipedia

Нақты немесе нақты сандар - бұл физикалық шамалардың мәндерін көрсету және салыстыру үшін қызмет ететін математикалық абстракция. Мұндай санды түзу сызықтағы нүктенің орнын сипаттайтын интуитивті түрде беруге болады. ... ... Wikipedia

Уикисөздікте "аксиома" туралы мақала бар Аксиома (доктор Грек ... Википедия

Әртүрлі жағдайда кездесетін аксиома аксиоматикалық жүйелер. Нақты сандар аксиоматикасы Гильберт евклидтік геометрия аксиоматикасы Колмогоровтың ықтималдықтар теориясы аксиоматикасы ... Wikipedia