Бүтін сандар жүйесінің аксиоматикалық құрылысы. Нақты сандардың аксиоматикасы. Тәртіп пен қосу арасындағы байланыс

Математикадағы аксиоматикалық әдіс.

Табиғи қатарлардың аксиоматикалық теориясының негізгі ұғымдары мен қатынастары. Анықтама натурал сан.

Натурал сандарды қосу.

Натурал сандарды көбейту.

Натурал сандар жиынының қасиеттері

Натурал сандарды алу және бөлу.

Математикадағы аксиоматикалық әдіс

Кез келген математикалық теорияның аксиоматикалық құрылысында белгілі бір ережелер:

1. Теорияның кейбір тұжырымдамалары ретінде таңдалады майоржәне анықтамасыз қабылданған.

2. Тұжырымдалған аксиомалар, бұл теорияда дәлелсіз қабылданған, олар негізгі ұғымдардың қасиеттерін ашады.

3. Негізгілер тізімінде жоқ теорияның әрбір тұжырымдамасы берілген анықтамасы, оның мәнін осы негізгі және алдыңғы ұғымның көмегімен түсіндіреді.

4. Аксиомалар тізімінде жоқ теорияның әрбір сөйлемі дәлелденуі керек. Мұндай ұсыныстар деп аталады теоремаларжәне оларды қарастырылып отырғанның алдындағы аксиомалар мен теоремалар негізінде дәлелдеңіз.

Аксиомалар жүйесі келесідей болуы керек:

а) дәйекті:берілген аксиомалар жүйесінен әр түрлі қорытындылар жасай отырып, біз ешқашан қайшылыққа келмейтінімізге сенімді болуымыз керек;

б) тәуелсіз: ешбір аксиома осы жүйенің басқа аксиомаларының салдары болмауы керек.

V) толық, егер оның шеңберінде берілген мәлімдемені де, оның терістеуін де дәлелдеу әрқашан мүмкін болса.

Евклидтің «Элементтерінде» (б.з.б. 3 ғ.) геометрияны ұсынуы теорияны аксиоматикалық тұрғызудың алғашқы тәжірибесі деп санауға болады. Геометрия мен алгебраны салудың аксиоматикалық әдісінің дамуына елеулі үлес қосқан Н.И. Лобачевский және Э.Галуа. 19 ғасырдың аяғында Итальяндық математик Пеано арифметика үшін аксиомалар жүйесін жасады.

Натурал сандардың аксиоматикалық теориясының негізгі ұғымдары мен қатынастары. Натурал санның анықтамасы.

Белгілі жиынтықтағы негізгі (анықталмаған) ұғым ретінде Н таңдалады көзқарас , сондай-ақ жиынтық-теориялық ұғымдар, сонымен қатар логика ережелері.

Элементтен кейінгі элемент А,тағайындау А».

«Бірден орындалу» қатынасы келесі аксиомаларды қанағаттандырады:

Пиано аксиомалары:

Аксиома 1. көптікте Н тікелей элементі бар келесі емесосы жиынның кез келген элементі үшін. Оны шақырайық бірлікжәне символдау 1 .

Аксиома 2. Әрбір элемент үшін А бастап Н бір ғана элемент бар А" бірден кейін А .

Аксиома 3. Әрбір элемент үшін А бастап Нбірден кейін келетін ең көбі бір элемент бар А .

Аксиома 4.Кез келген ішкі жиын М жинақтар Н сәйкес келеді Н , егер оның қасиеттері болса: 1) 1 құрамында қамтылған М ; 2) неден А құрамында қамтылған М , содан кейін және А" құрамында қамтылған М.

Анықтама 1. Бір топ Н , оның элементтері үшін қатынас орнатылады «тікелей орындаңыз» 1-4 аксиомаларды қанағаттандыратын » деп аталады натурал сандар жиыны, және оның элементтері натурал сандар.

IN бұл анықтамажиын элементтерінің табиғаты туралы ештеңе айтылмаған Н . Сондықтан ол кез келген нәрсе бола алады. Жиынтық ретінде таңдау Н 1-4 аксиомаларды қанағаттандыратын белгілі бір "тікелей бақыланатын" қатынас берілген кейбір нақты жиынтық, біз аламыз осы жүйенің моделі аксиомалар.

стандартты үлгіпроцессте Пеано аксиомалар жүйесі пайда болды тарихи дамуысандардың қоғам қатары: 1,2,3,4,... Натурал қатар 1 санынан басталады (аксиома 1); әрбір натурал саннан кейін бірден бір натурал сан (2 аксиома); әрбір натурал сан бірден ең көбі бір натурал саннан кейін келеді (3 аксиома); 1 санынан бастап және бірінен соң бірі бірден натурал сандарға көшу арқылы біз осы сандардың барлық жиынын аламыз (аксиома 4).

Сонымен, біз натурал сандар жүйесінің аксиоматикалық құрылысын негізгісін таңдаудан бастадық «тікелей ілесу» қатынасыжәне оның қасиеттерін сипаттайтын аксиомалар. Теорияны одан әрі құру натурал сандардың белгілі қасиеттерін және оларға амалдарды қарастыруды қамтиды. Олар анықтамалар мен теоремаларда ашылуы керек, яғни. «бірден кейін» қатынасынан таза логикалық жолмен алынған және 1-4 аксиомалар.

Натурал санның анықтамасынан кейін енгізетін бірінші ұғымымыз көзқарас «бірден алда» , табиғи қатардың қасиеттерін қарастырғанда жиі қолданылады.

Анықтама 2.Натурал сан болса б тікелей артынан жүредінатурал сан А, сол сан А шақырды тікелей алдында(немесе алдыңғы) саны б .

«Бұрын» қатынасы бар қасиеттерге жақын.

Теорема 1. Біреуінің алдыңғы натурал саны жоқ.

Теорема 2. Әрбір натурал сан А, 1-ден басқаның алдында жалғыз сан бар б,солай б»= А.

Натурал сандар теориясының аксиоматикалық құрылысы бастапқыда да, ішінде де қарастырылмайды орта мектеп. Дегенмен, Пеано аксиомаларында көрсетілген «тікелей жалғау» қатынасының сол қасиеттері зерттеу пәні болып табылады. бастапқы курсматематика. Бірінші сыныпта бірінші ондық сандарды қарастырғанда, әрбір санды қалай алуға болатыны белгілі болады. «Ілеспе» және «бұрын» терминдері қолданылады. Әрбір жаңа сан сандардың натурал қатарының зерттелетін сегментінің жалғасы ретінде әрекет етеді. Оқушылар әрбір саннан кейін келесісі келетініне, оның үстіне тек бір ғана сандардың табиғи қатары шексіз екеніне сенімді.

Натурал сандарды қосу

Аксиоматикалық теорияны құру ережелеріне сәйкес натурал сандарды қосу анықтамасы тек қатынасты пайдаланып енгізілуі керек. «тікелей бақылаңыз», және ұғымдар «натурал сан»Және «алдыңғы нөмір».

Қосудың анықтамасын келесі ойлармен алғы сөзбен алайық. Кез келген натурал сан үшін А 1 қосыңыз, біз санды аламыз A",бірден кейін А, яғни. А+ 1= a"демек, кез келген натурал санға 1 қосу ережесін аламыз. Бірақ санға қалай қосу керек Анатурал сан б, 1-ден айырмашылығы? Келесі фактіні қолданайық: егер 2 + 3 = 5 екені белгілі болса, онда 5 санынан кейін бірден келетін 2 + 4 = 6 қосындысы болады. Бұл 2 + 4 қосындысында екінші мүше бірден сан болатындықтан болады. 3 санынан кейін. Демек 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". IN жалпы көрінісбізде бар , .

Бұл фактілер аксиоматикалық теориядағы натурал сандарды қосу анықтамасының негізінде жатыр.

Анықтама 3. Натурал сандарды қосукелесі қасиеттерге ие алгебралық операция болып табылады:

Сан a + b шақырды сандардың қосындысы АЖәне б , және сандардың өздері АЖәне б - шарттар.

Кез келген математикалық теорияның аксиоматикалық құрылысында белгілі ережелер:

теорияның кейбір концепциялары негізгі ретінде таңдалады және анықтамасыз қабылданады;

негізгілер тізімінде жоқ теорияның әрбір тұжырымдамасына анықтама беріледі;

аксиомалар тұжырымдалған – бұл теорияда дәлелсіз қабылданған сөйлемдер; олар негізгі ұғымдардың қасиеттерін ашады;

· аксиомалар тізімінде жоқ теорияның әрбір сөйлемі дәлелденуі керек; мұндай ұсыныстар теоремалар деп аталады және аксиомалар мен терминдер негізінде дәлелденеді.

Теорияның аксиоматикалық құрылысында барлық тұжырымдар аксиомалардан дәлелдеу арқылы шығарылады.

Сондықтан аксиомалар жүйесі ерекше бағынады талаптар:

Жүйелілік (аксиомалар жүйесі, егер одан логикалық түрде бір-бірін жоққа шығаратын екі сөйлемді шығару мүмкін болмаса, жүйелі деп аталады);

тәуелсіздік (аксиомалар жүйесі тәуелсіз деп аталады, егер бұл жүйенің аксиомаларының ешқайсысы басқа аксиомалардың салдары болмаса).

Өзінде қатынасы берілген жиын, егер осы жүйенің барлық аксиомалары орындалса, берілген аксиомалар жүйесінің моделі деп аталады.

Натурал сандар жиыны үшін аксиомалар жүйесін құрудың көптеген жолдары бар. Негізгі ұғым үшін, мысалы, сандар қосындысын немесе реттік қатынасты алуға болады. Кез келген жағдайда негізгі ұғымдардың қасиеттерін сипаттайтын аксиомалар жүйесін көрсету қажет.

Қосу амалының негізгі түсінігін қабылдай отырып, аксиомалар жүйесін берейік.

Бос емес жиын Ноперациясы болса натурал сандар жиыны деп аталады (а; б) → a + b, қосу деп аталады және қасиеттері бар:

1. үстеу ауыспалы, яғни. a + b = b + a.

2. үстеу ассоциативті, яғни. (a + b) + c = a + (b + c).

4. кез келген жиынтықта А, ол жиынның ішкі жиыны болып табылады Н, Қайда Асаны бар, бәрі де бар Ха, тең a+b, Қайда б.Н.

Натурал сандардың бүтін арифметикасын құру үшін 1 - 4 аксиомалары жеткілікті. Бірақ мұндай конструкциямен енді бұл аксиомаларда көрсетілмеген ақырлы жиындардың қасиеттеріне сүйену мүмкін емес.

Негізгі ұғым ретінде бос емес жиында анықталған «тікелей жалғасатын...» қатынасын алайық Н. Сонда сандардың натурал қатары N жиыны болады, онда «тікелей орындалатын» қатынас анықталады және N-нің барлық элементтері натурал сандар деп аталады және келесі орындалады: Пиано аксиомалары:

АКСИОМ 1.

көптіктеНосы жиынның ешбір элементіне бірден бағынбайтын элемент бар. Оны бірлік деп, 1 белгісімен белгілейміз.

АКСИОМ 2.

Әрбір элемент үшін aНa бірден кейін бір элементі бар.

АКСИОМ 3.

Әрбір элемент үшін aНбірден кейін бірден а болатын ең көбі бір элемент бар.

AXOIM 4.

Жиынның кез келген M ішкі жиыныНсәйкес келедіН, егер ол қасиеттерге ие болса: 1) 1 М құрамында болса; 2) а-ның М-де болуынан а-ның М-де де бар екендігі шығады.

Бір топ N, 1 - 4 аксиомаларды қанағаттандыратын "бірден кейін ..." қатынасы орнатылған элементтері үшін деп аталады. натурал сандар жиыны , және оның элементтері натурал сандар.

Егер жиынтық ретінде Н 1 - 4 аксиомаларды қанағаттандыратын нақты қатынас «тікелей орындалатын ...» берілген кейбір нақты жиынды таңдаңыз, сонда біз басқаша аламыз. интерпретациялар (модельдер) берілген аксиома жүйелері.

Пеано аксиомаларының жүйесінің стандартты үлгісі қоғамның тарихи даму процесінде пайда болған сандар тізбегі болып табылады: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Кез келген есептелетін жиын Пеано аксиомаларының үлгісі бола алады.

Мысалы, I, II, III, III, ...

ой ой...

бір екі үш төрт, …

Жиын (oo) бастапқы элемент болып табылатын жиындар тізбегін қарастырайық және әрбір келесі жиын тағы бір шеңберді тағайындау арқылы алдыңғысынан алынады (Cурет 15).

Содан кейін Нсипатталған түрдегі жиындардан тұратын жиын болып табылады және ол Пеано аксиомаларының жүйесінің үлгісі болып табылады.

Шынында да, көпте Нберілген жиынның кез келген элементіне бірден бағынбайтын элемент (oo) бар, яғни. аксиома 1 орындалады.Әр жиын үшін Ақарастырылып отырған жиынтықтан алынған бірегей жиынтық бар Абір шеңберді қосу арқылы, яғни. Аксиома 2 орындалады.Әр жиын үшін Ажиын құрылатын ең көбі бір жиын бар Абір шеңберді қосу арқылы, яғни. Аксиома 3 орындалады МНжәне жиынтық екені белгілі Ақұрамында қамтылған М,жиынтыққа қарағанда бір шеңбер көп болатын жиын шығады А, құрамында да бар М, Бұл M =Н, бұл аксиома 4 қанағаттандырылғанын білдіреді.

Натурал санның анықтамасында аксиомалардың ешқайсысын алып тастауға болмайды.

Суретте көрсетілген жиынтықтардың қайсысын анықтайық. 16 - Пеано аксиомаларының үлгісі.

1 a b d a

G) 16-сурет

Шешім. 16 а) суретте 2 және 3 аксиомалары орындалатын жиын көрсетілген.Шынында, әрбір элемент үшін бірден өзінен кейін келетін бірегей элемент және оған сәйкес келетін бірегей элемент бар. Бірақ бұл жиында 1 аксиома орындалмайды (4 аксиоманың мағынасы жоқ, өйткені жиында басқа ешқайсысынан бірден кейін келмейтін элемент жоқ). Сондықтан бұл жиын Пеано аксиомаларының үлгісі емес.

16 б) суретте 1, 3 және 4 аксиомалары орындалатын, бірақ элементтің артында тұрған жиын көрсетілген. А 2-аксиомада талап етілгендей бір емес, бірден екі элемент келеді. Сондықтан бұл жиын Пиано аксиомаларының үлгісі емес.

Суретте. 16 в) 1, 2, 4 аксиомалары орындалатын жиынды көрсетеді, бірақ элементі біргебірден екі элементтен кейін жүреді. Сондықтан бұл жиын Пеано аксиомаларының үлгісі емес.

Суретте. 16 г) 2, 3 аксиомаларды қанағаттандыратын жиынды көрсетеді, ал егер бастапқы элемент ретінде 5 санын алсақ, онда бұл жиын 1 және 4 аксиомаларды қанағаттандырады. Яғни, бұл жиында әрбір элемент үшін бірден жалғыз болады. оған бағынады және оның соңынан еретін бір ғана элемент бар. Сондай-ақ бұл жиынның ешбір элементіне бірден бағынбайтын элемент бар, бұл 5 , анау. 1 аксиома орындалады.Сәйкесінше 4 аксиома да орындалады.Сондықтан бұл жиын Пиано аксиомаларының үлгісі болып табылады.

Пеано аксиомаларын пайдалана отырып, біз бірқатар тұжырымдарды дәлелдей аламыз.Мысалы, барлық натурал сандар үшін теңсіздік болатынын дәлелдейміз. x x.

Дәлелдеу.арқылы белгілеңіз Аол үшін натурал сандар жиыны а а.Сан 1 тиесілі А, себебі ол ешбір саннан кейін жүрмейді Н, сондықтан өздігінен жүрмейді: 1 1. Болсын аа,Содан кейін а а.Белгілеу Аарқылы б. 3-аксиоманың арқасында, Аб,анау. б.бЖәне бА.

(R туралған деп аталатын) арқылы белгіленген нақты сандар қосу («+») операциясы енгізіледі, яғни элементтердің әрбір жұбы ( x,ж) нақты сандар жиынынан, элемент x + жқосынды деп аталатын сол жиыннан xЖәне ж .

Көбейтудің аксиомалары

Көбейту операциясы («·») енгізіледі, яғни әрбір элементтер жұбы ( x,ж) нақты сандар жиынынан элемент тағайындалады (немесе қысқаша айтқанда, xж) туынды деп аталатын сол жиынтықтан xЖәне ж .

Қосу мен көбейтудің өзара байланысы

Тәртіп аксиомалары

«» реттік қатынасы (кем немесе тең) бойынша берілген, яғни кез келген жұп үшін x, yшарттардың кем дегенде біреуін немесе .

Тәртіп пен қосу арасындағы байланыс

Тәртіп пен көбейту арасындағы байланыс

Үздіксіздік аксиомасы

Пікір

Бұл аксиома егер XЖәне Ы- нақты сандардың бос емес екі жиыны, оның кез келген элементі Xешбір элементтен аспайды Ы, содан кейін осы жиындардың арасына нақты санды енгізуге болады. Рационал сандар үшін бұл аксиома орындалмайды; классикалық мысал: оң рационал сандарды қарастыру және жиынға сілтеме жасау Xквадраты 2-ден кіші сандар, ал қалғандары - дейін Ы. Сосын арасында XЖәне Ықоюға болмайды рационал сан(рационал сан емес).

Бұл негізгі аксиома тығыздықты қамтамасыз етеді және осылайша есептеулерді құруға мүмкіндік береді. Оның маңыздылығын көрсету үшін біз оның екі негізгі салдарын атап өтеміз.

Аксиомалардың салдары

Бұл кейбір аксиомалардан тікелей шығады маңызды қасиеттернақты сандар, мысалы,

нөлдің бірегейлігі,
қарама-қарсы және кері элементтердің бірегейлігі.

Әдебиет

Зорих В.А.Математикалық талдау. I. М .: Фазис, 1997, 2 тарау.

да қараңыз

Сілтемелер

Викимедиа қоры. 2010 ж.

Басқа сөздіктерде «Нақты сандар аксиоматикасының» не екенін қараңыз:

Нақты немесе нақты сан – бізді қоршаған дүниенің геометриялық және физикалық шамаларын өлшеу, сондай-ақ түбір алу, логарифмдерді есептеу, шешу сияқты операцияларды орындау қажеттілігінен туындаған математикалық абстракция ... ... Wikipedia

Нақты немесе нақты сандар - бұл физикалық шамалардың мәндерін көрсету және салыстыру үшін қызмет ететін математикалық абстракция. Мұндай санды түзу сызықтағы нүктенің орнын сипаттайтын интуитивті түрде беруге болады. ... ... Wikipedia

Уикисөздікте "аксиома" туралы мақала бар Аксиома (доктор Грек ... Википедия

Әртүрлі жағдайда кездесетін аксиома аксиоматикалық жүйелер. Нақты сандар аксиоматикасы Гильберт евклидтік геометрия аксиоматикасы Колмогоровтың ықтималдықтар теориясы аксиоматикасы ... Wikipedia

Бүтін сандар теориясының берілген аксиома жүйесі 3.1.4-жаттығуда көрсетілгендей тәуелсіз емес.

1-теорема.Бүтін сандардың аксиоматикалық теориясы сәйкес келеді.

Дәлелдеу. Натурал сандардың аксиоматикалық теориясы сәйкес келеді деген болжамнан бастап, бүтін сандардың аксиоматикалық теориясының сәйкестігін дәлелдейміз. Ол үшін теориямыздың барлық аксиомаларын қанағаттандыратын модель құрастырамыз.

Алдымен сақина құрастырайық. Жиынтықты қарастырыңыз

Н´ Н = {(а, б)ï а, бÎ Н}.

а, б) натурал сандар. Мұндай жұп деп натурал сандардың айырмасын айтамыз а-б. Бірақ мұндай айырмашылық бар бүтін сандар жүйесінің бар екендігі дәлелденбейінше, мұндай белгілеуді қолдануға құқығымыз жоқ. Сонымен қатар, бұл түсінік бізге жұптардың қасиеттерін қажетінше орнатуға мүмкіндік береді.

Натурал сандардың әртүрлі айырмашылықтары бір бүтін санға тең болуы мүмкін екенін білеміз. Сәйкесінше, біз түсірілімде таныстырамыз Н´ Нтеңдік қатынасы:

(а, б) = (в, г) Û a + d = b + c.

Бұл қатынастың рефлексивті, симметриялы және өтпелі екенін байқау қиын емес. Демек, ол эквиваленттік қатынас болып табылады және теңдік деп атауға құқылы. Жиындардың факторлық жиыны Н´ Н З. Оның элементтері бүтін сандар деп аталады. Олар жұптар жиынындағы эквиваленттік сыныптар. Жұпты қамтитын сынып
(а, б), [ арқылы белгіленеді а, б].

З а, б] айырмашылық туралы не айтасыз а-б

[а, б] + [в, г] = [a+c, b+d];

[а, б] × [ в, г] = [ac+bd, ad+bc].

Бұл жерде қатаң түрде операциялық белгілерді пайдалану мүлде дұрыс емес екенін есте ұстаған жөн. Сол + белгісі натурал сандар мен жұптардың қосылуын білдіреді. Бірақ берілген операцияның қай жиында орындалатыны әрқашан түсінікті болғандықтан, біз мұнда бұл операциялар үшін бөлек белгілерді енгізбейміз.

Бұл операциялардың анықтамаларының дұрыстығын тексеру қажет, атап айтқанда нәтижелер элементтерді таңдауға байланысты емес. аЖәне бжұпты анықтау [ а, б]. Расында, рұқсат етіңіз

[а, б] = [а 1 , б 1 ], [в, г] = [бірге 1 , d 1 ].

Соны білдіреді a+b 1 = б+а 1 , c + d 1 =г + бірге 1 . Осы теңдіктерді қосқанда біз аламыз

a+b 1 + c + d 1 = б+а 1 +г + бірге 1 Þ[ a + b, c + d] = [а 1 +бірге 1 , б 1 + г 1 ]

Þ [ а, б] + [в, г] = [а 1 , б 1 ] + [в 1 , d 1 ].

Көбейтудің анықтамасының дұрыстығы да осылай анықталады. Бірақ бұл жерде біз алдымен тексеруіміз керек [ а, б] × [ в, г] = [а 1 , б 1]×[ в, г].

Енді алынған алгебраның сақина екенін, яғни (Z1) - (Z6) аксиомаларын тексеруіміз керек.

Мысалы, қосудың ауыстырымдылығын, яғни аксиоманы (Z2) тексерейік. Бізде бар

[в, г] + [а, б] = = [a+c, b+d] = [а, б] + [в, г].

Бүтін сандар үшін қосудың ауыстырымдылығы бұрыннан белгілі деп есептелетін натурал сандар үшін қосудың ауыстырымдылығынан алынған.

Аксиомалар (Z1), (Z5), (Z6) дәл осылай тексеріледі.

Нөлдің рөлін жұп ойнайды. арқылы белгілейік 0 . Шынымен,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [a+ 1,b+ 1] = [а, б].

Ақырында, -[ а, б] = [б, а]. Шынымен,

[а, б] + [б, а] = [a+b, b+a] = = 0 .

Енді кеңейту аксиомаларын тексерейік. Салынған сақинада мұндай натурал сандар болмайтынын есте ұстаған жөн, өйткені сақинаның элементтері натурал сандар жұптарының кластары болып табылады. Сондықтан натурал сандардың жарты сақинасына изоморфты субалгебраны табу қажет. Мұнда тағы да жұп ұғымы [ а, б] айырмашылық туралы не айтасыз а-б. Натурал сан nекі натурал санның айырмасы ретінде көрсетуге болады, мысалы, келесідей: n = (n+ 1) - 1. Корреспонденцияны орнату ұсынысы осыдан туындайды f: Н ® Зережеге сәйкес

f(n) = [n + 1, 1].

Бұл сәйкестік инъекциялық болып табылады:

f(n) = f(м) Þ [ n + 1, 1]= [м+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (м+ 1) n=m.

Сондықтан, бізде бір-бір хат алмасу бар Нжәне кейбір ішкі жиын З, біз онымен белгілейміз N*. Оның операцияларды сақтайтынын тексерейік:

f(n) + f(м) = [n + 1, 1]+ [м + 1, 1] = [n + м + 2, 2]= [n + м+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(м) = [n+ 1, 1]× [ м + 1, 1] = [nm+n + м + 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Осылайша, бұл анықталды N*ішінде қалыптасады ЗҚосу және көбейту амалдары бойынша изоморфты субалгебра Н

Жұпты белгілеңіз [ n+ 1, 1] бастап N* n, арқылы n а, б] бізде бар

[а, б] = [а + 1, 1] + = [а + 1, 1] – [б + 1, 1] = а – б .

Осылайша, ең соңында, жұп [ а, б] натурал сандардың айырымы ретінде. Бұл ретте құрастырылған жиынтықтан әрбір элементтің болатыны анықталды Зекі натурал санның айырмасы ретінде берілген. Бұл минималдылық аксиомасын тексеруге көмектеседі.

Болсын М -ішкі жиын З, қамтитын N*және кез келген элементтермен бірге АЖәне болардың айырмашылығы а - б. Осы жағдайда дәлелдеп көрейік M =З. Шынында да, кез келген элемент Зшарты бойынша жататын екі натурал санның айырмасы ретінде көрсетіледі Моның айырмашылығымен бірге.

2-теорема.Бүтін сандардың аксиоматикалық теориясы категориялық.

Дәлелдеу. Берілген теорияның барлық аксиомалары орындалатын кез келген екі модель изоморфты екенін дәлелдейік.

А болсын З 1 , +, ×, Н 1 c және b З 2 , +, ×, Н 2 ñ – біздің теориямыздың екі моделі. Қатаң айтқанда, олардағы амалдар әртүрлі белгілермен белгіленуі керек. Есептерді шатастыруға жол бермеу үшін біз бұл талаптан ауытқып кетеміз: қай операция туралы сөз болған сайын анық. Қарастырылып отырған үлгілерге жататын элементтер сәйкес 1 немесе 2 индекстермен қамтамасыз етіледі.

Біз бірінші модельден екіншісіне дейінгі изоморфты картаны анықтаймыз. Өйткені Н 1 және Н 2 натурал сандардың жарты сақиналары болса, бірінші жарты сақинаның j екіншіге изоморфты кескіні бар. Карталауды анықтайық f: З 1® З 2. Әрбір бүтін сан X 1 О З 1 екі натурал санның айырмасы ретінде берілген:
X 1 = а 1 – б 1 . Біз сенеміз

f (x 1) = j( а 1) – j( б 1).

Соны дәлелдеп көрейік fизоморфизм болып табылады. Карталау жақсы анықталған: егер X 1 = сағ 1 , қайда ж 1 = в 1 – г 1 , содан кейін

а 1 – б 1 = в 1 – г 1 а 1 +d 1 = б 1 + в 1 Þ j( а 1 +d 1) = j( б 1 + в 1)

Þ j( а 1) + j( г 1) = j( б 1) + j( в 1) Þ j( а 1)–j( б 1)=j( в 1) – j( г 1) f(x 1) =f (ж 1).

Демек, бұл мынадай f-бір мәнді картаға түсіру З 1 дюйм З 2. Бірақ кез келген адам үшін X 2-ден З 2 табиғи элементтерді таба алады а 2 және б 2 солай X 2 = а 2 – б 2. j - изоморфизм болғандықтан, бұл элементтердің кері бейнелері болады а 1 және б 1 . білдіреді, x 2 = j( а 1) – j( б 1) =
= f (а 1 – б 1) және әрбір элемент З 2 прототипі болып табылады. Сондықтан хат алмасу fөзара бір мағыналы. Оның операцияларды сақтайтынын тексерейік.

Егер X 1 = а 1 – б 1 , ж 1 = c 1 – д 1 , содан кейін

X 1 + ж 1 = (а 1 + в 1) – (б 1 +г 1),

f(X 1 + ж 1) = j( а 1 + в 1) – j( б 1 +г 1) =j( а 1)+ j( в 1) – j( б 1) – j( г 1) =

J( а 1) – j( б 1)+ j( в 1)– j( г 1) =f(X 1) + f(ж 1).

Сол сияқты біз көбейтудің сақталғанын тексереміз. Осылайша, бұл анықталды fизоморфизм болып табылады және теорема дәлелденді.

Жаттығулар

1. Натурал сандар жүйесі бар кез келген сақинаға бүтін сандар сақинасы да кіретінін дәлелдеңдер.

2. Бірлігі бар әрбір минималды реттелген коммутативті сақина бүтін сандар сақинасына изоморфты екенін дәлелдеңіз.

3. Бірлігі бар және нөлдік бөлгіштері жоқ әрбір реттелген сақинада бүтін сандар сақинасына изоморфты бір ғана қосалқы мүше бар екенін дәлелдеңдер.

4. Нақты сандар өрісіндегі екінші ретті матрицалық сақинада бүтін сандар сақинасына изоморфты шексіз көп ішкі сақиналар бар екенін дәлелдеңіз.

Рационал сандар өрісі

Рационал сандар жүйесін анықтау және құру бүтін сандар жүйесіне жасалғандай жүзеге асырылады.

Анықтама.Рационал сандар жүйесі – бүтін сандар сақинасының жалғасы болып табылатын минималды өріс.

Осы анықтамаға сәйкес рационал сандар жүйесінің келесі аксиоматикалық құрылысын аламыз.

Негізгі терминдер:

Qрационал сандар жиыны болып табылады;

0, 1 - тұрақтылар;

+, × қосылатын екілік амалдар Q;

З- ішкі жиын Q, бүтін сандар жиыны;

Å, Ä - екілік амалдар З.

Аксиомалар:

I. Өріс аксиомалары.

(1-тоқсан) а+ (b+c) = (a+b) + в.

(2-тоқсан) a + b = b + a.

(3-тоқсан)(" а) а + 0 = а.

(4)(" а)($(–а)) а + (–а) = 0.

(5-сұрақ) а× ( б× в) = (а× б) × в.

(6-сұрақ) а× b = b× а.

(7-сұрақ) А× 1 = А.

(8-сұрақ)(" а¹ 0)($ а –1) а × а –1 = 1.

(9-сұрақ) ( a+b) × c = a × c + b× в.

II. Кеңейту аксиомалары.

(Q10) a З, M, L, 0, 1ñ натурал сандар сақинасы болсын.

(11-тоқсан) З Í Q.

(12-сұрақ)(" а,бÎ З) a+b=aÅ б.

(13-тоқсан)(" а,бÎ З) а× b = aÄ б.

III. Минималдылық аксиомасы.

(14-тоқсан) МÍ Q, ЗÍ М, ("а, бÎ М)(б ¹ 0 ® а× б–1 О М)Þ М = Q.

Сан а× б-1 көбейтінді деп аталады АЖәне б, белгіленген а/бнемесе .

1-теорема.Әрбір рационал сан екі бүтін санның бөлімі ретінде берілген.

Дәлелдеу. Болсын М- екі бүтін санның бөлімі ретінде ұсынылатын рационал сандар жиыны. Егер nонда бүтін сан болады n = n/1 жатады М, демек, ЗÍ М. Егер а, бÎ М, Бұл a = k/l, b = m/n,Қайда k, l, m, nÎ З. Демек, а/б=
= (кн) / (лм)Î М. Аксиома бойынша (Q14) М= Q, және теорема дәлелденді.

2-теорема.Рационал сандар өрісі сызықтық және қатаң реттелген және бірегей түрде болуы мүмкін. Рационал сандар өрісіндегі реттілік архимедтік және бүтін сандар сақинасындағы тәртіпті жалғастырады.

Дәлелдеу. арқылы белгілеңіз Q+ бөлшек түрінде көрсетілетін сандар жиыны, мұндағы kl> 0. Бұл шарт санды білдіретін бөлшек түріне тәуелді емес екенін байқау қиын емес.

Соны тексеріп көрейік Q + – өрістің оң бөлігі Q. Өйткені бүтін сан үшін klүш жағдай болуы мүмкін: kl = 0, klÎ Н, –kl Î Н, онда a = үшін үш мүмкіндіктің бірін аламыз: a = 0, a Q+ , –аО Q + . Әрі қарай, егер a = болса, b = тиесілі Q+ , содан кейін kl > 0, mn> 0. Сонда a + b = , және ( кн+мл)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Демек, a + bн Q + . Бұл абн деп дәл осылай тексеруге болады Q + . Осылайша, Q + өрістің оң бөлігі болып табылады Q.

Болсын Q++ осы өрістің кейбір оң бөлігі болып табылады. Бізде бар

l =.l 2 н Q ++ .

Осы жерден НÍ Q++ . 2.3.4 теоремасы бойынша натурал сандардың кері сандары да жатады Q++ . Содан кейін Q + Í Q++ . 2.3.6 теоремасы бойынша Q + =Q++ . Демек, оң бөліктермен анықталған тәртіптер де сәйкес келеді. Q+ және Q ++ .

Өйткені З + = НÍ Q+ , содан кейін ретті енгізіңіз Qбұйрықты жалғастырады З.

Енді a => 0, b => 0 болсын. Бүтін сандар сақинасындағы реттілік архимедтік болғандықтан, оң үшін кнЖәне млтабиғи бар біргесолай бірге× кн>мл. Осы жерден бірге a = бірге>= б. Демек, рационал сандар өрісіндегі реттілік Архимедтік болып табылады.

Жаттығулар

1. Рационал сандар өрісі тығыз, яғни кез келген рационал сандар үшін екенін дәлелдеңдер а < брационалдылық бар rсолай а < r < б.

2. теңдеу екенін дәлелде X 2 = 2-де шешімдер жоқ Q.

3. Жиын екенін дәлелде Qесептелетін.

Теорема 3.Рационал сандардың аксиоматикалық теориясы сәйкес келеді.

Дәлелдеу. Рационал сандардың аксиоматикалық теориясының жүйелілігі бүтін сандар сияқты дәлелденеді. Ол үшін теорияның барлық аксиомалары орындалатын модель құрастырылады.

Негіз ретінде біз жиынтықты аламыз

З´ Z* = {(а, б)ï а, бÎ З, б ¹ 0}.

Бұл жиынның элементтері жұптар ( а, б) бүтін сандар. Мұндай жұп деп біз бүтін сандардың бөлімін айтамыз а/б. Осыған сәйкес жұптардың қасиеттерін орнатамыз.

Түсірілімде таныстырамыз З´ Z*теңдік қатынасы:

(а, б) = (в, г) Û жарнама = б.з.б.

Оның эквиваленттік қатынас екенін және теңдік деп атауға құқығы бар екенін ескереміз. Жиындардың факторлық жиыны З´ Z*осы теңдік қатынасына қатысты деп белгілейміз Q. Оның элементтері рационал сандар деп аталады. Жұпты қамтитын сынып ( а, б), [ арқылы белгіленеді а, б].

Біз құрастырылған жиынтықта таныстырамыз Qқосу және көбейту амалдары. Бұл бізге [ элементі туралы түсінік беруге көмектеседі. а, б] жеке туралы не айтасыз а/б. Осыған сәйкес анықтама бойынша біз мынаны аламыз:

[а, б] + [в, г] = [ad+bc, bd];

[а, б] × [ в, г] = [ac, bd].

Біз осы операциялардың анықтамаларының дұрыстығын тексереміз, атап айтқанда, нәтижелер элементтерді таңдауға байланысты емес. аЖәне бжұпты анықтау [ а, б]. Бұл 3.2.1 теоремасының дәлелдеуіндегідей орындалады.

Нөлдің рөлін жұп ойнайды. арқылы белгілейік 0 . Шынымен,

[а, б] + 0 = [а, б] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [а, б].

Қарама-қарсы [ а, б] жұп –[ а, б] = [–а, б]. Шынымен,

[а, б] + [–а, б]= [ab-ab, bb] = = 0 .

Бірлік жұп = 1 . Жұпқа кері [ а, б] - жұп [ б, а].

Енді кеңейту аксиомаларын тексерейік. Хат жазайық
f: З ® Qережеге сәйкес

f(n) = [n, 1].

Бұл бір-бірінің арасындағы хат алмасу екенін тексереміз Зжәне кейбір ішкі жиын Q, біз онымен белгілейміз Z*. Біз одан әрі оның операцияларды сақтайтынын тексереміз, демек, ол арасында изоморфизм орнатады Зжәне субринг Z*В Q. Осылайша, кеңейту аксиомалары тексерілді.

Жұпты белгілеңіз [ n, 1] бастап Z*натурал санға сәйкес келеді n, арқылы n . Содан кейін ерікті жұп үшін [ а, б] бізде бар

[а, б] = [а, 1] × = [ а, 1] / [б, 1] = а /б .

Бұл жұп тұжырымдамасын негіздейді [ а, б] бүтін сандардың бөлімі туралы. Бұл ретте құрастырылған жиынтықтан әрбір элементтің болатыны анықталды Qекі бүтін санның бөлімі ретінде берілген. Бұл минималдылық аксиомасын тексеруге көмектеседі. Тексеру 3.2.1 теоремадағыдай жүргізіледі.

Осылайша, салынған жүйе үшін Qбүтін сандар теориясының барлық аксиомалары қанағаттандырылды, яғни біз бұл теорияның моделін құрдық. Теорема дәлелденді.

Теорема 4.Рационал сандардың аксиоматикалық теориясы категориялық.

Дәлелдеу 3.2.2 теоремасының дәлелдеуіне ұқсас.

5-теорема.Архимед ретті өріс рационал сандар өрісінің кеңейтімі болып табылады.

Дәлел жаттығу ретінде.

Теорема 6.Болсын ФАрхимедтік реттелген өріс, а > б,Қайда а, бÎ Ф. н рационал саны бар Фсолай а > > б.

Дәлелдеу. Болсын а > б³ 0. Содан кейін а-б> 0 және ( а-б) –1 > 0. Табиғи бар Тсолай м×1 > ( а-б) –1 , қайдан м –1 < а-б £ А. Бұдан басқа, табиғи бар ксолай к× м-1³ а. Болсын к – ең кіші санол үшін бұл теңсіздік орындалады. Өйткені к> 1, содан кейін қоюға болады k = n + 1, n Î Н. Бола тұра
(n+ 1)× м-1³ а, n× м –1 < а. Егер n× м-1 £ б, Бұл а = б + (а-б) > б+м-1³ n× м –1 + м –1 =
= (n+ 1)× м-1. Қарама-қайшылық. білдіреді, а >n× м –1 > б.

Жаттығулар

4. Бүтін сандар сақинасы бар кез келген өріске рационал сандар өрісі де кіретінін дәлелдеңіз.

5. Әрбір минималды реттелген өріс рационал сандар өрісіне изоморфты екенін дәлелдеңіз.

Нақты сандар