Рационалды санау деген нені білдіреді. Рационал сандар, анықтамасы, мысалдары. Рационал сандардың анықтамасы және мысалдары

Бұл мақалада біз зерттеуді бастаймыз рационал сандар. Мұнда рационал сандарға анықтамалар беріп, қажетті түсініктемелер беріп, рационал сандарға мысалдар келтіреміз. Осыдан кейін біз берілген санның рационал немесе дұрыс емес екенін қалай анықтауға болатынына тоқталамыз.

Бетті шарлау.

Рационал сандардың анықтамасы және мысалдары

Бұл бөлімде біз рационал сандарға бірнеше анықтамалар береміз. Мәтіндегі айырмашылықтарға қарамастан, бұл анықтамалардың барлығы бірдей мағынаға ие: бүтін сандар натурал сандарды, олардың қарама-қарсы сандарын және нөл санын біріктіретіні сияқты, рационал сандар бүтін және бөлшек сандарды біріктіреді. Басқаша айтқанда, рационал сандар және бүтін сандарды жалпылайды бөлшек сандар.

бастайық рационал сандар анықтамаларыбұл ең табиғи болып қабылданады.

Дыбысты анықтамадан рационал сан мынау шығады:

Кез келген натурал сан n. Шынында да, кез келген натурал санды жай бөлшек түрінде беруге болады, мысалы, 3=3/1.
Кез келген бүтін сан, атап айтқанда нөл саны. Шынында да, кез келген бүтін санды не оң жай бөлшек, не теріс жай бөлшек немесе нөл түрінде жазуға болады. Мысалы, 26=26/1 , .
Кез келген жай бөлшек (оң немесе теріс). Бұл рационал сандардың берілген анықтамасымен тікелей айтылады.
Кез келген аралас сан. Шынында да, аралас санды бұрыс жай бөлшек ретінде көрсету әрқашан мүмкін. Мысалы, және .
Кез келген ақырлы ондық немесе шексіз периодты бөлшек. Бұл көрсетілген ондық бөлшектер жай бөлшектерге түрленетіндіктен солай. Мысалы, , және 0,(3)=1/3 .

Сондай-ақ кез келген шексіз қайталанбайтын ондық рационал сан ЕМЕС екені анық, өйткені оны жай бөлшек түрінде көрсетуге болмайды.

Енді біз оңай әкеле аламыз рационал сандарға мысалдар. 4, 903, 100,321 сандары натурал сандар болғандықтан рационал сандар. 58 , −72 , 0 , −833 333 333 бүтін сандары да рационал сандарға мысал бола алады. 4/9, 99/3 жай бөлшектер де рационал сандарға мысал бола алады. Рационал сандар да сандар болып табылады.

Жоғарыда келтірілген мысалдар оң және теріс рационал сандар бар екенін және нөлдік рационал сан оң да, теріс те емес екенін көрсетеді.

Жоғарыда келтірілген рационал сандар анықтамасын қысқаша түрде тұжырымдауға болады.

Анықтама.

Рационал сандар z/n бөлшек түрінде жазылатын сандарды шақырыңыз, мұндағы z – бүтін сан, n – натурал сан.

Рационал сандардың бұл анықтамасы алдыңғы анықтамаға тең екенін дәлелдейміз. Бөлшектің жолағын бөлу белгісі ретінде қарастыруға болатынын білеміз, онда бүтін сандарды бөлудің қасиеттерінен және бүтін сандарды бөлу ережелерінен келесі теңдіктер және келесі теңдіктер шығатынын білеміз. Демек, бұл дәлел.

негізделген рационал сандарға мысалдар келтірейік бұл анықтама. −5 , 0 , 3 және сандары рационал сандар болып табылады, өйткені оларды сәйкесінше бүтін алымы және түрінің натурал бөлімі бар бөлшек түрінде жазуға болады.

Рационал сандардың анықтамасын келесі тұжырымда да беруге болады.

Анықтама.

Рационал сандарАқырлы немесе шексіз периодты ондық бөлшек түрінде жазылатын сандар.

Бұл анықтама бірінші анықтамаға да баламалы, өйткені кез келген жай бөлшек ақырлы немесе периодты ондық бөлшекке және керісінше сәйкес келеді және кез келген бүтін санды байланыстыруға болады. ондықондық бөлшектен кейін нөлдермен.

Мысалы, 5 , 0 , −13 сандары рационал сандарға мысал бола алады, өйткені оларды келесі ондық бөлшектер ретінде жазуға болады 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 және −7,(18) .

Бұл бөлімнің теориясын келесі тұжырымдармен аяқтаймыз:

бүтін және бөлшек сандар (оң және теріс) рационал сандар жиынын құрайды;
әрбір рационал санды бүтін алымы және натурал бөлімі бар бөлшек түрінде көрсетуге болады, ал мұндай әрбір бөлшек рационал сан болып табылады;
әрбір рационал санды ақырлы немесе шексіз периодты ондық бөлшек ретінде көрсетуге болады, және әрбір мұндай бөлшек қандай да бір рационал санды білдіреді.

Бұл сан ұтымды ма?

Алдыңғы абзацта біз кез келген натурал сан, кез келген бүтін сан, кез келген жай бөлшек, кез келген аралас сан, кез келген соңғы ондық бөлшек, сондай-ақ кез келген периодты ондық бөлшек рационал сан екенін анықтадық. Бұл білім бізге жазылған сандар жиынынан рационал сандарды «тануға» мүмкіндік береді.

Бірақ егер сан some , немесе , т.б. түрінде берілсе ше, сұраққа қалай жауап беруге болады, берілген сан рационалды ма? Көп жағдайда оған жауап беру өте қиын. Ойлаудың кейбір бағыттарын атап өтейік.

Егер сан тек рационал сандар мен арифметикалық белгілерін (+, −, · және:) қамтитын сандық өрнек ретінде көрсетілсе, онда бұл өрнектің мәні рационал сан болады. Бұл рационал сандарға амалдар қалай анықталғанынан туындайды. Мысалы, өрнектегі барлық амалдарды орындағаннан кейін 18 рационал санын аламыз.

Кейде өрнектерді ықшамдағаннан кейін және одан да күрделі формадан кейін берілген санның рационал екенін анықтау мүмкін болады.

Әрі қарай жүрейік. 2 саны рационал сан, өйткені кез келген натурал сан рационал. Сан ше? Бұл рационалды ма? Жоқ – бұл рационал сан емес, иррационал сан (бұл фактіні қарама-қайшылықпен дәлелдеу төменде әдебиеттер тізімінде көрсетілген 8-сыныпқа арналған алгебра оқулығында келтірілген). Бұл да дәлелденді Шаршы түбірнатурал саннан түбір қандай да бір натурал санның толық квадраты болатын сан болған жағдайда ғана рационал сан болады. Мысалы, және олар рационал сандар, өйткені 81=9 2 және 1024=32 2 , ал және сандары рационал емес, өйткені 7 және 199 сандары натурал сандардың толық квадраттары емес.

Сан рационалды ма, жоқ па? Бұл жағдайда бұл санның ұтымды екенін байқау қиын емес. Сан рационалды ма? Түбір таңбасының астындағы сан қандай да бір бүтін санның k-ші дәрежесі болса ғана бүтін санның k-ші түбірі рационал сан болатыны дәлелденді. Демек, бұл рационал сан емес, өйткені бесінші дәрежесі 121 болатын бүтін сан жоқ.

Қайшылық әдісі кейбір сандардың логарифмдері қандай да бір себептермен рационал сандар емес екенін дәлелдеуге мүмкіндік береді. Мысалы, - рационал сан емес екенін дәлелдеп көрейік.

Қарама-қарсы, яғни бұл рационал сан және жай бөлшек m/n түрінде жазылуы мүмкін делік. Содан кейін және келесі теңдіктерді беріңіз: . Соңғы теңдік мүмкін емес, өйткені оның сол жағында бар Жоқ жұп сан 5 n, ал оң жағында жұп саны 2 м. Сондықтан біздің болжамымыз қате, сондықтан рационал сан емес.

Қорытындылай келе, сандардың ұтымдылығын немесе иррационалдығын нақтылау кезінде кенеттен қорытынды жасаудан аулақ болу керек екенін атап өткен жөн.

Мысалы, иррационал π және e сандарының көбейтіндісі иррационал сан деп бірден айтудың қажеті жоқ, бұл «айқын сияқты», бірақ дәлелденбеген. Бұл сұрақ туындайды: «Неліктен өнім рационал сан болады?» Ал неге болмасқа, өйткені көбейтіндісі рационал санды беретін иррационал сандарға мысал келтіруге болады:.

Сандар мен басқа да көптеген сандар рационалды ма, жоқ па, ол да белгісіз. Мысалы, бар иррационал сандар, оның иррационал дәрежесі рационал сан. Түсіндіру үшін , түрінің дәрежесін берейік, бұл дәреженің негізі мен көрсеткіші рационал сандар емес, , ал 3 - рационал сан.

Әдебиеттер тізімі.

Математика. 6-сынып: оқулық. жалпы білім беруге арналған мекемелер / [Н. Я.Виленкин және т.б.]. - 22-ші басылым, Аян. - М.: Мнемосине, 2008. - 288 б.: ауру. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:оқулық 8 ұяшық үшін. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 16-шы басылым. - М. : Білім, 2008. - 271 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (техникалық оқу орындарына түсушілерге арналған оқу құралы): Прок. жәрдемақы.- М.; Жоғарырақ мектеп, 1984.-351 б., сырқат.

Есептеуіш автоматтандыру құралдарының қазіргі даму деңгейі көптеген адамдар үшін есептеу дағдыларын дамыту мүлдем қажет емес деген елес тудырды. Бұл оқушылардың дайындығына әсер етті. Калькулятор болмаған кезде қарапайым есептеу тапсырмалары да көпшілік үшін қиындыққа айналады.

Сонымен бірге емтихан тапсырмалары мен емтиханға арналған материалдарда көптеген тапсырмалар бар, оларды шешу тест субъектілерінің есептеулерді ұтымды ұйымдастыра білуін талап етеді.

Бұл мақалада біз есептеулерді оңтайландырудың кейбір әдістерін және оларды бәсекелестік тапсырмалар үшін қолдануды қарастырамыз.

Көбінесе есептеулерді оңтайландыру әдістері арифметикалық амалдарды орындаудың негізгі заңдарын қолданумен байланысты.

Мысалы:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; немесе

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 т.б.

Басқа бағыт – қысқартылған көбейту формулаларын қолдану.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) \u003d 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; немесе

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Келесі мысал есептеулер үшін қызықты.

Есептеу:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Бұл есептеулерді оңтайландырудың стандартты тәсілдері дерлік. Кейде одан да экзотикалық нұсқалар ұсынылады. Мысал ретінде бірліктерінің қосындысы 10-ға тең екі таңбалы сандарды көбейту әдісін қарастырайық.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 немесе

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741.

Көбейту схемасын суреттен түсінуге болады.

Мұндай көбейту схемасы қайдан келеді?

Шарт бойынша сандарымыздың пішіні бар: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Жұмыс жасайық:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10м) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) және әдіс негізделген.

Күрделі есептеулерді психикалық мәселелерге айналдырудың көптеген тапқыр жолдары бар. Бірақ сіз мұны және есептеулерді жеңілдетудің басқа да тапқыр тәсілдерін әркім есте сақтауы керек деп ойлай алмайсыз. Негізгілердің кейбірін үйрену ғана маңызды. Басқаларды талдау негізгі әдістерді қолдану дағдыларын дамыту үшін ғана мағынасы бар. Есептеу есептерін тез және дұрыс шешуге мүмкіндік беретін олардың шығармашылық қолдануы.

Кейде есептеуге арналған мысалдарды шешу кезінде өрнекті сандармен түрлендіруден көпмүшелерді түрлендіруге көшу ыңғайлы. Келесі мысалды қарастырайық.

Ең ұтымды түрде есептеңіз:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Шешім.

a = 1/117 және b = 1/119 болсын. Сонда 3 1/117 = 3 + а, 4 1/119 = 4 + b, 1 116/117 = 2 - а, 5 118/119 = 6 - б.

Сонымен, берілген өрнекті (3 + а) (4 + б) - (2 - а) (6 - ә) - 5б түрінде жазуға болады.

Көпмүшені қарапайым түрлендірулерді орындағаннан кейін 10a немесе 10/117 аламыз.

Мұнда біз өрнектің мәні b-ге тәуелді емес екеніне қол жеткіздік. Және бұл дегеніміз, біз тек осы өрнектің мәнін ғана емес, сонымен қатар (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b мәнінен алынған кез келген басқа мәндерді a және b. Егер, мысалы, a = 5/329 болса, онда жауапта біз аламыз 50 / 329 , кез келген b.

Басқа мысалды қарастырайық, оны калькулятормен шешу мүмкін емес, егер сіз осы типтегі мысалдарды шешу тәсілін білсеңіз, жауап өте қарапайым.

Есептеу

1 / 6 7 1024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ( 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Шешім.

Шартты түрлендірейік

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Мысалдардың бірін қарастырайық, ол қазірдің өзінде болды негізгі мектеп курсының емтихан материалдарында оқулық.

Қосындыны есептеңіз:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Яғни, әрбір бөлшекті екі бөлшектің айырмасымен ауыстыру әдісі бұл мәселені шешуге мүмкіндік берді. Қосынды бірінші және соңғы сандардан басқасының барлығына қарама-қарсы сандардың жұптары болып шықты.

Бірақ бұл мысалды жалпылауға болады. Қосындыны қарастырыңыз:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n + () м – 1)k) (n + mk))

Ол үшін алдыңғы мысалда орындалған дәлелдердің бәрі жарамды. Әрине:

1/n – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) т.б.

Содан кейін жауапты сол схема бойынша құрастырамыз: 1/n – 1/(n + мк) = мк/(n (n + мк))

Және «ұзын» сомалар туралы толығырақ.

Сома

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

Бөлгіші 1/2 және бірінші мүшесі 1 болатын геометриялық прогрессияның 11 мүшесінің қосындысы ретінде есептеуге болады. Бірақ сол қосындыны прогрессия туралы түсінігі жоқ 5-сынып оқушысы да есептей алады. Ол үшін X қосындысына қосатын санды сәтті таңдау жеткілікті. Бұл сан мұнда 1/1024 болады.

Есептеу

X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1) /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Енді X = 2 екені анық – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Екінші әдіс кем емес перспективалы. Оның көмегімен сіз соманы есептей аласыз:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Мұндағы «бақытты» сан 11. Оны S-ке қосып, оны барлық 11 мүшенің арасында біркелкі таратыңыз. Содан кейін олардың әрқайсысы 1 алады. Сонда бізде:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Демек, S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Ертеде есептеу жүйесі әлі ойлап табылмаған кезде адамдар барлығын саусақпен санайтын. Арифметика мен математика негіздерінің пайда болуымен тауарлардың, бұйымдардың және тұрмыстық заттардың есебін жүргізу әлдеқайда жеңіл және практикалық болды. Дегенмен, ол қандай көрінеді заманауи жүйеесептеу: бар сандар қандай түрлерге бөлінеді және «сандардың рационал түрі» нені білдіреді? Оны анықтап көрейік.

Математикада сандардың неше түрі бар?

«Сан» ұғымының өзі оның сандық, салыстырмалы немесе реттік көрсеткіштерін сипаттайтын кез келген объектінің белгілі бір бірлігін білдіреді. Белгілі бір заттардың санын дұрыс есептеу немесе сандармен белгілі бір математикалық операцияларды орындау (қосу, көбейту және т.б.) үшін ең алдымен сол сандардың сорттарымен танысу керек.

Осылайша, бар сандарды келесі санаттарға бөлуге болады:

Натурал сандар дегеніміз - біз объектілердің санын есептейтін сандар (ең кіші натурал сан 1, натурал сандар қатарының шексіз болуы қисынды, яғни ең үлкен натурал сан жоқ). Натурал сандар жиыны әдетте N әрпімен белгіленеді.
Бүтін сандар. Бұл жиынтыққа барлығы кіреді, ал қосылған кезде және теріс мәндер, оның ішінде «нөл» саны. Бүтін сандар жиынының белгіленуі латынның Z әрпі түрінде жазылады.
Рационал сандар деп ойша бөлшекке түрлендіруге болатын сандарды айтады, олардың алымы бүтін сандар жиынына, ал бөлгіші натурал сандарға жатады. Төменде біз «рационал сан» нені білдіретінін толығырақ талдап, бірнеше мысал келтіреміз.
- барлық рационалды қамтитын жиын және Бұл жиын R әрпімен белгіленеді.
Күрделі сандар нақтының бір бөлігін және айнымалының бір бөлігін қамтиды. Олар әртүрлі кубтық теңдеулерді шешуде қолданылады, олар өз кезегінде формулаларда теріс өрнекке ие болуы мүмкін (i 2 = -1).

«Рационалды» деген нені білдіреді: біз оны мысалдармен талдаймыз

Егер жай бөлшек ретінде көрсетуге болатын сандар рационал деп есептелсе, онда барлық оң және теріс бүтін сандар да рационалдар жиынына кіреді екен. Өйткені, кез келген бүтін сан, мысалы, 3 немесе 15, бөлшек ретінде ұсынылуы мүмкін, онда бөлгіш бір болады.

Бөлшектер: -9/3; 7/5, 6/55 рационал сандарға мысал бола алады.

«Рационалды өрнек» нені білдіреді?

Ілгері жүру. Сандардың рационал формасы нені білдіретінін біз жоғарыда талқыладық. Енді елестетіп көрейік математикалық өрнек, ол әртүрлі сандар мен айнымалылардың қосындысынан, айырмасынан, көбейтіндісі немесе бөлімінен тұрады. Мысал келтірейік: алымында екі немесе одан да көп бүтін сандардың қосындысы болатын бөлшек, ал бөлгіште бүтін сан да, кейбір айнымалы да болады. Дәл осы өрнек рационал деп аталады. «Нөлге бөлуге болмайды» ережесіне сүйене отырып, бұл айнымалының мәні бөлгіштің мәні нөлге айналатындай болуы мүмкін емес деп болжауға болады. Сондықтан рационал өрнекті шешкенде алдымен айнымалының ауқымын анықтау керек. Мысалы, егер бөлгіште келесі өрнек болса: x+5-2, онда «x» -3-ке тең бола алмайды. Шынында да, бұл жағдайда бүкіл өрнек нөлге айналады, сондықтан шешу кезінде осы айнымалы үшін -3 бүтін санын алып тастау керек.

Рационал теңдеулерді қалай дұрыс шешуге болады?

Рационалды өрнектерде біршама болуы мүмкін көп санысандар және тіпті 2 айнымалы, сондықтан кейде олардың шешімі қиынға соғады. Мұндай өрнектің шешімін жеңілдету үшін белгілі бір операцияларды рационалды түрде орындау ұсынылады. Сонымен, «рационалды түрде» нені білдіреді және шешім қабылдау кезінде қандай ережелерді қолдану керек?

Бірінші түрі, өрнекті жеңілдету жеткілікті болған кезде. Ол үшін алым мен бөлгішті азайтылмайтын мәнге келтіру операциясына жүгінуге болады. Мысалы, егер алым құрамында 18x өрнегі, ал бөлгіш 9x болса, онда екі көрсеткішті де 9x кемітсек, 2-ге тең бүтін санды аламыз.
Екінші әдіс алымдағы мономдық және бөлгіштегі көпмүшелік болған кезде практикалық. Мысалды қарастырайық: алымдағы бізде 5х, ал бөлгіште - 5x + 20x 2 . Бұл жағдайда бөлгіштегі айнымалыны жақшаның ішінен алған дұрыс, азайғыштың келесі түрін аламыз: 5x(1+4x). Ал енді сіз бірінші ережені қолданып, алым мен бөлгіште 5 есе азайту арқылы өрнекті жеңілдете аласыз. Нәтижесінде 1/1+4х түрінің бөлігін аламыз.

Рационал сандармен қандай амалдарды орындауға болады?

Рационал сандар жиынының өзіне тән бірқатар ерекшеліктері бар. Олардың көпшілігі бүтін және натурал сандарда болатын сипаттамаға өте ұқсас, өйткені соңғысы әрқашан рационал жиынға кіреді. Мұнда рационал сандардың бірнеше қасиеттері берілген, олардың қайсысын біле отырып, кез келген рационал өрнекті оңай шешуге болады.

Ауыстыру қасиеті екі немесе одан да көп сандарды олардың ретіне қарамастан қосуға мүмкіндік береді. Қарапайым сөзбен айтқанда, қосынды терминдердің орындарын өзгертуден өзгермейді.
Бөлу қасиеті дистрибутивтік заңның көмегімен есептерді шешуге мүмкіндік береді.
Соңында қосу және азайту амалдары.

Тіпті мектеп оқушылары «рационал сандар» нені білдіретінін және мұндай өрнектерге негізделген есептерді қалай шығару керектігін біледі, сондықтан ересек адам білімді адамкем дегенде рационал сандар жиынының негіздерін есте сақтау керек.

Кожинова Анастасия

МУНИЦИПАЛДЫҚ ТИПТІ ЕМЕС БЮДЖЕТ

ЖАЛПЫ БІЛІМ БЕРУ МЕКЕМЕСІ

«№76 лицей»

РАЦИОНАЛДЫ САНАУДЫҢ СЫРЫ НЕДЕ?

Орындаған:

5 «Б» сынып оқушысы

Кожинова Анастасия

Жетекші:

Математика мұғалімі

Шиклина Татьяна

Николаевна

Новокузнецк 2013 ж

Кіріспе……………………………………………………… 3

Негізгі бөлім………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5-13

Қорытынды және қорытынды ...................................................................................................... 13-14

Әдебиеттер……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….

Қолданбалар…………………………………………………… 16-31

I. Кіріспе

Мәселе: сандық өрнектердің мәндерін табу

Жұмыс мақсаты:рационалды санаудың қолданыстағы әдістері мен тәсілдерін іздеу, зерттеу, оларды тәжірибеде қолдану.

Тапсырмалар:

1. Параллель сыныптар арасында сауалнама түріндегі шағын сауалнама жүргізу.

2. Зерттеу тақырыбы бойынша талдау: мектеп кітапханасында бар әдебиеттер, 5-сыныпқа арналған математика оқулығындағы, интернеттегі мәліметтер.

3. Ең көп таңдаңыз тиімді әдістержәне ұтымды есеп құралдары.

4. Қолданыстағы жылдам ауызша және жазбаша санау әдістерінің классификациясын жүргізу.

5. Параллельді 5 сыныпта қолдану үшін ұтымды санау әдістерін қамтитын жадынамалар жасаңыз.

Зерттеу объектісі: ұтымды есеп.

Зерттеу пәні: рационал санау тәсілдері.

Тиімділік үшін зерттеу жұмысыКелесі әдіс-тәсілдерді қолдандым: әртүрлі ресурстардан алынған ақпаратты талдау, синтездеу, жалпылау; сауалнама түрінде сауалнама жүргізу. Сауалнаманы зерттеудің мақсаты мен міндеттеріне, респонденттердің жас ерекшеліктеріне сәйкес әзірледім және жұмыстың негізгі бөлігінде ұсынылған.

Ғылыми-зерттеу жұмысының барысында ұтымды санаудың әдістері мен тәсілдеріне қатысты мәселелер қарастырылып, есептеу дағдыларына байланысты мәселелерді жою, есептеу мәдениетін қалыптастыру бойынша ұсыныстар берілді.

II. Негізгі бөлім

Оқушылардың есептеу мәдениетін қалыптастыру

5-6 сыныптар.

Рационалды санау әдістері әр адамның өміріндегі есептеу мәдениетінің қажетті элементі болып табылатыны, ең алдымен практикалық маңыздылығымен және студенттерге әр сабақта дерлік қажет екені анық.

Есептеу мәдениеті математика және т.б. оқудың негізі болып табылады академиялық пәндер, өйткені есептеулер есте сақтауды, зейінді белсендіретінінен басқа, іс-әрекетті ұтымды ұйымдастыруға көмектеседі және адамның дамуына айтарлықтай әсер етеді.

IN Күнделікті өмір, қосулы тренинг сабақтарыӘрбір минут бағаланғанда ауызша және жазбаша есептерді қатесіз және қосымша есептеу құралдарын қолданбай тез және ұтымды жүргізу өте маңызды.

Біз, мектеп оқушылары, бұл мәселемен барлық жерде: сыныпта, үйде, дүкенде және т.б. Сонымен қатар, 9 және 11-сыныптардан кейін біз микрокалькуляторды пайдалануға рұқсат етілмейтін ІГА және Бірыңғай мемлекеттік емтихан түрінде емтихан тапсыруымыз керек. Сондықтан әрбір адамда есептеу мәдениетін қалыптастыру мәселесі, оның элементі рационалды санау әдістерін меңгеру өте маңызды болып табылады.

Әсіресе ұтымды санау әдістерін меңгеру қажет.

математика, тарих, технология, информатика және т.б. пәндерді оқуда, яғни ұтымды санау сабақтас пәндерді меңгеруге, оқытылатын материалды өмірлік жағдаяттарда жақсы бағдарлауға көмектеседі. Сонымен, біз не күтіп отырмыз? Рационал санау әдістерінің құпиялары әлеміне барайық!!!

Есептеуді орындаған кезде оқушылар қандай қиындықтарға тап болады?

Көбінесе менің жасымдағы құрдастар есептеулерді жылдам және ыңғайлы түрде орындау қажет болатын әртүрлі тапсырмаларды орындау кезінде қиындықтарға тап болады. . Неге???

Міне, кейбір болжамдар:

1. Оқушы оқылған тақырыпты жақсы меңгермеген

2. Оқушы материалды қайталамайды

3. Оқушының есептеу дағдылары нашар

4. Студент бұл тақырыпты оқығысы келмейді

5. Студент оның өзіне пайдасы жоқ деп санайды.

Мен бұл болжамдардың барлығын өз тәжірибемнен және сыныптастарым мен құрдастарымның тәжірибесінен алдым. Дегенмен, ұтымды санау дағдылары есептеу жаттығуларында маңызды рөл атқарады, сондықтан мен ұтымды санаудың кейбір әдістерін зерттедім, қолдандым және ұсынғым келеді.

Ауызша және жазбаша есептеулердің рационалды әдістері.

Жұмыста да, үйде де үнемі қажеттілік бар әртүрлі түріесептеу. Ой санаудың қарапайым әдістерін қолдану шаршауды азайтады, зейін мен есте сақтау қабілетін дамытады. Рационалды есептеу әдістерін қолдану еңбекті, есептеулердің дәлдігін және жылдамдығын арттыру үшін қажет. Есептердің жылдамдығы мен дәлдігіне есептеулерді механикаландырудың әдістері мен құралдарын ұтымды пайдалану, сонымен қатар ой санау әдістерін дұрыс қолдану арқылы ғана қол жеткізуге болады.

I. Сандарды қосудың жеңілдетілген әдістері

Есептеулерді жылдамдатуға мүмкіндік беретін төрт қосу әдісі бар.

Тізбекті разрядтық қосу әдісі ойша есептеулерде қолданылады, өйткені ол терминдердің қосындысын жеңілдетеді және тездетеді. Бұл әдісті пайдаланған кезде қосу ең жоғары цифрлардан басталады: бірінші қосылғышқа екінші мүшенің сәйкес цифрлары қосылады.

Мысал. 5287 және 3564 сандарының қосындысын тізбектей разрядтық қосу әдісі арқылы табайық.

Шешім. Біз келесі ретпен есептейміз:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Жауабы: 8 851

Тізбекті биттік қосудың тағы бір жолы бірінші қосылғыштың ең жоғарғы разрядына екінші қосылғыштың ең жоғарғы разряды, одан кейін екінші қосылғыштың келесі цифры бірінші қосылғыштың келесі цифрына қосылады және т.б.

Келтірілген мысалда бұл шешімді қарастырайық, біз мынаны аламыз:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Жауабы: 8851.

дөңгелек сандар әдісі . Бір маңызды цифры бар және бір немесе бірнеше нөлмен аяқталатын сан дөңгелек сан деп аталады. Бұл әдіс дөңгелек санға дейін аяқталатын екі немесе одан да көп терминдерді таңдауға болатын кезде қолданылады. Дөңгелек сан мен есеп шартында көрсетілген санның айырмасы толықтауыш деп аталады. Мысалы, 1000 - 978 = 22. Бұл жағдайда 22 саны 978 санының 1000-ға арифметикалық қосындысы болып табылады.

Дөңгелек сандар әдісімен қосу үшін дөңгелек сандарға жақын бір немесе бірнеше мүшелерді дөңгелектеу, дөңгелек сандарды қосу және алынған қосындыдан арифметикалық қосуларды азайту керек.

Мысал. Дөңгелек сан әдісі арқылы 1238 және 193 сандарының қосындысын табу.

Шешім. 193 санын 200-ге дейін дөңгелектеп, келесідей қосыңыз: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (ассоциативті заң)

Терминдерді топтастыру әдісі . Бұл әдіс терминдер топтастырылған кезде дөңгелек сандарды бергенде қолданылады, содан кейін олар біріктіріледі.

Мысал. 74, 32, 67, 48, 33 және 26 сандарының қосындысын табыңыз.

Шешім. Төмендегідей топтастырылған сандарды қосайық: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(ассоциативті орын ауыстыру заңы)

немесе сандарды топтаған кезде бірдей қосындылар шығады:

Мысалы: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(ассоциативті орын ауыстыру заңы)

II. Сандарды оңайлатылған азайту әдістері

Тізбекті разрядтық алу әдісі. Бұл әдіс азайтылған саннан шегерілген әрбір санды ретімен алып тастайды. Ол сандарды дөңгелектеу мүмкін болмаған кезде қолданылады.

Мысал. 721 мен 398 сандарының айырмасын табыңыз.

Шешім. Берілген сандардың айырмасын табу үшін келесі реттілікпен әрекеттерді орындайық:

398 санын қосынды түрінде көрсетіңіз: 300 + 90 + 8 = 398;

биттік алуды орындаңыз:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

дөңгелек сандар әдісі . Бұл әдіс шегерім дөңгелек санға жақын болғанда қолданылады. Есептеу үшін дөңгелек сан ретінде алынған азайтуды азайтылғаннан алып, алынған айырмаға арифметикалық қосуды қосу керек.

Мысал. Дөңгелек сан әдісі арқылы 235 пен 197 сандарының айырмасын есептейік.

Шешім. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Сандарды оңайлатылған көбейту техникасы

Бірден кейін нөлге көбейту. Санды бірлігінен кейін нөлдер (10; 100; 1000, т.б.) қамтитын санға көбейткенде, оған бірліктен кейінгі көбейткіште қанша нөл болса, оның оң жағында сонша нөл тағайындалады.

Мысал. 568 және 100 сандарының көбейтіндісін табыңыз.

Шешім. 568 x 100 = 56 800.

разрядтық көбейту әдісі . Бұл әдіс санды кез келген бір таңбалы санға көбейту кезінде қолданылады. Егер екі таңбалы (үш, төрт таңбалы және т.б.) санды бір таңбалыға көбейту керек болса, онда алдымен бір таңбалы көбейткіш басқа ондаған көбейткіштерге, содан кейін оның бірліктеріне және алынған нәтижеге көбейтіледі. өнімдері қорытындыланады.

Мысал. 39 және 7 сандарының көбейтіндісін табыңыз.

Шешім. 39 x 7 \u003d (30 + 9) x 7 \u003d (30 x 7) + (9 x 7) \u003d 210 + 63 \u003d 273. (қосуға қатысты көбейтудің үлестірім заңы)

дөңгелек сандар әдісі . Бұл әдіс факторлардың бірі дөңгелек санға жақын болғанда ғана қолданылады. Көбейткіш дөңгелек санға, содан кейін арифметикалық қосуға көбейтіледі, ал соңында бірінші көбейтіндіден екіншісі алынып тасталады.

Мысал. 174 және 69 сандарының көбейтіндісін табыңыз.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (алуға қатысты көбейтудің үлестірім заңы)

Факторлардың бірін кеңейту тәсілі. Бұл әдісте факторлардың бірін алдымен бөліктерге (терминдерге) ыдыратады, содан кейін екінші көбейткішті бірінші көбейткіштің әрбір бөлігіне кезекпен көбейтіп, алынған өнімдерді қорытындылайды.

Мысал. 13 және 325 сандарының көбейтіндісін табыңыз.

13 санын мүшелерге бөлейік: 13 \u003d 10 + 3. Алынған мүшелердің әрқайсысын 325-ке көбейтейік: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975. Алынған көбейтінділерді қорытындылау: 3250 + 975 = 4225

Рационалды ой санау дағдыларын меңгеру жұмысыңызды тиімдірек етеді. Бұл жоғарыда аталған барлық арифметикалық амалдарды жақсы меңгергенде ғана мүмкін болады. Санақтың ұтымды әдістерін қолдану есептеулерді жылдамдатады және қажетті дәлдікті қамтамасыз етеді. Бірақ тек есептей білу ғана емес, көбейту кестесін, арифметикалық амалдардың заңдылықтарын, кластар мен цифрларды білу керек.

Ауызша тез және ұтымды санауға мүмкіндік беретін ой санау жүйелері бар. Біз ең жиі қолданылатын әдістердің кейбірін қарастырамыз.

Екі таңбалы санды 11-ге көбейту.

Біз бұл әдісті зерттедік, бірақ соңына дейін зерттеген жоқпыз. бұл әдістің құпиясы - оны арифметикалық амалдардың заңдары деп санауға болады.

Мысалдар:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (қосуға қатысты көбейтудің үлестірім заңы)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (тарату заңы және дөңгелек сандар әдісі)

Біз бұл әдісті зерттедік, бірақ басқасын білмедік. Екі таңбалы сандарды 11-ге көбейтудің құпиясы.

Екі таңбалы сандарды 11-ге көбейту кезінде алынған нәтижелерді бақылай отырып, жауапты ыңғайлы түрде алуға болатынын байқадым. : екі таңбалы санды 11-ге көбейткенде бұл санның цифрлары бір-бірінен алыстап, осы цифрлардың қосындысы ортаға қойылады.

а) 23 11=253, 2+3=5 болғандықтан;

ә) 45 11=495, өйткені 4+5=9;

в) 57 11=627, өйткені 5+7=12, ортаға екі қойылып, жүздіктерге бір қосылды;

г) 78 11=858, 7+8=15 болғандықтан, онда ондықтар саны 5-ке, ал жүздіктер саны бірге артып, 8-ге тең болады.

Мен бұл әдістің растауын Интернетте таптым.

2) Ондықтар саны бірдей және бірліктерінің қосындысы 10-ға тең екі таңбалы сандардың көбейтіндісі, яғни 23 27; 34 36; 52 58 т.б.

ереже: ондық цифры натурал қатардағы келесі цифрға көбейтіледі, нәтиже жазылады және оған бірліктердің көбейтіндісі жатады.

а) 23 27 = 621. 621-ді қалай алдыңыз? Біз 2 санын 3-ке көбейтеміз («екіден» кейін «үш»), ол 6 болады, содан кейін бірліктердің көбейтіндісін жатқызамыз: 3 7 \u003d 21, ол 621 болып шығады.

ә) 34 36 = 1224, 3 4 = 12 болғандықтан, 12 санына 24-ті жатқызамыз, бұл осы сандардың бірліктерінің көбейтіндісі: 4 6.

в) 52 58 \u003d 3016, біз ондықтар санын 5-ке 6-ға көбейткенде, ол 30 болады, біз 2 мен 8 көбейтіндісін жатқызамыз, яғни 16.

г) 61 69=4209. 6-ны 7-ге көбейтіп, 42 шыққаны анық.Ал нөл қайдан шығады? Біз бірліктерді көбейтіп, алдық: 1 9 \u003d 9, бірақ нәтиже екі таңбалы болуы керек, сондықтан біз 09 аламыз.

3) Цифрлары бірдей үш таңбалы сандарды 37-ге бөліңіз. Нәтиже - үш таңбалы санның (немесе үш таңбалы санның үш еселенген цифрына тең санның) осы бірдей цифрларының қосындысы.

Мысалдар: a) 222:37=6. Бұл 2+2+2=6 қосындысы; ә) 333:37=9, өйткені 3+3+3=9.

в) 777:37=21, яғни 7+7+7=21.

г) 888:37=24, өйткені 8+8+8=24.

888:24=37 екенін де ескереміз.

III. Қорытынды

Жұмысымның тақырыбының негізгі құпиясын ашу үшін мен көп жұмыс істеуім керек болды - ақпаратты іздеу, талдау, сыныптастарға сұрақ қою, бұрыннан белгілі әдістерді қайталау және ұтымды санаудың көптеген таныс емес әдістерін табу, ақырында, түсіну оның сыры неде? Ал, ең бастысы белгілілерді білу және қолдана білу, санаудың жаңа рационалды әдістерін, көбейту кестесін, санның құрамын (кластар мен цифрларды), арифметикалық амалдар заңдылықтарын таба білу екенін түсіндім. Бұдан басқа,

мұны істеудің жаңа жолдарын іздеңіз:

- Сандарды қосудың жеңілдетілген әдістері: (тізбекті разрядтық қосу әдісі; дөңгелек сан әдісі; көбейткіштердің бірін мүшелерге ыдырату әдісі);

-Сандарды оңайлатылған азайту әдістері(тізбекті разрядтық алу әдісі; дөңгелек сан әдісі);

-Сандарды оңайлатылған көбейту техникасы(бірден кейін нөлге көбейту; разрядтық көбейту әдісі; дөңгелек сандар әдісі; көбейткіштердің бірін кеңейту әдісі ;

- Жылдам ой санасының құпиялары(екі таңбалы санды 11-ге көбейту: екі таңбалы санды 11-ге көбейткенде, бұл санның цифрлары бір-бірінен алыстап, осы цифрлардың қосындысы ортаға қойылады; екі таңбалы санның көбейтіндісі ондықтардың бірдей саны, ал бірліктердің қосындысы 10;Бірдей цифрлардан тұратын үш таңбалы сандарды 37 санына бөлу.Осындай тәсілдер көп болуы мүмкін, сондықтан келесі жылы бұл тақырыппен жұмысты жалғастырамын.

IV. Әдебиеттер тізімі

Савин А.П. Математикалық миниатюралар / А.П. Савин. - М .: Балалар әдебиеті, 1991

2. Зубарева И.И., Математика, 5-сынып: оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / И.И.Зубарева, А.Г. Мордкович. – М.: Мнемосине, 2011 ж

4. http:/ / www. xreferat.ru

5. http:/ / www. biografia.ru

6. http:/ / www. Математика – қайталау. kk

В. Қолданбалар

Шағын зерттеу (сауалнама түріндегі сауалнама)

Оқушылардың ұтымды санау бойынша білімдерін анықтау үшін төмендегі сұрақтар бойынша сауалнама түрінде сауалнама жүргіздім:

* Санақтың қандай рационалды әдістерін білесіңдер?

* Егер иә болса, қайда, ал егер жоқ болса, неге жоқ?

* Рационал санаудың қанша тәсілін білесіңдер?

* Сізде ақыл-ой санау қиын ба?

* Сіз математиканы қалай оқисыз? а) «5» бойынша; б) «4» бойынша; в) «3» бойынша

* Математикадан сізге не ұнайды?

а) мысалдар; б) тапсырмалар; в) бөлшектер

* Қалай ойлайсыз, математикадан басқа ақыл-ой санау қай жерде пайдалы болуы мүмкін? * Арифметикалық амалдардың заңдары есіңізде ме, бар болса, қайсысы?

Сауалнама жүргізгеннен кейін мен сыныптастарым арифметикалық амалдардың заңдылықтарын жеткілікті білмейтінін, олардың көпшілігінің рационал санауда қиындықтары барын, көптеген оқушылар баяу және қатемен санайтынын және барлығы тез, дұрыс және дұрыс санауды үйренгісі келетінін түсіндім. қолайлы жол. Сондықтан менің зерттеу жұмысымның тақырыбы тек қана емес, барлық студенттер үшін өте маңызды.

1. Математика сабағында «математика, 5-сынып» оқулығының мысалдарын пайдалана отырып зерттеген қызықты ауызша және жазбаша есептеу әдістері:

Мұнда олардың кейбіреулері бар:

санды 5-ке жылдам көбейту, 5=10:2 екенін атап өту жеткілікті.

Мысалы, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Санды 50-ге көбейту , оны 100-ге көбейтіп, 2-ге бөлуге болады.

Мысалы: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Санды 25-ке көбейту , оны 100-ге көбейтіп, 4-ке бөлуге болады,

Мысалы, 32x25=(32x100):4=3200:4=800

Санды 125-ке көбейту , оны 1000-ға көбейтіп, 8-ге бөлуге болады,

Мысалы: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Екі 0-мен аяқталатын дөңгелек санды 25-ке бөлу , оны 100-ге бөліп, 4-ке көбейтуге болады.

Мысалы: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Дөңгелек санды 50-ге бөлу , 100-ге бөліп, 2-ге көбейтуге болады

Мысалы: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Бірақ тек есептей білу ғана емес, көбейту кестесін, арифметикалық амалдардың заңдылықтарын, санның құрамын (сыныптар мен цифрлар) білу керек және оларды қолдану дағдысы болуы керек.

Арифметикалық амалдардың заңдары.

а + б = б + а

Қосудың ауыстырымдылық заңы

(а + б) + в = а + (б + в)

Қосудың ассоциативті заңы

а · б = б · а

Көбейтудің ауыстырымдылық заңы

(а · б) · в = а · (б · в)

Көбейтудің ассоциативті заңы

(а = б) · в = а · в = б · в

Көбейтудің үлестірім заңы (қосуға қатысты)

Көбейту кестесі.

Көбейту дегеніміз не?

Бұл ақылды қосымша.

Уақытты көбейту ақылдырақ,

Барлығын бір сағатқа қосқаннан гөрі.

Көбейту кестесі

Ол бәрімізге өмірде қажет.

Және себепсіз аталмаған

КӨБЕЙТІҢІЗ!

Дәрежелер мен сыныптар

Үлкен мәндері бар сандарды оқуды және есте сақтауды ыңғайлы ету үшін оларды «сыныптар» деп аталатындарға бөлу керек: оң жақтан бастап, сан бос орынмен «бірінші сынып» үш цифрға бөлінеді, содан кейін үш көбірек сандар таңдалады, «екінші класс» және т.б. Санның мәніне байланысты, соңғы сыныпүш, екі немесе бір цифрмен аяқталуы мүмкін.

Мысалы, 35461298 саны былай жазылады:

Бұл сан сыныптарға бөлінеді:

482 - бірінші сынып (бірліктер сыныбы)

630 - екінші сынып (мыңдық клас)

35 - үшінші сынып (миллиондар класы)

Шығару

Классты құрайтын цифрлардың әрқайсысы оның санаты деп аталады, олардың кері санағы да оңға қарай жүреді.

Мысалы, 35 630 482 санын сыныптар мен сандарға бөлуге болады:

482 - бірінші сынып

2 - бірінші сан (бірлік цифры)

8 - екінші сан (ондық разряд)

4 – үшінші сан (жүздік цифр)

630 - екінші сынып

0 - бірінші сан (мыңдық цифр)

3 – екінші сан (он мыңдық цифры)

6 - үшінші сан (жүз мың цифр)

35 - үшінші сынып

5 - бірінші цифр (миллион бірліктерінің цифры)

3 - екінші сан (ондаған миллиондар саны)

35 630 482 санында:

Отыз бес миллион алты жүз отыз мың төрт жүз сексен екі.

Рационалды санаудағы мәселелер және оларды шешу жолдары

Есте сақтаудың ұтымды әдістері.

Сауалнама мен сабақтан бақылау нәтижесінде кейбір оқушылардың дұрыс шешпейтінін байқадым әртүрлі тапсырмаларжәне жаттығулар, өйткені олар есептеудің рационалды әдістерімен таныс емес.

1. Әдістердің бірі – зерттелетін материалды есте сақтауға және жадта сақтауға ыңғайлы жүйеге келтіру.

2. Есте қалған материал белгілі бір жүйеде жадта сақталуы үшін оның мазмұны бойынша белгілі бір жұмыстар атқарылуы керек.

3. Содан кейін сіз мәтіннің әрбір жеке бөлігін меңгеруге, оны қайта оқуға және оқығаныңызды бірден жаңғыртуға (өзіңізге қайталауға немесе дауыстап айтуға) кірісуге болады.

4. Есте сақтау үшін материалды қайталаудың маңызы зор. Бұл да айтылады халық мақалы: «Қайталау – оқудың анасы». Бірақ оны ақылға қонымды және дұрыс қайталау керек.

Қайталау жұмысы бұрын болмаған немесе ұмытылған иллюстрациялар немесе мысалдар арқылы қайта жандануы керек.

Жоғарыда айтылғандарға сүйене отырып, оқу материалын сәтті игеру үшін қысқаша келесі ұсыныстарды тұжырымдай аламыз:

1. Тапсырманы қойыңыз, тез және берік есте сақтаңыз оқу материалыузақ уақытқа.

2. Нені үйрену керек екеніне назар аударыңыз.

3. Оқу материалын жақсы түсіну.

4. Есте қалған мәтінге ондағы негізгі ойларды бөліп, жоспар құрыңыз, мәтінді бөліктерге бөліңіз.

5. Егер материал үлкен болса, бір бөліктен кейін бір бөлігін ассимиляциялаңыз, содан кейін барлығын тұтастай айтыңыз.

6. Материалды оқып болғаннан кейін оны қайталау керек (оқығанын айту).

7. Материалды ұмытқанша қайталаңыз.

8. Қайталауды ұзағырақ таратыңыз.

9. Есте сақтау кезінде есте сақтаудың әртүрлі түрлерін (ең алдымен семантикалық) және кейбіреулерін қолданыңыз жеке ерекшеліктеріесте сақтау (көру, есту немесе мотор).

10. Қиын материалды ұйықтар алдында қайталау керек, содан кейін таңертең, «жаңа есте сақтау үшін».

11. Алған білімдерін практикада қолдануға тырысыңыз. Бұл Ең жақсы жололардың жадында сақталуы («Ілімнің нағыз анасы қайталау емес, қолдану» деп бекер айтпаған).

12. Білімді көбірек алу, жаңа нәрсені үйрену керек.

Енді сіз оқыған материалды тез және дұрыс есте сақтауды үйрендіңіз.

2-ден 10-ға дейінгі дәйекті натурал сандарды қосу арқылы кейбір сандарды 9-ға көбейтудің қызықты әдісі

12345х9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Қызықты ойын «Санды тап»

«Санды тап» ойынын ойнадыңыз ба? Бұл өте қарапайым ойын. Айталық, мен 100-ден кіші натурал санды ойлап тұрмын делік, оны қағазға жазыңыз (алдауға жол болмас үшін), сіз тек «иә» немесе «жоқ» деп жауап беруге болатын сұрақтар қою арқылы оны болжауға тырысасыз. . Сонда сіз санды тапсаңыз, мен оны табуға тырысамын. Кімге болжай алады аз сансұрақтарды жеңіп алды.

Менің нөмірімді табу үшін сізге қанша сұрақ қажет? Білмеймін? Мен сіздің нөміріңізді жеті сұрақ қою арқылы анықтауға міндеттенемін. Қалай? Бірақ, мысалы, қалай. Санды болжауға рұқсат етіңіз. «64-тен аз ба?» деп сұраймын. - «Иә». – «32-ден аз ба?» - «Иә». - "16-дан аз ба?" - «Иә». – «8-ден аз ба?» - «Жоқ». - "12-ден аз ба?" - «Жоқ». - "14-тен аз ба?" - «Иә». - "13-тен аз ба?" - «Жоқ». - «13 саны ойластырылған».

Ол түсінікті? Мен мүмкін сандар жиынын екіге бөлемін, содан кейін қалған жартысын қайтадан екіге бөлемін, қалғаны бір сан болғанша осылай жалғастырамын.

Егер сізге ойын ұнаса немесе, керісінше, көбірек алғыңыз келсе, кітапханаға барып, «А. П.Савин (Математикалық миниатюралар). Бұл кітаптан сіз көптеген қызықты және қызықты нәрселерді таба аласыз. Кітап суреті:

Назарларыңызға рахмет

Және сәттілік тілеймін!!!

Жүктеп алу:

Алдын ала қарау:

Презентацияларды алдын ала қарау мүмкіндігін пайдалану үшін Google есептік жазбасын (есептік жазбасын) жасаңыз және келесіге кіріңіз: https://accounts.google.com

Слайдтар тақырыбы:

Рационал санаудың сыры неде?

Жұмыстың мақсаты: ақпаратты іздеу, рационалды санаудың қолданыстағы әдістері мен тәсілдерін зерттеу, оларды тәжірибеде қолдану.

Тапсырмалар: 1. Параллель сыныптар арасында сауалнама түріндегі шағын сауалнама жүргізу. 2. Зерттеу тақырыбы бойынша талдау жасаңыз: мектеп кітапханасында бар әдебиеттер, 5-сыныпқа арналған математика оқулығындағы, сонымен қатар интернеттегі мәліметтер. 3. Рационал санаудың ең тиімді әдістері мен құралдарын таңдау. 4. Қолданыстағы жылдам ауызша және жазбаша санақ әдістерінің классификациясын жүргізу. 5. Параллельді 5 сыныпта қолдану үшін ұтымды санау әдістерін қамтитын жадынамалар жасаңыз.

Жоғарыда айтып өткенімдей, ұтымды санау тақырыбы тек оқушыларға ғана емес, әрбір адамға өзекті, соған көз жеткізу үшін 5-сынып оқушылары арасында сауалнама жүргіздім. Сауалнаманың сұрақтары мен жауаптары сізге өтінімде ұсынылған.

Рационалды есеп дегеніміз не? Рационалды есеп — ыңғайлы есеп ( рационал сөзі ыңғайлы, дұрыс дегенді білдіреді)

Неліктен студенттер қиынға соғады?

Кейбір болжамдар: Студент: 1. өтілген тақырыпты жақсы меңгермеген; 2. материалды қайталамайды; 3. санау дағдылары нашар; 4 . керек емес деп ойлайды.

Ауызша және жазбаша есептеулердің рационалды әдістері. Жұмыста және өмірде әр түрлі есептеулердің қажеттілігі үнемі туындайды. Ой санаудың қарапайым әдістерін қолдану шаршауды азайтады, зейін мен есте сақтау қабілетін дамытады.

Есептеулерді жылдамдатуға мүмкіндік беретін төрт қосу әдісі бар. I. Сандарды оңайлатылған қосу тәсілдері

Тізбектелген разрядтық қосу әдісі ойша есептеулерде қолданылады, өйткені ол терминдердің қосындысын жеңілдетеді және тездетеді. Бұл әдісті пайдаланған кезде қосу ең жоғары цифрлардан басталады: бірінші қосылғышқа екінші мүшенің сәйкес цифрлары қосылады. Мысал. Осы әдіс арқылы 5287 және 3564 сандарының қосындысын табыңдар. Шешім. Біз келесі ретпен есептейміз: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851. Жауабы: 8 851.

Кезекті разрядтық қосудың тағы бір тәсілі – бірінші қосылғыштың ең жоғарғы разрядына екінші қосылғыштың ең жоғарғы цифры, одан кейін екінші мүшесінің келесі цифры бірінші мүшесінің келесі цифрына қосылады және т.б. Келтірілген мысалда бұл шешімді қарастырайық, біз аламыз: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Жауабы: 8851.

дөңгелек сандар әдісі. Бір немесе бірнеше нөлмен аяқталатын сан дөңгелек сан деп аталады. Бұл әдіс дөңгелек санға дейін аяқталатын екі немесе одан да көп терминдерді таңдауға болатын кезде қолданылады. Дөңгелек сан мен есеп шартында көрсетілген санның айырмасы толықтауыш деп аталады. Мысалы, 1000 - 978 = 22. Бұл жағдайда 22 саны 978 санының 1000-ға дейінгі арифметикалық толықтауышы болып табылады. Дөңгелек сандар әдісімен қосу үшін дөңгелек сандарға жақын бір немесе бірнеше мүшелерді дөңгелектеу, дөңгелек сандарды қосу және алынған қосындыдан арифметикалық қосуларды азайту керек. Мысал. Дөңгелек сан әдісі арқылы 1238 және 193 сандарының қосындысын табу. Шешім. 193 санын 200-ге дейін дөңгелектеп, келесідей қосыңыз: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Терминдерді топтастыру әдісі. Бұл әдіс терминдер топтастырылған кезде дөңгелек сандарды бергенде қолданылады, содан кейін олар біріктіріледі. Мысал. 74, 32, 67, 48, 33 және 26 сандарының қосындысын табыңыз. Шешуі. Төмендегідей топтастырылған сандарды қосайық: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Терминдерді топтастыруға негізделген үстеу әдісі. Мысалы: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Сандарды оңайлатылған азайту әдістері

Тізбекті разрядтық алу әдісі. Бұл әдіс азайтылған саннан шегерілген әрбір санды ретімен алып тастайды. Ол сандарды дөңгелектеу мүмкін болмаған кезде қолданылады. Мысал. 721 мен 398 сандарының айырмасын табыңыз. Берілген сандардың айырмасын табу әрекеттерін келесі ретпен орындайық: 398 санын қосынды түрінде көрсет: 300 + 90 + 8 = 398; разрядтық алуды орындаңыз: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

дөңгелек сандар әдісі. Бұл әдіс шегерім дөңгелек санға жақын болғанда қолданылады. Есептеу үшін дөңгелек сан ретінде алынған азайтуды азайтылғаннан алып, алынған айырмаға арифметикалық қосуды қосу керек. Мысал. Дөңгелек сан әдісі арқылы 235 пен 197 сандарының айырмасын есептейік. Шешім. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Сандарды оңайлатылған көбейту техникасы

Бірден кейін нөлге көбейту. Санды бірлігінен кейін нөлдер (10; 100; 1000, т.б.) қамтитын санға көбейткенде, оған бірліктен кейінгі көбейткіште қанша нөл болса, оның оң жағында сонша нөл тағайындалады. Мысал. 568 және 100 сандарының көбейтіндісін табыңыз. Шешуі. 568 x 100 = 56 800.

Тізбекті разрядтық көбейту әдісі. Бұл әдіс санды кез келген бір таңбалы санға көбейту кезінде қолданылады. Егер екі таңбалы (үш, төрт таңбалы және т.б.) санды бір санға көбейту қажет болса, онда алдымен көбейткіштердің біреуі басқа ондық көбейткіштерге, содан кейін оның бірліктеріне көбейтіледі және алынған көбейтінділер: қорытындылады. Мысал. 39 және 7 сандарының көбейтіндісін табайық. Шешім. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

дөңгелек сандар әдісі. Бұл әдіс факторлардың бірі дөңгелек санға жақын болғанда ғана қолданылады. Көбейткіш дөңгелек санға, содан кейін арифметикалық қосуға көбейтіледі, ал соңында бірінші көбейтіндіден екіншісі алынып тасталады. Мысал. 174 және 69 сандарының көбейтіндісін табайық. Шешім. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12,180 - 174 = 12,006.

Факторлардың бірін кеңейту тәсілі. Бұл әдісте факторлардың бірін алдымен бөліктерге (терминдерге) ыдыратады, содан кейін екінші көбейткішті бірінші көбейткіштің әрбір бөлігіне кезекпен көбейтіп, алынған өнімдерді қорытындылайды. Мысал. 13 және 325 сандарының көбейтіндісін табайық. Шешім. Санды мүшелерге бөлейік: 13 \u003d 10 + 3. Алынған мүшелердің әрқайсысын 325-ке көбейтейік: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975 Алынған көбейтінділерді қорытындылаймыз: 3,250 + 975 = 4,225.

Жылдам ой санасының құпиялары. Ауызша тез және ұтымды санауға мүмкіндік беретін ой санау жүйелері бар. Біз ең жиі қолданылатын әдістердің кейбірін қарастырамыз.

Екі таңбалы санды 11-ге көбейту.

Мысалдар: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253(қосынуға қатысты көбейтудің үлестірімділік заңы) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (тарату заңы және дөңгелек сан әдісі) Біз Бұл әдісті зерттеді, бірақ біз екі таңбалы сандарды 11-ге көбейтудің тағы бір құпиясын білмедік.

Екі таңбалы сандарды 11-ге көбейту кезінде алынған нәтижелерді бақылай отырып, мен жауапты ыңғайлы түрде алуға болатынын байқадым: екі таңбалы санды 11-ге көбейткенде, бұл санның цифрлары алшақтатылады және олардың қосындысы ортасына цифрлар қойылады. Мысалдар. а) 23 11=253, 2+3=5 болғандықтан; ә) 45 11=495, өйткені 4+5=9; в) 57 11=627, өйткені 5+7=12, ортаға екі қойылып, жүздіктерге бір қосылды; Мен бұл әдістің растауын Интернетте таптым.

2) Ондықтар саны бірдей, ал бірліктерінің қосындысы 10-ға тең екі таңбалы сандардың көбейтіндісі, яғни 23 27; 34 36; 52 58 және т.б. Ереже: ондықтардың цифры натурал қатардағы келесі цифрға көбейтіледі, нәтиже жазылады және оған бірліктердің көбейтіндісі жатады. Мысалдар. а) 23 27 = 621. 621-ді қалай алдыңыз? Біз 2 санын 3-ке көбейтеміз («екіден» кейін «үш»), ол 6 болады, содан кейін бірліктердің көбейтіндісін тағайындаймыз: 3 7 \u003d 21, ол 621 болып шығады. ә) 34 36 = 1224, 3 4 = 12 болғандықтан, 12 санына 24-ті жатқызамыз, бұл осы сандардың бірліктерінің көбейтіндісі: 4 6.

3) Бірдей цифрлардан тұратын үш таңбалы сандарды 37 санына бөлу. Нәтиже үш таңбалы санның (немесе үш таңбалы санның үш еселенген цифрына тең санның) осы бірдей цифрларының қосындысына тең. ). Мысалдар. а) 222:37=6. Бұл 2+2+2=6 қосындысы. ә) 333:37=9, өйткені 3+3+3=9. в) 777:37=21, өйткені 7+7+7=21. г) 888:37=24, 8+8+8=24 болғандықтан. 888:24=37 екенін де ескереміз.

Қорытынды Менің жұмысымның тақырыбының негізгі құпиясын ашу үшін мен көп жұмыс істеуім керек болды - ақпаратты іздеу, талдау, сыныптастарға сұрақ қою, бұрыннан белгілі әдістерді қайталау және ұтымды санаудың көптеген таныс емес әдістерін табу, ақырында, оның не екенін түсіну. құпия? Ал ең бастысы – белгілісін білу және қолдана білу, санаудың жаңа рационалды әдістерін табу, көбейту кестесін, санның құрамын (кластар мен цифрлар), арифметикалық амалдардың заңдылықтарын білу екенін түсіндім. Бұдан басқа, мұны істеудің жаңа жолдарын іздеңіз:

Сандарды оңайлатылған қосу әдістері: (тізбекті разрядтық қосу әдісі; дөңгелек сан әдісі; көбейткіштердің бірін мүшелерге жіктеу әдісі); - сандарды жеңілдетілген азайту әдістері (тізбекті разрядтық алу әдісі; дөңгелек сан әдісі); - сандарды оңайлатылған көбейту әдістері (бірден кейін нөлге көбейту; реттік разрядтық көбейту әдісі; дөңгелек сан әдісі; көбейткіштердің бірін кеңейту әдісі; - жылдам ой санау құпиялары (екі таңбалы санды нөлге көбейту). 11: екі таңбалы санды 11-ге көбейткенде, осы санның цифрлары бір-бірінен алшақтап, ортасына осы цифрлардың қосындысы қойылады; ондықтар саны бірдей екі таңбалы сандардың көбейтіндісі және қосындысы. Бірліктер саны 10;Бір цифрдан тұратын үш таңбалы сандарды 37 санына бөлу.Ондай тәсілдер әлі көп шығар, сондықтан келесі жылы осы тақырыппен жұмыс жасаймын.

Қорытындылай келе, сөзімді мына сөздермен аяқтағым келеді:

Назарларыңызға рахмет, сәттілік тілеймін!!!

IN осы сабақрационал сандарды қосу және азайту қарастырылады. Тақырып күрделі деп жіктеледі. Мұнда бұрын алынған білімнің барлық арсеналын пайдалану қажет.

Бүтін сандарды қосу және азайту ережелері рационал сандар үшін де жарамды. Еске салайық, рационал сандар бөлшек түрінде ұсынылатын сандар, мұнда а -бөлшектің алымы болып табылады ббөлшектің бөлгіші болып табылады. Бола тұра, бнөл болмауы керек.

Бұл сабақта біз бөлшектер мен аралас сандарды бір жалпы сөз тіркесі ретінде көбірек қарастырамыз - рационал сандар.

Сабақты шарлау:

1-мысалӨрнектің мәнін табыңыз:

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз. Өрнекте берілген плюс амалдың белгісі болып табылатынын және бөлшектерге қолданылмайтынын ескереміз. Бұл бөлшектің өзіндік плюс таңбасы бар, ол жазылмағандықтан көрінбейді. Бірақ түсінікті болу үшін біз оны жазамыз:

Бұл рационал сандарды қосу әртүрлі белгілер. Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу үшін үлкенірек модульден кішірек модульді алып, жауаптың алдына модулі үлкен рационал санның таңбасын қою керек. Қай модуль үлкен, қайсысы кіші екенін түсіну үшін, оларды есептемес бұрын осы бөлшектердің модульдерін салыстыра білу керек:

Рационал санның модулі рационал санның модулінен үлкен. Сондықтан біз -дан шегердік. Жауап алды. Содан кейін бұл бөлшекті 2-ге азайтып, біз соңғы жауапты алдық.

Сандарды жақшаға қою және модульдерді қою сияқты кейбір қарапайым әрекеттерді өткізіп жіберуге болады. Бұл мысалды қысқаша жазуға болады:

2-мысалӨрнектің мәнін табыңыз:

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз. Рационал сандар арасындағы минус және амалдың таңбасы болатынын және бөлшектерге қолданылмайтынын ескереміз. Бұл бөлшектің өзіндік плюс таңбасы бар, ол жазылмағандықтан көрінбейді. Бірақ түсінікті болу үшін біз оны жазамыз:

Алуды қосуды алмастырайық. Естеріңізге сала кетейік, бұл үшін минуендке қосалқыға қарама-қарсы санды қосу керек:

Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Теріс рационал сандарды қосу үшін олардың модульдерін қосып, жауаптың алдына минус қою керек:

Ескерту.Әрбір рационал санды жақшаға алудың қажеті жоқ. Бұл рационал сандардың қандай белгілері бар екенін анық көру үшін ыңғайлы болу үшін жасалады.

3-мысалӨрнектің мәнін табыңыз:

Бұл өрнекте бөлшектер әртүрлі бөлгіштер. Өзімізді жеңілдету үшін біз бұл бөлшектерді азайтамыз ортақ бөлгіш. Біз мұны қалай жасау керектігін егжей-тегжейлі қарастырмаймыз. Егер сізде қиындықтар туындаса, сабақты қайталауды ұмытпаңыз.

Бөлшектерді ортақ бөлгішке келтіргеннен кейін өрнек келесі пішінді алады:

Бұл таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу. Үлкенірек модульден кішірек модульді алып тастаймыз және алынған жауаптың алдында модулі үлкен болатын рационал санның белгісін қоямыз:

Осы мысалдың шешімін қысқаша жазайық:

4-мысалӨрнектің мәнін табыңыз

Бұл өрнекті келесі жолмен есептейміз: рационал сандарды қосамыз және , содан кейін алынған нәтижеден рационал санды шегереміз.

Бірінші әрекет:

Екінші әрекет:

5-мысал. Өрнектің мәнін табыңыз:

−1 бүтін санын бөлшек түрінде көрсетейік және аралас санды бұрыс бөлшекке аударайық:

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз:

Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосуды алдық. Үлкенірек модульден кішірек модульді алып тастаймыз және алынған жауаптың алдында модулі үлкен болатын рационал санның белгісін қоямыз:

Жауап алды.

Екінші шешім де бар. Ол тұтас бөліктерді бөлек біріктіруден тұрады.

Сонымен, бастапқы өрнекке оралыңыз:

Әрбір санды жақшаға алыңыз. Бұл аралас сан үшін уақытша:

Бүтін бөлшектерді есептейік:

(−1) + (+2) = 1

Негізгі өрнекте (−1) + (+2) орнына нәтиже бірлігін жазамыз:

Алынған өрнек. Ол үшін бірлік пен бөлшекті бірге жазыңыз:

Шешімді осылай қысқартып жазайық:

6-мысалӨрнектің мәнін табыңыз

Аралас санды бұрыс бөлшекке айналдыр. Қалғанын өзгеріссіз қайта жазамыз:

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз:

азайтуды қосумен ауыстырайық:

Осы мысалдың шешімін қысқаша жазайық:

7-мысалМән өрнегін табыңыз

−5 бүтін санын бөлшек түрінде көрсетейік және аралас санды бұрыс бөлшекке аударайық:

Осы бөлшектерді ортақ бөлімге келтірейік. Оларды ортақ бөлгішке келтіргеннен кейін олар келесі пішінді алады:

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз:

азайтуды қосумен ауыстырайық:

Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Біз осы сандардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус қоямыз:

Осылайша, өрнектің мәні болып табылады.

Бұл мысалды екінші жолмен шешейік. Бастапқы өрнекке оралайық:

Аралас санды кеңейтілген түрде жазайық. Қалғанын өзгертусіз қайта жазамыз:

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз:

Бүтін бөлшектерді есептейік:

Негізгі өрнекте алынған −7 санын жазудың орнына

Өрнек аралас санды жазудың кеңейтілген түрі. Соңғы жауапты құра отырып, −7 саны мен бөлшекті бірге жазайық:

Бұл шешімді қысқаша жазайық:

8-мысалӨрнектің мәнін табыңыз

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз:

азайтуды қосумен ауыстырайық:

Осылайша, өрнектің мәні болып табылады

Бұл мысалды екінші жолмен шешуге болады. Ол бүтін және бөлшек бөлшектерді бөлек қосудан тұрады. Бастапқы өрнекке оралайық:

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз:

азайтуды қосумен ауыстырайық:

Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Осы сандардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус қоямыз. Бірақ бұл жолы біз бүтін бөліктерді (−1 және −2) бөлек қосамыз және бөлшек және

Бұл шешімді қысқаша жазайық:

9-мысалӨрнекті өрнектерді табыңыз

Аралас сандарды бұрыс бөлшектерге түрлендіру:

Рационал санды таңбасымен бірге жақшаға аламыз. Рационал санды жақшаға алудың қажеті жоқ, өйткені ол жақшада бұрыннан бар:

Осылайша, өрнектің мәні болып табылады

Енді сол мысалды екінші жолмен шешуге тырысайық, атап айтқанда бүтін және бөлшек бөлшектерді бөлек қосу арқылы.

Бұл жолы қысқаша шешімді алу үшін аралас санды кеңейтілген түрде жазу және азайтуды қосумен ауыстыру сияқты кейбір әрекеттерді өткізіп көрейік:

Бөлшек бөліктері ортақ бөлімге дейін қысқартылғанын ескеріңіз.

10-мысалӨрнектің мәнін табыңыз

азайтуды қосумен ауыстырайық:

Алынған өрнекте қателердің негізгі себебі болып табылатын теріс сандар жоқ. Теріс сандар болмағандықтан, біз астыңғы таңбаның алдындағы плюсті алып тастай аламыз, сонымен қатар жақшаларды алып тастай аламыз:

Нәтиже - оңай есептеуге болатын қарапайым өрнек. Оны бізге ыңғайлы кез келген жолмен есептейік:

11-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз

Бұл таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу. Үлкен модульден кіші модульді алып тастап, алынған жауаптардың алдына модулі үлкен рационал санның таңбасын қоямыз:

12-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз

Өрнек бірнеше рационал сандардан тұрады. Осыған сәйкес, ең алдымен, жақшадағы әрекеттерді орындау керек.

Алдымен өрнекті есептейміз, содан кейін өрнек Алынған нәтижелерді қосамыз.

Бірінші әрекет:

Екінші әрекет:

Үшінші әрекет:

Жауап:өрнек мәні тең

13-мысалӨрнектің мәнін табыңыз

Аралас сандарды бұрыс бөлшектерге түрлендіру:

Осы бөлшектерді ортақ бөлгіште берейік. Оларды ортақ бөлгішке келтіргеннен кейін олар келесі пішінді алады:

азайтуды қосумен ауыстырайық:

Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосуды алдық. Үлкен модульден кіші модульді алып тастап, алынған жауаптардың алдына модулі үлкен рационал санның таңбасын қоямыз:

Осылайша, өрнектің мәні тең

Ондық бөлшектерді қосу мен азайтуды қарастырайық, олар да рационал сандар болып табылады және оң және теріс болуы мүмкін.

14-мысал−3,2 + 4,3 өрнегінің мәнін табыңыз

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз. Өрнекте берілген плюс амалдың таңбасы болып табылатынын және 4.3 ондық бөлшекке қолданылмайтынын ескереміз. Бұл ондықтың өзіндік қосу таңбасы бар, ол жазылмағандықтан көрінбейді. Бірақ түсінікті болу үшін біз оны жазамыз:

(−3,2) + (+4,3)

Бұл таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу. Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу үшін үлкенірек модульден кішірек модульді алып, жауаптың алдына модулі үлкен рационал санның таңбасын қою керек. Қай модуль үлкен, қайсысы кіші екенін түсіну үшін, оларды есептеу алдында осы ондық бөлшектердің модульдерін салыстыра білу керек:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

4,3 модулі −3,2 модулінен үлкен, сондықтан 4,3-тен 3,2-ні алып тастадық. Жауап 1.1. Жауап иә, себебі жауаптың алдында модулі үлкен рационал санның таңбасы тұруы керек. Ал 4,3 модулі −3,2 модулінен үлкен

Сонымен, −3,2 + (+4,3) өрнегінің мәні 1,1-ге тең

−3,2 + (+4,3) = 1,1

15-мысал 3,5 + (−8,3) өрнектің мәнін табыңыз.

Бұл таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосу. Алдыңғы мысалдағыдай, үлкенірек модульден кішісін алып, жауаптың алдына модулі үлкен рационал санның таңбасын қоямыз:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Сонымен, 3,5 + (−8,3) өрнегінің мәні −4,8-ге тең

Бұл мысалды қысқарақ жазуға болады:

3,5 + (−8,3) = −4,8

16-мысал−7,2 + (−3,11) өрнектің мәнін табыңыз.

Бұл теріс рационал сандарды қосу. Теріс рационал сандарды қосу үшін олардың модульдерін қосып, жауаптың алдына минус қою керек.

Өрнекті толтырмау үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберуге болады:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Сонымен, −7,2 + (−3,11) өрнегінің мәні −10,31-ге тең.

Бұл мысалды қысқарақ жазуға болады:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

17-мысал.−0,48 + (−2,7) өрнектің мәнін табыңыз.

Бұл теріс рационал сандарды қосу. Біз олардың модульдерін қосып, алынған жауаптың алдына минус қоямыз. Өрнекті толтырмау үшін модульдермен жазбаны өткізіп жіберуге болады:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

18-мысал.−4,9 − 5,9 өрнектің мәнін табыңыз

Әрбір рационал санды таңбаларымен бірге жақшаға аламыз. −4,9 және 5,9 рационал сандар арасында орналасқан минус амалдың таңбасы болып табылатынын және 5,9 санына қолданылмайтынын ескереміз. Бұл рационал санның өзінің плюс таңбасы бар, ол жазылмағандықтан көрінбейді. Бірақ түсінікті болу үшін біз оны жазамыз:

(−4,9) − (+5,9)

азайтуды қосумен ауыстырайық:

(−4,9) + (−5,9)

Теріс рационал сандарды қосуды алдық. Біз олардың модульдерін қосамыз және алынған жауаптың алдында минус қоямыз:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Сонымен, −4,9 − 5,9 өрнегінің мәні −10,8-ге тең

−4,9 − 5,9 = −10,8

19-мысал. 7 − 9 өрнектің мәнін табыңыз.3

Әрбір санды белгілерімен бірге жақшаға ал

(+7) − (+9,3)

Алуды қосуды алмастырайық

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Сонымен, 7 − 9,3 өрнегінің мәні −2,3

Осы мысалдың шешімін қысқаша жазайық:

7 − 9,3 = −2,3

20-мысал.−0,25 − (−1,2) өрнектің мәнін табыңыз.

азайтуды қосумен ауыстырайық:

−0,25 + (+1,2)

Таңбалары әртүрлі рационал сандарды қосуды алдық. Үлкенірек модульден кіші модульді алып тастап, жауаптың алдына модулі үлкен санның таңбасын қоямыз:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Осы мысалдың шешімін қысқаша жазайық:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

21-мысал.-3,5 + (4,1 - 7,1) өрнектің мәнін табыңыз.

Жақшадағы әрекеттерді орындаңыз, содан кейін алынған жауапты −3,5 санымен қосыңыз

Бірінші әрекет:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Екінші әрекет:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Жауап:−3,5 + (4,1 − 7,1) өрнектің мәні −6,5.

22-мысал.(3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) өрнектің мәнін табыңыз.

Жақшаларды орындайық. Содан кейін бірінші жақшаларды орындау нәтижесінде пайда болған саннан екінші жақшаларды орындау нәтижесінде шыққан санды алып тастаңыз:

Бірінші әрекет:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Екінші әрекет:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Үшінші әрекет

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Жауап:(3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) өрнектің мәні 6-ға тең.

23-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Әрбір рационал санды белгілерімен бірге жақшаға ал

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Мүмкіндігінше азайтуды қосумен ауыстырайық:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Өрнек бірнеше терминдерден тұрады. Қосудың ассоциативті заңы бойынша өрнек бірнеше мүшеден тұрса, онда қосынды амалдардың орындалу ретіне тәуелді болмайды. Бұл терминдерді кез келген ретпен қосуға болатынын білдіреді.

Біз дөңгелекті қайта ойлап таппаймыз, бірақ барлық терминдерді пайда болу ретімен солдан оңға қарай қосыңыз:

Бірінші әрекет:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Екінші әрекет:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Үшінші әрекет:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Жауап:−3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 өрнектің мәні 1-ге тең.

24-мысал.Өрнектің мәнін табыңыз

-1,8 ондық бөлшекті аралас санға айналдырайық. Қалғанын өзгеріссіз қайта жазамыз: