Күрделі сандардың өрісі. Күрделі сандардың геометриялық кескіні және оларға амалдар. Комплекс санның тригонометриялық түрі. Күрделі сандардың өрісі Күрделі сандардың кері сандары болмайды

Анықтамалар . Болсын а, бнақты сандар, менқандай да бір кейіпкер. Күрделі сан - пішіннің жазбасы а+би.

ҚосуЖәне көбейту күрделі сандар жиынындағы сандар: (а+би)+(c+ди)=(а+в)+(б+г) мен,

(а+би)(c+ди)=(ac–бд)+(жарнама+б) i. .

1-теорема . Күрделі сандар жиыны МЕНқосу және көбейту амалдарымен өріс құрайды. Қосу қасиеттері

1) коммутативтілік б: (а+би)+(c+ди)=(а+в)+(б+г) i=(c+ди)+(а+би).

2) Ассоциативтілік :[(а+би)+(c+ди)]+(е+fi)=(а+в+д)+(б+г+f) i=(а+би)+[(c+ди)+(е+fi)].

3) Бар болу бейтарап элемент :(а+би)+(0 +0i)=(а+би). Сан 0 +0 мен нөлді шақырамыз және белгілейміз 0 .

4) Бар болу қарама-қарсы элемент : (а+би)+(–а–би)=0 +0i=0 .

5) Көбейтудің ауыстырымдылығы : (а+би)(c+ди)=(ac–бд)+(б.з.б+ad) i=(c+ди)(а+би).

6) Көбейтудің ассоциативтілігі :Егер z1=а+би, z2=в+ди, z3=e+fi, Бұл (z 1 z 2)z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) Тарату қабілеті: Егер z1=а+би, z2=в+ди, z3=e+fi, Бұл z 1 (z 2+z3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Көбейтуге арналған бейтарап элемент :(а+би)(1+0i)=(а 1–b 0)+(0+b 1) i=а+би.

9) Сан 1 +0i=1 - бірлік.

9) Бар болу кері элемент : "z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

Болсын z=а+би. Нақты сандар а, деп аталады жарамды, А б - ойдан шығарылған бөліктер күрделі сан z. Белгілер қолданылады: а=Рез, б=imz.

Егер б=0 , Бұл z=а+ 0i=анақты сан болып табылады. Сондықтан жиынтық нақты сандар Ркүрделі сандар жиынының бөлігі болып табылады C: R Í C.

Ескерту:мен 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Осы сан қасиетін пайдалану мен, сондай-ақ 1-теоремада дәлелденген амалдардың қасиеттері сияқты күрделі сандармен операцияларды әдеттегі ережелер бойынша алмастыра отырып орындауға болады. мен 2қосулы - 1 .

Түсініктеме. Күрделі сандар үшін £, ³ («кіші», «үлкен») қатынастары анықталмаған.

2 тригонометриялық пішінжазбалар .

z = a+bi белгісі деп аталады алгебралықкүрделі санның белгіленуі . Таңдалған ұшақты қарастырыңыз Декарттық жүйекоординаттар. Санды көрсетейік zкоординаттары бар нүкте (а,б). Содан кейін нақты сандар а=а+0iось нүктелерімен бейнеленетін болады ӨҚ- деп аталады жарамды ось. Ось Ойшақырды ойдан шығарылған осі, оның нүктелері пішіннің сандарына сәйкес келеді би, олар кейде деп аталады таза ойдан шығарылған . Бүкіл ұшақ деп аталады күрделі жазықтық .Нөмір шақырылады модуль сандар z: ,

полярлық бұрыш jшақырды аргумент сандар z: j=argz.

Аргумент мерзімге дейін анықталады 2кп; оның мәні - б< j £ p , аталады басты маңыздылығы аргумент. Сандар r, jнүктенің полярлық координаталары болып табылады z. Бұл анық а=r cosj, б=r sinj, және біз аламыз: z=а+б мен=r (cosj+мен сенемін). тригонометриялық пішін күрделі санның белгіленуі.

Біріктірілген сандар . Күрделі сан санның жалғауы деп аталады.z = а + би . Бұл түсінікті. Қасиеттер : .

Түсініктеме. Жалғасатын сандардың қосындысы мен көбейтіндісі нақты сандар болып табылады:

күрделі сан z шақырды өрнек, мұнда АЖәне В- нақты сандар, менелестетілген бірлік немесе ерекше белгі болып табылады.

Келесі келісімдер орындалады:

1) a + bi өрнегімен арифметикалық амалдарды алгебрадағы әріптік өрнектер үшін қабылданған ережелер бойынша орындауға болады;

5) a+bi=c+di теңдігі, мұндағы a, b, c, d нақты сандар, егер a=c және b=d болса ғана орындалады.

0+bi=bi саны шақырылады ойдан шығарылғаннемесе таза ойдан шығарылған.

Кез келген нақты а саны күрделі санның ерекше жағдайы болып табылады, өйткені оны a=a+ 0i түрінде жазуға болады. Атап айтқанда, 0=0+0i, бірақ егер a+bi=0 болса, онда a+bi=0+0i, демек a=b=0.

Осылайша, a=0 және b=0 болған жағдайда ғана a+bi=0 комплекс саны.

Комплекс сандарды түрлендіру заңдары шарттылықтан туындайды:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Күрделі сандардың қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөлімі (бөлінгіш нөлге тең емес) өз кезегінде күрделі сан екенін көреміз.

Сан Ашақырды күрделі санның нақты бөлігі z(белгіленген) В z күрделі санның ойша бөлігі болып табылады (белгіленген).

Нағыз бөлігі нөлге тең z күрделі саны деп аталады. таза ойдан шығарылған, нөлдік қиялмен - таза шынайы.

Екі күрделі сан деп аталады. тең,егер олардың нақты және елестетілген бөліктері бірдей болса.

Екі күрделі сан деп аталады. конъюгацияланғанегер оларда заттар болса. бөліктері сәйкес келеді, ал ойдан шығарылғандары белгілері бойынша ерекшеленеді. , содан кейін оның конъюгаты.

Конъюгаттық сандардың қосындысы – заттар саны, ал айырмашылығы – таза ойдан шығарылған сан. Күрделі сандар жиынында сандарды көбейту және қосу амалдары табиғи түрде анықталған. Атап айтқанда, егер және екі күрделі сан болса, онда қосынды: ; жұмыс: .

Енді алу және бөлу амалдарын анықтаймыз.

Екі күрделі санның көбейтіндісі заттардың саны екенін ескеріңіз.

(өйткені i=-1). Бұл нөмір деп аталады модуль квадратысандар. Осылайша, егер сан болса, онда оның модулі нақты сан болады.

Ұнайды нақты сандаркүрделі сандар үшін «үлкен», «кіші» ұғымдары енгізілмейді.

Комплекс сандардың геометриялық кескіні. Нақты сандар сан түзуіндегі нүктелермен көрсетіледі:

Мәселе мынада А-3 санын, нүктені білдіреді Бсаны 2, және О- нөл. Керісінше, комплекс сандар координаталық жазықтықтағы нүктелер арқылы көрсетіледі. Ол үшін екі осьте бірдей масштабтары бар тікбұрышты (декарттық) координаталарды таңдаймыз. Содан кейін күрделі сан a + biнүкте арқылы бейнеленеді Р абсциссасы а және ординатасы b(күріш.). Бұл координаттар жүйесі деп аталады күрделі жазықтық.

модулькүрделі сан вектордың ұзындығы деп аталады ОП, координатасында күрделі санды бейнелейді ( біріктірілген) жазықтық. Күрделі сан модулі a + bi| арқылы белгіленеді a + bi| немесе хат rжәне мынаған тең:

Конъюгаттық күрделі сандардың модулі бірдей. __

Аргументкүрделі сан – осьтер арасындағы бұрыш ӨҚжәне вектор ОПосы күрделі санды білдіреді. Демек, күңгірт = б / а .

Комплекс санның тригонометриялық түрі. Күрделі санды алгебралық түрде жазумен қатар басқасы да қолданылады, деп аталады тригонометриялық.

z=a+bi комплекс саны координаталары (a,b) ОА векторымен өрнектелсін. ОА векторының ұзындығын r деп белгілейік: r=|OA|, ал оның Ох осінің оң бағытымен φ бұрышы арқылы жасайтын бұрышын белгілейік.

sinφ=b/r, cosφ=a/r функцияларының анықтамаларын пайдаланып, z=a+bi комплекс санын z=r(cosφ+i*sinφ) түрінде жазуға болады, мұндағы , ал φ бұрышы мынадан анықталады: шарттар

тригонометриялық пішін z күрделі саны – оның z=r(cosφ+i*sinφ) түріндегі көрінісі, мұндағы r және φ нақты сандар және r≥0.

Шынында да, r саны шақырылады модулькүрделі сан және |z| арқылы белгіленеді, ал φ бұрышы z комплекс санының аргументі арқылы белгіленеді. z комплекс санының φ аргументі Arg z арқылы белгіленеді.

Тригонометриялық түрде берілген күрделі сандармен амалдар:

Ол әйгілі Моевр формуласы.

8 .Векторлық кеңістік. Векторлық кеңістіктердің мысалдары және қарапайым қасиеттері. Сызықтық тәуелділікжәне векторлар жүйесінің тәуелсіздігі. Ақырлы векторлар жүйесінің негізі және рангі

Векторлық кеңістік -кәдімгі үш өлшемді кеңістіктің барлық (бос) векторларының жиынтығы туралы түсінікті жалпылайтын математикалық ұғым.

Үш өлшемді кеңістіктегі векторлар үшін векторларды қосу және оларды нақты сандарға көбейту ережелері келтірілген. Кез келген векторларға қолданылады x, y, zжәне кез келген сандар α, β бұл ережелер қанағаттандырады келесі шарттар:

1) X+сағ=сағ+X(қосудың ауыспалылығы);

2)(X+сағ)+z=x+(ж+z) (қосудың ассоциативтілігі);

3) қолжетімді нөлдік вектор 0 шартты қанағаттандыратын (немесе нөлдік вектор). x+0 =x:кез келген вектор үшін x;

4) кез келген вектор үшін Xқарама-қарсы вектор бар сағсолай X+сағ =0 ,

5) 1 x=X,мұндағы 1 – өріс бірлігі

6) α (βx)=(αβ )X(көбейтудің ассоциативтілігі), мұндағы көбейтінді αβ скалярлардың көбейтіндісі болып табылады

7) (α +β )X=αх+βx(сандық факторға қатысты үлестіруші қасиет);

8) α (X+сағ)=αх+αy(векторлық факторға қатысты үлестіруші қасиет).

Векторлық (немесе сызықтық) кеңістік – жиын R,кез келген сипаттағы элементтерден (векторлар деп аталады) тұратын элементтерді қосу және элементтерді 1-8 шарттарды қанағаттандыратын нақты сандарға көбейту амалдарын анықтайды.

Мұндай кеңістіктерге нақты сандар жиыны, жазықтықтағы және кеңістіктегі векторлар жиыны, матрицалар және т.б. мысал бола алады.

«Векторлық кеңістіктердің қарапайым қасиеттері» теоремасы

1. Векторлық кеңістікте бір ғана нөлдік вектор бар.

2. Векторлық кеңістікте кез келген вектордың өзіне бірегей қарама-қарсылығы болады.

4. .

Құжатқа кіру

0 векторлық кеңістігінің нөлдік векторы болсын. Сонда . Басқа нөлдік вектор болсын. Содан кейін. Бірінші жағдайда , ал екіншісінде - алайық. Содан кейін және, осыдан келіп шығады, p.t.d.

Алдымен нөлдік скаляр мен кез келген вектордың көбейтіндісі нөлдік векторға тең екенін дәлелдейміз.

рұқсат етіңіз. Содан кейін векторлық кеңістік аксиомаларын қолданып, біз мынаны аламыз:

Қосуға қатысты векторлық кеңістік абельдік топ болып табылады, ал жою заңы кез келген топта орындалады. Қысқарту заңын қолданатын болсақ, ол соңғы теңдіктен шығады 0 * x \u003d 0

Енді 4-ші бекітуді дәлелдейміз). Ерікті вектор болсын. Содан кейін

Бұл бірден (-1)x векторы х векторына қарама-қарсы екенін білдіреді.

Енді x=0 болсын. Содан кейін векторлық кеңістік аксиомаларын қолданып, біз мынаны аламыз:

Соны делік. Өйткені, K өрісі болған жерде, бар. Сол жақтағы теңдікті: -ге көбейтейік, ол 1*x=0 немесе x=0 мәнін білдіреді.

Векторлар жүйесінің сызықтық тәуелділігі және тәуелсіздігі.Векторлар жиыны векторлық жүйе деп аталады.

Векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады, егер бір уақытта барлығы нөлге тең емес сандар болса (1)

k векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады, егер теңдік (1) тек үшін мүмкін болса, яғни. теңдіктің (1) сол жағындағы сызықтық комбинация тривиальды болғанда.

Ескертулер:

1. Бір вектор да жүйені құрайды: сызықтық тәуелді үшін және сызықтық тәуелсіз үшін.

2. Векторлар жүйесінің кез келген бөлігі ішкі жүйе деп аталады.

Сызықтық тәуелді және сызықтық тәуелсіз векторлардың қасиеттері:

1. Егер векторлар жүйесіне нөлдік вектор кірсе, онда ол сызықтық тәуелді болады.

2. Векторлар жүйесінде екі тең вектор болса, онда ол сызықтық тәуелді болады.

3. Векторлар жүйесінде екі пропорционал вектор болса, онда ол сызықтық тәуелді болады.

4. k>1 векторлар жүйесі сызықты тәуелді, егер векторлардың ең болмағанда біреуі басқаларының сызықтық комбинациясы болса ғана.

5. Сызықтық тәуелсіз жүйеге кіретін кез келген векторлар сызықты тәуелсіз ішкі жүйені құрайды.

6. Сызықтық тәуелді ішкі жүйені қамтитын векторлар жүйесі сызықты тәуелді.

7. Егер векторлар жүйесі сызықтық тәуелсіз болса және оған векторды қосқаннан кейін ол сызықтық тәуелді болып шықса, онда векторды векторларда кеңейтуге болады , сонымен қатар, бірегей жолмен, яғни. кеңею коэффициенттері бірегей түрде табылады.

Мысалы, соңғы сипатты дәлелдеп көрейік. Векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болғандықтан, барлығы 0-ге тең емес сандар бар, яғни. осы теңдікте. Шынында да, егер болса, онда. Бұл векторлардың тривиальды емес сызықтық комбинациясы жүйенің сызықтық тәуелсіздігіне қайшы келетін нөлдік векторға тең екенін білдіреді. Сондықтан, содан кейін, яғни. вектор - векторлардың сызықтық комбинациясы. Мұндай өкілдіктің бірегейлігін көрсету қалады. Керісінше делік. Екі және кеңеюі болсын, және барлық кеңейту коэффициенттері сәйкесінше бір-біріне тең емес (мысалы, ).

Сонда теңдіктен аламыз.

Демек, векторлардың сызықтық комбинациясы нөлдік векторға тең. Оның барлық коэффициенттері нөлге тең болмағандықтан (кем дегенде ), бұл комбинация тривиальды емес, бұл векторлардың сызықтық тәуелсіздік шартына қайшы келеді . Пайда болған қайшылық ыдыраудың бірегейлігін растайды.

Векторлар жүйесінің рангі және негізі.Векторлар жүйесінің рангі – жүйенің сызықты тәуелсіз векторларының максималды саны.

Векторлар жүйесінің негізіберілген векторлар жүйесінің максималды сызықты тәуелсіз ішкі жүйесі болып табылады.

Теорема. Кез келген жүйелік вектор жүйелік базистік векторлардың сызықтық комбинациясы ретінде ұсынылуы мүмкін. (Жүйенің кез келген векторын базистік векторларға бөлуге болады.) Кеңейту коэффициенттері берілген вектор мен берілген базис үшін бірегей түрде анықталады.

Құжатқа кіру:

Жүйенің негізі болсын.

1 жағдай.Вектор – негізден. Демек, ол базистік векторлардың біріне тең, делік. Сонда =.

2-ші жағдай.Вектор базистен емес. Содан кейін r>k.

Векторлар жүйесін қарастырайық. Бұл жүйе сызықтық тәуелді, өйткені базис, яғни. максималды сызықтық тәуелсіз ішкі жүйе. Демек, барлығы нөлге тең емес, 1 , 2 , …, k , бар сандар бар.

(с=0 болса, жүйенің негізі сызықтық тәуелді) екені анық.

Базис бойынша вектордың кеңеюі бірегей екенін дәлелдейміз. Керісінше делік: базис бойынша вектордың екі кеңеюі бар.

Осы теңдіктерді алып тастасақ, біз аламыз

Базистік векторлардың сызықтық тәуелсіздігін ескере отырып, аламыз

Сондықтан базис бойынша вектордың кеңеюі ерекше.

Жүйенің кез келген базисіндегі векторлар саны бірдей және векторлар жүйесінің рангіне тең.

Алгебра және геометрия бойынша дәрістер. 1 семестр.

Дәріс 2. Комплекс сандар өрісі.

2-тарау. Күрделі сандардың өрісі.

1-тармақ. Комплекс сандар өрісін құру.

Нақты сандар өрісінің декарттық квадраты болсын, яғни.
нақты сандардың реттелген жұптарының жиыны болып табылады. Осы жиынға екі ішкі екілік алгебралық амалдарды, қосу және көбейтуді келесі ережелерге сәйкес анықтаймыз:
анықтамасы бойынша қойылады

(1)

(2)
.

Екі жұптың қосындысы мен көбейтіндісі екені анық
тағы бір-екі көп
, өйткені нақты сандардың қосындысы, көбейтіндісі және айырмасы нақты сандар. Осылайша,
екі ішкі екілік алгебралық операциясы бар алгебралық құрылым болып табылады.

Теорема.
- өріс.

Дәлелдеу. Біз өрістің барлық тоғыз аксиомасының орындалуын дәйекті түрде тексереміз.

1. Қосуға қатысты ассоциация заңы:

.

рұқсат етіңіз. Содан кейін жұптық қосу анықтамасы бойынша
Және .

Басқа жақтан,
Және .

R өріс болғандықтан, нақты сандарды қосу ассоциативтілік заңына бағынады, демек, және . Осыдан жұптардың теңдігі, ал бұдан, өз кезегінде, теңдігі, п.т.д.

2. Нөлдік элементтің болуы:

.

Белгілеу
, мұндағы 0 - нөлдік элементнақты сандар өрістері, яғни. нөл саны. Болсын
ерікті жұп болып табылады
. Сонда жұптарды қосу анықтамасы бойынша және . Демек,
және жұп
бар болуын дәлелдеу қажет болатын қосу операциясына қатысты нөлдік элемент.

3. Қарама-қарсы элементтің болуы:

.

Болсын
ерікті жұп болып табылады
.

Қарама-қарсы элемент жұп екенін көрсетейік

. Шынында да, анықтамасы бойынша

жұптарды қосу бізде:

ЖӘНЕ . Бұл теңдікті білдіреді, p.t.d.

4. Қосуға қатысты ауыспалылық заңы:

.

Болсын
- екі кездейсоқ жұп. Сонда жұпты қосу анықтамасы бойынша бізде:

ЖӘНЕ . R өріс болғандықтан, ол қосудың ауыстырымдылық заңын қанағаттандырады
,
, осыдан жұптардың теңдігі шығады: және
, т.б.

5. Көбейтуге қатысты ассоциативтілік заңы:

.

рұқсат етіңіз. Содан кейін жұптарды көбейту анықтамасы бойынша

,
Және

Нәтиже - тең жұптар. Демек,
, т.б.

6. Бір элементтің болуы:

.

Анықтама бойынша қоямыз
және мұны көрсетіңіз көбейтуге қатысты сәйкестендіру элементі болып табылады. Болсын
. Сонда жұптардың көбейтіндісінің анықтамасы бойынша , . Осылайша,
, т.б.

7. Кері элементтің болуы:

.

Болсын
Және
, яғни. a және b сандары бір уақытта нөлге тең емес, яғни
. Анықтама бойынша қоямыз
және бұл элемент теңдікті қанағаттандыратынын көрсетіңіз
. Шынында да, жұптарды көбейту анықтамасы бойынша

,

Осылайша, біз теңдікке көз жеткіздік
, т.б.

8. Көбейтуге қатысты ауыстырымдылық заңы:

.

Болсын
- екі кездейсоқ жұп. Содан кейін жұптарды көбейту анықтамасы бойынша

R өріс болғандықтан, нақты сандарды көбейту және қосу коммутативтілік заңына бағынады және

,
, осыдан теңдік шығады
, т.б.

9. Көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділік заңы:

Және
.

рұқсат етіңіз. Содан кейін жұптарды қосу және көбейтудің анықтамасы бойынша

,

Мұнда нақты сандар бағынатын қосуға қатысты көбейтудің үлестірімділік заңын қолдандық. Сияқты,

,
Және

Осы жерден біз мұны көреміз
.

Екінші дистрибутив заңын дәлелдеу үшін көбейтуге қатысты әділ дәлелденген дистрибутив заңын және ауыстырымдылық заңын қолданамыз, оны да дәлелдеген болатынбыз:

Теорема дәлелденді.

Анықтама. Өріс
күрделі сандардың өрісі деп, ал оның элементтерін, нақты сандардың реттелген жұптарын күрделі сандар деп атайды.

2-тармақ. Күрделі сандарды жазудың алгебралық түрі.

арқылы белгілеңіз
өрістің ішкі жиыны болып табылады
, екінші элементі нөлге тең нақты сандар жұптарынан тұрады. Болсын
. Содан кейін жұптарды қосу және көбейту ережелері бойынша
,
. Бұл бізге мұндай жұптарды олардың бірінші элементімен және жиынның өзімен анықтауға мүмкіндік береді көптеген Р.

Анықтама бойынша қоямыз
. Сондықтан, атап айтқанда,
,
.

Жұп үшін
арнайы белгіні енгіземіз. Анықтама бойынша қоямыз
. Содан кейін

(3)
.

Күрделі санды жазудың бұл түрі алгебралық деп аталады.

Күрделі сандар өрісінің өзі С әрпімен белгіленеді.

.

Бұдан әрі ескеріңіз. Бұл күрделі санды білдіреді
квадрат теңдеудің түбірі болып табылады
. Бұл теңдеудің екінші түбірі комплекс сан екенін байқау қиын емес
. Шынымен, .

Осылайша, күрделі сандарға мынадай анықтама беруге болады.

Анықтама. Күрделі сан – нақты сандардың реттелген жұбы
, ол әдетте ретінде жазылады
, мұндағы i элементі квадрат теңдеудің түбірі
, яғни.
.

Анықтама. Болсын
күрделі санды жазудың алгебралық түрі болып табылады. i элементі елестетілген бірлік деп аталады. Нақты а саны күрделі z санының нақты бөлігі деп аталады және белгіленеді
. Нақты b саны z комплекс санының жорамал бөлігі деп аталады және белгіленеді
.

Анықтама. Нақты бөлігі нөлге тең күрделі сан таза елес деп аталады.

Анықтамадан алгебралық пішінкүрделі санды белгілеу (теңдікті (3) қараңыз) екі күрделі санның теңдігінің шартын бірден орындайды:

Екі күрделі сан тең, егер олардың нақты және жорамал бөліктері тең болса ғана, яғни.

.

Мұнда & – жалғаулық белгісі, логикалық жалғаулық «және».

Түсініктеме. Анықтамалардан шығатыны
, яғни. Әрбір нақты сан – нөлге тең елес бөлігі бар күрделі сан. Кез келген күрделі санды екі күрделі санды қосу нәтижесі ретінде қарастыруға болады, олардың бірі нақты сан (оның жорамал бөлігі нөлге тең), екіншісі таза елестетілген:

3-тармақ. Алгебралық жазудағы күрделі сандармен амалдар.

Жұпты қосу (1) және күрделі санның алгебралық жазылуы (3) анықтамасынан алгебралық жазудағы күрделі сандарды қосу және көбейту ережелері шығады. Болсын
,
ерікті комплекс сандар. Содан кейін

Дәлелденген теореманы қолдану арқылы бірдей нәтиже алуға болатынын ескеріңіз. Күрделі сандар жиыны өрісті құрайды. Өрісте ассоциативтілік, коммутативтілік және үлестіргіштік заңдары жарамды. Әрбір күрделі санды 2-бөлімнің соңындағы ескертудегідей қарастырамыз. екі күрделі санды қосудың нәтижесі болып табылады. Содан кейін

Мұнда біз теңдікті қолдандық
.

Осылайша, қосу (4) және әсіресе көбейту (5) ережелерін жаттаудың қажеті жоқ. Әрі қарай, бұл анық
– нөлдік элемент, – қарама-қарсы.

Алу амалын керісінше қосу ретінде анықтаймыз:

Мысалдар. 1).,
, ,

2). Комплекс сандар өрісіндегі теңдеуді шешіңіз:

.

Шешім. Дискриминантты табу
. Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы бойынша түбірлерін табамыз:

. Жауап:
.

Түсініктеме. Мұнда біз теңдікті қолдандық
, қайда
.

Кез келген K өрісіндегі бөлу операциясын кері элементке көбейту ретінде анықтаймыз:
анықтамасы бойынша қойылады
Және

.

Мұны тексеру оңай
,

Шынымен,

Дегенмен (6) формуланы жаттаудың қажеті жоқ. Бір қарапайым ережені қолданған дұрыс. Бірақ бұл үшін біз алдымен бір тұжырымдаманы енгіземіз.

Анықтама. Күрделі сан
күрделі санның күрделі конъюгаты деп аталады
.

Анықтамадан бірден шығады, сан
-ның күрделі конъюгаты болып табылады
, яғни. бір-бірінен тек жорамал бөлігінің таңбасымен ерекшеленетін сандар бір-бірінің күрделі жалғауы болып табылады.

Мысалы:
Және
, мен және – мен,
және т.б.

Комплекс сандарға бөлу ережесі.

Бір күрделі санды екіншісіне бөлу үшін бөлшектің алымы мен бөлімін бөлгіштің күрделі конъюгатасына көбейту керек.

.

Мысалдар. ,

,
,
.

Түсініктеме. Егер
, онда оның күрделі конъюгаты белгіленеді
.

4-тармақ. Күрделі құрмалас сандардың қасиеттері.

1.

.

2.

.

3.
.

4.

.

5.

6.

.

7.

.

8.

9. Кез келген көпмүше үшін
z күрделі айнымалысында нақты коэффициенттермен

.

Дәлелдеу. 1) рұқсат етіңіз
ерікті комплекс сан болып табылады. Содан кейін күрделі конъюгаттық санның анықтамасы бойынша
және т.б.

2) рұқсат етіңіз. Содан кейін және
. Басқа жақтан,
Және
, осыдан келіп шығады
.

3) Кез келген n мүшесі үшін теңдік ақиқат болатынын математикалық индукция әдісі арқылы дәлелдеп көрейік.

а) Индукция негізі.

Сағат
,
теңдік
тек дәлелденген.

б) Индукциялық гипотеза.

Терминдер саны тең болса, мәлімдеме ақиқат деп есептейік
:.

в) Индукциялық ауысу.

Өтініш екі термин үшін дұрыс болғандықтан

Осыдан дәлелденетін теңдік шығады.

4) рұқсат етіңіз. Содан кейін және
. Екінші жағынан, , бұл қайдан шығады
.

5) 3) тармаққа ұқсас математикалық индукция әдісімен дәлелденді.

6) рұқсат етіңіз
және k – ерікті натурал сан. Содан кейін анықтама бойынша табиғи дәрежесісандар
, т.б.

7) а нақты сан болсын. Содан кейін
және күрделі конъюгаттық санның анықтамасы бойынша
, т.б.

8) рұқсат етіңіз
. 4) және 7) тармақтарда дәлелденген қасиеттер бойынша
, т.б.

9) z күрделі айнымалы және болсын
нақты коэффициенттері бар z күрделі айнымалыдағы көпмүше:, мұндағы

нақты сандар. Содан кейін дәлелденген қасиеттерді пайдалана отырып, біз мыналарды аламыз:

Теорема дәлелденді.

Мысал. Есептеу
.

Шешім. Белгілеу
. Содан кейін
,
,
. Демек, .

5-тармақ. Күрделі санның натурал түбірі туралы түсінік.

Анықтама. Болсын
ерікті натурал сан болып табылады. тамыр n-ші дәрежекүрделі саннан z күрделі сан деп аталады , солай
.

Кейінірек келесі теорема дәлелденетін болады, біз оны әзірше дәлелсіз қабылдаймыз.

Теорема. (Күрделі санның n-ші түбірлерінің болуы және саны туралы.)

Күрделі санның дәл n-ші түбірі бар.

Күрделі санның n-ші дәрежелі түбірлерін белгілеу үшін радикалдың әдеттегі таңбасы қолданылады. Бірақ бір елеулі айырмашылық бар. Егер а оң нақты сан болса, онда
анықтамасы бойынша оң n-ші түбірді білдіреді, оны арифметикалық түбір деп атайды.

Егер n- тақ сан, онда кез келген нақты а санының бірегей n-ші түбірі болады. Сағат
бұл жалғыз тамыр
анықтамасы бойынша арифметикалық болып табылады
бұл жалғыз тамыр
арифметикалық емес, бірақ қарама-қарсы санның арифметикалық түбірімен өрнектелуі мүмкін:
, Қайда
арифметикалық болып табылады, өйткені
.

Өріс аксиомалары. Күрделі сандардың өрісі. Комплекс санның тригонометриялық белгіленуі.

Күрделі сан - бұл түрдегі сан, мұндағы және нақты сандар деп аталатын ойша бірлік. Нөмір шақырылады нақты бөлігі ( ) күрделі сан, сан деп аталады ойдан шығарылған бөлік ( ) күрделі сан.

Бір топбірдей күрделі сандарәдетте «қалың» немесе қалыңдатылған әріппен белгіленеді

Күрделі сандар көрсетіледі күрделі жазықтық:

Күрделі жазықтық екі осьтен тұрады:
– нақты ось (x)
– қиял осі (y)

Нақты сандар жиыны күрделі сандар жиынының ішкі жиыны болып табылады

Комплекс сандармен амалдар

Екі күрделі санды қосу үшін олардың нақты және жорамал бөліктерін қосыңыз.

Күрделі сандарды азайту

Әрекет қосуға ұқсайды, жалғыз ерекшелігі - шегерім жақшаға алынуы керек, содан кейін стандартты түрде бұл жақшаларды белгіні өзгерту арқылы ашыңыз.

Күрделі сандарды көбейту

көпмүшелерді көбейту ережесі бойынша жақшаларды ашу

Комплекс сандарды бөлу

Сандарды бөлу орындалады азайғыш пен алымды бөлгіштің жалғаулық өрнекіне көбейту арқылы.

Күрделі сандар нақты сандардың көптеген қасиеттеріне ие, олардан төмендегілерді атап өтеміз, деп аталады негізгі.

1) (а + б) + в = а + (б + в) (қосымша ассоциациялық);

2) а + б = б + а (қосудың ауыстырымдылығы);

3) а + 0 = 0 + а = а (қосу арқылы бейтарап элементтің болуы);

4) а + (−а) = (−а) + а = 0 (қарама-қарсы элементтің болуы);

5) а(б + в) = аб + ак ();

6) (а + б)в = ак + б.з.б (көбейтудің қосуға қатысты үлестірімділігі);

7) (аб)в = а(б.з.б) (көбейтудің ассоциативтілігі);

8) аб = ба (көбейтудің ауыстырымдылығы);

9) а∙1 = 1∙а = а (көбейту арқылы бейтарап элементтің болуы);

10) кез келген а≠ 0 б, Не аб = ба = 1 (кері элементтің болуы);

11) 0 ≠ 1 (аты жоқ).

Көрсетілген 11 қасиеті бар (бұл жағдайда аксиомалар) қосу және көбейту амалдары анықталатын ерікті сипаттағы объектілердің жиынтығы деп аталады. өріс.

Күрделі сандар өрісін көпмүшенің түбірі болатын нақты сандар өрісінің кеңейтімі ретінде түсінуге болады.

Кез келген күрделі санды (нөлден басқа) тригонометриялық түрде жазуға болады:
, Бұл қайда күрделі сан модулі, A - күрделі сан аргументі.

Комплекс санның модулікоординаталар басынан кешенді жазықтықтың сәйкес нүктесіне дейінгі қашықтық. Қарапайым тілмен айтқанда, модулі – ұзындықсызбада қызыл түспен белгіленген радиус векторы.

Күрделі санның модулі әдетте келесімен белгіленеді: немесе

Пифагор теоремасын пайдалана отырып, күрделі санның модулін табу формуласын шығару оңай: . Бұл формула жарамды кез келген үшін«а» және «болу» дегенді білдіреді.

Күрделі санның аргументішақырды бұрышарасында оң осьнақты ось және координат басынан сәйкес нүктеге жүргізілген радиус векторы. Аргумент жекеше үшін анықталмаған: .

Күрделі санның аргументі әдетте: немесе арқылы белгіленеді

болсын және φ = arg z. Содан кейін, аргументтің анықтамасы бойынша бізде:

Нақты сандар өрісіндегі матрицалардың сақинасы. Матрицаларға негізгі амалдар. Операциялық қасиеттер.

Матрицаөлшемі m´n, мұндағы m – жолдар саны, n – бағандар саны, белгілі бір ретпен орналасқан сандар кестесі деп аталады. Бұл сандар матрицалық элементтер деп аталады. Әрбір элементтің орны оның қиылысында орналасқан жолдың және бағанның нөмірімен бірегей түрде анықталады. Матрица элементтері a ij деп белгіленеді, мұндағы i - жол нөмірі және j - баған нөмірі.

Анықтама. Егер матрицаның бағандарының саны жолдар санына тең болса (m=n), онда матрица деп аталады шаршы.

Анықтама. Матрицаны көру:

= Е,

шақырды сәйкестік матрицасы.

Анықтама. Егер a mn = a nm, содан кейін матрица шақырылады симметриялы.

Мысал. - симметриялық матрица

Анықтама. Шаршы көрініс матрицасы шақырды диагональматрица.

Матрицаны санға көбейту

Матрицаны санға көбейту(белгі: ) элементтері матрицаның әрбір элементін осы санға көбейту арқылы алынатын матрицаны құрудан тұрады, яғни матрицаның әрбір элементі

Матрицаларды санға көбейту қасиеттері:

· он бір А = А;

2. (λβ)A = λ(βA)

3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(A+B) = λA + λB

Матрицаны қосу

Матрицаны қосуматрицаны табу операциясы, оның барлық элементтері матрицалардың барлық сәйкес элементтерінің жұптық қосындысына тең және , яғни матрицаның әрбір элементі тең

Матрицаны қосу қасиеттері:

1. коммутативтілік: A+B = B+A;

2.ассоциативтілік: (A+B)+C =A+(B+C);

3.нөлдік матрицасы бар қосу: A + Θ = A;

4.қарсы матрицаның болуы: A+(-A)=Θ;

Сызықтық операциялардың барлық қасиеттері сызықтық кеңістік аксиомаларын қайталайды, сондықтан келесі теорема дұрыс:

Бірдей өлшемдегі барлық матрицалардың жиыны м x nөріс элементтерімен П(барлық нақты немесе күрделі сандардың өрістері) пішіндері сызықтық кеңістік P өрісінде (әрбір мұндай матрица осы кеңістіктің векторы болып табылады). Дегенмен, ең алдымен терминологиялық шатасуды болдырмау үшін жалпы контексттердегі матрицалардан (бұл ең көп таралған стандартты қолданбаларда жоқ) және векторларды шақыру үшін терминді пайдаланудың нақты спецификациясынан аулақ болады.

Матрицаны көбейту

Матрицаны көбейту(белгілеу: , сирек көбейту белгісімен) - әрбір элементі бірінші көбейткіштің сәйкес жолындағы және екінші бағандағы элементтердің көбейтінділерінің қосындысына тең болатын матрицаны есептеу операциясы бар.

Матрицадағы бағандар саны матрицадағы жолдар санына сәйкес келуі керек, басқаша айтқанда, матрица келістіматрицамен. Егер матрицаның өлшемі , - болса, онда олардың көбейтіндісінің өлшемі болады.

Матрицаны көбейту қасиеттері:

1.ассоциативтілік (AB)C = A(BC);

2.коммутативті емес (жалпы): AB BA;

3. Сәйкестік матрицасымен көбейту кезінде көбейтінді ауыстырмалы болады: AI=IA;

4.тарату: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

5.санға көбейтуге қатысты ассоциативтілік және коммутативтілік: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Матрицалық транспозиция.

Кері матрицаны табу.

Квадрат матрица, егер ол сингулярлы емес болса, яғни оның анықтауышы нөлге тең болмаса ғана инвертивті болады. Квадрат емес матрицалар және азғын матрицалар үшін кері матрицалар жоқ.

Матрицалық дәрежелер теоремасы

А матрицасының дәрежесі нөлге тең емес минордың максималды реті болып табылады

Матрицаның дәрежесін анықтайтын минор базалық минор деп аталады. БМ құрайтын жолдар мен бағандар негізгі жолдар мен бағандар деп аталады.

Белгі: r(A), R(A), Rang A.

Түсініктеме. Әлбетте, матрица рангінің мәні оның өлшемдерінің ең кішісінен аспауы керек.

Кез келген матрица үшін оның минор, жол және баған рангтері бірдей.

Дәлелдеу. Матрицаның кіші дәрежесі болсын А тең r . қатар қатарының да тең екенін көрсетейік r . Бұл үшін қайтымды минор деп болжауға болады М тапсырыс r бірінші болып табылады r матрицалық жолдар А . Бұдан шығатыны, бірінші r матрицалық жолдар А сызықтық тәуелсіз және кіші жолдар жиынтығы М сызықтық тәуелсіз. Болсын а -- ұзындығы жол r , элементтерден тұрады мен -минормен бірдей бағандарда орналасқан матрицаның -ші жолы М . Кіші жолдардан бері М негізін құрайды к р , Бұл а -- кіші жолдардың сызықтық комбинациясы М . -дан шегеріңіз мен - ші жол А бірдей сызықтық комбинациябірінші r матрицалық жолдар А . Нәтиже санмен бағандағы бос емес элементті қамтитын жол болса т , содан кейін кәмелетке толмағанды ​​қарастырыңыз М 1 тапсырыс r+1 матрицалар А , кіші жолдарға матрицаның бірінші жолын қосу А және кіші бағандарға - матрицаның бағанына А (олар мұны кәмелетке толмаған дейді М 1 алды кіші жиектер М көмегімен мен -ші жол және т -матрицаның бағанасы А ). Біздің таңдауымыз бойынша т , бұл минор инвертивті (осы минордың соңғы жолынан біріншінің сызықтық комбинациясын алып тастау жеткілікті. r жолдарды таңдаңыз, содан кейін оның анықтауышын соңғы жолға кеңейтіңіз, бұл анықтауыш нөлдік емес скаляр факторға дейін кішінің анықтауышына сәйкес келетініне көз жеткізіңіз. М . А- приорит r мұндай жағдай мүмкін емес және, демек, трансформациядан кейін мен - ші жол А нөлге айналады. Басқаша айтқанда, түпнұсқа мен -ші қатар - біріншінің сызықтық комбинациясы r матрицалық жолдар А . Бірінші екенін көрсеттік r жолдар матрицалық жолдар жиынының негізін құрайды А , яғни кіші әріп дәрежесі А тең r . Баған дәрежесінің екенін дәлелдеу үшін r , жоғарыдағы пайымдауда «жолдар» мен «бағандарды» ауыстыру жеткілікті. Теорема дәлелденді.

Бұл теорема матрицаның үш дәрежесін ажыратудың мағынасы жоқ екенін көрсетеді, ал келесіде матрицаның рангі деп оның бағанға да, кіші рангтерге де тең екенін есте сақтай отырып, жол дәрежесін айтамыз (белгілеу r(А) -- матрицалық дәреже А ). Ранг теоремасын дәлелдеуден матрица рангы матрицаның кез келген инвертивті минорының өлшемімен сәйкес келетіні, оны қоршап тұрған барлық минорлар (егер олар мүлде бар болса) азғындау болатынын ескереміз.

Кронеккер-Капелли теоремасы

Сызықтық жүйе алгебралық теңдеулерегер оның негізгі матрицасының рангі оның кеңейтілген матрицасының дәрежесіне тең болса ғана сәйкес келеді және жүйенің бірегей шешімі болса, егер ранг санына теңбелгісіздер және шешімдердің шексіз саны, егер ранг саннан азбелгісіз.

Қажеттілік

Жүйе біркелкі болсын. Сонда мұндай сандар бар. Демек, баған матрицаның бағандарының сызықтық комбинациясы болып табылады. Матрицаның рангі оның жолдарының (бағандарының) жүйесі жойылса немесе басқа жолдардың (бағандардың) сызықтық комбинациясы болып табылатын жол (баған) тағайындалса, өзгермейтіндігінен мынадай қорытынды шығады.

Адекваттылық

рұқсат етіңіз. Матрицадағы негізгі минорларды алайық. Содан бері ол матрицаның негізгі миноры болады. Сонда негізгі минор теоремасы бойынша матрицаның соңғы бағанасы негізгі бағандардың, яғни матрицаның бағандарының сызықтық комбинациясы болады. Демек, жүйенің бос мүшелерінің бағаны матрицаның бағандарының сызықтық комбинациясы болып табылады.

Салдары

· Жүйенің негізгі айнымалыларының саны жүйенің рангіне тең.

· Біріккен жүйе анықталады (оның шешімі бірегей), егер жүйенің рангі оның барлық айнымалыларының санына тең болса.

Негізгі минор теоремасы.

Теорема. Ерікті А матрицасында әрбір баған (жол) негізгі минор орналасқан бағандардың (жолдардың) сызықтық комбинациясы болып табылады.

Осылайша, ерікті А матрицасының рангі матрицадағы сызықтық тәуелсіз жолдардың (бағандардың) максималды санына тең.

Егер А квадрат матрица және detA = 0 болса, онда бағандардың кем дегенде біреуі басқа бағандардың сызықтық комбинациясы болады. Бұл жолдарға да қатысты. Бұл тұжырым анықтауышы нөлге тең сызықтық тәуелділік қасиетінен шығады.

7. SLU шешімі. Крамер әдісі, матрицалық әдіс, Гаусс әдісі.

Крамер әдісі.

Бұл әдіс айнымалылар саны теңдеулер санымен сәйкес келетін сызықтық теңдеулер жүйесінде ғана қолданылады. Сонымен қатар, жүйенің коэффициенттеріне шектеулер енгізу қажет. Барлық теңдеулер сызықтық тәуелсіз болуы қажет, яғни. ешбір теңдеу басқаларының сызықтық комбинациясы болмайды.

Ол үшін жүйенің матрицасының анықтауышы 0-ге тең болмауы керек.

Шынында да, жүйенің кез келген теңдеуі басқаларының сызықтық комбинациясы болса, онда қандай да бір жолдың элементтері басқасының элементтеріне қосылып, қандай да бір санға көбейтіліп, сызықтық түрлендірулер қолданылса, нөлдік жолды алуға болады. Бұл жағдайда анықтауыш нөлге тең болады.

Теорема. (Крамер ережесі):

Теорема. n белгісізі бар n теңдеулер жүйесі

егер жүйенің матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, оның бірегей шешімі бар және бұл шешім мына формулалар арқылы табылады:

x i = D i /D, мұндағы

D = det A, ал D i - жүйе матрицасынан i бағанын бос мүшелердің b i бағанымен ауыстыру арқылы алынған матрицаның анықтаушысы.

D i =

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі.

Матрицалық әдіс теңдеулер саны белгісіздер санына тең болатын теңдеулер жүйесін шешуге қолданылады.

Әдіс төменгі ретті жүйелерді шешуге ыңғайлы.

Әдіс матрицаны көбейтудің қасиеттерін қолдануға негізделген.

Теңдеулер жүйесі берілсін:

Матрицаларды құрастыру: A = ; B = ; X =.

Теңдеулер жүйесін жазуға болады: A×X = B.

Келесі түрлендіруді жасайық: A -1 ×A×X = A -1 ×B, өйткені A -1 × A = E, содан кейін E × X = A -1 × B

X \u003d A -1 × B

Бұл әдісті қолдану үшін оны табу керек кері матрица, бұл жоғары ретті жүйелерді шешудегі есептеу қиындықтарына байланысты болуы мүмкін.

Анықтама. n белгісізі бар m теңдеулер жүйесі жалпы көрінісжазылады келесідей:

, (1)

мұндағы a ij – коэффициенттер, ал b i – тұрақтылар. Жүйенің шешімдері жүйеге ауыстырылған кезде оның әрбір теңдеуін сәйкестендіруге айналдыратын n саны болып табылады.

Анықтама. Егер жүйеде кем дегенде бір шешім болса, онда ол шақырылады буын. Егер жүйеде шешім болмаса, онда ол шақырылады үйлесімсіз.

Анықтама. Жүйе деп аталады белгіліегер оның бір ғана шешімі болса және белгісізбіреуден көп болса.

Анықтама. (1) түріндегі сызықтық теңдеулер жүйесі үшін матрица

A = жүйенің матрицасы, ал матрицасы деп аталады

A*=
жүйенің кеңейтілген матрицасы деп аталады

Анықтама. Егер b 1 , b 2 , …,b m = 0 болса, онда жүйе шақырылады біртекті. біртекті жүйе әрқашан үйлесімді.

Жүйелердің элементар түрлендірулері.

Элементар түрлендірулер:

1) Бір теңдеудің екі бөлігіне де нөлге тең емес, бірдей санға көбейтілген екіншісінің сәйкес бөліктерін қосу.

2) Теңдеулерді орындарға ауыстыру.

3) Барлық х үшін сәйкестіктер болып табылатын теңдеулер жүйесінен алып тастау.

Гаусс әдісі - классикалық әдіссызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін (SLAE) шешу. Бұл пайдалану кезінде айнымалыларды дәйекті жою әдісі элементарлық түрлендірулертеңдеулер жүйесі эквивалентті үшбұрышты жүйеге келтіріледі, одан дәйекті түрде соңғы (саны бойынша) айнымалылардан бастап, барлық басқа айнымалылар табылады.

Бастапқы жүйе осылай болсын

Матрицаны жүйенің негізгі матрицасы - бос мүшелер бағаны деп атайды.

Содан кейін жолдар бойынша элементар түрлендірулер қасиетіне сәйкес бұл жүйенің негізгі матрицасын сатылы түрге келтіруге болады (бірдей түрлендірулер бос мүшелер бағанына да қолданылуы керек):

Содан кейін айнымалылар шақырылады негізгі айнымалылар. Қалғандарының барлығы шақырылады Тегін.

Егер кем дегенде бір сан , мұндағы , онда қарастырылып отырған жүйе сәйкес емес, яғни. оның шешімі жоқ.

Кез келгеніне рұқсат етіңіз.

Еркін айнымалыларды тең белгілерден тыс тасымалдаймыз және жүйенің әрбір теңдеуін оның ең сол жағындағы коэффициентіне бөлеміз ( , мұндағы жол нөмірі):

Тегін болса жүйелік айнымалылар(2) барлық мүмкін мәндерді тағайындаңыз және төменнен жоғарыға қарай негізгі белгісіздерге қатысты жаңа жүйені шешіңіз (яғни төменгі теңдеуден жоғарыға дейін), содан кейін біз осы SLAE барлық шешімдерін аламыз. Бұл жүйе бастапқы жүйе (1) бойынша элементар түрлендірулер арқылы алынғандықтан, элементар түрлендірулер кезіндегі эквиваленттік теорема арқылы (1) және (2) жүйелер эквивалентті, яғни олардың шешімдерінің жиындары сәйкес келеді.

Салдары:
1: Егер бірлескен жүйеде барлық айнымалылар негізгі болса, онда мұндай жүйе анықталған.

2: Жүйедегі айнымалылар саны теңдеулер санынан асып кетсе, онда мұндай жүйе не анықталмаған, не сәйкес емес.

Алгоритм

Гаусс әдісімен SLAE шешу алгоритмі екі кезеңге бөлінеді.

Бірінші кезеңде жолдар бойынша элементар түрлендірулер арқылы жүйе сатылы немесе үшбұрышты түрге келтірілсе немесе жүйенің сәйкес келмейтіні анықталған кезде тікелей жылжыту деп аталады. Атап айтқанда, матрицаның бірінші бағанының элементтерінің ішінен нөлден басқасы таңдалады, ол жолдарды ауыстыру арқылы ең жоғарғы орынға жылжытылады және ауыстырудан кейін алынған бірінші жол оны көбейту арқылы қалған жолдардан шегеріледі. осы жолдардың әрқайсысының бірінші элементінің бірінші жолдың бірінші элементіне қатынасына тең мән бойынша, осылайша оның астындағы бағанды ​​нөлге келтіреді. Көрсетілген түрлендірулер жасалғаннан кейін бірінші жол мен бірінші баған ойша сызылады және нөлдік өлшемді матрица қалғанша жалғасады. Егер кейбір итерацияларда бірінші бағанның элементтері арасында нөлден басқасы табылмаса, келесі бағанға өтіп, ұқсас әрекетті орындаңыз.

Екінші кезеңде кері қозғалыс деп аталатын әрекет орындалады, оның мәні барлық алынған негізгі айнымалыларды базистік еместер арқылы өрнектеу және шешімдердің іргелі жүйесін құру, немесе егер барлық айнымалылар негізгі болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесінің жалғыз шешімін сандық түрде өрнектеңіз. Бұл процедура соңғы теңдеуден басталады, одан сәйкес негізгі айнымалы өрнектеледі (және онда біреу ғана бар) және алдыңғы теңдеулерге ауыстырылады, және т.б., «қадамдар» бойынша жоғарылайды. Әрбір жол дәл бір негізгі айнымалыға сәйкес келеді, сондықтан соңғы (ең жоғарғы) қоспағанда, әрбір қадамда жағдай соңғы жолдың жағдайын дәл қайталайды.

Векторлар. Негізгі ұғымдар. Скалярлық көбейтінді, оның қасиеттері.

Векторбағытталған кесінді (реттелген нүктелер жұбы) деп аталады. Векторларға да қатысты. nullбасы мен соңы бірдей вектор.

Ұзындығы (модуль)вектор – вектордың басы мен соңы арасындағы қашықтық.

векторлар деп аталады коллинеарлыегер олар бірдей немесе параллель түзулерде орналасса. Нөлдік вектор кез келген векторға коллинеар болады.

векторлар деп аталады салыстырмалыегер олар параллель болатын жазықтық бар болса.

Коллинеар векторлар әрқашан компланар болады, бірақ барлық компланар векторлар коллинеар емес.

векторлар деп аталады теңегер олар коллинеар болса, бағыты бірдей және абсолютті мәні бірдей болса.

Кез келген векторларды ортақ бастауға келтіруге болады, яғни. сәйкес деректерге тең және ортақ шығу тегі бар векторларды құрастыру. Вектор теңдігінің анықтамасынан кез келген вектордың оған тең шексіз көп векторлары бар екендігі шығады.

Сызықтық операцияларвекторлардың үстінен санды қосу және көбейту деп аталады.

Векторлардың қосындысы вектор -

Жұмыс - , коллинеарлы бола отырып.

Егер a > 0 болса, вектор ( ) векторымен кодирекциялы болады.

Вектор ( ¯ ) векторына қарама-қарсы, егер а болса< 0.

Векторлық қасиеттер.

1) + = + - коммутативтілік.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – ассоциациялық

6) (a + b) = a + b - үлестірімділік

7) a( + ) = a + a

1) Негізкеңістікте белгілі бір ретпен алынған кез келген 3 компланар емес векторлар деп аталады.

2) Негізжазықтықта белгілі бір ретпен алынған кез келген 2 коллинеар емес векторлар.

3)Негізкез келген нөлдік емес вектор сызықта шақырылады.

Егер кеңістіктегі базис және , онда a, b және g сандары шақырылады құрамдас бөліктер немесе координаттарвекторлар осы негізде.

Осыған байланысты мынаны жазуға болады қасиеттері:

тең векторлардың координаталары бірдей,

векторды санға көбейткенде, оның құрамдас бөліктері де сол санға көбейтіледі,

векторларды қосқанда оларға сәйкес компоненттер қосылады.

;
;

Векторлардың сызықтық тәуелділігі.

Анықтама. Векторлар шақырды сызықтық тәуелді, егер мұндай сызықтық комбинация болса , егер a i бір уақытта нөлге тең болмаса, яғни. .

Егер a i = 0 орындалса, онда векторлар сызықты тәуелсіз деп аталады.

Мүлік 1. Егер векторлардың арасында нөлдік вектор болса, онда бұл векторлар сызықты тәуелді болады.

Мүлік 2. Егер сызықтық тәуелді векторлар жүйесіне бір немесе бірнеше вектор қосылса, онда алынған жүйе де сызықты тәуелді болады.

Мүлік 3. Векторлардың бірі басқа векторлардың сызықтық комбинациясына ыдыраған жағдайда ғана векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болады.

Мүлік 4. Кез келген 2 коллинеар вектор сызықты тәуелді және керісінше кез келген 2 сызықты тәуелді вектор коллинеар болады.

Мүлік 5. Кез келген 3 компланар вектор сызықты тәуелді және керісінше, кез келген 3 сызықты тәуелді вектор компланар болады.

Мүлік 6. Кез келген 4 вектор сызықты тәуелді.

Координаталардағы вектор ұзындығывектордың бастапқы және соңғы нүктелерінің арасындағы қашықтық ретінде анықталады. Егер A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) кеңістігінде екі нүкте берілсе, онда .

Егер M(x, y, z) нүктесі АВ сегментін l/m қатынасында бөледі, онда бұл нүктенің координаталары келесідей анықталады:

Белгілі бір жағдайда координаттар сегменттің ортасысияқты орналасады:

x \u003d (x 1 + x 2) / 2; y = (y 1 + y 2)/2; z = (z 1 + z 2)/2.

Координаталардағы векторларға сызықтық амалдар.

Координаталық осьтердің айналуы

астында бұрылыскоординаталық осьтер координаталық түрлендіруді түсінеді, онда екі ось бірдей бұрышқа айналады, ал басы мен масштабы өзгеріссіз қалады.

Окси жүйесін α бұрышы арқылы айналдыру арқылы жаңа O 1 x 1 y 1 жүйесі алынсын.

Μ жазықтықтың ерікті нүктесі болсын, (х; у) - оның ескі жүйедегі координаталары және (х"; у") - жаңа жүйеде.

Біз екеуін таныстырамыз полярлық жүйелерортақ полюсі бар Ox және Οx 1 полярлық осьтері бар координаталар (масштаб бірдей). Полярлық радиусы r екі жүйеде де бірдей, ал полярлық бұрыштар сәйкесінше α + j және φ, мұндағы φ - жаңа полярлық жүйедегі полярлық бұрыш.

Полярлық координатадан тікбұрышты координатаға өту формулаларына сәйкес бізде бар

Бірақ rcosj = x" және rsinφ = y". Сондықтан

Алынған формулалар деп аталады осьтің айналу формулалары . Олар ерікті М нүктесінің ескі координаталарын (х; у) сол М нүктесінің жаңа координаталары (х"; у") тұрғысынан анықтауға мүмкіндік береді және керісінше.

Егер жаңа координаталар жүйесі O 1 x 1 y 1 ескі Oxy-ден координата осьтерін параллель көшіру және осьтерді кейіннен α бұрышымен айналдыру арқылы алынса (30-суретті қараңыз), онда көмекші жүйені енгізу арқылы бұл оңай. формулаларды алу

ерікті нүктенің ескі х және у координаттарын оның жаңа x" және y" координаталары арқылы өрнектеу.

Эллипс

Эллипс — жазықтықтағы нүктелер жиыны, олардың әрқайсысына дейінгі қашықтықтардың қосындысы

берілген екі нүктеге дейін тұрақты болады. Бұл нүктелер фокустар және деп аталады

тағайындалады F1Және F2, олардың арасындағы қашықтық 2с,және әрбір нүктеден дейінгі қашықтықтардың қосындысы

трюктар - 2а(шарт бойынша 2a>2c). Ол үшін декарттық координаталар жүйесін саламыз F1Және F2х осінде болды, ал басы сегменттің ортасымен сәйкес келді F1F2. Эллипстің теңдеуін шығарайық. Мұны істеу үшін ерікті нүктені қарастырыңыз M(x, y)эллипс. А- приорит: | F1M |+| F2M |=2а. F1M =(x+c; y);F2M =(x-c; y).

|F1M|=(x+ в)2 + ж 2 ; |F2M| = (x- в)2 + ж 2

(x+ в)2 + ж 2 + (x- в)2 + ж 2 =2а(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(x- в)2 + ж 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(x- в)2 + ж 2

a2-cx=a(x- в)2 + ж 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

өйткені 2a>2c(үшбұрыштың екі қабырғасының қосындысы үшінші қабырғасынан үлкен), сонда a2-c2>0.

Болсын a2-c2=b2

(a, 0), (−a, 0), (b, 0) және (−b, 0) координаталары бар нүктелер эллипстің төбелері деп аталады, a мәні эллипстің үлкен жарты осі, және b мәні - оның кіші жарты осі. F1(c, 0) және F2(−c, 0) нүктелері фокустар деп аталады

эллипс, ал F1 фокусы оң жақ, ал F2 фокусы сол деп аталады. Егер М нүктесі эллипске жататын болса, онда |F1M| қашықтықтары және |F2M| фокустық радиустар деп аталады және сәйкесінше r1 және r2 арқылы белгіленеді. e \u003d c / a мәні эллипстің эксцентриситеті деп аталады. x =a/e теңдеулері бар түзулер

және x = −a/e эллипстің директрисалары деп аталады (e = 0 үшін эллипстің директрисалары жоқ).

Жазықтықтың жалпы теңдеуі

Қарастырыңыз жалпы теңдеу x, y және z үш айнымалысы бар бірінші дәреже:

А, В немесе С коэффициенттерінің ең болмағанда біреуі нөлге тең емес деп есептей отырып, мысалы, (12.4) теңдеуді түрінде қайта жазамыз.