Ықтималдық қалыпты таралу функциясы. Ықтималдық үлестірудің қалыпты заңы. Қалыпты таралған кездейсоқ шамалардың сызықтық комбинациялары

Іс жүзінде, көпшілігі кездейсоқ айнымалыларәсер ететіндер көп саныкездейсоқ факторлар, ықтималдық үлестірімінің қалыпты заңына бағынады. Сондықтан ықтималдықтар теориясының әртүрлі қолданбаларында бұл заң ерекше маңызға ие.

Кездейсоқ шама $X$ қалыпты ықтималдық таралу заңына бағынады, егер оның ықтималдығының таралу тығыздығы келесі түрде болса

$$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\оң))^2)\үстінде 2(\sigma )^2)))$$

Схемалық түрде $f\left(x\right)$ функциясының графигі суретте көрсетілген және оның «Гаусс қисығы» атауы бар. Бұл графиканың оң жағында еуро енгізілгенге дейін қолданыста болған неміс 10 Марк банкноты орналасқан. Егер сіз мұқият қарасаңыз, онда бұл банкнотадан Гаусс қисығын және оны ашушы, ең ұлы математик Карл Фридрих Гауссты көруге болады.

$f\left(x\right)$ тығыздық функциямызға оралайық және $a,\ (\sigma )^2$ таралу параметрлері туралы түсініктеме берейік. $a$ параметрі кездейсоқ шама мәндерінің дисперсия центрін сипаттайды, яғни математикалық күту мағынасына ие. $a$ параметрі өзгергенде және $(\sigma )^2$ параметрі өзгеріссіз қалғанда, біз $f\left(x\right)$ функциясының графигінің абсцисса осі бойымен ығысуын байқай аламыз, ал тығыздық графиктің өзі оның пішінін өзгертпейді.

$(\sigma )^2$ параметрі дисперсия болып табылады және $f\left(x\right)$ тығыздық қисығының пішінін сипаттайды. $(\sigma )^2$ параметрін $a$ параметрімен өзгерткен кезде абсцисса бойымен жылжымай, тығыздық графигінің пішінін қалай өзгертетінін, кішірейетінін немесе созылатынын байқауға болады.

Қалыпты таралған кездейсоқ шаманың берілген интервалға түсу ықтималдығы

Белгілі болғандай, $X$ кездейсоқ шамасының $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ интервалына түсу ықтималдығын $P\left(\alpha) есептеуге болады.< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

$$P\сол(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

Мұндағы $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ функциясы Лаплас функциясы. Бұл функцияның мәндері -ден алынады. атап өтуге болады келесі қасиеттер$\Phi \left(x\right)$ функциялары.

1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, яғни $\Phi \left(x\right)$ функциясы тақ.

2 . $\Phi \left(x\right)$ - монотонды өсетін функция.

3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0,5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ сол жақ(x\оң)\ )=-0,5$.

$\Phi \left(x\right)$ функциясының мәндерін есептеу үшін Excel бумасының $f_x$ функциясы шеберін де пайдалануға болады: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\right )-0,5$. Мысалы, $x=2$ үшін $\Phi \left(x\right)$ функциясының мәндерін есептейік.

Қалыпты таралған $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ кездейсоқ шамасының $a$ күтуіне қатысты симметриялы интервалға түсу ықтималдығын формула бойынша есептеуге болады.

$$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

Үш сигма ережесі. Қалыпты таралған $X$ кездейсоқ шама $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$ интервалына түсетіні іс жүзінде сенімді.

1-мысал . $X$ кездейсоқ шама $a=2,\ \sigma =3$ параметрлері бар қалыпты ықтималдық таралу заңына бағынады. $X$ $\left(0,5;1\right)$ интервалына түсу ықтималдығын және $\left|X-a\right| теңсіздігінің ықтималдығын табыңыз.< 0,2$.

Формуланы қолдану

$$P\сол(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

$P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\(3))\оң жақ)-\Phi \left(((0,5-2)\ астам (3))\оң)=\Phi \left(-0,33\оң)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,5\оң)-\Phi \ left(0,33\оң) =0,191-0,129=0,062 доллар.

$$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

2-мысал . Бір жыл ішінде белгілі бір компанияның акцияларының бағасы 50 шартты ақша бірлігіне тең математикалық күтумен және 10-ға тең стандартты ауытқумен қалыпты заң бойынша бөлінген кездейсоқ шама болсын делік. Кездейсоқ таңдалғанда қандай ықтималдығы бар талқыланатын кезеңнің күні акцияның бағасы:

а) 70-тен астам шартты ақша бірлігі?

б) акцияға 50-ден төмен ме?

в) акцияға 45 пен 58 шартты ақша бірлігі арасында?

Кездейсоқ шама $X$ қандай да бір компанияның акцияларының бағасы болсын. Шарт бойынша $X$ $a=50$ параметрлері бар қалыпты таралу заңына бағынады - күтілетін мән, $\сигма =10$ - стандартты ауытқу. Ықтималдық $P\left(\альфа< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

$$P\сол(\альфа< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

$$a)\ P\left(X>70\оң)=\Phi \left(((\infty -50)\(10))\оң жақта)-\Phi \left(((70-50)\ жоғары (10))\оң)=0,5-\Phi \сол(2\оң)=0,5-0,4772=0,0228.$$

$$b)\ P\сол(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

$$c)\ P\сол(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

Кездейсоқ айнымалылар кездейсоқ оқиғалармен байланысты. Кездейсоқ оқиғалар белгілі бір жағдайларда алуға болатын нәтижені біржақты болжау мүмкін болмаған кезде айтылады.

Біз кәдімгі тиынды лақтырдық делік. Әдетте бұл процедураның нәтижесі ерекше сенімді емес. Екі нәрсенің бірі болады деп сенімді түрде айтуға болады: не бастар, не құйрықтар түседі. Бұл оқиғалардың кез келгені кездейсоқ болады. Мұның нәтижесін сипаттайтын айнымалы мәнді енгізуге болады кездейсоқ оқиға. Әлбетте, бұл айнымалы екі дискретті мәнді қабылдайды: бас және құйрық. Бұл айнымалы екі мүмкін мәннің қайсысын алатынын алдын ала болжай алмайтындықтан, бұл жағдайда біз кездейсоқ айнымалылармен айналысамыз деп айтуға болады.

Енді экспериментте біз қандай да бір ынталандыруды ұсыну кезінде субъектінің реакция уақытын бағалаймыз деп есептейік. Әдетте, экспериментатор эксперименттік жағдайларды стандарттау үшін барлық шараларды қолданса да, ынталандыруды ұсынудағы ықтимал ауытқуларды азайтады немесе тіпті жойса да, зерттелушінің реакция уақытының өлшенген мәндері әлі де өзгеретіні белгілі болды. Бұл жағдайда олар субъектінің реакция уақыты кездейсоқ шамамен сипатталады дейді. Негізінде, экспериментте реакция уақытының кез келген мәнін алуға болатындықтан - өлшеу нәтижесінде алуға болатын реакция уақытының мүмкін мәндерінің жиынтығы шексіз болып шығады - олар туралы айтады үздіксіздік бұл кездейсоқ шама.

Сұрақ туындайды: кездейсоқ шамалардың әрекетінде қандай да бір заңдылықтар бар ма? Бұл сұрақтың жауабы оң болып шығады.

Сонымен, егер сіз шексіз жұмсасаңыз үлкен санбірдей монетаны лақтыра отырып, монетаның екі жағындағы оқиғалардың саны, әрине, монета жалған және майыспаған болса, шамамен бірдей болатынын табасыз. Бұл заңдылықты ерекше атап өту үшін кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы түсінігі енгізілген. Тиын лақтырылған жағдайда екі ықтимал оқиғаның бірі міндетті түрде болатыны анық. Бұл осы екі оқиғаның жалпы ықтималдығы, басқаша жалпы ықтималдық деп аталатын, 100% болатындығына байланысты. Егер монетаны сынауға байланысты екі оқиғаның екеуі де бірдей ықтималдықпен жүреді деп есептесек, онда әрбір нәтиженің ықтималдығы бөлек, анық, 50% болып шығады. Осылайша, теориялық пайымдаулар берілген кездейсоқ шаманың әрекетін сипаттауға мүмкіндік береді. Мұндай сипаттама математикалық статистикатерминімен белгіленеді «кездейсоқ шаманың таралуы».

Жағдай нақты анықталған мәндер жиыны жоқ кездейсоқ шамамен күрделірек, яғни. үздіксіз болып шығады. Бірақ бұл жағдайда да оның мінез-құлқының кейбір маңызды заңдылықтарын атап өтуге болады. Сонымен, зерттелушінің реакция уақытын өлшейтін эксперимент жүргізген кезде субъектінің реакциясының ұзақтығының әртүрлі интервалдары әртүрлі ықтималдық дәрежесімен бағаланатынын атап өтуге болады. Субъектінің тым жылдам әрекет етуі сирек кездеседі. Мысалы, семантикалық шешім тапсырмаларында субъектілер 500 мс-ден (1/2 с) аз жылдамдықта азды-көпті дәл жауап бере алмайды. Дәл осылай экспериментатордың нұсқауларын адал орындайтын субъект оның жауабын кешіктіруі екіталай. Семантикалық шешім мәселелерінде, мысалы, 5 секундтан жоғары бағаланған жауаптар әдетте сенімсіз болып саналады. Дегенмен, 100% сенімділікпен субъектінің реакция уақыты 0-ден + co аралығында болады деп болжауға болады. Бірақ бұл ықтималдық кездейсоқ шаманың әрбір жеке мәнінің ықтималдықтарының қосындысы болып табылады. Сондықтан үздіксіз кездейсоқ шаманың таралуын былай сипаттауға болады үздіксіз функция y = f (X ).

Егер біз дискретті кездейсоқ шамамен айналысатын болсақ, оның барлық мүмкін мәндері алдын ала белгілі болған кезде, мысалы, тиын мысалында, оны таратудың үлгісін құру әдетте қиын емес. Қарастырылып отырған мысалда айтқанымыздай, кейбір ақылға қонымды болжамдарды ғана енгізу жеткілікті. Белгісіз мәндерді алдын ала қабылдайтын үздіксіз шамалардың таралуымен жағдай күрделірек. Әрине, егер біз, мысалы, семантикалық шешім мәселесін шешу кезінде реакция уақытын өлшеу арқылы экспериментте субъектінің мінез-құлқын сипаттайтын теориялық модельді жасасақ, біз осы модельге негізделген теориялық үлестіруді сипаттауға тырысамыз. нақты мәндерсол ынталандыруды ұсынған кезде бір субъектінің реакция уақыты. Дегенмен, бұл әрқашан мүмкін емес. Сондықтан экспериментатор оны қызықтыратын кездейсоқ шаманың таралуы алдын ала зерттелген қандай да бір заңмен сипатталған деп болжауға мәжбүр болуы мүмкін. Көбінесе, бұл әрқашан абсолютті дұрыс болмауы мүмкін болса да, осы мақсаттар үшін оның табиғатына қарамастан кез келген кездейсоқ шаманы бөлу үшін стандарт ретінде әрекет ететін қалыпты деп аталатын үлестірім қолданылады. Бұл бөлу алғаш рет 18 ғасырдың бірінші жартысында математикалық түрде сипатталған. де Мовр.

Қалыпты таралу бізді қызықтыратын құбылыс бір-бірін теңестіретін кездейсоқ факторлардың шексіз санының әсеріне ұшыраған кезде пайда болады. Формальды түрде қалыпты таралу, де Мувр көрсеткендей, келесі қатынас арқылы сипатталуы мүмкін:

Қайда X мінез-құлқын зерттейтін бізді қызықтыратын кездейсоқ шаманы білдіреді; Р бұл кездейсоқ шамамен байланысты ықтималдық мәні; π және e - натурал логарифмнің диаметрі мен негізіне сәйкес шеңбердің қатынасын сипаттайтын белгілі математикалық тұрақтылар; μ және σ2 кездейсоқ шаманың қалыпты таралу параметрлері, сәйкесінше кездейсоқ шаманың математикалық күтуі мен дисперсиясы X.

Қалыпты таралуды сипаттау үшін тек μ және σ2 параметрлерін анықтау қажет және жеткілікті болып шығады.

Сондықтан, егер бізде мінез-құлқы μ және σ2 ерікті мәндері бар (1.1) теңдеуімен сипатталған кездейсоқ шама болса, оны келесідей белгілей аламыз. Ν (μ, σ2) осы теңдеудің барлық бөлшектерін есте сақтамай.

Күріш. 1.1.

Кез келген үлестірімді график түрінде көрнекі түрде көрсетуге болады. Графикалық түрде қалыпты таралу қоңырау тәрізді қисық пішінге ие, оның нақты пішіні таралу параметрлерімен анықталады, яғни. математикалық күту және дисперсия. Қалыпты таралу параметрлері экспериментатор қолданатын өлшеу шкаласымен ғана шектелетін кез келген дерлік мәндерді қабылдай алады. Теориялық тұрғыдан математикалық күтудің мәні -∞-тен +∞-ге дейінгі сандар диапазонындағы кез келген сан болуы мүмкін, ал дисперсия кез келген теріс емес сан болуы мүмкін. Сондықтан қалыпты таралудың әртүрлі түрлерінің шексіз саны және сәйкесінше оны білдіретін қисықтардың шексіз саны бар (бірақ ұқсас қоңырау тәрізді пішіні бар). Олардың барлығын сипаттау мүмкін емес екені анық. Алайда, егер белгілі бір қалыпты таралудың параметрлері белгілі болса, оны деп аталатынға түрлендіруге болады бірлік қалыпты таралу, математикалық күту нөлге тең, ал дисперсиясы бірге тең. Бұл қалыпты таралу деп те аталады стандартты немесе z-тарату. Бірліктің қалыпты таралу графигі күріште көрсетілген. 1.1, осыдан қалыпты таралудың қоңырау тәрізді қисығының жоғарғы бөлігі математикалық күтудің мәнін сипаттайтыны анық. Қалыпты таралудың тағы бір параметрі – дисперсия – горизонтальға (абсцисса осіне) қатысты қоңырау тәрізді қисықтың «таралу» дәрежесін сипаттайды.

Анықтама 1

$X$ кездейсоқ шамасының таралу тығыздығы мына формуламен анықталса, қалыпты үлестірімді (Гаусс үлестірімі) болады:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)(2(\sigma )^ 2))\]

Мұнда $aϵR$ – математикалық күту, ал $\sigma >0$ – стандартты ауытқу.

Қалыпты таралу тығыздығы.

Осыны көрсетейік функциясыбұл шын мәнінде таралу тығыздығы. Ол үшін келесі шартты тексеріңіз:

Қарастырыңыз дұрыс емес интеграл$\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)( 2(\sigma )^2))dx)$.

Ауыстыруды жасайық: $\frac(x-a)(\sigma )=t,\ x=\sigma t+a,\ dx=\sigma dt$.

$f\left(t\right)=e^(\frac(-t^2)(2))$ жұп функция болғандықтан, онда

Теңдік сақталады, сондықтан $\varphi \left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )e^(\frac(-((x-a))^2)( 2 (\sigma )^2))$ шын мәнінде кейбір кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы болып табылады.

$\varphi \left(x\right)$ қалыпты үлестірімінің ықтималдық тығыздығы функциясының ең қарапайым қасиеттерін қарастырайық:

1. Қалыпты үлестірімнің ықтималдық тығыздық функциясының графигі $x=a$ түзуіне қатысты симметриялы.
2. $\varphi \left(x\right)$ функциясы максималды мәніне $x=a$ шамасында жетеді, ал $\varphi \left(a\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma ) e^(\frac(-((a-a))^2)(2(\sigma )^2))=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )$
3. $\varphi \left(x\right)$ функциясы $x>a$ ретінде төмендейді және $x ретінде артады
4. $\varphi \left(x\right)$ функциясының $x=a+\sigma $ және $x=a-\sigma $ қиылысу нүктелері бар.
5. $\varphi \left(x\right)$ функциясы $Ox$ осіне $x\ - \pm \infty $ ретінде асимптоталық түрде жақындайды.
6. Схематикалық диаграмма келесідей көрінеді келесідей(Cурет 1).

1-сурет 1. Қалыпты таралу тығыздығы графигі

Назар аударыңыз, егер $a=0$ болса, онда функцияның графигі $Oy$ осіне қатысты симметриялы болады. Демек, $\varphi \left(x\right)$ функциясы жұп.

Ықтималдық қалыпты таралу функциясы.

Қалыпты таралу үшін ықтималдық үлестірім функциясын табу үшін келесі формуланы қолданамыз:

Демек,

Анықтама 2

$F(x)$ функциясы стандартты қалыпты үлестірім деп аталады, егер $a=0,\ \sigma =1$, яғни:

Мұнда $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ Лаплас функциясы болып табылады.

Анықтама 3

Функция $Ф\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi ))\int\limits^x_0(e^(\frac(-t^2)(2))dt)$ ықтималдық интегралы деп аталады.

Қалыпты таралудың сандық сипаттамалары.

Математикалық күту: $M\left(X\right)=a$.

Дисперсия: $D\сол(X\оң)=(\sigma )^2$.

Орташа квадрат бөлу: $\sigma \left(X\right)=\sigma $.

1-мысал

Мысал Мәселені шешуқалыпты таралу тұжырымдамасы туралы.

1-тапсырма: $X$ жолының ұзындығы кездейсоқ үздіксіз мән. $X$ қалыпты таралу заңына сәйкес бөлінеді, оның орташа мәні $4$ километр, ал стандартты ауытқу $100$ метр.

1. $X$ үлестіру тығыздығы функциясын табыңыз.
2. Таралу тығыздығының диаграммалық сызбасын тұрғызыңыз.
3. $X$ кездейсоқ шамасының таралу функциясын табыңыз.
4. Дисперсияны табыңыз.

1. Бастау үшін барлық шамаларды бір өлшемде елестетейік: 100м = 0,1км

1-анықтамадан біз аламыз:

\[\varphi \left(x\right)=\frac(1)(0,1\sqrt(2\pi ))e^(\frac(-((x-4))^2)(0,02 ))\]

(өйткені $a=4\ км,\ \сигма =0,1\ км)$

1. Тарату тығыздығы функциясының қасиеттерін пайдалана отырып, $\varphi \left(x\right)$ функциясының графигі $x=4$ түзуіне қатысты симметриялы екенін көреміз.

Функция $\left(a,\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\right)=(4,\ \frac(1)(0,1\sqrt() нүктесінде максимумға жетеді. 2\pi )))$

Схематикалық диаграмма келесідей көрінеді:

2-сурет.

1. Авторы функцияның анықтамасыбөлулер $F\left(x\right)=\frac(1)(\sqrt(2\pi )\sigma )\int\limits^x_(-\infty )(e^(\frac(-((t-a)) )^2)(2(\sigma )^2))dt)$, бізде:

1. $D\сол(X\оң)=(\sigma )^2=0,01$.