Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңы. Екі өлшемді кездейсоқ шама Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу шартты заңы

Анықтама 2.7. кездейсоқ сандар жұбы (X, Y),немесе координаталық жазықтықтағы нүкте (2.11-сурет).

Күріш. 2.11.

2D кездейсоқ мән- Бұл жеке оқиғакөпөлшемді кездейсоқ шама немесе кездейсоқ вектор.

Анықтама 2.8. Кездейсоқ вектор -Бұл кездейсоқ функция?,(/) мүмкін аргумент мәндерінің соңғы жиынымен т,оның мәні кез келген мән үшін ткездейсоқ шама болып табылады.

Екі өлшемді кездейсоқ шама координаталары үздіксіз болса үзіліссіз, ал координаталары дискретті болса дискретті деп аталады.

Екі өлшемді кездейсоқ шамалардың таралу заңын орнату оның мүмкін мәндері мен осы мәндердің ықтималдығы арасындағы сәйкестікті орнатуды білдіреді. Орнату тәсілдері бойынша кездейсоқ шамалар үздіксіз және дискретті болып бөлінеді, дегенмен кез келген РВ таралу заңын орнатудың жалпы тәсілдері бар.

Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама

Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама үлестірім кестесінің көмегімен анықталады (2.1-кесте).

2.1-кесте

Бөлу кестесі (бірлескен бөлу) CB ( X, U)

Кесте элементтері формуламен анықталады

Тарату кестесі элементінің қасиеттері:

Әрбір координат бойынша бөлу деп аталады бір өлшемдінемесе шекті:

Р 1> = P(X =.d,) - БҚ-ның шекті таралуы X;

p^2) = P(Y= y,)- SV U-ның шекті таралуы.

КБ-ның бірлескен таралуы туралы хабарлама Xжәне Y, ықтималдықтар жиынымен берілген [p () ), i = 1,..., n, j = 1,..., Т(тарату кестесі) және шекті бөлу.

Сол сияқты SV U үшін p- 2)= X p, g

Есеп 2.14. Берілген:

Үздіксіз 2D кездейсоқ шама

/(X, y) dxdy- екі өлшемді кездейсоқ шама (X, Y) ықтималдық элементі - қабырғалары бар тіктөртбұрышта кездейсоқ шамаға (X, Y) соғу ықтималдығы cbc, dyсағ dx, dy -* 0:

f(x, y) - таралу тығыздығыекі өлшемді кездейсоқ шама (X, Y). Тапсырма /(x, у)береміз толық ақпаратекі өлшемді кездейсоқ шаманың таралуы туралы.

Шекті бөлулер берілген келесідей: Х бойынша - БҚ Х/,(х) таралу тығыздығы; Авторы Ы- SV таралу тығыздығы f>(y).

Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңын үлестіру функциясы арқылы орнату

Дискретті немесе үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шама үшін таралу заңын анықтаудың әмбебап тәсілі таралу функциясы болып табылады. F(x, y).

Анықтама 2.9. Тарату функциясы F(x, y)- оқиғалардың бірігіп пайда болу ықтималдығы (Xy), яғни. F(x0,y n) = = P(Xу), координаталық жазықтыққа лақтырылып, төбесі M(x 0,) нүктесінде болатын шексіз квадрантқа түседі. сен мен)(2.12-суреттегі көлеңкелі аймақта).

Күріш. 2.12.Бөлу функциясының суреті F( x, y)

Функция қасиеттері F(x, y)

• 1) 0 1;
• 2) F(-oo,-oo) = F(x,-oo) = F(-oo, у) = 0; F( oo, oo) = 1;
• 3) F(x, y)- әрбір дәлелде азаймауы;
• 4) F(x, y) -үздіксіз сол және төменгі;
• 5) бөлудің жүйелілігі:

F(x, X: F(x, oo) = F,(x); F(y, oo) - шекті үлестіру Y F( oo, y) = F 2 (y).Байланыс /(x, y)бірге F(x, y):

Буын тығыздығы мен шекті тығыздық арасындағы байланыс. Дана f(x, y).Біз шекті таралу тығыздықтарын аламыз f(x),f 2 (y)".

Екі өлшемді кездейсоқ шаманың тәуелсіз координаталары жағдайы

Анықтама 2.10. БҚ XЖәне Тәуелсіз(nc) егер осы RV-лердің әрқайсысымен байланысты кез келген оқиғалар тәуелсіз болса. nc CB анықтамасынан келесідей:

• 1 )Pij = p X) pf
• 2 )F(x,y) = F l (x)F 2 (y).

Бұл тәуелсіз БҚ үшін болып шықты XЖәне Ыаяқталды және

3 )f(x,y) = J(x)f,(y).

Мұны тәуелсіз БҚ үшін дәлелдеп көрейік XЖәне Y2) 3). Дәлелдеу,а) 2) болсын, яғни,

сол уақытта F(x,y) = f Дж f(u,v)dudv, 3-тен кейін шығады);

ә) енді 3 ұстасын, онда

анау. шын 2).

Тапсырмаларды қарастырайық.

Есеп 2.15. Бөлу келесі кесте бойынша берілген:

Біз шекті үлестірімдерді құрастырамыз:

Біз алып жатырмыз P(X = 3, У = 4) = 0,17 * P(X = 3) P (Y \u003d 4) \u003d 0,1485 => => SV Xжәне тәуелділер.

Тарату функциясы:

Есеп 2.16. Бөлу келесі кесте бойынша берілген:

Біз алып жатырмыз P tl = 0,2 0,3 = 0,06; P 12 \u003d 0,2? 0,7 = 0,14; P2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0,8 0,7 = 0,56 => БҚ XЖәне Ы nz.

Есеп 2.17. Дана /(x, у) = 1/ст| -0,5(күн "+ 2xy + 5d/ 2)]. Табу О)Және /Ай)-

Шешім

(өзіңіз есептеңіз).

Анықтама.Егер екі кездейсоқ шама элементар оқиғалардың бір кеңістігінде берілсе XЖәне Y,сосын берілгенін айтады екі өлшемді кездейсоқ шама (X,Y) .

Мысал.Машина болат плиткаларды штамптайды. Ұзындығы басқарылады Xжәне ені Ы. − екі өлшемді БҚ.

БҚ XЖәне Ыөзіндік таралу функциялары және басқа да сипаттамалары бар.

Анықтама. Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу функциясы (X, Y) функция деп аталады.

Анықтама. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңы (X, Y) кесте деп аталады

Екі өлшемді дискретті БҚ үшін .

Қасиеттер:

2) егер болса, онда ; егер болса, онда ;

4) − бөлу функциясы X;

− бөлу функциясы Ы.

Тіктөртбұрыштағы екі өлшемді SW мәндерін соғу ықтималдығы:

Анықтама. 2D кездейсоқ шама (X,Y)шақырды үздіксіз егер оның таралу функциясы үздіксіз және барлық жерде (қисықтардың шектеулі санын қоспағанда) 2-ші ретті үздіксіз аралас жартылай туындысы бар .

Анықтама. Екі өлшемді үздіксіз БҚ-ның бірлескен ықтималдық үлестірімінің тығыздығы функция деп аталады.

Сонда анық .

1-мысалЕкі өлшемді үздіксіз БҚ үлестіру функциясымен берілген

Сонда таралу тығыздығы пішінге ие болады

2-мысалЕкі өлшемді үздіксіз БҚ таралу тығыздығы арқылы беріледі

Оның таралу функциясын табайық:

Қасиеттер:

3) кез келген аймақ үшін.

Бірлескен таралу тығыздығы белгілі болсын. Сонда екі өлшемді БҚ құрауыштарының әрқайсысының таралу тығыздығы келесі түрде табылады:

2-мысал (жалғасы).

Екі өлшемді SW компоненттерінің таралу тығыздықтарын кейбір авторлар атайды маргиналдыықтималдықтың таралу тығыздықтары .

Дискретті RV жүйесінің құрамдас бөліктерінің таралуының шартты заңдары.

Шартты ықтималдық, мұндағы.

Шартты заңқұрамдас бөлу Xмекенжайы:

Сол сияқты үшін, қайда.

Шартты бөлу заңын шығарайық Xсағ Y= 2.

Содан кейін шартты бөлу заңы

Анықтама. X компонентінің шартты таралу тығыздығы берілген мәнде Y=yдеп аталады.

Сол сияқты: .

Анықтама. шартты математикалық дискретті SW Y күту at деп аталады, мұндағы − жоғарыдан қараңыз.

Демек, .

Үшін үздіксізБҚ Ы .

Аргументтің функциясы екені анық X. Бұл функция деп аталады X бойынша Y регрессия функциясы .

Сол сияқты анықталған x-on-y регрессия функциясы : .

Теорема 5. (Тәуелсіз RV таралу функциясы туралы)

БҚ XЖәне Ы

Салдары.Үздіксіз БҚ XЖәне Ытәуелсіз болып табылады, тек және егер.

1-мысалда . Сондықтан, С.В XЖәне Ытәуелсіз.

Сандық сипаттамаларекі өлшемді кездейсоқ шаманың құрамдастары

Дискретті CB үшін:

Үздіксіз БҚ үшін: .

Барлық БҚ үшін дисперсия және стандартты ауытқу бізге белгілі формулалармен анықталады:

Анықтама.Нүкте деп аталады шашырау орталығы екі өлшемді БҚ.

Анықтама. Ковариация (корреляциялық момент) NE деп аталады

Дискретті БҚ үшін: .

Үздіксіз БҚ үшін: .

Есептеу формуласы: .

Тәуелсіз CB үшін.

Сипаттаманың қолайсыздығы оның өлшемі болып табылады (компоненттер өлшем бірлігінің квадраты). Келесі мөлшер бұл кемшіліктен таза.

Анықтама. Корреляция коэффициенті БҚ XЖәне Ышақырды

Тәуелсіз CB үшін.

Кез келген БҚ жұбы үшін . Бұл белгілі егер және тек егер, онда.

Анықтама.БҚ XЖәне Ышақырды корреляциясыз , Егер .

БҚ корреляциясы мен тәуелділігі арасындағы байланыс:

− егер CB XЖәне Ыкорреляциялық, яғни. , онда олар тәуелді болады; керісінше дұрыс емес;

− егер CB XЖәне Ытәуелсіз, сонда ; керісінше дұрыс емес.

Ескерту 1.Егер БҚ XЖәне Ытаратқан қалыпты заңЖәне , онда олар тәуелсіз.

Ескерту 2.Практикалық құндылық тәуелділік өлшемі ретінде жұптың бірлескен таралуы қалыпты немесе шамамен қалыпты болғанда ғана ақталады. Ерікті SW үшін XЖәне Ықате тұжырымға келуге болады, яғни. мүмкін тіпті қашан XЖәне Ықатаң функционалдық қатынаспен байланысты.

Ескерту 3. IN математикалық статистикаКорреляция – шамалар арасындағы ықтималдық (статистикалық) тәуелділік, жалпы айтқанда, қатаң функционалдық сипатқа ие емес. Корреляциялық тәуелділік шамалардың біреуі берілген секундқа ғана емес, сонымен қатар бірқатар кездейсоқ факторларға тәуелді болғанда немесе сол немесе басқа шама тәуелді болатын жағдайлардың ішінде олардың екеуіне де ортақ шарттар болғанда пайда болады.

4-мысалБҚ үшін XЖәне Ы 3-мысалдан табыңыз .

Шешім.

5-мысалЕкі өлшемді БҚ-ның бірлескен таралу тығыздығы берілген.

Екі өлшемді кездейсоқ шама ( X, Ы), мүмкін мәндері жұп сандар ( x, y). Құрамдас бөліктер XЖәне Ы, бір мезгілде қарастырылады, нысаны жүйесіекі кездейсоқ шама.

Екі өлшемді шаманы геометриялық түрде кездейсоқ нүкте ретінде түсіндіруге болады М(X; Ы) бетінде xOyнемесе кездейсоқ вектор ретінде ОМ.

Дискреттіекі өлшемді шама деп аталады, оның құрамдас бөліктері дискретті.

үздіксізқұраушылары үздіксіз болатын екі өлшемді шама деп аталады.

бөлу заңыЕкі өлшемді кездейсоқ шаманың ықтималдықтары мүмкін мәндер мен олардың ықтималдықтары арасындағы сәйкестік деп аталады.

Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңы берілуі мүмкін: а) мүмкін мәндер мен олардың ықтималдықтарын қамтитын екі жақты кесте түрінде; б) аналитикалық жолмен, мысалы, үлестіру функциясы түрінде.

бөлу функциясыекі өлшемді кездейсоқ шаманың ықтималдығы функция деп аталады F(x, y), сандардың әрбір жұбын анықтау (x, y)ықтималдығы Xх-тен кіші мәнді қабылдайды және бір уақытта Ы-ден кіші мәнді қабылдайды ж:

F(x, y) = P(X< x, Y < y).

Геометриялық тұрғыдан бұл теңдікті былай түсіндіруге болады: F(x, y)кездейсоқ нүктенің ықтималдығы бар ( X, Y) төбесі бар шексіз квадрантқа түседі ( x,y)осы шыңның сол жағында және астында орналасқан.

Кейде «тарату функциясы» терминінің орнына «интегралдық функция» термині қолданылады.

Бөлу функциясы бар келесі қасиеттер:

Мүлік 1. Бөлу функциясының мәндері қос теңсіздікті қанағаттандырады

0 ≤ F (x, y) ≤ 1.

Мүлік 2. Бөлу функциясы әрбір аргументке қатысты кемімейтін функция болып табылады:

F(x 2 , y) ≥ F(x 1 , y) егер x 2 > x 1 ,

F(x, y 2) ≥ F(x, y 1) егер y 2 > y 1 болса.

Мүлік 3. шектік қатынастар бар:

1) F(–∞, y) = 0,

3) F(–∞, –∞) = 0,

2) F(x, –∞) = 0,

4) F(∞, ∞) = 1.

Мүлік 4. A) Сағат=∞ жүйенің таралу функциясы Х компонентінің таралу функциясына айналады:

F(x, ∞) = F 1 (x).

б) x үшін = ∞ жүйенің таралу функциясы Y компонентінің таралу функциясына айналады:

F(∞, y) = F 2 (y).

Бөлу функциясын пайдаланып, соғу ықтималдығын табуға болады кездейсоқ нүктетөртбұрышқа x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :

P(x1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .

Бірлескен ықтималдық үлестірімінің тығыздығы (екі өлшемді ықтималдық тығыздығы)Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шаманы бөлу функциясының екінші аралас туындысы деп атайды:

Кейде «екі өлшемді ықтималдық тығыздығы» терминінің орнына «жүйенің дифференциалдық функциясы» термині қолданылады.

Түйісу таралу тығыздығын қабырғалары D болатын тіктөртбұрышқа кездейсоқ нүктенің түсу ықтималдығының қатынасының шегі ретінде қарастыруға болады. xжәне Д жосы тіктөртбұрыштың екі жағы нөлге бейім болғанда ауданына; геометриялық тұрғыдан, ол деп аталатын бет ретінде түсіндіруге болады тарату беті.

Таралу тығыздығын біле отырып, таралу функциясын формула бойынша табуға болады

Кездейсоқ нүктенің (Х, У) D аймағына түсу ықтималдығы теңдікпен анықталады

Екі өлшемді ықтималдық тығыздығы келесі қасиеттерге ие:

Мүлік 1. Екі айнымалы ықтималдық тығыздығы теріс емес:

f(x,y) ≥ 0.

Мүлік 2. Екі өлшемді ықтималдық тығыздығының шексіз шекті қос бұрыс интегралы бірге тең:

Атап айтқанда, (X, Y) барлық мүмкін мәндері соңғы D доменіне жататын болса, онда

226. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі берілген?

Компоненттердің таралу заңдылықтарын табыңыз.

228. Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу функциясы берілген

Кездейсоқ нүктеге соғу ықтималдығын табыңыз ( X, Y x = 0, x= p/4, ж= p/6, ж= p/3.

229. Кездейсоқ нүктеге соғу ықтималдығын табыңыз ( X, Y) сызықтармен шектелген тіктөртбұрышқа x = 1, x = 2, ж = 3, ж= 5, егер үлестіру функциясы белгілі болса

230. Екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу функциясы берілген

Жүйенің екі өлшемді ықтималдық тығыздығын табыңыз.

231. Шеңберде x 2 + y 2 ≤ R 2екі айнымалы ықтималдық тығыздығы ; шеңберден тыс f(x, y)= 0. Табыңыз: а) тұрақты C; б) кездейсоқ нүктеге соғу ықтималдығы ( X, Y) радиусы бар шеңберге r= 1, егер бастапқы нүктенің ортасында Р = 2.

232. Бірінші ширекте екі кездейсоқ шама жүйесінің таралу функциясы берілген F(x, y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x - y. Табу: а) жүйенің екі өлшемді ықтималдық тығыздығын; б) кездейсоқ нүктеге соғу ықтималдығы ( X, Y) төбелері бар үшбұрышқа А(1; 3), Б(3; 3), C(2; 8).

8.2. Құрамдастардың ықтималдықтарының үлестірілуінің шартты заңдары
дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама

Компоненттерге рұқсат етіңіз XЖәне Ыдискретті және сәйкесінше келесі мүмкін мәндерге ие: x 1 , x 2 , …, x n ; y 1 , y 2 , …, ym.

X компонентінің шартты таралуысағ Y=yj(j X-тің барлық мүмкін мәндері үшін бірдей мәнді сақтайды) шартты ықтималдықтардың жиыны деп аталады

p(x 1 |y j), p(x 2 |y j), …, p(x n |y j).

Шартты үлестіру Y дәл осылай анықталады.

X және Y компоненттерінің шартты ықтималдықтары сәйкесінше формулалар бойынша есептеледі

Есептеулерді бақылау үшін шартты үлестіру ықтималдықтарының қосындысы бірге тең екеніне көз жеткізген жөн.

233. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама берілген ( X, Y):

Табу: а) шартты таралу заңы Xболған жағдайда Ы=10; б) шартты бөлу заңы Ыболған жағдайда X=6.

8.3. Тығыздықтарды табу және шартты таралу заңдары
үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шаманың құрамдастары

Компоненттердің біреуінің таралу тығыздығы тең дұрыс емес интегралЖүйенің бірлескен таралу тығыздығы бойынша шексіз шектеулермен және интеграциялық айнымалы басқа компонентке сәйкес келеді:

Мұнда құрамдастардың әрқайсысының мүмкін мәндері бүкіл сандық оське жатады деп болжанады; егер мүмкін мәндер ақырлы интервалға жататын болса, интегралдау шегі ретінде сәйкес соңғы сандар қабылданады.

X компонентінің шартты таралу тығыздығыберілген мәнде Y=yжүйенің бірлескен таралу тығыздығының компоненттің таралу тығыздығына қатынасы болып табылады Ы:

Компоненттің шартты таралу тығыздығы ұқсас анықталады Ы:

Кездейсоқ шамалардың шартты таралу тығыздықтары болса XЖәне Ыолардың шартсыз тығыздықтарына тең болса, онда мұндай шамалар тәуелсіз болады.

Біркелкіекі өлшемді үздіксіз кездейсоқ шаманың таралуы деп аталады ( X, Y) егер барлық мүмкін мәндер жататын аймақта ( x, y), бірлескен ықтималдық үлестірімінің тығыздығы тұрақты болып қалады.

235. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шаманың (X, Y) бірлескен таралу тығыздығы берілген.

Табыңдар: а) компоненттердің таралу тығыздығын; б) компоненттердің шартты таралу тығыздықтары.

236. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шаманың бірлескен таралу тығыздығы ( X, Y)

Табыңыз: а) тұрақты фактор C; б) компоненттердің таралу тығыздығы; в) компоненттердің шартты таралу тығыздықтары.

237. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шама ( X, Y) симметрия центрі координаталық осьтерге параллель және 2а және 2b қабырғалары координаталар басында болатын тіктөртбұрыштың ішінде біркелкі таралған. Табу: а) жүйенің екі өлшемді ықтималдық тығыздығын; б) компоненттердің таралу тығыздығы.

238. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шама ( X, Y) төбелері бар тікбұрышты үшбұрыштың ішінде біркелкі бөлінген О(0; 0), А(0; 8), IN(8;0). Табу: а) жүйенің екі өлшемді ықтималдық тығыздығын; б) компоненттердің тығыздықтары және шартты таралу тығыздықтары.

8.4. Үздіксіз жүйенің сандық сипаттамалары
екі кездейсоқ шама

Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шаманың (X, Y) X және Y компоненттерінің таралу тығыздықтарын біле отырып, біз олардың математикалық күтулері мен дисперсияларын таба аламыз:

Кейде екі өлшемді ықтималдық тығыздығы бар формулаларды пайдалану ыңғайлырақ ( қос интегралдаржүйенің мүмкін мәндерінің ауқымында қабылданады):

Бастапқы момент n k, стапсырыс k+sжүйелер ( X, Y) өнімнің күтуі деп аталады X k Y с:

nk, s = M.

Сондай-ақ,

n 1,0 = M(X), n 0,1 = M(Y).

Орталық момент m k, стапсырыс k+sжүйелер ( X, Y) сәйкесінше ауытқулар көбейтіндісінің математикалық күтуі деп аталады к-ші және сші дәрежелер:

m k, s = M( k ∙ s ).

Сондай-ақ,

m 1,0 = M = 0, m 0,1 = M = 0;

m 2,0 = M 2 = D(X), m 0,2 = M 2 = D(Y);

Корреляция моменті m xужүйелер ( X, Y) орталық момент деп аталады м 1.1 1+1 тәртібі:

m xу = M( ∙ ).

Корреляция коэффициенті X және Y мәндері корреляциялық моменттің осы мәндердің стандартты ауытқуларының көбейтіндісіне қатынасы болып табылады:

r xy = m xy / (s x s y).

Корреляция коэффициенті өлшемсіз шама және | rxy| ≤ 1. Тығыздықты бағалау үшін корреляция коэффициенті қолданылады сызықтық байланысарасында XЖәне Ы: корреляция коэффициентінің абсолюттік мәні бірге жақын болған сайын, байланыс күшейеді; корреляция коэффициентінің абсолютті мәні нөлге жақын болған сайын, байланыс әлсіз болады.

корреляцияланғанекі кездейсоқ шама, егер олардың корреляциялық моменті нөлден өзгеше болса, шақырылады.

Корреляциясызекі кездейсоқ шама, егер олардың корреляциялық моменті нөлге тең болса, шақырылады.

Екі корреляциялық шама да тәуелді; егер екі шама тәуелді болса, онда олар корреляциялық немесе корреляциясыз болуы мүмкін. Екі шаманың тәуелсіздігінен олардың өзара байланыссыздығы шығады, бірақ өзара байланыссыздықтан бұл шамалардың тәуелсіздігі туралы қорытынды жасау әлі де мүмкін емес (қалыпты таралған шамалар үшін олардың тәуелсіздігі осы шамалардың өзара байланыссыздығынан туындайды).

Үшін үздіксіз шамалар X және Y корреляция моментін мына формулалар арқылы табуға болады:

239. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шаманың (X, Y) бірлескен таралу тығыздығы берілген?

Табыңыз: а) математикалық күтулерді; б) X және Y компоненттерінің дисперсиялары.

240. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шаманың (X, Y) бірлескен таралу тығыздығы берілген?

Компоненттердің математикалық күтулері мен дисперсияларын табыңыз.

241. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шаманың бірлескен таралу тығыздығы ( X, Y): f(x, y) = 2 cosx cozyквадраты 0 ≤ x≤p/4, 0 ≤ ж≤p/4; алаңның сыртында f(x, y)= 0. Компоненттердің математикалық күтулерін табыңыз.

242. Дәлелдеңдер, егер кездейсоқ шамалар жүйесінің екі өлшемді ықтималдық тығыздығы ( X, Y) екі функцияның туындысы ретінде ұсынылуы мүмкін, олардың біреуі тек тәуелді x, ал екіншісі - тек бастап ж, содан кейін шамалар XЖәне Ытәуелсіз.

243. Дәлелдеңіз, егер XЖәне Ықосылған сызықтық тәуелділік Ы = aX + б, онда корреляция коэффициентінің абсолютті мәні біреуге тең болады.

Шешім. Корреляция коэффициентінің анықтамасы бойынша,

r xy = m xy / (s x s y).

m xу = M( ∙ ). (*)

Математикалық күтуді табайық Ы:

M(Y) = M = aM(X) + b. (**)

(**) орнына (*), кейін элементарлық түрлендірулерБіз алып жатырмыз

m xy \u003d aM 2 \u003d aD (X) \u003d 2 x ретінде.

Мынадай жағдай болса

Y – M(Y) = (aX + b) – (aM(X) + b) = a,

дисперсияны табыңыз Ы:

D(Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x .

Осы жерден s y = |a|s x. Демек, корреляция коэффициенті

Егер а> 0, содан кейін rxy= 1; Егер а < 0, то rxy = –1.

Сонымен, | rxy| = 1, ол дәлелдеуге тиіс болды.

X және Y кездейсоқ шамаларының реттелген жұбы (X , Y) екі өлшемді кездейсоқ шама немесе екі өлшемді кеңістіктің кездейсоқ векторы деп аталады. Екі өлшемді кездейсоқ шаманы (X,Y) X және Y кездейсоқ шамаларының жүйесі деп те атайды. Дискретті кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің олардың ықтималдықтарымен жиыны осы кездейсоқ шаманың таралу заңы деп аталады. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама (X, Y) берілген болып саналады, егер оның таралу заңы белгілі болса:

P(X=x i , Y=y j) = p ij , i=1,2...,n, j=1,2...,m

Қызметтік тапсырма. Берілген тарату заңына сәйкес қызметті пайдалана отырып, сіз мыналарды таба аласыз:

• үлестіру қатары X және Y, математикалық күту M[X], M[Y], дисперсия D[X], D[Y];
• ковариация cov(x,y), корреляция коэффициенті r x,y , X шартты таралу қатары, шартты күту M;

Нұсқау. Ықтималдық үлестіру матрицасының өлшемін (жолдар мен бағандар саны) және оның пішінін көрсетіңіз. Алынған шешім Word файлында сақталады.

№1 мысал. Екі өлшемді дискретті кездейсоқ шаманың таралу кестесі болады:

Шешім. Σp ij = 1 шартынан q мәнін табамыз
Σp ij = 0,02 + 0,03 + 0,11 + … + 0,03 + 0,02 + 0,01 + q = 1
0,91+q = 1. Неден q = 0,09

∑P(x) формуласын қолдану мен, ж j) = б мен(j=1..n), Х таралу қатарын табыңыз.

ковариация cov(X,Y) = M - M[X] M[Y] = 2 10 0,11 + 3 10 0,12 + 4 10 0,03 + 2 20 0,13 + 3 20 0,09 + 4 20 0,02 + 1 30 0,002 +01. 3 30 0,08 + 4 30 0,01 + 1 40 0,03 + 2 40 0,11 + 3 40 0,05 + 4 40 0,09 - 25,2 2,59 = -0,068
Корреляция коэффициенті rxy = cov(x,y)/σ(x)&sigma(y) = -0,068/(11,531*0,801) = -0,00736

2-мысал. Деректер статистикалық өңдеу X және Y екі көрсеткішіне қатысты ақпарат корреляциялық кестеде көрсетілген. Міндетті:

1. X және Y үшін таралу қатарларын жазу және олар үшін іріктеу ортасын және стандартты ауытқуларды таңдауды есептеу;
2. шартты таралу Y/x қатарын жазу және шартты орташаларды Y/x есептеу;
3. шартты орташа мәндердің Y/x X мәндеріне тәуелділігін графикалық түрде бейнелеу;
4. X бойынша таңдау корреляция коэффициентін Y есептеу;
5. тура регрессия теңдеуінің үлгісін жазу;
6. корреляциялық кестенің деректерін геометриялық түрде көрсетіңіз және регрессия сызығын құрыңыз.

Шартты күту M = 11*0,33 + 16*0,67 + 21*0 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 14,33
Шартты дисперсия D = 11 2 *0,33 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 14,33 2 = 5,56
Шартты таралу заңы X(Y=30).
P(X=11/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=16/Y=30) = 6/9 = 0,67
P(X=21/Y=30) = 3/9 = 0,33
P(X=26/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=31/Y=30) = 0/9 = 0
P(X=36/Y=30) = 0/9 = 0
Шартты күту M = 11*0 + 16*0,67 + 21*0,33 + 26*0 + 31*0 + 36*0 = 17,67
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0,67 + 21 2 *0,33 + 26 2 *0 + 31 2 *0 + 36 2 *0 - 17,67 2 = 5,56
Шартты таралу заңы X(Y=40).
P(X=11/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=16/Y=40) = 0/55 = 0
P(X=21/Y=40) = 6/55 = 0,11
P(X=26/Y=40) = 45/55 = 0,82
P(X=31/Y=40) = 4/55 = 0,0727
P(X=36/Y=40) = 0/55 = 0
Шартты күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0,11 + 26*0,82 + 31*0,0727 + 36*0 = 25,82
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,11 + 26 2 *0,82 + 31 2 *0,0727 + 36 2 *0 - 25,82 2 = 4,51
Шартты таралу заңы X(Y=50).
P(X=11/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=16/Y=50) = 0/16 = 0
P(X=21/Y=50) = 2/16 = 0,13
P(X=26/Y=50) = 8/16 = 0,5
P(X=31/Y=50) = 6/16 = 0,38
P(X=36/Y=50) = 0/16 = 0
Шартты күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0,13 + 26*0,5 + 31*0,38 + 36*0 = 27,25
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0,13 + 26 2 *0,5 + 31 2 *0,38 + 36 2 *0 - 27,25 2 = 10,94
Шартты таралу заңы X(Y=60).
P(X=11/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=16/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=21/Y=60) = 0/14 = 0
P(X=26/Y=60) = 4/14 = 0,29
P(X=31/Y=60) = 7/14 = 0,5
P(X=36/Y=60) = 3/14 = 0,21
Шартты күту M = 11*0 + 16*0 + 21*0 + 26*0,29 + 31*0,5 + 36*0,21 = 30,64
Шартты дисперсия D = 11 2 *0 + 16 2 *0 + 21 2 *0 + 26 2 *0,29 + 31 2 *0,5 + 36 2 *0,21 - 30,64 2 = 12,37
3. Шартты үлестіру заңы Y.
Шартты таралу заңы Y(X=11).
P(Y=20/X=11) = 2/2 = 1
P(Y=30/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=40/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=50/X=11) = 0/2 = 0
P(Y=60/X=11) = 0/2 = 0
Шартты күту M = 20*1 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 20
Шартты дисперсия D = 20 2 *1 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 20 2 = 0
Шартты таралу заңы Y(X=16).
P(Y=20/X=16) = 4/10 = 0,4
P(Y=30/X=16) = 6/10 = 0,6
P(Y=40/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=50/X=16) = 0/10 = 0
P(Y=60/X=16) = 0/10 = 0
Шартты күту M = 20*0,4 + 30*0,6 + 40*0 + 50*0 + 60*0 = 26
Шартты дисперсия D = 20 2 *0,4 + 30 2 *0,6 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *0 - 26 2 = 24
Шартты таралу заңы Y(X=21).
P(Y=20/X=21) = 0/11 = 0
P(Y=30/X=21) = 3/11 = 0,27
P(Y=40/X=21) = 6/11 = 0,55
P(Y=50/X=21) = 2/11 = 0,18
P(Y=60/X=21) = 0/11 = 0
Шартты күту M = 20*0 + 30*0,27 + 40*0,55 + 50*0,18 + 60*0 = 39,09
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0,27 + 40 2 *0,55 + 50 2 *0,18 + 60 2 *0 - 39,09 2 = 44,63
Шартты таралу заңы Y(X=26).
P(Y=20/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=30/X=26) = 0/57 = 0
P(Y=40/X=26) = 45/57 = 0,79
P(Y=50/X=26) = 8/57 = 0,14
P(Y=60/X=26) = 4/57 = 0,0702
Шартты күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0,79 + 50*0,14 + 60*0,0702 = 42,81
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,79 + 50 2 *0,14 + 60 2 *0,0702 - 42,81 2 = 34,23
Шартты таралу заңы Y(X=31).
P(Y=20/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=30/X=31) = 0/17 = 0
P(Y=40/X=31) = 4/17 = 0,24
P(Y=50/X=31) = 6/17 = 0,35
P(Y=60/X=31) = 7/17 = 0,41
Шартты күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0,24 + 50*0,35 + 60*0,41 = 51,76
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0,24 + 50 2 *0,35 + 60 2 *0,41 - 51,76 2 = 61,59
Шартты таралу заңы Y(X=36).
P(Y=20/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=30/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=40/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=50/X=36) = 0/3 = 0
P(Y=60/X=36) = 3/3 = 1
Шартты күту M = 20*0 + 30*0 + 40*0 + 50*0 + 60*1 = 60
Шартты дисперсия D = 20 2 *0 + 30 2 *0 + 40 2 *0 + 50 2 *0 + 60 2 *1 - 60 2 = 0
ковариация.
cov(X,Y) = M - M[X] M[Y]
cov(X,Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 25,3 42,3 = 38,11
Кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда олардың ковариациясы нөлге тең болады. Біздің жағдайда cov(X,Y) ≠ 0.
Корреляция коэффициенті.


у-дан х-ке дейінгі сызықтық регрессия теңдеуі:

x-тен у-ге дейінгі сызықтық регрессия теңдеуі:

Қажетті сандық сипаттамаларды табыңыз.
Үлгі білдіреді:
x = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 42,3
y = (20(2 + 4) + 30(6 + 3) + 40(6 + 45 + 4) + 50(2 + 8 + 6) + 60(4 + 7 + 3))/100 = 25,3
дисперсиялар:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) )/100 - 42,3 2 = 99,71
σ 2 у = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3))/100 - 25,3 2 = 24,01
Стандартты ауытқуларды қайдан аламыз:
σ x = 9,99 және σ у = 4,9
және ковариация:
Ков(x,y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 514 6 + 60 31 7 + 60 36 3)/100 - 42,3 25,3 = 38,11
Корреляция коэффициентін анықтайық:


y(x) регрессия түзулерінің теңдеулерін жазайық:

және есептей отырып, біз аламыз:
yx = 0,38x + 9,14
x(y) регрессия түзулерінің теңдеулерін жазайық:

және есептей отырып, біз аламыз:
x y = 1,59 y + 2,15
Кесте және регрессия түзулері арқылы анықталған нүктелерді тұрғызсақ, екі түзудің де координаталары (42.3; 25.3) нүкте арқылы өтетінін және нүктелердің регрессия түзулеріне жақын орналасқанын көреміз.
Корреляция коэффициентінің маңыздылығы.

Маңыздылық деңгейі α=0,05 және еркіндік дәрежесі k=100-m-1 = 98 болатын Студент кестесіне сәйкес t критті табамыз:
t крит (n-m-1;α/2) = (98;0,025) = 1,984
мұндағы m = 1 - түсіндірмелі айнымалылар саны.
Егер t obs > t критикалық болса, онда корреляция коэффициентінің алынған мәні маңызды деп танылады (корреляция коэффициенті нөлге тең деген нөлдік гипотеза қабылданбайды).
t obl > t крит болғандықтан, корреляция коэффициенті 0-ге тең деген гипотезаны жоққа шығарамыз. Басқаша айтқанда, корреляция коэффициенті статистикалық маңызды.

Жаттығу. Сәйкес интервалдардағы кездейсоқ шамалардың X және Y мәндерінің жұптарының соққы саны кестеде келтірілген. Осы деректерден таңдамалы корреляция коэффициентін және X бойынша Y және Y бойынша X түзу регрессия сызықтарының үлгі теңдеулерін табыңыз.
Шешім

Мысал. Екі өлшемді кездейсоқ шаманың (X, Y) ықтималдық үлестірімі кесте арқылы берілген. X, Y құраушы шамаларының таралу заңдылықтарын және p(X, Y) корреляция коэффициентін табыңыз.
Шешімді жүктеп алу

Жаттығу. 2D дискретті шама(X, Y) үлестіру заңымен берілген. Х және У компоненттерінің таралу заңдылықтарын, ковариация мен корреляция коэффициентін табыңыз.

Кездейсоқ айнымалылар жиыны X 1 ,X 2 ,...,X бықтималдық кеңістігінің () пішіндері бойынша анықталады P-өлшемді кездейсоқ шама ( X 1 ,X 2 ,...,X б). Егер экономикалық процессекі кездейсоқ шаманың көмегімен сипатталады X 1 және X 2 , содан кейін екі өлшемді кездейсоқ шама анықталады ( X 1 ,X 2) немесе ( X,Ы).

бөлу функциясыекі кездейсоқ шама жүйесі ( X,Ы), айнымалылар функциясы ретінде қарастырылады оқиғаның орын алу ықтималдығы болып табылады. :

Бөлу функциясының мәндері теңсіздікті қанағаттандырады

Геометриялық тұрғыдан таралу функциясы Ф(x,ж) кездейсоқ нүктенің ықтималдығын анықтайды ( X,Ы) нүктесінде төбесі бар шексіз квадрантқа түседі. X,сағ), нүктесінен бастап ( X,Ы) көрсетілген шыңның астында және сол жағында болады (9.1-сурет).

X,Ы) жартылай жолақта (9.2-сурет) немесе жартылай жолақта (9.3-сурет) мына формулалармен өрнектеледі:

тиісінше. Мәндерге жету ықтималдығы X,Ы) тік төртбұрышқа (9.4-сурет) мына формула бойынша табуға болады:

9.2-сур.9.3-сур.9.4

Дискреттіекі өлшемді шама деп аталады, оның құрамдас бөліктері дискретті.

бөлу заңыекі өлшемді дискретті кездейсоқ шама ( X,Ы) мүмкін мәндер жиыны ( x i, y j), , дискретті кездейсоқ шамалар XЖәне Ыжәне олардың сәйкес ықтималдықтары құрамдас болу ықтималдығын сипаттайды Xмағынаға ие болады x iжәне бір мезгілде компонент Ымағынаға ие болады y j, және

Екі өлшемді дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы ( X,Ы) кесте түрінде берілген. 9.1.

9.1-кесте

Ω X Ω Ы	x 1	x 2	…	x i	…
ж 1	б(x 1 ,ж 1)	б(x 2 ,ж 1)	…	p( x i,ж 1)	…
ж 2	б(x 1 ,ж 2)	б(x 2 ,ж 2)	…	p( x i,ж 2)	…
…	…	…	…	…	…
y i	б(x 1 ,y i)	б(x 2 ,y i)	…	p( x i,y i)	…
…	…	…	…	…	…

үздіксізқұраушылары үздіксіз болатын екі өлшемді кездейсоқ шама. Функция Р(X,сағ) екі өлшемді кездейсоқ шамаға соғу ықтималдығы қатынасының шегіне тең ( X,Ы) қабырғалары бар тіктөртбұрышқа және осы тіктөртбұрыштың ауданына, егер тіктөртбұрыштың екі жағы да нөлге бейім болса, деп аталады. Ықтималдылықтың таралу тығыздығы:

Таралу тығыздығын біле отырып, таралу функциясын мына формула бойынша табуға болады:

Бөлу функциясының екінші ретті аралас туындысы бар барлық нүктелерде , ықтималдықтың таралу тығыздығы формула арқылы табуға болады:

Кездейсоқ нүктеге соғу ықтималдығы ( X,сағ) аймаққа Dтеңдігімен анықталады:

Кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xмағынаға ие болды X<х кездейсоқ шама болған жағдайда Ытұрақты мән алды Ы=ж, мына формуламен есептеледі:

Сияқты,

Компоненттердің шартты ықтималдық таралу тығыздықтарын есептеу формулалары XЖәне Ы :

Шартты ықтималдықтардың жиыны б(x 1 |y i), б(x 2 |y i), …, б(x i |y i), … шартты қанағаттандыру Y=y i, компоненттің шартты таралуы деп аталады Xсағ Y=y iX,Ы), Қайда

Сол сияқты компоненттің шартты таралуы Ысағ X=x iдискретті екі өлшемді кездейсоқ шама ( X,Ы) шартқа сәйкес келетін шартты ықтималдықтардың жиынтығы X=x i, Қайда

Тапсырыстың бастапқы сәтіk+sекі өлшемді кездейсоқ шама ( X,Ы және , яғни. .

Егер XЖәне Y-дискретті кездейсоқ шама, онда

Егер XЖәне Y-үздіксіз кездейсоқ шамалар, онда

Орталық нүктетапсырыс k+sекі өлшемді кездейсоқ шама ( X,Ы) өнімдерді күту деп аталады Және ,анау.

Егер құрамдас шамалар дискретті болса, онда

Құраушы шамалар үздіксіз болса, онда

Қайда Р(X,ж) екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы ( X,Ы).

Шартты күтуЫ(X)сағ X=x(сағ Y=y) пішіннің өрнегі деп аталады:

– дискретті кездейсоқ шама үшін Ы(X);

– үздіксіз кездейсоқ шама үшін Ы(X).

Компоненттердің математикалық күтулері XЖәне ЫЕкі өлшемді кездейсоқ шама келесі формулалармен есептеледі:

корреляциялық моменттәуелсіз кездейсоқ шамалар XЖәне Ы, екі өлшемді кездейсоқ шамаға енгізілген ( X,Ы), осы шамалардың ауытқуларының көбейтінділерінің математикалық күтуі деп аталады:

Екі тәуелсіз кездейсоқ шаманың корреляциялық моменті XX,Y) нөлге тең.

Корреляция коэффициентікездейсоқ айнымалылар Xжәне Y екі өлшемді кездейсоқ шамаға енгізілген ( X,Ы), олар корреляциялық моменттің осы шамалардың стандартты ауытқуларының көбейтіндісіне қатынасын атайды:

Корреляция коэффициенті арасындағы сызықтық корреляциялық тәуелділік дәрежесін (тығыздығын) сипаттайды XЖәне Ы. Кездейсоқ айнымалылар үшін , корреляциясыз деп аталады.

Корреляция коэффициенті келесі қасиеттерді қанағаттандырады:

1. Корреляция коэффициенті кездейсоқ шамалардың өлшем бірліктеріне тәуелді емес.

2. Корреляция коэффициентінің абсолютті мәні біреуден аспайды:

3. Егер онда құрамдас бөліктер арасында XЖәне Ыкездейсоқ шама ( x, Y) сызықтық функционалдық тәуелділік бар:

4. Егер онда құрамдас бөліктер XЖәне Ыекі айнымалы кездейсоқ шама корреляциясыз.

5. Егер онда құрамдас бөліктер XЖәне Ыекі өлшемді кездейсоқ шама тәуелді.

Теңдеулер М(X|Y=y)=φ( сағ)Және М(Y|X=x)=ψ( x) регрессия теңдеулері, ал олар арқылы анықталатын сызықтар регрессия сызықтары деп аталады.

Тапсырмалар

9.1. Екі өлшемді дискретті кездейсоқ шама (X, Y)бөлу заңымен берілген:

9.2-кесте

Ω x Ω y
	0,2	0,15	0,08	0,05
	0,1	0,05	0,05	0,1
	0,05	0,07	0,08	0,02

Табыңыз: а) компоненттердің таралу заңдылықтарын XЖәне Ы;

б) шаманың шартты таралу заңы Ысағ X =1;

в) бөлу функциясы.

Шамалардың тәуелсіз екенін анықтаңыз XЖәне Ы. Ықтималдылықты және негізгі сандық сипаттамаларын есептеңіз М(X),М(Ы),D(X),D(Ы),Р(X,Ы), .

Шешім.а) Кездейсоқ айнымалылар Xжәне Y элементар нәтижелерден тұратын жиынтықта анықталады, оның келесі формасы бар:

оқиға ( X= 1) бірінші құрамдас бөлігі 1-ге тең нәтижелердің жиынтығы сәйкес келеді: (1;0), (1;1), (1;2). Бұл нәтижелер сәйкес келмейді. Оның ықтималдығы Xмағынаға ие болады x i, Колмогоровтың 3 аксиомасына сәйкес мынаған тең:

Сол сияқты

Сондықтан компоненттің шекті таралуы X, кесте түрінде беруге болады. 9.3.

9.3-кесте

б) Шартты ықтималдықтардың жиыны Р(1;0), Р(1;1), Р(1;2) шартты қанағаттандыру X=1, компоненттің шартты таралуы деп аталады Ысағ X=1. Шамалық мәндердің ықтималдығы Ысағ X=1 формуланы пайдаланып табамыз:

Сондықтан, сәйкес ықтималдықтардың мәндерін ауыстырып, аламыз

Сонымен, компоненттің шартты таралуы Ысағ X=1 келесідей көрінеді:

9.5-кесте

y j
	0,48	0,30	0,22

Шартты және шартсыз бөлу заңдары сәйкес келмейтіндіктен (9.4 және 9.5 кестелерді қараңыз), онда шамалар XЖәне Ытәуелді. Бұл тұжырымды теңдікпен растайды

мүмкін мәндердің кез келген жұбы үшін XЖәне Ы.

Мысалы,

в) Тарату функциясы Ф(x,ж) екі өлшемді кездейсоқ шаманың (X,Y)ұқсайды:

мұнда теңсіздіктер бір уақытта орындалатын барлық нүктелер () бойынша қосынды орындалады. x i Және y j . Сонда берілген бөлу заңы үшін мынаны аламыз:

Нәтижені 9.6-кесте түрінде ұсыну ыңғайлырақ.

9.6-кесте

X ж
		0,20	0,35	0,43	0,48
		0,30	0,5	0,63	0,78
		0,35	0,62	0,83

Біз бастапқы моменттердің формулаларын және 9.3 және 9.4 кестелерінің нәтижелерін қолданамыз және компоненттердің математикалық күтулерін есептейміз. XЖәне Ы:

Дисперсиялар екінші бастапқы момент және кестенің нәтижелері арқылы есептеледі. 9.3 және 9.4:

Ковариацияны есептеу үшін TO(X,Y) бастапқы момент бойынша ұқсас формуланы қолданамыз:

Корреляция коэффициенті мына формуламен анықталады:

Қажетті ықтималдық сәйкес теңсіздікпен анықталатын жазықтықтағы аймаққа түсу ықтималдығы ретінде анықталады:

9.2. Кеме SOS хабарламасын жібереді, оны екі радиостанция қабылдай алады. Бұл сигналды бір радиостанция екіншісінен тәуелсіз қабылдай алады. Бірінші радиостанцияның сигналды қабылдау ықтималдығы 0,95; сигналды екінші радиостанция қабылдау ықтималдығы 0,85. Екі радиостанцияның сигналды қабылдауын сипаттайтын екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңын табыңыз. Бөлу функциясын жазыңыз.

Шешімі:Болсын X– сигналды бірінші радиостанция қабылдау фактісінен тұратын оқиға. Ы– оқиға сигналды екінші радиостанция қабылдайды.

Көптеген құндылықтар .

X=1 – бірінші радиостанция қабылдаған сигнал;

X=0 – сигналды бірінші радиостанция қабылдамады.

Көптеген құндылықтар .

Ы=l – екінші радиостанция қабылдаған сигнал,

Ы=0 – сигналды екінші радиостанция қабылдамады.

Сигналдың бірінші немесе екінші радиостанциялардың қабылданбау ықтималдығы мынаған тең:

Бірінші радиостанцияның сигналды қабылдау ықтималдығы:

Екінші радиостанцияның сигналды қабылдау ықтималдығы:

Сигналдың бірінші де, екінші де радиостанцияларды қабылдау ықтималдығы мынаған тең: .

Сонда екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңы мынаған тең болады:

ж x
	0,007	0,142
	0,042	0,807

X,ж) мағынасы Ф(X,ж) кездейсоқ шаманың сол мүмкін мәндерінің ықтималдықтарының қосындысына тең ( X,Ы) көрсетілген тіктөртбұрыштың ішіне түсетін.

Содан кейін тарату функциясы келесідей болады:

9.3. Екі фирма бірдей өнімді шығарады. Әрқайсысы бір-бірінен тәуелсіз өндірісті жаңғыртуды шеше алады. Бірінші фирманың бұл шешімді қабылдау ықтималдығы 0,6. Екінші фирманың мұндай шешім қабылдау ықтималдығы 0,65. Екі фирманың өндірісін модернизациялау шешімін сипаттайтын екі өлшемді кездейсоқ шаманың таралу заңын жазыңыз. Бөлу функциясын жазыңыз.

Жауап:Тарату заңы:

	0,14	0,21
	0,26	0,39

Координаталары бар нүктенің әрбір тіркелген мәні үшін ( x,ж) мән көрсетілген тіктөртбұрыштың ішіне түсетін мүмкін мәндердің ықтималдықтарының қосындысына тең .

9.4. Автомобиль қозғалтқыштарына арналған поршеньді сақиналар автоматты токарлық станокта жасалады. Сақинаның қалыңдығы өлшенеді (кездейсоқ мән X) және тесік диаметрі (кездейсоқ мән Ы). Барлық поршеньдік сақиналардың шамамен 5% ақаулы екені белгілі. Сонымен қатар, қабылданбағандардың 3%-ы стандартты емес саңылау диаметрлеріне, 1%-ы стандартты емес қалыңдыққа және 1%-ы екі негіз бойынша да қабылданбайды. Табу: екі өлшемді кездейсоқ шаманың бірлескен таралуы ( X,Ы); бір өлшемді құрамдас үлестірім XЖәне Ы;компоненттерді күту XЖәне Ы; құраушылар арасындағы корреляция моменті және корреляция коэффициенті XЖәне Ыекі өлшемді кездейсоқ шама ( X,Ы).

Жауап:Тарату заңы:

	0,01	0,03
	0,01	0,95

; ; ; ; ; .

9.5. Зауыт өндірісінде ақауға байланысты некеге тұру А 4% құрайды және ақауға байланысты IN- 3,5%. Стандартты өндіріс 96% құрайды. Барлық өнімдердің қанша пайызында екі түрдегі ақаулар бар екенін анықтаңыз.

9.6. Кездейсоқ мән ( X,Ы) тұрақты тығыздықпен таралады алаңның ішінде Р, төбелерінің координаталары (–2;0), (0;2), (2;0), (0;–2). Кездейсоқ шаманың таралу тығыздығын анықтаңыз ( X,Ы) және шартты таралу тығыздықтары Р(X\сағ), Р(сағ\X).

Шешім.Ұшақта тұрайық x 0жберілген квадратты (9.5-сурет) және екі берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін пайдаланып ABCD квадратының қабырғаларының теңдеулерін анықтаңыз: Төбелердің координаталарын ауыстыру АЖәне INжағының теңдеуін ретімен аламыз AB: немесе .

Сол сияқты біз жағының теңдеуін табамыз күн: ; жағы CD: және жақтары Д.А: . : .D X, Ы) - радиустың бастауында орналасқан жарты шар Р.Ықтималдықтың таралу тығыздығын табыңыз.

Жауап:

9.10. Дискретті екі өлшемді кездейсоқ шама берілген:

	0,25	0,10
	0,15	0,05
	0,32	0,13

Табу: а) шартты таралу заңы X, бұл жағдайда у= 10;

б) шартты бөлу заңы Ы, бұл жағдайда x =10;

в) математикалық күту, дисперсия, корреляция коэффициенті.

9.11. Үздіксіз екі өлшемді кездейсоқ шама ( X,Ы) төбелері бар тікбұрышты үшбұрыштың ішінде біркелкі бөлінген ТУРАЛЫ(0;0), А(0;8), IN(8,0).

Табу: а) ықтималдықтың таралу тығыздығы;