Кездейсоқ шама пішіннің таралу тығыздығына ие. Сандық сипаттамалар. Ықтималдық тығыздығы

Белгілі болғандай, кездейсоқ шама шақырды айнымалы, ол жағдайға байланысты бір немесе басқа мәнді қабылдай алады. Кездейсоқ айнымалылар латын әліпбиінің бас әріптерімен (X, Y, Z), ал олардың мәндері - сәйкес кіші әріптермен (x, y, z) белгіленеді. Кездейсоқ шамалар үзіліссіз (дискретті) және үздіксіз болып бөлінеді.

Дискретті кездейсоқ шама шақырды кездейсоқ мән, ол белгілі бір нөлдік емес ықтималдықтары бар соңғы немесе шексіз (есептелетін) мәндер жиынын ғана қабылдайды.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы кездейсоқ шаманың мәндерін олардың сәйкес ықтималдықтарымен байланыстыратын функция. Бөлу заңын келесі жолдардың бірімен көрсетуге болады.

1 . Бөлу заңын кесте арқылы беруге болады:

мұндағы λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)көмегімен үлестіру функциясы F(x) , ол әрбір x мәні үшін X кездейсоқ шамасының x мәнінен кіші мәнді қабылдау ықтималдығын анықтайды, яғни. F(x) = P(X< x).

F(x) функциясының қасиеттері

3 . Бөлу заңын графикалық түрде орнатуға болады – таралу көпбұрышы (көпбұрыш) (3 есепті қараңыз).

Кейбір мәселелерді шешу үшін бөлу заңын білу қажет емес екенін ескеріңіз. Кейбір жағдайларда бөлу заңының маңызды белгілерін көрсететін бір немесе бірнеше сандарды білу жеткілікті. Бұл кездейсоқ шаманың «орташа мәні» мағынасы бар сан немесе кездейсоқ шаманың орташа мәнінен ауытқуының орташа өлшемін көрсететін сан болуы мүмкін. Мұндай сандар кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары деп аталады.

Дискретті кездейсоқ шаманың негізгі сандық сипаттамалары :

• Математикалық күту дискретті кездейсоқ шаманың (орташа мәні). M(X)=Σ x i p i.
  Биномдық үлестірім үшін M(X)=np, Пуассон таралымы үшін M(X)=λ
• Дисперсия дискретті кездейсоқ шама D(X)=M2немесе D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) айырмасы кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен ауытқуы деп аталады.
  Биномдық үлестірім үшін D(X)=npq, Пуассон таралымы үшін D(X)=λ
• Стандартты ауытқу (стандартты ауытқу) σ(X)=√D(X).

«Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы» тақырыбына есептер шығару мысалдары

1-тапсырма.

1000 лотерея билеті шығарылды: оның 5-і 500 рубль, 10-ы 100 рубль, 20-сы 50 рубль, 50-і 10 рубль ұтып алады. Кездейсоқ Х шамасының ықтималдылық таралу заңын анықтаңыз – бір билет бойынша ұтыс.

Шешім. Есептің шартына сәйкес X кездейсоқ шамасының келесі мәндері мүмкін: 0, 10, 50, 100 және 500.

Ұтыссыз билеттер саны 1000 - (5+10+20+50) = 915, содан кейін P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Сол сияқты, біз барлық басқа ықтималдықтарды табамыз: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Алынған заңды кесте түрінде береміз:

Табайық күтілетін мән X мәндері: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2) +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3-тапсырма.

Құрылғы бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін үш элементтен тұрады. Бір тәжірибеде әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,1. Бір тәжірибедегі сәтсіз элементтер санының таралу заңын құрастырыңыз, таралу полигонын құрастырыңыз. F(x) таралу функциясын тауып, графигін сал. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуін, дисперсиясын және стандартты ауытқуын табыңыз.

Шешім. 1. Дискретті кездейсоқ шама X=(бір тәжірибедегі сәтсіз элементтердің саны) келесі мүмкін мәндерге ие: x 1 =0 (құрылғы элементтерінің ешқайсысы сәтсіз аяқталды), x 2 =1 (бір элемент істен шықты), x 3 =2 ( екі элемент сәтсіз аяқталды ) және x 4 \u003d 3 (үш элемент орындалмады).

Элементтердің істен шығуы бір-бірінен тәуелсіз, әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы бір-біріне тең, сондықтан ол қолданылады. Бернулли формуласы . Шарт бойынша n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 екенін ескере отырып, шамалардың ықтималдықтарын анықтаймыз:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Тексеріңіз: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Осылайша, қалаған биномдық заң X үлестірімінің пішіні бар:

Абсцисса осінде мүмкін мәндерді x i, ал ордината осінде p i сәйкес ықтималдықтарды саламыз. М 1 (0; 0,729), М 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) нүктелерін тұрғызайық. Осы нүктелерді түзу кесінділерімен байланыстыра отырып, қажетті таралу көпбұрышын аламыз.

3. F(x) = P(X) таралу функциясын табыңыз

F(x) функциясының графигі

4. X биномдық таралуы үшін:
- математикалық күту М(Х) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартты ауытқу σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

2-тапсырма. Интегралдық функциямен берілген Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын табыңыз.

3-тапсырма. Тарату функциясы берілген Х кездейсоқ шамасының математикалық күтуін табыңыз.

4-тапсырма. Кейбір кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы келесі түрде берілген: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
А коэффициентін, F(x) таралу функциясын, математикалық күту мен дисперсияны, сондай-ақ кездейсоқ шаманың интервалда мән қабылдау ықтималдығын табыңыз. f(x) және F(x) графиктерін салу.

Тапсырма. Кейбір үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы келесі түрде берілген:

a және b параметрлерін анықтаңыз, ықтималдық тығыздығы f(x) , математикалық күту мен дисперсия, сондай-ақ кездейсоқ шаманың интервалда мән қабылдау ықтималдығының өрнегін табыңыз. f(x) және F(x) графиктерін салу.

Бөлу тығыздығы функциясын таралу функциясының туындысы ретінде табайық.
F′=f(x)=a
a параметрін табатынымызды біле отырып:

немесе 3a=1, мұндағы a = 1/3
Келесі қасиеттерден b параметрін табамыз:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 мұндағы b = -1/3
Демек, үлестіру функциясы: F(x) = (x-1)/3

№1 мысал. Үздіксіз X кездейсоқ шамасының f(x) ықтималдығының таралу тығыздығы берілген. Міндетті:

1. А коэффициентін анықтаңыз.
2. F(x) таралу функциясын табыңыз.
3. F(x) және f(x) сызбасын сызыңыз.
4. X-тің математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.
5. (2;3) интервалынан Х-тің мән алу ықтималдығын табыңыз.

Х кездейсоқ шама f(x) таралу тығыздығымен берілген:

Дисперсияның біркелкі шектелу талабының қанағаттандырылғанын тексерейік. Бөлу заңын жазайық :

Математикалық күтуді табайық
:

Дисперсияны табайық
:

Бұл функция өсуде, сондықтан дисперсияны шектеу константасын есептеу үшін шекті есептеуге болады:

Осылайша, берілген кездейсоқ шамалардың дисперсиялары шектелмеген, бұл дәлелденуге тиіс болатын.

B) Чебышев теоремасын тұжырымдаудан шығатыны, дисперсиялардың біртекті шектелгендігінің талабы жеткілікті, бірақ қажетті шарт емес, сондықтан бұл теореманы берілген тізбекке қолдануға болмайды деп дәлелдеуге болмайды.

Х 1 , Х 2 , …, Х n , … тәуелсіз кездейсоқ шамалардың тізбегі таралу заңымен берілген.

D(X n)=M(X n 2)- 2 ,

M(X n)=0 екенін есте сақтаңыз, біз табамыз (есептер оқырманға қалдырылады)

Уақытша n үздіксіз өзгереді деп алайық (бұл болжамды атап өту үшін n-ді х деп белгілейміз) және экстремум үшін φ(x)=x 2 /2 x-1 функциясын қарастырайық.

Бұл функцияның бірінші туындысын нөлге теңестіре отырып, біз x 1 \u003d 0 және x 2 \u003d ln 2 сыни нүктелерін табамыз.

Қызықты емес деп бірінші нүктені алып тастаймыз (n нөлге тең мәнді қабылдамайды); x 2 =2/ln 2 нүктелерінде φ(x) функциясының максимум болатынын көру қиын емес. 2/ln 2 ≈ 2,9 және N оң бүтін сан екенін ескере отырып, 2,9-ға жақын бүтін сандар үшін D(X n)= (n 2 /2 n -1)α 2 дисперсиясын есептейміз (сол және оң), t . e. n=2 және n=3 үшін.

n=2 кезінде дисперсия D(X 2)=2α 2, n=3 кезінде дисперсия D(X 3)=9/4α 2. Әлбетте,

(9/4)α 2 > 2α 2 .

Осылайша, мүмкін болатын ең үлкен дисперсия (9/4)α 2 тең, яғни. Хn кездейсоқ шамаларының дисперсиялары (9/4)α 2 санымен біркелкі шектелген.

Тәуелсіз кездейсоқ шамалардың X 1 , X 2 , …, X n , … тізбегі таралу заңымен берілген.

Чебышев теоремасы берілген тізбекке қолдануға бола ма?

Түсініктеме. Кездейсоқ X шамалары тең үлестірілген және тәуелсіз болғандықтан, Хинчин теоремасымен таныс оқырман тек математикалық күтуді есептеумен шектеліп, оның аяқталғанына көз жеткізе алады.

Кездейсоқ шамалар X n тәуелсіз болғандықтан, олар одан да көп және жұптық тәуелсіз, яғни. Чебышев теоремасының бірінші талабы орындалады.

M(X n)=0, яғни математикалық күтулердің шектілігінің бірінші талабы қанағаттандырылғанын табу оңай.

Дисперсиялардың біркелкі шектелуі талабының орындылығын тексеру қалады. Формула бойынша

D(X n)=M(X n 2)- 2 ,

M(X n)=0 екенін есте ұстаймыз, табамыз

Осылайша, ең үлкен ықтимал дисперсия 2, яғни. Х n кездейсоқ шамалардың дисперсиялары 2 санымен біркелкі шектелген.

Сонымен, Чебышев теоремасының барлық талаптары қанағаттандырылды, сондықтан бұл теорема қарастырылып отырған реттілікке қолданылады.

Сынақ нәтижесінде Х шамасының (0, 1/3) интервалда қамтылған мәнге ие болу ықтималдығын табыңыз.

Кездейсоқ шама X бүкіл Ox осінде үлестірілген F(x)=1/2+(arctg x)/π функциясы арқылы берілген. Сынақ нәтижесінде Х мәні (0, 1) интервалында қамтылған мәнге ие болу ықтималдығын табыңыз.

X-тің (a, b) интервалындағы мәнді қабылдау ықтималдығы осы аралықтағы үлестіру функциясының өсіміне тең: P(a)

P(0< Х <1) = F(1)-F(0) = x =1 - x =0 = 1/4

Кездейсоқ айнымалы X таралу функциясы

Сынақ нәтижесінде Х мәні (-1, 1) интервалындағы мәнге ие болу ықтималдығын табыңыз.

X-тің (a, b) интервалындағы мәнді қабылдау ықтималдығы осы аралықтағы үлестіру функциясының өсіміне тең: P(a)

P(-1< Х <1) = F(1)-F(-1) = x =-1 – x =1 = 1/3.

Үздіксіз X кездейсоқ шамасының таралу функциясы (кейбір құрылғының жұмыс уақыты) F(x)=1-e -x/ T (x≥0) тең. Құрылғының x≥T уақытында ақаусыз жұмыс істеу ықтималдығын табыңыз.

X-тің x≥T интервалындағы мәнді қабылдау ықтималдығы осы аралықтағы үлестіру функциясының өсіміне тең: P(0)

P(x≥T) = 1 - P(T

Кездейсоқ шама Х үлестіру функциясы арқылы берілген

Сынақ нәтижесінде Х мәнін алу ықтималдығын табыңыз: а) 0,2-ден аз; б) үштен аз; в) кемінде үш; г) кемінде бес.

а) x≤2 үшін F(x)=0 функциясы болғандықтан, F(0, 2)=0, яғни. P(x< 0, 2)=0;

б) P(X< 3) = F(3) = x =3 = 1.5-1 = 0.5;

в) Х≥3 және Х оқиғалары<3 противоположны, поэтому Р(Х≥3)+Р(Х<3)=1. Отсюда, учитывая, что Р(Х<3)=0.5 [см. п. б.], получим Р(Х≥3) = 1-0.5 = 0.5;

г) қарама-қарсы оқиғалардың ықтималдығының қосындысы біреуге тең, сондықтан P(X≥5) + P(X)<5)=1. Отсюда, используя условие, в силу которого при х>4 функциясы F(x)=1, P(X≥5) = 1-P(X) аламыз<5) = 1-F(5) = 1-1 = 0.

Кездейсоқ шама Х үлестіру функциясы арқылы берілген

Төрт тәуелсіз сынақ нәтижесінде Х мәні дәл үш рет интервалға жататын мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз (0,25, 0,75).

X-тің (a, b) интервалындағы мәнді қабылдау ықтималдығы осы аралықтағы үлестіру функциясының өсіміне тең: P(a)

P(0,25< X <0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.5

Сондықтан, немесе Осы жерден немесе.

Кездейсоқ шама X бүкіл Ox осінде таралу функциясы арқылы берілген. Шартты қанағаттандыратын мүмкін мәнді табыңыз: кездейсоқ X ықтималдығымен сынақ нәтижесінде одан үлкен мән қабылдайды.

Шешім. Оқиғалар және қарама-қарсы, сондықтан . Демек, . Сол уақыттан бері .

Бөлу функциясының анықтамасы бойынша, .

Сондықтан, немесе . Осы жерден немесе.

Дискретті кездейсоқ шама Х үлестіру заңымен берілген

Сонымен, қажетті тарату функциясының пішіні бар

Дискретті кездейсоқ шама Х үлестіру заңымен берілген

Бөлу функциясын тауып, оның графигін салыңыз.

Үздіксіз X кездейсоқ шамасының таралу функциясы берілген

Таралу тығыздығын f(x) табыңыз.

Бөлу тығыздығы таралу функциясының бірінші туындысына тең:

x=0 үшін туынды жоқ.

Үздіксіз кездейсоқ шама X интервалдағы таралу тығыздығымен берілген ; осы аралықтан тыс. X интервалына жататын мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз.

формуланы қолданайық. Шарты бойынша және . Сондықтан қалаған ықтималдық

Үздіксіз кездейсоқ шама Х таралу тығыздығы арқылы беріледі аралықта; осы аралықтан тыс. X интервалына жататын мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз.

формуланы қолданайық. Шарты бойынша және . Сондықтан қалаған ықтималдық

(-π/2, π/2) аралықтағы үздіксіз Х кездейсоқ шамасының таралу тығыздығы f(x)=(2/π)*cos2x ; осы интервалдан тыс f(x)=0. Үш тәуелсіз сынақта X интервалдағы (0, π/4) мәннен тура екі есе алу ықтималдығын табыңыз.

Р(a) формуласын қолданамыз

P(0

Жауабы: π+24π.

fx=0, x≤0cosx кезінде, 0 кезінде

Біз формуланы қолданамыз

Егер x ≤0 болса, онда f(x)=0, демек,

F(x)=-∞00dx=0.

Егер 0

F(x)=-∞00dx+0xcosxdx=sinx.

Егер x≥ π2 болса, онда

F(x)=-∞00dx+0π2cosxdx+π2x0dx=sinx|0π2=1.

Сонымен, қажетті тарату функциясы

Fx=0, x≤0sinx кезінде, 0 кезінде π2.

Үздіксіз X кездейсоқ шамасының таралу тығыздығы берілген:

Fx=0, x≤0sinx кезінде, 0 кезінде π2.

F(x) үлестірім функциясын табыңыз.

Біз формуланы қолданамыз

Үздіксіз X кездейсоқ шамасының таралу тығыздығы барлық Oh осінде теңдеу арқылы берілген. С тұрақты параметрін табыңыз.

.

. (*)

.

Осылайша,

Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы бүкіл ось бойынша теңдікпен берілген С тұрақты параметрін табыңыз.

Шешім. Бөлу тығыздығы шартты қанағаттандыруы керек . Берілген функция үшін бұл шарттың орындалуын талап етеміз:

.

. (*)

Алдымен анықталмаған интегралды табайық:

.

Содан кейін дұрыс емес интегралды есептейміз:

Осылайша,

(**) дегенді (*) орнына қойып, соңында аламыз.

Үздіксіз X кездейсоқ шамасының аралықтағы таралу тығыздығы ; осы интервалдан тыс f(x) = 0. С тұрақты параметрін табыңыз.

.

. (*)

Алдымен анықталмаған интегралды табайық:

Содан кейін дұрыс емес интегралды есептейміз:

(**)

(**) дегенді (*) орнына қойып, соңында аламыз.

Үздіксіз X кездейсоқ шамасының таралу тығыздығы аралықта теңдікпен берілген ; осы интервалдан тыс f(x) = 0. С тұрақты параметрін табыңыз.

Шешім. Бөлу тығыздығы шартты қанағаттандыруы керек, бірақ интервалдан тыс f(x) 0-ге тең болғандықтан, оның қанағаттандыруы жеткілікті: Берілген функция үшін бұл шарттың орындалуын талап етеміз:

.

. (*)

Алдымен анықталмаған интегралды табайық:

Содан кейін дұрыс емес интегралды есептейміз:

(**)

(**) дегенді (*) орнына қойып, соңында аламыз.

Х кездейсоқ шама (0,1) интервалында ƒ(x) = 2x таралу тығыздығымен берілген; осы интервалдан тыс ƒ(x) = 0. Х-тің математикалық күтуін табыңыз.

Р шешім. Біз формуланы қолданамыз

a = 0, b = 1, ƒ(x) = 2x орнына қойсақ, аламыз

Жауабы: 2/3.

Х кездейсоқ шама (0;2) интервалында ƒ(x) = (1/2)x таралу тығыздығымен берілген; осы интервалдан тыс ƒ(x) = 0. Х-тің математикалық күтуін табыңыз.

Р шешім. Біз формуланы қолданамыз

a = 0, b = 2, ƒ(x) = (1/2)x орнына қойсақ, аламыз.

M(X) = = 4/3

Жауабы: 4/3.

(–s, s) аралықтағы Х кездейсоқ шама таралу тығыздығы арқылы беріледі

ƒ (x) = ; осы интервалдан тыс ƒ(x) = 0. Х-тің математикалық күтуін табыңыз.

Р шешім. Біз формуланы қолданамыз

a = –с, b = c, ƒ(x) = орнына қойсақ, аламыз

Интегралдың тақ, ал интегралдау шектері координат басына қатысты симметриялы екенін ескере отырып, интеграл нөлге тең деген қорытындыға келеміз. Демек, M(X) = 0.

Бұл нәтижені бірден алуға болады, егер таралу қисығы х = 0 түзуіне қатысты симметриялы екенін ескерсек.

(2, 4) аралықтағы Х кездейсоқ шама f(x)= таралу тығыздығымен берілген.

. Бұдан x=3 кезінде таралу тығыздығы максимумға жететінін көруге болады; демек, . Таралу қисығы x=3 түзуіне қатысты симметриялы, сондықтан және .

(3, 5) аралықтағы Х кездейсоқ шама f(x)= таралу тығыздығымен берілген. ; осы интервалдан тыс f(x)=0. Х-тің модасын, ортасын және медианасын табыңыз.

Шешім. Біз таралу тығыздығын пішінде көрсетеміз . Бұдан x=3 кезінде таралу тығыздығы максимумға жететінін көруге болады; демек, . Таралу қисығы x=4 түзуіне қатысты симметриялы, сондықтан және .

(-1, 1) аралықтағы Х кездейсоқ шама таралу тығыздығы арқылы беріледі ; осы интервалдан тыс f(x)=0. Табыңыз: а) сән; б) X медианасы.

«Кездейсоқ айнымалылар» тақырыбына есептер шығару мысалдары.

Тапсырма 1 . Лотереяда 100 билет шығарылды. 50 АҚШ долларының бір ұтысы ойналды. және әрқайсысы 10 доллардан он жеңіс. X шамасының таралу заңын табыңыз - мүмкін пайданың құны.

Шешім. X мүмкін мәндері: x 1 = 0; x 2 = 10 және x 3 = 50. 89 «бос» билет болғандықтан, б 1 = 0,89, ұту ықтималдығы 10 с.у. (10 билет) – б 2 = 0,10 және 50 c.u ұтыс үшін. –б 3 = 0,01. Осылайша:

Басқару оңай: .

Тапсырма 2. Сатып алушының тауардың жарнамасымен алдын ала танысу ықтималдығы 0,6 (p = 0,6). Жарнама сапасын таңдаулы бақылауды алдын ала бірінші болып жарнаманы зерттеген сатып алушылар алдында сауалнама жүргізеді. Сұхбат алған сатып алушылар санын бөлу сериясын жасаңыз.

Шешім. Есептің шарты бойынша p = 0,6. Қайдан: q=1 -p = 0,4. Осы мәндерді ауыстырсақ, біз мынаны аламыз:және тарату қатарын құрыңыз:

Тапсырма 3. Компьютер бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін үш элементтен тұрады: жүйелік блок, монитор және пернетақта. Кернеудің бір реттік күрт артуы кезінде әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,1 құрайды. Бернулли үлестіріміне сүйене отырып, желідегі қуаттың асқынуы кезінде істен шыққан элементтер санының таралу заңын құрастырыңыз.

Шешім. Қарастырыңыз Бернулли таралуы(немесе биномдық): ықтималдығы n сынақтар, А оқиғасы дәл пайда боладык бір рет: , немесе:

IN тапсырмаға қайта оралайық.

X мүмкін мәндері (сәтсіздіктер саны):

x 0 =0 - элементтердің ешқайсысы сәтсіз аяқталды;

x 1 =1 - бір элементтің істен шығуы;

x 2 =2 - екі элементтің істен шығуы;

x 3 =3 - барлық элементтердің істен шығуы.

Өйткені шарт бойынша p = 0,1, онда q = 1 – p = 0,9. Бернулли формуласын қолданып, аламыз

, ,

, .

Бақылау: .

Демек, қалаған таралу заңы:

4-тапсырма. 5000 айналым шығарылды. Бір картридждің ақаулы болу ықтималдығы . Бүкіл партияда дәл 3 ақаулы картридждің болу ықтималдығы қандай?

Шешім. Қолданылатын Пуассонның таралуы: бұл бөлу ықтималдығын анықтау үшін пайдаланылады, берілген өте үлкен

сынақтар саны (жаппай сынақтар), олардың әрқайсысында А оқиғасының ықтималдығы өте аз, А оқиғасы k рет болады: , Қайда.

Мұнда n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Біз , содан кейін қажетті ықтималдықты табамыз: .

5-тапсырма. Бірінші соққыға дейін атыс кезінде р = 0,6 ату үшін, соққының үшінші атыс кезінде болу ықтималдығын табу керек.

Шешім. Геометриялық үлестіруді қолданайық: тәуелсіз сынақтар орындалсын, олардың әрқайсысында А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p (және болмау q = 1 - p) болады. Сынақтар А оқиғасы орын алғаннан кейін аяқталады.

Мұндай жағдайларда k-сынақта А оқиғасының болу ықтималдығы мына формуламен анықталады. Мұнда p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Сондықтан, .

6-тапсырма. Кездейсоқ Х шамасының таралу заңы берілсін:

Математикалық күтуді табыңыз.

Шешім. .

Математикалық күтудің ықтималдық мәні кездейсоқ шаманың орташа мәні екенін ескеріңіз.

7-тапсырма. Келесі таралу заңымен кездейсоқ Х шамасының дисперсиясын табыңыз:

Шешім. Мұнда .

Х квадратының таралу заңы 2 :

Қажетті дисперсия: .

Дисперсия кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен ауытқу (шашырау) дәрежесін сипаттайды.

8-тапсырма. Кездейсоқ шама таралу арқылы берілсін:

Оның сандық сипаттамаларын табыңыз.

Шешуі: м, м 2 ,

М 2 , м.

Кездейсоқ Х шама туралы мынаны айтуға болады - оның математикалық күтуі 6,4 м, дисперсиясы 13,04 м. 2 , немесе - оның математикалық күтуі m ауытқуымен 6,4 м.Екінші тұжырым айқынырақ.

Тапсырма 9. Кездейсоқ мән X бөлу функциясы арқылы берілген:
.

Сынақ нәтижесінде Х мәні интервалдағы мәнге ие болу ықтималдығын табыңыз .

Шешім. Х-тің берілген аралықтан мән алу ықтималдығы осы интервалдағы интегралдық функцияның өсімшесіне тең, яғни. . Біздің жағдайда және, демек

.

Тапсырма 10. Дискретті кездейсоқ шама X бөлу заңымен берілген:

Бөлу функциясын табыңыз F(x ) және оның графигін құру.

Шешім. Бөлу функциясы болғандықтан

Үшін , Бұл

бойынша;

бойынша;

бойынша;

бойынша;

Сәйкес диаграмма:

11-тапсырма.Үздіксіз кездейсоқ шама X дифференциалды таралу функциясымен берілген: .

Соғу ықтималдығын табыңыз X аралығы

Шешім. Бұл экспоненциалды таралу заңының ерекше жағдайы екенін ескеріңіз.

Формуланы қолданайық: .

Тапсырма 12. Бөлу заңы бойынша берілген дискретті Х кездейсоқ шамасының сандық сипаттамаларын табыңыз:

Кездейсоқ айнымалы әр түрлі жағдайларға байланысты белгілі бір мәндерді қабылдай алатын айнымалы болып табылады және кездейсоқ шама үздіксіз деп аталады , егер ол қандай да бір шектелген немесе шектелмеген интервалдан кез келген мән қабылдай алатын болса. Үздіксіз кездейсоқ шама үшін барлық мүмкін мәндерді көрсету мүмкін емес, сондықтан белгілі бір ықтималдықтармен байланысты осы мәндердің интервалдары белгіленеді.

Үздіксіз кездейсоқ шамалардың мысалдары: берілген өлшемге бұрылған бөліктің диаметрі, адамның биіктігі, снарядтың қашықтығы және т.б.

Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін функция болғандықтан Ф(x), айырмашылығы дискретті кездейсоқ шамалар, еш жерде секірулері жоқ, онда үздіксіз кездейсоқ шаманың кез келген жалғыз мәнінің ықтималдығы нөлге тең.

Бұл үздіксіз кездейсоқ шама үшін оның мәндері арасындағы ықтималдықтың таралуы туралы айтудың мағынасы жоқ екенін білдіреді: олардың әрқайсысының ықтималдығы нөлге тең. Дегенмен, белгілі бір мағынада, үздіксіз кездейсоқ шаманың мәндерінің арасында «көп және аз ықтималдық» бар. Мысалы, кездейсоқ шаманың мәні - кездейсоқ кездескен адамның биіктігі - 170 см - 220 см-ден жоғары болатынына ешкім күмәндануы екіталай, бірақ бір және басқа мән тәжірибеде болуы мүмкін.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы және ықтималдық тығыздығы

Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін ғана мағынасы бар таралу заңы ретінде таралу тығыздығы немесе ықтималдық тығыздығы ұғымы енгізіледі. Үздіксіз кездейсоқ шама мен дискретті кездейсоқ шама үшін үлестірім функциясының мағынасын салыстыру арқылы оған жақындайық.

Сонымен, кездейсоқ шаманың таралу функциясы (дискретті де, үздіксіз де) немесе интегралдық функциякездейсоқ шаманың мәні болу ықтималдығын анықтайтын функция деп аталады Xшекті мәннен аз немесе оған тең X.

Оның мәндерінің нүктелеріндегі дискретті кездейсоқ шама үшін x1 , x 2 , ..., xмен,...ықтималдықтардың шоғырланған массалары б1 , б 2 , ..., бмен,..., ал барлық массалардың қосындысы 1-ге тең. Бұл интерпретацияны үздіксіз кездейсоқ шама жағдайына көшірейік. 1-ге тең массаның бөлек нүктелерде шоғырланбағанын, бірақ х осі бойымен үздіксіз «жағынып» жатқанын елестетіңіз. Өгізбіркелкі емес тығыздықпен. Кез келген торапта кездейсоқ шаманы соғу ықтималдығы Δ xосы бөлімге жататын масса ретінде, ал осы бөлімдегі орташа тығыздық - массаның ұзындыққа қатынасы ретінде түсіндірілетін болады. Біз жаңа ғана ықтималдықтар теориясына маңызды ұғымды енгіздік: таралу тығыздығы.

Ықтималдық тығыздығы f(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясының туындысы:

.

Тығыздық функциясын біле отырып, үздіксіз кездейсоқ шама мәнінің тұйық интервалға жату ықтималдығын таба аламыз [ а; б]:

үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xаралығынан кез келген мәнді қабылдайды [ а; б], бастап диапазондағы оның ықтималдық тығыздығының белгілі бір интегралына тең абұрын б:

.

Бұл жағдайда функцияның жалпы формуласы Ф(x) тығыздық функциясы белгілі болған жағдайда қолдануға болатын үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі f(x) :

.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығының графигі оның таралу қисығы деп аталады (төмендегі сурет).

Қисықпен шектелген фигураның ауданы (суретте көлеңкеленген), нүктелерден тартылған түзулер аЖәне бабсцисса осіне перпендикуляр және ось О, графикалық түрде үздіксіз кездейсоқ шаманың мәнінің ықтималдығын көрсетеді Xауқымында болады абұрын б.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясының қасиеттері

1. Кездейсоқ шаманың интервалдан кез келген мәнді қабылдау ықтималдығы (және функцияның графигімен шектелген фигураның ауданы). f(x) және ось О) бірге тең:

2. Ықтималдық тығыздық функциясы теріс мәндерді қабылдай алмайды:

және үлестірімнің бар болуының сыртында оның мәні нөлге тең

Таралу тығыздығы f(x), сондай-ақ тарату функциясы Ф(x), таралу заңының бір түрі болып табылады, бірақ таралу функциясынан айырмашылығы ол әмбебап емес: таралу тығыздығы үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін ғана бар.

Үздіксіз кездейсоқ шаманы бөлудің тәжірибедегі ең маңызды екі түрін атап өтейік.

Бөлу тығыздығы функциясы болса f(x) кейбір соңғы интервалдағы үздіксіз кездейсоқ шама [ а; б] тұрақты мәнді қабылдайды C, ал интервалдан тыс нөлге тең мәнді қабылдайды, онда бұл бөлу біркелкі деп аталады .

Егер таралу тығыздығы функциясының графигі центрге қатысты симметриялы болса, орташа мәндер орталыққа жақын жерде шоғырланған, ал орталықтан алыстаған кезде орташадан өзгешерек жиналады (функцияның графигі кесіндіге ұқсайды) қоңырау), содан кейін бұл таралу қалыпты деп аталады .

1-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималды таралым функциясы белгілі:

Ерекшелікті табыңыз f(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы. Екі функцияның графиктерін салыңыз. Үздіксіз кездейсоқ шаманың 4-тен 8-ге дейінгі диапазондағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз: .

Шешім. Ықтималдықтың таралу функциясының туындысын табу арқылы ықтималдық тығыздық функциясын аламыз:

Функция графигі Ф(x) - парабола:

Функция графигі f(x) - түзу сызық:

Үздіксіз кездейсоқ шаманың 4 пен 8 аралығындағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табайық:

2-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясы келесі түрде берілген:

Есептеу коэффициенті C. Ерекшелікті табыңыз Ф(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі. Екі функцияның графиктерін салыңыз. Үздіксіз кездейсоқ шаманың 0-ден 5-ке дейінгі аралықтағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз: .

Шешім. Коэффицент CЫқтималдық тығыздық функциясының 1 қасиетін пайдаланып табамыз:

Осылайша, үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясы:

Интеграциялай отырып, функцияны табамыз Ф(x) ықтималдық үлестірімдері. Егер x < 0 , то Ф(x) = 0. Егер 0< x < 10 , то

.

x> 10, содан кейін Ф(x) = 1 .

Осылайша, ықтималдықты бөлу функциясының толық жазбасы:

Функция графигі f(x) :

Функция графигі Ф(x) :

Үздіксіз кездейсоқ шаманың 0-ден 5-ке дейінгі аралықта кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табайық:

3-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы Xтеңдігімен беріледі, ал. Коэффицентті табыңыз А, үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xүзіліссіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы ]0, 5[ интервалынан белгілі бір мән алады X.

Шешім. Шарт бойынша біз теңдікке келеміз

Сондықтан, қайдан. Сонымен,

.

Енді үздіксіз кездейсоқ шама болу ықтималдығын табамыз X]0, 5[ аралығынан кез келген мәнді қабылдайды:

Енді осы кездейсоқ шаманың таралу функциясын аламыз:

4-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығын табыңыз X, ол тек теріс емес мәндерді қабылдайды және оның таралу функциясы .