Дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамалардың таралу функциясы. Үздіксіз кездейсоқ шаманың математикалық күтуі. Шешім мысалы. Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясының қасиеттері

Кездейсоқ айнымалы әр түрлі жағдайларға байланысты белгілі бір мәндерді қабылдай алатын айнымалы болып табылады және кездейсоқ мәнүздіксіз деп аталады , егер ол қандай да бір шектелген немесе шектелмеген интервалдан кез келген мән қабылдай алатын болса. Үздіксіз кездейсоқ шама үшін барлық мүмкін мәндерді көрсету мүмкін емес, сондықтан белгілі бір ықтималдықтармен байланысты осы мәндердің интервалдары белгіленеді.

Үздіксіз кездейсоқ шамалардың мысалдары: берілген өлшемге бұрылған бөліктің диаметрі, адамның биіктігі, снарядтың қашықтығы және т.б.

Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін функция болғандықтан Ф(x), айырмашылығы дискретті кездейсоқ шамалар, еш жерде секірулері жоқ, онда үздіксіз кездейсоқ шаманың кез келген жалғыз мәнінің ықтималдығы нөлге тең.

Бұл үздіксіз кездейсоқ шама үшін оның мәндері арасындағы ықтималдықтың таралуы туралы айтудың мағынасы жоқ екенін білдіреді: олардың әрқайсысының ықтималдығы нөлге тең. Дегенмен, белгілі бір мағынада, үздіксіз кездейсоқ шаманың мәндерінің арасында «көп және аз ықтималдық» бар. Мысалы, кездейсоқ шаманың мәні - кездейсоқ кездескен адамның биіктігі - 170 см - 220 см-ден жоғары болатынына ешкім күмәндануы екіталай, бірақ бір және басқа мән тәжірибеде болуы мүмкін.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы және ықтималдық тығыздығы

Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін ғана мағынасы бар таралу заңы ретінде таралу тығыздығы немесе ықтималдық тығыздығы ұғымы енгізіледі. Үздіксіз кездейсоқ шама мен дискретті кездейсоқ шама үшін үлестірім функциясының мағынасын салыстыру арқылы оған жақындайық.

Сонымен, кездейсоқ шаманың таралу функциясы (дискретті де, үздіксіз де) немесе интегралдық функциякездейсоқ шаманың мәні болу ықтималдығын анықтайтын функция деп аталады Xшекті мәннен аз немесе оған тең X.

Оның мәндерінің нүктелеріндегі дискретті кездейсоқ шама үшін x1 , x 2 , ..., xмен,...ықтималдықтардың шоғырланған массалары б1 , б 2 , ..., бмен,..., ал барлық массалардың қосындысы 1-ге тең. Бұл интерпретацияны үздіксіз кездейсоқ шама жағдайына көшірейік. 1-ге тең массаның бөлек нүктелерде шоғырланбағанын, бірақ х осі бойымен үздіксіз «жағынып» жатқанын елестетіңіз. Өгізбіркелкі емес тығыздықпен. Кез келген торапта кездейсоқ шаманы соғу ықтималдығы Δ xосы бөлімге жататын масса ретінде, ал осы бөлімдегі орташа тығыздық - массаның ұзындыққа қатынасы ретінде түсіндірілетін болады. Біз жаңа ғана ықтималдықтар теориясына маңызды ұғымды енгіздік: таралу тығыздығы.

Ықтималдық тығыздығы f(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясының туындысы:

.

Тығыздық функциясын біле отырып, үздіксіз кездейсоқ шама мәнінің тұйық интервалға жату ықтималдығын таба аламыз [ а; б]:

үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xаралығынан кез келген мәнді қабылдайды [ а; б], бастап диапазондағы оның ықтималдық тығыздығының белгілі бір интегралына тең абұрын б:

.

Бұл жағдайда функцияның жалпы формуласы Ф(x) тығыздық функциясы белгілі болған жағдайда қолдануға болатын үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі f(x) :

.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығының графигі оның таралу қисығы деп аталады (төмендегі сурет).

Қисықпен шектелген фигураның ауданы (суретте көлеңкеленген), нүктелерден тартылған түзулер аЖәне бабсцисса осіне перпендикуляр және ось О, графикалық түрде үздіксіз кездейсоқ шаманың мәнінің ықтималдығын көрсетеді Xауқымында болады абұрын б.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясының қасиеттері

1. Кездейсоқ шаманың интервалдан кез келген мәнді қабылдау ықтималдығы (және функцияның графигімен шектелген фигураның ауданы). f(x) және ось О) бірге тең:

2. Ықтималдық тығыздық функциясы теріс мәндерді қабылдай алмайды:

және үлестірімнің бар болуының сыртында оның мәні нөлге тең

Таралу тығыздығы f(x), сондай-ақ тарату функциясы Ф(x), таралу заңының бір түрі болып табылады, бірақ таралу функциясынан айырмашылығы ол әмбебап емес: таралу тығыздығы үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін ғана бар.

Үздіксіз кездейсоқ шаманы бөлудің тәжірибедегі ең маңызды екі түрін атап өтейік.

Бөлу тығыздығы функциясы болса f(x) кейбір соңғы интервалдағы үздіксіз кездейсоқ шама [ а; б] тұрақты мәнді қабылдайды C, ал интервалдан тыс нөлге тең мәнді қабылдайды, онда бұл бөлу біркелкі деп аталады .

Егер таралу тығыздығы функциясының графигі центрге қатысты симметриялы болса, орташа мәндер орталыққа жақын жерде шоғырланған, ал орталықтан алыстаған кезде орташадан өзгешерек жиналады (функцияның графигі кесіндіге ұқсайды) қоңырау), содан кейін бұл таралу қалыпты деп аталады .

1-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималды таралым функциясы белгілі:

Ерекшелікті табыңыз f(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы. Екі функцияның графиктерін салыңыз. Үздіксіз кездейсоқ шаманың 4-тен 8-ге дейінгі диапазондағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз: .

Шешім. Ықтималдықтың таралу функциясының туындысын табу арқылы ықтималдық тығыздық функциясын аламыз:

Функция графигі Ф(x) - парабола:

Функция графигі f(x) - түзу сызық:

Үздіксіз кездейсоқ шаманың 4 пен 8 аралығындағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табайық:

2-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясы келесі түрде берілген:

Есептеу коэффициенті C. Ерекшелікті табыңыз Ф(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі. Екі функцияның графиктерін салыңыз. Үздіксіз кездейсоқ шаманың 0-ден 5-ке дейінгі аралықтағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз: .

Шешім. Коэффицент CЫқтималдық тығыздық функциясының 1 қасиетін пайдаланып табамыз:

Осылайша, үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясы:

Интеграциялай отырып, функцияны табамыз Ф(x) ықтималдық үлестірімдері. Егер x < 0 , то Ф(x) = 0. Егер 0< x < 10 , то

.

x> 10, содан кейін Ф(x) = 1 .

Осылайша, ықтималдықты бөлу функциясының толық жазбасы:

Функция графигі f(x) :

Функция графигі Ф(x) :

Үздіксіз кездейсоқ шаманың 0-ден 5-ке дейінгі аралықта кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табайық:

3-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы Xтеңдігімен беріледі, ал. Коэффицентті табыңыз А, үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xүзіліссіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы ]0, 5[ интервалынан белгілі бір мән алады X.

Шешім. Шарт бойынша біз теңдікке келеміз

Сондықтан, қайдан. Сонымен,

.

Енді үздіксіз кездейсоқ шама болу ықтималдығын табамыз X]0, 5[ аралығынан кез келген мәнді қабылдайды:

Енді осы кездейсоқ шаманың таралу функциясын аламыз:

4-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығын табыңыз X, ол тек теріс емес мәндерді қабылдайды және оның таралу функциясы .

Мақаланың мазмұны

ТАРТУ ФУНКЦИЯСЫмакроскопиялық жүйенің бөлшектерінің координаттар, момент немесе кванттық күйлер бойынша таралуының ықтималдық тығыздығы. Бөлу функциясы кездейсоқ мінез-құлықпен сипатталатын ең алуан түрлі (тек физикалық ғана емес) жүйелердің негізгі сипаттамасы болып табылады, яғни. жүйе күйінің және сәйкесінше оның параметрлерінің кездейсоқ өзгеруі. Стационарлық сыртқы жағдайларда да жүйенің күйінің өзі оның кейбір параметрлерін өлшеу нәтижесі кездейсоқ шама болатындай болуы мүмкін. Жағдайлардың басым көпшілігінде тарату функциясы осындай жүйелердің қасиеттері туралы барлық мүмкін, сондықтан толық ақпаратты қамтиды.

Ықтималдықтың математикалық теориясында және математикалық статистикаүлестіру функциясы мен ықтималдық тығыздығы бір-бірінен ерекшеленеді, бірақ біржақты байланысты. Төменде біз (физикада қабылданған ұзақ дәстүр бойынша) ықтималдықтың таралу тығыздығы немесе осы екі шарттың арасына тең таңба қоя отырып, таралу функциясы деп аталатын ықтималдық тығыздығымен дерлік айналысамыз.

Кездейсоқ мінез-құлық белгілі бір дәрежеде барлық кванттық механикалық жүйелерге тән: элементар бөлшектер, молекуланың атомдары және т.б. Алайда, кездейсоқ мінез-құлық тек кванттық механикалық жүйелердің ерекше ерекшелігі емес, көпшілігі таза классикалық жүйелербұл қасиетке ие болыңыз.

Мысалдар.

Монетаны қатты көлденең бетке лақтырған кезде оның қалай түсетіні анық емес: жоғары санмен немесе елтаңбамен. Белгілі бір жағдайларда бұл оқиғалардың ықтималдығы 1/2-ге тең екені белгілі. Өлтіруді лақтырған кезде алты санның қайсысы жоғарғы жағында болатынын нақты айту мүмкін емес. Белгілі бір болжам бойынша сандардың әрқайсысынан (сүйек - жиектері мен шыңдары қиыршықсыз біртекті текше қатты, тегіс көлденең бетке түседі) құлау ықтималдығы 1/6 құрайды.

Молекулалардың ретсіз қозғалысы газда айқын көрінеді. Тіпті стационарлық сыртқы жағдайларда да макроскопиялық параметрлердің нақты мәндері ауытқиды (кездейсоқ өзгереді) және тек олардың орташа мәндері тұрақты болады. Макроскопиялық жүйелерді макропараметрлердің орташа мәндерінің тілінде сипаттау термодинамикалық сипаттаманың мәні болып табылады ().

Идеал бір атомды газ және оның үш (әлі орташаланбаған) макроскопиялық параметрі болсын: Нгаз алып жатқан ыдыстың ішінде қозғалатын атомдар саны; Пыдыс қабырғасына газдың қысымы болып табылады, және ішкі энергиягаз. Газ идеалды және бір атомды, сондықтан оның ішкі энергиясы жай ғана газ атомдарының ілгерілемелі қозғалысының кинетикалық энергияларының қосындысы болып табылады.

Сан Нкем дегенде сорбция (соғу кезінде ыдыстың қабырғасына жабысу) және десорбция (молекула қабырғадан өздігінен ажыраған кезде немесе басқа молекуланың соғуы нәтижесінде ажырау процесі) процесіне байланысты ауытқиды. ), ең соңында кластер түзілу процесі – бірнеше молекуладан тұратын қысқа мерзімді кешендер. Өлшей алсаң Нбірден және дәл, содан кейін алынған тәуелділік Н(т) суретте көрсетілгенге ұқсас болады.

Суреттегі ауытқулар диапазоны анықтық үшін өте жоғары бағаланған, бірақ орташа мәнмен (b) Н c ~ 10 2) газдағы бөлшектердің саны шамамен бірдей болады.

Ыдыстағы газ молекулаларының әсерінен осы аймаққа әсер ететін күшті өлшеу үшін ыдыс қабырғасындағы шағын ауданды таңдасақ, онда бұл күштің ауданға нормаль құраушысының орташа мәнінің ауданға қатынасы. аумақты әдетте қысым деп атайды. Уақыттың әртүрлі сәттерінде әртүрлі мөлшердегі молекулалар сайтқа және әртүрлі жылдамдықпен ұшады. Нәтижесінде, егер бұл күшті бірден және дәл өлшеу мүмкін болса, суретте көрсетілгенге ұқсас сурет пайда болар еді, тек тік ось бойынша белгілерді өзгерту керек:

Н(т) Ю П(т) және б Н(т) Ю б П(т) Бірге.

Газдың ішкі энергиясы үшін барлығы дерлік бірдей, тек осы мөлшердегі кездейсоқ өзгерістерге әкелетін процестер әртүрлі. Мысалы, ыдыстың қабырғасына ұшып бара жатқан газ молекуласы абстрактілі абсолютті серпімді және айнымалы түрде шағылысатын қабырғамен емес, осы қабырғаның материалын құрайтын бөлшектердің бірімен соқтығысады. Қабырға болат болсын, онда бұл тепе-теңдік позицияларының айналасында тербелетін темір иондары - кристалдық тордың түйіндері. Егер газ молекуласы иондық тербелістің сол фазасында қабырғаға қарай ұшса, соқтығыс нәтижесінде молекула қабырғадан жоғары ұшқаннан үлкен жылдамдықпен ұшып кетеді. Бұл молекуланың энергиясымен бірге газдың ішкі энергиясы да артады. Е. Егер молекула өзімен бір бағытта қозғалатын ионмен соқтығысса, онда бұл молекула өзі ұшқаннан аз жылдамдықпен ұшып кетеді. Ақырында, молекула интерстициалды кеңістікке (кристалдық тордың көршілес түйіндері арасындағы бос кеңістік) еніп, сол жерде тұрып қалуы мүмкін, сондықтан күшті қыздыру оны сол жерден алып тастай алмайды. Соңғы екі жағдайда газдың ішкі энергиясы Етөмендеуі. Демек, Е(т) - Сондай-ақ кездейсоқ функцияуақыт және бұл функцияның орташа мәні.

Броундық қозғалыс.

Белгілі бір уақытта броундық бөлшектің орнын анықтап т 1, оның уақыттың кейінгі нүктесіндегі орнын дәл болжауға болады т 2 аспайды ( т 2 –т 1)· в, Қайда вжарықтың вакуумдегі жылдамдығы.

Күйлердің дискретті және үздіксіз спектрінің және сәйкесінше айнымалының жағдайлары бар x. Кейбір айнымалы мәндердің спектрі оның мүмкін болатын мәндерінің бүкіл жиынтығы ретінде түсініледі.

Күйлердің дискретті спектрі жағдайында ықтималдықтың таралуын көрсету үшін, біріншіден, кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің толық жиынтығын көрсету қажет.

x 1, x 2, x 3,…x k,… (1)

және екіншіден, олардың ықтималдығы:

В 1, В 2, В 3,…В k,… (2)

Барлық ықтимал оқиғалардың ықтималдығының қосындысы біреуге тең болуы керек (нормалау шарты)

(1) - (3) қатынастары бойынша ықтималдықты бөлуді сипаттау күйлердің үздіксіз спектрі және сәйкесінше айнымалының мүмкін мәндерінің үздіксіз спектрі жағдайында мүмкін емес. x. Болсын xинтервалдағы барлық мүмкін нақты мәндерді қабылдайды

xТУРАЛЫ [ а, б] (4)

Қайда аЖәне бміндетті түрде ақырлы емес. Мысалы, газ молекуласының жылдамдық векторының модулі үшін ВО мүмкін мәндердің барлық диапазонында жататын, яғни. xТУРАЛЫ [ x,x+ Д x] ТУРАЛЫ [ а, б] (5)

Сонда D ықтималдығы В(x, Д x) соққылар xаралықта (5) тең

Мұнда Нөлшемдердің жалпы саны болып табылады x, және Д n(x, Д x) – (5) интервалына түсетін нәтижелер саны.

Ықтималдық D Вәрине екі аргументке байланысты: x– ішіндегі интервалдың позициялары [ а, б] және Д xоның ұзындығы болып табылады (бұл мүлде қажет болмаса да, Д x> 0). Мысалы, нақты мәнді алу ықтималдығы x, басқаша айтқанда, соғу ықтималдығы xнөлдік ұзындық интервалына мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы және сондықтан нөлге тең: D В(x, 0) = 0

Екінші жағынан, мәнді алу ықтималдығы xбір жерде (қай жерде маңызды емес) бүкіл аралықта [ а, б] - белгілі бір оқиғаның ықтималдығы (бір нәрсе әрқашан болады) және сондықтан бірге тең (болып табылады б > а):D В(а, б – а) = 1.

Д болсын xаз. Жеткілікті кішілік критерийі D ықтималдық үлестірімімен сипатталған жүйенің нақты қасиеттеріне байланысты В(x, Д x). Егер Д xкіші болса, D функциясы В(x, Д x) D дәрежелері бойынша қатарға кеңейтілуі мүмкін x:

Егер D тәуелділік графигін салсақ В(x, Д x) екінші аргументтен D x, содан кейін дәл тәуелділікті (7) жуық өрнекпен ауыстыру дәл қисық сызықты параболаның (7) бөлігімен ауыстыруды (кіші аумақта) білдіреді.

(7) тармағында бірінші мүше дәл нөлге тең, үшінші және келесі мүшелер, егер D жеткілікті аз болса, xөткізіп жіберуге болады. Белгілеумен таныстыру

береді маңызды нәтиже D В(x, Д x) » r( x) D x (8)

(8) қатынасы дәлірек болса, D азырақ xқысқа аралық үшін осы интервалға түсу ықтималдығы оның ұзындығына пропорционал екенін білдіреді.

Сіз әлі де кішкентай, бірақ соңғы D-дан шыға аласыз xформальды түрде шексіз азға dx, Д-ның бір мезгілде ауыстырылуымен В(x, Д x) қосулы дВт(x). Сонда жуықталған теңдік (8) тура теңдікке айналады дВт(x) = r( x)· dx(9)

Пропорционалдық коэффициенті r( x) қарапайым мағынасы бар. (8) және (9)-дан көрініп тұрғандай, r( x) соғу ықтималдығына сандық түрде тең xбірлік ұзындық интервалына. Сондықтан r( функциясының атауларының бірі x) – айнымалы үшін ықтималдықтың таралу тығыздығы x.

функциясы r( x) ықтималдығы туралы барлық ақпаратты қамтиды дВт(x) соққылар xберілген ұзындық интервалында dxосы интервалдың орналасуына байланысты, яғни. ол ықтималдықтың қалай бөлінетінін көрсетеді x. Демек, r( x) әдетте айнымалы үшін үлестіру функциясы деп аталады xжәне осылайша, айнымалы енгізілген күйлер спектрін сипаттау үшін осы физикалық жүйе үшін үлестіру функциясы x. «Ықтималдық тығыздығы» және «тарату функциясы» терминдері статистикалық физикада бір-бірінің орнына қолданылады.

Үш айнымалы жағдайға ықтималдық (6) мен үлестіру функциясының (9) анықтамасын жалпылауды қарастыруға болады. Іске ерікті түрде жалпылау үлкен санайнымалылар дәл осылай жасалады.

Уақыт бойынша кездейсоқ өзгеретін физикалық жүйенің күйі үш айнымалының мәндері арқылы анықталсын x, жЖәне zүздіксіз спектрі бар:

xТУРАЛЫ [ а, б]

жТУРАЛЫ [ в, г]

zТУРАЛЫ [ e, f] (10)

Қайда а, б,…, f, бұрынғыдай, міндетті түрде ақырлы емес. Айнымалылар x, жЖәне zмысалы, газ молекуласының масса центрінің координаталары, оның жылдамдық векторының құрамдас бөліктері болуы мүмкін. xЮ V x, жЮ V жЖәне zЮ Взнемесе импульс және т.б. Оқиға деп барлық үш айнымалының D ұзындық аралықтарында бір уақытта пайда болуы түсініледі. x, Д жжәне Д zтиісінше, яғни:

xТУРАЛЫ [ x, x+ Д x]

жТУРАЛЫ [ ж, ж+ Д ж]

zТУРАЛЫ [ z, z+ Д z] (11)

Оқиғаның ықтималдығын (11) (6) сияқты анықтауға болады.

айырмашылығы, қазіргі Д n– өлшемдер саны x, жЖәне z, оның нәтижелері бір мезгілде қатынастарды қанағаттандырады (11). (7) ұқсас қатарды кеңейтуді пайдалану береді

дВт(x, ж, z) = r( x, ж, z)· dx dy dz(13)

мұндағы r( x, ж, z) – бірден үш айнымалы үшін үлестіру функциясы x, жЖәне z.

Ықтималдықтың математикалық теориясында r(-дан өзгеше шаманы белгілеу үшін «тарату функциясы» термині қолданылады. x), атап айтқанда: x кездейсоқ шаманың кейбір мәні болсын x. ықтималдығын беретін Ф(x) функциясы xх-тен үлкен емес мән қабылдайды және таралу функциясы деп аталады. r және Ф функциялары әртүрлі мағынаға ие, бірақ олар өзара байланысты. Ықтималдықтарды қосу теоремасын пайдалану (мұнда Амүмкін мәндер ауқымының сол жақ шеті x (см.ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИЯСЫ: , ​​(14) қайдан

(8) жуық қатынасты пайдалану D береді В(x, Д x) » r( x) D x.

Дәл (15) өрнекпен салыстыру (8) пайдалану (16) тармағындағы интегралды r( интегралының көбейтіндісіне ауыстыруға тең екенін көрсетеді. x) интегралдау интервалының ұзындығы бойынша D x:

(17) қатынасы дәл болады, егер r = const, сондықтан (16) орнына (17) ауыстырған кезде қателік аз болады интегралинтегралдау интервалының ұзындығы бойынша аздап өзгереді D x.

D енгізуге болады x эффекттаралу функциясы r() болатын интервал ұзындығы. x) айтарлықтай өзгереді, яғни. функцияның ретінің мәні немесе Dr саны бойынша эффмодуль тәртібі r. Лагранж формуласын пайдаланып мынаны жаза аламыз:

осыдан келіп шығады Д x эффекткез келген функция үшін r

Бөлу функциясын аргументтің белгілі бір өзгеріс интервалында «тұрақты дерлік» деп санауға болады, егер оның өсімі |Dr| бұл аралықта абсолютті мән осы интервал нүктелеріндегі функцияның өзінен әлдеқайда аз. Талап |Доктор| eff| ~ r (тарату функциясы r і 0) береді

D x x eff (20)

интегралдау интервалының ұзындығы интеграл айтарлықтай өзгеретінмен салыстырғанда аз болуы керек. Сурет: күріш. 1.

Сол жақтағы интеграл (17) ауданына теңқисық астында. (17) оң жағындағы өнім суреттегі көлеңкеленген аумақ болып табылады. 1 баған. Сәйкес облыстар арасындағы айырмашылықтың кішілігінің критерийі теңсіздіктің орындалуы болып табылады (20). Мұны интегралға (17) r( функциясының кеңеюінің бірінші мүшелерін қою арқылы тексеруге болады. x) өкілеттіктер қатарында

Түзетудің ((21) оң жағындағы екінші мүшесі біріншімен салыстырылатын кіші болуы талабы (20) D теңсіздігін береді. x эффектбастап (19).

Статистикалық физикада маңызды рөл атқаратын бірқатар үлестіру функцияларының мысалдары.

Молекуланың жылдамдық векторының берілген бағытқа проекциясы үшін Максвелл үлестірімі (мысалы, бұл осьтің бағыты ӨҚ).

Мұнда мгаз молекуласының массасы, Т- оның температурасы кБольцман тұрақтысы болып табылады.

Жылдамдық векторының модулі үшін Максвелл үлестірімі:

Молекулалардың ілгерілемелі қозғалысының энергиясы үшін Максвелл таралуы e = мВ 2/2

Больцманның таралуы, дәлірек айтқанда, барометрлік формула деп аталады, ол молекулалардың концентрациясының таралуын немесе биіктіктегі ауа қысымын анықтайды. hауа температурасы биіктікке тәуелді емес деген болжам бойынша кейбір «нөлдік деңгейден» (изотермиялық атмосфера үлгісі). Шын мәнінде, төменгі атмосферадағы температура биіктіктің жоғарылауымен айтарлықтай төмендейді.

Кез келген кездейсоқ тәжірибенің нәтижесін сапалық және сандық сипаттауға болады. Сапалыкездейсоқ эксперимент нәтижесі - кездейсоқ оқиға. Кез келген сандық сипаттамасыкездейсоқ эксперимент нәтижесінде белгілі бір мәндер жиынтығының бірін қабылдай алатын, - кездейсоқ мән.Кездейсоқ мән ықтималдықтар теориясының орталық концепцияларының бірі болып табылады.

Ерікті ықтималдық кеңістігі болсын. Кездейсоқ айнымалынақты сандық функция x \u003d x (w), w W , кез келген нақты үшін x .

Оқиға әдетте x түрінде жазылады< x. Келесіде кездейсоқ шамалар x, h, z, … кіші грек әріптерімен белгіленеді.

Кездейсоқ шама – сүйек лақтыру кезінде түскен ұпай саны немесе оқу тобынан кездейсоқ таңдалған студенттің биіктігі. Бірінші жағдайда біз айналысамыз дискретті кездейсоқ шама(ол дискретті сандар жиынынан мәндерді қабылдайды М=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; екінші жағдайда, бірге үздіксіз кездейсоқ шама(ол үздіксіз сандар жиынынан мәндерді қабылдайды - сандар сызығының интервалынан I=).

Әрбір кездейсоқ шама толығымен онымен анықталады бөлу функциясы.

Егер x кездейсоқ шама болса, онда функция Ф(x) = Fx(x) = П(x< x) аталады бөлу функциясыкездейсоқ шама x . Мұнда П(x<x) - кездейсоқ шама x шамасынан кіші мән қабылдау ықтималдығы x.

Бөлу функциясы кездейсоқ шаманың «паспорты» екенін түсіну маңызды: ол кездейсоқ шама туралы барлық ақпаратты қамтиды және сондықтан. кездейсоқ шаманы зерттеу оны зерттеуден тұрады бөлу функциялары,жиі қарапайым деп аталады тарату.

Кез келген кездейсоқ шаманың таралу функциясы келесі қасиеттерге ие:

Егер x дискретті кездейсоқ шама болса, мәндерді қабылдайды x 1 <x 2 < … <x i < … с вероятностями б 1 <б 2 < … <пи < …, то таблица вида

шақырды дискретті кездейсоқ шаманың таралуы.

Кездейсоқ шаманың осындай үлестірімі бар таралу функциясы пішінге ие

Дискретті кездейсоқ шаманың сатылы таралу функциясы бар. Мысалы, сүйекті бір лақтыру кезінде түскен ұпайлардың кездейсоқ саны үшін бөлу, бөлу функциясы және үлестіру функциясының графигі келесідей болады:

Бөлу функциясы болса Fx(x) үздіксіз болса, онда х кездейсоқ шама шақырылады үздіксіз кездейсоқ шама.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы болса дифференциалданатын, содан кейін кездейсоқ шаманың көрнекі көрінісі береді p x кездейсоқ шамасының ықтималдық тығыздығы(x), таралу функциясымен байланысты Fx(x) формулалар

Және .

Бұдан, атап айтқанда, кез келген кездейсоқ шама үшін .

Тәжірибелік есептерді шешу кезінде көбінесе мәнді табу қажет x, онда тарату функциясы Fx(x) x кездейсоқ шама берілген мәнді қабылдайды б, яғни. теңдеуді шешу керек Fx(x) = б. Мұндай теңдеудің шешімдері (сәйкес мәндер x) ықтималдықтар теориясында деп аталады квантилдер.

квантиль x p ( б-кванттық, деңгейлік квантил б) тарату функциясы бар кездейсоқ шама Fx(x), шешім деп аталады xpтеңдеулер Fx(x) = б, б(0, 1). Кейбіреулер үшін бтеңдеу Fx(x) = ббірнеше шешімдер болуы мүмкін, кейбіреулер үшін - жоқ. Бұл сәйкес кездейсоқ шама үшін кейбір квантильдер бірегей түрде анықталмаған, ал кейбір квантильдер жоқ дегенді білдіреді.

Кез келген кездейсоқ тәжірибенің нәтижесін сапалық және сандық сипаттауға болады. Сапалыкездейсоқ эксперимент нәтижесі - кездейсоқ оқиға. Кез келген сандық сипаттамасыкездейсоқ эксперимент нәтижесінде белгілі бір мәндер жиынтығының бірін қабылдай алатын, - кездейсоқ мән.Кездейсоқ мән ықтималдықтар теориясының орталық концепцияларының бірі болып табылады.

Ерікті ықтималдық кеңістігі болсын. Кездейсоқ айнымалынақты сандық функция x \u003d x (w), w W , кез келген нақты үшін x .

Оқиға әдетте x түрінде жазылады< x. Келесіде кездейсоқ шамалар x, h, z, … кіші грек әріптерімен белгіленеді.

Кездейсоқ шама – сүйек лақтыру кезінде түскен ұпай саны немесе оқу тобынан кездейсоқ таңдалған студенттің биіктігі. Бірінші жағдайда біз айналысамыз дискретті кездейсоқ шама(ол дискретті сандар жиынынан мәндерді қабылдайды М=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; екінші жағдайда, бірге үздіксіз кездейсоқ шама(ол үздіксіз сандар жиынынан мәндерді қабылдайды - сандар сызығының интервалынан I=).

Әрбір кездейсоқ шама толығымен онымен анықталады бөлу функциясы.

Егер x кездейсоқ шама болса, онда функция Ф(x) = Fx(x) = П(x< x) аталады бөлу функциясыкездейсоқ шама x . Мұнда П(x<x) - кездейсоқ шама x шамасынан кіші мән қабылдау ықтималдығы x.

Бөлу функциясы кездейсоқ шаманың «паспорты» екенін түсіну маңызды: ол кездейсоқ шама туралы барлық ақпаратты қамтиды және сондықтан. кездейсоқ шаманы зерттеу оны зерттеуден тұрады бөлу функциялары,жиі қарапайым деп аталады тарату.

Кез келген кездейсоқ шаманың таралу функциясы келесі қасиеттерге ие:

Егер x дискретті кездейсоқ шама болса, мәндерді қабылдайды x 1 <x 2 < … <x i < … с вероятностями б 1 <б 2 < … <пи < …, то таблица вида

шақырды дискретті кездейсоқ шаманың таралуы.

Кездейсоқ шаманың осындай үлестірімі бар таралу функциясы пішінге ие

Дискретті кездейсоқ шаманың сатылы таралу функциясы бар. Мысалы, сүйекті бір лақтыру кезінде түскен ұпайлардың кездейсоқ саны үшін бөлу, бөлу функциясы және үлестіру функциясының графигі келесідей болады:

Бөлу функциясы болса Fx(x) үздіксіз болса, онда х кездейсоқ шама шақырылады үздіксіз кездейсоқ шама.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы болса дифференциалданатын, содан кейін кездейсоқ шаманың көрнекі көрінісі береді p x кездейсоқ шамасының ықтималдық тығыздығы(x), таралу функциясымен байланысты Fx(x) формулалар

Және .

Бұдан, атап айтқанда, кез келген кездейсоқ шама үшін .

Тәжірибелік есептерді шешу кезінде көбінесе мәнді табу қажет x, онда тарату функциясы Fx(x) x кездейсоқ шама берілген мәнді қабылдайды б, яғни. теңдеуді шешу керек Fx(x) = б. Мұндай теңдеудің шешімдері (сәйкес мәндер x) ықтималдықтар теориясында деп аталады квантилдер.

квантиль x p ( б-кванттық, деңгейлік квантил б) тарату функциясы бар кездейсоқ шама Fx(x), шешім деп аталады xpтеңдеулер Fx(x) = б, б(0, 1). Кейбіреулер үшін бтеңдеу Fx(x) = ббірнеше шешімдер болуы мүмкін, кейбіреулер үшін - жоқ. Бұл сәйкес кездейсоқ шама үшін кейбір квантильдер бірегей түрде анықталмаған, ал кейбір квантильдер жоқ дегенді білдіреді.

Бөлу функциясы бөлу заңын орнатудың ең жалпы формасы болып табылады. Ол дискретті және үздіксіз кездейсоқ шамаларды анықтау үшін қолданылады. Ол әдетте деп аталады. бөлу функциясыкездейсоқ шаманың тіркелген нақты саннан аз мәндерді қабылдау ықтималдығын анықтайды, яғни. . Бөлу функциясы кездейсоқ шаманы ықтималдық тұрғысынан толығымен сипаттайды. Оны интегралдық үлестіру функциясы деп те атайды.

Бөлу функциясының геометриялық түсіндірмесі өте қарапайым. Кездейсоқ шама осьтің кездейсоқ нүктесі ретінде қарастырылса (6-сурет), ол сынақ нәтижесінде осы осьте сол немесе басқа позицияны ала алады, онда үлестіру функциясы кездейсоқ нүктенің ықтималдығы, сынақ нәтижесінде нүктенің сол жағына түседі.

, … , мәндерін қабылдай алатын дискретті кездейсоқ шама үшін тарату функциясының пішіні бар

,

мұндағы қосынды белгісінің астындағы теңсіздік қосындының шамасы бойынша кішірек барлық мәндерге таралатынын білдіреді. Бұл формуладан дискретті кездейсоқ шаманың таралу функциясы үзіліссіз және ,, …, нүктелері арқылы өткенде секірулерде өсетіні шығады, ал секіру сәйкес мәннің ықтималдылығына тең болады (7-сурет). Бөлу функциясындағы барлық секірулердің қосындысы біреуге тең.

Үздіксіз кездейсоқ шама үздіксіз таралу функциясына ие, бұл функцияның графигі тегіс қисық түрінде болады (8-сурет).

Күріш. 7. сур. 8.

Бөлу функцияларының жалпы қасиеттерін қарастырыңыз.

Мүлік 1. Бөлу функциясы нөл мен бір арасында орналасқан теріс емес функция:

Бұл қасиеттің дұрыстығы таралу функциясының осыдан тұратын кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы ретінде анықталғандығынан туындайды.

Мүлік 2. Кездейсоқ шаманың интервалға түсу ықтималдығы осы интервалдың соңындағы таралу функциясының мәндерінің айырмашылығына тең, яғни.

Бұдан шығатыны, үздіксіз кездейсоқ шаманың кез келген жалғыз мәнінің ықтималдығы нөлге тең.

Мүлік 3. Кездейсоқ шаманың таралу функциясы кемімейтін функция болып табылады, яғни .

Мүлік 4. Минус шексіздікте таралу функциясы нөлге тең болады, ал плюс шексіздікте үлестіру функциясы бірлікке тең, яғни.

1-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы өрнек арқылы беріледі

Коэффицентті тауып, графикті құрастыр. Тәжірибе нәтижесінде кездейсоқ шаманың интервалда мән алу ықтималдығын анықтаңыз.

Шешім. Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы үздіксіз болғандықтан, мынаны аламыз: . Осы жерден. Функцияның графигі суретте көрсетілген. 9.

Бөлу функциясының екінші қасиетіне сүйене отырып, бізде:

.

4. Ықтималдықтың таралу тығыздығы және оның қасиеттері.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы оның ықтималдық сипаттамасы болып табылады. Бірақ оның кемшілігі бар, ол сандық осьтің бір немесе басқа нүктесінің шағын төңірегінде кездейсоқ шаманың таралу сипатын бағалау қиын. Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу сипатының неғұрлым көрнекі көрінісі кездейсоқ шаманың ықтималдылық таралу тығыздығы немесе дифференциалды таралу функциясы деп аталатын функция арқылы беріледі.

Таралу тығыздығыбөлу функциясының туындысына тең, яғни.

.

Тарату тығыздығының мағынасы кездейсоқ шаманың тәжірибелер қайталанған кезде нүктенің белгілі бір маңайында қаншалықты жиі пайда болатынын көрсетеді. Кездейсоқ шаманың таралу тығыздығын көрсететін қисық деп аталады таралу қисығы.

Таралу тығыздығының қасиеттерін қарастырыңыз.

Мүлік 1. Бөлу тығыздығы теріс емес, яғни.

Мүлік 2. Кездейсоқ шаманың таралу функциясы --ден дейінгі аралықтағы тығыздықтың интегралына тең, яғни.

.

Мүлік 3. Үздіксіз кездейсоқ шаманың сегментке соғу ықтималдығы осы сегментте алынған таралу тығыздығының интегралына тең, яғни.

.

Мүлік 4. Таралу тығыздығының шексіз шектеріндегі интеграл бірлікке тең:

.

2-мысалКездейсоқ шама тығыздығы бар таралу заңына бағынады

Коэффицентті анықтау; таралу тығыздығының графигін құру; -дан бастап кесіндісінде кездейсоқ шамаға соғу ықтималдығын табу; таралу функциясын анықтап, оның графигін сал.

Шешім. Таралу қисығымен шектелген аудан сан жағынан тең

.

Таралу тығыздығының 4 қасиетін ескере отырып, табамыз: . Сондықтан таралу тығыздығын келесі түрде көрсетуге болады:

Таралу тығыздығының графигі күріш. 10. Бізде 3-қасиет бар

.

Бөлу функциясын анықтау үшін 2-қасиетті пайдаланамыз:

.

Осылайша, бізде

Бөлу функциясының графигі күріште көрсетілген. он бір.