Кездейсоқ шама x ықтималдықты бөлу функциясы арқылы берілген. «Кездейсоқ айнымалылар. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы

Белгілі болғандай, кездейсоқ шама шақырды айнымалы, ол жағдайға байланысты белгілі бір мәндерді қабылдай алады. Кездейсоқ айнымалылар латын әліпбиінің бас әріптерімен (X, Y, Z), ал олардың мәндері - сәйкес кіші әріптермен (x, y, z) белгіленеді. Кездейсоқ шамалар үзіліссіз (дискретті) және үздіксіз болып бөлінеді.

Дискретті кездейсоқ шама шақырды кездейсоқ мән, ол белгілі бір нөлдік емес ықтималдықтары бар соңғы немесе шексіз (есептелетін) мәндер жиынын ғана қабылдайды.

Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы кездейсоқ шаманың мәндерін олардың сәйкес ықтималдықтарымен байланыстыратын функция. Бөлу заңын келесі жолдардың бірімен көрсетуге болады.

1 . Бөлу заңын кесте арқылы беруге болады:

мұндағы λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)көмегімен үлестіру функциясы F(x) , ол әрбір x мәні үшін X кездейсоқ шамасының x мәнінен кіші мәнді қабылдау ықтималдығын анықтайды, яғни. F(x) = P(X< x).

F(x) функциясының қасиеттері

3 . Бөлу заңын графикалық түрде орнатуға болады – таралу көпбұрышы (көпбұрыш) (3 есепті қараңыз).

Кейбір мәселелерді шешу үшін бөлу заңын білу қажет емес екенін ескеріңіз. Кейбір жағдайларда бөлу заңының маңызды белгілерін көрсететін бір немесе бірнеше сандарды білу жеткілікті. Бұл кездейсоқ шаманың «орташа мәні» мағынасы бар сан немесе кездейсоқ шаманың орташа мәнінен ауытқуының орташа өлшемін көрсететін сан болуы мүмкін. Мұндай сандар кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары деп аталады.

Негізгі сандық сипаттамалардискретті кездейсоқ шама :

• Математикалық күту дискретті кездейсоқ шаманың (орташа мәні). M(X)=Σ x i p i.
  Үшін биномдық үлестірім M(X)=np, Пуассон үлестірімі үшін M(X)=λ
• Дисперсия дискретті кездейсоқ шама D(X)=M2немесе D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) айырмасы кездейсоқ шаманың оның математикалық күтуінен ауытқуы деп аталады.
  Биномдық үлестірім үшін D(X)=npq, Пуассон таралымы үшін D(X)=λ
• Стандартты ауытқу (стандартты ауытқу) σ(X)=√D(X).

«Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы» тақырыбына есептер шығару мысалдары

1-тапсырма.

1000 лотерея билеті шығарылды: оның 5-і 500 рубль, 10-ы 100 рубль, 20-сы 50 рубль, 50-і 10 рубль ұтып алады. Кездейсоқ Х шамасының ықтималдылық таралу заңын анықтаңыз – бір билет бойынша ұтыс.

Шешім. Есептің шартына сәйкес X кездейсоқ шамасының келесі мәндері мүмкін: 0, 10, 50, 100 және 500.

Ұтыссыз билеттер саны 1000 - (5+10+20+50) = 915, содан кейін P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Сол сияқты, біз барлық басқа ықтималдықтарды табамыз: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Алынған заңды кесте түрінде береміз:

Табайық күтілетін мән X мәндері: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2) +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

3-тапсырма.

Құрылғы бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін үш элементтен тұрады. Бір тәжірибеде әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,1. Бір тәжірибедегі сәтсіз элементтер санының таралу заңын құрастырыңыз, таралу полигонын құрастырыңыз. F(x) таралу функциясын тауып, графигін сал. Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтуін, дисперсиясын және стандартты ауытқуын табыңыз.

Шешім. 1. Дискретті кездейсоқ шама X=(бір тәжірибедегі сәтсіз элементтердің саны) келесі мүмкін мәндерге ие: x 1 =0 (құрылғы элементтерінің ешқайсысы сәтсіз аяқталды), x 2 =1 (бір элемент істен шықты), x 3 =2 ( екі элемент сәтсіз аяқталды ) және x 4 \u003d 3 (үш элемент орындалмады).

Элементтердің істен шығуы бір-бірінен тәуелсіз, әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы бір-біріне тең, сондықтан ол қолданылады. Бернулли формуласы . Шарт бойынша n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 екенін ескере отырып, шамалардың ықтималдықтарын анықтаймыз:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Тексеріңіз: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Осылайша, қалаған биномдық үлестіру заңы X келесі түрге ие болады:

Абсцисса осінде мүмкін болатын мәндерді x i, ал ордината осінде р i сәйкес ықтималдықтарды саламыз. М 1 (0; 0,729), М 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) нүктелерін тұрғызайық. Осы нүктелерді түзу кесінділерімен байланыстыра отырып, қажетті таралу көпбұрышын аламыз.

3. F(x) = P(X) таралу функциясын табыңыз

F(x) функциясының графигі

4. X биномдық таралуы үшін:
- математикалық күту М(Х) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартты ауытқу σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Анықтама 13.1.Кездейсоқ шама X деп аталады дискретті, егер ол шекті немесе есептелетін мәндерді қабылдайтын болса.

Анықтама 13.2. Х кездейсоқ шамасының таралу заңысандар жұптарының жиыны ( , ), мұнда кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері және кездейсоқ шаманың осы мәндерді қабылдайтын ықтималдықтары, яғни. =P( X= ) және =1.

Дискретті кездейсоқ шаманы көрсетудің қарапайым түрі кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерін және олардың сәйкес ықтималдықтарын тізімдейтін кесте болып табылады. Мұндай кесте деп аталады таратуға жақындискретті кездейсоқ шама.

Бөлу қатарын графикалық түрде көрсетуге болады. Бұл жағдайда абсцисса ордината бойымен, ал ықтималдық ордината бойымен салынады. Координаталары ( , ) нүктелері кесінділер арқылы қосылады және шақырылған сынық сызықты алады бөлу көпбұрышы,дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын көрсетудің бір түрі болып табылады.

13.3-мысал.Таралу қатары бар Х кездейсоқ шамасының таралу полигонын тұрғызыңыз

Анықтама 13.4.Біз дискретті кездейсоқ шама X бар деп айтамыз биномдық үлестірімпараметрлерімен ( п, б) егер ол теріс емес бүтін мәндерді қабылдай алса к {1,2,…,n) ықтималдықтармен Р( X=x)= .

Тарату сериясы келесі формада болады:

Ықтималдықтардың қосындысы = =1.

Анықтама 13.5.Кездейсоқ шаманың дискретті түрі деп айтылады XОнда бар Пуассонның таралуы(>0) параметрімен, егер ол бүтін мәндерді қабылдаса к(0,1,2,…) ықтималдықтармен Р( X=k)= .

Тарату қатарының пішіні бар

Маклаурин қатарындағы кеңею келесі түрге ие болғандықтан, ықтималдықтардың қосындысы = = =1.

арқылы белгілеңіз Xоқиғаның бірінші орын алғанға дейін аяқталуы тиіс сынақтар саны Атәуелсіз сынақтарда, егер олардың әрқайсысында А-ның пайда болу ықтималдығы тең болса б (0<б <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями Xнатурал сандар болып табылады.

Анықтама 13.6.Олар кездейсоқ шама дейді XОнда бар геометриялық таралупараметрімен б (0<б <1), если она принимает натуральные значения кР(Х=k)= ықтималдығы бар N, мұндағы . Тарату ауқымы:

Ықтималдықтардың қосындысы = = =1.

13.7-мысал.Монета 2 рет аударылады. «Елтаңбаның» пайда болу санының Х кездейсоқ шамасының таралу қатарын құрастырыңыз.

P 2 (0)= = ; P 2 (1)===0,5; P 2 (2) = =.

Тарату сериясы келесі формада болады:

13.8-мысал.Мылтық нысанаға бірінші тигенше атылады. Бір оқпен соғу ықтималдығы 0,6. 3-ші оқта соғады.

Өйткені б=0,6, q=0,4, к=3, содан кейін P( А)= =0,4 2 *0,6=0,096.

14 Дискретті кездейсоқ шамалардың сандық сипаттамалары

Бөлу заңы кездейсоқ шаманы толығымен сипаттайды, бірақ ол жиі белгісіз, сондықтан аз ақпаратпен шектелуге тура келеді. Кейде жалпы кездейсоқ шаманы сипаттайтын сандарды (параметрлерді) пайдалану одан да тиімдірек. Олар шақырылады сандық сипаттамаларкездейсоқ шама. Оларға мыналар жатады: математикалық күту, дисперсия және т.б.

Анықтама 14.1. математикалық күтуДискретті кездейсоқ шама оның барлық мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысы деп аталады. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін белгілеңіз Xарқылы М X=М( X)=Е X.

Кездейсоқ шама болса Xмәндердің шектеулі санын қабылдайды, содан кейін M X= .

Кездейсоқ шама болса Xмәндердің есептелетін санын қабылдайды, содан кейін M X= ,

және егер қатар абсолютті жинақталса, математикалық күту бар.

Ескерту 14.2.Математикалық күту – кездейсоқ шаманың белгілі бір мәніне шамамен тең белгілі бір сан.

14.3-мысал.Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табыңыз X, оның таралу қатарын білу

М X=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

14.4-мысал.Оқиғаның қайталану санының математикалық болжамын табыңыз Абір сынақта, егер оқиғаның ықтималдығы Атең б.

Кездейсоқ мән X- оқиғаның орын алу саны Абір сынақта. Ол =1 мәндерін қабылдай алады ( Аболды) ықтималдықпен бжәне =0 ықтималдығы бар, яғни. тарату сериясы

Демек, MS=C*1=C.

Ескерту 14.6.Тұрақты С шамасының дискретті кездейсоқ шамаға көбейтіндісі XС дискретті кездейсоқ шама ретінде анықталады X, мүмкін мәндері С тұрақтысының көбейтінділеріне және мүмкін мәндерге тең X, бұл мәндердің ықтималдықтары С Xсәйкес мүмкін мәндердің ықтималдықтарына тең X.

Мүлік 14.7.Тұрақты факторды күту белгісінен шығаруға болады:

ХАНЫМ X)=C∙M X.

Кездейсоқ шама болса Xтарату нөмірі бар

Кездейсоқ айнымалы таралу қатары

ХАНЫМ X)= = = С∙М( X).

Анықтама 14.8.Кездейсоқ айнымалылар , ,…, деп аталады тәуелсіз, егер үшін, мен=1,2,…,n

Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)

Егер = болса, мен=1,2,…,n, содан кейін біз (1) аламыз

R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:

( , ,…, ) = () ()... () (2)

кездейсоқ шамалардың бірлескен таралу функциясы үшін , ,…, , оны кездейсоқ шаманың тәуелсіздігінің анықтамасы ретінде де алуға болады.

Мүлік 14.9. 2 көбейтіндісінің математикалық күтуі тәуелсізКездейсоқ шамалар олардың математикалық күтулерінің көбейтіндісіне тең:

М( XY)=М X∙М Сағат.

Мүлік 14.10. 2 кездейсоқ шаманың қосындысының математикалық күтуі олардың математикалық күтулерінің қосындысына тең:

М( X+Y)=М X+М Сағат.

Ескерту 14.11. 14.9 және 14.10 қасиеттерді бірнеше кездейсоқ шама жағдайларына жалпылауға болады.

14.12 мысал. 2 сүйек лақтыру кезінде түсуі мүмкін ұпайлар санының қосындысының математикалық күтуін табыңыз.

Болсын Xбірінші матрицада оралған ұпайлар саны, Сағатекінші матрицада оралған ұпайлар саны. Олардың тарату сериялары бірдей:

Содан кейін М X=М Сағат= (1+2+3+4+5+6)= = . М( X+Y)=2* =7.

Теорема 14.13.Оқиғаның пайда болу санын математикалық күту АВ nтәуелсіз сынақтар сынақтар саны мен әрбір сынақта болатын оқиғаның ықтималдығының көбейтіндісіне тең: M X=np.

Болсын X– оқиғаның орын алу саны АВ nтәуелсіз сынақтар. – оқиғаның орын алу саны АВ мен- бұл сынақ, мен=1,2,…,n.Содан кейін = + +…+. Математикалық күтудің қасиеттері бойынша М X=. Мысалдан 14,4 млн X i=p, i=1,2,…,n,сондықтан М X= =np.

Анықтама 14.14.дисперсиякездейсоқ шама D саны деп аталады X=М( X-М X) 2 .

Анықтама 14.15.Стандартты ауытқукездейсоқ шама Xшақырылған сан =.

Ескерту 14.16.Дисперсия – кездейсоқ шама мәндерінің оның математикалық күтуінің айналасында таралуының өлшемі. Ол әрқашан теріс емес. Дисперсияны есептеу үшін басқа формуланы қолдану ыңғайлы:

D X=М( X-М X) 2 = M( X 2 - 2X∙М X+ (М X) 2) = M( X 2) - 2М( X∙М X) + М(М X) 2 = =M( X 2)-М X∙М X+(М X) 2 = М( X 2) - (М X) 2 .

Осы жерден Д X=М( X 2) - (М X) 2 .

14.17 мысал.Кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз X, бірнеше таралу арқылы берілген

М X=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; М( X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;

D X=13.3-(3,5) 2 =1,05.

Дисперсиялық қасиеттер

Мүлік 14.18.Тұрақты шаманың дисперсиясы 0-ге тең:

DC = M(C-MC) 2 = M(C-C) 2 =0.

Мүлік 14.19.Тұрақты факторды квадраттау арқылы дисперсиялық белгіден шығаруға болады

D(C X) =C 2 D X.

D(CX)=M(C-CM X) 2 \u003d M (C (X- M X) 2) = C 2 M( X-М X) 2 = C 2 D X.

Мүлік 14.20. 2 қосындысының дисперсиясы тәуелсізкездейсоқ шама осы айнымалылардың дисперсияларының қосындысына тең

D( X+Y)=D X+D Ы.

D( X + Y)=М(( X+Y) 2) – (М( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (М X+М Ы) 2 = =M( X) 2 +2М XМ Ы+М( Ы 2)-(М( X) 2 +2М XМ Ы+М( Ы) 2)= M( X 2)-(М X) 2 +М( Ы 2)-(М Ы) 2 = D X+D Ы.

Қорытынды 14.21.Бірнеше қосындысының дисперсиясы тәуелсізкездейсоқ шама олардың дисперсияларының қосындысына тең.

14.22 теорема.Оқиғаның орын алу санының ауытқуы АВ nтәуелсіз сынақтар, олардың әрқайсысында ықтималдық p) 2 =). Демек, D +2,

Кездейсоқ айнымалы әр түрлі жағдайларға байланысты белгілі бір мәндерді қабылдай алатын айнымалы болып табылады және кездейсоқ шама үздіксіз деп аталады , егер ол қандай да бір шектелген немесе шектелмеген интервалдан кез келген мән қабылдай алатын болса. Үздіксіз кездейсоқ шама үшін барлық мүмкін мәндерді көрсету мүмкін емес, сондықтан белгілі бір ықтималдықтармен байланысты осы мәндердің интервалдары белгіленеді.

Үздіксіз кездейсоқ шамалардың мысалдары: берілген өлшемге бұрылған бөліктің диаметрі, адамның биіктігі, снарядтың қашықтығы және т.б.

Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін функция болғандықтан Ф(x), айырмашылығы дискретті кездейсоқ шамалар, еш жерде секірулері жоқ, онда үздіксіз кездейсоқ шаманың кез келген жалғыз мәнінің ықтималдығы нөлге тең.

Бұл үздіксіз кездейсоқ шама үшін оның мәндері арасындағы ықтималдықтың таралуы туралы айтудың мағынасы жоқ екенін білдіреді: олардың әрқайсысының ықтималдығы нөлге тең. Дегенмен, белгілі бір мағынада, үздіксіз кездейсоқ шаманың мәндерінің арасында «көп және аз ықтималдық» бар. Мысалы, кездейсоқ шаманың мәні - кездейсоқ кездескен адамның биіктігі - 170 см - 220 см-ден жоғары болатынына ешкімнің күмәндануы екіталай, бірақ бір және басқа мән тәжірибеде болуы мүмкін.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы және ықтималдық тығыздығы

Үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін ғана мағынасы бар таралу заңы ретінде таралу тығыздығы немесе ықтималдық тығыздығы түсінігі енгізіледі. Үздіксіз кездейсоқ шама мен дискретті кездейсоқ шама үшін үлестірім функциясының мағынасын салыстыру арқылы оған жақындайық.

Сонымен, кездейсоқ шаманың таралу функциясы (дискретті де, үздіксіз де) немесе интегралдық функциякездейсоқ шаманың мәні болу ықтималдығын анықтайтын функция деп аталады Xшекті мәннен аз немесе оған тең X.

Оның мәндерінің нүктелеріндегі дискретті кездейсоқ шама үшін x1 , x 2 , ..., xмен,...ықтималдықтардың шоғырланған массалары б1 , б 2 , ..., бмен,..., ал барлық массалардың қосындысы 1-ге тең. Бұл интерпретацияны үздіксіз кездейсоқ шама жағдайына көшірейік. 1-ге тең массаның бөлек нүктелерде шоғырланбағанын, бірақ х осі бойымен үздіксіз «жағынып» жатқанын елестетіңіз. Өгізбіркелкі емес тығыздықпен. Кез келген торапта кездейсоқ шаманы соғу ықтималдығы Δ xосы бөлімге жататын масса ретінде, ал осы бөлімдегі орташа тығыздық - массаның ұзындыққа қатынасы ретінде түсіндірілетін болады. Біз жаңа ғана ықтималдықтар теориясына маңызды ұғымды енгіздік: таралу тығыздығы.

Ықтималдық тығыздығы f(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясының туындысы:

.

Тығыздық функциясын біле отырып, үздіксіз кездейсоқ шама мәнінің тұйық интервалға жату ықтималдығын таба аламыз [ а; б]:

үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xаралығынан кез келген мәнді қабылдайды [ а; б], бастап диапазондағы оның ықтималдық тығыздығының белгілі бір интегралына тең абұрын б:

.

Бұл жағдайда функцияның жалпы формуласы Ф(x) тығыздық функциясы белгілі болған жағдайда қолдануға болатын үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі f(x) :

.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығының графигі оның таралу қисығы деп аталады (төмендегі сурет).

Қисықпен шектелген фигураның ауданы (суретте көлеңкеленген), нүктелерден тартылған түзулер аЖәне бабсцисса осіне перпендикуляр және ось О, графикалық түрде үздіксіз кездейсоқ шаманың мәнінің ықтималдығын көрсетеді Xауқымында болады абұрын б.

Үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясының қасиеттері

1. Кездейсоқ шаманың интервалдан кез келген мәнді қабылдау ықтималдығы (және функцияның графигімен шектелген фигураның ауданы). f(x) және ось О) бірге тең:

2. Ықтималдық тығыздық функциясы теріс мәндерді қабылдай алмайды:

және үлестірімнің бар болуының сыртында оның мәні нөлге тең

Таралу тығыздығы f(x), сондай-ақ тарату функциясы Ф(x), таралу заңының бір түрі болып табылады, бірақ таралу функциясынан айырмашылығы ол әмбебап емес: таралу тығыздығы үздіксіз кездейсоқ шамалар үшін ғана бар.

Үздіксіз кездейсоқ шаманы бөлудің тәжірибедегі ең маңызды екі түрін атап өтейік.

Бөлу тығыздығы функциясы болса f(x) кейбір соңғы интервалдағы үздіксіз кездейсоқ шама [ а; б] тұрақты мәнді қабылдайды C, ал интервалдан тыс нөлге тең мәнді қабылдайды, онда бұл бөлу біркелкі деп аталады .

Егер таралу тығыздығы функциясының графигі центрге қатысты симметриялы болса, онда орташа мәндер орталыққа жақын жерде шоғырланған, ал орталықтан алыстаған кезде орташадан өзгешерек жиналады (функцияның графигі кесіндіге ұқсайды) қоңырау), содан кейін бұл таралу қалыпты деп аталады .

1-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималды таралым функциясы белгілі:

Ерекшелікті табыңыз f(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы. Екі функцияның графиктерін салыңыз. Үздіксіз кездейсоқ шаманың 4-тен 8-ге дейінгі диапазондағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз: .

Шешім. Ықтималдықтың таралу функциясының туындысын табу арқылы ықтималдық тығыздық функциясын аламыз:

Функция графигі Ф(x) - парабола:

Функция графигі f(x) - түзу сызық:

Үздіксіз кездейсоқ шаманың 4 пен 8 аралығындағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табайық:

2-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясы келесі түрде берілген:

Есептеу коэффициенті C. Ерекшелікті табыңыз Ф(x) үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі. Екі функцияның графиктерін салыңыз. Үздіксіз кездейсоқ шаманың 0-ден 5-ке дейінгі аралықтағы кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табыңыз: .

Шешім. Коэффицент CЫқтималдық тығыздық функциясының 1 қасиетін пайдаланып табамыз:

Осылайша, үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздық функциясы:

Интеграциялай отырып, функцияны табамыз Ф(x) ықтималдық үлестірімдері. Егер x < 0 , то Ф(x) = 0. Егер 0< x < 10 , то

.

x> 10, содан кейін Ф(x) = 1 .

Осылайша, ықтималдықты бөлу функциясының толық жазбасы:

Функция графигі f(x) :

Функция графигі Ф(x) :

Үздіксіз кездейсоқ шаманың 0-ден 5-ке дейінгі аралықта кез келген мәнді қабылдау ықтималдығын табайық:

3-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығы Xтеңдігімен беріледі, ал. Коэффицентті табыңыз А, үздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдығы Xүзіліссіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы ]0, 5[ интервалынан белгілі бір мән алады X.

Шешім. Шарт бойынша біз теңдікке келеміз

Сондықтан, қайдан. Сонымен,

.

Енді үздіксіз кездейсоқ шама болу ықтималдығын табамыз X]0, 5[ аралығынан кез келген мәнді қабылдайды:

Енді осы кездейсоқ шаманың таралу функциясын аламыз:

4-мысалҮздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық тығыздығын табыңыз X, ол тек теріс емес мәндерді қабылдайды және оның таралу функциясы .

Кездейсоқ МӘНДЕР

2.1-мысал.Кездейсоқ мән Xбөлу функциясы арқылы берілген

Сынақ нәтижесінде пайда болу ықтималдығын табыңыз X(2,5; 3,6) арасындағы мәндерді қабылдайды.

Шешімі: X(2,5; 3,6) аралықта екі жолмен анықталуы мүмкін:

2.2-мысал.Параметрлердің қандай мәндерінде АЖәне INфункциясы Ф(x) = A + Be - xкездейсоқ шаманың теріс емес мәндері үшін таралу функциясы болуы мүмкін X.

Шешімі:Кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндері болғандықтан Xинтервалына жатады, содан кейін функция үшін үлестіру функциясы болуы үшін X, мүлік мыналарға ие болуы керек:

.

Жауап: .

2.3-мысал.Кездейсоқ шама Х үлестіру функциясы арқылы берілген

Төрт тәуелсіз сынақ нәтижесінде мәннің пайда болу ықтималдығын табыңыз Xдәл 3 рет интервалға жататын мәнді қабылдайды (0,25; 0,75).

Шешімі:Мәнге жету ықтималдығы X(0,25; 0,75) аралықта мына формуламен табамыз:

2.4-мысал.Бір лақтырғанда доптың себетке соғу ықтималдығы 0,3. Үш лақтырудағы соққылар санын бөлу заңын құрастырыңыз.

Шешімі:Кездейсоқ мән X- үш лақтырылған себеттегі соққылар саны - мәндерді қабылдай алады: 0, 1, 2, 3. Мүмкіндіктер X

X:

2.5-мысал.Екі атқыш нысанаға бір рет ату жасайды. Бірінші атқыштың оны соғу ықтималдығы 0,5, екіншісі - 0,4. Нысанаға тиген соққылар санының таралу заңын жазыңыз.

Шешімі:Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын табыңыз X- нысанаға тиген соққылар саны. Оқиға бірінші атқыштың нысанаға тиюі, ал екінші атқыштың тигізуі және сәйкесінше олардың жіберіп алуы болсын.

SV ықтималдығының таралу заңын құрастырайық X:

Мысал 2.6.Бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін 3 элемент сыналады. Элементтердің ақаусыз жұмыс істеу уақытының ұзақтығы (сағатпен) таралу тығыздығы функцияларына ие: біріншісі үшін: Ф 1 (т) =1-e- 0,1 т, екіншісі үшін: Ф 2 (т) = 1-e- 0,2 т, үшінші үшін: Ф 3 (т) =1-e- 0,3 т. 0-ден 5 сағатқа дейінгі уақыт аралығында: бір ғана элементтің істен шығуының ықтималдығын табыңыз; тек екі элемент істен шығады; барлық үш элемент сәтсіз.

Шешімі:Ықтималдықтардың тудырушы функциясының анықтамасын қолданайық:

Тәуелсіз сынақтардағы ықтималдық, оның біріншісінде оқиғаның пайда болу ықтималдығы Атең, екіншіде, оқиға, т.б Адәл бір рет пайда болады, дәрежелерінде тудырушы функцияның кеңеюіндегі at коэффициентіне тең. 0-ден 5 сағатқа дейінгі уақыт аралығындағы бірінші, екінші және үшінші элементтің сәйкесінше істен шығу және істен шығу ықтималдығын табайық:

Генераторлық функцияны құрайық:

at коэффициенті оқиғаның ықтималдығына тең Адәл үш рет пайда болады, яғни барлық үш элементтің істен шығу ықтималдығы; at коэффициенті дәл екі элементтің істен шығу ықтималдығына тең; at коэффициенті тек бір элементтің істен шығу ықтималдығына тең.

2.7-мысал.Ықтималдық тығыздығы берілген f(x) кездейсоқ шама X:

F(x) үлестірім функциясын табыңыз.

Шешімі:Біз формуланы қолданамыз:

.

Осылайша, үлестіру функциясы келесі түрде болады:

2.8-мысал.Құрылғы бір-бірінен тәуелсіз жұмыс істейтін үш элементтен тұрады. Бір тәжірибеде әрбір элементтің істен шығу ықтималдығы 0,1. Бір тәжірибедегі сәтсіз элементтер санының таралу заңын құрастырыңыз.

Шешімі:Кездейсоқ мән X- бір тәжірибеде сәтсіздікке ұшыраған элементтер саны - мәндерді қабылдай алады: 0, 1, 2, 3. Мүмкіндіктер XБернулли формуласы бойынша мына мәндерді аламыз:

Осылайша, кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімінің келесі заңын аламыз X:

2.9-мысал. 6 бөліктен тұратын 4 стандартты бөлік бар. 3 элемент кездейсоқ таңдалды. Таңдалғандар арасында стандартты бөліктер санын бөлу заңын құрастырыңыз.

Шешімі:Кездейсоқ мән X- таңдалғандар арасындағы стандартты бөліктердің саны - мәндерді қабылдай алады: 1, 2, 3 және гипергеометриялық үлестірімге ие. Бұл ықтималдықтар X

Қайда -- лоттағы бөліктердің саны;

-- лоттағы стандартты бөлшектердің саны;

– таңдалған бөліктердің саны;

-- таңдалғандар арасындағы стандартты бөліктердің саны.

.

.

.

Мысал 2.10.Кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы бар

қайда және белгісіз, бірақ , а және . және табыңыз.

Шешімі:Бұл жағдайда кездейсоқ шама Xаралығында үшбұрышты үлестірім (Симпсон үлестірімі) бар [ а, б]. Сандық сипаттамалар X:

Демек, . Бұл жүйені шеше отырып, екі жұп мән аламыз: . Өйткені, мәселенің шартына сәйкес, бізде: .

Жауап: .

2.11-мысал.Орташа алғанда, келісім-шарттардың 10% үшін сақтандыру компаниясы сақтандыру жағдайының басталуына байланысты сақтандыру сомасын төлейді. Кездейсоқ таңдалған төрт келісім арасындағы осындай келісім-шарттар санының математикалық күтуін және дисперсиясын есептеңіз.

Шешімі:Математикалық күту мен дисперсияны мына формулалар арқылы табуға болады:

.

SV мүмкін мәндері (сақтандыру оқиғасының басталуымен жасалған шарттар саны (төрттен)): 0, 1, 2, 3, 4.

Біз Бернулли формуласын сақтандыру сомасы төленген келісім-шарттардың әртүрлі санының (төрттен) ықтималдығын есептеу үшін қолданамыз:

.

Түйіндемені тарату сериясы (сақтандыру жағдайы басталған кездегі шарттар саны) келесідей нысанда болады:

Жауабы: , .

Мысал 2.12.Бес раушанның екеуі ақ түсті. Бір уақытта алынған екі ақ раушан гүлдерінің санын өрнектейтін кездейсоқ шаманың таралу заңын жазыңыз.

Шешімі:Екі раушанның үлгісінде ақ раушан болмауы мүмкін немесе бір немесе екі ақ раушан болуы мүмкін. Сондықтан кездейсоқ шама Xмәндерді қабылдай алады: 0, 1, 2. Ықтималдықтары Xосы мәндерді қабылдайтын болсақ, формула бойынша табамыз:

Қайда -- раушан гүлдерінің саны;

-- ақ раушан гүлдерінің саны;

– бір уақытта алынған раушан гүлдерінің саны;

-- алынғандардың арасында ақ раушан гүлдерінің саны.

.

.

.

Сонда кездейсоқ шаманың таралу заңы келесідей болады:

2.13-мысал.Жиналған 15 агрегаттың ішінде 6-ы қосымша майлауды қажет етеді. Жалпы саннан кездейсоқ таңдалған бес бірлік арасында қосымша майлауды қажет ететін бірлік санының таралу заңын құрастырыңыз.

Шешімі:Кездейсоқ мән X- бес таңдалғанның ішінде қосымша майлауды қажет ететін бірліктердің саны - мәндерді қабылдай алады: 0, 1, 2, 3, 4, 5 және гипергеометриялық таралуы бар. Бұл ықтималдықтар Xосы мәндерді қабылдайтын болсақ, формула бойынша табамыз:

Қайда -- жиналған бірліктердің саны;

-- қосымша майлауды қажет ететін қондырғылар саны;

– таңдалған агрегаттардың саны;

-- таңдалғандар арасында қосымша майлауды қажет ететін қондырғылар саны.

.

.

.

.

.

.

Сонда кездейсоқ шаманың таралу заңы келесідей болады:

2.14-мысал.Жөндеуге алынған 10 сағаттың 7-і механизмді жалпы тазалауды қажет етеді. Сағаттар жөндеу түріне қарай сұрыпталмайды. Тазалауды қажет ететін сағатты тапқысы келетін шебер оларды бір-бірден тексеріп, ондай сағатты тауып алып, одан әрі қарауды тоқтатады. Қаралған сағаттар санының математикалық болжамын және дисперсиясын табыңыз.

Шешімі:Кездейсоқ мән X- таңдалған бестің ішінде қосымша майлауды қажет ететін бірліктердің саны - келесі мәндерді қабылдай алады: 1, 2, 3, 4. Мүмкіндіктер Xосы мәндерді қабылдайтын болсақ, формула бойынша табамыз:

.

.

.

.

Сонда кездейсоқ шаманың таралу заңы келесідей болады:

Енді шаманың сандық сипаттамаларын есептейік:

Жауабы: , .

2.15-мысал.Абонент өзіне қажет телефон нөмірінің соңғы санын ұмытып қалды, бірақ оның тақ екенін есіне алады. Егер ол соңғы цифрды кездейсоқ теріп, болашақта терілген цифрды термесе, қалаған санды соққанға дейін жасаған теру санының математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз.

Шешімі:Кездейсоқ айнымалы мән қабылдай алады: . Абонент терілген цифрды болашақта термейтіндіктен, бұл мәндердің ықтималдығы бірдей.

Кездейсоқ шаманың таралу қатарын құрастырайық:

Теру әрекеттері санының математикалық күтуін және дисперсиясын есептейік:

Жауабы: , .

2.16-мысал.Серияның әрбір құрылғысы үшін сенімділік сынақтары кезінде істен шығу ықтималдығы тең б. Тексерілсе, істен шыққан құрылғылар санының математикалық күтуін анықтаңыз Нқұрылғылар.

Шешімі:Дискретті кездейсоқ шама X – істен шыққан құрылғылардың саны Нтәуелсіз сынақтар, олардың әрқайсысында сәтсіздік ықтималдығы тең p,биномдық заң бойынша бөлінеді. Биномдық үлестірудің математикалық күтуі сынақтар саны мен бір сынақта болатын оқиғаның ықтималдығының көбейтіндісіне тең:

2.17-мысал.Дискретті кездейсоқ шама X 3 мүмкін мәнді қабылдайды: ықтималдықпен ; ықтималдықпен және ықтималдықпен. табу және білу М( X) = 8.

Шешімі:Біз математикалық күтудің анықтамаларын және дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңын қолданамыз:

Біз табамыз: .

2.18-мысал.Техникалық бақылау бөлімі өнімнің стандарттылығын тексереді. Элементтің стандартты болу ықтималдығы 0,9. Әр топтамада 5 элемент бар. Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табыңыз X- егер 50 серия тексеруге жататын болса, әрқайсысында дәл 4 стандартты өнім бар сериялар саны.

Шешімі:Бұл жағдайда жүргізілген барлық эксперименттер тәуелсіз және әрбір партияда дәл 4 стандартты өнім болуы ықтималдығы бірдей, сондықтан математикалық күтуді мына формуламен анықтауға болады:

,

тараптардың саны қайда;

Пакетте дәл 4 стандартты элемент болуы ықтималдығы.

Бернулли формуласы арқылы ықтималдықты табамыз:

Жауап: .

2.19-мысал.Кездейсоқ шаманың дисперсиясын табыңыз X– оқиғаның орын алу саны Аекі тәуелсіз сынақта, егер осы сынақтардағы оқиғаның туындау ықтималдығы бірдей болса және белгілі болғаны М(X) = 0,9.

Шешімі:Мәселені екі жолмен шешуге болады.

1) Мүмкін CB мәндері X: 0, 1, 2. Бернулли формуласын пайдаланып, осы оқиғалардың ықтималдығын анықтаймыз:

, , .

Содан кейін бөлу заңы Xұқсайды:

Математикалық күтудің анықтамасынан ықтималдықты анықтаймыз:

БҚ дисперсиясын табайық X:

.

2) Сіз формуланы пайдалана аласыз:

.

Жауап: .

2.20-мысал.Қалыпты таралған кездейсоқ шаманың математикалық күтуі және стандартты ауытқуы Xсәйкесінше 20 және 5. Сынақ нәтижесінде болатын ықтималдықты табыңыз X(15; 25) аралығындағы мәнді қабылдайды.

Шешімі:Қалыпты кездейсоқ шамаға соғу ықтималдығы X-дан дейін бөлігінде Лаплас функциясы арқылы өрнектеледі:

2.21-мысал.Функция берілген:

Параметрдің қандай мәнінде Cбұл функция кейбір үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы болып табылады X? Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз X.

Шешімі:Функция қандай да бір кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы болуы үшін ол теріс емес болуы керек және ол сипатты қанағаттандыруы керек:

.

Демек:

Формула арқылы математикалық күтуді есептеңіз:

.

Формула арқылы дисперсияны есептеңіз:

Т б. Бұл кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табу керек.

Шешімі:Х дискретті кездейсоқ шамасының таралу заңы – тәуелсіз сынақтардағы оқиғаның пайда болу саны, олардың әрқайсысында оқиғаның пайда болу ықтималдығы биномдық деп аталады. Биномдық үлестірудің математикалық күтуі сынақтар саны мен бір сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығының көбейтіндісіне тең:

.

2.25-мысал.Нысанаға үш тәуелсіз оқ атылады. Әр соққының түсу ықтималдығы 0,25. Үш ату арқылы соққылар санының стандартты ауытқуын анықтаңыз.

Шешімі:Үш тәуелсіз сынақ жүргізілетіндіктен және әрбір сынақта А оқиғасының (соғу) пайда болу ықтималдығы бірдей болғандықтан, дискретті кездейсоқ шама X – нысанаға тиген соққылар саны биномға сәйкес бөлінеді деп есептейміз. заң.

Биномдық үлестірімнің дисперсиясы сынақтар саны мен бір сынақта оқиғаның пайда болу және болмау ықтималдығының көбейтіндісіне тең:

2.26-мысал.Сақтандыру компаниясына 10 минут ішінде келетін клиенттердің орташа саны - үшеу. Келесі 5 минутта кем дегенде бір тұтынушының келу ықтималдығын табыңыз.

5 минутта келетін тұтынушылардың орташа саны: . .

2.29-мысал.Процессор кезегіндегі қолданбаны күту уақыты орташа мәні 20 секунд болатын экспоненциалды тарату заңына бағынады. Келесі (еркін) сұраныс процессорды 35 секундтан артық күту ықтималдығын табыңыз.

Шешімі:Бұл мысалда күту , және істен шығу жылдамдығы.

Сонда қалаған ықтималдық:

2.30 мысал. 15 студенттен тұратын топ әрқайсысы 10 орындық 20 қатардан тұратын залда жиналыс өткізеді. Әрбір оқушы кездейсоқ түрде залдан орын алады. Үш адамнан артық емес қатарда жетінші орында тұру ықтималдығы қандай?

Шешімі:

2.31-мысал.

Сонда ықтималдықтың классикалық анықтамасына сәйкес:

Қайда -- лоттағы бөліктердің саны;

-- лоттағы стандартты емес бөлшектердің саны;

– таңдалған бөліктердің саны;

-- таңдалғандар арасындағы стандартты емес бөліктердің саны.

Сонда кездейсоқ шаманың таралу заңы келесідей болады.

Таралу тығыздығы ықтималдықтар Xфункцияны шақырыңыз f(x)бөлу функциясының бірінші туындысы болып табылады F(x):

Кездейсоқ шаманың ықтималдық таралу тығыздығы туралы түсінік Xдискретті шама үшін қолданылмайды.

Ықтималдық тығыздығы f(x)дифференциалды таралу функциясы деп аталады:

Мүлік 1.Тарату тығыздығы теріс емес мән:

Мүлік 2.-ден -ге дейінгі аралықтағы таралу тығыздығының бұрыс интегралы бірге тең:

1.25-мысал.Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы берілген X:

f(x).

Шешімі:Бөлу тығыздығы таралу функциясының бірінші туындысына тең:

1. Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы берілген X:

Таралу тығыздығын табыңыз.

2. Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу функциясы берілген X:

Таралу тығыздығын табыңыз f(x).

1.3. Үздіксіз кездейсоқтың сандық сипаттамалары

шамалар

Күтілетін мәнүздіксіз кездейсоқ шама X, мүмкін мәндері бүкіл оське жатады О, теңдігімен анықталады:

Интеграл абсолютті жинақталады деп есептеледі.

а,б), Бұл:

f(x)кездейсоқ шаманың таралу тығыздығы болып табылады.

Дисперсия үздіксіз кездейсоқ шама X, мүмкін мәндері бүкіл оське жататын теңдікпен анықталады:

Жеке оқиға. Егер кездейсоқ шаманың мәндері интервалға жататын болса ( а,б), Бұл:

Оның ықтималдығы Xинтервалына жататын мәндерді қабылдайды ( а,б), теңдігімен анықталады:

.

1.26-мысал.Үздіксіз кездейсоқ шама X

Кездейсоқ шамаға соғудың математикалық күтуін, дисперсиясын және ықтималдығын табыңыз Xаралықта (0; 0,7).

Шешімі:Кездейсоқ шама (0,1) аралықта таратылады. Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу тығыздығын анықтайық X:

а) Математикалық күту :

б) дисперсия

V)

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар:

1. Кездейсоқ айнымалы Xбөлу функциясы арқылы берілген:

M(x);

б) дисперсия D(x);

Xинтервалына (2,3).

2. Кездейсоқ мән X

Табыңыз: а) математикалық күту M(x);

б) дисперсия D(x);

в) кездейсоқ шамаға соғу ықтималдығын анықтау Xаралықта (1; 1,5).

3. Кездейсоқ мән Xинтегралдық үлестіру функциясымен берілген:

Табыңыз: а) математикалық күту M(x);

б) дисперсия D(x);

в) кездейсоқ шамаға соғу ықтималдығын анықтау Xаралықта.

1.4. Үздіксіз кездейсоқ шаманың таралу заңдары

1.4.1. Біркелкі бөлу

Үздіксіз кездейсоқ шама Xинтервалында біркелкі үлестіріледі [ а,б], егер бұл сегментте кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімінің тығыздығы тұрақты болса, ал оның сыртында ол нөлге тең болса, яғни:

Күріш. 4.

; ; .

1.27-мысал.Кейбір бағыттағы автобус 5 минуттық аралықпен біркелкі қозғалады. Біркелкі таралған кездейсоқ шаманың ықтималдығын табыңыз X– автобусты күту уақыты 3 минуттан аз болады.

Шешімі:Кездейсоқ мән X- интервал бойынша біркелкі бөлінген .

Ықтималдық тығыздығы: .

Күту уақыты 3 минуттан аспауы үшін жолаушы алдыңғы автобус кеткеннен кейін аялдамаға 2-5 минут ішінде жетуі керек, яғни. кездейсоқ мән X(2;5) интервалына түсуі керек. Бұл. қалаған ықтималдық:

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар:

1. а) кездейсоқ шаманың математикалық күтуін табыңыз X(2; 8) интервалында біркелкі бөлінген;

б) кездейсоқ шаманың дисперсиясын және стандартты ауытқуын табу X,(2;8) интервалында біркелкі таралады.

2. Электр сағатының минут тілі әр минуттың соңында секіреді. Берілген сәтте сағат шын уақыттан 20 секундтан аспайтын уақытты көрсету ықтималдығын табыңыз.

1.4.2. Көрсеткіштік (көрсеткіштік) үлестірім

Үздіксіз кездейсоқ шама Xэкспоненциалды түрде таралады, егер оның ықтималдық тығыздығы келесідей болса:

мұндағы – көрсеткіштік үлестірімнің параметрі.

Осылайша

Күріш. 5.

Сандық сипаттамалар:

1.28-мысал.Кездейсоқ мән X- шамның жұмыс уақыты - экспоненциалды үлестірімге ие. Шамның орташа қызмет ету мерзімі 400 сағат болса, шамның кемінде 600 сағат жұмыс істеу ықтималдығын анықтаңыз.

Шешімі:Есептің шарты бойынша кездейсоқ шаманың математикалық күтуі X 400 сағатқа тең, сондықтан:

;

Қажетті ықтималдық, мұнда

Соңында:

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар:

1. Параметрі болса, көрсеткіштік заңның тығыздығы мен таралу функциясын жазыңыз.

2. Кездейсоқ мән X

Шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын табыңыз X.

3. Кездейсоқ мән XЫқтималдық үлестіру функциясы арқылы берілген:

Кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және стандартты ауытқуын табыңыз.

1.4.3. Қалыпты таралу

қалыптыүздіксіз кездейсоқ шаманың ықтималдық үлестірімі деп аталады X, оның тығыздығы мына түрде болады:

Қайда А– математикалық күту, – стандартты ауытқу X.

Оның ықтималдығы Xинтервалға жататын мәнді қабылдайды:

, Қайда

Лаплас функциясы болып табылады.

бар тарату; , яғни. ықтималдық тығыздығымен стандартты деп аталады.

Күріш. 6.

Ауытқудың абсолюттік мәні оң саннан кіші болу ықтималдығы:

.

Атап айтқанда, қашан a= 0 теңдігі дұрыс:

1.29-мысал.Кездейсоқ мән Xқалыпты түрде таратылады. Стандартты ауытқу . Кездейсоқ шаманың абсолютті шамадағы математикалық күтуінен ауытқуы 0,3-тен аз болу ықтималдығын табыңыз.

Шешімі: .

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар:

1. Кездейсоқ шаманың қалыпты таралуының ықтималдық тығыздығын жазыңыз X, соны білу M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Қалыпты таралған кездейсоқ шаманың математикалық күтуі және стандартты ауытқуы Xсәйкесінше 20 және 5. Сынақ нәтижесінде болатын ықтималдықты табыңыз X(15;20) аралығындағы мәнді қабылдайды.

3. Кездейсоқ өлшеу қателері стандартты ауытқу мм және математикалық күтумен қалыпты заңға бағынады. a= 0. 3 тәуелсіз өлшемнің ең болмағанда біреуінің қателігі абсолютті мәнде 4 мм-ден аспау ықтималдығын табыңыз.

4. Кейбір зат жүйелі қателерсіз өлшенеді. Кездейсоқ өлшеу қателері r стандартты ауытқуы бар қалыпты заңға бағынады.Абсолюттік шамада 10 г-нан аспайтын қателікпен өлшеудің орындалу ықтималдығын табыңыз.