Эквивалентті жүйеге әкелетін элементар түрлендірулер. Элементар матрицалық түрлендірулер. §8. Векторлық кеңістіктер

§7. Сызықтық теңдеулер жүйесі

Эквивалентті жүйелер. Сызықтық теңдеулер жүйесінің элементар түрлендірулері.

Болсын МЕН- өріс күрделі сандар. Пішіннің теңдеуі

Қайда
, бар сызықтық теңдеу деп аталады nбелгісіз
. Тапсырыс жинағы
,
(1) теңдеудің шешімі деп аталады, егер болса.

Жүйе мбар сызықтық теңдеулер nБелгісіздер - бұл келесі түрдегі теңдеулер жүйесі:

- сызықтық теңдеулер жүйесінің коэффициенттері, - тегін мүшелер.

Төртбұрышты үстел

,

өлшемдік матрицасы деп аталады
. Келесі белгілерді енгізейік: - мен- матрицаның ші жолы,
- к-матрицаның бағанасы. Матрица Ада белгілейді
немесе
.

Келесі матрицалық жолды түрлендірулер Абастауыш деп аталады:
) нөлдік қатардағы ерекше жағдай; ) кез келген жолдың барлық элементтерін санға көбейту
; ) кез келген жолға көбейтілген кез келген басқа жолды қосу
. Матрицалық бағандардың ұқсас түрлендірулері Аэлементар матрицалық түрлендірулер деп аталады А.

Матрицаның кез келген жолының бірінші нөлдік емес элементі (солдан оңға қарай санау). Асол сызықтың жетекші элементі деп аталады.

Анықтама. Матрица
келесі шарттар орындалса сатылы деп аталады:

1) матрицаның нөлдік жолдары (бар болса) нөлдік емес жолдардан төмен орналасқан;

2) егер
матрица жолдарының жетекші элементтері, содан кейін

Кез келген нөлдік емес А матрицасын қатарлы элементар түрлендірулер арқылы эшелондық матрицаға келтіруге болады.

Мысал. Матрицаны көрсетейік
қадамдық матрицаға:
~
~
.

Жүйелік коэффициенттерден тұратын матрица сызықтық теңдеулер (2) жүйенің негізгі матрицасы деп аталады. Матрица
бос терминдер бағанын қосудан алынған жүйенің кеңейтілген матрицасы деп аталады.

Реттелген жиын сызықтық теңдеулер жүйесінің (2) шешімі деп аталады, егер ол осы жүйенің әрбір сызықтық теңдеуінің шешімі болса.

Сызықтық теңдеулер жүйесі ең болмағанда бір шешімі болса консистенциялы, ал шешімдері жоқ болса сәйкессіз деп аталады.

Сызықтық теңдеулер жүйесі бір шешімі болса – анықталған, ал бірнеше шешімі болса – анықталмаған деп аталады.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің келесі түрлендірулері элементар деп аталады:

) түрдегі теңдеулер жүйесінен шығару ;

) кез келген теңдеудің екі жағын көбейту
,
;

) кез келген теңдеуге кез келген басқа теңдеуді, көбейтіндісін қосу.

Екі сызықтық теңдеулер жүйесі nбелгісіздер, егер олар үйлесімсіз болса немесе олардың шешімдер жиыны сәйкес келсе, эквивалент деп аталады.

Теорема. Егер бір сызықтық теңдеулер жүйесі екіншісінен ), ) сияқты элементар түрлендірулер арқылы алынса, онда ол бастапқыға тең болады.

Белгісіздерді жою арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешу (Гаусс әдісі).

Жүйе берілсін мбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз:

(1) жүйеде пішіннің теңдеуі болса

онда бұл жүйе үйлесімді емес.

(1) жүйеде (2) түріндегі теңдеу жоқ деп есептейік. (1) жүйесінде айнымалының коэффициенті болсын xБірінші теңдеуде 1
(егер олай болмаса, онда теңдеулерді қайта реттеу арқылы біз бұған қол жеткіземіз, өйткені барлық коэффициенттер x 1 нөлге тең). Сызықтық теңдеулер жүйесіне (1) келесі элементар түрлендіру тізбегін қолданайық:

, екінші теңдеуге қосыңыз;

Бірінші теңдеудің көбейтіндісі
, үшінші теңдеуге қосу және т.б.;

Бірінші теңдеудің көбейтіндісі
, жүйенің соңғы теңдеуіне қосыңыз.

Нәтижесінде (1) жүйесіне эквивалентті сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз (бұдан әрі сызықтық теңдеулер жүйесі үшін CLU аббревиатурасын қолданамыз). Алынған жүйеде саны бар бірде-бір теңдеу болмайтыны белгілі болуы мүмкін мен, мен 2, белгісізді қамтымайды x 2. Болсын кбұл ең азы натурал санбұл белгісіз x ксаны бар кем дегенде бір теңдеуде қамтылған мен, мен 2. Сонда алынған теңдеулер жүйесі келесі түрге ие болады:

(3) жүйе (1) жүйеге баламалы. Енді ішкі жүйеге жүгінейік
SLE (1) үшін қолданылған сызықтық теңдеулер жүйесі (3) пайымдаулар. Тағыда басқа. Осы процестің нәтижесінде біз екі нәтиженің біріне келеміз.

1. (2) түріндегі теңдеуі бар SLE алайық. Бұл жағдайда SLU (1) сәйкес емес.

2. SLE (1) үшін қолданылатын элементар түрлендірулер (2) түріндегі теңдеуі бар жүйеге әкелмейді. Бұл жағдайда SLE (1) элементар түрлендірулер арқылы
түріндегі теңдеулер жүйесіне келтіріледі:

(4)

қайда, 1< к < л < . . .< с,

(4) түріндегі сызықтық теңдеулер жүйесі сатылы деп аталады. Мұнда келесі екі жағдай болуы мүмкін.

A) r= n, онда (4) жүйенің пішіні болады

(5)

Жүйенің (5) бірегей шешімі бар. Демек, (1) жүйенің де бірегей шешімі бар.

B) r< n. Бұл жағдайда белгісіз
(4) жүйедегі негізгі белгісіздер, ал осы жүйедегі қалған белгісіздер бос деп аталады (олардың саны тең n- r). Бос белгісіздерге ерікті сандық мәндерді тағайындайық, сонда SLE (4) жүйесі (5) сияқты пішінге ие болады. Одан негізгі белгісіздер бірегей түрде анықталады. Осылайша, жүйенің шешімі бар, яғни ол бірізді. Еркін белгісіздерге ерікті сандық мәндер берілгендіктен МЕН, онда (4) жүйе белгісіз. Демек, (1) жүйе де белгісіз. SLE (4)-де негізгі белгісіздерді бос белгісіздер арқылы өрнектеу арқылы (1) жүйенің жалпы шешімі деп аталатын жүйені аламыз.

Мысал. Әдістің көмегімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу Гаусса

Сызықтық теңдеулер жүйесінің кеңейтілген матрицасын жазайық және элементар жол-жол түрлендірулерін қолданып, оны қадамдық матрицаға келтірейік:

~

~
~
~

~ . Алынған матрицаны пайдаланып, сызықтық теңдеулер жүйесін қалпына келтіреміз:
Бұл жүйе бастапқы жүйеге тең. Ендеше негізгі белгісіздерді алайық
тегін белгісіз. Негізгі белгісіздерді тек бос белгісіздер арқылы көрсетейік:

Түсіндім ортақ шешім SLU. Онда рұқсат етіңіз

(5, 0, -5, 0, 1) – SNL нақты шешімі.

Өз бетінше шешілетін мәселелер

1. Белгісіздерді жою арқылы теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін және бір нақты шешімін табыңыз:

1)
2)

4)
6)

2. Әр түрлі параметр мәндерін табыңыз Атеңдеулер жүйесінің жалпы шешімі:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§8. Векторлық кеңістіктер

Векторлық кеңістік туралы түсінік. Ең қарапайым қасиеттер.

Болсын В ≠ Ø, ( Ф, +,∙) – өріс. Өріс элементтерін скаляр деп атаймыз.

Дисплей φ : Ф× В –> Вжиынның элементтерін көбейту операциясы деп аталады Вөрістен скалярларға Ф. белгілейік φ (λ, а) арқылы λaэлементтің туындысы Аскалярға λ .

Анықтама.Бір топ Вжиынның элементтерін қосудың берілген алгебралық операциясымен Вжәне жиын элементтерін көбейту Вөрістен скалярларға Ф F өрісіндегі векторлық кеңістік деп аталады, егер келесі аксиомалар орындалса:

Мысал. Болсын Фөріс, Ф n = {(а 1 , а 2 , … , а n) | а мен Ф (мен=)). Жиынның әрбір элементі Ф nшақырды n-өлшемді арифметикалық вектор. Қосу амалымен таныстырайық n-өлшемді векторлар және көбейту n-Өрістен скалярға өлшемді вектор Ф. Болсын
. қойайық = ( а 1 + б 1 , … , а n + б n), = (λ а 1 , λ а 2 , … , λ а n). Бір топ Ф n енгізілген амалдарға қатысты векторлық кеңістік болып табылады және ол аталады n-өріс үстіндегі өлшемді арифметикалық векторлық кеңістік Ф.

Болсын В- өріс үстіндегі векторлық кеңістік Ф, ,
. Келесі қасиеттер орын алады:

1)
;

3)
;

4)
;

Мүлікті растау 3.

Топтағы қысқару заңы бойынша теңдіктен ( В,+) бізде бар
.

Сызықтық тәуелділік, векторлық жүйелердің тәуелсіздігі.

Болсын В– өріс үстіндегі векторлық кеңістік Ф,

. Вектор векторлар жүйесінің сызықтық комбинациясы деп аталады
. Векторлар жүйесінің барлық сызықтық комбинацияларының жиыны осы векторлар жүйесінің сызықтық аралығы деп аталады және онымен белгіленеді.

Анықтама.Егер мұндай скалярлар болса, векторлар жүйесі сызықты тәуелді деп аталады
барлығы нөлге тең емес, яғни

Егер теңдік (1) орындалса, тек және егер λ 1 = λ 2 = … = =λ м=0 болса, онда векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады.

Мысал.Векторлар жүйесі болатынын табыңыз = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) R 3 кеңістігі сызықтық тәуелді немесе тәуелсіз.

Шешім.λ 1, λ 2, λ 3 болсын
Және

 |=> (0,0,0) – жүйенің шешімі. Демек, векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз.

Қасиеттер сызықтық тәуелділікжәне векторлық жүйенің тәуелсіздігі.

1. Құрамында кемінде біреуі бар векторлар жүйесі нөлдік вектор, сызықтық тәуелді.

2. Сызықтық тәуелді ішкі жүйені қамтитын векторлар жүйесі сызықты тәуелді.

3. Векторлар жүйесі, мұндағы
сызықтық тәуелді, егер бұл жүйенің вектордан ерекшеленетін кем дегенде бір векторы оның алдындағы векторлардың сызықтық комбинациясы болса ғана.

4. Векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз болса, ал векторлар жүйесі
сызықтық тәуелді, содан кейін вектор түрінде көрсетуге болады сызықтық комбинациявекторлар және, сонымен қатар, бірегей жолмен.

Дәлелдеу.Векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болғандықтан
барлығы нөлге тең емес, яғни

Векторлық теңдікте (2) λ м+1 ≠ 0. Осылай деп есептесек λ м+1 =0, содан кейін (2) => Осыдан векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болады, өйткені λ 1 , λ 2 , … , λ мбарлығы нөлге тең емес. Шартқа қайшы келдік. (1) => қайдан
.

Вектор да түрінде берілсін: Сонда вектор теңдігінен
векторлар жүйесінің сызықтық тәуелсіздігіне байланысты мынадай қорытынды шығады
1 = β 1 , …, м = β м .

5. Екі векторлар жүйесі және берілсін
, м>к. Егер векторлар жүйесінің әрбір векторы векторлар жүйесінің сызықтық комбинациясы ретінде ұсынылса, онда векторлар жүйесі сызықтық тәуелді болады.

Векторлық жүйенің негізі, рангі.

Кеңістік векторларының ақырлы жүйесі Валаңның үстінде Ф арқылы белгілеңіз С.

Анықтама.Векторлар жүйесінің кез келген сызықты тәуелсіз ішкі жүйесі Свекторлар жүйесінің негізі деп аталады С, жүйенің кез келген векторы болса Свекторлар жүйесінің сызықтық комбинациясы ретінде көрсетуге болады.

Мысал.Векторлық жүйенің негізін табыңыз = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0) R 3 . Векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз, өйткені 5-қасиетке сәйкес векторлар жүйесі векторлар жүйесінен алынады. жәрдемақы негіздеріэлектромеханотроника: тәрбиелікжәрдемақы негіздеріэлектротехника»; ...

Бір x 1 ,..., x n белгісіздер жиынынан және сәйкесінше m және p теңдеулерінен екі сызықтық теңдеулер жүйесі

Шешім жиындары және сәйкес келсе (яғни, ішкі жиындар мен K n-де сәйкес келсе, ) олар эквивалент деп аталады. Бұл мынаны білдіреді: не олар бір уақытта бос ішкі жиындар (яғни, екі жүйе де (I) және (II) сәйкес емес), немесе олар бір уақытта бос емес және (яғни, I жүйенің әрбір шешімі II жүйенің шешімі, және әрбір II шешім жүйесі I жүйенің шешімі болып табылады).

3.2.1-мысал.

Гаусс әдісі

Гаусс ұсынған алгоритмнің жоспары өте қарапайым болды:

1. шешімдер жиынын өзгертпейтін сызықтық теңдеулер жүйесіне ретті түрлендірулерді қолданыңыз (осылайша біз бастапқы жүйенің шешімдер жиынын сақтаймыз) және «қарапайым пішіні» (қадам деп аталатын) бар эквивалентті жүйеге өтіңіз нысаны);
2. Үшін » қарапайым түрі" жүйе (қадамдық матрицасы бар) бастапқы жүйенің шешімдер жиынтығымен сәйкес келетін шешімдер жиынын сипаттайды.

Осыған ұқсас әдіс «фан-чэн» ежелгі қытай математикасында бұрыннан белгілі болғанын ескеріңіз.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің элементар түрлендірулері (матрицалар қатары)

Анықтама 3.4.1 (1 типті элементар түрлендіру). Жүйенің i-ші теңдеуі k-ші теңдеуге қосылғанда, санға көбейтілген (белгі: (i)"=(i)+c(k); яғни тек бір i-ші теңдеу (i) жаңа (i)"=(i)+c(k) ) теңдеуімен ауыстырылады. Жаңа i-теңдеудің пішіні бар (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k, немесе, қысқаша,

Яғни, жаңа i-ші теңдеуде a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k.

Анықтама 3.4.2 (2 типті элементар түрлендіру). i - ші және k - ші теңдеулер ауыстырылғанда, қалған теңдеулер өзгермейді (белгілеу: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; коэффициенттер үшін бұл мынаны білдіреді: j= үшін 1,.. .,n

Ескерту 3.4.3. Ыңғайлы болу үшін нақты есептеулерде 3-ші типті элементар түрлендіруді қолдануға болады: i -ші теңдеу нөлден басқа санға көбейтіледі. , (i)"=c(i) .

Ұсыныс 3.4.4. Егер I жүйеден II жүйеге 1-ші және 2-ші типтегі элементар түрлендірулердің шектеулі санын пайдаланып көшсек, онда II жүйеден I жүйеге 1-ші және 2-ші типтегі элементар түрлендірулерді де пайдалана отырып қайта аламыз.

Дәлелдеу.

Ескерту 3.4.5. 3-ші типті элементар түрлендіруді элементар түрлендірулер санына қосқанда да мәлімдеме дұрыс. Егер және (i)"=c(i) , содан кейін және (i)=c -1 (i)" .

3.4.6 теорема.Сызықтық теңдеулер жүйесіне 1-ші немесе 2-ші типті элементар түрлендірулердің ақырлы санын дәйекті түрде қолданғаннан кейін бастапқыға эквивалентті сызықтық теңдеулер жүйесі алынады.

Дәлелдеу. Бір элементар түрлендіру арқылы I жүйеден II жүйеге көшу жағдайын қарастыру және шешімдер жиыны үшін қосуды дәлелдеу жеткілікті екенін ескеріңіз (өйткені дәлелденген ұсыныстың арқасында II жүйеден I жүйеге оралуға болады, демек, бізде қосу болады, яғни теңдік дәлелденеді).

Анықтама 1.(1) түріндегі сызықтық теңдеулер жүйесі, мұндағы , өріс деп аталады өрістегі n белгісізі бар m сызықтық теңдеулер жүйесі, - белгісіздер үшін коэффициенттер, , , - жүйенің бос мүшелері (1).

Анықтама 2.Тапсырыс берілді n-ka (), мұндағы , деп аталады сызықтық теңдеулер жүйесін шешу(1), егер айнымалыны жүйенің әрбір теңдеуімен алмастырғанда, (1) дұрыс сандық теңдікке айналады.

Анықтама 3. буын, егер оның кем дегенде бір шешімі болса. Әйтпесе, жүйе (1) шақырылады бірлескен емес.

Анықтама 4.Сызықтық теңдеулер жүйесі (1) деп аталады белгілі, егер оның бірегей шешімі болса. Әйтпесе, жүйе (1) шақырылады белгісіз.

Сызықтық теңдеулер жүйесі

(шешім бар) (шешім жоқ)

бірлескен емес

(жалғыз шешім) (жалғыз шешім емес)

анық белгісіз

Анықтама 5.Өріс үстіндегі сызықтық теңдеулер жүйесі Ршақырды біртекті, егер оның барлық бос шарттары нөлге тең болса. Әйтпесе жүйе шақырылады гетерогенді.

Сызықтық теңдеулер жүйесін қарастырайық (1). Содан кейін форманың біртекті жүйесі деп аталады біртекті жүйе, байланыстыжүйесімен (1). Біртекті SLN әрқашан үйлесімді, өйткені оның әрқашан шешімі бар.

Әрбір SLN үшін екі матрицаны қарастыруға болады - негізгі және кеңейтілген.

Анықтама 6. Сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасы(1) келесі түрдегі белгісіздер үшін коэффициенттерден тұратын матрица: .

Анықтама 7. Сызықтық теңдеулер жүйесінің кеңейтілген матрицасы(1) матрицадан бос мүшелер бағанасын қосу арқылы алынған матрица деп аталады: .

Анықтама 8.Сызықтық теңдеулер жүйесінің элементар түрлендірулерімыналар деп аталады: 1) жүйенің кейбір теңдеуінің екі жағын скалярға көбейту; 2) жүйенің бір теңдеуінің екі жағына екінші теңдеудің элементіне көбейтілген сәйкес бөліктерін қосу; 3) түрдегі теңдеуді қосу немесе алып тастау.

Анықтама 9.Өрістегі екі сызықтық теңдеулер жүйесі Райнымалыларға қатысты деп аталады эквивалент, егер олардың шешімдер жиыны сәйкес келсе.

Теорема 1 . Егер бір сызықтық теңдеулер жүйесі екіншісінен элементар түрлендірулер арқылы алынса, онда мұндай жүйелер эквивалентті болады.

Элементар түрлендірулерді сызықтық теңдеулер жүйесіне емес, оның кеңейтілген матрицасына қолдану ыңғайлы.

Анықтама 10. P өрісінің элементтері бар матрица берілсін. Элементар түрлендірулерМатрицалар келесідей аталады:

1) кез келген жолдың барлық элементтерін матрицаларға aО Р # көбейту;

2) кез келген жолдың барлық элементтерін матрицаларға aО Р # көбейту және басқа жолдың сәйкес элементтерімен қосу;

3) матрицаның кез келген екі жолын қайта орналастыру;

4) нөлдік жолды қосу немесе жою.

8. SLU ерітіндісі:м белгісіздерді тізбектей жою әдісі (Гаусс әдісі).

деп аталатын сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің негізгі әдістерінің бірін қарастырайық белгісіздерді тізбектей алып тастау әдісі, немесе басқаша, Гаусс әдісі. Жүйені қарастырыңыз(1) мбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз алаңның үстінде R:(1) .

(1) жүйеде үшін коэффициенттердің кем дегенде біреуі тең емес 0 . Әйтпесе, (1) - () белгісіз теңдеулер жүйесі - бұл шартқа қайшы келеді. Бірінші теңдеудегі үшін коэффициенті тең болмайтындай теңдеулерді ауыстырайық 0 . Осылайша, біз бұл туралы болжауға болады. Бірінші теңдеудің екі жағын көбейтіп, екінші, үшінші, ..., сәйкес бөліктерін қосайық, м th теңдеуі тиісінше. Пішін жүйесін аламыз: , мұндағы с - ең кіші сан, коэффициенттердің кем дегенде біреуі тең болмайтындай 0 . Екінші жолдағы айнымалының коэффициенті тең болмайтындай теңдеулерді ауыстырайық 0 , яғни. деп болжауға болады. Содан кейін екінші теңдеудің екі жағын көбейтіп, үшінші, ..., сәйкес бөліктерін қосамыз. м th теңдеуі тиісінше. Осы процесті жалғастыра отырып, біз пішін жүйесін аламыз:

1-теорема бойынша (1) жүйеге эквивалентті сызықтық теңдеулер жүйесі. . Жүйені сызықтық теңдеулердің сатылы жүйесі деп атайды. Екі жағдай мүмкін: 1) Элементтердің кем дегенде біреуі тең емес 0 . Мысалы, . Сонда сызықтық теңдеулер жүйесінде мүмкін емес түрдегі теңдеу бар. Бұл жүйенің шешімдері жоқ дегенді білдіреді, демек (1) жүйенің шешімдері жоқ (бұл жағдайда (1) сәйкес емес жүйе).

2) ,…, болсын. Содан кейін элементар түрлендіру арқылы 3) жүйе – жүйені аламыз rбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз. Бұл жағдайда коэффициенттердегі айнымалылар шақырылады негізгі айнымалылар(бұл), олардың барлығы бар r. Қалғаны ( n-r) айнымалылар деп аталады Тегін.

Екі жағдай мүмкін: 1) Егер r=n, онда бұл үшбұрышты жүйе. Бұл жағдайда соңғы теңдеуден айнымалыны , соңғыдан - айнымалыны ,..., бірінші теңдеуден - айнымалыны табамыз. Осылайша, сызықтық теңдеулер жүйесіне, демек сызықтық теңдеулер жүйесіне (1) бірегей шешім аламыз (бұл жағдайда жүйе (1) анықталады).

2) рұқсат етіңіз r . Бұл жағдайда негізгі айнымалылар бос сандармен өрнектеледі және сызықтық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі (1) алынады. Еркін айнымалыларға ерікті мәндерді тағайындау арқылы сызықтық теңдеулер жүйесінің (1) әртүрлі ішінара шешімдері алынады (бұл жағдайда жүйе (1) анықталмаған).