Сақинаның мультипликативті тобы. мультипликативті топ. Кейбір n саны жұптық ортақ сандардың көбейтіндісі ретінде ұсынылсын. Қытайлық қалдық теоремасы саны деп айтады
А болсын?<А, ·>- мультипликативті топ;
H – A, H? жиынының ішкі жиыны.
Анықтама 1.<Н,·>- деп шақырды мультипликативті топтың ішкі тобыАл егер келесі шарттар орындалса:
1. Н - екілік операцияға қатысты тұйықталған «*» a, b H, ab H;
2. eH = eA бар – «°»-ға қатысты жалғыз элемент;
3. a H бар a-1 H.
Анықтама 2. Егер H = A немесе H = (e), онда<Н,·>А тобының дұрыс емес топшасы деп аталады.
Егер H A, H А жиынының тиісті ішкі жиыны болса, онда ішкі топ шақырылады А тобының жеке топшасы.
H \u003d A - А тобының өзі.
H \u003d (e) - бір кіші топ.
циклдік топша мультипликативті топ
Мысал. Істейді<А, ·>, мұндағы A \u003d (1, - 1, i, - i), i - елестетілген бірлік, топ?
1) Көбейту тобының шарттарын тексеру.
«·» А жиынындағы екілік ассоциативті операция.
А жиынындағы "·" үшін Кейли кестесі.
<А, ·>- кіші топ.
Мультипликативті топшалардың маңызды мысалы деп аталатындар болып табылады мультипликативті циклдік топшалар.
Болсын<А, ·>- топ. e A элементі сәйкестендіру элементі болып табылады. а элементі? е, А.
(a) - a элементінің бүтін дәрежелерінің жиыны: (a) = (x = a n: n Z, a A, a ? e)
әділ
Теорема 1.< (а), ·>топтың ішкі тобы болып табылады<А, ·>.
Дәлелдеу. Көбейткіш топшаның шарттарын тексерейік.
1) H \u003d (a) - «·» қатысты жабық:
x \u003d a n, y \u003d a l, n, e Z, x, y H, xy \u003d a n a l \u003d a n + l H, себебі n+lZ;
2) e = 1 = a 0 H, A: x H xa 0 = a 0 x = x;
3) x \u003d a H, x -1 \u003d a -n H: a n a -n \u003d a -n a n \u003d a 0 \u003d 1.
1) - 3) анықтамасы бойынша бізде Н< (а), ·>мультипликативті А тобының кіші тобы болып табылады.
Анықтама 3. Let<А, ·>кейбір мультипликативті топ болып табылады және
Элементтің реті aең аз деп аталады натурал сан a n = e болатындай n.
Мысал. А = (1; - 1; i; - i) көбейткіш тобындағы a = - 1, b = i, c = - i элементтерінің ретін табыңыз.
1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Демек,
n = 2 - элемент реті - 1.
i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. Демек,
n = 4 - i элементінің реті.
i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. Демек,
n = 4 элемент реті - i.
2-теорема<А, ·>- тобы, иә А, ә? e, a - n-ші ретті элемент, онда:
1) А тобының (а) кіші тобының пішіні бар: (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1) -
n – а элементінің теріс емес дәрежелерінің элементар жиыны;
2) a k , k Z элементінің кез келген бүтін дәрежесі (a) және жиынына жатады
a k = e<=>k = nq, nN, qZ.
Дәлелдеу. Барлық элементтер (a) бір-бірінен ерекшеленетінін көрсетейік. Керісінше алайық: a k = a l , k > l, онда a k-l = e. к-л< n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.
a k , K Z, (а) жиынына жататынын көрсетейік.
k = n, k: n, a k = a nq + r = a k × a nq + r = (a n) q × a r = e q × a r = e × a r = a r,
0? r? n? 1 => a k (a). Егер r = 0 болса, онда k = nq<=>a k = e.
Анықтама 4. Ішкі топ< (а), ·>, мұндағы (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1), A топтары, a n-ші ретті элемент деп аталады А тобының циклдік топшасы(А-ның мультипликативті циклдік топшасы).
Анықтама 5. Өзінің ішкі тобымен сәйкес келетін топ<А, ·>, < (а), ·>, мультипликативті циклдік топша деп аталады циклдік топ.
Теорема 3. Кез келген мультипликативтік циклдік топабелиандық болып табылады.
Дәлелдеу. A = (a), иә? e, a - топтың генерациялайтын элементі
a k , a l A, a k N a l = a l N a k . Шынында да, a k P a l = a k+l = a l+k = a l P a k , l,k Z.
Сіз құл емессіз!
Жабық тәрбиелік курсэлита балалары үшін: «Әлемнің шынайы орналасуы».
http://noslave.org
Википедиядан, еркін энциклопедия
Мультипликативті қалдық сақина тобымодуль мқалдық сақинасының инверсиялық элементтерінің мультипликативті тобы модулі болып табылады м. Бұл жағдайда қалдық модульдерінің кез келген төмендетілген жүйесі м.
Шегерімдердің қысқартылған жүйесі
Шегерімдердің қысқартылған жүйесімодуль м- модуль бойынша қалдықтардың толық жүйесінің барлық сандар жиыны м, салыстырыңыз м. Қалдықтар модулінің қысқартылған жүйесі ретінде мәдетте салыстырмалы түрде жақсы қабылданады мбастап сандар 1 бұрын м - 1 .
Мысал: қалдықтардың 42 модулі төмендетілген жүйесі келесідей болады: ( 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41 ).
Қасиеттер
Модульді көбейту арқылы қысқартылған қалдық жүйесі мдеп аталатын топты құрайды мультипликативті топнемесе қалдық сақинасының инвертивті элементтерінің тобы модуль м
, ол белгіленеді texvc немесе Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)_m)
.
Егер мжай, содан кейін, жоғарыда айтылғандай, элементтер 1, 2, ..., м-1 кіреді Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.): \mathbb(Z)_m^(\times). Бұл жағдайда Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.): \mathbb(Z)_m^(\times)өріс болып табылады.
Кіру формалары
Модульдік қалдық сақина nтағайындау Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.): \mathbb(Z)/n\mathbb(Z)немесе Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын math/README бөлімінен қараңыз.): \mathbb(Z)_n. Оның мультипликативті тобы, сақиналардың инверсиялық элементтерінің топтарының жалпы жағдайындағы сияқты, белгіленеді. Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^*,
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.): (\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))^\time,
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.: U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)),
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.: E(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)),
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.): \mathbb(Z)_n^(\times),
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)_n)
.
Ең қарапайым жағдай
Топ құрылымын түсіну Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc , біз ерекше жағдайды қарастыра аламыз Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): n=p^a, Қайда Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc - жай сан және оны жалпылау. Қарастырыңыз ең қарапайым жағдай, Қашан Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): a=1, яғни. Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): n=p
.
Теорема: Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc циклдік топ болып табылады.
Мысал
: Топты қарастырыңыз Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc
texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))= (1,2,4,5,7,8) Топ генераторы 2 саны. Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 2^1 \equiv 2\ \pmod 9
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 2^2 \equiv 4\ \pmod 9
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 2^3 \equiv 8\ \pmod 9
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 2^4 \equiv 7\ \pmod 9
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 2^5 \equiv 5\ \pmod 9
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 2^6 \equiv 1\ \pmod 9Көріп отырғаныңыздай, топтың кез келген элементі Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))түрінде көрсетуге болады Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 2^l, Қайда Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 1\le\ell< \varphi(m)
. Бұл топ Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)/9\mathbb(Z))- циклдік. Жалпы жағдай
Жалпы жағдайды қарастыру үшін қарабайыр түбірді анықтау қажет. Қарапайым түбір модулі бастапқы Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): бқалдық класымен бірге топты тудыратын сан Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)/p\mathbb(Z))
.
Бүкіл модуль жағдайында Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): nанықтамасы бірдей.
Топтың құрылымы келесі теоремамен анықталады: Егер p - тақ жай сан және l - натурал сан болса, онда модуль бойынша қарабайыр түбірлер болады. Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: p^(l), яғни Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасы үшін math/README бөлімін қараңыз.: U(\mathbb(Z)/p^(l)\mathbb(Z))циклдік топ болып табылады.
Қарапайымдылықтың куәгері кіші тобы
Болсын Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc
- тақ сан 1-ден үлкен. Сан Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc түрінде анық көрсетілген Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): m-1 = 2^s \cdot t, Қайда Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): tтақ. Бүтін сан Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): a
, Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 1< a < m
, аталады қарапайымдылығының куәсісандар Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): mегер келесі шарттардың бірі орындалса:
- Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл
texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): a^t\equiv 1\pmod m
- бүтін сан бар Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл
texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): k , Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файлtexvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 0\leq k, солай Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файлtexvcтабылмады; Баптау анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): a^(2^kt)\equiv m-1\pmod m.
Егер нөмір Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): m- композиттік, қалдық сақинаның мультипликативті тобының қарапайымдылық куәгерлерінің топшасы деп аталатын топшасы бар. Оның элементтері күшке көтерілді Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): m-1, сәйкес келеді Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc модуль Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): m
.
Мысал
: Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): m=9. Тамақ Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 6қалдықтары үйлеседі Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc , Бұл Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Math/README - орнату анықтамасын қараңыз.): 1,2,4,5,7Және Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc
. Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 8тең Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): -1модуль Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 9, білдіреді Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз: 8^(8)тең Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 1модуль Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 9. білдіреді, Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 1Және Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 8- санның қарапайымдылығының куәгерлері Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 9. Бұл жағдайда (1, 8) қарапайымдылық куәгерлерінің кіші тобы болып табылады.
Қасиеттер
Топ көрмесі
Жасалу жиыны
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))циклдік топ болып табылады, егер және егер Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): \varphi(n)=\lambda(n).Циклдік топ жағдайында генераторды қарабайыр түбір деп атайды.
Мысал
Қалдықтар модулінің қысқартылған жүйесі Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 10тұрады Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): 4шегерім кластары: Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: _(10), _(10), _(10), _(10). Қалдық кластары үшін анықталған көбейтуге қатысты олар топты құрайды және Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc Және Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз: _(10)өзара (яғни Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), А Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз: _(10)Және Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз: _(10)өздеріне кері.
Топ құрылымы
Жазылу Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): C_n«n ретті циклдік топ» дегенді білдіреді.
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc
|
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))
|
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc
|
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvc
|
генератор | Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): n\;
|
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z))
|
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): \varphi(n)
|
Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Конфигурация анықтамасын math/README қараңыз.): \lambda(n)\;
|
генератор | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | C1 | 1 | 1 | 1 | 33 | C2×C10 | 20 | 10 | 10, 2 | |
| 3 | C2 | 2 | 2 | 2 | 34 | C 16 | 16 | 16 | 3 | |
| 4 | C2 | 2 | 2 | 3 | 35 | C2×C12 | 24 | 12 | 6, 2 | |
| 5 | C4 | 4 | 4 | 2 | 36 | C2×C6 | 12 | 6 | 19, 5 | |
| 6 | C2 | 2 | 2 | 5 | 37 | C 36 | 36 | 36 | 2 | |
| 7 | C6 | 6 | 6 | 3 | 38 | C 18 | 18 | 18 | 3 | |
| 8 | C2×C2 | 4 | 2 | 7, 3 | 39 | C2×C12 | 24 | 12 | 38, 2 | |
| 9 | C6 | 6 | 6 | 2 | 40 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 39, 11, 3 | |
| 10 | C4 | 4 | 4 | 3 | 41 | C40 | 40 | 40 | 6 | |
| 11 | C 10 | 10 | 10 | 2 | 42 | C2×C6 | 12 | 6 | 13, 5 | |
| 12 | C2×C2 | 4 | 2 | 5, 7 | 43 | C42 | 42 | 42 | 3 | |
| 13 | C 12 | 12 | 12 | 2 | 44 | C2×C10 | 20 | 10 | 43, 3 | |
| 14 | C6 | 6 | 6 | 3 | 45 | C2×C12 | 24 | 12 | 44, 2 | |
| 15 | C2×C4 | 8 | 4 | 14, 2 | 46 | C 22 | 22 | 22 | 5 | |
| 16 | C2×C4 | 8 | 4 | 15, 3 | 47 | C46 | 46 | 46 | 5 | |
| 17 | C 16 | 16 | 16 | 3 | 48 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 47, 7, 5 | |
| 18 | C6 | 6 | 6 | 5 | 49 | C42 | 42 | 42 | 3 | |
| 19 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 50 | C 20 | 20 | 20 | 3 | |
| 20 | C2×C4 | 8 | 4 | 19, 3 | 51 | C2×C16 | 32 | 16 | 50, 5 | |
| 21 | C2×C6 | 12 | 6 | 20, 2 | 52 | C2×C12 | 24 | 12 | 51, 7 | |
| 22 | C 10 | 10 | 10 | 7 | 53 | C 52 | 52 | 52 | 2 | |
| 23 | C 22 | 22 | 22 | 5 | 54 | C 18 | 18 | 18 | 5 | |
| 24 | C2×C2×C2 | 8 | 2 | 5, 7, 13 | 55 | C2×C20 | 40 | 20 | 21, 2 | |
| 25 | C 20 | 20 | 20 | 2 | 56 | C2×C2×C6 | 24 | 6 | 13, 29, 3 | |
| 26 | C 12 | 12 | 12 | 7 | 57 | C2×C18 | 36 | 18 | 20, 2 | |
| 27 | C 18 | 18 | 18 | 2 | 58 | C 28 | 28 | 28 | 3 | |
| 28 | C2×C6 | 12 | 6 | 13, 3 | 59 | C 58 | 58 | 58 | 2 | |
| 29 | C 28 | 28 | 28 | 2 | 60 | C2×C2×C4 | 16 | 4 | 11, 19, 7 | |
| 30 | C2×C4 | 8 | 4 | 11, 7 | 61 | C60 | 60 | 60 | 2 | |
| 31 | C 30 | 30 | 30 | 3 | 62 | C 30 | 30 | 30 | 3 | |
| 32 | C2×C8 | 16 | 8 | 31, 3 | 63 | C6×C6 | 36 | 6 | 2, 5 |
Қолдану
Оқиға
Қалдық сақинаның мультипликативті тобының құрылымын зерттеуге Артин, Бильхарц, Брауэр, Вильсон, Гаусс, Лагранж, Лемер, Уоринг, Ферма, Хули, Эйлер үлес қосты. Лагранж лемманы дәлелдеді, егер Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: f(x) \in k[x], және k - өріс, онда f көп дегенде n әр түрлі түбірге ие, мұндағы n - f дәрежесі. Ол сондай-ақ салыстырудан тұратын бұл лемманың маңызды нәтижесін дәлелдеді Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Орнату анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.): x^(p-1)-1
≡ Өрнекті талдау мүмкін емес (орындалатын файл texvcтабылмады; Баптау анықтамасын математика/README бөлімінен қараңыз.: (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Эйлер Ферманың кіші теоремасын дәлелдеді. Уоринг Вильсон теоремасын тұжырымдады, ал Лагранж оны дәлелдеді. Эйлер жай сан модулі бойынша қарабайыр түбірлердің болуын ұсынды. Гаусс дәлелдеді. Артин болмыс пен мөлшерлеу туралы өзінің гипотезасын алға тартты жай сандар, берілген бүтін сан қарабайыр түбір болатын модуль. Брауэр әрқайсысының к-ші дәрежелік модулі p болатын тізбекті бүтін сандар жиындарының бар болуы мәселесін зерттеуге үлес қосты. Бильхарц Артин болжамының аналогын дәлелдеді. Хули Артиннің болжамын кеңейтілген Риман гипотезасы алгебралық сандар өрістерінде жарамды деген болжаммен дәлелдеді.
«Мультипликативті қалдық сақина тобы» мақаласына пікір жазыңыз.
Ескертпелер
Әдебиет
- Ирландия К., Розен М.Қазіргі сандар теориясына классикалық кіріспе. - М .: Мир, 1987.
- Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С. Черемушкин А.В.Криптография негіздері. - Мәскеу: «Гелиос АРВ», 2002 ж.
- Ростовцев А.Г., Маховенко Е.Б.Теориялық криптография. - Санкт-Петербург: НПО «Кәсіби», 2004 ж.
Сілтемелер
- Бұхштаб А.А.Сандар теориясы. - М .: Білім, 1966.
- Вайсштейн, Эрик В.(ағылшынша) Wolfram MathWorld веб-сайтында.
Қалдық сақинасының мультипликативті тобын сипаттайтын үзінді
«Мен біртүрлі емеспін, мен тірімін. Бірақ мен екі дүниенің арасында өмір сүріп жатырмын - тірілер мен өлілер ... Ал мен, өкінішке орай, көптің көрмейтінін көремін. Өйткені, маған ешкім сенбейтін шығар... Бірақ егер адамдар тыңдап, бір минут болса да, сенбесе де ойланса, бәрі оңайырақ болар еді... Бірақ, менің ойымша, егер бұл бір күні орын алса, бұл сөзсіз. бүгін болмайды... Бірақ бүгін мен мұнымен өмір сүруім керек...«Кешіріңіз, жаным...» деп сыбырлады жігіт. «Білесіз бе, мұнда мен сияқты адамдар көп. Мұнда олардың мыңдағаны бар... Олармен сөйлесу сізге қызық болар. Тіпті мен сияқты емес нағыз батырлар да бар. Мұнда көп...
Мен кенеттен осы қайғылы, жалғыз адамға көмектескім келді. Шын мәнінде, мен ол үшін не істей алатынымды мүлдем білмедім.
«Сіз осында жүргенде сізге басқа әлем жасағанымызды қалайсыз ба?» Стелла күтпеген жерден сұрады.
Бұл тамаша идея болды, мен оның бірінші ойыма келмегеніне біраз ұялдым. Стелла керемет адам болды және ол әрқашан басқаларға қуаныш сыйлайтын жақсы нәрсені тапты.
– Қандай «өзге дүние»?.. – деп таң қалды әлгі адам.
«Қараңдар, қараңдар...» және кенет оның қараңғы, мұңды үңгірінде жарқын, қуанышты нұр пайда болды!.. «Мұндай үй сізге қалай ұнайды?»
«Қайғылы» досымыздың көздері қуаныштан жанады. Ол мұнда не болғанын түсінбей, абыржып жан-жағына қарады ... Оның қорқынышты, қараңғы үңгірінде күн жарқыраған және көңілді жарқырап тұрды, жасыл желектер хош иісті, құстар ән салып, гүлдеген гүлдердің таңғажайып иістерінің иісі аңқып тұрды. ...Ал оның алыс бұрышында ең таза, ең тұщы, кристалды судың тамшылары шашырап жатқан бұлақ көңілді күңкілдеді...
- Міне! Сіздің қалауыңыз білсін? Стелла қуана сұрады.
Көргеніне әбден таңырқаған адам үндемеді, тек «бақытты» көз жасының дірілдеген тамшылары таза гауһар тастай жарқыраған осы сұлулыққа таңдана көздерімен қарады ...
– Тәңірім, мен күнді көрмегелі қашан!.. – деп ақырын сыбырлады. -Қызым сен кімсің?
-Ой, мен жай ғана адаммын. Сіз сияқты - өлі. Міне, ол қазірдің өзінде сіз білесіз - тірі. Біз мұнда кейде бірге жүреміз. Ал қолымыздан келсе көмектесеміз, әрине.
Нәрестенің әсерге риза болғаны және оны ұзартқысы келетіні анық болды ...
- Саған шынымен ұнай ма? Осылай қалғанын қалайсыз ба?
Әлгі адам сөз айта алмай басын изеді.
Мен оның күнделікті және ұзақ уақыт бойы болған сол қара сұмдықтан кейін қандай бақытты бастан өткергенін елестетуге тырыспадым! ..
«Рахмет, қымбаттым...» деп сыбырлады ер адам. «Маған айтыңызшы, ол қалай қалады?»
- О, оңай! Сіздің әлеміңіз тек осында, осы үңгірде болады және оны сізден басқа ешкім көрмейді. Ал егер сен бұл жерден кетпесең, ол сенімен мәңгі қалады. Жарайды, мен саған тексеруге келемін... Менің атым Стелла.
- Бұл үшін не айтарымды білмеймін... Мен бұған лайық емес едім. Бұл дұрыс емес шығар... Менің атым Люминарий. Иә, өздеріңіз көріп отырғандай, «жарық» әлі әкелген жоқ ...
- Әй, ештеңе, тағы әкел! – деген сәбидің істеген ісіне мақтаныш сезімі кернеп, рахаттана жарқырап тұрғаны көрініп тұрды.
«Рахмет, қымбаттыларым...» Көрермен басын төмен салып отырып, кенет балаша жылап жіберді...
– Ал, басқалары ше, солай ма?.. – деп Стелланың құлағына ақырын сыбырладым. – Олар көп болуы керек, солай ма? Олармен не істеу керек? Өйткені, біреуге көмектесу дұрыс емес. Ал олардың қайсысы осындай көмекке лайық екенін анықтауға бізге кім құқық берді?
Стеллиноның беті бірден бұртиды...
– Білмеймін... Бірақ оның дұрыс екенін анық білемін. Егер ол дұрыс болмаса, біз жасай алмас едік. Басқа заңдар бар...
Кенет маған таң қалды:
«Біраз күте тұрыңыз, бірақ біздің Гарольд ше? .. Ол рыцарь болды, сондықтан ол да өлтірді?» Ол сонда, «жоғарғы қабатта» қалай тұра алды? ..
– Ол барлық істеген ісінің ақысын төледі... Мен одан сұрадым – ол өте қымбат төледі... – деп байсалды жауап берді Стелла, маңдайын әзілдеп.
- Не төледіңіз? - Мен түсінбедім.
«Мәні...» деп сыбырлады кішкентай қыз мұңайып. – Ол көзі тірісінде істеген істері үшін өз болмысының бір бөлігін берді. Бірақ оның мәні өте жоғары болды, сондықтан оның бір бөлігін бергенімен, ол әлі де «жоғарыда» қала алды. Бірақ мұны өте аз адамдар жасай алады, тек шын мәнінде өте жоғары дамыған құрылымдар. Әдетте адамдар тым көп жоғалтады және бастапқыдан әлдеқайда төмен түседі. Қандай жарық...
Бұл таңғажайып болды... Сонымен, жер бетінде жамандық жасаған адамдар өздерінің бір бөлігін (дәлірек айтсақ, эволюциялық әлеуетінің бір бөлігін) жоғалтты және сонымен бірге олар әлі де сол қорқынышты қорқынышта қалуға мәжбүр болды. деп аталады - «төменгі» Астраль ... Иә, қателіктер үшін және шын мәнінде, сіз қымбат төлеуге тура келді ...
«Ал, енді баруға болады», - деп шырылдады кішкентай қыз қолын ризалықпен бұлғап. - Қош бол, Жарық! Мен саған келемін!
Біз әрі қарай жүрдік, ал жаңа досымыз күтпеген бақыттан тоңып, Стелла жасаған дүниенің жылуы мен сұлулығын ашкөздікпен бойына сіңіріп, оған өліп бара жатқан адамдай терең сүңгіп, кенеттен оған оралды. ..
– Иә, дұрыс айттыңыз, мүлде дұрыс айттыңыз!.. – дедім ойланып.
Стелла жарқ етті.
Ең «кемпірқосақ» көңіл-күйде болғандықтан, біз тауға қарай бұрылған едік, бұлттардың арасынан кенеттен үлкен, тырнақты тырнақтары бар бір тіршілік иесі шығып, бізге қарай ұмтылды ...
- Өз-өзіңді күт! - Стела айқайлады, мен екі қатар ұстара тәрізді өткір тістерді көрдім, ал артқы жағынан қатты соққыдан басын жерге төңкеріп жіберді ...
Бізді басып алған жабайы сұмдықтан біз басқа «қабатқа» тез бара аламыз деп ойламай, кең алқап бойымен оқ сияқты жүгірдік ... Біз бұл туралы ойлануға уақыт таппадық - біз тым қорқып кеттік.
Жаратылыс дәл біздің үстімізден ұшып, оның тісті тұмсығын қатты жарып жіберді, біз мүмкіндігінше жүгіріп, жан-жағына жағымсыз шырышты спрейлерді шашып, кенеттен осы қорқынышты «ғажайып құсты» басқа нәрсе қызықтырсын деп дұға еттік ... бұл әлдеқайда жылдам екені сезілді және бізде одан арылу мүмкіндігі болмады. Жамандықтан жақын жерде бірде-бір ағаш өспеді, бұталар, тіпті артына тығылатын тас та жоқ, алыстан сұмдық қара тас қана көрінеді.
- Ана жерде! – деп айқайлады Стелла саусағын сол тасты нұсқап.
Бірақ кенеттен, күтпеген жерден, дәл алдымызда бір жерден бір жаратылыс пайда болды, оның көрінісі біздің тамырымызда қанымызды қатып қалды ... Ол «жіңішке ауадан» пайда болды және шынымен қорқынышты болды. .. Үлкен қара қаңқаның ұзын қатайған шашы толығымен жабылған, ол қазан қарын аюға ұқсайтын, тек осы «аюдың» биіктігі үш қабатты үйдей болатын ... Құбыжықтың бұдыр басы «үйленген» екі үлкен қисық мүйізі және пышақтай өткір жұп керемет ұзын азу тістері оның қорқынышты аузын безендірді, оған қорқынышпен қарап, аяқтары басылды ... Содан кейін бізді таң қалдырды, құбыжық оңай секірді. көтеріліп, .... оның үлкен азуының біріндегі ұшатын «көкті» көтеріп алды... Біз аң-таң болып қатып қалдық.
-Жүр жүгірейік!!! Стелла айқайлады. – Ол «бос емес» тұрғанда жүгірейік!..
Біз артымызға қарамай қайтадан асықтыруға дайын едік, кенет артымыздан жіңішке дауыс естілді:
- Қыздар, күтіңіздер! Қашудың қажеті жоқ!.. Сені Дин құтқарды, ол жау емес!
Біз күрт бұрылдық - артында кішкентай, өте әдемі қара көзді қыз тұрды ... және оған жақындаған құбыжықты байсалдылықпен сипап тұр! .. Біздің көзіміз таң қалды ... Бұл керемет болды! Әлбетте, бұл таңғаларлық күн болды!.. Бізге қарап тұрған қыз қасында тұрған жүнді құбыжықтан мүлде қорықпай, мейірімді күлді.
Өтінемін одан қорықпа. Ол өте жақсы. Овараның сені қуып келе жатқанын көріп, көмектесуге бел будық. Дин жақсы жігіт, уақытында үлгерді. Шынымен, жақсы ма?
Сәл жер сілкінгендей «жақсы» пыррсылдап, басын иіп, қыздың бетін жалады.
«Ал Овара деген кім және ол бізге неге шабуыл жасады?» Мен сұрадым.
Ол бәріне шабуыл жасайды, ол жыртқыш. Және өте қауіпті», - деп жауап берді қыз сабырмен. «Мұнда не істеп жүргеніңді сұрасам бола ма?» Сіз бұл жерден емессіз, қыздар, солай ма?
- Жоқ, бұл жерден емес. Біз жай ғана серуендеп жүрдік. Бірақ сізге бірдей сұрақ - мұнда не істеп жүрсіз?
Мен анама барамын ... - кішкентай қыз мұңайып қалды. «Біз бірге өлдік, бірақ қандай да бір себептермен ол осында қалды. Ал қазір мен осында тұрамын, бірақ мен оған бұл туралы айтпаймын, өйткені ол мұнымен ешқашан келіспейді. Ол мені енді келе жатырмын деп ойлайды...
«Жай ғана келген жақсы емес пе?» Бұл жерде өте қорқынышты! .. - Стелла иығын қайырды.
«Мен оны мұнда жалғыз қалдыра алмаймын, мен оған ештеңе болмас үшін оны бақылап отырмын. Міне, Дин менімен бірге... Ол маған көмектеседі.
Мен тек сене алмадым... Бұл кішкентай батыл қыз бір нәрсеге қатты «кінәлі» анасын қорғап, мына суық, қорқынышты және жат дүниеде өмір сүру үшін өзінің әдемі де мейірімді «қабатын» өз еркімен тастап кетті! Менің ойымша, мұндай батыл және жанқияр болар еді (тіпті ересектер де!) Мұндай ерлік туралы шешім қабылдаған адамдар ... Мен бірден ойладым - мүмкін ол өзін не үшін айыптайтынын түсінбеді. ?!
-Ал, қызым, құпия болмаса, мұнда қанша болды?
«Жақында...» деп мұңайып жауап берді қара көзді қыз бұйра шашының қара бұрымынан саусақтарымен сүйреп. – Мен дүниеден өткенде сондай әдемі дүниеге келдім!.. Ол сондай ақкөңіл, ақкөңіл еді!.. Сонда анамның қасымда жоқ екенін көріп, оны іздеуге асықтым. Басында бұл өте қорқынышты болды! Неге екені белгісіз, ол еш жерден табылмады... Сосын мен мына сұмдық дүниеге құладым... Сосын мен оны таптым. Мен бұл жерде қатты қорықтым ... Сондай жалғыздық ... Анам мені кет деп айтты, тіпті мені ұрысты. Бірақ мен оны тастап кете алмаймын... Енді менің досым бар, менің жақсы деканым, мен бұл жерде қалай болса да өмір сүре аламын.
Оның «жақсы досы» қайтадан айқайлады, бұл Стелла екеуміздің «төменгі астральды» қаздың дірілдерін тудырды... Мен өзімді жинап, аздап тынышталуға тырыстым және бұл түкті ғажайыпқа мұқият қарай бастадым... Ал ол бірден байқағанын сезіп, азу аузын қатты ашты... Мен артқа секірдім.
- Өтінемін, қорықпа! Ол саған күледі, - деп қыз «сендірді».
Иә... Мұндай күлімсіреуден жылдам жүгіруді үйренесің... – деп ойладым іштей.
«Бірақ сіз онымен қалай дос болдыңыз?» Стелла сұрады.
– Мен мұнда алғаш келгенімде, әсіресе бүгін сен сияқты құбыжықтарға шабуыл жасағанда қатты қорықтым. Содан бір күні мен өле жаздадым, Дин мені қорқынышты ұшатын «құстардың» тұтас тобынан құтқарды. Мен де алғашында одан қорықтым, бірақ кейін оның қандай алтын жүрегі бар екенін түсіндім... Ол ең жақын дос! Менде ешқашан мұндай болған емес, тіпті мен Жерде өмір сүрген кезімде де.
Қалай тез үйреніп қалдың? Оның сыртқы түрі, айталық, таныс емес ...
- Міне, мен бір қарапайым шындықты түсіндім, оны неге екені белгісіз жер бетінде байқамай қалдым - адамның немесе жаратылыстың жүрегі жақсы ма, сыртқы келбеті маңызды емес... Менің анам өте сұлу болған, бірақ кейде қатты ашуланған. . Содан кейін оның барлық сұлулығы бір жерде жоғалып кетті ... Ал Дин қорқынышты болса да, әрқашан өте мейірімді және мені әрқашан қорғайды, мен оның жақсылығын сезінемін және ештеңеден қорықпаймын. Сіз сыртқы көрініске үйрене аласыз ...
4) Қалдықтардың мультипликативті тобы бойынша
модуль n.
Анықтау біршама қиынырақ
көбейткіш қалдық тобы бойынша
модуль n. Бұл топтың элементтері қалыптасады
Zn элементтерінен тұратын Z*n жиыны,
салыстырмалы жай n. Өзара ұғым
қарапайымдылық келесі мағынаны білдіреді:
егер k бүтін сан болса, онда gcd(a,n) = 1
gcd(a+kn,n) =1-ге тең.
Теорема 7.
Жүйешекті абелиандық топ болып табылады.
Дәлелдеу.
Кез келген элементтің бар-жоғын тексерейіктоптық операция мағынасында кері.
(Бейтарап элемент С1 класы).
а-ның кері мәнін табу үшін қарастырыңыз
процедура арқылы алынған үштік (d,x,y).
Кеңейтілген-Евклид(a,n). Өйткені
, a және n сандары
қосалқы және d= gcd(a,b) = 1, сондықтан
ax + ny = 1 және
, Осылайша,
элементі кері
Топта
.Қарама-қайшылықтың бірегейлігін дәлелдеуге болады
(кез келген топ үшін) келесідей:
егер x және x' а-ға кері болса, онда
,
және жақшаларды ассоциация бойынша қайта орналастыру,
Біз алып жатырмыз
, т.б.
Одан әрі қарапайым болу үшін біз қосу және көбейту модулін әдеттегі + және ∙ таңбаларымен белгілейміз (кейде көбейту белгісін қалдырамыз) және қосамыз
Келесіде қарапайымдылық үшін біз белгілеймізшартты қосу және көбейту модулі
+ және ∙ таңбалары (кейде көбейту белгісін тастайды), және
аддитивтік және мультипликативті топтар
қалдық модулі n Zn және Z*n арқылы белгіленеді
(топтық операцияны айтпағанда). Элемент,
кері (көбейту операциясына қатысты)
a-ға, біз a-1 mod n деп белгілейміз. Әдеттегідей,
Z*n-дегі a/b бөлімі келесідей анықталады
ab-1(mod n). Мысалы, в
бізде бар
(15 мод),
өйткені
, қайда
.
5) Қалдық сақинадағы қайтымды элементтер саны.
Сақинадағы қайтымды элементтер санышегерімдер, яғни. элементтердің саны
,
белгіленді
. Функция шақырылады
- Эйлер функциясы.
Эйлер функциясы үшін келесі формуланы дәлелдей аламыз: (3) мұндағы p1,….,ps - n санының барлық жай бөлгіштерінің тізімі. Бұл формуланы келесідей түсіндіруге болады:
Функцияның мұндай формуласын дәлелдеуге боладыЭйлер:
(3)
мұндағы p1,….,ps – барлық жай бөлгіштердің тізімі
саны n. Бұл формуланы былай түсіндіре аласыз:
Кездейсоқ t саны n-ге салыстырмалы жай, егер
ол p1-ге бөлінбейді (оның ықтималдығы
(1-1/p1)), p2-ге бөлінбейді (ықтималдық (1-1/p2))
т.б. және бұл оқиғалар тәуелсіз. Мысалы,
,
45-тің жай бөлгіштерінен бері
3 және 5 сандары. Жай сан үшін
бізде бар
(4)
өйткені барлық 1,2,…, p -1 сандары салыстырмалы түрде р-ге жай сандар.
Егер n құрама сан болса, онда
6) Ішкі топтар.
Болсынтоп болып табылады және
.
Егер
сонымен бірге топ болып табылады
топтың кіші тобы деп аталады
. Мысалы,
жұп сандар бүтін сандардың ішкі тобын құрайды
(қосу операциясымен).
10. Егер шекті топтың ішкі тобы болса, онда бөледі.
8-теорема (Лагранж).Егер
шекті топтың ішкі тобы болып табылады
Бұл
бөледі.
,
11. Дәлелдеу.
Алгебра оқулықтарынан табуға болады (S тобы).қайталанбайтын сыныптарға бөлінеді
мейірімді
, әрқайсысында бар
элементтері).
сәйкес келмейтін S тобының S' топшасы
бүкіл топ өз деп аталады
кіші топ.
12. Қорытынды 8.1.
Егер S' ақырлының тиісті ішкі тобы болсаонда S тобы
.
Бұл Лагранж теоремасының (айқын) салдары
ықтималдықты талдауда қолданылады
Шиллер-Рабин алгоритмі
(қарапайымдылықты тексеру).
13. 7) Топтың элементімен жасалған ішкі топ.
a ақырлының қандай да бір элементі болсынS тобы. Тізбекті қарастырайық
элементтері
Өкілеттіктерге ұқсастығы бойынша (топтық жұмыс
көбейтуге сәйкес келеді) жазамыз
және т.б.
Мұны көру оңай
,
сондай-ақ
. Ұқсас
мәлімдемесі үшін де тұжырымдауға болады
«теріс күштер»
сондай-ақ
.
14. Егер S тобы ақырлы болса, онда реттілік периодты болады (келесі элемент алдыңғы элементпен анықталады, сондықтан бір рет қайталанса, el
Егер S тобы ақырлы болса, ондакейінгі реттілік
мерзімді болады (келесі элемент
алдыңғы арқылы анықталады, сондықтан бір рет
қайталанса, элементтер ішінде қайталанады
цикл). Сонымен, реттілік
формасы бар
(бәрі қайталанады) және т бар
әртүрлі элементтер, мұндағы t - ең кіші
ол үшін оң сан
.
Бұл сан а және элементінің реті деп аталады
белгіленген ord(a).
15. Көрсетілген t элементтері ішкі топты құрайды, өйткені топтық операция «көрсеткіштерді» қосуға сәйкес келеді. Бұл топша деп аталады
Көрсетілген t элементтері қалыптасадыкіші топ, өйткені топтық операция сәйкес келеді
дәрежелерді қосу. Бұл кіші топ
a және элементімен құрылған деп аталады
белгіленеді немесе егер біз анық көрсеткіміз келсе
топтық операция,
). a элементі
кіші топтың генераторы деп аталады
; Олар айтады,
ол осы топшаны жасайды.
Мысалы, Z6 тобының a=2 элементі
элементтерден тұратын ішкі топты жасайды
0,2,4.
16. Мұнда әртүрлі элементтермен құрылған Z6 тобының бірнеше ішкі топтары берілген: . Мультипликативті топқа ұқсас мысал: мұнда Айтылғандардан
Міне, Z6 тобының кейбір ішкі топтары,әр түрлі элементтермен жасалады:
. Ұқсас
мультипликативті топқа мысал
:
Мұнда
9-теорема айтылғандардан шығады.
17. Ақырлы топ болсын. Егер, онда a арқылы құрылған ішкі топтағы элементтердің саны a (яғни) ретімен сәйкес келсе.
Теорема 9.Болсын
- қорытынды топ. Егер
, содан кейін нөмір
арқылы құрылған ішкі топтағы элементтер сәйкес келеді
тапсырыс беру (яғни.
).
18. Қорытынды 9.1.
Кіші реттіліккезеңі бар
t=ord(a);
басқаша айтқанда
, содан кейін ғана,
Қашан
.
Мерзімділік жалғастыруға мүмкіндік береді
екі бағыттағы реттілік, анықтау
Қалай
кез келген бүтін i саны үшін, соның ішінде
теріс.
19. Қорытынды 9.2.
Соңғы топтаәрбір үшін e бірлігімен
теңдік
.
Дәлелдеу. Лагранж теоремасы бойынша ord(a)
қай жерден бөледі
, Қайда
, т.б.
20. 8) Сызықтық диофантиндік теңдеулерді шешу.
Бізді бүтін сандар қызықтырады.теңдеудің шешімі
(5)
(мұнда a, b және n - бүтін сандар; мұндай теңдеулер
«сызықтық диофантин» деп аталады
теңдеулер»). Тек қана екені анық
х-ті n-ге бөлудің қалдығы, сондықтан шешімі (5)
бүтін санды емес, элементті атау заңды
Zn тобы, (бірдей беретін сандар класы
n-ге бөлгенде қалдық). Осылайша, бұл мүмкін
мәселені былайша тұжырымдаңыз: элементтері бар
,
біз бәрін іздейміз
, ол үшін
.
21. Еске салайық, біз a элементімен құрылған топшаны белгілейміз (бұл жағдайда Zn тобының топшасы). Анықтама бойынша, демек, теңдеулер
Оны еске түсіріңізбелгіленді
a элементі арқылы жасалған ішкі топ (берілген
Zn тобының ішкі тобы). А- приорит
, сондықтан (5) теңдеу
кем дегенде бір шешімі бар
содан кейін қашан
. Қанша элементтен тұрады
?
Лагранж теоремасы (T8) бойынша бұл сан
бөлгіш n. Zn-де топтық операция болып табылады
қосымша себебі Zn – аддитивті топ, сондықтан
.
22. Теңдеу шешілетін және оның шешімі болсын. Сонда теңдеудің формула бойынша берілген Zn-дегі d =gcd(a,n) шешімдері бар, мұндағы i = 0,1,2,... , n - 1.
10-теорема.теңдеу болсын
шешілетін және
оның шешімі болып табылады. Сонда теңдеу болады
d =gcd(a,n) формуламен берілген Zn ерітінділерінің
, мұндағы i = 0,1,2,... , n - 1.
23. Дәлелдеу.
N/d қадамымен бастап және жылжи отырып, бізшеңберді жаппас бұрын d қадам жасайық, өйткені
. Барлық өткен сандар болады
теңдеудің шешімдері
, өйткені сағат
x көбейту n/d өнім ax
n(a/d) артады, яғни. n-дің еселігіне. Сонымен
Осылайша, біз барлық d шешімдерді тізімдедік.
a=b
a(+n/d)=a +an/d=a +na/d=a +kn≡a
х.т.д.
24. n > 1 болсын. Егер gcd(a, n) = 1 болса, онда теңдеудің бірегей шешімі болады (Zn-де). Әсіресе b=1 жағдайы маңызды – мұнда х-тің кері элементін табамыз
Қорытынды 10.1n > 1 болсын. Егер gcd(a, n) = 1 болса, онда теңдеу
бірегей шешімі бар (Zn-де).
b=1 жағдайы әсіресе маңызды, өйткені біз
х модуліне n кері элементті табамыз, яғни.
топтағы кері элемент.
25. Қорытынды 10.2
n > 1 болсын. Егер gcd(a, n) = 1 болса, ондатеңдеу ax ≡ 1 (mod n)
(6)
Zn-де бірегей шешімі бар.
gcd(a, n) > 1 үшін бұл шешімдер теңдеуі болмайды
Онда бар.
Осылайша біз есептеуді үйрендік
O(log n) ішіндегі топтағы кері элемент
арифметикалық амалдар.
26. 9) Қытайлық қалдық теоремасы.
100-ге жуық б.з.б. Қытай математигі СонгЦу келесі есепті шешті: беретін санды табыңыз
3, 5 және 7-ге бөлгенде, қалдықтар 2, 3 және 2 болады
тиісінше ( жалпы формасышешімдер 23+105к
k бүтін саны үшін). Сондықтан, туралы мәлімдеме
өзара салыстыру жүйесінің эквиваленттілігі
қарапайым модульдер мен модульдерді салыстыру
жұмыстар «Қытай туралы теорема» деп аталады
қалдықтары».
27. Кейбір n саны жұптық жай сандардың көбейтіндісі түрінде берілсін. Қытайлық қалдық теоремасы саны деп айтады
Кейбір n саны ретінде ұсынылсынжұптық жай сандардың көбейтінділері
. Қытайлық қалдық теоремасы
қалдық сақина Zn ретінде құрылымдалғанын айтады
қалдық сақиналардың өнімі
(компоненттік қосу және көбейту арқылы).
Бұл сәйкестік алгоритмдік үшін де пайдалы
көзқарасы, өйткені оны орындау оңайырақ
барлық жиынтықтардағы операциялар Zni қарағанда
тікелей Zn.
28. 10) Элементтің градустары.
Мультипликативті топта қарастырыңызшегерімдер
дәреже тізбегі
кейбір a элементі:
(7)
Біз есептей отырып, нөлден бастаймыз
;
3 санының өкілеттіктер тізбегінің i-ші мүшесі
7-модуль келесі пішінге ие:
және 2 модуль 7 қуаттары үшін бізде:
29. 11) 11-теорема (Эйлер).
Егер n>1 бүтін сан болса, ондаБарлығы үшін
, Қайда
(8)
- Эйлердің фи-функциясы.
Дәлелсіз.
Жай n үшін теорема «кіші
Ферма теоремасы.
30. 12) 12-теорема (Ферманың кіші теоремасы).
Егер p жай сан болса, онда(9)
Барлығы үшін
.
Дәлелдеу. p жай болғандықтан,
\u003d p-1, h.t.d.
31. Қорытынды 12.1. p жай сан болсын Қорытынды 12.2. p жай сан болсын, онда Ферма теоремасы a=0 үшін қолданылатын болады.
32. 13) 13-теорема (Эйлер теоремасын күшейту).
n=pq болсын, мұндағы p және q әр түрлі жай сандар.Содан кейін кез келген бүтін a үшін және кез келген үшін
табиғи k бізде сәйкестік бар
.
33. х.т.д.
Дәлелдеу.х.т.д.
34. 14) Қайталама квадраттау арқылы дәрежелерді есептеу.
Көрсеткіш модулі маңызды рөл атқарадысандарды қарапайымдылық үшін тексерудегі рөлі, сондай-ақ in
RSA криптожүйесі. Кәдімгі сандарға келетін болсақ,
қайталанған көбейту ең жылдам емес
жол; алгоритмін қолданған дұрыс
қайта квадраттау.
35. ab mod n есептегіміз келеді, мұндағы a қалдық модулі n, ал b екілік санау жүйесінде (bk,bk-1,...,b1,b0) түрі бар теріс емес бүтін сан ( саны 3
Біз ab mod n есептегіміз келеді, мұндаa – қалдық модулі n, a b – бүтін сан
екілік жүйеде болатын теріс емес сан
(bk,bk-1,... ,b1,b0) пішінінің жазбалары (таңбалар саны
k + 1-ге тең деп есептеңіз; сияқты жоғары санаттағылар
әдетте сол жақта). үшін ac mod n есептейміз
кейбір с, ол артады және соңында
ақырында b-ге тең болады.
36. c-ны 2-ге көбейткенде, ac саны квадрат болады, с-ті 1-ге көбейткенде, ac саны а-ға көбейтіледі. Әрбір қадамда c екілік көрінісі ауыстырылады
1 солға, кейінне қажет болса (bi=1), соңғы сан
екілік белгілеу 0-ден 1-ге өзгереді. (3 Ескерту,
c айнымалысы іс жүзінде қолданылмайды және
қабылданбауы мүмкін.)
37. Процедураның орындалу уақытын бағалаңыз. Егер оның бастапқы деректері болып табылатын үш сан β биттен көп болмаса, онда арифметикалық амалдар саны ec.
Процедураның орындалу уақытын есептейік. Егероның түпнұсқасы болып табылатын үш сан
деректерде ең көп β бит, содан кейін сан болады
арифметикалық амалдар O(β), және саны
биттіктер - O (β 3).
Мысал (a = 7, b = 560, n=561) көрсетілген
фигура.
Квадраттау 1 солға жылжуда
санның дәрежесі.
38.
мен9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
би
1
0
0
0
1
1
0
0
0
0
в
1
2
4
8
17
35
70
140
280
560
г
7
49
157
526
160
241
298
166
67
1
Күріш. Жұмыс тәртібін орнату
дәреже модулі n
a = 7, b = 560 = (1000110000) және n = 561.
Айнымалы мәндер кейін көрсетіледі
for циклінің денесінің келесі орындалуы.
Процедура 1 жауабын береді.
Денелер - бұл топ, оның барлық элементтері берілген дененің нөлдік емес элементтері болып табылады және операция денедегі көбейту операциясымен бірдей. M. g. өрістері - абельдік топ. О.А.Иванова ... Математикалық энциклопедия
Қалдықтардың m модулінің келтірілген жүйесі m модулі m қосындысының қалдықтарының толық жүйесінің барлық сандарының жиыны. Қалдықтардың келтірілген жүйесі m модулі φ(m) сандарынан тұрады, мұндағы φ( ) Эйлер функциясы. Шегерімдердің қысқартылған жүйесі ретінде ... ... Википедия
Топ теориясы ... Википедия
Абстрактілі алгебрадағы топ – келесі аксиомаларды қанағаттандыратын екілік операциясы бар бос емес жиын. Математиканың топтарға қатысы бар саласы топ теориясы деп аталады. Барлығы біледі нақты сандар... ... Уикипедиямен қамтамасыз етілген
Оң жақтағы K модулінде f кейбір дыбыссызықты түрінің автоморфизм тобы Е, мұндағы K - сақина; оның үстіне f және E (кейде K) қосымша шарттарды қанағаттандырады. К.г дегеннің нақты анықтамасы жоқ. f не нөлге тең, не азғындалмаған деп болжанады... ... Математикалық энциклопедия
К сәйкестігі бар ассоциативті сақинаның үстіндегі n дәрежелі барлық инверсиялық матрицалар тобы; ортақ белгілеу: GLn(K) немесе GL(n, K). P. l. d) GL(n, K) еркін оң K модулінің Vс… … автоморфизм тобы ретінде де анықтауға болады. Математикалық энциклопедия
Топ теориясының жалпы сипаттамасын Топ (математика) және Топ теориясы бөлімінен қараңыз. Курсив бұл сөздікке сілтемені көрсетеді. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U ... Уикипедия
Жүктелуде...
