Циклдік топтар. Элементтің реті Топтағы негізгі элементтің болуы

Болсын Г- топ және элемент а Г. a элементінің реті (׀а׀ деп белгіленген) ең кіші натурал сан nН, Не

а n = а . . . . а =1.

Егер ондай сан жоқ болса, оны айтамыз Ашексіз ретті элемент болып табылады.

Лемма 6.2.Егер а к= 1, онда кэлемент реті бойынша бөлінеді А.

Анықтама.Болсын Г- топ және А Г. Содан кейін жиынтық

H = (a k ׀ k }

— G тобының ішкі тобы, а элементі тудыратын циклдік топша деп аталады (H = деп белгіленеді).< а >).

Лемма 6.3.Циклдік топша Х, элемент арқылы жасалған Атапсырыс n, соңғы ретті топ болып табылады n, және

H \u003d (1 \u003d a 0, a, ..., a n-1).

Лемма 6.4.Болсын Ашексіз ретті элемент болып табылады. Содан кейін циклдік топша Х = <А> шексіз және кез келген элемент Хтүрінде жазылады а к , КімгеЗ, және бірегей жолмен.

Топ шақырылады циклдікегер ол оның циклдік топшаларының бірімен сәйкес келсе.

1-мысал. Қосымша топ Збарлық бүтін сандардың ішінде 1 элементі тудыратын шексіз циклдік топ болып табылады.

2-мысалБарлық түбірлердің жиынтығы n 1-дің дəрежесі циклдік ретті топ n.

Теорема 6.2.Циклдік топтың кез келген ішкі тобы циклдік болып табылады.

Теорема 6.3.Әрбір шексіз циклдік топ бүтін сандардың аддитивті тобына изоморфты болады З. Кез келген шекті циклдік тәртіп nбарлық түбірлер тобына изоморфты n 1-ден ші дәрежелі.

қалыпты топша. Топтық фактор.

Лемма 6.5.Болсын Х– топтың ішкі тобы Г, ол үшін барлық сол жақ косеталар бір уақытта оң жақ косеталар болып табылады. Содан кейін

aH=Ha, а Г.

Анықтама.Ішкі топ Хтоптар Гқалыпты деп аталады Г(белгіленген ХГ) егер барлық және сол жақ косеталар да оң жақ косеталар болса, яғни

aH=Ha, аГ.

Теорема 6.4. Болсын Х
Г, G/Nтоптың барлық косеттерінің жиыны болып табылады Гкіші топ бойынша Х. Жиынтықта анықталған болса G/Nкөбейту операциясы келесідей

(aH)(bH) = (ab)H,

Бұл G/Nтопқа айналады, ол топтың үлестік тобы деп аталады Гкіші топ бойынша Х.

Топтық гомоморфизм

Анықтама.Болсын Г 1 және Г 2 - топ. Содан кейін картаға түсіру f: Г 1
Г 2 гомоморфизм деп аталады Г 1 дюйм Г 2 егер

Ф(аб) = f(а)f(б) , а,б Г 1 .

Лемма 6.6.Болсын fтоптық гомоморфизм болып табылады ГӘр топқа 1 Г 2. Содан кейін:

1) f(1) - топтық бірлік Г 2 ;

2) f(а -1) = f(а) -1 ,аГ 1 ;

3) f(Г 1) - топтың ішкі тобы Г 2 ;

Анықтама.Болсын fтоптық гомоморфизм болып табылады ГӘр топқа 1 Г 2. Содан кейін жиынтық

керf = {аГ 1 ׀f(а) = 1Г 2 }

гомоморфизмнің ядросы деп аталады f .

Теорема 6.5. ке f
Г.

Теорема 6.6.Топтың кез келген қалыпты топшасы Гкейбір гомоморфизмнің өзегі болып табылады.

Сақиналар

Анықтама.Бос емес жиын TOшақырды сақина, егер оған қосу және көбейту деп аталатын екі екілік амал анықталса және келесі шарттарды қанағаттандырады:

TOқосу операциясына қатысты абелиандық топ болып табылады;

көбейту ассоциативті;

бөлу заңдары сақталады

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zҚ.

Мысал 1. Жиындар QЖәне Р- сақиналар.

Сақина деп аталады коммутативті, Егер

xy=yx, x,yҚ.

2-мысал (Салыстыру). Болсын мтұрақты натурал сан, аЖәне берікті бүтін сандар. Содан кейін нөмір Асанымен салыстыруға болады бмодуль майырмашылық болса а – ббөлінген м(жазылған: аб(мод м)).

Теңдеу қатынасы жиындағы эквиваленттік қатынас болып табылады З, бұзу Зқалдық кластары модулі деп аталатын сыныптарға мжәне белгіленеді З м. Бір топ З мсәйкестендіруі бар коммутативті сақина болып табылады.

өрістер

Анықтама.Өріс бос емес жиын болып табылады Р, құрамында 2 элемент жоқ, екі екілік қосу және көбейту амалдары бар, осылайша:

1-мысал. Бір топ QЖәне Ршексіз өрістер.

2-мысал. Бір топ З rсоңғы өріс болып табылады.

Екі элемент аЖәне бөрістер Р 0-ден басқалары нөлдік бөлгіштер деп аталады, егер аб = 0.

Лемма 6.7.Өрісте нөлдік бөлгіштер жоқ.

Осы процестің нәтижесінде пайда болатын жиын мәтінде былай деп белгіленеді . a 0 = e екенін де ескеріңіз.

5.7-мысал

G тобынан =< Z 6 , +>төрт циклдік топшаларды алуға болады. Бұл H 1 =<{0},+>, H 2 =<{0, 2, 4}, +>, H 3 =<{0, 3}, +> және H4=G. Операция қосу болған кезде, a n n санын а көбейтуді білдіретінін ескеріңіз. Сондай-ақ, барлық осы топтарда операция модуль 6 қосу екенін ескеріңіз. Төменде осы циклдік топшалардың элементтерін қалай табатынымыз көрсетілген.

а. 0-ден құрылған циклдік ішкі топ H 1 және тек бір элементі бар (бейтарап элемент).

б. 1-ден құрылған циклдік топша H 4, бұл G тобының өзі.

1 0 мод 6 = 0 1 1 мод 6 = 1 1 2 мод 6 = (1 + 1) мод 6 = 2 1 3 мод 6 = (1 + 1 + 1) мод 6 = 3 1 4 мод 6 = (1 + 1 + 1 + 1) мод 6 = 4 1 5 мод 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) мод 6 = 5 (тоқтаңыз, содан кейін процесс қайталанады)

В. 2-ден құрылған циклдік ішкі топ H 2 болып табылады, оның үш элементі бар: 0 , 2 және 4 .

2 0 мод 6 = 0 2 1 мод 6 = 2 2 2 мод 6 = (2 + 2) мод 6 = 4 (тоқтаңыз, содан кейін процесс қайталанады)

d) 3-тен құрылған циклдік топша H 3, оның екі элементі бар: 0 және 3.

д) 4 , - H 2 -ден құрылған циклдік топша; бұл жаңа топ емес.

4 0 мод 6 = 0 4 1 мод 6 = 4 4 2 мод 6 = (4 + 4) мод 6 = 2 (тоқтаңыз, содан кейін процесс қайталанады)

e) 5-тен құрылған циклдік топша H 4 , бұл G тобының өзі.

5 0 мод 6 = 0 5 1 мод 6 = 5 5 2 мод 6 = 4 5 3 мод 6 = 3 5 4 мод 6 = 2 5 5 мод 6 = 1 (тоқтату, процесті қайталау)

5.8-мысал

Топтан үш циклдік топшаларды алуға болады. G тек төрт элементтен тұрады: 1, 3, 7 және 9 . Циклдік топшалар - Және . Төменде осы топшалардың элементтерін қалай табатынымыз көрсетілген.

а. 1-ден құрылған циклдік топша H 1 болып табылады. Ішкі топта бір ғана элемент бар, атап айтқанда бейтарап.

б. 3-тен құрылған циклдік топша H 3, бұл G тобы.

3 0 мод 10 = 1 3 1 мод 10 = 3 3 2 мод 10 = 9 3 3 мод 10 = 7 (тоқтаңыз, содан кейін процесс қайталанады)

В. 7-ден құрылған циклдік топша H 3, бұл G тобы.

7 0 мод 10 = 1 7 1 мод 10 = 7 7 2 мод 10 = 9 7 3 мод 10 = 3 (тоқтаңыз, содан кейін процесс қайталанады)

d) 9-дан құрылған циклдік топша H 2. Ішкі топта тек екі элемент бар.

9 0 мод 10 = 1 9 1 мод 10 = 9 (тоқтаңыз, содан кейін процесс қайталанады)

2.11. σ Sn цикл болсын. |σ| екенін тексеріңіз ұзындығына тең σ.

2.12. σ Sn, σ = σ1 болсын. . . σm, мұндағы σ1,. . . , σm – тәуелсіз циклдар. |σ| екенін тексеріңіз = LCM(|σ1 |, . . ., |σm |).

2.13. Топтар циклді ме: а) Sn ;

б) Dn;

c) μn := (z C | zn = 1)?

2.14. Дәлелдеңіз, егер |G| = p - жай сан, онда G - циклдік.

2.15. Тривиальды емес G тобының тиісті ішкі топтары жоқ екенін дәлелдеңіз, егер және тек егер |G| = p, яғни G Z(p)-ге изоморфты (p - жай сан).

2.16. Дәлелдеңіз, егер |G| ≤ 5, онда G абелиандық болады. 4-реттік топтарға сипаттама беріңіз.

2.17. G генераторы а болатын n ретті циклдік топ болсын. b = ak болсын. G = hbi болатынын дәлелдеңіз, егер және тек егер gcd(n, k) = 1, яғни. n ретті циклдік топтағы генераторлар саны ϕ(n), мұндағы ϕ Эйлер функциясы:

2.18.* Мұны дәлелдеңіз

2.19. G ретті n, m|n циклдік топ болсын. G-де m ретті бір топша бар екенін дәлелдеңдер.

2.20. Барлық топ генераторларын табыңыз: а) Z, ә) Z(18).

2.21. Шексіз топтың ішкі топтары шексіз болатынын дәлелдеңдер.

2 .22 .* |G| болсын< ∞. Докажите, что G циклична тогда и только тогда, когда |Gd | ≤ d для всех d N, где Gd = {x G | xd = e}.

2 .23 .* F өріс, G F-тің ақырлы топшасы болсын. G циклдік екенін дәлелдеңдер.

3-ТАРАУ

Гомоморфизмдер. қалыпты топшалар. Факторлық топтар

f (ab) = f(a)f(b) кез келген a, b G (сондықтан изоморфизм) үшін f(ab) = f(a)f(b) болса, f: G −→ H тобын салыстыру гомоморфизм деп аталады.

– жеке оқиғагомоморфизм). Гомоморфизмнің басқа түрлері жиі қолданылады:

мономорфизм - инъекциялық гомоморфизм, эпиморфизм - суръективті гомоморфизм, эндоморфизм - өзіне тән гомоморфизм, автоморфизм - өзіне тән изоморфизм.

Ішкі жиындар

Керф = (a G | f(a) = 1) G

Imf = (b H | f(a) = b кейбір үшін a G) H

сәйкесінше f гомоморфизмінің ядросы және бейнесі деп аталады. Әлбетте, Kerf және Imf ішкі топтар.

N кіші топ< G называется нормальной (это обозначается N C G), если a−1 Na = N для всех a G; это эквивалентно тому, что Na = aN. Группа называется простой , если она не содержит собственных нормальных подгрупп.

Гомоморфизмнің ядросы қалыпты топша болып табылады. Керісінше де дұрыс: әрбір қалыпты топша қандай да бір гомоморфизмнің ядросы болып табылады. Мұны көрсету үшін біз жиынтықта таныстырамыз

16 3-бөлім. Гомоморфизмдер, факторлық топтар

G/N = (aN | a G) қалыпты N топша операциясы бойынша косеттердің: aN · bN = abN. Содан кейін G/N N топшасына қатысты факторлық топ деп аталатын топқа айналады. f: G −→ G/N салыстыру эпиморфизм, ал Kerf = N.

Әрбір гомоморфизм f: G −→ H – G −→ G/Kerf эпиморфизмінің, G/Kerf −→ Imf изоморфизмінің және Imf −→ H мономорфизмінің құрамы.

3.1. Бұл карталардың гомоморфизм екенін дәлелдеңдер.

мами топтары, және олардың өзегі мен бейнесін табыңыз. а) f: R → R , f(x) = ex ;

б) f: R → C , f(x) = e2πix ;

в) f: F → F (мұндағы F – өріс), f(x) = ax, a F ; d) f: R → R , f(x) = sgnx;

д) f: R → R , f(x) = |x|; f) f: C → R , f(x) = |x|;

g) f: GL(n, F) → F (мұндағы F – өріс), f(A) = det A;

h) f: GL(2, F) → G, мұндағы G – сызықтық бөлшек функциялар тобы (1.8 есепті қараңыз), F – өріс,

i) f: Sn → (1, −1), f(σ) = sgnσ.

3.2. G тобында қандай жағдайда f: G → G формуласы бойынша кескіндеу жүргізіледі

a) g 7→g2 ә) g 7→g−1 ,

гомоморфизм болып табылады?

3.3. f: G → H гомоморфизм болсын және G. |f(a)| екенін дәлелдеңіз |a| бөледі.

3.4. Циклдік топтың гомоморфты бейнесі циклдік болатынын дәлелдеңдер.

3.5. Гомоморфизм астындағы топшаның бейнесі мен кері бейнесі топша екенін дәлелдеңдер.

3.6. G1 және G2 топтарын антиизоморфты деп атаймыз, егер f: G1 → G2 биекциясы болса, барлық a, b G1 үшін f(ab) = f(b)f(a) болатындай. Антиизоморфты топтардың изоморфты екенін дәлелдеңдер.

3 .7 .* Q → Z, Q → Q+ тривиальды емес гомоморфизмдердің жоқтығын дәлелдеңіз.

3 .8 .* G тобы, g G болсын. f(1) = g болатындай f Хом(Z(m), G) болуы үшін gm = e болуы қажет және жеткілікті екенін дәлелдеңіз.

3.9. Сипаттау

а) Хом(Z(6), Z(18)), ә) Хом(Z(18), Z(6)), в) Хом(Z(12), Z(15)), г) Хом(Z) (m), Z(n)).

3.10. Мұны тексеріңіз

α, β R, α2 + β2 6= 0 .

3. 11. (Кейли теоремасын жалпылау.) H топшасына қатысты косеталар жиынындағы xH 7→axH ауыстыруының a G элементіне тағайындалуын дәлелдеңдер.< G является гомоморфизмом G в группу S(G/H). Чему равно его ядро?

3. 12. G тобының барлық автоморфизмдерінің Aut G жиыны композиция тобын құрайтынын тексеріңіз.

3. 13. Картаның жасалғанын тексеріңіз f g : G → G, f g (x) = gxg −1 , мұндағы g G, G тобының автоморфизмі (мұндай автоморфизмдер деп аталадыішкі ). Ішкі автоморфизмдер Inn G ішкі тобын құрайтынын тексеріңіз< Aut G.

3.14. Автоморфизмдер тобын табыңыз a) Z;

б) 4 ретті циклдік емес топ (2.16 есепті қараңыз); c) S3;

18 3-бөлім. Гомоморфизмдер, факторлық топтар

3.15. Бұл рас па: а) G C G, E C G;

b) SL(n, F) C GL(n, F);

в) скаляр нөлдік емес матрицалар GL(n, F)-де қалыпты топшаны құрайды;

г) диагональды (жоғарғы үшбұрышты) матрицалар диагональды нөлге тең емес элементтерде қалыпты ішкі топты құрайды.

e) An C Sn ;

f) Inn G C Aut G?

3.16. = 2. H C G екенін дәлелдеңіз.

3.17. M, N C G. M ∩ N, MN C G екенін дәлелдеңіз.

3.18. N C G, H болсын< G. Докажите, что N ∩ H C H.

3.19. N C G, H болсын< G. Докажите, что NH = HN < G.

3.20. Х< G. Докажите, что xHx−1 C G.

3.21. Х< K < G. Докажите, что H C K тогда и только тогда, когда K NG (H).

3.22. M, N C G, M ∩ N = E болсын. M және N элементті элемент бойынша ауыстыратынын дәлелдеңдер.

3.23. Дәлелдеңіз:

а) Эпиморфизм астындағы қалыпты топшаның бейнесі қалыпты; b) Қалыпты топшаның толық кері кескіні (кез келген гомо-

морфизм) қалыпты.

3.24. G/G E, G/E G екенін тексеріңіз.

3.25. Z/nZ n ретті циклдік топ екенін дәлелдеңдер.

3.26.* Мынаны дәлелдеңіз:

d) R / R (1, −1);

f) GL(n, F)/SL(n, F) F ;

мұндағы GL+ (n, R) := (A GL(n, R) | det A > 0).

3.27. Q/Z периодты топ (яғни оның кез келген элементтерінің реті шекті) әрбір n натурал саны үшін n ретті бірегей топшасын қамтитынын дәлелдеңіз. Әрбір мұндай топша циклдік болып табылады.

3 .28 .* Мынаны дәлелдеңдер: a) C(G) C G,

b) Inn G G/C(G).

3.29.* N C G, H болсын< G. Докажите, что NH/N H/H ∩ N.

3 .30 .* Егер M C N C G, M C G болса, онда екенін дәлелдеңдер

(G/M)/(N/M) G/N.

3.31. Егер G/C(G) циклдік болса, онда G = C(G) (яғни, G/C(G) = E) екенін дәлелдеңіз.

3.32. G тобының х және у элементтерінің коммутаторын := x−1 y−1 xy элементі деп атаймыз. G тобының коммутаторлық тобы оның барлық коммутаторлар жасаған G0 ішкі тобы болып табылады. Дәлелдеңіз:

а) G0 C G;

б) G/G0 тобы абелиандық;

c) G абелиандық болады, егер G0 = E болса ғана.

3.33. N C G. G/N абельдік екенін дәлелдеңіз, егер және тек N G0 болса.

3.34. Индукция арқылы анықтаймыз G(0) = G, G(n) = (G(n−1) )0 . Кейбір n N үшін G(n) = E болса, G тобы шешілетін деп аталады. Мынаны тексеріңіз:

а) шешілетін топтың ішкі топтары мен факторлық топтары шешілетін;

б) егер N C G N және G/N шешілетіндей болса, онда G шешілетін болады.

3.35. G тобының ішкі топтар тізбегі болған жағдайда ғана шешілетінін дәлелдеңіз

E = Gn C Gn−1 C . . . C G1 C G0 = G

20 3-бөлім. Гомоморфизмдер, факторлар топтары

барлық факторлар тобы Gk /Gk+1 абельдік болатындай.

3.36. Мынаны тексеріңіз: а) абелиандық топтар; б) S3 және S4 топтары;

c) GL(n, F) ішіндегі барлық жоғарғы үшбұрышты матрицалардың ішкі тобы (мұндағы F – өріс)

шешілетін болып табылады.

3.37. G(n) жиыны (gn | g G) тудырған G топшасы болсын. Дәлелдеңіз:

a) G(n) C G;

б) G/G(n) периоды n (яғни, ол xn = 1 сәйкестігін қанағаттандырады);

в) G(n) = E болған жағдайда ғана G периоды n болады.

3.38. N C G болсын. G/N периоды n болатынын дәлелдеңіз, егер N G(n) болса ғана.

3.39. G салыстыру тобы (композицияға қатысты) болсын

φ : x 7→ax + b (a 6= 0), H = (φ G | φ : x 7→x + b) түріндегі R → R. H C G екенін дәлелдеңіз. G/H дегеніміз не?

3.40. G = Z × Z жиынындағы операцияны анықтайық:

(a, b)(c, d) = (a + (−1)b c, b + d)

G топ және H = h(1, 0)i C G екенін дәлелдеңдер.

• 1. Топ Зқосу амалы бар бүтін сандар.
• 2. Барлығының тобы күрделі тамырларградус nкөбейту амалымен бірліктен. Циклдік сан изоморфизм болғандықтан

топ циклдік, ал элемент генератор болып табылады.

Біз циклдік топтардың ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін екенін көреміз.

3. Ерікті топ және ерікті элемент болсын. Жиын генераторы бар циклдік топ болып табылады g . Оны g элементі тудыратын циклдік топша деп атайды, ал оның реті g элементінің реті болып табылады. Лагранж теоремасы бойынша элемент реті топ ретінің бөлгіші болып табылады. Дисплей

формула бойынша әрекет етеді:

гомоморфизм екені анық және оның бейнесі сәйкес келеді. Карталау тек топ болған жағдайда ғана сюрьективті болып табылады Г- циклдік және gоның құрамдас элементі. Бұл жағдайда циклдік топ үшін стандартты гомоморфизмді атаймыз Гтаңдалған генератрицамен g.

Бұл жағдайда гомоморфизм теоремасын қолданып, аламыз маңызды мүлікциклдік топтар: әрбір циклдік топ топтың гомоморфты бейнесі болып табылады З .

Кез келген топта Ганықтауға болады градусбүтін дәреже көрсеткіші бар элемент:

Меншік бар

Бұл анық, егер . Қашан болған жағдайды қарастырыңыз . Содан кейін

Басқа істер де осылай қаралады.

(6) тармақтан келесі шығады

Сонымен қатар, анықтамасы бойынша. Осылайша, элементтің қуаттары топтағы ішкі топты құрайды Г.деп аталады элемент арқылы құрылған циклдік ішкі топ,және арқылы белгіленеді .

Екі түбегейлі әртүрлі жағдай болуы мүмкін: элементтің барлық дәрежелері әртүрлі немесе жоқ. Бірінші жағдайда ішкі топ шексіз. Екінші жағдайды толығырақ қарастырайық.

Болсын ,; Содан кейін. Ең кішісі натурал сандар Т,ол үшін бұл жағдайда шақырылады қалпындаэлемент және арқылы белгіленеді .

Ұсыныс 1. Егер , Бұл

Дәлелдеу. 1) Бөлу мқосулы Пқалғанымен:

Содан кейін, бұйрықтың анықтамасы бойынша

Өткеннің арқасында

Салдары. Егер, mo ішкі тобында n элемент бар.

Дәлелдеу.Шынымен,

және барлық аталған элементтер әртүрлі.

Егер мұндай табиғи болмаса Т,(яғни, жоғарыда сипатталған жағдайлардың біріншісі орын алады) деп есептейміз . Ескертіп қой; топтың барлық басқа элементтерінің реттері 1-ден үлкен.

Аддитивті топта олар элементтің өкілеттіктері туралы айтпайды , бірақ ол туралы еселік,арқылы белгіленеді . Осыған сәйкес қосымша топ элементінің орналасу реті Гең кіші натурал сан Т(бар болса) ол үшін

МЫСАЛ 1.Өрістің сипаттамасы оның аддитивті тобындағы кез келген нөлден басқа элементтің реті болып табылады.

МЫСАЛ 2. Ақырлы топта кез келген элементтің реті шекті болатыны анық. Топ элементтерінің реттері қалай есептелетінін көрсетейік Ауыстыру деп аталады циклұзындығы және ол циклдік ауысыммен белгіленеді

және барлық басқа сандар орнында қалдырады. Ұзындық циклінің реті анық Р.Циклдер деп аталады тәуелсізегер олар нақты ретке келтірген сандар арасында ортақ сандар болмаса; Бұл жағдайда . Кез келген ауыстыру тәуелсіз циклдардың туындысына бірегей түрде ыдырайды. Мысалы,

ол суретте анық көрсетілген, мұнда ауыстыру әрекеті көрсеткілермен бейнеленген. Егер ауыстыру ұзындықтардың тәуелсіз циклдарының туындысына ыдырайтын болса , Бұл

МЫСАЛ 3.Тапсырыс күрделі санТоптағы с ақырлы болады, егер бұл сан бірліктің түбірі болса ғана, ол, өз кезегінде, егер және тек а сәйкес келетін болса, яғни. .

МЫСАЛ 4.Жазық қозғалыстар тобынан соңғы ретті элементтерді табайық. Болсын. Кез келген нүкте үшін

қозғалыс арқылы циклдік түрде қайта реттеледі , сондықтан олардың ауырлық центрі Осалыстырмалы түрде қозғалмайтын. Сондықтан, - немесе нүктенің айналасындағы көру бұрышы бойынша айналдыру О, немесе арқылы өтетін қандай да бір түзу туралы шағылысу О.

МЫСАЛ 5. Матрицаның ретін табайық

топтың бөлігі ретінде. Бізде бар

Сондықтан. Әрине, бұл мысал арнайы таңдалған: кездейсоқ таңдалған матрицаның реті ақырлы болу ықтималдығы нөлге тең.

Ұсыныс 2. Егер , Бұл

Дәлелдеу.Болсын

Сондықтан. Бізде бар

Демек, .

Анықтама 1 . Топ Гшақырды циклдік,егер мұндай элемент болса , Не . Әрбір осындай элемент деп аталады генеративті элементтоптар Г.

МЫСАЛ 6.Бүтін сандардың аддитивтік тобы циклдік болып табылады, өйткені ол 1-элемент арқылы жасалады.

МЫСАЛ 7.Модуло қоспасының қалдығы тобы nэлементі арқылы жасалғандықтан циклдік болып табылады.

МЫСАЛ 8.Кешеннің мультипликативті тобы n-тің түбірлері 1 дәрежесі циклдік. Шынында да, бұл түбірлер сандар

Бұл анық . Сондықтан топ элемент арқылы жасалады.

Шексіз циклдік топта ғана және генерациялайтын элементтер болатынын көру оңай. Сонымен, Z тобында тек генерациялайтын элементтер 1 және -- 1 болып табылады.

Ақырлы топ элементтерінің саны Гоны шақырды қалпындажәне арқылы белгіленеді. Ақырлы циклдік топтың реті оның тудырушы элементінің ретіне тең. Сондықтан 2-ұсыныс білдіреді

Ұсыныс 3 . Циклдік топ элементі n реттілігі тек және егер болса ғана жасайды

МЫСАЛ 9.Топтың генерациялайтын элементтері деп аталады қарабайыр тамырлар n 1-ден ші дәрежесі. Бұл пішіннің түбірлері , Қайда. Мысалы, 1-дің 12-ші дәрежесінің қарабайыр түбірлері.

Циклдік топтар – елестетуге болатын ең қарапайым топтар. (Атап айтқанда, олар абельдік.) Төмендегі теорема олардың толық сипаттамасын береді.

1-теорема. Әрбір шексіз циклдік топ бір топқа изоморфты болады. n ретті әрбір ақырлы циклдік топ топқа изоморфты болады.

Дәлелдеу. Егер шексіз циклдік топ болса, онда (4) формула бойынша кескіндеу изоморфизм болып табылады.

Тәртіптің ақырлы циклдік тобы болсын П.Карталауды қарастырыңыз

онда карталау жақсы анықталған және екіжақты болады. Меншік

сол формуладан (1) шығады. Демек, изоморфизм.

Теорема дәлелденді.

Топтың құрылымын түсіну үшін оның ішкі топтарын білу маңызды рөл атқарады. Циклдік топтың барлық ішкі топтарын оңай сипаттауға болады.

Теорема 2. 1) Циклдік топтың әрбір ішкі тобы циклдік.

2)Циклдік реттілік тобында n кез келген топшаның реті бөлінеді n және санның кез келген q бөлгіші үшін n q ретінің дәл бір ішкі тобы бар.

Дәлелдеу. 1) Циклдік топ болсын және Х-- оның ішкі тобы келесіден ерекшеленеді (Сәйкестік ішкі тобы циклдік екені анық.) Егер бар болса, онда екенін ескеріңіз. . Болсын Тол үшін ең кіші натурал сан . Соны дәлелдеп көрейік . Болсын . Бөлінейік Кімгеқосулы Тқалғанымен:

осыдан, санның анықтамасының күшімен Тосыдан шығады, демек, .

2) Егер , содан кейін алдыңғы дәлелдемелер қолданылады (бұл жағдайда ), соны көрсетеді . Бола тұра

Және Хтапсырыстың жалғыз топшасы болып табылады qТопта Г.Керісінше, егер q-- кез келген санның бөлгіші ПЖәне , содан кейін ішкі жиын H,теңдікпен анықталған (9) – тәртіптің ішкі тобы q. Теорема дәлелденді.

Салдары . Бастапқы ретті циклдік топта кез келген тривиальды емес ішкі топ бүкіл топпен сәйкес келеді.

МЫСАЛ 10.Топта әрбір ішкі топтың қай пішіні болады.

МЫСАЛ 11.түбірлік топта n-ші дәреже 1-ден кез келген топша - түбірлер тобы q- 1-ден ші дәреже, мұнда.

g G тобының ерікті элементі болсын. Содан кейін -ді алып, ең кіші топшаны аламыз
бір элемент арқылы жасалады
.

Анықтама. Минималды топ
G тобының бір элементімен жасалған g деп аталады циклдік топшаГ тобы.

Анықтама. Егер бүкіл G тобы бір элемент арқылы жасалса, яғни.
, содан кейін ол аталады циклдік топ.

Болсын элемент мультипликативті топ G болса, онда осы элемент арқылы құрылған минималды топша пішіннің элементтерінен тұрады

Элементтің дәрежелерін қарастырыңыз , яғни. элементтері

.

Екі мүмкіндік бар:

1. g элементінің барлық дәрежелері әртүрлі, яғни.

, онда бұл жағдайда g элементінің реті шексіз деп айтылады.

2. Дәрежелердің сәйкестіктері бар, яғни. , Бірақ
.

Бұл жағдайда g элементінің соңғы реті болады.

Шынында да, мысалы,
Және
, Содан кейін,
, яғни. оң дәрежелері бар
элемент
, сәйкестендіру элементіне тең.

d элементтің ең кіші оң көрсеткіші болсын , ол үшін
. Содан кейін біз элемент деп айтамыз
d-ке тең ақырлы реті бар.

Қорытынды. Ақырлы ретті кез келген G тобында (
) барлық элементтер соңғы ретті болады.

g көбейткіш G тобының элементі болсын, содан кейін көбейткіш топшасы болсын
g элементінің барлық әртүрлі дәрежелерінен тұрады. Сондықтан ішкі топтағы элементтер саны
элемент ретіне сәйкес келеді яғни

топтағы элементтер саны
элемент ретіне тең ,

.

Екінші жағынан, келесі бекіту орынды.

Мәлімдеме. Тапсырыс кез келген элемент
осы элемент арқылы жасалған ең аз ішкі топтың ретіне тең
.

Дәлелдеу. 1.Егер ақырлы ретті элемент болып табылады , Бұл

2. Егер шексіз реттілік элементі болса, онда дәлелдейтін ештеңе жоқ.

Егер элемент тәртібі бар , содан кейін, анықтамасы бойынша, барлық элементтер

әртүрлі және кез келген дәреже осы элементтердің біріне сәйкес келеді.

Шынында да, көрсеткіш болсын
, яғни. ерікті бүтін және let
. Содан кейін нөмір ретінде көрсетуге болады
, Қайда
,
. Содан кейін g элементінің дәрежесінің қасиеттерін қолданып, аламыз

.

Атап айтқанда, егер .

Мысал. Болсын
бүтін сандардың аддитивтік абельдік тобы болып табылады. G тобы 1 немесе -1 элементтерінің бірімен құрылған ең аз ішкі топпен сәйкес келеді:

,

демек,
шексіз циклдік топ болып табылады.

Ақырғы ретті циклдік топтар

Ақырлы ретті циклдік топтың мысалы ретінде қарастырайық дұрыс n-бұрыштың оның центріндегі айналу тобы
.

Топтық элементтер

бұрыштары бойынша n-бұрыштың сағат тіліне қарсы айналулары болып табылады

Топтық элементтер
болып табылады

,

және геометриялық пайымдаулардан бұл анық

.

Топ
құрамында n элемент бар, яғни.
, және топтың құрушы элементі
болып табылады , яғни.

.

Болсын
, содан кейін (1-суретті қараңыз)

Күріш. 1 – Топ - АВС тікбұрышты үшбұрышының О центріне қатысты айналулары.

Топтағы алгебралық операция  - еселік бұрышта сағат тіліне қарсы ретті айналу , яғни.

Кері элемент
–  1 бұрышпен сағат тілімен айналу, яғни.

.

К кестесіойма

Ақырлы топтарды талдау белгілі «көбейту кестесін» жалпылау болып табылатын Кейли кестесін қолдану арқылы анық жүзеге асырылады.

G тобында n элемент болсын.

Бұл жағдайда Кейли кестесі болып табылады шаршы матрица n жол және n баған бар.

Әрбір жол және әрбір баған топтың бір және бір ғана элементіне сәйкес келеді.

Элемент Кейли кестесінің i-ші жол мен j-ші бағанының қиылысында, i-ші элементті топтың j-ші элементімен «көбейту» операциясының нәтижесіне тең.

Мысал. G тобында үш элемент болсын (g 1, g 2, g 3).“Көбейту” тобындағы амал.Бұл жағдайда Кейли кестесінің пішіні болады:

Түсініктеме. Кейли кестесінің әрбір жолы мен әрбір бағанында топтың барлық элементтері және тек солар ғана болады. Кейли кестесінде бар толық ақпараттоп туралы.Осы топтың қасиеттері туралы не айтуға болады?

1. Бұл топтың сәйкестендіру элементі g 1 болып табылады.

2. Содан бері топ Абельдік болып табылады кесте негізгі диагональға қатысты симметриялы.

3. Топтың әрбір элементі үшін кері -

g 1 үшін кері элемент g 1, g 2 үшін g 3 элементі.

Топтарға құрастырайық Келли үстелі.

Элементтің кері мәнін табу үшін, мысалы, , элементке сәйкес жолда қажет элементі бар j бағанын табыңыз . Элемент берілген бағанға сәйкес және элементке кері , өйткені
.

Егер Келли кестесі негізгі диагональға қатысты симметриялы болса, онда бұл дегеніміз

– яғни. қарастырылып отырған топтағы операция коммутативті. Қарастырылып отырған мысал үшін Келли кестесі негізгі диагональға қатысты симметриялы, яғни коммутативті, яғни.
,

топ - абелиан.

Регуляр n-бұрыштың симметрияларының түрлендірулерінің толық тобын қарастыруға болады , айналу операциясына симметрия осьтерінің айналасындағы кеңістіктік айналудың қосымша операцияларын қосу.

Үшбұрыш үшін
, және топ алты элементтен тұрады

Қайда
бұл биіктіктің айналасындағы айналулар (2-суретті қараңыз), медианалар, биссектрисалар мынадай пішінге ие:

;

,

,
.

Күріш. 2.- Топ – ABC дұрыс үшбұрышының симметрия түрлендірулері.