Трапецияның ортаңғы сызығының ұзындығы неге тең. Трапеция. Қасиеттері, ерекшеліктері, ауданы. Трапецияның ортаңғы сызығы – математикадан емтиханға дайындалуға арналған материалдар. Трапецияның қасиеттерін зерттеу әдістемесінің негізгі принциптері

Сіздің құпиялылығыңыз біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялық саясатымызды оқып шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің кейбір мысалдары және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыз берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

Біз жинайтын жеке ақпарат бізге сізбен байланысуға және бірегей ұсыныстар, акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы хабарлауға мүмкіндік береді.
Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды сізге маңызды хабарламалар мен хабарламалар жіберу үшін пайдалануымыз мүмкін.
Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе соған ұқсас ынталандыруға қатысатын болсаңыз, біз осындай бағдарламаларды басқару үшін сіз берген ақпаратты пайдалана аламыз.

Үшінші тұлғаларға ақпаратты ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке ақпаратыңызды ашыңыз. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық мүдде мақсаттары үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті үшінші тарап мұрагеріне бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалтудан, ұрлаудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қолданамыз.

Компания деңгейінде құпиялылықты сақтау

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік тәжірибесін хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибелерін қатаң түрде орындаймыз.

Тек екі қабырғасы параллель төртбұрыш деп аталады трапеция.

Трапецияның параллель қабырғалары оның деп аталады негіздер, ал параллель емес қабырғалар деп аталады жақтары. Егер жақтары тең болса, онда мұндай трапеция тең қабырғалы болады. Табандар арасындағы қашықтық трапеция биіктігі деп аталады.

Трапецияның ортаңғы сызығы

ортаңғы сызықтрапеция қабырғаларының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді. Трапецияның орта сызығы оның табандарына параллель.

Теорема:

Егер бір қабырғасының ортасын қиып өтетін түзу трапеция табандарына параллель болса, онда ол трапецияның екінші қабырғасын екіге бөледі.

Теорема:

Ортаңғы сызықтың ұзындығы оның табандарының ұзындықтарының орташа арифметикалық мәніне тең

MN || AB || DC
AM=MD; BN=NC

MN ортаңғы сызығы, AB және CD - негіздері, AD және BC - жақтары

MN=(AB+DC)/2

Теорема:

Трапецияның орта сызығының ұзындығы оның табандарының ұзындықтарының арифметикалық ортасына тең.

Негізгі міндет: Трапецияның орта сызығы ұштары трапеция табандарының ортасында жатқан кесіндіні екіге бөлетінін дәлелдеңдер.

Үшбұрыштың ортаңғы сызығы

Үшбұрыштың екі қабырғасының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді үшбұрыштың орта сызығы деп аталады. Ол үшінші жағына параллель және оның ұзындығы үшінші жақтың ұзындығының жартысы.
Теорема: Егер үшбұрыштың бір қабырғасының ортасын қиып өтетін түзу берілген үшбұрыштың екінші қабырғасына параллель болса, онда ол үшінші қабырғасын екіге бөледі.

AM = MC және BN = NC =>

Үшбұрыштың және трапецияның орта сызығының қасиеттерін қолдану

Кесіндінің белгілі бір санына тең бөліктерге бөлінуі.
Тапсырма: АВ кесіндісін 5 тең бөлікке бөл.
Шешімі:
Бастысы А нүктесі болатын және АВ түзуінде жатпайтын кездейсоқ сәуле p болсын. Біз p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 бойынша 5 бірдей сегментті ретімен бөлеміз.
Біз A 5-ті В-ге қосамыз және A 4 , A 3 , A 2 және A 1 арқылы A 5 B-ге параллель түзулер жүргіземіз. Олар АВ-ны тиісінше B 4 , B 3 , B 2 және B 1 нүктелерінде қиып өтеді. Бұл нүктелер АВ кесіндісін 5 тең бөлікке бөледі. Шынында да, BB 3 A 3 A 5 трапециясынан BB 4 = B 4 B 3 екенін көреміз. Дәл осылай B 4 B 2 A 2 A 4 трапециясынан B 4 B 3 = B 3 B 2 аламыз.

Ал трапециядан B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Сонда B 2 AA 2-ден B 2 B 1 = B 1 A болатыны шығады. Қорытындылай келе, мынаны аламыз:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
АВ кесіндісін басқа тең бөліктер санына бөлу үшін р сәулесіне бірдей кесінділер санын проекциялау керек екені түсінікті. Содан кейін жоғарыда сипатталған тәсілмен жалғастырыңыз.

Бұл мақалада біз трапецияның қасиеттерін мүмкіндігінше толық көрсетуге тырысамыз. Атап айтқанда, біз сөйлесетін боламыз ортақ ерекшеліктеріжәне трапецияның қасиеттері, сонымен қатар іштей сызылған трапеция және трапецияға сызылған шеңбер туралы. Біз сонымен қатар тең қабырғалы және тікбұрышты трапецияның қасиеттеріне тоқталамыз.

Қарастырылған қасиеттерді пайдалана отырып, мәселені шешудің мысалы сіздің басыңыздағы нәрселерді сұрыптауға және материалды жақсы есте сақтауға көмектеседі.

Трапеция және барлығы

Алдымен трапецияның не екенін және онымен басқа қандай ұғымдар байланысты екенін қысқаша еске түсірейік.

Сонымен, трапеция - төртбұрышты фигура, оның екі қабырғасы бір-біріне параллель (бұл негіздер). Ал екеуі параллель емес - бұл тараптар.

Трапецияда биіктікті алып тастауға болады - негіздерге перпендикуляр. Ортаңғы сызық пен диагональдар сызылады. Сондай-ақ трапецияның кез келген бұрышынан биссектрисасын салуға болады.

Барлық осы элементтермен және олардың комбинацияларымен байланысты әртүрлі қасиеттер туралы біз қазір сөйлесетін боламыз.

Трапецияның диагональдарының қасиеттері

Түсінікті болу үшін оқу кезінде қағазға ACME трапециясының сызбасын сызыңыз және оған диагональдарды сызыңыз.

Егер сіз диагональдардың әрқайсысының ортаңғы нүктелерін тауып (осы нүктелерді X және T деп атаймыз) және оларды қоссаңыз, сіз кесінді аласыз. Трапецияның диагональдарының қасиеттерінің бірі XT кесіндісінің ортаңғы сызықта жатуы. Ал оның ұзындығын негіздердің айырмасын екіге бөлу арқылы алуға болады: XT \u003d (a - b) / 2.
Біздің алдымызда сол ACME трапециясы тұр. Диагональдар О нүктесінде қиылысады.Трапецияның табандарымен бірге диагональдардың кесінділерінен құрылған AOE және IOC үшбұрыштарын қарастырайық. Бұл үшбұрыштар ұқсас. k үшбұрыштың ұқсастық коэффициенті трапеция табандарының қатынасы арқылы өрнектеледі: k = AE/KM.
AOE және IOC үшбұрыштарының аудандарының қатынасы k 2 коэффициентімен сипатталады.
Барлығы бірдей трапеция, О нүктесінде қиылысатын бірдей диагональдар. Тек осы жолы трапецияның бүйірлерімен бірге диагональ кесінділері пайда болған үшбұрыштарды қарастырамыз. AKO және EMO үшбұрыштарының аудандары тең - олардың аудандары бірдей.
Трапецияның тағы бір қасиетіне диагональдарды салу жатады. Сонымен, егер АК және ME қабырғаларын кіші табан бағытында жалғастырсақ, онда олар ерте ме, кеш пе белгілі бір нүктеге дейін қиылысады. Әрі қарай трапеция табандарының ортаңғы нүктелері арқылы түзу сызыңыз. Ол табандарды X және T нүктелерінде қиып өтеді.
Енді XT түзуін ұзартсақ, онда ол трапеция О диагональдарының қиылысу нүктесін, X және T табандарының қабырғаларының ұзартулары мен ортаңғы нүктелерінің қиылысу нүктесін біріктіреді.
Диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы трапеция табандарын қосатын кесінді саламыз (Т КМ-нің кіші табанында, X - үлкен AE-де жатыр). Диагональдардың қиылысу нүктесі бұл кесіндіні келесі қатынасқа бөледі: TO/OH = KM/AE.
Ал енді диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы трапеция табандарына (а және b) параллель кесінді жүргіземіз. Қиылысу нүктесі оны екі тең бөлікке бөледі. Формула арқылы кесіндінің ұзындығын табуға болады 2ab/(a + b).

Трапецияның орта сызығының қасиеттері

Трапециядағы ортаңғы сызықты оның табандарына параллель сызыңыз.

Трапецияның ортаңғы сызығының ұзындығын табандарының ұзындықтарын қосып, оларды екіге бөлу арқылы есептеуге болады: m = (a + b)/2.
Кез келген кесіндіні (мысалы, биіктік) трапецияның екі табаны арқылы жүргізсеңіз, ортаңғы сызық оны екі тең бөлікке бөледі.

Трапецияның биссектрисасының қасиеті

Трапецияның кез келген бұрышын таңдап, биссектрисасын сал. Мысалы, ACME трапециямыздың KAE бұрышын алайық. Құрылысты өз бетінше аяқтағаннан кейін, биссектриса негізден (немесе оның фигураның сыртындағы түзу сызықтағы жалғасы) бүйірімен бірдей ұзындықтағы сегментті кесіп тастайтынын оңай көруге болады.

Трапеция бұрышының қасиеттері

Қабырғаға іргелес жатқан екі жұп бұрыштың қайсысын таңдасаңыз да, жұптағы бұрыштардың қосындысы әрқашан 180 0 болады: α + β = 180 0 және γ + δ = 180 0 .
Трапецияның табандарының ортаңғы нүктелерін TX кесіндісімен қосыңыз. Енді трапеция табанындағы бұрыштарды қарастырайық. Егер олардың кез келгені үшін бұрыштардың қосындысы 90 0 болса, TX сегментінің ұзындығын екіге бөлетін негіздердің ұзындықтарының айырмашылығына негізделген есептеу оңай: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Егер трапецияның бұрышының қабырғалары арқылы параллель түзулер жүргізілсе, олар бұрыштың қабырғаларын пропорционал кесінділерге бөледі.

Тең қабырғалы (тең қабырғалы) трапецияның қасиеттері

IN тең қабырғалы трапециятабандарының кез келгенінде бұрыштар тең.
Енді оның не туралы екенін елестетуді жеңілдету үшін трапецияны қайта салыңыз. AE негізін мұқият қараңыз - М-ның қарама-қарсы негізінің шыңы AE бар түзудің белгілі бір нүктесіне проекцияланады. А төбесінен М төбесінің проекциялық нүктесіне және тең қабырғалы трапецияның орта сызығына дейінгі қашықтық тең.
Тең қабырғалы трапеция диагональдарының қасиеті туралы бірнеше сөз – олардың ұзындықтары тең. Және де осы диагональдардың трапеция табанына еңкею бұрыштары бірдей.
Шеңберді тек тең қабырғалы трапецияға жақын жерде ғана сипаттауға болады, өйткені төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180 0 бұл үшін алғы шарт болып табылады.
Тең қабырғалы трапецияның қасиеті алдыңғы абзацтан туындайды - егер трапецияның жанында шеңберді сипаттауға болатын болса, ол тең қабырғалы.
Тең бүйірлі трапецияның ерекшеліктерінен трапецияның биіктік қасиеті келесідей: егер оның диагональдары тік бұрышта қиылса, онда биіктік ұзындығы табандарының қосындысының жартысына тең болады: h = (a + b)/2.
Трапецияның табандарының ортаңғы нүктелері арқылы қайтадан TX сызығын жүргіземіз – тең қабырғалы трапецияда табандарына перпендикуляр. Сонымен қатар, TX тең қабырғалы трапецияның симметрия осі болып табылады.
Бұл жолы трапецияның қарама-қарсы төбесінен үлкен негізге (оны а деп атаймыз) төмен түсіріңіз. Сіз екі кесінді аласыз. Бірдің ұзындығын табады, егер негіздердің ұзындықтарын қосса және екіге бөлсе: (a+b)/2. Үлкен негізден кішісін алып тастап, алынған айырманы екіге бөлгенде екіншісін аламыз: (а – б)/2.

Шеңберге сызылған трапецияның қасиеттері

Біз қазірдің өзінде шеңберге жазылған трапеция туралы айтып жатқандықтан, бұл мәселеге толығырақ тоқталайық. Атап айтқанда, трапецияға қатысты шеңбердің центрі қайда орналасқан. Мұнда да қарындаш алып, төменде талқыланатын нәрсені салуға жалқау болмау ұсынылады. Осылайша сіз тезірек түсініп, жақсы есте сақтайсыз.

Шеңбер центрінің орналасуы трапеция диагоналінің оның бүйіріне еңкею бұрышымен анықталады. Мысалы, трапецияның төбесінен бүйіріне тік бұрыш жасайтын диагональ шығуы мүмкін. Бұл жағдайда үлкенірек негіз шектелген шеңбердің ортасын дәл ортасында қиып өтеді (R = ½AE).
Диагональды және бүйірлік астынан кездесуі мүмкін сүйір бұрыш- онда шеңбердің центрі трапецияның ішінде болады.
Шектелген шеңбердің центрі трапецияның диагоналы мен бүйір жағының арасында доғал бұрыш болса, оның үлкен табанынан тыс трапециядан тыс болуы мүмкін.
ACME трапециясының диагоналы мен үлкен табаны (іштей сызылған бұрыш) түзетін бұрыш оған сәйкес келетін орталық бұрыштың жартысы: MAE = ½MY.
Шектелген шеңбердің радиусын табудың екі жолы туралы қысқаша. Бірінші әдіс: сызбаңызға мұқият қараңыз - не көріп тұрсыз? Сіз диагональ трапецияны екі үшбұрышқа бөлетінін оңай байқайсыз. Радиусты үшбұрыштың қабырғасының қарама-қарсы бұрыштың синусына қатынасы арқылы екіге көбейту арқылы табуға болады. Мысалы, R \u003d AE / 2 * sinAME. Сол сияқты, формуланы екі үшбұрыштың кез келген қабырғалары үшін жазуға болады.
Екінші әдіс: трапецияның диагоналы, қабырғасы және табанынан құралған үшбұрыштың ауданы арқылы шектелген шеңбердің радиусын табамыз: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Шеңберге сызылған трапецияның қасиеттері

Егер бір шарт орындалса, трапецияға шеңберді сызуға болады. Бұл туралы толығырақ төменде. Және бірге бұл фигуралардың комбинациясы бірқатар қызықты қасиеттерге ие.

Егер шеңбер трапецияға сызылған болса, оның орта сызығының ұзындығын қабырғалардың ұзындықтарын қосып, алынған қосындыны екіге бөлу арқылы оңай табуға болады: m = (c + d)/2.
Шеңбер бойымен сызылған ACME трапециясы үшін табандарының ұзындықтарының қосындысы қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең: AK + ME = KM + AE.
Трапецияның табандарының бұл қасиетінен қарама-қарсы тұжырым шығады: сол трапецияға табандарының қосындысы қабырғаларының қосындысына тең шеңберді сызуға болады.
Радиусы r трапецияға іштей сызылған шеңбердің жанама нүктесі бүйір қабырғасын екі кесіндіге бөледі, оларды а және b деп атаймыз. Шеңбердің радиусын мына формула бойынша есептеуге болады: r = √ab.
Және тағы бір мүлік. Шатаспау үшін мына мысалды өзіңіз салыңыз. Бізде жақсы ескі ACME трапециясы бар, ол шеңбер бойымен шектелген. Онда диагональдар сызылған, О нүктесінде қиылысады. Диагональдар мен қабырғалардың кесінділерінен құрылған AOK және EOM үшбұрыштары тікбұрышты.
Гипотенузаларға (яғни трапецияның қабырғалары) түсірілген бұл үшбұрыштардың биіктіктері сызылған шеңбердің радиустарымен сәйкес келеді. Ал трапецияның биіктігі іштей сызылған шеңбердің диаметрімен бірдей.

Тік бұрышты трапецияның қасиеттері

Трапеция тікбұрышты деп аталады, оның бір бұрышы тік. Ал оның қасиеттері осы жағдайдан туындайды.

Тік бұрышты трапецияның табандарына перпендикуляр қабырғаларының бірі болады.
Трапецияның тік бұрышқа іргелес жатқан биіктігі мен қабырғасы тең. Бұл тікбұрышты трапецияның ауданын есептеуге мүмкіндік береді (жалпы формула S = (a + b) * h/2) биіктік арқылы ғана емес, сонымен қатар оң жақ бұрышқа іргелес жатқан жағы арқылы.
Тікбұрышты трапеция үшін жоғарыда сипатталған трапеция диагональдарының жалпы қасиеттері маңызды.

Трапецияның кейбір қасиеттерін дәлелдеу

Тең қабырғалы трапеция табанындағы бұрыштардың теңдігі:

Сіз бұл жерде тағы да ACME трапециясы қажет екенін болжаған шығарсыз - тең қабырғалы трапецияны сызыңыз. М төбесінен АК (МТ || АК) жағына параллель MT түзуін сызыңыз.

Алынған төртбұрыш AKMT параллелограмм болып табылады (АК || МТ, КМ || АТ). ME = KA = MT болғандықтан, ∆ MTE тең қабырғалы және MET = MTE.

АК || МТ, демек MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Мұндағы AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Енді тең қабырғалы трапеция қасиетіне (диагональдардың теңдігі) сүйене отырып, біз мұны дәлелдейміз трапеция ACME - тең қабырғалы:

Бастау үшін МХ – МХ || түзуін жүргізейік Қ.Е. KMHE параллелограммын аламыз (негізі - MX || KE және KM || EX).

∆AMH тең қабырғалы, өйткені AM = KE = MX, және MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, сондықтан MAE = MXE.

AKE және EMA үшбұрыштары бір-біріне тең екені анықталды, өйткені AM \u003d KE және AE екі үшбұрыштың ортақ жағы болып табылады. Сондай-ақ MAE \u003d MXE. AK = ME деп қорытынды жасауға болады, демек, AKME трапециясы тең қабырғалы болады.

Қайталауға тапсырма

ACME трапециясының табандары 9 см және 21 см, КА қабырғасы 8 см-ге тең, табаны кішірек 150 0 бұрыш жасайды. Трапецияның ауданын табу керек.

Шешуі: K шыңынан трапецияның үлкен табанына биіктікті түсіреміз. Ал трапецияның бұрыштарын қарауды бастайық.

AEM және KAN бұрыштары бір жақты. Бұл олардың қосындысы 1800-ге жетеді дегенді білдіреді. Демек, KAN = 30 0 (трапеция бұрыштарының қасиетіне негізделген).

Енді ∆ANK төртбұрышын қарастырайық (менің ойымша, бұл мәселе оқырмандарға қосымша дәлелсіз анық). Одан KH трапеция биіктігін табамыз – үшбұрышта ол 30 0 бұрышқа қарама-қарсы жатқан катет. Сондықтан KN \u003d ½AB \u003d 4 см.

Трапецияның ауданы мына формула бойынша табылады: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 см 2.

Кейінгі сөз

Егер сіз осы мақаланы мұқият және мұқият зерттесеңіз, қолыңыздағы қарындашпен жоғарыда аталған барлық қасиеттерге трапецияларды салуға және оларды іс жүзінде талдауға жалқау болмасаңыз, материалды жақсы меңгерген боларсыз.

Әрине, мұнда әртүрлі және кейде тіпті шатастыратын көптеген ақпарат бар: сипатталған трапецияның қасиеттерін жазылғанның қасиеттерімен шатастыру қиын емес. Бірақ сіз айырмашылықтың үлкен екенін өзіңіз көрдіңіз.

Енді сізде барлығының егжей-тегжейлі қысқаша мазмұны бар ортақ қасиеттертрапеция. Сонымен қатар тең қабырғалы және тікбұрышты трапециялардың өзіндік қасиеттері мен ерекшеліктері. Тесттер мен емтихандарға дайындалу үшін пайдалану өте ыңғайлы. Өзіңіз көріңіз және сілтемені достарыңызбен бөлісіңіз!

blog.site, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Бұл мақалада біз трапецияның қасиеттерін мүмкіндігінше толық көрсетуге тырысамыз. Атап айтқанда, біз трапецияның жалпы белгілері мен қасиеттері туралы, сондай-ақ ішкі трапецияның қасиеттері туралы және трапецияға сызылған шеңбер туралы айтатын боламыз. Біз сонымен қатар тең қабырғалы және тікбұрышты трапецияның қасиеттеріне тоқталамыз.

Трапеция және барлығы

Алдымен трапецияның не екенін және онымен басқа қандай ұғымдар байланысты екенін қысқаша еске түсірейік.

Трапецияның диагональдарының қасиеттері

Түсінікті болу үшін оқу кезінде қағазға ACME трапециясының сызбасын сызыңыз және оған диагональдарды сызыңыз.

Егер сіз диагональдардың әрқайсысының ортаңғы нүктелерін тауып (осы нүктелерді X және T деп атаймыз) және оларды қоссаңыз, сіз кесінді аласыз. Трапецияның диагональдарының қасиеттерінің бірі XT кесіндісінің ортаңғы сызықта жатуы. Ал оның ұзындығын негіздердің айырмасын екіге бөлу арқылы алуға болады: XT \u003d (a - b) / 2.
Біздің алдымызда сол ACME трапециясы тұр. Диагональдар О нүктесінде қиылысады.Трапецияның табандарымен бірге диагональдардың кесінділерінен құрылған AOE және IOC үшбұрыштарын қарастырайық. Бұл үшбұрыштар ұқсас. k үшбұрыштың ұқсастық коэффициенті трапеция табандарының қатынасы арқылы өрнектеледі: k = AE/KM.
AOE және IOC үшбұрыштарының аудандарының қатынасы k 2 коэффициентімен сипатталады.
Барлығы бірдей трапеция, О нүктесінде қиылысатын бірдей диагональдар. Тек осы жолы трапецияның бүйірлерімен бірге диагональ кесінділері пайда болған үшбұрыштарды қарастырамыз. AKO және EMO үшбұрыштарының аудандары тең - олардың аудандары бірдей.
Трапецияның тағы бір қасиетіне диагональдарды салу жатады. Сонымен, егер АК және ME қабырғаларын кіші табан бағытында жалғастырсақ, онда олар ерте ме, кеш пе белгілі бір нүктеге дейін қиылысады. Әрі қарай трапеция табандарының ортаңғы нүктелері арқылы түзу сызыңыз. Ол табандарды X және T нүктелерінде қиып өтеді.
Енді XT түзуін ұзартсақ, онда ол трапеция О диагональдарының қиылысу нүктесін, X және T табандарының қабырғаларының ұзартулары мен ортаңғы нүктелерінің қиылысу нүктесін біріктіреді.
Диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы трапеция табандарын қосатын кесінді саламыз (Т КМ-нің кіші табанында, X - үлкен AE-де жатыр). Диагональдардың қиылысу нүктесі бұл кесіндіні келесі қатынасқа бөледі: TO/OH = KM/AE.
Ал енді диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы трапеция табандарына (а және b) параллель кесінді жүргіземіз. Қиылысу нүктесі оны екі тең бөлікке бөледі. Формула арқылы кесіндінің ұзындығын табуға болады 2ab/(a + b).

Трапецияның орта сызығының қасиеттері

Трапециядағы ортаңғы сызықты оның табандарына параллель сызыңыз.

Трапецияның ортаңғы сызығының ұзындығын табандарының ұзындықтарын қосып, оларды екіге бөлу арқылы есептеуге болады: m = (a + b)/2.
Кез келген кесіндіні (мысалы, биіктік) трапецияның екі табаны арқылы жүргізсеңіз, ортаңғы сызық оны екі тең бөлікке бөледі.

Трапецияның биссектрисасының қасиеті

Трапеция бұрышының қасиеттері

Қабырғаға іргелес жатқан екі жұп бұрыштың қайсысын таңдасаңыз да, жұптағы бұрыштардың қосындысы әрқашан 180 0 болады: α + β = 180 0 және γ + δ = 180 0 .
Трапецияның табандарының ортаңғы нүктелерін TX кесіндісімен қосыңыз. Енді трапеция табанындағы бұрыштарды қарастырайық. Егер олардың кез келгені үшін бұрыштардың қосындысы 90 0 болса, TX сегментінің ұзындығын екіге бөлетін негіздердің ұзындықтарының айырмашылығына негізделген есептеу оңай: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Егер трапецияның бұрышының қабырғалары арқылы параллель түзулер жүргізілсе, олар бұрыштың қабырғаларын пропорционал кесінділерге бөледі.

Тең қабырғалы (тең қабырғалы) трапецияның қасиеттері

Тең қабырғалы трапецияда табандардың кез келгеніндегі бұрыштар тең.
Енді оның не туралы екенін елестетуді жеңілдету үшін трапецияны қайта салыңыз. AE негізін мұқият қараңыз - М-ның қарама-қарсы негізінің шыңы AE бар түзудің белгілі бір нүктесіне проекцияланады. А төбесінен М төбесінің проекциялық нүктесіне және тең қабырғалы трапецияның орта сызығына дейінгі қашықтық тең.
Тең қабырғалы трапеция диагональдарының қасиеті туралы бірнеше сөз – олардың ұзындықтары тең. Және де осы диагональдардың трапеция табанына еңкею бұрыштары бірдей.
Шеңберді тек тең қабырғалы трапецияға жақын жерде ғана сипаттауға болады, өйткені төртбұрыштың қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180 0 бұл үшін алғы шарт болып табылады.
Тең қабырғалы трапецияның қасиеті алдыңғы абзацтан туындайды - егер трапецияның жанында шеңберді сипаттауға болатын болса, ол тең қабырғалы.
Тең бүйірлі трапецияның ерекшеліктерінен трапецияның биіктік қасиеті келесідей: егер оның диагональдары тік бұрышта қиылса, онда биіктік ұзындығы табандарының қосындысының жартысына тең болады: h = (a + b)/2.
Трапецияның табандарының ортаңғы нүктелері арқылы қайтадан TX сызығын жүргіземіз – тең қабырғалы трапецияда табандарына перпендикуляр. Сонымен қатар, TX тең қабырғалы трапецияның симметрия осі болып табылады.
Бұл жолы трапецияның қарама-қарсы төбесінен үлкен негізге (оны а деп атаймыз) төмен түсіріңіз. Сіз екі кесінді аласыз. Бірдің ұзындығын табады, егер негіздердің ұзындықтарын қосса және екіге бөлсе: (a+b)/2. Үлкен негізден кішісін алып тастап, алынған айырманы екіге бөлгенде екіншісін аламыз: (а – б)/2.

Шеңберге сызылған трапецияның қасиеттері

Шеңбер центрінің орналасуы трапеция диагоналінің оның бүйіріне еңкею бұрышымен анықталады. Мысалы, трапецияның төбесінен бүйіріне тік бұрыш жасайтын диагональ шығуы мүмкін. Бұл жағдайда үлкенірек негіз шектелген шеңбердің ортасын дәл ортасында қиып өтеді (R = ½AE).
Диагональ мен бүйір жағы да өткір бұрышта кездесуі мүмкін - онда шеңбердің ортасы трапеция ішінде болады.
Шектелген шеңбердің центрі трапецияның диагоналы мен бүйір жағының арасында доғал бұрыш болса, оның үлкен табанынан тыс трапециядан тыс болуы мүмкін.
ACME трапециясының диагоналы мен үлкен табаны (іштей сызылған бұрыш) түзетін бұрыш оған сәйкес келетін орталық бұрыштың жартысы: MAE = ½MY.
Шектелген шеңбердің радиусын табудың екі жолы туралы қысқаша. Бірінші әдіс: сызбаңызға мұқият қараңыз - не көріп тұрсыз? Сіз диагональ трапецияны екі үшбұрышқа бөлетінін оңай байқайсыз. Радиусты үшбұрыштың қабырғасының қарама-қарсы бұрыштың синусына қатынасы арқылы екіге көбейту арқылы табуға болады. Мысалы, R \u003d AE / 2 * sinAME. Сол сияқты, формуланы екі үшбұрыштың кез келген қабырғалары үшін жазуға болады.
Екінші әдіс: трапецияның диагоналы, қабырғасы және табанынан құралған үшбұрыштың ауданы арқылы шектелген шеңбердің радиусын табамыз: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Шеңберге сызылған трапецияның қасиеттері

Егер шеңбер трапецияға сызылған болса, оның орта сызығының ұзындығын қабырғалардың ұзындықтарын қосып, алынған қосындыны екіге бөлу арқылы оңай табуға болады: m = (c + d)/2.
Шеңбер бойымен сызылған ACME трапециясы үшін табандарының ұзындықтарының қосындысы қабырғаларының ұзындықтарының қосындысына тең: AK + ME = KM + AE.
Трапецияның табандарының бұл қасиетінен қарама-қарсы тұжырым шығады: сол трапецияға табандарының қосындысы қабырғаларының қосындысына тең шеңберді сызуға болады.
Радиусы r трапецияға іштей сызылған шеңбердің жанама нүктесі бүйір қабырғасын екі кесіндіге бөледі, оларды а және b деп атаймыз. Шеңбердің радиусын мына формула бойынша есептеуге болады: r = √ab.
Және тағы бір мүлік. Шатаспау үшін мына мысалды өзіңіз салыңыз. Бізде жақсы ескі ACME трапециясы бар, ол шеңбер бойымен шектелген. Онда диагональдар сызылған, О нүктесінде қиылысады. Диагональдар мен қабырғалардың кесінділерінен құрылған AOK және EOM үшбұрыштары тікбұрышты.
Гипотенузаларға (яғни трапецияның қабырғалары) түсірілген бұл үшбұрыштардың биіктіктері сызылған шеңбердің радиустарымен сәйкес келеді. Ал трапецияның биіктігі іштей сызылған шеңбердің диаметрімен бірдей.

Тік бұрышты трапецияның қасиеттері

Трапеция тікбұрышты деп аталады, оның бір бұрышы тік. Ал оның қасиеттері осы жағдайдан туындайды.

Тік бұрышты трапецияның табандарына перпендикуляр қабырғаларының бірі болады.
Трапецияның тік бұрышқа іргелес жатқан биіктігі мен қабырғасы тең. Бұл тікбұрышты трапецияның ауданын есептеуге мүмкіндік береді (жалпы формула S = (a + b) * h/2) биіктік арқылы ғана емес, сонымен қатар оң жақ бұрышқа іргелес жатқан жағы арқылы.
Тікбұрышты трапеция үшін жоғарыда сипатталған трапеция диагональдарының жалпы қасиеттері маңызды.

Трапецияның кейбір қасиеттерін дәлелдеу

Тең қабырғалы трапеция табанындағы бұрыштардың теңдігі:

Сіз бұл жерде тағы да ACME трапециясы қажет екенін болжаған шығарсыз - тең қабырғалы трапецияны сызыңыз. М төбесінен АК (МТ || АК) жағына параллель MT түзуін сызыңыз.

АК || МТ, демек MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Мұндағы AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Бастау үшін МХ – МХ || түзуін жүргізейік Қ.Е. KMHE параллелограммын аламыз (негізі - MX || KE және KM || EX).

∆AMH тең қабырғалы, өйткені AM = KE = MX, және MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, сондықтан MAE = MXE.

Қайталауға тапсырма

Шешуі: K шыңынан трапецияның үлкен табанына биіктікті түсіреміз. Ал трапецияның бұрыштарын қарауды бастайық.

Трапецияның ауданы мына формула бойынша табылады: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 см 2.

Кейінгі сөз

Енді сізде трапецияның барлық жалпы қасиеттерінің егжей-тегжейлі қысқаша мазмұны бар. Сонымен қатар тең қабырғалы және тікбұрышты трапециялардың өзіндік қасиеттері мен ерекшеліктері. Тесттер мен емтихандарға дайындалу үшін пайдалану өте ыңғайлы. Өзіңіз көріңіз және сілтемені достарыңызбен бөлісіңіз!

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Планиметриялық есептерді шешуде фигураның қабырғалары мен бұрыштарынан басқа көбінесе басқа шамалар белсенді қатысады – медианалар, биіктіктер, диагональдар, биссектрисалар және т.б. Олардың ішінде ортаңғы сызық бар.
Егер бастапқы көпбұрыш трапеция болса, оның орта сызығы неге тең? Бұл кесінді фигураның бүйірлерін ортасында қиып өтетін және қалған екі жағына – табандарына параллель болатын түзудің бөлігі болып табылады.

Трапецияның орта сызығын ортаңғы және негізгі сызық арқылы қалай табуға болады

Егер жоғарғы және төменгі негіздердің мәндері белгілі болса, онда өрнек белгісізді есептеуге көмектеседі:

a, b - негіздер, l - орта сызық.

Аудан арқылы трапецияның орта сызығын қалай табуға болады

Егер бастапқы деректерде фигураның ауданының мәні болса, онда бұл мәнді пайдаланып трапеция ортасының сызығының ұзындығын есептеуге болады. S = (a+b)/2*h формуласын қолданайық,
S - аудан,
h - биіктігі,
a, b - негіздер.
Бірақ, l = (a+b)/2 болғандықтан, S = l*h, бұл l=S/h дегенді білдіреді.

Трапецияның ортаңғы сызығын табаны мен ондағы бұрыштар арқылы қалай табуға болады

Фигураның үлкен негізінің ұзындығы болған жағдайда оның биіктігі, сондай-ақ белгілі дәрежелік шараларбұрыштары трапецияның орта сызығын табу өрнекі келесідей болады:

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, ал
l - қалаған мән,
a - үлкен база,
α, β – ондағы бұрыштар,
h – фигураның биіктігі.

Егер кішірек базаның мәні белгілі болса (сол басқа деректермен), арақатынас орта сызықты табуға көмектеседі:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l - қалаған мән,
b - кіші база,
α, β – ондағы бұрыштар,
h – фигураның биіктігі.

Биіктігі, диагональдары және бұрыштары арқылы трапецияның орта сызығын табыңыз

Есептің шарттарында фигураның диагональдарының мәндері, олардың бір-бірімен қиылысу кезінде пайда болатын бұрыштары, сондай-ақ биіктігі болатын жағдайды қарастырайық. Өрнектер арқылы орташа сызықты есептеуге болады:

l=(d1*d2)/2h*sinγ немесе l=(d1*d2)/2h*sinφ,

l - ортаңғы сызық,
d1, d2 - диагональдар,
φ, γ олардың арасындағы бұрыштар,
h – фигураның биіктігі.

Тең қабырғалы фигура үшін трапецияның орта сызығын қалай табуға болады

Егер негізгі фигура тең қабырғалы трапеция болса, жоғарыдағы формулалар келесі пішінге ие болады.

Егер трапеция негіздерінің мәндері болса, өрнекте ешқандай өзгерістер болмайды.

l = (a + b) / 2, a, b - негіздер, l - ортаңғы сызық.

Егер биіктік, табан және оған іргелес бұрыштар белгілі болса, онда:

l=a-h*ctga,
l=b+h*ctga,

l - ортаңғы сызық,
a, b - негіздер (b< a),
α - ондағы бұрыштар,
h – фигураның биіктігі.

Егер трапецияның бүйір жағы және табандарының біреуі белгілі болса, онда өрнекке сілтеме жасай отырып, қажетті мәнді анықтауға болады:

l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l - ортаңғы сызық,
a, b - негіздер (b< a),
h – фигураның биіктігі.

Биіктіктің, диагональдардың (және олар бір-біріне тең) және олардың қиылысуы нәтижесінде пайда болған бұрыштардың белгілі мәндерімен ортаңғы сызықты келесідей табуға болады:

l=(d*d)/2h*sinγ немесе l=(d*d)/2h*sinφ,

l - ортаңғы сызық,
d - диагональдар,
φ, γ олардың арасындағы бұрыштар,
h – фигураның биіктігі.

Фигураның ауданы мен биіктігін біле отырып, онда:

l=S/сағ,
S - аудан,
h – биіктік.

Егер перпендикуляр биіктік белгісіз болса, оны тригонометриялық функцияның анықтамасы арқылы анықтауға болады.

h=c*sinα, сондықтан
l=S/c*sinα,
l - ортаңғы сызық,
S - аудан,
c - жағы,
α- табандағы бұрыш.