Тең қабырғалы трапецияның трапециялық қасиеттерінің трапеция түрлері. Трапеция дегеніміз не: төртбұрыштың қасиеттері, теоремалар және формулалар. Трапецияның табандары, қабырғалары және табанындағы бұрыштары арқылы диагональдарын табуға арналған формулалар

"БЕКІТУ"

Жеке пәннің меңгерушісі

(математика, информатика және АКТ)

Ю.В.Крылова _____________

«___» _____________ 2015 ж

« Трапеция және оның қасиеттері»

Әдістемелік өңдеу

математика мұғалімі

Шаталина Елена Дмитриевна

Қарастырылған және

ПМО отырысында _________________

Хаттама №______

Мәскеу

2015

Мазмұны

Кіріспе 2

Анықтамалар 3

Тең қабырғалы трапецияның қасиеттері 4

Іштей және сызылған шеңберлер 7

Іштей сызылған және сызылған трапециялардың қасиеттері 8

Трапециядағы орташа мәндер 12

Ерікті трапецияның қасиеттері 15

Трапецияның белгілері 18

Трапециядағы қосымша конструкциялар 20

Трапецияның ауданы 25

10. Қорытынды

Библиография

Қолдану

Трапецияның кейбір қасиеттерін дәлелдеу 27

Өзіндік жұмысқа арналған тапсырмалар

Күрделілігі жоғары «Трапеция» тақырыбы бойынша тапсырмалар

«Трапеция» тақырыбы бойынша тексеру тесті

Кіріспе

Бұл жұмыс трапеция деп аталатын геометриялық фигураға арналған. «Қарапайым фигура» дейсіз, бірақ олай емес. Онда көптеген құпиялар мен құпиялар бар, егер сіз мұқият қарап, оны зерттеуге тереңірек үңілсеңіз, сіз геометрия әлемінде көптеген жаңа нәрселерді ашасыз, бұрын шешілмеген тапсырмалар сізге оңай болып көрінеді.

Трапеция – грек сөзі trapezion – «үстел». Несиелер. 18 ғасырда лат. ланг., мұндағы трапеция грекше. Бұл қарама-қарсы екі қабырғасы параллель төртбұрыш. Трапецияны алғаш рет ежелгі грек ғалымы Посидониус (б.з.б. 2 ғ.) тапқан. Біздің өмірімізде неше түрлі фигуралар бар. 7-сыныпта үшбұрышпен жақын таныстық, 8-сыныпта мектеп бағдарламасытрапецияны зерттей бастадық. Бұл көрсеткіш бізді қызықтырды және оқулықта бұл туралы аз жазылған. Сондықтан біз бұл мәселені өз қолымызға алып, трапеция туралы ақпаратты табуды шештік. оның қасиеттері.

Жұмыста оқулықта қарастырылған материалдан оқушыларға таныс, бірақ күрделі есептерді шешуге қажетті беймәлім қасиеттер қарастырылады. Шешілетін тапсырмалардың саны неғұрлым көп болса, оларды шешу кезінде соғұрлым көп сұрақтар туындайды. Бұл сұрақтардың жауабы кейде жұмбақ болып көрінеді, трапецияның жаңа қасиеттерін, есептерді шешудің әдеттен тыс әдістерін, сонымен қатар қосымша құрылыстар техникасын үйрене отырып, біз трапецияның құпияларын біртіндеп ашамыз. Интернетте, егер сіз іздеу жүйесінде ұпай жинасаңыз, «трапеция» тақырыбы бойынша есептерді шешу әдістері туралы әдебиеттер өте аз. Жобамен жұмыс істеу барысында оқушыларға геометрияны терең меңгеруге көмектесетін ақпараттың үлкен көлемі табылды.

Трапеция.

Анықтамалар

Трапеция Тек бір жұп қабырғалары параллель болатын төртбұрыш (ал басқа жұп қабырғалары параллель емес).

Трапецияның параллель қабырғалары деп аталадынегіздер. Қалған екеуі - жақтары .
Егер қабырғалары тең болса, трапеция деп аталадытең қабырғалы.

Бүйірінде тік бұрыштары бар трапеция деп аталадытікбұрышты.

Қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді деп аталадытрапецияның ортаңғы сызығы.

Табандар арасындағы қашықтық трапеция биіктігі деп аталады.

2 . Тең қабырғалы трапецияның қасиеттері

3. Тең қабырғалы трапецияның диагональдары тең.

4

1
0. Тең қабырғалы трапецияның бүйір қабырғасының үлкен табанға проекциясы табандарының жарты айырымы, ал диагоналының проекциясы табандарының қосындысына тең.

3. Іштей және сызылған шеңбер

Егер трапеция табандарының қосындысы қабырғаларының қосындысына тең болса, онда оған шеңберді жазуға болады.

Е
Егер трапеция тең қабырғалы болса, онда оның айналасында шеңберді сызуға болады.

4 . Іштей сызылған және сызылған трапециялардың қасиеттері

2. Егер шеңберді тең қабырғалы трапецияға сызуға болатын болса, онда

табандарының ұзындықтарының қосындысы жақтарының ұзындықтарының қосындысына тең. Демек, жақтың ұзындығы ұзындығына тең ортаңғы сызықтрапеция.

4 . Егер шеңбер трапецияға сызылған болса, онда оның ортасынан бүйірлері 90 ° бұрышта көрінеді.

E, егер трапецияға шеңбер сызылған болса, ол қабырғалардың біріне тиіп, оны кесінділерге бөледі. мжәне n , онда іштей сызылған шеңбердің радиусы осы кесінділердің геометриялық ортасына тең.

1

0 . Егер шеңбер диаметрі ретінде трапецияның кіші табанына тұрғызылып, диагональдардың орта нүктелері арқылы өтіп, төменгі табанына тиіп тұрса, онда трапецияның бұрыштары 30°, 30°, 150°, 150° болады.

5. Трапециядағы орташа мәндер

геометриялық орта

Негіздері бар кез келген трапецияда а Және б Үшін а > бтеңсіздік :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Ерікті трапецияның қасиеттері

1
. Трапецияның диагональдарының ортаңғы нүктелері мен қабырғаларының ортаңғы нүктелері бір түзуде жатыр.

Ерікті трапецияның қабырғаларының ұзаруының қиылысу нүктесі, оның диагональдарының қиылысу нүктесі және табандарының ортаңғы нүктелері бір түзуде жатыр.

6. Ерікті трапецияның диагональдарының квадраттарының қосындысы табандарының екі есе көбейтіндісіне қосылған қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең.

г 1 2 + г 2 2 = в 2 + г 2 + 2 аб

7
. Тік бұрышты трапецияда диагональдардың квадраттарының айырмасы табандарының квадраттарының айырмасына тең г 1 2 - г 2 2 = а 2 – б 2

8 . Бұрыштың қабырғаларын қиып өтетін түзулер бұрыштың қабырғаларынан пропорционалды кесінділерді кесіп тастайды.

9. Табандарына параллель және диагональдардың қиылысу нүктесінен өтетін кесінді соңғысына екіге бөлінеді.

7. Трапецияның белгілері

8 . Трапециядағы қосымша конструкциялар

1. Қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді трапецияның ортаңғы сызығы болып табылады.

2
. Трапецияның бір қабырғасына параллель кесінді, оның бір шеті екінші жағының ортасымен сәйкес келеді, екіншісі негізін қамтитын түзуге жатады.

3
. Трапецияның барлық қабырғаларын ескере отырып, кіші табанының төбесінен бүйір жағына параллель түзу жүргізілген. Қабырғалары трапецияның қабырғаларына және табандарының айырмасына тең үшбұрыш шығады. Герон формуласы бойынша үшбұрыштың ауданы, содан кейін трапеция биіктігіне тең үшбұрыштың биіктігі табылады.

4

. Кіші табанының төбесінен тартылған тең қабырғалы трапецияның биіктігі үлкен табанды кесінділерге бөледі, олардың бірі табандарының жарты айырымына, ал екіншісі табандарының жарты қосындысына тең. трапеция, яғни трапецияның орта сызығы.

5. Бір табанның төбелерінен түсірілген трапецияның биіктіктері екінші табаны, бірінші табанына тең кесіндісі бар түзу бойымен қиылады.

6
. Трапецияның диагональдарының біріне параллель кесінді төбе арқылы жүргізілген - басқа диагональдың соңы болатын нүкте. Нәтижесінде екі қабырғасы трапецияның диагональдарына тең, ал үшіншісі табандарының қосындысына тең үшбұрыш шығады.

7
.Диагональдардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді трапеция табандарының жартылай айырмасына тең.

8. Трапецияның бір қабырғасына іргелес жатқан бұрыштардың биссектрисалары, олар перпендикуляр және трапецияның ортаңғы сызығында жатқан нүктеде қиылысады, яғни олар қиылысқан кезде гипотенузаға тең тікбұрышты үшбұрыш пайда болады. жағы.

9. Трапецияның бұрышының биссектрисасы кесіледі тең қабырғалы үшбұрыш.

1
0. Ерікті трапецияның қиылысындағы диагональдары ұқсастық коэффициенті табандарының қатынасына тең екі ұқсас үшбұрышты және қабырғаларына іргелес екі тең үшбұрышты құрайды.

1
1. Ерікті трапецияның қиылысындағы диагональдары ұқсастық коэффициенті табандарының қатынасына тең екі ұқсас үшбұрышты және қабырғаларына іргелес екі тең үшбұрышты құрайды.

1
2. Трапецияның қабырғаларының қиылысуға дейін жалғасуы ұқсас үшбұрыштарды қарастыруға мүмкіндік береді.

13. Тең қабырғалы трапецияға шеңбер сызылған болса, онда трапецияның биіктігі - трапеция табандарының геометриялық орташа көбейтіндісі немесе оның нүктесіне бөлінген бүйірлік кесінділердің геометриялық орташа көбейтіндісінің екі еселенген бөлігі сызылады. байланыс.

9. Трапецияның ауданы

1 . Трапецияның ауданы табандары мен биіктігінің қосындысының жартысының көбейтіндісіне тең С = ½( а + б) hнемесе

П

Трапецияның ауданы трапецияның орта сызығы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең С = м h .

2. Трапецияның ауданы екінші қабырғасының ортасынан бірінші қабырғасы бар түзуге жүргізілген қабырға мен перпендикулярдың көбейтіндісіне тең.

Іштей сызылған шеңбер радиусы тең қабырғалы трапецияның ауданы rжәне негіздегі бұрышα :

10. Қорытынды

ТРАПЕЦА ҚАЙДА, ҚАЛАЙ ЖӘНЕ НЕ ҮШІН ПАЙДАЛАНЫЛАДЫ?

Спорттағы трапеция: Трапеция, әрине, адамзаттың прогрессивті өнертабысы. Ол қолымызды жеңілдетуге, виндсерферде жүруді ыңғайлы және жеңіл етуге арналған. Қысқа тақтада жүру трапециясыз мүлдем мағынасы жоқ, өйткені онсыз қадамдар мен аяқтар арасында тартқышты дұрыс бөлу және тиімді жеделдету мүмкін емес.

Сәндегі трапеция: Киімдегі трапеция орта ғасырларда, 9-11 ғасырлардағы романдық дәуірде танымал болды. Ол кезде әйелдер киімінің негізін еденге арналған туникалар құрады, туника түбіне қарай едәуір кеңейіп, трапеция әсерін тудырды. Тұлпардың жаңғыруы 1961 жылы орын алып, жастардың, тәуелсіздіктің және талғампаздықтың әнұранына айналды. Трапецияның танымал болуында Твигги деген атпен белгілі нәзік модель Лесли Хорнби үлкен рөл атқарды. Анорексикалық дене бітімі мен үлкен көздері бар қысқа бойлы қыз дәуірдің символына айналды, ал оның сүйікті киімдері қысқа трапеция көйлектер болды.

Табиғатта трапеция: Трапеция табиғатта да кездеседі. Адамда трапеция бұлшықеті бар, кейбір адамдарда тұлға трапеция тәрізді. Гүл жапырақшалары, шоқжұлдыздар және, әрине, Килиманджаро тауы да трапеция пішініне ие.

Күнделікті өмірде трапеция: Трапеция күнделікті өмірде де қолданылады, өйткені оның пішіні практикалық. Ол экскаватор шелегі, үстел, бұранда, станок сияқты заттарда кездеседі.

Трапеция - инк сәулетінің символы. Инка сәулетіндегі басым стилистикалық пішін қарапайым, бірақ әдемі, трапеция. Оның функционалдық құндылығы ғана емес, сонымен қатар қатаң шектелген көркем дизайны бар. Трапеция тәрізді есіктер, терезелер және қабырғалық тауашалар барлық типтегі ғимараттарда, ғибадатханаларда да, маңыздылығы аз ғимараттарда да, шикі, былайша айтқанда, ғимараттарда кездеседі. Трапеция заманауи сәулет өнерінде де кездеседі. Ғимараттардың бұл пішіні әдеттен тыс, сондықтан мұндай ғимараттар әрқашан өтіп бара жатқан адамдардың назарын аударады.

Трапеция техникада: Трапеция ғарыш техникасында және авиацияда бөлшектерді жобалауда қолданылады. Мысалы, кейбір күн панельдері ғарыш станцияларыТрапеция пішіні бар, өйткені олардың ауданы үлкен, яғни олар күн сәулесін көбірек жинайды.

21 ғасырда адамдар мағынасы туралы ойланбайды геометриялық фигураларолардың өмірінде. Олар үстелінің, көзілдірігінің немесе телефонының пішіні қандай екенін мүлдем қызықтырмайды. Олар жай ғана практикалық пішінді таңдайды. Бірақ объектінің қолданылуы, оның мақсаты, жұмыс нәтижесі сол немесе басқа заттың формасына байланысты болуы мүмкін. Бүгін біз сіздерді адамзаттың ең үлкен жетістіктерінің бірі – трапециямен таныстырдық. Біз сізге есік аштық керемет дүниефигуралар, сендерге трапецияның құпияларын айтып берді және геометрияның бізді қоршаған екенін көрсетті.

Библиография

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика теориясы мен мәселелері. 1-кітап Оқу құралыүміткерлер үшін M.1998 MPEI баспасы.

Быков А.А., Малышев Г.Ю., ЖОО-ға дейінгі дайындық факультеті. Математика. Оқу құралы 4 бөлім M2004

Гордин Р.К. Планиметрия. Тапсырмалар кітабы.

Иванов А.А.,. Иванов А.П., Математика: Бірыңғай мемлекеттік емтиханға дайындалуға және ЖОО-ға түсуге арналған нұсқаулық-М: MIPT баспасы, 2003-288 жж. ISBN 5-89155-188-3

Пиголкина Т.С., Ресей Федерациясының Білім және ғылым министрлігі федералды мемлекеттік бюджет оқу орны қосымша білім берубалалар «Мәскеу физика-техникалық институтының ZFTSH ( мемлекеттік университеті)". Математика. Планиметрия. 10-сыныптарға арналған No2 тапсырмалар (2012-2013 оқу жылы).

Пиголкина Т.С., Планиметрия (1 бөлім).Талапкердің математикалық энциклопедиясы. М., Ресей ашық университетінің баспасы 1992 ж.

Шарыгин И.Ф. Университеттердегі конкурстық емтихандардың геометриясының таңдамалы есептері (1987-1990) Lvov Quantor журналы 1991 ж.

«Аванта плюс» энциклопедиясы, Математика М., Аванта энциклопедиялары әлемі 2009 ж.

Қолдану

1. Трапецияның кейбір қасиеттерін дәлелдеу.

1. Трапецияның диагональдарының қиылысу нүктесі арқылы табандарына параллель өтетін түзу трапецияның қабырғаларын нүктелерде қиып өтеді.Қ Және Л . Трапецияның табандары тең болатынын дәлелдеңдер А Және б , Бұл сегмент ұзындығы KL трапеция табандарының геометриялық ортасына тең. Дәлелдеу

БолсынТУРАЛЫ - диагональдардың қиылысу нүктесі,AD = а, күн = б . Тікелей KL негізіне параллельAD , демек,Қ ТУРАЛЫ║ AD , үшбұрыштарIN Қ ТУРАЛЫ Жәненашар ұқсас, сондықтан

(1)

(2)

(1) орнына (2) қойсақ, аламыз KO=

Сол сияқты LO= Содан кейін Қ Л = КО + LO =

IN кез келген трапеция туралы, табандардың ортаңғы нүктелері, диагональдардың қиылысу нүктесі және қабырғалардың ұзаруының қиылысу нүктесі бір түзуде жатыр.

Дәлелдеу: қабырғалардың ұзартулары бір нүктеде қиылыссынTO. Нүкте арқылыTO және нүктеТУРАЛЫ диагональды қиылысулартүзу сызық сызыңыз КО.

Қ

Бұл сызық негіздерді екіге бөлетінін көрсетейік.

ТУРАЛЫ тағайындауВ.М = x, MS = у, А.Н = Және, Н.Д = v . Бізде бар:

∆ VKM ~ ∆AKN →

М

x

Б

C

Ы

Анықтама

Трапецияекі қабырғасы параллель, ал қалған екеуі параллель емес $A B C D$ төртбұрышы (1-сурет).

Трапецияның параллель қабырғалары ($B C$ және $A D$) деп аталады трапеция негіздері, параллель емес ($A B$ және $C D$) - жақтары. Бір табанның кез келген нүктесінен екінші табанға немесе оның жалғасына жүргізілген перпендикуляр ($B H$) трапеция биіктігі деп аталады.

трапецияның қасиеті

Бүйір жағына іргелес бұрыштардың қосындысы $180^(\circ)$:

$\бұрыш A+\бұрыш B=180^(\circ), \бұрыш C+\бұрыш D=180^(\circ)$ (1-сурет)

Трапецияның қабырғаларының ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді трапецияның ортаңғы сызығы деп аталады. Трапецияның медианасы табандарына параллель және олардың жарты қосындысына тең:

$$M N=\frac(A D+B C)(2)$$

Барлық трапециялардың ішінен трапециялардың екі арнайы класын таңдауға болады: тікбұрышты және тең қабырғалы трапециялар.

Анықтама

ТікбұрыштыЕгер оның бір бұрышы тік бұрыш болса, трапеция деп аталады.

тең жақтықабырғалары тең болатын трапеция деп аталады.

Тең қабырғалы трапецияның қасиеттері

1. Тең бүйірлі трапецияда табандағы бұрыштар екі-екіден $\angle A=\angle D, \angle B=\angle C$ тең.
2. Тең қабырғалы трапецияның диагональдары $A C=B D$-ға тең.

Тең қабырғалы трапеция белгілері

1. Трапецияның табанындағы бұрыштары тең болса, трапеция тең қабырғалы болады.
2. Егер трапецияның диагональдары тең болса, онда ол тең қабырғалы болады.

Трапеция аймағы:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

мұндағы $a$ және $b$ — трапецияның табандары, ал $h$ — биіктігі.

Есептерді шешу мысалдары

Мысал

Жаттығу.Доғал бұрыштан сызылған тең қабырғалы трапецияның биіктігі табанын ұзындығы 5 см және 11 см кесінділерге бөледі.Трапецияның биіктігі 12 см болса, оның периметрін табыңыз.

Шешім.Сурет салайық (3-сурет)

$ABCD$ - тең қабырғалы трапеция, $BH$ - биіктігі, $BH = 12$ см, $AH = 5$ см, $HD = 11$ см.

$\Delta A B H$ қарастырайық, ол тікбұрышты ($\бұрыш H=90^(\circ)$). Пифагор теоремасы бойынша

$$A B=\sqrt(B H^(2)+A H^(2))$$

бастапқы деректерді алмастыра отырып, аламыз

$A B=\sqrt(12^(2)+5^(2))$

$A B=\sqrt(144+25)=\sqrt(169) \Оң жақ көрсеткі A B=13$ (см)

$A B C D$ трапеция тең қабырғалы болғандықтан, оның қабырғалары тең болады: $A B=C D=13$ см.Трапецияның үлкен табаны мынаған тең: $A D=A H+H D$, $A D=5+11= 16$ (см). Трапецияның кіші табаны болады: $B C=A D-2 A H, B C=16-2 \cdot 5=6$ (см). Трапецияның периметрі:

$P_(A B C D)=A B+B C+C D+A D$

$P_(A B C D)=13+6+13+16$

$P_(A B C D)=48$ (см)

Жауап.$P_(A B C D)=48$ см

Мысал

Жаттығу.Тік бұрышты трапецияда екі кіші қабырғасы 2 дм-ге тең, ал бұрыштардың бірі $45^(\circ)$. Трапецияның ауданын табыңыз.

Шешім.Сурет салайық (4-сурет)

$K L M N$ - тік бұрышты трапеция, $K L=L M=2$ дм, $L K \perp K N$, $\бұрыш M L K=45^(\circ)$. $M$ шыңынан $MP$ биіктігін $KN$ негізіне түсіреміз. $\Delta M N P$ қарастырайық, ол тікбұрышты ($\angle M P N=90^(\circ)$). $\angle M L K=45^(\circ)$ болғандықтан, онда

$\бұрыш N M P=180^(\circ)-\бұрыш M P N-\бұрыш M L K$

$\бұрыш N M P=180^(\circ)-90^(\circ)-45^(\circ)=45^(\circ)$

Сонымен, $\angle M L K=\angle N M P$ және $\Delta M N P$ те тең қабырғалы болады. Демек $M P=P N$. $L K=M P=2$ дм болғандықтан, сондықтан $P N=2$ дм. Үлкенірек база $K N=K P+P N$, $L M=K P$ болғандықтан, $K N=2+2=4$ (дм) аламыз.

Трапецияның ауданы мына формула бойынша есептеледі:

$$S=\frac(a+b)(2) \cdot h$$

Біздің жағдайда ол келесі пішінді алады:

$$S_(K L M N)=\frac(L M+K N)(2) \cdot M P$$

Белгілі мәндерді ауыстырып, аламыз

$S_(K L M N)=\frac(2+4)(2) \cdot 2=6$ (дм 2)

Жауап.$S_(K L M N)=6$ дм 2

Қатысты анықтамалар

Трапеция элементтері

• Параллель қабырғалар деп аталады негіздертрапеция.
• Қалған екі жақ шақырылады жақтары.
• Қабырғалардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді трапецияның ортаңғы сызығы деп аталады.
• Табандар арасындағы қашықтық трапеция биіктігі деп аталады.

Трапецияның түрлері

Тік бұрышты трапеция

Тегіс қабырғалы трапеция

• Қабырғалары тең трапеция деп аталады тең қабырғалынемесе тең қабырғалы.
• Бүйір жағында тік бұрыштары бар трапеция деп аталады тікбұрышты.

Жалпы қасиеттер

• Трапецияның медианасы табандарына параллель және олардың қосындысының жартысына тең.
• Диагональдардың ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді табандарының жартылай айырмасына тең.
• Бұрыштың қабырғаларын қиып өтетін параллель түзулер бұрыштың қабырғаларынан пропорционал кесінділерді кеседі.
• Шеңберді трапецияға сызуға болады, егер трапеция табандарының қосындысы оның қабырғаларының қосындысына тең болса.

Тең қабырғалы трапецияның қасиеттері мен белгілері

• Негіздердің ортаңғы нүктелері арқылы өтетін түзу табандарына перпендикуляр және трапецияның симметрия осі болып табылады.
• Жоғарыдан үлкен негізге түсірілген биіктік оны екі сегментке бөледі, олардың біреуі негіздердің қосындысының жартысына тең, екіншісі негіздердің жартысы айырмашылығына тең.
• Тең қабырғалы трапецияда кез келген табандағы бұрыштар тең.
• Тең қабырғалы трапецияда диагональдардың ұзындықтары тең.
• Егер трапецияны шеңберге сызуға болатын болса, онда ол тең қабырғалы болады.
• Шеңберді тең қабырғалы трапецияның айналасында сызуға болады.
• Егер тең қабырғалы трапецияның диагональдары перпендикуляр болса, онда биіктігі табандарының қосындысының жартысы болады.

Іштей және сызылған шеңбер

Шаршы

Бұл формулалар бірдей, өйткені табандардың жарты қосындысы трапецияның орта сызығына тең.

Шеңберге трапеция сызылған есептерді шешудің бірнеше бағытын қарастырыңыз.

Қай кезде трапецияны шеңберге сызуға болады? Төртбұрышты шеңберге, егер оның қарама-қарсы бұрыштарының қосындысы 180º болса ғана сызуға болады. Демек, осыдан шығады шеңберге тек тең қабырғалы трапецияны жазуға болады.

Трапецияның айналасында сызылған шеңбердің радиусын трапеция диагоналы бойынша бөлінген екі үшбұрыштың біреуінің айналасында сызылған шеңбердің радиусы ретінде табуға болады.

Трапецияның айналасында сызылған шеңбердің центрі қай жерде? Ол трапеция диагоналы мен оның бүйірінің арасындағы бұрышқа байланысты.

Егер трапецияның диагоналы оның бүйір қабырғасына перпендикуляр болса, онда трапецияның айналасында сызылған шеңбердің центрі оның үлкен табанының ортасында жатыр. Бұл жағдайда трапецияның жанында сипатталған шеңбердің радиусы оның үлкен табанының жартысына тең:

Егер трапецияның диагоналы бүйір жағымен сүйір бұрыш түзсе, онда трапецияның айналасында сызылған шеңбердің центрі трапеция ішінде жатыр.

Трапецияның диагоналы бүйір жағымен түзілсе доғал бұрыш, трапецияның айналасында сызылған шеңбердің центрі трапецияның сыртында, үлкен табанның артында жатыр.

Трапецияның айналасында сызылған шеңбердің радиусын синустар теоремасының нәтижесінен табуға болады. ACD үшбұрышынан

ABC үшбұрышынан

Шектелген шеңбердің радиусын табудың тағы бір нұсқасы -

D бұрышының және CAD бұрышының синусын, мысалы, CFD және ACF тікбұрышты үшбұрыштарынан табуға болады:

Шеңберге сызылған трапецияға есептер шығарғанда, іштей сызылған бұрыштың сәйкес орталық бұрыштың жартысына тең екендігін де қолдануға болады. Мысалы,

Айтпақшы, трапецияның ауданын табу үшін COD және CAD бұрыштарын пайдалануға болады. Төртбұрыштың ауданын оның диагональдары арқылы табу формуласы бойынша

Сондықтан біз олардың біреуін шақырамыз үлкен , екінші - шағын негіз трапеция. Биіктігі трапецияны төбелерден сәйкес қарсы жаққа жүргізілген перпендикулярдың кез келген кесіндісі деп атауға болады (әр төбе үшін екі қарама-қарсы жағы бар), алынған төбе мен қарама-қарсы жақтың арасына қоршалған. Бірақ биіктіктің «ерекше түрін» бөліп көрсетуге болады.
Анықтама 8. Трапецияның табанының биіктігі деп табандарының арасына салынған табандарына перпендикуляр түзу сызықтың кесіндісін айтады.
Теорема 7 . Трапецияның медианасы табандарына параллель және олардың қосындысының жартысына тең.
Дәлелдеу. ABCD трапециясы мен медианасы KM берілсін. В және М нүктелері арқылы түзу жүргізіңіз. AD қабырғасын D нүктесі арқылы BM-мен қиылысқанша жалғастырамыз. BCm және MPD үшбұрыштары бүйірлері мен екі бұрыштары бойынша тең (CM=MD, ∠ BCM=∠ MDP - қабаттасу, ∠ BMC=∠ DMP - тік), сондықтан VM=MP немесе М нүктесі BP ортасы болып табылады. KM – ABP үшбұрышының орта сызығы. Үшбұрыштың ортаңғы сызығының қасиеті бойынша KM AP параллель және атап айтқанда AD және AP жартысына тең:

Теорема 8 . Диагональдар трапецияны төрт бөлікке бөледі, олардың екеуі қабырғаларына іргелес, тең.
Естеріңізге сала кетейін, фигуралардың ауданы бірдей болса, олар тең деп аталады. ABD және ACD үшбұрыштарының ауданы тең және бар тең биіктіктер(сары түспен көрсетілген) және жалпы негіз. Бұл үшбұрыштарда AOD ортақ бөлігі бар. Олардың аумағын келесідей кеңейтуге болады:

Трапецияның түрлері:
Анықтама 9. (1-сурет) Сүйір бұрышты трапеция - үлкен табанына іргелес бұрыштары сүйір болатын трапеция.
Анықтама 10. (2-сурет) Доғал трапеция деп үлкен табанына іргелес жатқан бұрыштардың бірі доғал болатын трапецияны айтады.
Анықтама 11. (4-сурет) Трапецияның бір жағы табандарына перпендикуляр болатын тікбұрышты деп аталады.
Анықтама 12. (3-сурет) Тең бүйірлілер (тең қабырғалы, тең қабырғалы) трапеция, оның қабырғалары тең.

Тең қабырғалы трапецияның қасиеттері:
10-теорема . Тең қабырғалы трапецияның табандарының әрқайсысына іргелес жатқан бұрыштар тең.
Дәлелдеу. Мысалы, ABCD тең қабырғалы трапецияның үлкен AD табанымен A және D бұрыштарының теңдігін дәлелдейміз. Ол үшін С нүктесі арқылы АВ бүйір қабырғасына параллель түзу жүргіземіз. Ол үлкен негізді M нүктесінде қиып өтеді. ABCM төртбұрышы параллелограмм, өйткені құрылысы бойынша оның екі жұп параллель жақтары бар. Демек, трапеция ішінде қоршалған секант сызығының СМ кесіндісі оның бүйір жағына тең: CM=AB. Осыдан CM=CD, CMD үшбұрышы тең қабырғалы, ∠CMD=∠CDM, демек, ∠A=∠D екені анық.Кіші табанға іргелес бұрыштар да тең, өйткені ішкі бір жақты табылғандарға арналған және қосындысы екі жолды құрайды.
Теорема 11 . Тең қабырғалы трапецияның диагональдары тең.
Дәлелдеу. ABD және ACD үшбұрыштарын қарастырайық. Ол екі жағында және олардың арасындағы бұрышта тең (AB=CD, AD ортақ, А және D бұрыштары 10 теорема бойынша тең). Сондықтан AC=BD.

13-теорема . Тең қабырғалы трапецияның диагональдары қиылысу нүктесі арқылы сәйкесінше тең кесінділерге бөлінеді. ABD және ACD үшбұрыштарын қарастырайық. Ол екі жағында және олардың арасындағы бұрышта тең (AB=CD, AD ортақ, А және D бұрыштары 10 теорема бойынша тең). Демек, ∠ ОАД=∠ ОДА, демек ОВС және OSV бұрыштары сәйкесінше қабаттасатын ODA және ОАД бұрыштары сияқты тең. Теореманы еске түсірейік: егер үшбұрыштың екі бұрышы тең болса, онда ол тең қабырғалы, сондықтан ОВС және ОАД үшбұрыштары тең қабырғалы, бұл OS=OB және ОА=OD, т.б.
Тең қабырғалы трапеция – симметриялы фигура.
Анықтама 13. Тең қабырғалы трапецияның симметрия осі оның табандарының орта нүктелері арқылы өтетін түзу деп аталады.
Теорема 14 . Тең қабырғалы трапецияның симметрия осі оның табандарына перпендикуляр.
9-теоремада трапеция табандарының ортаңғы нүктелерін қосатын түзу диагональдардың қиылысу нүктесі арқылы өтетінін дәлелдедік. Әрі қарай (13-теорема) біз AOD және BOC үшбұрыштарының тең қабырғалы екенін дәлелдедік. OM және OK анықтамасы бойынша сәйкесінше осы үшбұрыштардың медианалары болып табылады. Тең қабырғалы үшбұрыштың қасиетін еске түсірейік: табанына түсірілген тең қабырғалы үшбұрыштың медианасы да үшбұрыштың биіктігі болып табылады. KM түзуінің бөліктерінің табандарының перпендикулярлығына байланысты симметрия осі табандарына перпендикуляр болады.
Барлық трапециялардан тең қабырғалы трапецияны ажырататын белгілер:
Теорема 15 . Егер трапеция табандарының біріне іргелес жатқан бұрыштар тең болса, онда трапеция тең қабырғалы болады.
Теорема 16 . Егер трапецияның диагональдары тең болса, онда трапеция тең қабырғалы болады.
Теорема 17 . Егер трапецияның қиылысына дейін созылған бүйір қабырғалары оның үлкен табанымен бірге тең қабырғалы үшбұрышты құраса, онда трапеция тең қабырғалы болады.
18-теорема . Егер трапецияны шеңберге сызуға болатын болса, онда ол тең қабырғалы болады.
Тік бұрышты трапецияның белгісі:
Теорема 19 . Көршілес төбелерінде тек екі тік бұрышы бар кез келген төртбұрыш тік бұрышты трапеция (екі қабырғасы параллель болатыны анық, өйткені бір жақты тең. үш тік бұрыш тік төртбұрыш болған жағдайда)
20-теорема . Трапецияға сызылған шеңбердің радиусы табан биіктігінің жартысына тең.
Бұл теореманың дәлелі табандарына түсірілген радиустар трапецияның биіктігінде жататынын түсіндіру болып табылады. Осы трапецияға сызылған ABCD шеңберінің центрі О нүктесінен оның трапеция табандарымен жанасу нүктелеріне радиустарды саламыз. Өздеріңіз білетіндей, жанасу нүктесіне түсірілген радиус жанамаға перпендикуляр, сондықтан OK ^ BC және OM ^ AD. Теореманы еске түсірейік: егер түзу параллель түзулердің біріне перпендикуляр болса, онда ол екіншісіне де перпендикуляр болады. Демек, ОК түзуі де AD-ге перпендикуляр. Сонымен, О нүктесі арқылы AD түзуіне перпендикуляр екі түзу өтеді, ол болуы мүмкін емес, сондықтан бұл түзулер сәйкес келеді және екі радиустың қосындысына тең және сызылған шеңбердің диаметрі болатын ортақ перпендикуляр КМ құрайды, сондықтан r=KM/2 немесе r=h/ 2.
21-теорема . Трапецияның ауданы табандарының қосындысының жартысы мен табан биіктігінің көбейтіндісіне тең.

Дәлелдеу: ABCD берілген трапеция, ал AB және CD оның табандары болсын. А нүктесінен CD сызығына түсірілген биіктік AH болсын. Сонда S ABCD = S ACD + S ABC.
Бірақ S ACD = 1/2AH CD және S ABC = 1/2AH AB.
Демек, S ABCD = 1/2AH (AB + CD).
Q.E.D.

Екінші формула төртбұрыштан жылжыды.