Медиана дегеніміз не. abc үшбұрышының негізгі элементтері. Үшбұрыштың орта сызығының қасиеті

Үшбұрыштың қабырғаларындағы медиананы табу үшін қосымша формуланы жаттау қажет емес. Шешу алгоритмін білу жеткілікті.

Алдымен мәселені жалпы түрде қарастырайық.

Қабырғалары a, b, c болатын үшбұрыш берілген. b жағына түсірілген медиананың ұзындығын табыңыз.

AB=a, AC=b, BC=c.

BF сәулесінде FD, FD=BF кесіндісін шетке қоямыз.

D нүктесін А және С нүктелерімен қосамыз.

ABCD төртбұрышы - параллелограмм (ерекшелік бойынша), өйткені оның қиылысу нүктесіндегі диагональдары екіге бөлінген.

Параллелограммның диагональдарының қасиеті: параллелограммның диагональдарының квадраттарының қосындысы оның қабырғаларының квадраттарының қосындысына тең.

Демек: AC²+BD²=2(AB²+BC²), сондықтан b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Құрылысы бойынша BF BD жартысы, сондықтан,

Бұл үшбұрыштың қабырғалары бойынша медианасын табу формуласы. Ол әдетте былай жазылады:

Нақты мәселеге көшейік.

Үшбұрыштың қабырғалары 13 см, 14 см және 15 см.Үшбұрыштың орташа ұзындық қабырғасына сызылған медианасын табыңыз.

Ұқсас дәлелдерді қолданып, біз мынаны аламыз:

AC²+BD²=2(AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Үшбұрыштың медианасы биіктігі сияқты бүкіл үшбұрышты, оның қабырғалары мен бұрыштарының мәнін анықтайтын графикалық параметр қызметін атқарады. Үш мән: медианалар, биіктіктер және биссектрисалар - бұл өнімдегі штрих-код сияқты, біздің міндетіміз тек оны санай білу.

Анықтама

Медиана - қарама-қарсы жақтың биіктігі мен ортасын қосатын кесінді. Үшбұрыштың үш төбесі, демек үш медианасы бар. Медиандар әрқашан биіктікке немесе биссектрисаға сәйкес келмейді. Көбінесе бұл бөлек сегменттер.

Медиандық қасиеттер

• Тең қабырғалы үшбұрыштың табанына түсірілген медианасы биіктігі мен биссектрисасына сәйкес келеді. IN тең қабырғалы үшбұрышбарлық медианалар биссектрисалармен және биіктіктермен сәйкес келеді.
• Үшбұрыштың барлық медианалары бір нүктеде қиылысады.
• Медиана үшбұрышты екі тең үшбұрышқа, ал үш медиана 6 тең үшбұрышқа бөледі.

Тең аудандар — аудандары тең үшбұрыштар.

Күріш. 1. Үш медиана тең 6 үшбұрыш құрайды.

• Медианалардың қиылысу нүктесі оларды жоғарыдан санайтын 2:1 қатынасында бөледі.
• Тік бұрышты үшбұрыштың гипотенузасына түсірілген медиана гипотенузаның жартысы.

Тапсырмалар

Барлық осы қасиеттерді есте сақтау оңай, олар іс жүзінде оңай бекітіледі. Тақырыпты жақсырақ түсіну үшін біз бірнеше мәселелерді шешеміз:

• Тікбұрышты үшбұрышта а=3 және b=4 тең катеттері белгілі. Гипотенузаға c түсірілген m медианасының мәнін табыңыз.

Күріш. 2. Есептің суреті.

Медиананың мәнін табу үшін гипотенузаны табу керек, өйткені гипотенузаға түсірілген медиана оның жартысына тең. Пифагор теоремасы арқылы гипотенуза: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Медиананың мәнін табыңыз: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2,5$$ - алынған сан медиананың мәні.

Үшбұрыштағы медиана мәндері тең емес. Сондықтан дәл қандай құндылықты табу керек екенін елестету керек.

• Үшбұрышта қабырғалардың мәндері белгілі: a=7; b=8; c=9. b жағына қарай медиананың мәнін табыңыз.

Күріш. 3. Есептің суреті.

Бұл мәселені шешу үшін үшбұрыштың қабырғалары бойынша медиананы табу үшін үш формуланың бірін пайдалану керек:

$$m^2 =(1\2 астам)*(a^2+c^2-b^2)$$

Көріп отырғаныңыздай, мұнда ең бастысы - жақшадағы коэффициентті және жақтардың мәндерінің белгілерін есте сақтау. Белгілерді есте сақтау ең оңай - медиана төмендетілген жағы әрқашан алынып тасталады. Біздің жағдайда бұл b, бірақ ол кез келген басқа болуы мүмкін.

Мәндерді формулаға ауыстырып, медианалық мәнді табыңыз: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - нәтижені түбір ретінде қалдырыңыз.

• IN тең қабырғалы үшбұрыштабанға түсірілген медиана 8, ал табанның өзі 6. Қалған екеуімен бірге бұл медиана үшбұрышты 6 үшбұрышқа бөледі. Олардың әрқайсысының ауданын табыңыз.

Медиандар үшбұрышты тең алтыға бөледі. Бұл кіші үшбұрыштардың аудандары бір-біріне тең болады дегенді білдіреді. Үлкенінің ауданын тауып, оны 6-ға бөлу жеткілікті.

Табанға түсірілген медиананы ескере отырып, тең қабырғалы үшбұрышта ол биссектриса және биіктік болады. Сонымен үшбұрыштың табаны мен биіктігі бар. Сіз аумақты таба аласыз.

$$S=(1\2 астам)*6*8=24$$

Әрбір кішкентай үшбұрыштың ауданы: $$(24\6)=4$$

Біз не үйрендік?

Біз медиананың не екенін білдік. Медиананың қасиеттерін анықтадық және типтік есептердің шешімін таптық. Біз негізгі қателер туралы әңгімелестік және үшбұрыштың қабырғалары арқылы медиананы табу формуласын қалай тез және оңай есте сақтау керектігін анықтадық.

Тақырыптық викторина

Мақаланың рейтингі

Орташа рейтинг: 4.7. Алынған жалпы рейтингтер: 84.

Мектеп оқушыларының Гомель ғылыми-тәжірибелік конференциясы математика, оның қолданылуы және ақпараттық технология«Іздеу»

Тақырып бойынша реферат:

«Үшбұрыштың медианалары»

Оқушылар:

9" сынып жағдайы

оқу орындары

«Гомель қаласы

№14 көпсалалы гимназия»

Морозова Элизабет

Ходосовской Алеся

Ғылыми жетекші-

Математика мұғалімі жоғары санат

Сафонова Алла Викторовна

Гомель 2009 ж

Кіріспе

1. Үшбұрыштың медианалары және олардың қасиеттері

2. Неміс математигі Г.Лейбництің ашылуы

3. Медианалардың қолданылуы математикалық статистика

4. Тетраэдрдің медианалары

5. Медиана теоремасының алты дәлелі

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер мен әдебиеттер тізімі

Қолдану

Кіріспе

Геометрия үшбұрыштан басталады. Екі мыңжылдық бойы үшбұрыш геометрияның символы болғанымен, символ емес. Үшбұрыш – геометрияның атомы.

Үшбұрыш таусылмас – оның жаңа қасиеттері үнемі ашылып отырады. Оның барлық белгілі қасиеттері туралы айту үшін көлемі жағынан Ұлы энциклопедияның көлемімен салыстырылатын көлем керек. Біз үшбұрыштың медианасы және оның қасиеттері, сондай-ақ медианалардың қолданылуы туралы айтқымыз келеді.

Біріншіден, үшбұрыштың медианасы үшбұрыштың төбелерін қарама-қарсы қабырғасының ортасымен қосатын кесінді екенін есте сақтаңыз. Медианалардың көптеген қасиеттері бар. Бірақ біз оның бір қасиеті мен 6 түрлі дәлелін қарастырамыз. Үш медиана бір нүктеде қиылысады, ол центроид (масса центрі) деп аталады және 2:1 қатынасында бөлінеді.

Үшбұрыштың ғана емес, тетраэдрдің де медианасы бар. Тетраэдр төбесін қарама-қарсы жақтың центроидімен (медианалардың қиылысу нүктесі) қосатын кесінді тетраэдрдің медианасы деп аталады. Тетраэдрдің медианалық қасиетін де қарастырамыз.

Медиандар математикалық статистикада қолданылады. Мысалы, кейбір сандар жиынының орташа мәнін табу.

1. Үшбұрыштың медианалары және олардың қасиеттері

Өздеріңіз білетіндей, үшбұрыштың медианалары оның төбелерін қарама-қарсы қабырғаларының ортаңғы нүктелерімен қосатын кесінділер болып табылады. Барлық үш медиана бір нүктеде қиылысады және оны 1:2 қатынасында бөледі.

Медианалардың қиылысу нүктесі де үшбұрыштың ауырлық центрі болып табылады. Егер сіз картон үшбұрышын оның медианаларының қиылысу нүктесіне іліп қойсаңыз, онда ол тепе-теңдік күйде болады.

Бір қызығы, әрбір үшбұрыш медианаларына бөлінген барлық алты үшбұрыштың аудандары бірдей.

Үшбұрыштың қабырғалары бойынша медианалары келесідей өрнектеледі:

Егер екі медиана перпендикуляр болса, онда олар түсірілген қабырғалардың квадраттарының қосындысы үшінші қабырғасының квадратынан 5 есе көп болады.

Қабырғалары осы үшбұрыштың медианаларына тең үшбұрыш саламыз, сонда салынған үшбұрыштың медианалары бастапқы үшбұрыштың қабырғаларының 3/4 бөлігіне тең болады.

Бұл үшбұрыш бірінші, оның медианаларынан алынған үшбұрыш - екінші, екіншінің медианаларынан алынған үшбұрыш - үшінші және т.б. деп аталады. Содан кейін тақ сандары бар үшбұрыштар (1,3, 5, 7,...) бір-біріне ұқсас және жұп сандары бар үшбұрыштар (2, 4, 6, 8,...) да бір-біріне ұқсас.

Үшбұрыштың барлық медианаларының ұзындықтарының квадраттарының қосындысы оның қабырғаларының ұзындықтарының квадраттарының қосындысының ¾-іне тең.

2. Неміс математигі Г.Лейбництің ашылуы

атақты неміс математигі Г.Лейбниц тамаша фактіні ашты: жазықтықтың ерікті нүктесінен осы жазықтықта жатқан үшбұрыштың төбелеріне дейінгі квадраттық қашықтықтардың қосындысы медианалардың қиылысу нүктесінен оның төбелеріне дейінгі квадраттық қашықтықтардың қосындысына тең. медианалардың қиылысу нүктесінен таңдалған нүктеге дейінгі қашықтықтың үш еселенген квадраты.

Осы теоремадан шығатыны, берілген үшбұрыштың төбелеріне дейінгі квадраттық қашықтықтардың қосындысы минималды болатын жазықтықтағы нүкте осы үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі болып табылады.

Бұл ретте үшбұрыштың төбелеріне дейінгі қашықтықтардың (олардың квадраттарына емес) ең аз қосындысы, егер үшбұрыштың бұрыштарының ешқайсысы болмаса, үшбұрыштың әрбір жағы 120° бұрышпен көрінетін нүкте үшін болады. үшбұрыш 120°-тан үлкен (Ферма нүктесі) және шыңы үшін доғал бұрыш 120°-тан жоғары болса.

Лейбниц теоремасы мен алдыңғы тұжырымнан қашықтықты табу оңай dмедианалардың қиылысу нүктесінен шектелген шеңбердің центріне дейін. Шынында да, бұл қашықтық, Лейбниц теоремасы бойынша, сызылған шеңбердің центрінен үшбұрыштың төбелеріне дейінгі квадраттық қашықтықтардың қосындысы мен қосындысының айырмасының үштен бірінің квадрат түбіріне тең.

Медианалардың қиылысу нүктесінен үшбұрыштың төбелеріне дейінгі квадраттық қашықтық. Біз мұны түсінеміз

Нүкте МАВС үшбұрышының медианаларының қиылысы векторларының қосындысы болатын үшбұрыштың жалғыз нүктесі магистратура,МБжәне MSнөлге тең. Нүкте координаттары М(еркін осьтерге қатысты) үшбұрыш төбелерінің сәйкес координаталарының арифметикалық ортасына тең. Бұл тұжырымдардан медианалық теореманың дәлелін алуға болады.

3. Математикалық статистикада медианалардың қолданылуы

Медиандар тек геометрияда ғана емес, математикалық статистикада да бар. Кейбір сандар жиынының орташа мәнін табу қажет болсын

Бірақ кейде бұл ыңғайсыз. Мәскеудегі екінші сынып оқушыларының орташа бойын анықтау керек делік. Кездейсоқ 100 оқушыдан сауалнама алып, бойларын жазып алайық. Егер жігіттердің бірі қалжыңдап оның биіктігі километрге тең десе, онда жазылған сандардың орташа арифметикалық мәні тым үлкен болады. Орташа деп қабылдаған әлдеқайда жақсы медианасандар

Сандардың тақ саны бар деп есептеп, оларды кемімейтін ретпен орналастырайық. Ортадағы сан жиынның медианасы деп аталады. Мысалы, 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 сандар жиынының медианасы 2 (ал орташа арифметикалық мәні әлдеқайда үлкен – 6).

4. Тетраэдрдің медианалары

Үшбұрыш үшін ғана емес, тетраэдр үшін де медианалар туралы айтуға болады екен. Тетраэдр төбесін қарама-қарсы беттің центроидімен (медианалардың қиылысу нүктесі) қосатын кесінді деп аталады. медианатетраэдр. Үшбұрыштың медианалары сияқты, тетраэдрдің медианалары бір нүктеде, тетраэдрдің масса центрінде немесе центроидында қиылысады, бірақ олардың сол нүктеде бөлінетін қатынасы әртүрлі – төбелерінен санағанда 3:1. Бір нүкте тетраэдрдің қарама-қарсы шеттерінің ортаңғы нүктелерін, оның бимедиандарын қосатын барлық кесінділерде жатыр және оларды екіге бөледі. Мұны, мысалы, тетраэдрдің төрт төбесінің әрқайсысына бірлік массасының салмақтарын қою арқылы механикалық ойлардан дәлелдеуге болады.

5. Медиана теоремасының алты дәлелі

Әртүрлі есептерді шешудің бір түрімен танысқаннан гөрі, бір есептің әртүрлі шешімдерімен танысу пайдалырақ екені бұрыннан айтылып келеді. Элементар геометрияның көптеген басқа классикалық теоремалары сияқты бірнеше нұсқаушы дәлелдерді қабылдайтын теоремалардың бірі болып табылады.

Үшбұрыштың медианалық теоремасы. Үшбұрыштың медианалары, В және СABCқандай да бір M нүктесінде қиылысады және олардың әрқайсысына қатысты осы нүктеге бөлінеді 2:1, жоғарыдан санау:AM: М= Б.М: М= СМ: М=2. (1)

Төменде келтірілген барлық дәлелде, алтыншыдан басқа, біз тек соны ғана анықтаймыз В медианасы А медианасын қатынаста бөлетін М нүктесі арқылы өтеді 2:1. Егер сәйкес аргументте сегментті ауыстырамыз INсегмент үшін МЕН,сосын аламыз МЕНарқылы өтеді М.Бұл барлық үш медиананың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдейді М,және АМ:М - 2.Барлық медианалар тең болғандықтан, біз ауыстыра аламыз Ақосулы INнемесе SS 1демек (1) келесідей болады.

Тақырыпты оқу кезінде мектеп курсышешу әдістерін игеріп, студенттер оқытылатын тақырыпқа арналған бағдарламалық талаптар деңгейінде кез келген тапсырманы шеше алатын тапсырмалардың белгілі минимумын таңдауға болады. Мектеп математика курсының жеке тақырыптарының арасындағы байланысты көруге мүмкіндік беретін тапсырмаларды қарастыруды ұсынамын. Сондықтан тапсырмалардың құрастырылған жүйесі болып табылады тиімді құралқайталау, жалпылау және жүйелеу оқу материалыстуденттерді емтиханға дайындауда.

Емтиханнан өту үшін үшбұрыштың кейбір элементтері туралы қосымша ақпарат артық болмайды. Үшбұрыштың медианасының қасиеттерін және осы қасиеттерді қолдануға болатын есептерді қарастырыңыз. Ұсынылған тапсырмалар деңгейлік саралау принципін жүзеге асырады. Барлық тапсырмалар шартты түрде деңгейлерге бөлінеді (деңгей әр тапсырмадан кейін жақшада көрсетіледі).

Үшбұрыштың медианасының кейбір қасиеттерін еске түсіріңіз

Мүлік 1. Үшбұрыштың медианасы екенін дәлелдеңдер ABCжоғарыдан тартылған А, жақтардың қосындысының жартысынан аз ABЖәне AC.

Дәлелдеу

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Мүлік 2. Медиана үшбұрышты екі бірдей аймаққа кеседі.

Дәлелдеу

ABC үшбұрышының В төбесінен BD медианасын және BE биіктігін сызыңыз..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

BD сегменті медиана болғандықтан

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Мүлік 4. Үшбұрыштың медианалары үшбұрышты ауданы бірдей 6 үшбұрышқа бөледі.

Дәлелдеу

АВС үшбұрышын медианалары бөлетін алты үшбұрыштың әрқайсысының ауданы АВС үшбұрышының ауданына тең екенін дәлелдейміз. Ол үшін, мысалы, AOF үшбұрышын қарастырып, А шыңынан BF түзуіне перпендикуляр AK түсіреміз.

2-мүлікке байланысты,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Мүлік 6. Тік бұрыштың төбесінен жүргізілген тікбұрышты үшбұрыштың медианасы гипотенузаның жартысына тең.

Дәлелдеу

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Салдары:1. Тік бұрышты үшбұрышқа сызылған шеңбердің центрі гипотенузаның ортасында жатыр.

2. Егер үшбұрышта медиананың ұзындығы ол жүргізілген қабырғасының ұзындығының жартысына тең болса, онда бұл үшбұрыш тікбұрышты үшбұрыш болады.

Тапсырмалар

Әрбір келесі мәселені шешу кезінде дәлелденген қасиеттер қолданылады.

№1 Тақырыптар: Медианды екі еселеу. Күрделілігі: 2+

Параллелограмның ерекшеліктері мен қасиеттері Класстары: 8,9

Шарт

Медиананың жалғасы туралы AMүшбұрыш ABCнүктеге Мсегмент кейінге қалдырылды MD, тең AM. Төртбұрыш екенін дәлелдеңдер ABDC- параллелограмм.

Шешім

Параллелограмның бір белгісін қолданайық. Төртбұрыштың диагональдары ABDCнүктеде қиылысады Мжәне оны екіге бөліңіз, сондықтан төртбұрыш ABDC- параллелограмм.

Үшбұрыш медианасыүшбұрыштың төбесін осы үшбұрыштың қарама-қарсы қабырғасының ортасымен қосатын кесінді.

Үшбұрыштың медианалық қасиеттері

1. Медиана үшбұрышты ауданы бірдей екі үшбұрышқа бөледі.

2. Үшбұрыштың медианалары бір нүктеде қиылысады, ол олардың әрқайсысын 2:1 қатынасында жоғарыдан санап бөледі. Бұл нүкте үшбұрыштың ауырлық центрі (центроид) деп аталады.

3. Бүкіл үшбұрышты медианалары бойынша тең алты үшбұрышқа бөледі.

Бүйірге түсірілген медиананың ұзындығы: ( doc параллелограммға дейін салу және параллелограммдағы қабырғалардың квадраттарының қосындысының және диагональдардың квадраттарының қосындысының екі еселенген теңдігін пайдалану арқылы )

T1.Үшбұрыштың үш медианасы олардың әрқайсысын үшбұрыштың төбелерінен бастап санайтын 2:1 қатынасында бөлетін бір М нүктесінде қиылысады. Берілген: ∆ abc, SS 1, AA 1, BB 1 – медианалар
∆ABC. Дәлелдеу: және

D-in: ABC үшбұрышының CC 1 , AA 1 медианаларының қиылысу нүктесі M болсын. Ескерту A 2 – AM сегментінің ортасы және С 2 – CM сегментінің ортасы. Сонда A 2 C 2 үшбұрыштың орта сызығы болады AMS.білдіреді, A 2 C 2|| AC

және A 2 C 2 \u003d 0,5 * айнымалы ток. МЕН 1 А 1 ABC үшбұрышының орта сызығы. Сонымен А 1 МЕН 1 || AC және А 1 МЕН 1 \u003d 0,5 * айнымалы ток.

төртбұрыш A 2 C 1 A 1 C 2- параллелограмм, өйткені оның қарама-қарсы қабырғалары А 1 МЕН 1 Және A 2 C 2тең және параллель. Демек, A 2 M =М.А 1 Және C 2 M =ХАНЫМ 1 . Бұл ұпай дегенді білдіреді А 2Және Ммедиананы бөліңіз AA 2үш тең ​​бөлікке, яғни AM = 2MA 2. Сол сияқты CM = 2MC 1 . Сонымен, екі медиананың қиылысуының М нүктесі AA 2Және CC2 ABC үшбұрышы олардың әрқайсысын үшбұрыштың төбелерінен бастап санайтын 2:1 қатынасында бөледі. Дәл осыған ұқсас, AA 1 және BB 1 медианаларының қиылысу нүктесі олардың әрқайсысын үшбұрыштың төбелерінен бастап есептегенде 2:1 қатынасында бөлетіні дәлелденді.

AA 1 медианасында мұндай нүкте М нүктесі, демек нүкте Мжәне AA 1 және BB 1 медианаларының қиылысу нүктесі бар.

Осылайша, n

T2.Центроидты үшбұрыштың төбелерімен қосатын кесінділер оны тең үш бөлікке бөлетінін дәлелдеңдер. Берілген: ∆ABC , оның медианалары болып табылады.

Дәлелдеу: S AMB =S BMC =S-AMC.Дәлелдеу. IN,олардың ортақтығы бар. өйткені олардың негіздері тең және жоғарыдан сызылған биіктік М,олардың ортақтығы бар. Содан кейін

Сол сияқты, бұл дәлелденген S AMB = S AMC.Осылайша, S AMB = S AMC = S CMB.n

Үшбұрыштың биссектрисасы.Үшбұрыштың биссектрисаларына байланысты теоремалар. Биссектрисаларды табу формулалары

Бұрыш биссектрисасыБұрыштың төбесінен басталып, бұрышты екі тең бұрышқа бөлетін сәуле.

Бұрыштың биссектрисасы деп бұрыштың қабырғаларынан бірдей қашықтықта орналасқан бұрыштың ішіндегі нүктелердің локусын айтады.

Қасиеттер

1. Биссектриса теоремасы: Үшбұрыштың ішкі бұрышының биссектрисасы қарама-қарсы қабырғасын көршілес екі қабырғасының қатынасына тең қатынасқа бөледі.

2. Үшбұрыштың ішкі бұрыштарының биссектрисалары бір нүктеде – центр – осы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрінде қиылысады.

3. Егер үшбұрыштың екі биссектрисасы тең болса, онда үшбұрыш тең ​​қабырғалы болады (Штайнер-Лемус теоремасы).

Биссектрисаның ұзындығын есептеу

l c - c жағына жүргізілген биссектрисаның ұзындығы,

a,b,c - сәйкесінше A,B,C төбелеріне қарсы үшбұрыш қабырғалары,

p - үшбұрыштың жарты периметрі,

a l ,b l - l c биссектрисасы c қабырғасын бөлетін кесінділердің ұзындықтары,

α,β,γ – үшбұрыштың ішкі бұрыштары шыңдары A,B,Cтиісінше,

h c - c жағына түсірілген үшбұрыштың биіктігі.

аумақ әдісі.

Әдіс сипаттамасы.Атауынан бұл әдістің негізгі объектісі аймақ екені шығады. Бірқатар фигуралар үшін, мысалы, үшбұрыш үшін аудан фигураның (үшбұрыш) элементтерінің әртүрлі комбинациялары арқылы қарапайым түрде көрсетіледі. Сондықтан, берілген фигураның ауданы үшін әртүрлі өрнектерді салыстырған кезде әдіс өте тиімді. Бұл жағдайда фигураның белгілі және қажетті элементтерін қамтитын теңдеу пайда болады, оны шешу арқылы белгісізді анықтаймыз. Міне, аудан әдісінің басты ерекшелігі осы жерде көрінеді - геометриялық есептен бастап ол теңдеуді (кейде теңдеулер жүйесін) шешуге дейін барлығын қысқартып, алгебралық есептерді «жасады».

1) Салыстыру әдісі: бірдей фигуралардың S формулаларының көп санымен байланысты

2) S қатынас әдісі: келесі анықтамалық тапсырмаларға негізделген:

Цева теоремасы

Үшбұрыштың BC,CA,AB түзулерінде А,В,С» нүктелері жатсын.AA,BB,CC» түзулері бір нүктеде қиылысады, егер және

Дәлелдеу.

және кесінділерінің қиылысу нүктесімен белгілеңіз. С және А нүктелерінен BB 1 түзуіне перпендикулярларды олар сәйкесінше K және L нүктелерінде қиылысқанша түсірейік (суретті қараңыз).

Үшбұрыштар және ортақ қабырғасы болғандықтан, олардың аудандары осы жаққа сызылған биіктіктермен байланысты, яғни. AL және CK:

Соңғы теңдік дұрыс, өйткені тікбұрышты үшбұрыштар сүйір бұрыштары бойынша ұқсас.

Сол сияқты біз де аламыз Және

Осы үш теңдікті көбейтейік:

Q.E.D.

Түсініктеме. Үшбұрыштың төбесін қарама-қарсы жағында жатқан нүктемен немесе оның жалғасын қосатын кесінді (немесе кесіндінің жалғасы) цевиана деп аталады.

теорема ( қарама-қарсы теорема Chevy). A,B,C» нүктелері АВС үшбұрышының сәйкесінше ВС,СА және АВ қабырғаларында жатсын.Қатынас орындалсын.

Содан кейін AA», BB, CC» кесінділері бір нүктеде қиылысады.

Менелай теоремасы

Менелай теоремасы. Түзу АВС үшбұрышын қиылысатын болсын, мұндағы С 1 оның АВ қабырғасымен қиылысу нүктесі, А 1 оның ВС қабырғасымен қиылысу нүктесі, В 1 - АС қабырғасының созылуымен қиылысу нүктесі. Содан кейін

Дәлелдеу . С нүктесі арқылы АВ-ға параллель түзу жүргізіңіз. Оның B 1 C 1 түзуімен қиылысу нүктесін K арқылы белгілеңіз.

AC 1 B 1 және CKB 1 үшбұрыштары ұқсас (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Демек,

BC 1 A 1 және CKA 1 үшбұрыштары да ұқсас (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). білдіреді,

Әрбір теңдіктен CK көрсетеміз:

Қайда Q.E.D.

Теорема (Менелайдың кері теоремасы). ABC үшбұрышы берілсін. С 1 нүктесі АВ қабырғасында, А 1 нүктесі ВС қабырғасында, ал В 1 нүктесі АС қабырғасының созылуында жатсын және қатынас

Сонда A 1 ,B 1 және C 1 нүктелері бір түзудің бойында жатыр.