Пирамида фигурасы. Геометриялық фигуралар. Пирамида. Тұрақты пирамиданың қасиеттері

Гипотеза:пирамида пішінінің жетілуіне байланысты деп есептейміз математикалық заңдароның пішініне енгізілген.

Мақсат:пирамиданы геометриялық дене ретінде зерттеп, оның пішінінің кемелдігін түсіндіру.

Тапсырмалар:

1. Пирамиданың математикалық анықтамасын беріңіз.

2. Пирамиданы геометриялық дене ретінде зерттеңіз.

3. Мысырлықтар өздерінің пирамидаларына қандай математикалық білімді салғанын түсініңіз.

Жеке сұрақтар:

1. Геометриялық дене ретінде пирамида дегеніміз не?

2. Пирамиданың ерекше пішінін математикалық түрде қалай түсіндіруге болады?

3. Пирамиданың геометриялық ғажайыптары немен түсіндіріледі?

4. Пирамида пішінінің жетілгендігі немен түсіндіріледі?

Пирамиданың анықтамасы.

ПИРАМИДА (грек тілінен пирамида, тұқымдас n. pyramidos) - көпбұрыш, оның негізі көпбұрыш, ал қалған беттері ортақ төбесі бар үшбұрыштар (сурет). Негіздің бұрыштарының саны бойынша пирамидалар үшбұрышты, төртбұрышты және т.б.

ПИРАМИДА - пирамиданың геометриялық пішіні бар монументалды құрылым (кейде сатылы немесе мұнара тәрізді). Біздің эрамызға дейінгі 3-2 мыңжылдықтағы ежелгі Египет перғауындарының алып бейіттері пирамидалар деп аталады. д., сондай-ақ космологиялық культтермен байланысты храмдардың ежелгі американдық тұғырлары (Мексика, Гватемала, Гондурас, Перу).

Бұл мүмкін Грек сөзі«Пирамида» мысыр тіліндегі per-em-us сөзінен, яғни пирамиданың биіктігін білдіретін терминнен шыққан. Көрнекті орыс египеттанушы В.Струве гректің «пурам…j» көне мысырлық «p»-mr» сөзінен шыққан деп есептеді.

Тарихтан. Атанасян авторларының «Геометрия» оқулығындағы материалды зерттеп. Бутузова және т.б., біз білдік: n-бұрышты A1A2A3 ... An және n RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 үшбұрыштарынан тұратын көпбұрышты пирамида деп атайды. A1A2A3 көпбұрышы ... An - пирамиданың табаны, ал RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 үшбұрыштары пирамиданың бүйір беттері, P - пирамиданың төбесі, RA1, RA2, .. сегменттері. ., RAn - бүйір қырлары.

Дегенмен, пирамиданың мұндай анықтамасы әрқашан болған емес. Мысалы, ежелгі грек математигі, математика бойынша бізге дейін жеткен теориялық трактаттардың авторы Евклид пирамиданы бір жазықтықтан бір нүктеге жақындайтын жазықтықтармен шектелген тұтас фигура деп анықтайды.

Бірақ бұл анықтама ежелгі дәуірде сынға ұшырады. Сондықтан Герон пирамиданың келесі анықтамасын ұсынды: «Бұл бір нүктеде жиналатын және табаны көпбұрыш болатын үшбұрыштармен шектелген фигура».

Біздің топ осы анықтамаларды салыстыра отырып, оларда «іргетас» ұғымының нақты тұжырымы жоқ деген қорытындыға келді.

Біз бұл анықтамаларды зерттеп, Адриен Мари Леджендрдің анықтамасын таптық, ол 1794 жылы өзінің «Геометрия элементтері» атты еңбегінде пирамидаға келесідей анықтама береді: «Пирамида – бұл дене фигурасы, үшбұрыштардан құралған, бір нүктеде жинақталып, жазық негіздің әр түрлі жағында аяқталады.

Бізге соңғы анықтама пирамида туралы нақты түсінік беретін сияқты, өйткені ол негіздің тегіс екендігін білдіреді. Пирамиданың тағы бір анықтамасы 19 ғасырдағы оқулықта пайда болды: «Пирамида — жазықтықпен қиылысатын тұтас бұрыш».

Пирамида геометриялық дене ретінде.

Бұл. Пирамида – көп қырлы, оның бір беті (негізі) көпбұрыш, қалған беттері (бүйірлері) бір ортақ төбесі (пирамиданың төбесі) бар үшбұрыштар.

Пирамиданың төбесінен табанының жазықтығына жүргізілген перпендикуляр деп аталады биікhпирамидалар.

Еркін пирамидадан басқа, бар оң пирамида,оның негізінде дұрыс көпбұрыш және кесілген пирамида.

Суретте – PABCD пирамидасы, ABCD – оның табаны, PO – биіктігі.

Толық бетінің ауданы Пирамида оның барлық беттерінің аудандарының қосындысы деп аталады.

Sfull = Sside + Sbase,Қайда Ssideбүйір беттерінің аудандарының қосындысы болып табылады.

пирамида көлемі формула бойынша табылады:

V=1/3Sнегіз h, қайда Сосн. - базалық аумақ h- биіктік.

Тұрақты пирамиданың бүйір бетінің ауданы келесідей өрнектеледі: Sside. =1/2P h, мұндағы P – табанның периметрі, h- бүйір бетінің биіктігі (қалыпты пирамиданың апотемасы). Егер пирамиданы табанына параллель A'B'C'D' жазықтығы кесіп өтсе, онда:

1) бүйірлік жиектер мен биіктік осы жазықтықпен пропорционал бөліктерге бөлінеді;

2) қимада табанына ұқсас A'B'C'D' көпбұрышы алынады;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" ені="287" биіктігі="151">

Кесілген пирамиданың негіздеріұқсас көпбұрыштар ABCD және A`B`C`D`, бүйір беттері трапеция.

Биіктігікесілген пирамида - негіздердің арасындағы қашықтық.

Қысқартылған көлемпирамида мына формула бойынша табылады:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Тұрақты кесілген пирамиданың бүйір бетінің ауданы келесідей өрнектеледі: Sside. = ½(P+P') h, мұндағы P және P’ – негіздердің периметрлері, h- бүйір бетінің биіктігі (мерекелермен қысқартылған кәдімгі апотема

Пирамиданың бөлімдері.

Пирамиданың төбесінен өтетін жазықтықтардың кесінділері үшбұрыштар.

Пирамиданың екі іргелес емес бүйір шетінен өтетін қима деп аталады диагональды кесінді.

Егер қима табанның бүйір жиегі мен бүйір жағындағы нүкте арқылы өтетін болса, онда бұл қабырға пирамида табанының жазықтығы бойынша оның ізі болады.

Пирамиданың бетінде жатқан нүкте арқылы өтетін кесінді және табан жазықтығына кесіндінің берілген ізі болса, онда құрылысты келесідей орындау керек:

берілген беттің жазықтығының қиылысу нүктесін және пирамида қимасының ізін табу және оны белгілеу;

берілген нүкте мен нәтижесінде қиылысу нүктесі арқылы өтетін түзу салу;

· Келесі беттер үшін осы қадамдарды қайталаңыз.

, бұл тікбұрышты үшбұрыштың катеттерінің қатынасына 4:3 сәйкес келеді. Аяқтардың бұл қатынасы қабырғалары 3:4:5 болатын белгілі тікбұрышты үшбұрышқа сәйкес келеді, ол «мінсіз», «қасиетті» немесе «египеттік» үшбұрыш деп аталады. Тарихшылардың айтуынша, «египеттік» үшбұрышқа сиқырлы мағына берілген. Плутарх мысырлықтар ғаламның табиғатын «қасиетті» үшбұрышқа теңеді деп жазды; олар символдық түрде тік аяқты күйеуіне, негізін әйеліне, ал гипотенузаны екеуінен туатын нәрсеге теңеді.

3:4:5 үшбұрышы үшін теңдік ақиқат: 32 + 42 = 52, ол Пифагор теоремасын өрнектейді. Бұл теореманы мысырлық діни қызметкерлер 3:4:5 үшбұрышының негізінде пирамида тұрғызу арқылы мәңгілікке қалдырғысы келген жоқ па? Мысырлықтарға Пифагор ашқаннан көп бұрын белгілі болған Пифагор теоремасын суреттейтін жақсы мысал табу қиын.

Осылайша, Мысыр пирамидаларының тапқыр жасаушылары алыстағы ұрпақтарды өздерінің білімдерінің тереңдігімен таң қалдыруға тырысты және олар бұған Хеопс пирамидасының «негізгі геометриялық идеясы» ретінде «алтын» тік бұрышты үшбұрышты және Хафре пирамидасы үшін - «қасиетті» немесе «египеттік» үшбұрыш.

Көбінесе ғалымдар өз зерттеулерінде алтын қиманың пропорциялары бар пирамидалардың қасиеттерін пайдаланады.

Математикада энциклопедиялық сөздікАлтын қиманың келесі анықтамасы берілген - бұл гармоникалық бөлу, экстремалды және орташа қатынаста бөлу - АВ кесіндісін екі бөлікке бөлу, оның АС-ының көп бөлігі бүкіл АВ сегменті арасындағы орташа пропорционалды болатындай етіп бөлу. және оның кіші бөлігі CB.

Кесіндінің алтын қимасын алгебралық табу AB = a a: x = x: (a - x) теңдеуін шешуге келтіреді, мұндағы x шамамен 0,62a-ға тең. x қатынасын 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618 бөлшек түрінде көрсетуге болады, мұндағы 2, 3, 5, 8, 13, 21 – Фибоначчи сандары.

AB сегментінің Алтын қимасының геометриялық құрылысы келесідей жүзеге асырылады: В нүктесінде AB перпендикуляры қалпына келтірілді, оған BE \u003d 1/2 AB кесіндісі салынады, A және E қосылған, DE \ u003d BE кейінге қалдырылды және ақырында, AC \u003d AD, содан кейін AB теңдігі орындалады: CB = 2: 3.

алтын қиматабиғатта кездесетін өнер, сәулет өнерінде жиі қолданылады. Жарқын мысалдар - Аполлон Бельведер мүсіні, Парфенон. Парфенонды салу кезінде ғимарат биіктігі мен оның ұзындығына қатынасы қолданылды және бұл қатынас 0,618 құрайды. Айналамыздағы нысандар да «Алтын қатынас» мысалдарын береді, мысалы, көптеген кітаптардың байлауларының ені мен ұзындығының арақатынасы 0,618-ге жақын. Жапырақтардың өсімдіктердің жалпы сабағында орналасуын қарастыратын болсақ, әрбір екі жұп жапырақтың арасында үшіншісі Алтын қатынас орнында орналасқанын байқауға болады (слайдтар). Әрқайсымыз «қолымызда» Алтын қатынасты «киеміз» - бұл саусақтардың фалангтарының қатынасы.

Бірнеше математикалық папирустардың ашылуының арқасында египетологтар ежелгі египеттік есептеулер мен өлшемдер жүйелері туралы бірдеңе білді. Олардағы міндеттерді хатшылар шешті. Ең танымалдарының бірі - Ринд математикалық папирусы. Бұл жұмбақтарды зерттей отырып, египеттанушылар ежелгі египеттіктердің салмақ, ұзындық және көлем өлшемдерін есептеу кезінде пайда болатын әртүрлі шамаларды қалай шешетінін, олар жиі бөлшектерді пайдаланғанын, сондай-ақ олардың бұрыштармен қалай айналысатынын білді.

Ежелгі мысырлықтар тікбұрышты үшбұрыштың биіктігінің табанына қатынасына негізделген бұрыштарды есептеу әдісін қолданған. Олар градиент тілінде кез келген бұрышты білдірді. Көлбеу градиенті «секед» деп аталатын бүтін санның қатынасы ретінде көрсетілді. Ричард Пиллинз «Перғауындар дәуіріндегі математика» кітабында былай деп түсіндіреді: «Тұрақты пирамиданың секеті - биіктіктің тік бірлігіне шаққандағы көлденең бірліктердің n-ші санымен өлшенетін төрт үшбұрышты беттердің кез келгенінің негіз жазықтығына еңкеюі. . Осылайша, бұл өлшем бірлігі біздің қазіргі көлбеу бұрышының котангенсіне тең. Демек, мысырлық «секед» сөзі бізге қатысты қазіргі сөз«градиент»».

Пирамидалардың сандық кілті олардың биіктігінің негізге қатынасында жатыр. Практикалық тұрғыдан алғанда, бұл пирамиданың құрылысы кезінде дұрыс көлбеу бұрышын үнемі тексеру үшін қажетті шаблондарды жасаудың ең оңай жолы.

Египтологтар бізді әр перғауын өзінің жеке даралығын білдіруге ынталы екеніне, демек, әрбір пирамида үшін бейімділік бұрыштарындағы айырмашылықтарға сендіруге қуанышты болар еді. Бірақ басқа себеп болуы мүмкін. Мүмкін, олардың барлығы әртүрлі пропорцияларда жасырылған әртүрлі символдық бірлестіктерді іске асырғысы келді. Дегенмен, Хафр пирамидасының бұрышы (үшбұрышқа негізделген (3:4:5) Ринд математикалық папирусында пирамидалар ұсынған үш есепте пайда болады). Сондықтан бұл көзқарас ежелгі мысырлықтарға жақсы белгілі болды.

Ежелгі египеттіктер 3:4:5 үшбұрышын білмеді дейтін египеттанушыларға әділдік үшін, гипотенузаның ұзындығы 5 ешқашан айтылмаған делік. Бірақ математикалық есептер, пирамидаларға қатысты әрқашан секед бұрышы негізінде шешіледі - биіктіктің негізге қатынасы. Гипотенузаның ұзындығы ешқашан айтылмағандықтан, мысырлықтар үшінші жақтың ұзындығын ешқашан есептемеген деген қорытындыға келді.

Гиза пирамидаларында қолданылған биіктік пен негіздің арақатынасы көне мысырлықтарға белгілі болғаны сөзсіз. Әрбір пирамида үшін бұл арақатынастар ерікті түрде таңдалған болуы мүмкін. Дегенмен, бұл Египеттің барлық түрлерінде сандық символизмге берілген маңыздылыққа қайшы келеді бейнелеу өнері. Мұндай қарым-қатынастар нақты діни идеяларды білдіретіндіктен маңызды мәнге ие болуы әбден мүмкін. Басқаша айтқанда, Гизаның бүкіл кешені қандай да бір илаһи тақырыпты көрсетуге арналған үйлесімді дизайнға бағынды. Бұл дизайнерлердің үш пирамида үшін неліктен әртүрлі бұрыштарды таңдағанын түсіндіреді.

Баувал мен Гилберт «Орион құпиясында» Гиза пирамидаларының Орион шоқжұлдызымен, атап айтқанда Орион белдеуінің жұлдыздарымен байланысы туралы сенімді дәлелдер келтірді.Дәл осындай шоқжұлдыз Исида мен Осирис туралы мифте де бар және сонда. Әрбір пирамиданы үш басты құдайдың бірі – Осирис, Исис және Хорус бейнесі ретінде қарастыруға негіз болып табылады.

«ГЕОМЕТРИЯ» КЕРЕМЕТТЕРІ.

Египеттің үлкен пирамидаларының арасында ерекше орын алады Перғауын Хеопстың ұлы пирамидасы (Хуфу). Хеопс пирамидасының пішіні мен өлшемін талдауға кіріспес бұрын, мысырлықтар қандай өлшемдер жүйесін қолданғанын еске түсіру керек. Мысырлықтарда үш ұзындық бірлігі болды: «шынтақ» (466 мм), жеті «алақанға» тең (66,5 мм), ол өз кезегінде төрт «саусаққа» (16,6 мм) тең болды.

Украин ғалымы Николай Васютинскийдің «Алтын пропорция» (1990) тамаша кітабында келтірілген дәлелдерге сүйене отырып, Хеопс пирамидасының өлшемін талдап көрейік (2-сурет).

Көптеген зерттеушілер пирамида табанының бүйірінің ұзындығын, мысалы, Г.Фтең Л\u003d 233,16 м.Бұл мән дәл 500 «шынтаққа» сәйкес келеді. 500 «шынтақ» толық сәйкестік, егер «шынтақ» ұзындығы 0,4663 м-ге тең деп есептелсе, болады.

Пирамида биіктігі ( Х) зерттеушілер 146,6-дан 148,2 м-ге дейін әртүрлі бағалады.Ал пирамиданың қабылданған биіктігіне байланысты оның геометриялық элементтерінің барлық қатынасы өзгереді. Пирамиданың биіктігін бағалаудағы айырмашылықтардың себебі неде? Шын мәнінде, Хеопс пирамидасы кесілген. Оның үстіңгі платформасының бүгінгі күні шамамен 10 ´ 10 м, ал бір ғасыр бұрын ол 6 ´ 6 м болатын. Пирамиданың төбесі бөлшектелгені анық және ол бастапқыға сәйкес келмейді.

Пирамиданың биіктігін бағалау кезінде мұндайды ескеру қажет физикалық фактор«нобай» дизайны ретінде. Артында ұзақ уақыторасан зор қысымның әсерінен (төменгі бетінің 1 м2 үшін 500 тоннаға жетеді) пирамиданың биіктігі оның бастапқы биіктігімен салыстырғанда төмендеді.

Пирамиданың бастапқы биіктігі қандай болды? Бұл биіктікті пирамиданың негізгі «геометриялық идеясын» тапсаңыз, қайта жасауға болады.

2-сурет.

1837 жылы ағылшын полковнигі Г.Уайз пирамида беттерінің көлбеу бұрышын өлшеген: ол тең болып шықты. а= 51°51". Бұл мәнді бүгінгі күнге дейін көптеген зерттеушілер мойындайды. Бұрыштың көрсетілген мәні жанамаға (тг.) сәйкес келеді. а), 1,27306-ға тең. Бұл мән пирамида биіктігінің қатынасына сәйкес келеді ACоның негізінің жартысына дейін CB(Cурет 2), яғни. AC / CB = Х / (Л / 2) = 2Х / Л.

Бұл жерде зерттеушілерді үлкен тосын сый күтіп тұр!.png" width="25" height="24">= 1,272. Бұл мәнді tg мәнімен салыстыру а= 1.27306, біз бұл мәндердің бір-біріне өте жақын екенін көреміз. Егер бұрышты алсақ а\u003d 51 ° 50", яғни оны тек бір доғалық минутқа азайту үшін, содан кейін мән а 1,272-ге тең болады, яғни мәнімен сәйкес келеді. Айта кету керек, 1840 жылы Г.Уайз өзінің өлшемдерін қайталап, бұрыштың мәнін нақтылаған. а=51°50".

Бұл өлшемдер зерттеушілерді келесі өте қызықты гипотезаға әкелді: Хеопс пирамидасының ASV үшбұрышы АС қатынасына негізделген / CB = = 1,272!

Енді тікбұрышты үшбұрышты қарастырайық ABC, онда аяқтардың қатынасы AC / CB= (2-сурет). Енді тіктөртбұрыштың қабырғаларының ұзындықтары болса ABCарқылы белгілеңіз x, ж, z, сонымен қатар қатынас екенін ескеріңіз ж/x= , онда Пифагор теоремасына сәйкес ұзындық zформула бойынша есептеуге болады:

Қабылдаса x = 1, ж= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" ені="143" биіктігі="27">

3-сурет«Алтын» тікбұрышты үшбұрыш.

Қабырғалары бір-бірімен байланысқан тікбұрышты үшбұрыш т:алтын» тікбұрышты үшбұрыш.

Сонда Хеопс пирамидасының негізгі «геометриялық идеясы» «алтын» тік бұрышты үшбұрыш деген гипотезаны негізге алсақ, осы жерден Хеопс пирамидасының «жобалық» биіктігін есептеу оңай. Ол мынаған тең:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 м.

Енді Хеопс пирамидасы үшін «алтын» гипотезадан туындайтын басқа қатынастарды шығарайық. Атап айтқанда, пирамиданың сыртқы ауданының оның табанының ауданына қатынасын табамыз. Мұны істеу үшін біз аяқтың ұзындығын аламыз CBбірлікке, яғни: CB= 1. Бірақ содан кейін пирамида табанының бүйірінің ұзындығы Г.Ф= 2, және базаның ауданы EFGHтең болады SEFGH = 4.

Енді Хеопс пирамидасының бүйір бетінің ауданын есептейік SD. Өйткені биіктік ABүшбұрыш АЭФтең т, содан кейін бүйір бетінің ауданы тең болады SD = т. Сонда пирамиданың барлық төрт бүйір беттерінің жалпы ауданы 4-ке тең болады т, ал пирамиданың жалпы сыртқы ауданының базалық ауданға қатынасы алтын қатынасқа тең болады! Бұл солай - Хеопс пирамидасының негізгі геометриялық құпиясы!

Хеопс пирамидасының «геометриялық ғажайыптар» тобына пирамидадағы әртүрлі өлшемдер арасындағы байланыстың нақты және ойдан шығарылған қасиеттері кіреді.

Әдетте, олар кейбір «тұрақтыларды», атап айтқанда, «pi» санын (Людольф саны), 3,14159...-ға тең іздеуде алынады; "e" натурал логарифмдерінің негіздері (Непье саны) 2,71828... тең; «F» саны, «алтын қима» саны, тең, мысалы, 0,618 ... және т.б..

Сіз атай аласыз, мысалы: 1) Геродоттың мүлкі: (Биіктігі) 2 \u003d 0,5 ст. негізгі x Апотем; 2) V. Меншігі Бағасы: Биіктігі: 0,5 ст. osn \u003d «Ф» квадрат түбірі; 3) М.Эйсттің қасиеті: Негіздің периметрі: 2 Биіктігі = «Пи»; басқа интерпретацияда - 2 ас қасық. негізгі : Биіктігі = "Pi"; 4) Г.Ребердің қасиеті: сызылған шеңбердің радиусы: 0,5 ст. негізгі = "F"; 5) К.Клеппиштің меншігі: (Сент-бас.) 2: 2 (ст. бас. x Апотема) \u003d (бас. В. Апотема) \u003d 2 (ст. Бас. x Апотема) : (( 2-ст. негізгі X Апотема) + (бас. ст.) 2). Және т.б. Сіз екі іргелес пирамиданы біріктірсеңіз, мұндай қасиеттердің көптігін таба аласыз. Мысалы, «А.Арефьевтің қасиеттері» ретінде Хеопс пирамидасы мен Хафре пирамидасының көлемдерінің айырмашылығы Менкауре пирамидасының екі еселенген көлеміне тең екенін атап өтуге болады...

Көптеген қызықты ережелер, атап айтқанда, «алтын бөлім» бойынша пирамидаларды салу туралы Д.Гамбидждің «Сәулеттегі динамикалық симметрия» және М.Гиктің «Табиғат пен өнердегі пропорция эстетикасы» кітаптарында баяндалған. Естеріңізге сала кетейік, «алтын қима» кесіндінің осындай қатынаста бөлінуі болып табылады, егер А бөлігі В бөлігінен қанша есе көп болса, А бүкіл А + В сегментінен неше есе кем болады. A / B қатынасы «Ф» санына тең == 1,618 .. «Алтын бөлімді» пайдалану тек жеке пирамидаларда ғана емес, Гизадағы бүкіл пирамида кешенінде көрсетілген.

Ең қызығы, Хеопстың бір пирамидасы соншалықты керемет қасиеттерді қамтуы мүмкін емес. Белгілі бір сипатты бір-бірлеп алып, оны «түзетуге» болады, бірақ бәрі бірден сәйкес келмейді - олар сәйкес келмейді, бір-біріне қайшы келеді. Сондықтан, мысалы, барлық қасиеттерді тексеру кезінде пирамида табанының бір жағы (233 м) бастапқыда алынса, онда қасиеттері әртүрлі пирамидалардың биіктіктері де әртүрлі болады. Басқаша айтқанда, сыртқы жағынан Хеопстікіне ұқсас, бірақ әртүрлі қасиеттеріне сәйкес келетін пирамидалардың белгілі бір «отбасы» бар. «Геометриялық» қасиеттерде ерекше ғажайып ештеңе жоқ екенін ескеріңіз - көп нәрсе фигураның өзінен автоматты түрде пайда болады. «Ғажайыпты» ежелгі мысырлықтар үшін мүмкін емес нәрсе деп санау керек. Бұған, атап айтқанда, Хеопс пирамидасының немесе Гиза пирамида кешенінің өлшемдері кейбір астрономиялық өлшемдермен салыстырылатын және «жұп» сандар көрсетілген «ғарыштық» кереметтер кіреді: миллион есе, миллиард есе аз және т.б. . Кейбір «ғарыштық» қатынастарды қарастырайық.

Осы тұжырымдардың бірі мынада: «Егер пирамида табанының бүйір жағын нақты жыл ұзындығына бөлсек, онда біз дәл 10 миллионнан бір бөлігін аламыз. жер осі«. Есептеп көр: 233-ті 365-ке бөлсек, 0,638 аламыз.Жердің радиусы 6378 км.

Басқа мәлімдеме шын мәнінде алдыңғыға қарама-қайшы. Ф.Нотлинг, егер сіз өзі ойлап тапқан «Мысыр шынтағын» қолдансаңыз, онда пирамиданың жағы «күннің миллиардтан бір бөлігіне дейінгі дәлдікпен көрсетілген күн жылының ең дәл ұзақтығына» сәйкес келетініне назар аударды - 365,540,903,777 .

П.Смиттің: «Пирамиданың биіктігі Жерден Күнге дейінгі қашықтықтың тура миллиардтан бір бөлігін құрайды» деген тұжырымы. Әдетте биіктігі 146,6 м деп алынғанымен, Смит оны 148,2 м деп қабылдады.Қазіргі радиолокациялық өлшемдер бойынша жер орбитасының жартылай үлкен осі 149,597,870 + 1,6 км. Бұл Жерден Күнге дейінгі орташа қашықтық, бірақ перигелийде афелийге қарағанда 5 000 000 километрге аз.

Соңғы қызықты мәлімдеме:

«Хеопс, Хафре және Менкауре пирамидаларының массалары Жер, Венера, Марс планеталарының массалары сияқты бір-бірімен байланысты екенін қалай түсіндіруге болады? Есептеп көрейік. Үш пирамиданың массалары өзара байланысты: Хафре - 0,835; Хеопс - 1000; Микерин - 0,0915. Үш планетаның массаларының қатынасы: Венера - 0,815; Жер – 1000; Марс - 0,108.

Сонымен, скептицизмге қарамастан, мәлімдемелер құрылысының белгілі үйлесімділігін атап өтейік: 1) пирамиданың биіктігі, «ғарышқа баратын» сызық ретінде - Жерден Күнге дейінгі қашықтыққа сәйкес келеді; 2) пирамида табанының «субстратқа», яғни Жерге ең жақын жағы жердің радиусы мен жер айналымына жауап береді; 3) пирамиданың көлемдері (оқу - массалар) Жерге ең жақын планеталар массаларының қатынасына сәйкес келеді. Осыған ұқсас «шифрды» байқауға болады, мысалы, Карл фон Фриш талдаған ара тілінде. Дегенмен, әзірге бұл туралы пікір айтудан аулақпыз.

ПИРАМИДАЛАРДЫҢ Пішіні

Пирамидалардың атақты тетраэдрлік пішіні бірден пайда болған жоқ. Скифтер жерлеулерді топырақ төбелер – қорғандар түрінде жасаған. Мысырлықтар тастан «төбелер» - пирамидалар салған. Бұл бірінші рет Жоғарғы және Төменгі Египет біріккеннен кейін, біздің дәуірімізге дейінгі 28 ғасырда, ІІІ әулеттің негізін салушы перғауын Джосердің (Зозер) алдында ел бірлігін нығайту міндеті тұрғанда болды.

Бұл жерде, тарихшылардың пікірінше, орталық билікті нығайтуда маңызды рөл атқарды ». жаңа тұжырымдамапатшаны құдайландыру».Патша жерлеулері аса көрікті болғанымен, олар сарай дворяндарының бейіттерінен принципті түрде айырмашылығы жоқ, олар бір құрылыс – мастабалар болды. Мумия салынған саркофаг бар камераның үстінде, тік бұрышты шағын төбе. тастар құйылды, содан кейін үлкен тас блоктардан жасалған шағын ғимарат – «мастаба» (араб тілінде – «орындық») Өзінен бұрынғы Санахттың мастабасының орнына перғауын Джосер бірінші пирамиданы тұрғызды.Ол баспалдақпен және бір сәулеттік пішіннен екіншісіне, мастабадан пирамидаға дейінгі көрінетін өтпелі кезең болды.

Осылайша перғауынды данышпан әрі сәулетші Имхотеп «тәрбиеледі», кейін оны сиқыршы деп есептеп, гректер Асклепий құдайымен сәйкестендірді. Қатарынан алты мастаба тіккендей болды. Сонымен қатар, бірінші пирамида 1125 х 115 метр аумақты алып жатыр, оның биіктігі 66 метр (Мысыр өлшемдері бойынша - 1000 «алақан»). Алғашында сәулетші мастаба салуды жоспарлаған, бірақ ұзынша емес, жоспар бойынша шаршы. Кейінірек ол кеңейтілді, бірақ ұзарту төменірек жасалғандықтан, екі баспалдақ пайда болды.

Бұл жағдай сәулетшіні қанағаттандырмай, үлкен жалпақ мастабаның үстіңгі платформасына Имхотеп төбеге қарай біртіндеп төмендей отырып, тағы үшеуін орналастырды. Қабір пирамиданың астында болды.

Тағы бірнеше сатылы пирамидалар белгілі, бірақ кейінірек құрылысшылар көбірек таныс тетраэдрлік пирамидаларды салуға көшті. Неліктен үшбұрышты немесе, айталық, сегізбұрышты емес? Жанама жауап пирамидалардың барлығы дерлік төрт негізгі нүктеге тамаша бағытталған, сондықтан төрт жағы бар. Сонымен қатар, пирамида «үй», төртбұрышты жерлеу камерасының қабығы болды.

Бірақ беттердің көлбеу бұрышына не себеп болды? «Пропорциялар принципі» кітабында «Пирамидалардың бұрыштарын не анықтауға болады» деген тұтас тарау берілген. Атап айтқанда, «Ескі Патшалықтың ұлы пирамидалары тартылатын кескін - жоғарғы жағында тік бұрышты үшбұрыш.

Кеңістікте бұл жартылай октаэдр: табанының шеттері мен қабырғалары тең, беттері тең болатын пирамида. тең қабырғалы үшбұрыштар«. Бұл мәселе бойынша белгілі бір ойлар Хамбидж, Гик және басқалардың кітаптарында берілген.

Жартылай октаэдр бұрышының артықшылығы неде? Археологтар мен тарихшылардың сипаттамаларына сәйкес, кейбір пирамидалар өз салмағынан құлаған. «Төзімділік бұрышы» қажет болды, ол ең энергетикалық сенімді бұрыш болды. Таза эмпирикалық түрде бұл бұрышты ұнтақталған құрғақ құм үйіндісіндегі шың бұрышынан алуға болады. Бірақ нақты деректерді алу үшін үлгіні пайдалану керек. Мықты бекітілген төрт шарды алып, оларға бесіншісін қойып, көлбеу бұрыштарын өлшеу керек. Дегенмен, бұл жерде сіз қателесуіңіз мүмкін, сондықтан теориялық есептеу көмектеседі: шарлардың орталықтарын сызықтармен (ақыл-ой) байланыстыру керек. Негізінде сіз радиусы екі есеге тең қабырғасы бар шаршы аласыз. Шаршы пирамиданың негізі ғана болады, оның жиектерінің ұзындығы да радиустың екі есесіне тең болады.

Осылайша, 1:4 түріндегі шарлардың тығыз орамы бізге кәдімгі жартылай октаэдр береді.

Дегенмен, неге көптеген пирамидалар ұқсас пішінге қарай тартылса да, оны сақтамайды? Бәлкім, пирамидалар ескіріп жатқан шығар. Атақты сөзге қарама-қайшы:

«Әлемдегі барлық нәрсе уақыттан қорқады, ал уақыт пирамидалардан қорқады», пирамидалардың ғимараттары қартаюы керек, олар тек сыртқы әсер ету процестерін ғана емес, сонымен қатар ішкі «жиіру» процестерін де жүзеге асыруы мүмкін және болуы керек. , одан пирамидалар төмен түсуі мүмкін. Шөгу де мүмкін, себебі Д.Дэвидовицтің еңбектерінде анықталғандай, ежелгі мысырлықтар әк жаңқаларынан, басқаша айтқанда, «бетоннан» блоктар жасау технологиясын қолданған. Дәл осы процестер Каирден оңтүстікке қарай 50 км жерде орналасқан Медум пирамидасының жойылу себебін түсіндіре алады. Оның жасы 4600 жыл, табанының өлшемдері 146 х 146 м, биіктігі 118 м. «Ол неге сонша бүлінген?» деп сұрайды В.Замаровский, «Уақыттың жойқын әсері мен «тастың басқа құрылыстар үшін пайдаланылуы» туралы әдеттегі сілтемелер бұл жерде сәйкес келмейді.

Өйткені, оның блоктары мен беткі тақтайларының көпшілігі әлі де орнында, етегіндегі қирандыларда тұр. «Көретініміздей, бірқатар ережелер әйгілі Хеопс пирамидасы да «кішірейіп кеткен» деген ойға жетелейді. , барлық ежелгі суреттерде пирамидалар сызылған ...

Пирамидалардың пішіні еліктеу арқылы да жасалуы мүмкін: кейбір табиғи үлгілер, «ғажайып кемелдік», айталық, октаэдр түріндегі кейбір кристалдар.

Мұндай кристалдар алмаз және алтын кристалдары болуы мүмкін. Типтік көп саныПерғауын, Күн, Алтын, Гауһар сияқты ұғымдар үшін «қиылысатын» белгілер. Барлық жерде – асыл, жарқыраған (бриллиант), ұлы, мінсіз және т.б. Ұқсастықтар кездейсоқ емес.

Күн культі, өздеріңіз білетіндей, діннің маңызды бөлігі болды. ежелгі египет. «Пирамидалардың ең ұлысының атын қалай аударсақ та,» қазіргі оқулықтардың бірінде «Аспан Хуфу» немесе «Аспан Хуфу» делінген, бұл патшаның күн екенін білдіреді. Егер Хуфу өз күшінің жарқыраған тұсында өзін екінші күн деп елестетсе, оның ұлы Джедеф-Ра өзін «Ра ұлы» деп атай бастаған Мысыр патшаларының біріншісі болды, яғни Күн. Күнді барлық халықтар дерлік «күн металы», алтын ретінде бейнелеген. «Жарқын алтынның үлкен дискісі» - мысырлықтар біздің күндізгі жарықты осылай атады. Мысырлықтар алтынды өте жақсы білген, олар алтын кристалдары октаэдр түрінде пайда болуы мүмкін оның төл формаларын білетін.

«Пішіндердің үлгісі» ретінде бұл жерде «күн тасы» - гауһар да қызықты. Алмаздың атауы араб әлемінен шыққан, «алмас» - ең қатты, ең қатты, бұзылмайтын. Ежелгі мысырлықтар алмазды білген және оның қасиеттері өте жақсы. Кейбір авторлардың айтуынша, олар бұрғылау үшін тіпті алмас кескіштері бар қола құбырларды пайдаланған.

Оңтүстік Африка қазір гауһар тастардың негізгі жеткізушісі болып табылады, бірақ Батыс Африка да гауһарға бай. Мали Республикасының аумағын тіпті ол жерде «Гауһар жер» деп те атайды. Сонымен бірге, Мали аумағында палеовизит гипотезасын жақтаушылар көп үміт артқан Догондар тұрады (төменде қараңыз). Ежелгі мысырлықтардың бұл аймақпен байланысына алмаздар себеп бола алмады. Дегенмен, гауһар және алтын кристалдарының октаэдрлерін көшіру арқылы ежелгі мысырлықтар алмас сияқты «тозбайтын» және алтын сияқты «жарқыраған» перғауындарды, Күннің ұлдарын салыстыруға болатын перғауындарды құдайға айналдыруы мүмкін. табиғаттың ең керемет туындыларымен ғана.

Қорытынды:

Пирамиданы геометриялық дене ретінде зерттей отырып, оның элементтерімен және қасиеттерімен таныса отырып, пирамида пішінінің әдемілігі туралы пікірдің дұрыстығына көз жеткіздік.

Зерттеулеріміздің нәтижесінде біз мысырлықтар ең құнды математикалық білімді жинап, оны пирамида түрінде бейнелеген деген қорытындыға келдік. Демек, пирамида шын мәнінде табиғат пен адамның ең кемел туындысы.

БИБЛИОГРАФИЯ

«Геометрия: Проц. 7-9 ұяшықтар үшін. жалпы білім беру мекемелер \ және т.б.- 9-бас.- М .: Білім, 1999 ж

Мектептегі математика тарихы, М: «Ағарту», ​​1982 ж

Геометрия 10-11 сынып, М: «Ағарту», ​​2000 ж

Питер Томпкинс «Ұлы Хеопс пирамидасының құпиялары», М: «Центрополиграф», 2005 ж.

Интернет ресурстары

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Біз Египеттің ұлы пирамидаларын жақсы білеміз, олардың қалай көрінетінін әркім елестете алады. Бұл кескін пирамида сияқты геометриялық фигураның ерекшеліктерін түсінуге көмектеседі.

Пирамида деп жазық көпбұрыштан – пирамида табанынан, табан жазықтығына жатпайтын нүктеден – пирамиданың төбесінен және төбесін табан нүктелерімен қосатын барлық кесінділерден тұратын көпбұрышты айтады. Пирамиданың төбесін табанының үстіңгі жағымен байланыстыратын кесінділер бүйір жиектер деп аталады. Суретте. 1 SABCD пирамидасын көрсетеді. ABCD төртбұрышы пирамиданың табаны, S нүктесі пирамиданың төбесі, SA, SB, SC және SD кесінділері пирамиданың шеттері.

Пирамиданың биіктігі - пирамиданың төбесінен табанының жазықтығына түсірілген перпендикуляр. Суретте. 1 SO – пирамиданың биіктігі.

Пирамида n-бұрыш деп аталады, егер оның табаны n-бұрыш болса. 1-суретте төртбұрышты пирамида көрсетілген. Үшбұрышты пирамида тетраэдр деп аталады.

Пирамида дұрыс деп аталады, егер оның табаны дұрыс көпбұрыш болса және биіктігінің табаны осы көпбұрыштың центрімен сәйкес келсе. Дұрыс пирамиданың бүйір қырлары тең, сондықтан бүйір беттері тең қабырғалы үшбұрыштар. Кәдімгі пирамидада пирамиданың төбесінен тартылған бүйір бетінің биіктігі апотем деп аталады.

Пирамиданың бірқатар қасиеттері бар.

Пирамиданың барлық диагональдары оның беттеріне жатады.

Барлық бүйір жиектер тең болса, онда:

• пирамида табанының жанында шеңберді сипаттауға болады, ал пирамиданың жоғарғы жағы оның ортасына проекцияланады;
• бүйір жиектері негіз жазықтығымен тең бұрыштар құрайды және керісінше, егер бүйір жиектер базалық жазықтықпен тең бұрыштар құраса немесе пирамида табанының жанында шеңберді сипаттауға болатын болса және пирамиданың жоғарғы жағы проекцияланса. оның ортасы, сонда пирамиданың барлық бүйір жиектері тең болады.

Егер бүйірлік беттер бір бұрышта негіз жазықтығына көлбеу болса, онда:

• пирамиданың түбіне шеңберді жазуға болады, ал пирамиданың жоғарғы жағы оның ортасына проекцияланады;
• бүйірлік беттердің биіктіктері тең;
• бүйір бетінің ауданы негіздің периметрі мен бүйір бетінің биіктігінің көбейтіндісінің жартысына тең.

Пирамиданың көлемін, бетінің ауданын табу формулаларын қарастырыңыз.

Пирамиданың көлемін мына формула бойынша есептеуге болады:

мұндағы S – табанның ауданы, ал h – биіктігі.

Пирамиданың жалпы бетінің ауданын табу үшін мына формуланы пайдаланыңыз:

S p \u003d S b + S o,

мұндағы S p – жалпы бетінің ауданы, S b – бүйір бетінің ауданы, S o – негіздің ауданы.

Қиық пирамида деп пирамида табаны мен табанына параллель қиюшы жазықтықтың арасына салынған көпбұрышты айтады. Қиық пирамиданың параллель жазықтықта жатқан беттерін қиық пирамиданың табандары, қалған беттерін бүйір беттері деп атайды. Қиық пирамиданың табандары ұқсас көпбұрыштар, бүйір беттері трапециялар. Кәдімгі пирамидадан алынған кесілген пирамида қалыпты қиылған пирамида деп аталады. Дұрыс кесілген трапецияның бүйір беттері тең қабырғалы трапециялар, олардың биіктіктері апотемалар деп аталады.

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Сурет – геометриялық есепті шешудегі бірінші және өте маңызды қадам. Кәдімгі пирамиданың суреті қандай болуы керек?

Алдымен еске түсірейік параллельді дизайн қасиеттері:

- фигураның параллель кесінділері параллель кесінділер ретінде бейнеленген;

- параллель түзулердің кесінділері мен бір түзудің кесінділерінің ұзындықтарының қатынасы сақталады.

Тұрақты үшбұрышты пирамиданың суреті

Алдымен негізді сызыңыз. Параллель емес кесінділердің ұзындықтарының бұрыштары мен қатынасы параллельді жобада сақталмағандықтан, пирамида табанындағы дұрыс үшбұрыш ерікті үшбұрышпен бейнеленген.

Тең бүйірлі үшбұрыштың центрі үшбұрыштың медианаларының қиылысу нүктесі болып табылады. Қиылысу нүктесіндегі медианалар 2: 1 қатынасында бөлінгендіктен, жоғарыдан санағанда, біз негіздің жоғарғы бөлігін қарама-қарсы жақтың ортасымен ойша байланыстырамыз, оны шамамен үш бөлікке бөлеміз және нүктені қоямыз. жоғарыдан 2 бөлікке дейінгі қашықтық. Осы нүктеден жоғары перпендикуляр сызыңыз. Бұл пирамиданың биіктігі. Біз перпендикулярды бүйірлік жиегі биіктік кескінін жауып тастамайтындай етіп жасаймыз.

Тұрақты төртбұрышты пирамиданың суреті

Кәдімгі төртбұрышты пирамиданың сызбасы да негізден басталады. Кесінділердің параллелизмі сақталған, бірақ бұрыштардың шамалары болмағандықтан, табандағы квадрат параллелограмм ретінде бейнеленген. Қалаулы өткір бұрышбұл параллелограммды кішірейтіңіз, содан кейін бүйір беттері үлкенірек болады. Шаршының центрі оның диагональдарының қиылысу нүктесі болып табылады. Біз диагональдарды саламыз, қиылысу нүктесінен перпендикулярды қалпына келтіреміз. Бұл перпендикуляр пирамиданың биіктігі. Біз перпендикулярдың ұзындығын бүйірлік жиектер бір-бірімен біріктірілмейтін етіп таңдаймыз.

Дұрыс алтыбұрышты пирамиданың суреті

Параллель проекцияда кесінділердің параллелизмі сақталатындықтан, дұрыс алтыбұрышты пирамиданың негізі – дұрыс алтыбұрыш – қарама-қарсы жақтары параллель және тең болатын алтыбұрыш ретінде бейнеленген. Дұрыс алтыбұрыштың центрі оның диагональдарының қиылысу нүктесі болып табылады. Сызбаны шатастырмау үшін біз диагональдарды салмаймыз, бірақ бұл нүктені шамамен табамыз. Одан біз перпендикулярды қалпына келтіреміз - пирамиданың биіктігі - бүйірлік жиектер бір-бірімен біріктірілмейді.

Анықтама. Бүйір беті- бұл үшбұрыш, оның бір бұрышы пирамиданың төбесінде жатыр, ал оның қарама-қарсы жағы табанының (көпбұрыш) жағымен сәйкес келеді.

Анықтама. Бүйір қабырғаларыбүйірлік беттердің ортақ жақтары болып табылады. Пирамиданың көпбұрышта қанша бұрыш болса, сонша қыры болады.

Анықтама. пирамида биіктігіпирамиданың төбесінен табанына түсірілген перпендикуляр.

Анықтама. Апотем- бұл пирамиданың төбесінен табан жағына түсірілген пирамиданың бүйір бетінің перпендикуляры.

Анықтама. Диагональды қима- бұл пирамиданың төбесі мен табанының диагоналы арқылы өтетін жазықтықпен пирамиданың кесіндісі.

Анықтама. Дұрыс пирамида- Бұл пирамида, оның негізі дұрыс көпбұрыш, ал биіктігі табанның ортасына түседі.

Пирамиданың көлемі мен бетінің ауданы

Формула. пирамида көлемібазаның ауданы мен биіктігі бойынша:

пирамида қасиеттері

Егер барлық бүйір жиектер тең болса, онда пирамида табанының айналасында шеңберді сызуға болады, ал негіздің ортасы шеңбердің центрімен сәйкес келеді. Сондай-ақ, жоғарыдан түсірілген перпендикуляр негіздің (шеңбердің) ортасынан өтеді.

Егер барлық бүйір қабырғалары тең болса, онда олар бірдей бұрыштарда негізгі жазықтыққа бейім.

Бүйір қабырғалары негіз жазықтығымен тең бұрыштар жасағанда немесе пирамида табанының айналасында шеңберді сипаттауға болатын болса, тең болады.

Егер бүйір беттері негіз жазықтығына бір бұрышпен еңкейтілген болса, онда пирамиданың табанында шеңберді жазуға болады, ал пирамиданың жоғарғы жағы оның ортасына проекцияланады.

Егер бүйірлік беттер бір бұрышта негіз жазықтығына көлбеу болса, онда бүйір беттердің апотемалары тең болады.

Тұрақты пирамиданың қасиеттері

1. Пирамиданың төбесі негіздің барлық бұрыштарынан бірдей қашықтықта орналасқан.

2. Барлық бүйір жиектер бірдей.

3. Барлық бүйір қабырғалары негізге бірдей бұрыштармен еңкейген.

4. Барлық бүйір беттердің апотемдері тең.

5. Барлық бүйір беттердің аудандары тең.

6. Барлық беттердің екібұрышты (жалпақ) бұрыштары бірдей.

7. Пирамиданың айналасында шарды сипаттауға болады. Сипатталған сфераның орталығы шеттердің ортасынан өтетін перпендикулярлардың қиылысу нүктесі болады.

8. Шарды пирамидаға сызуға болады. Шет пен негіз арасындағы бұрыштан шығатын биссектрисалардың қиылысу нүктесі сызылған шардың ортасы болады.

9. Егер іштей сызылған шардың центрі шеңберленген сфераның центрімен сәйкес келсе, онда шыңындағы жазық бұрыштардың қосындысы π-ке тең немесе керісінше, бір бұрыш π / n-ге тең, мұндағы n - сан. пирамиданың табанындағы бұрыштардың саны.

Пирамиданың шармен байланысы

Пирамиданың төңірегінде шарды суреттеуге болады, егер пирамиданың негізінде көп қырлы шеңбер болса, оның айналасында шеңберді сипаттауға болады (қажетті және жеткілікті шарт). Пирамиданың бүйір шеттерінің орта нүктелері арқылы перпендикуляр өтетін жазықтықтардың қиылысу нүктесі шардың центрі болады.

Шарды әрқашан кез келген үшбұрышты немесе дұрыс пирамиданың айналасында сипаттауға болады.

Пирамиданың ішкі екі қырлы бұрыштарының биссектриса жазықтықтары бір нүктеде қиылысатын болса, шарды пирамидаға сызуға болады (қажетті және жеткілікті шарт). Бұл нүкте шардың орталығы болады.

Пирамиданың конуспен байланысы

Конус пирамидаға сызылған деп аталады, егер олардың төбелері сәйкес келсе және конустың табаны пирамида табанына сызылған.

Пирамиданың апотемалары тең болса, конусты пирамидаға жазуға болады.

Конус пирамиданың айналасында сызылған деп аталады, егер олардың төбелері сәйкес келсе және конустың табаны пирамида табанының айналасында шектелген болса.

Конусты пирамиданың айналасында сипаттауға болады, егер пирамиданың барлық шеттері бір-біріне тең болса.

Пирамиданың цилиндрмен қосылуы

Пирамиданың төбесі цилиндрдің бір табанында, ал пирамиданың табаны цилиндрдің басқа табанында сызылған болса, пирамида цилиндрге сызылған деп аталады.

Цилиндрді пирамиданың айналасында сызуға болады, егер шеңберді пирамида табанының айналасында сызуға болады.

Тетраэдрдің төрт беті және төрт төбесі және алты қыры бар, мұнда кез келген екі шетінің ортақ төбелері жоқ, бірақ жанаспайды.

Әрбір шың үш жақтан және пайда болатын шеттерден тұрады үшбұрышты бұрыш.

Тетраэдр төбесін қарама-қарсы бетінің центрімен қосатын кесінді деп аталады тетраэдрдің медианасы(GM).

Бимедианжанаспайтын қарама-қарсы шеттердің ортаңғы нүктелерін қосатын кесінді деп аталады (KL).

Тетраэдрдің барлық бимедиандары мен медианалары бір нүктеде (S) қиылысады. Бұл жағдайда бимедиандар екіге бөлінеді, ал медианалар жоғарыдан бастап 3: 1 қатынасында.

Анықтама. Сүйір бұрышты пирамида— пирамида, онда апотема негіз жағының ұзындығының жартысынан көп.

Анықтама. доғал пирамида— пирамида, онда апотема негіз жағының ұзындығының жартысынан аз.

Анықтама. дұрыс тетраэдрТөрт беті тең қабырғалы үшбұрыштар болатын тетраэдр. Бұл бес дұрыс көпбұрыштың бірі. Дұрыс тетраэдрде барлық екі қырлы бұрыштар (беттер арасындағы) және үшбұрыштар (төбесінде) тең.

Анықтама. Тік бұрышты тетраэдртөбесінде үш жиегі арасындағы тік бұрышы бар тетраэдр деп аталады (шеттері перпендикуляр). Үш бет қалыптасады тікбұрышты үшбұрышты бұрышжәне беттері тікбұрышты үшбұрыштар, ал негізі ерікті үшбұрыш. Кез келген тұлғаның апотемасы апотем түсетін негіздің жарты жағына тең.

Анықтама. Изоэдрлік тетраэдрБүйір беттері бір-біріне тең, ал негізі дұрыс үшбұрыш болатын тетраэдр деп аталады. Мұндай тетраэдрдің беттері бар тең қабырғалы үшбұрыштар.

Анықтама. Ортоцентрлік тетраэдржоғарыдан қарама-қарсы бетке түсірілген барлық биіктіктер (перпендикулярлар) бір нүктеде қиылысатын тетраэдр деп аталады.

Анықтама. жұлдызды пирамидаТабаны жұлдыз болып табылатын көп қырлы деп аталады.