12 бұрыштың градустық өлшемі неге тең. Бұрыштың градустық өлшемі. Анықтама. функциялармен және туындылармен танысуға болады

Бұрыштың градустық өлшемі. Бұрыштың радиандық өлшемі. градустарды радианға және керісінше түрлендіру.

Назар аударыңыз!
Қосымша бар
555 арнайы бөлімдегі материал.
Қатты «өте емес...» дегендер үшін
Ал «өте...» дегендерге)

Өткен сабақта тригонометриялық шеңбердегі бұрыштарды санауды меңгерген болатынбыз. Оң және теріс бұрыштарды санауды үйренді. 360 градустан жоғары бұрышты қалай салу керектігін түсінді. Бұрыштарды өлшеумен айналысатын кез келді. Әсіресе қиын тапсырмаларда бізді шатастыруға тырысатын «Пи» санымен, иә ...

«Pi» саны бар тригонометриядағы стандартты тапсырмалар өте жақсы шешілген. Көрнекі жады көмектеседі. Бірақ шаблоннан кез келген ауытқу - орнында құлатады! Құлап қалмау үшін - түсінуқажетті. Енді нені сәтті орындаймыз. Бір мағынада - біз бәрін түсінеміз!

Сонымен, неде бұрыштар есептеледі ме? IN мектеп курсытригонометрия екі өлшемді пайдаланады: бұрыштың градустық өлшеміЖәне бұрыштың радиандық өлшемі. Осы шараларды қарастырайық. Онсыз тригонометрияда – еш жерде.

Бұрыштың градустық өлшемі.

Біз әйтеуір дәрежеге үйреніп қалғанбыз. Геометрия, ең болмағанда, өтті ... Иә, және өмірде біз «180 градусқа бұрылды» деген тіркеспен жиі кездеседі. Дәреже, қысқасы, қарапайым нәрсе ...

Иә? Онда маған жауап бер дәреже деген не? Не істемейді? Бірдеңе...

Дәрежелер ежелгі Вавилонда ойлап табылған. Бұл көп уақыт бұрын болды ... 40 ғасыр бұрын ... Және олар оны жаңадан ойлап тапты. Олар шеңберді алып, 360 тең бөлікке бөлді. 1 градус шеңбердің 1/360 бөлігін құрайды. Болды. 100 бөлікке бөлуге болады. Немесе 1000-ға. Бірақ олар оны 360-қа бөлді. Айтпақшы, неге дәл 360-қа? Неліктен 360 100-ден жақсы? 100 әйтеуір бірқалыптырақ сияқты... Осы сұраққа жауап беріп көріңіз. Әлде Ежелгі Вавилонға қарсы әлсіз бе?

Бір уақытта бір жерде Ежелгі Египетбасқа мәселемен қиналады. Шеңбердің шеңбері оның диаметрінің ұзындығынан неше есе үлкен? Осылайша олар өлшеп, осылайша ... Барлығы үшеуден сәл артық болды. Бірақ әйтеуір біркелкі, тегіс емес болып шықты ... Бірақ олар, мысырлықтар, кінәлі емес. Олардан кейін тағы 35 ғасыр азап шекті. Шеңберді тең бөліктерге қаншалықты ұсақ кессе де, мұндай бөліктерден жасауға болатынын ақыры дәлелдегенге дейін тегісдиаметрінің ұзындығы мүмкін емес ... Негізінде бұл мүмкін емес. Ал, шеңбер диаметрінен қанша есе үлкен, әрине. Шамамен. 3,1415926... есе.

Бұл «Пи» саны. Бұл жүнді, соншалықты жүнді. Ондық бөлшектен кейін – реті жоқ цифрлардың шексіз саны... Мұндай сандар иррационал деп аталады. Бұл, айтпақшы, шеңбердің тең бөліктерінен диаметрін білдіреді тегісбүктемеңіз. Ешқашан.

Практикалық қолдану үшін ондық бөлшектен кейінгі екі цифрды ғана есте сақтау әдеттегідей. Есіңізде болсын:

Шеңбердің шеңбері диаметрінен «Pi» есе үлкен екенін түсінгендіктен, шеңбердің шеңберінің формуласын есте сақтаудың мәні бар:

Қайда Лшеңбер болып табылады, және гоның диаметрі болып табылады.

Геометрияда пайдалы.

Үшін жалпы білім беруМен «Pi» санының тек геометрияда ғана емес екенін қосамын ... Математиканың әртүрлі бөлімдерінде, әсіресе ықтималдықтар теориясында бұл сан үнемі пайда болады! Өздігінен. Біздің қалауымыздан тыс. Бұл сияқты.

Бірақ градусқа оралу. Ежелгі Вавилонда шеңбер неліктен 360 тең бөлікке бөлінгенін түсіндіңіз бе? Бірақ, мысалы, 100 емес пе? Жоқ? Жарайды. Мен сізге нұсқасын беремін. Ежелгі вавилондықтардан сұрай алмайсың... Құрылыс үшін немесе, айталық, астрономия үшін шеңберді тең бөліктерге бөлу ыңғайлы. Енді қандай сандарға бөлінетінін табыңыз толығымен 100, ал қайсысы - 360? Және бұл бөлгіштердің қандай нұсқасында толығымен- Көбірек? Бұл бөлім адамдарға өте ыңғайлы. Бірақ...

Ежелгі Вавилоннан әлдеқайда кейінірек белгілі болғандай, барлығы бірдей дәрежені ұнатпайды. Жоғары математика оларды ұнатпайды ... Жоғары математика- ханым байсалды, табиғат заңдылығымен реттелген. Ал мына ханым: «Бүгін сіз шеңберді 360 бөлікке бөлдіңіз, ертең оны 100 бөлікке, ертеңгі күні 245 бөлікке бөлесіз ... Ал мен не істеуім керек? Жоқ, шынымен ...» деп мәлімдейді. Табиғатты алдауға болмайды...

Мен адам ұғымдарына тәуелді емес бұрыштың өлшемін енгізуге тура келді. Танысу - радиан!

Бұрыштың радиандық өлшемі.

Радиан дегеніміз не? Радианның анықтамасы бәрібір шеңберге негізделген. 1 радиандық бұрыш деп ұзындығы ( Л) радиустың ұзындығына тең ( Р). Біз суреттерге қараймыз.

Мұндай кішкентай бұрыш, оның ешқайсысы дерлік жоқ ... Біз курсорды суреттің үстіне жылжытамыз (немесе планшеттегі суретті түртіңіз) және біз шамамен біреуін көреміз радиан. L=R

Айырмашылықты сезінесіз бе?

Бір радиан бір градустан әлдеқайда үлкен. Қанша рет?

Келесі суретке назар аударайық. Оның үстіне мен жарты шеңбер сыздым. Кеңейтілген бұрыш, әрине, өлшемі 180 °.

Ал енді мен бұл жарты шеңберді радианға кесемін! Біз суреттің үстіне апарып, құйрығы бар 3 радианның 180 ° сәйкес келетінін көреміз.

Бұл ат құйрығы не екенін кім біледі!?

Иә! Бұл құйрық 0,1415926.... Сәлем Пи, біз сені әлі ұмытқан жоқпыз!

Шынында да, 180 градуста 3,1415926 ... радиан бар. Өзіңіз ойлағандай, 3.1415926 деп үнемі жазу... ыңғайсыз. Сондықтан, бұл шексіз санның орнына олар әрқашан жай жазады:

Ал мына нөмір интернетте

жазуға ыңғайсыз ... Сондықтан, мен оны мәтінде атымен жазамын - «Пи». Шатасып кетпеңіз...

Енді шамамен теңдікті жазу өте мағыналы:

Немесе дәл теңдік:

Бір радианда қанша градус бар екенін анықтаңыз. Қалай? Оңай! Егер 3,14 радианда 180 градус болса, 1 радиан 3,14 есе аз! Яғни, бірінші теңдеуді (формула да теңдеу!) 3.14-ке бөлеміз:

Бұл қатынасты есте сақтау пайдалы.Бір радианда шамамен 60° бар. Тригонометрияда жиі жағдайды анықтауға, бағалауға тура келеді. Бұл жерде білімнің көмегі көп.

Бірақ бұл тақырыптың негізгі шеберлігі градустарды радианға және керісінше түрлендіру.

Егер бұрыш радианмен «pi» санымен берілсе, бәрі өте қарапайым. Біз «пи» радиандары = 180° екенін білеміз. Сондықтан біз «Pi» радиандарының орнына - 180 ° ауыстырамыз. Біз бұрышты градуспен аламыз. Азайғанды ​​азайтамыз, жауап дайын. Мысалы, қанша екенін анықтауымыз керек градусбұрышында «Pi»/2 радиан? Мұнда біз жазамыз:

Немесе экзотикалық өрнек:

Оңай, иә?

Кері аударма сәл күрделірек. Бірақ көп емес. Егер бұрыш градуспен берілсе, біз бір градустың радианмен не екенін анықтап, сол санды градус санына көбейтуіміз керек. Радиандағы 1° нешеге тең?

Біз формуланы қарастырамыз және егер 180 ° = «Pi» радиан болса, онда 1 ° 180 есе аз екенін түсінеміз. Немесе, басқаша айтқанда, теңдеуді (формула да теңдеу!) 180-ге бөлеміз. «Pi»-ді 3,14 деп көрсетудің қажеті жоқ, бәрібір әрқашан әріппен жазылады. Біз бір дәреженің тең екенін аламыз:

Осымен болды. Радиандағы бұрышты алу үшін градус санын осы мәнге көбейтіңіз. Мысалы:

Немесе сол сияқты:

Көріп отырғаныңыздай, лирикалық шегіністермен жайбарақат әңгімеде радиандар өте қарапайым болып шықты. Иә, аудармасы қиындықсыз ... Ал «Пи» - бұл мүлдем шыдамды нәрсе ... Сонымен, шатасу қайдан келді !?

Мен құпияны ашамын. Өйткені, тригонометриялық функцияларда градус белгішесі жазылады. Әрқашан. Мысалы, sin35°. Бұл синус 35 градус . Ал радиан белгішесі ( қуанышты) жазылмаған! Ол меңзейді. Математиктердің жалқаулығы ма, әлде басқа нәрсе... Бірақ олар жазбауды шешті. Егер синуста - котангенс ішінде белгішелер болмаса, онда бұрыш - радианда ! Мысалы, cos3 - үштің косинусы радиан .

Бұл түсінбеушілікке әкеледі ... Адам «Pi» көреді және оны 180 ° деп санайды. Кез келген уақытта және кез келген жерде. Айтпақшы, бұл жұмыс істейді. Әзірге мысалдар стандартты болып табылады. Бірақ Pi - бұл сан! 3.14 саны градус емес! Бұл «Пи» радиандары = 180°!

Тағы да: «Pi» - бұл сан! 3.14. Иррационал, бірақ сан. 5 немесе 8 сияқты. Мысалы, "Pi" қадамдарын жасауға болады. Үш қадам және одан да көп. Немесе «Пи» килограмм тәттілерді сатып алыңыз. Білімді сатушы ұсталса...

«Пи» - бұл сан! Не, мен сені осы сөзбен түсіндім бе? Сіз бәрін түсіндіңіз бе? Жарайды. Тексерейік. Қай сан үлкен екенін айта аласыз ба?

Немесе не кем?

Бұл санасыздықты тудыруы мүмкін стандартты емес сұрақтар сериясынан ...

Егер сіз де ессіз қалсаңыз, заклинание есіңізде болсын: «Pi» - бұл сан! 3.14. Ең бірінші синуста бұрыш анық көрсетілген - градуспен! Сондықтан, «Pi» 180 ° ауыстыру мүмкін емес! «Pi» градустары шамамен 3,14 градус. Сондықтан біз жаза аламыз:

Екінші синуста таңбалар жоқ. Сонымен, сонда - радиан! Мұнда «Pi» мәнін 180 ° -қа ауыстыру өте жақсы жұмыс істейді. Радиандарды градусқа түрлендіру, жоғарыда жазылғандай, біз аламыз:

Бұл екі синусты салыстыру қалады. Не. қалай ұмыттыңыз? Тригонометриялық шеңбердің көмегімен, әрине! Біз шеңбер сызамыз, шамамен 60 ° және 1,05 ° бұрыштарды саламыз. Біз осы бұрыштардың синусын қараймыз. Қысқасы, тригонометриялық шеңбер туралы тақырыптың соңындағыдай бәрі боялған. Шеңберде (тіпті қисық болса да!) бұл анық көрінеді sin60°қарағанда айтарлықтай көп sin1,05°.

Біз дәл осылай косинустармен жасаймыз. Шеңберде шамамен 4 бұрышты саламыз градусжәне 4 радиан(есіңізде болсын, шамамен 1 радиан дегеніміз не?). Шеңбер бәрін айтады! Әрине, cos4 cos4°-тан аз.

Бұрыш өлшемдерін өңдеуге жаттығып көрейік.

Осы бұрыштарды градустан радианға түрлендіріңіз:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Сіз бұл мәндерді радианмен аяқтауыңыз керек (басқа тәртіпте!)

Айтпақшы, мен жауаптарды екі жолға арнайы белгіледім. Ал, бірінші жолда қандай бұрыштар бар екенін анықтайық? градуста ма, әлде радианмен ме?

Иә! Бұл координаталар жүйесінің осьтері! Егер сіз тригонометриялық шеңберге қарасаңыз, онда осы мәндерде бұрыштың қозғалатын жағы дәл оське сәйкес келеді. Бұл құндылықтарды ирониялық түрде білу керек. Ал мен 0 градус (0 радиан) бұрышын бекер атап өткен жоқпын. Содан кейін кейбіреулер шеңбердегі бұл бұрышты ешбір жолмен таба алмайды ... Және, тиісінше, олар нөлдің тригонометриялық функцияларында шатастырады ... Тағы бір нәрсе, қозғалатын жақтың нөлдік градустағы орнымен сәйкес келеді. 360 °, сондықтан шеңбердегі сәйкестіктер әрқашан жақын.

Екінші жолда арнайы бұрыштар да бар... Бұл 30°, 45° және 60°. Және олардың ерекшелігі неде? Ерекше ештеңе жоқ. Бұл бұрыштардың басқалардан айырмашылығы - бұл бұрыштар туралы білу керек. Барлық. Және олар қайда орналасқан және бұл бұрыштар қандай тригонометриялық функциялар. Құндылығын айтайық sin100°білудің қажеті жоқ. А sin45°- өтінемін мейірімді болыңыз! Бұл міндетті білім, онсыз тригонометрияда ештеңе жоқ ... Бірақ бұл туралы келесі сабақта толығырақ.

Оған дейін жаттығуды жалғастырайық. Мына бұрыштарды радианнан градусқа түрлендіріңіз:

Сіз осындай нәтижелерге қол жеткізуіңіз керек (бесартыста):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Болды ма? Сонда біз мұны болжауға болады градустарды радианға және керісінше түрлендіру- енді сіздің мәселеңіз емес.) Бірақ бұрыштарды аудару - тригонометрияны түсінудің алғашқы қадамы. Сол жерде әлі де синус-косинустармен жұмыс істеу керек. Иә, және жанамалармен, котангенстермен де ...

Екінші күшті қадам тригонометриялық шеңбердегі кез келген бұрыштың орнын анықтау мүмкіндігі.градуспен де, радианмен де. Дәл осы шеберлік туралы мен сізге барлық тригонометрия бойынша скучно айтамын, иә ...) Егер сіз тригонометриялық шеңбер және тригонометриялық шеңбердегі бұрыштарды санау туралы бәрін білсеңіз (немесе бәрін білемін деп ойласаңыз), оны тексеруге болады. шығып. Мына қарапайым тапсырмаларды шешіңіз:

1. Бұрыштар қай ширектен тұрады?

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Оңай ма? Біз жалғастырамыз:

2. Бұрыштар қай ширекте түседі?

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Сондай-ақ проблема жоқ па? Ал, қараңдар...)

3. Бұрыштарды төрттен орналастыруға болады:

Алдың ба? Ал, сен бересің..)

4. Бұрыш қандай осьтерге түседі?

және бұрыш:

Бұл да оңай ма? Хм...)

5. Бұрыштар қай ширектен тұрады?

Және ол жұмыс істеді!? Сонда мен шынымен білмеймін...)

6. Бұрыштар қай ширекке жататынын анықтаңыз:

1, 2, 3 және 20 радиан.

Мен соңғы тапсырманың соңғы сұрағына ғана жауап беремін (бұл аздап қиын). Бірінші тоқсанға 20 радиандық бұрыш түседі.

Қалған жауаптарды ашкөздіктен бермеймін.) Егер сіз шешкен жоқбірдеңе күмәннәтижесінде, немесе No4 тапсырмаға жұмсалады 10 секундтан артықсіз шеңберде нашар бағдарланғансыз. Бұл сіздің барлық тригонометриядағы мәселеңіз болады. Одан (тригонометрия емес, мәселе!) дереу құтылған дұрыс. Мұны мына тақырыпта орындауға болады: 555 бөлімдегі тригонометриялық шеңбермен практикалық жұмыс.

Онда мұндай тапсырмаларды қалай қарапайым және дұрыс шешу керектігі айтылады. Әрине, бұл міндеттер шешілді. Ал төртінші тапсырма 10 секундта шешілді. Иә, сондықтан кез келген адам жасай алады деп шешті!

Егер сіз өзіңіздің жауаптарыңызға толық сенімді болсаңыз және радианмен жұмыс істеудің қарапайым және қиындықсыз әдістері сізді қызықтырмаса, сіз 555-ке кіре алмайсыз. Мен талап етпеймін.)

Жақсы түсіну жеткілікті жақсы себепжалғастыру!)

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Бұрыш - негізгі геометриялық фигура, біз оны бүкіл тақырып бойынша талдаймыз. Бұрыштың анықтамалары, орнату әдістері, белгіленуі және өлшеуі. Сызбалардағы бұрыштарды таңдау принциптерін талдап көрейік. Бүкіл теория суреттелген және бар көп саныкөрнекі сызбалар.

Бұрыш- геометриядағы қарапайым маңызды фигура. Бұрыш тікелей сәуленің анықтамасына байланысты, ол өз кезегінде нүкте, түзу және жазықтық туралы негізгі ұғымдардан тұрады. Егжей-тегжейлі оқу үшін тақырыптарға тереңірек үңілу керек жазықтықтағы түзу – қажетті ақпаратЖәне ұшақ – қажетті ақпарат.

Бұрыш ұғымы осы жазықтықта бейнеленген нүкте, жазықтық және түзу ұғымдарынан басталады.

Анықтама 2

Жазықтықта а сызығы берілген. Ондағы кейбір О нүктесін белгілеңіз. Түзу нүкте арқылы екі бөлікке бөлінеді, олардың әрқайсысының аты бар Рэй, және О нүктесі сәуленің басталуы.

Басқаша айтқанда, пучок немесе жарты сызық -ол бастапқы нүктеге, яғни О нүктесіне қатысты бір жағында орналасқан, берілген түзудің нүктелерінен тұратын түзудің бөлігі.

Арқалықты белгілеуге екі нұсқада рұқсат етіледі: бір кіші әріп немесе екі бас әріптерЛатын әліпбиі. Екі әріппен белгіленген кезде сәуленің екі әріптен тұратын атауы болады. Сызбаны мұқият қарастырайық.

Бұрышты анықтау ұғымына көшейік.

Анықтама 3

Бұрыш- бұл берілген жазықтықта орналасқан фигура, шығу тегі ортақ екі сәйкес келмейтін сәулелерден құралған. бүйірлік бұрышсәуле болып табылады шыңы- тараптардың ортақ бастамасы.

Бұрыштың қабырғалары түзу ретінде әрекет ете алатын жағдай бар.

Анықтама 4

Егер бұрыштың екі қабырғасы бір түзуде орналасса немесе оның қабырғалары бір түзудің қосымша жарты сызықтары қызметін атқарса, онда мұндай бұрыш деп аталады. орналастырылған.

Төмендегі суретте тегістелген бұрыш көрсетілген.

Түзу сызықтағы нүкте бұрыштың төбесі болып табылады. Көбінесе ол О нүктесімен белгіленеді.

Математикадағы бұрыш «∠» белгісімен белгіленеді. Бұрыштың қабырғаларын кіші латынша белгілегенде, бұрышты дұрыс анықтау үшін қабырғаларына сәйкес әріптер қатарға жазылады. Егер екі жағы k және h деп белгіленсе, онда бұрыш ∠ k h немесе ∠ h k деп белгіленеді.

Бас әріптермен белгілеу болған кезде, тиісінше, бұрыштың жақтарында O A және O B атаулары болады. Бұл жағдайда бұрышта латын әліпбиінің үш әріптерінің аты бар, олар ортасында төбесімен қатар жазылған - ∠ A O B және ∠ B O A . Бұрыштарда атаулар немесе әріптер болмаған кезде сандар түрінде белгілеу бар. Төменде сурет қайда орналасқан әртүрлі жолдарбұрыштары белгіленген.

Бұрыш жазықтықты екі бөлікке бөледі. Егер бұрыш дамымаған болса, онда жазықтықтың бір бөлігінің атауы бар ішкі бұрыш аймағы, басқа - сыртқы бұрыш аймағы. Төменде жазықтықтың қай бөліктері сыртқы және қайсысы ішкі екенін түсіндіретін сурет берілген.

Жазықтықта түзу бұрышқа бөлінгенде оның кез келген бөлігі түзу бұрыштың ішкі бөлігі болып саналады.

Бұрыштың ішкі аймағы - бұрыштың екінші анықтамасына қызмет ететін элемент.

Анықтама 5

бұрышшақырды геометриялық фигура, ортақ басы және бұрыштың сәйкес ішкі аймағы бар екі сәйкес келмейтін сәулелерден тұрады.

Бұл анықтама бұрынғыға қарағанда қатаңырақ, өйткені оның шарттары көп. Екі анықтаманы да бөлек қарастырған жөн емес, өйткені бұрыш бір нүктеден шығатын екі сәуле арқылы түрленетін геометриялық фигура. Бұрышпен әрекеттерді орындау қажет болғанда, анықтама ортақ шығу тегі және ішкі аймақ бар екі сәуленің болуын білдіреді.

Екі бұрыш деп аталады байланысты, егер ортақ жағы болса, ал қалған екеуі бірін-бірі толықтыратын жарты сызықтар немесе түзу бұрышты құраса.

Суретте іргелес бұрыштар бірін-бірі толықтыратыны көрсетілген, өйткені олар бірінің жалғасы болып табылады.

Анықтама 7

Екі бұрыш деп аталады вертикалды, егер біреуінің қабырғалары екіншісінің қосымша жартылай сызығы болса немесе екіншісінің қабырғаларының жалғасы болса. Төмендегі суретте тік бұрыштардың кескіні көрсетілген.

Сызықтарды қиып өткенде 4 жұп іргелес және 2 жұп тік бұрыштар алынады. Төменде суретте көрсетілген.

Мақалада тең және тең емес бұрыштардың анықтамалары берілген. Біз қай бұрышты үлкен, қайсысы кіші деп есептейтінін және бұрыштың басқа да қасиеттерін талдаймыз. Екі фигура тең деп есептеледі, егер олар қабаттасқан кезде олар толығымен сәйкес келсе. Дәл осындай қасиет бұрыштарды салыстыру үшін де қолданылады.

Екі бұрыш берілген. Бұл бұрыштардың тең немесе тең еместігі туралы қорытындыға келу керек.

Екі бұрыштың шыңдары мен бірінші бұрыштың жағы екінші бұрыштың кез келген басқа жағымен қабаттасатыны белгілі. Яғни, толық сәйкес келген жағдайда, бұрыштарды бір-бірінің үстіне қойғанда, берілген бұрыштардың қабырғалары толығымен сәйкес келеді, бұрыштар тең.

Мүмкін, жақтарды біріктіру кезінде бұрыштар біріктірілмеуі мүмкін тең емес, кішірекбасқасынан тұрады және Көбіректолық басқа бұрышты қамтиды. Төменде тең емес бұрыштар қабаттасқан кезде тураланбайды.

Дамыған бұрыштар тең.

Бұрыштарды өлшеу өлшенетін бұрыштың жағын және оның ішкі аймағын өлшеуден басталады, оны бірлік бұрыштармен толтыру, олар бір-біріне қолданылады. Үйілген бұрыштардың санын санау керек, олар өлшенген бұрыштың өлшемін алдын ала анықтайды.

Бұрыш бірлігін кез келген өлшенетін бұрышпен көрсетуге болады. Ғылым мен техникада қолданылатын жалпы қабылданған өлшем бірліктері бар. Олар басқа атауларға маманданған.

Ең жиі қолданылатын ұғым дәрежесі.

Анықтама 8

бір дәрежетүзілген бұрыштың жүз сексеннен бір бөлігі болатын бұрыш деп аталады.

Дәреженің стандартты белгісі «°», содан кейін бір градус 1° болады. Демек, түзу бұрыш бір градустан тұратын осындай 180 бұрыштан тұрады. Барлық қол жетімді бұрыштар бір-біріне тығыз орналасқан және алдыңғысының бүйірлері келесіге сәйкес келеді.

Бұрыштағы градус саны бұрыштың бірдей өлшемі болатыны белгілі. Әзірленген бұрыштың құрамында 180 қабатталған бұрыштар бар. Төмендегі суретте бұрыштың 30 рет, яғни кеңейтілгеннің алтыдан бір бөлігі және 90 рет, яғни жартысы салынған мысалдар көрсетілген.

Бұрыш өлшемдерін дәл анықтау үшін минуттар мен секундтар қолданылады. Олар бұрыш мәні бүтін дәреже белгісі болмаған кезде қолданылады. Дәреженің мұндай бөліктері дәлірек есептеулерді орындауға мүмкіндік береді.

Анықтама 9

минутдәреженің алпыс бөлігі деп аталады.

Анықтама 10

екіншіминуттың алпыстан бір бөлігін шақырды.

Бір дәрежеде 3600 секунд бар. Минуттар «»», ал секундтар «»» белгілейді. Белгілеу орын алады:

1°=60"=3600"", 1"=(160)°, 1"=60"", 1""=(160)"=(13600)°,

ал 17 градус 3 минут 59 секунд бұрышының белгісі 17° 3 «59»».

Анықтама 11

17 ° 3 «59» » тең бұрыштың градустық өлшемін белгілеуге мысал келтірейік. Жазбада 17 + 3 60 + 59 3600 \u003d 17 239 3600 басқа нысаны бар.

Бұрыштарды дәл өлшеу үшін транспортир сияқты өлшеуіш құрал қолданылады. ∠ A O B бұрышын және оның градус өлшемін 110 градусқа белгілеу кезінде ыңғайлырақ ∠ A O B \u003d 110 ° белгілеу пайдаланылады, онда «A O B бұрышы 110 градусқа тең» деп жазылған.

Геометрияда (0 , 180 ) аралығынан бұрыш өлшемі қолданылады, ал тригонометрияда ерікті градус өлшемі деп аталады. бұрылу бұрыштары.Бұрыштардың мәні әрқашан өрнектеледі нақты сан. Тікбұрыш 90 градус болатын бұрыш. Өткір бұрыш 90 градустан аз бұрыш болып табылады, және доғал- Көбірек.

Сүйір бұрыш (0, 90) аралықта өлшенеді, ал доғал бұрыш - (90, 180) . Бұрыштардың үш түрі төменде анық көрсетілген.

Кез келген бұрыштың кез келген градустық өлшемі бірдей мәнге ие болады. Сәйкесінше үлкенірек бұрыш кішіге қарағанда үлкен дәреже өлшеміне ие. Бір бұрыштың градустық өлшемі ішкі бұрыштардың барлық қол жетімді градустық өлшемдерінің қосындысы болып табылады. Төмендегі суретте AOC, COD және DOB бұрыштарынан тұратын AOB бұрышы көрсетілген. Егжей-тегжейлі айтқанда, ол келесідей көрінеді: ∠ A O B = ∠ A O C + ∠ D O B = 45 ° + 30 ° + 60 ° = 135 °.

Осыған сүйене отырып, мынадай қорытынды жасауға болады сомабарлық іргелес бұрыштары 180 градусөйткені олардың барлығы кеңейтілген бұрышты құрайды.

Бұдан шығатыны кез келген тік бұрыштары тең. Мұны мысалмен қарастырсақ, A O B және C O D бұрыштары тік (сызбада) болатынын аламыз, онда A O B және B O C, C O D және B O C бұрыштарының жұптары іргелес болып саналады. Мұндай жағдайда ∠ A O B + ∠ B O C = 180 ° және ∠ C O D + ∠ B O C = 180 ° теңдігі бірегей ақиқат болып саналады. Демек, бізде ∠ A O B = ∠ C O D болады. Төменде тік ұстағыштардың кескіні мен белгіленуі мысалы келтірілген.

Градустардан, минуттардан және секундтардан басқа басқа өлшем бірлігі қолданылады. деп аталады радиан. Көбінесе оны көпбұрыштардың бұрыштарын белгілеу кезінде тригонометриядан табуға болады. Радиан деп нені атайды.

Анықтама 12

Бір радиандық бұрышшеңбердің радиусының ұзындығына ие орталық бұрыш деп аталады ұзындығына теңдоғалар.

Суретте радиан шеңбер ретінде бейнеленген, онда центрі нүктемен көрсетілген, шеңбердің екі нүктесі қосылған және O A және O B радиустарына айналдырылған. Анықтама бойынша, бұл A O B үшбұрышы тең қабырғалы, яғни А В доғасының ұзындығы O B және Oh A радиустарының ұзындықтарына тең екенін.

Бұрыштың белгіленуі «рад» ретінде қабылданады. Яғни, 5 радиандағы жазба 5 рад деп қысқартылады. Кейде сіз pi атауы бар белгілеуді таба аласыз. Радиандар берілген шеңбердің ұзындығына тәуелді емес, өйткені фигуралар берілген бұрыштың төбесінде орналасқан центрі бар бұрыш пен доғаның көмегімен қандай да бір шектеулерге ие. Олар ұқсас болып саналады.

Радиандар градустармен бірдей мағынаға ие, тек айырмашылық олардың шамасында. Мұны анықтау үшін орталық бұрыш доғасының есептелген ұзындығын оның радиусының ұзындығына бөлу керек.

Іс жүзінде олар пайдаланады градустарды радианға және радианды градусқа түрлендірумәселені оңай шешу үшін. Көрсетілген мақалада дәреже өлшемі мен радиан арасындағы байланыс туралы ақпарат бар, онда сіз градустан радианға және керісінше аудармаларды егжей-тегжейлі зерттей аласыз.

Доғаларды, бұрыштарды, сызбаларды көрнекі және ыңғайлы бейнелеу үшін қолданылады. Белгілі бір бұрышты, доғаны немесе атауды дұрыс бейнелеу және белгілеу әрқашан мүмкін емес. Тең бұрыштар бірдей доғалар саны түрінде, ал әр түрлі түрінде тең емес бұрыштар белгіленеді. Сызбада өткір, тең және тең емес бұрыштардың дұрыс белгіленуі көрсетілген.

3-тен астам бұрыштарды белгілеу қажет болғанда, толқынды немесе қиыршық тәрізді арнайы доға белгілері қолданылады. Онда онша көп емес маңыздылығы. Төмендегі суретте олардың белгіленуі көрсетілген.

Бұрыштарды белгілеу басқа мәндерге кедергі келтірмеу үшін қарапайым болуы керек. Мәселені шешу кезінде бүкіл сызбаны шатастырмас үшін шешуге қажетті бұрыштарды ғана таңдау ұсынылады. Бұл шешім мен дәлелдеуге кедергі жасамайды, сонымен қатар сызбаға эстетикалық көрініс береді.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Бұрыштар әртүрлі өлшем бірліктермен өлшенеді. Ол градус, радиан болуы мүмкін. Көбінесе бұрыштар градуспен өлшенеді. (Бұл дәрежені температура өлшемімен шатастырмау керек, мұнда «дәреже» сөзі де қолданылады.)

1 градус - түзетілген бұрыштың 1/180 бөлігіне тең бұрыш. Басқаша айтқанда, егер біз дамыған бұрышты алып, оны 180 тең бөліктерге бөлетін болсақ, онда әрбір осындай кішкентай бұрыш 1 градусқа тең болады. Барлық басқа бұрыштардың өлшемі өлшенген бұрыштың ішіне осы шағын бұрыштардың қаншасын орналастыруға болатынымен анықталады.

Дәреже ° белгісімен белгіленеді. Бұл нөл емес және О әрпі емес. Бұл дәрежені белгілеу үшін енгізілген ерекше таңба.

Сонымен, түзу бұрыш 180°, тік бұрыш 90°, сүйір бұрыштар 90°-тан кіші, доғал бұрыштар 90°-тан үлкен.

Метрикалық жүйе қашықтықты өлшеу үшін метрді пайдаланады. Дегенмен, үлкенірек те, кішірек те бірліктер қолданылады. Мысалы, сантиметр, миллиметр, километр, дециметр. Осыған ұқсастық бойынша бұрыштардың градустық өлшемі бойынша минуттар мен секундтар да ажыратылады.

Бір градус минуты градустың 1/60 бөлігіне тең. Ол бір белгімен белгіленеді».

Бір градус секунд минуттың 1/60 бөлігіне немесе 1/3600 градусқа тең. Екіншісі екі «, яғни «» белгісімен белгіленеді.

Мектеп геометриясында градустық минуттар мен секундтар сирек қолданылады, бірақ түсіну керек, мысалы, мұндай жазба: 35 ° 21 «45»».Бұл бұрыш 35 градус + 21 минут + 45 секунд екенін білдіреді.

Екінші жағынан, егер бұрышты дәл бүтін градуспен өлшеу мүмкін болмаса, онда минуттар мен секундтарды енгізу қажет емес. Бөлшек дәрежелерді пайдалану жеткілікті. Мысалы, 96,5°.

Минуттар мен секундтарды градустың бөлшектерімен өрнектеп, градусқа айналдыруға болатыны анық. Мысалы, 30" тең (30/60)° немесе 0,5°. Ал 0,3° тең (0,3 * 60)" немесе 18". Сондықтан минуттар мен секундтарды пайдалану - жай ғана ыңғайлылық мәселесі.

Бұрыш деп нүктеден – бұрыштың төбесінен және осы нүктеден шығатын екі түрлі жарты сызықтан – бұрыштың қабырғаларынан тұратын фигураны айтады (14-сурет). Егер бұрыштың қабырғалары қосымша жарты сызықтар болса, онда бұрыш түзу бұрыш деп аталады.

Бұрыш не оның төбесін көрсету арқылы, не қабырғаларын көрсету арқылы немесе үш нүктені көрсету арқылы көрсетіледі: төбе және бұрыштың бүйірлеріндегі екі нүкте. Кейде «бұрыш» сөзі ауыстырылады

14-суреттегі бұрышты үш жолмен көрсетуге болады:

Егер с сәулесі оның төбесінен шығып, бұрыштың қабырғаларында ұштары бар кейбір кесіндіні қиып өтсе, оның қабырғаларының арасынан өтеді деп аталады.

15-суретте с сәулесі кесіндімен қиылысатындықтан бұрыштың қабырғалары арасында өтеді

Түзу бұрыш жағдайында оның төбесінен шығатын және оның қабырғаларынан өзгеше кез келген сәуле бұрыштың қабырғалары арасында өтеді.

Бұрыштар градуспен өлшенеді. Егер түзу бұрышты алып, оны 180 тең бұрышқа бөлетін болсақ, онда осы бұрыштардың әрқайсысының градустық өлшемі градус деп аталады.

Бұрыштарды өлшеудің негізгі қасиеттері келесі аксиомамен өрнектеледі:

Әрбір бұрыштың нөлден үлкен белгілі бір градус өлшемі бар. Дамыған бұрыш 180°. Бұрыштың градустық өлшемі оның қабырғалары арасынан өтетін кез келген сәулеге бөлінген бұрыштардың градустық өлшемдерінің қосындысына тең.

Бұл дегеніміз, егер с сәулесі бұрыштың қабырғаларының арасынан өтетін болса, онда бұрыш бұрыштардың қосындысына тең болады.

Бұрыштың градустық өлшемін транспортир көмегімен табады.

90°-қа тең бұрыш тік бұрыш деп аталады. 90°-тан кіші бұрыш деп аталады сүйір бұрыш. 90°-тан үлкен және 180°-тан кіші бұрыш доғал бұрыш деп аталады.

Бұрыштарды төсеудің негізгі қасиетін тұжырымдаймыз.

Кез келген жарты сызықтан берілген жарты жазықтыққа берілген градус өлшемі 180°-тан аз бұрышты және тек біреуін ғана алып тастауға болады.

Жартылай сызықты қарастырайық a. Біз оны бастапқы A нүктесінен ары қарай созамыз. Алынған түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі. 16-суретте транспортирді а жарты сызықтан жоғарғы жарты жазықтыққа 60 ° градустық берілген бұрышты бөлу үшін қалай пайдалану керектігі көрсетілген.

T. 1. 2. Егер бір жарты жазықтықта берілген жарты түзуден екі бұрыш қойылса, онда кіші бұрыштың берілген жарты түзуден өзгеше қабырғасы үлкен бұрыштың қабырғаларының арасынан өтеді. .

Берілген а жарты түзуінен бір жарты жазықтыққа дейінгі бұрыштар болсын, ал бұрышы бұрыштан кіші болсын. 1.2-теоремада сәуленің бұрыштың қабырғалары арасында өтетіні көрсетілген (17-сурет).

Бұрыштың биссектрисасы деп оның төбесінен шығатын, қабырғаларының арасынан өтетін және бұрышты екіге бөлетін сәулені айтады. 18-суретте сәуле бұрыштың биссектрисасы болып табылады

Геометрияда жазық бұрыш деген ұғым бар. Жазық бұрыш – бір нүктеден шығатын екі түрлі сәулемен шектелген жазықтықтың бөлігі. Бұл сәулелер бұрыштың қабырғалары деп аталады. Берілген жақтары бар екі жалпақ бұрыш бар. Олар қосымша деп аталады. 19-суретте а және жақтары бар жазық бұрыштардың бірі

Негізгі ұғымдар

Бұрыштарды өлшеу мәселесінің бөлігі ретінде бұл бөлімде біз бастапқы геометриялық ақпаратқа қатысты бірнеше ұғымдарды қарастырамыз:

• бұрыш;
• кеңейтілген және дамымаған бұрыш;
• градус, минут және секунд;
• бұрыштың градустық өлшемі;
• тік, сүйір және доғал бұрыштар.

Бұрыш - нүкте (төбе) және одан шығатын екі сәуле (жақсы) болатын осындай геометриялық фигура. Егер екі сәуле де бір түзуде жатса, бұрыш орналастырылған деп аталады.

Бұрыштың градустық өлшемі арқасында бұрыштарды өлшеуге болады. Бұрыштарды өлшеу сегменттерді өлшеуге ұқсас жүзеге асырылады. Сегменттерді өлшегенде, бұрыштарды өлшегенде арнайы өлшем бірлігі қолданылады. Көбінесе бұл диплом.

Анықтама 1

Дәреже – өлшем бірлігі. Геометрияда ол басқа бұрыштар салыстырылатын бұрышты білдіреді. Дәреже түзу бұрыштан $\frac(1)(180)$ тең.

Енді бұрыштың градустық өлшемін анықтай аламыз.

Анықтама 2

Бұрыштың градустық өлшемі оң сан, ол берілген бұрышқа градустың қанша рет сәйкес келетінін көрсетеді.

Бұрыштарды өлшеу үшін транспортир қолданылады.

Дәреже өлшемін жазу мысалы: $\angle ABC = 150^(\circ)$. Суретте бұл жазба келесіні білдіреді:

Ауызша түрде олар былай дейді: «АВС бұрышы 150 градус».

Дәреженің кейбір бөліктерінің өздерінің арнайы атаулары бар. Минут $\frac(1)(60)$ дәреженің бөлігі деп аталады, $"$ белгісі белгілеу үшін пайдаланылады. Секунд $\frac(1)(60)$ минуттың бір бөлігі $"" деп аталады. $ белгілеу үшін пайдаланылады. Бұрышты 75 градус, 45 минут және 28 секундта жазудың мысалы: $75^(\circ)45"28""$.

Тең бұрыштар - градус өлшемдері тең бұрыштар. Сәйкесінше, бір бұрыш екіншісінен кіші немесе бір бұрыш екіншісінен үлкен деп бұрыштарды салыстыруға болады.

Дамыған бұрыштың анықтамасы жоғарыда берілген. Дәрежелік өлшем ұғымын біле отырып, біз бұрылған және дамымаған бұрыштың арасындағы айырмашылықты сипаттай аламыз. Түзу бұрыш әрқашан $180^(\circ)$ болады. Шектелмеген бұрыш деп $180^(\circ)$ кем кез келген бұрышты айтады.

Тік, сүйір және доғал бұрыштар болады. Тік бұрыш $90^(\circ)$, сүйір бұрыш $90^(\circ)$ кем, доғал бұрыш $90^(\circ)$ үлкен және $180^(\circ)$ кем.

Сурет 4. Тік, сүйір және доғал бұрыштар. Author24 - студенттік жұмыстардың онлайн алмасуы

IN Күнделікті өмірбұрыштарды өлшеу және градус өлшемін түсіну қабілетінің қажеттілігі мен маңыздылығының мысалдары бар. Бұрыштарды өлшеу әртүрлі зерттеулерде, соның ішінде аспан денелерінің орнын анықтауда астрономияда қажет.

Тәжірибе үшін кем дегенде үш бүктелмеген бұрышты және біреуін әртүрлі тәсілдермен бұруға тырысыңыз, бұрыштарды транспортирмен өлшеңіз және осы нәтижелерді жазыңыз. Кездейсоқ сандарды орнатуға және транспортирмен бұрыштарды салудың дәлдігін, оларды биссектрисаға бөлуге машықтана аласыз (биссектриса – берілген бұрыштың төбесінен шығатын және бұрышты екіге бөлетін сәуле).

Тапсырма мысалдары

1-мысал

Тапсырма. Суреті бар:

$DE$ және $DF$ сәулелері сәйкес $ADB$ және $BDC$ бұрыштарының биссектрисалары болып табылады. $\angle EDF = 75^(\circ)$ болса, $ADC$ бұрышын табу қажет.

Шешім. $EDF$ бұрышы әрбір $ADB$ және $BDC$ бұрыштарының жартысын қамтитындықтан, $EDF$ $ADC$ бұрышының дәл жартысы деген қорытынды жасауға болады. Біз қарапайым есептеулерді аламыз: $\angle ADC=75\cdot 2=150^(\circ)$.

Жауап: $150^(\circ)$.

Тағы бір қызықты мысалды алайық.

2-мысал

Тапсырма. Сызба берілген.

$ABC$ бұрышы тік бұрыш. $ABE$, $EBD$ және $DBC$ бұрыштары тең. $ABE$ және $DBC$ биссектрисалары түзетін бұрышты табу керек.

Шешім. $ABC$ тік бұрыш болғандықтан, оның $90^(\circ)$ тең екенін білдіреді. Бұрыш $\бұрыш EBD=90/3=30^(\circ)$. $ABE$, $EBD$ және $DBC$ бұрыштары тең болғандықтан, олардың кез келгені $30^(\circ)$ тең болады. Осы бұрыштардың кез келгенінің биссектрисасы осы бұрыштардың кез келгенін $15^(\circ)$ тең екі бұрышқа бөледі. $ABE$ және $DBC$ бұрыштарының екі жартысы қажетті бұрышқа жататындықтан, қалаған бұрыш $30+15+15=60^(\circ)$-ға тең деп айта аламыз.

Жауап. $60^(\circ)$

Бұл мақалада біз бұрыштың градустық өлшемі және бұрыштарды қалай өлшеуге болатыны туралы мәселені толығымен аштық.