Вектордың санға көбейтіндісі. Қандай вектор екі вектордың қосындысы деп аталады нөлдік а векторы мен k санының көбейтіндісі

Физикадағы табиғат заңдарын дұрыс көрсету үшін сәйкес математикалық құралдар қажет.

Геометрия мен физикада сандық мәнмен де, бағытпен де сипатталатын шамалар бар.

Оларды бағытталған сегменттер немесе ретінде көрсету ұсынылады векторлар.

Байланыста

Мұндай мәндердің басы (нүктемен көрсетілген) және көрсеткі арқылы көрсетілген соңы болады. Сегменттің ұзындығы (ұзындығы) деп аталады.

• жылдамдық;
• жеделдету;
• импульс;
• күш;
• сәт;
• күш;
• қозғалу;
• өріс күші және т.б.

Жазықтық координаталары

А (х1, у1) нүктесінен В (х2, у2) нүктесіне бағытталған жазықтықта кесіндіні анықтайық. Оның координаталары a (a1, a2) a1=x2-x1, a2=y2-y1 сандары.

Модуль Пифагор теоремасы арқылы есептеледі:

Нөлдік вектордың басы мен соңы болады. Координаталары мен ұзындығы 0.

Векторлардың қосындысы

Бар соманы есептеудің бірнеше ережелері

• үшбұрыш ережесі;
• көпбұрыш ережесі;
• параллелограмм ережесі.

Векторларды қосу ережесін динамика мен механика есептерінің көмегімен түсіндіруге болады. Үшбұрыш ережесі бойынша векторларды қосуды нүктелік денеге әсер ететін күштер мен дененің кеңістікте рет-ретімен орын ауыстыруы мысалында қарастырайық.

Дене алдымен А нүктесінен В нүктесіне, содан кейін В нүктесінен С нүктесіне көшті делік. Соңғы орын ауыстыру - бұл бастапқы А нүктесінен С соңғы нүктесіне бағытталған кесінді.

Екі орын ауыстырудың нәтижесі немесе олардың қосындысы s = s1+ s2. Мұндай әдіс деп аталады үшбұрыш ережесі.

Көрсеткілер бірінен соң бірі тізбекте орналасады, қажет болған жағдайда параллель тасымалдауды жүзеге асырады. Жалпы сегмент ретті жабады. Оның басы біріншінің басымен, соңы – соңғының аяғымен сәйкес келеді. Шетелдік оқулықтарда бұл әдіс деп аталады «құйрықтан басына».

c = a + b нәтижесінің координаталары c (a1+ b1, a2+ b2) мүшелерінің сәйкес координаталарының қосындысына тең.

Параллель (коллинеар) векторлардың қосындысы да үшбұрыш ережесімен анықталады.

Егер екі бастапқы кесінді бір-біріне перпендикуляр болса, онда олардың қосылуының нәтижесі оларға салынған тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасы болады. Қосындының ұзындығы Пифагор теоремасы арқылы есептеледі.

Мысалдар:

• Көлденең лақтырылған дененің жылдамдығы перпендикуляреркін түсу үдеуі.
• Бірқалыпты айналмалы қозғалыс кезінде дененің сызықтық жылдамдығы центрге тартқыш үдеуге перпендикуляр болады.

Үш немесе одан да көп векторларды қосусәйкес өндіреді көпбұрыш ережесі, «құйрықтан басына»

Нүктелік денеге F1 және F2 күштері қолданылады деп алайық.

Тәжірибе бұл күштердің біріккен әсері оларға салынған параллелограмм бойымен диагональ бойынша бағытталған бір күштің әрекетіне тең екенін дәлелдейді. Бұл нәтижелі күш олардың F \u003d F1 + F 2 қосындысына тең. Жоғарыда көрсетілген қосу әдісі деп аталады. параллелограмм ережесі.

Бұл жағдайда ұзындық формула бойынша есептеледі

Мұндағы θ - қабырғалар арасындағы бұрыш.

Үшбұрыш пен параллелограмм ережелері бір-бірін алмастырады. Физикада параллелограмм ережесі жиі қолданылады, өйткені күштердің, жылдамдықтардың және үдеулердің бағытталған шамалары әдетте бір нүктелік денеге қолданылады. 3D координаттар жүйесінде қорап ережесі қолданылады.

Алгебра элементтері

1. Қосу – екілік операция: бір уақытта тек жұп қосуға болады.
2. коммутативтілік: мүшелерді алмастыру қосындысы өзгермейді a + b = b + a. Бұл параллелограмм ережесінен анық: диагональ әрқашан бірдей.
3. Ассоциативтілік: сома ерікті санвекторлары олардың қосылу ретіне тәуелді емес (a + b) + c = a + (b + c).
4. Нөлдік вектормен қосындылау бағыт пен ұзындықты өзгертпейді: a +0= a .
5. Әрбір вектор үшін бар қарама-қарсы. Олардың қосындысы нөлге тең a +(-a)=0, ал ұзындықтары бірдей.

Скалярға көбейту

Скалярға көбейтудің нәтижесі вектор болып табылады.

Өнімнің координаталары көздің сәйкес координаталарын скалярға көбейту арқылы алынады.

Скаляр - бірден үлкен немесе кіші плюс немесе минус таңбасы бар сандық мән.

Физикадағы скалярлардың мысалдары:

• салмақ;
• уақыт;
• зарядтау;
• ұзындығы;
• шаршы;
• көлемі;
• тығыздығы;
• температура;
• энергия.

Мысал:

Жұмыс күш пен орын ауыстырудың скалярлық көбейтіндісі A = Fs.

Физика, механика және техника ғылымдарының әртүрлі салаларын оқығанда олардың сандық мәндерін орнату арқылы толық анықталатын шамалар болады. Мұндай шамалар деп аталады скалярнемесе қысқаша айтқанда, скалярлар.

Скалярлық шамалар ұзындық, аудан, көлем, масса, дене температурасы т.б.. Әртүрлі есептерде скалярлық шамалардан басқа шамалар бар, оларды анықтау үшін сандық мәннен басқа олардың бағытын да білу қажет. . Мұндай шамалар деп аталады векторы. Векторлық шамалардың физикалық мысалдарына кеңістікте қозғалатын материалдық нүктенің орын ауыстыруы, осы нүктенің жылдамдығы мен үдеуі, сонымен қатар оған әсер ететін күш жатады.

Векторлық шамалар векторлардың көмегімен көрсетіледі.

Векторлық анықтама. Вектор - белгілі бір ұзындығы бар бағытталған түзу кесіндісі.

Вектор екі нүктемен сипатталады. Бір нүкте вектордың бастапқы нүктесі, екіншісі вектордың соңғы нүктесі. Егер вектордың басын нүктемен белгілесек А , ал вектордың соңы нүкте IN , онда вектордың өзі арқылы белгіленеді. Векторды үстіне жолағы бар жалғыз кішкентай латын әрпімен де белгілеуге болады (мысалы, ).

Графикалық түрде вектор соңында көрсеткі бар сызық сегментімен бейнеленген.

Вектордың басы деп аталады оның қолдану нүктесі.Егер нүкте Авектордың басы болып табылады , онда вектордың нүктеге қосылғанын айтамыз А.

Вектор екі шамамен сипатталады: ұзындығы және бағыты.

Вектор ұзындығы – бастапқы А нүктелері мен В соңғы нүктелерінің арасындағы қашықтық. Вектор ұзындығының басқа атауы вектордың модулі болып табылады және таңбамен белгіленеді . Вектордың модулі белгіленген Вектор , ұзындығы 1-ге тең бірлік вектор деп аталады. Яғни бірлік вектордың шарты

Ұзындығы нөлге тең вектор нөлдік вектор деп аталады (белгіленген). Әлбетте, нөлдік вектордың бастапқы және соңғы нүктелері бірдей. Нөлдік вектордың нақты бағыты жоқ.

Коллинеар векторлардың анықтамасы. Бір түзуде немесе параллель түзулерде орналасқан векторлар коллинеар деп аталады .

Коллинеар векторлардың әртүрлі ұзындықтары мен әртүрлі бағыттары болуы мүмкін екенін ескеріңіз.

Тең векторлардың анықтамасы.Екі векторы тең деп аталады, егер олар коллинеар болса, ұзындығы бірдей және бағыты бірдей.

Бұл жағдайда олар жазады:

Түсініктеме. Векторлардың теңдігінің анықтамасынан шығатыны, вектордың басын кеңістіктің кез келген нүктесінде (атап айтқанда, жазықтықта) орналастыру арқылы параллельді тасымалдауға болады.

Барлық нөлдік векторлар тең деп есептеледі.

Қарама-қарсы векторлардың анықтамасы.Екі вектор, егер олар коллинеар болса, қарама-қарсы деп аталады, ұзындығы бірдей, бірақ бағыты қарама-қарсы.

Бұл жағдайда олар жазады:

Басқаша айтқанда, векторға қарама-қарсы вектор деп белгіленеді.

m n матрицасы.

Матрица өлшемі m және n болатын коллекция mn деп аталады нақты сандарнемесе басқа құрылымның элементтері (көпмүшелер, функциялар және т.б.), m жолдан және n бағаннан тұратын және дөңгелек немесе тікбұрышты немесе қос түзу жақшаға алынған тікбұрышты кесте түрінде жазылған. Бұл жағдайда сандардың өздері матрицаның элементтері деп аталады, ал әрбір элементке екі сан тағайындалады - жол нөмірі және баған нөмірі. n және n матрица деп аталады шаршы n-ші ретті матрица, яғни. жолдар саны бағандар санына тең. үшбұрышты - негізгі диагоналдан төмен немесе жоғары барлық элементтері нөлге тең болатын шаршы матрица.Квадрат матрица деп аталады диагональ егер оның барлық диагональдан тыс элементтері нөлге тең болса. скаляр матрица – негізгі диагональ элементтері тең болатын диагональды матрица. Скалярлық матрицаның ерекше жағдайы сәйкестік матрицасы болып табылады. Диагональбарлық диагональ жазбалары 1-ге тең матрица деп аталады бойдақматрица және I немесе E символымен белгіленеді. Барлық элементтері нөлге тең матрица деп аталады. null матрицасы және О символымен белгіленеді.

А матрицасын санға көбейту λ (таңба: λ А) матрицаны құру болып табылады Б, оның элементтері матрицаның әрбір элементін көбейту арқылы алынады Аосы сан бойынша, яғни матрицаның әрбір элементі Бтең

Матрицаларды санға көбейту қасиеттері

1. 1*A = A; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(A+B) = ΛA + ΛB

Матрицаны қосу А + Б матрицаны табу операциясы болып табылады C, оның барлық элементтері матрицалардың барлық сәйкес элементтерінің жұптық қосындысына тең АЖәне Б, яғни матрицаның әрбір элементі Cтең

Матрицаны қосу қасиеттері

5.коммутативтілік) a+b=b+a

6.ассоциативтілік.

7.нөлдік матрицасы бар қосу;

8.қарсы матрицаның болуы (бірдей, бірақ барлық жерде әр санның алдында минустар)

Матрицаны көбейту - матрицалық есептеу операциясы бар C, оның элементтері бірінші фактордың сәйкес жолындағы және екінші бағандағы элементтердің көбейтінділерінің қосындысына тең.

Матрицадағы бағандар саны Аматрицадағы жолдар санына сәйкес келуі керек Б. Егер матрица Аөлшемі бар, Б- , содан кейін олардың өнімінің өлшемі AB = CСонда бар .

Матрицаны көбейтудің қасиеттері

1.ассоциативтілік (жоғарыдан қараңыз)

2. өнім коммутативті емес;

3. сәйкестендіру матрицасымен көбейту жағдайында көбейтінді ауыспалы болады;

4. бөлу заңының әділдігі; A*(B+C)=A*B+A*C.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. Бірінші және n-ші ретті квадрат матрицаның анықтаушысы

Матрицаның анықтаушысы - квадрат матрицаның элементтеріндегі көпмүшелік (яғни жолдар мен бағандар саны тең

Бірінші қатардағы кеңейту арқылы анықтау

Бірінші ретті матрица үшін анықтауышөзі осы матрицаның жалғыз элементі болып табылады:

Матрица үшін анықтауыш келесідей анықталады

Матрица үшін анықтауыш рекурсивті түрде беріледі:

, мұндағы элементке қосымша минор а 1j. Бұл формула деп аталады жолды кеңейту.

Атап айтқанда, матрицаның анықтаушысын есептеу формуласы:

= а 11 а 22 а 33 − а 11 а 23 а 32 − а 12 а 21 а 33 + а 12 а 23 а 31 + а 13 а 21 а 32 − а 13 а 22 а 31

Квалификациялық сипаттар

Кез келген жолға (бағанға) қосылғанда сызықтық комбинациябасқа жолдарда (бағандарда) анықтауыш өзгермейді.

§ Егер матрицаның екі жолы (бағандары) сәйкес келсе, онда оның анықтауышы нөлге тең болады.

§ Егер матрицаның екі (немесе бірнеше) жолы (бағандары) сызықтық тәуелді болса, онда оның анықтауышы нөлге тең болады.

§ Егер матрицаның екі жолын (бағандарын) қайта орналастырсаңыз, онда оның анықтауышы (-1) көбейтіледі.

§ Анықтауыштың кез келген қатарының элементтерінің ортақ көбейткішін анықтауыштың таңбасынан шығаруға болады.

§ Егер матрицаның кем дегенде бір жолы (бағанасы) нөлге тең болса, анықтауыш нөлге тең болады.

§ Кез келген жолдың барлық элементтерінің және олардың алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы анықтауышқа тең.

§ Кез келген қатардың барлық элементтерінің және параллель қатардың сәйкес элементтерінің алгебралық толықтауыштарының көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.

§ Бір ретті квадрат матрицалардың көбейтіндісінің анықтауышы олардың анықтауыштарының көбейтіндісіне тең (сонымен қатар Бине-Коши формуласын қараңыз).

§ Көрсеткіштік белгілерді пайдалана отырып, 3×3 матрицаның анықтаушысын Levi-Civita символы арқылы анықтауға болады:

Кері матрица.

Кері матрица осындай матрица болып табылады A -1, бастапқы матрицаны көбейткенде Асәйкестік матрицасын береді Е:

Конв. болуы:

Квадрат матрица, егер ол сингулярлы емес болса, яғни оның анықтауышы нөлге тең болмаса ғана инвертивті болады. Квадрат емес матрицалар және азғын матрицалар үшін кері матрицалар жоқ.

Табуға арналған формула

Егер матрица инверсиялы болса, онда матрицаның кері мәнін табу үшін келесі әдістердің бірін қолдануға болады:

а) матрицаны қолдану алгебралық толықтырулар

C Т- алгебралық қосындылардың транспозицияланған матрицасы;

Алынған матрица А−1 және кері болады. Алгоритмнің күрделілігі O det анықтаушысын есептеу алгоритмінің күрделілігіне байланысты және O(n²) O det тең.

Басқаша айтқанда, кері матрица бастапқы матрицаның анықтауышына бөлінгенге және алгебралық қосындылардың ауыстырылған матрицасына көбейтілгенге тең (кішіні (-1) оның алатын орын дәрежесіне көбейтеміз) бастапқы матрицаның элементтері.

4. Сызықтық теңдеулер жүйесі. Жүйелік шешім. Жүйенің сәйкестігі және сәйкессіздігі. n айнымалысы бар n сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі. Краммер теоремасы.

Жүйе мбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз(немесе, сызықтық жүйе) В сызықтық алгебратүріндегі теңдеулер жүйесі болып табылады

(1)

Мұнда x 1 , x 2 , …, x nанықталатын белгісіз. а 11 , а 12 , …, амн- жүйелік коэффициенттер - және б 1 , б 2 , … б м- бос мүшелер - белгілі деп есептелінеді. Коэффициент көрсеткіштері ( aij) жүйелер теңдеуінің сандарын белгілейді ( мен) және белгісіз ( j), бұл коэффициент сәйкесінше тұрғанда.

Жүйе (1) деп аталады біртектіоның барлық бос шарттары нөлге тең болса ( б 1 = б 2 = … = б м= 0), әйтпесе - гетерогенді.

Жүйе (1) деп аталады шаршысаны болса мтеңдеулер санына тең nбелгісіз.

Шешімжүйелер (1) - орнату nсандар в 1 , в 2 , …, c n, әрқайсысының орнын ауыстыратындай c iорнына x i(1) жүйеге оның барлық теңдеулерін сәйкестендіруге айналдырады.

Жүйе (1) деп аталады буыноның кем дегенде бір шешімі болса, және үйлесімсізегер оның шешімі болмаса.

(1) түріндегі бірлескен жүйеде бір немесе бірнеше шешімдер болуы мүмкін.

Шешімдер в 1 (1) , в 2 (1) , …, c n(1) және в 1 (2) , в 2 (2) , …, c n(2) (1) түрдегі буын жүйелері деп аталады әртүрлітеңдіктердің кем дегенде біреуі бұзылса:

матрицалық пішін

Сызықтық теңдеулер жүйесін матрицалық түрде келесідей көрсетуге болады:

Аx = Б.

Оң жақтағы А матрицасына бос шарттар бағанасы тағайындалса, онда алынған матрица кеңейтілген матрица деп аталады.

Тікелей әдістер

Крамер әдісі (Крамер ережесі)- сызықты квадрат жүйелерін шешу тәсілі алгебралық теңдеулернегізгі матрицаның нөлге тең емес анықтауышымен (сонымен қатар, мұндай теңдеулер үшін шешім бар және бірегей болып табылады). Бұл әдісті ойлап тапқан Габриэль Крамердің (1704–1752) құрметіне аталған.

Әдістің сипаттамасы

Жүйе үшін nбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз (арнаулы өріс үстінде)

Жүйе матрицалық анықтауышы Δ нөлден өзгеше болса, шешім былай жазылады

(жүйелік матрицаның i-ші бағаны бос мүшелер бағанымен ауыстырылады).
Басқа түрде Крамер ережесі былай тұжырымдалады: кез келген c 1 , c 2 , ..., c n коэффициенттері үшін теңдік ақиқат:

Бұл формада Крамер формуласы Δ нөлден өзгеше деген жорамалсыз жарамды, тіпті жүйенің коэффициенттері интегралдық сақинаның элементтері болуы міндетті емес (жүйенің анықтаушысы тіпті сақинадағы нөлдік бөлгіш болуы мүмкін). коэффициенттер). Біз сондай-ақ жиынтықтар деп болжауға болады б 1 ,б 2 ,...,б нЖәне x 1 ,x 2 ,...,x n, немесе жиынтық в 1 ,в 2 ,...,c nжүйенің коэффициент сақинасының элементтерінен емес, осы сақинаның үстіндегі кейбір модульден тұрады.

5. Кіші к-ші рет. Матрицалық дәреже. Матрицалардың элементар түрлендірулері. Сызықтық теңдеулер жүйесі үшін үйлесімділік шарттары туралы Кронекер-Капелли теоремасы. Сызықтық теңдеулер жүйесі үшін айнымалыларды жою әдісі (Гаусс).

Кәмелетке толмаған матрицалар Аретті квадрат матрицасының анықтаушысы болып табылады к(оны осы минор реті деп те атайды), элементтері матрицада орналасқан Асандары бар жолдардың және сандары бар бағандардың қиылысында.

дәреже матрицалық жолдар (бағандар) жүйелері Абірге мсызықтар және nбағандар - нөлден басқа жолдардың (бағандардың) ең көп саны.

Бірнеше жолдар (бағандар) сызықты тәуелсіз деп аталады, егер олардың ешқайсысы басқаларымен сызықтық түрде өрнектелмесе. Жолдар жүйесінің рангі әрқашан бағандар жүйесінің рангіне тең және бұл сан матрицаның рангі деп аталады.

Кронеккер – Капелли теоремасы (сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің үйлесімділік критерийі) -

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі, егер оның негізгі матрицасының дәрежесі кеңейтілген матрицасының дәрежесіне (еркін мүшелермен) тең болса ғана сәйкес келеді және жүйенің бірегей шешімі болса, егер ранг санына теңбелгісіздер және шешімдердің шексіз саны, егер ранг саннан азбелгісіз.

Гаусс әдісі - классикалық әдіссызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін (SLAE) шешу. Бұл элементар түрлендірулер көмегімен теңдеулер жүйесі келесіге келтірілгенде, айнымалыларды дәйекті жою әдісі. эквивалентті жүйеқадамдық (немесе үшбұрышты) пішін, оның ішінен барлық басқа айнымалылар соңғы (сан бойынша) айнымалылардан бастап дәйекті түрде табылады.

6. Бағытталған сегмент және вектор. Векторлық алгебраның бастапқы түсініктері. Векторлардың қосындысы және вектордың санға көбейтіндісі. Векторлардың координациясының шарты. Векторларға сызықтық амалдардың қасиеттері.

Векторларға амалдар

Қосу

Геометриялық векторларды қосу операциясы жағдайға және қарастырылатын векторлардың түріне байланысты әртүрлі тәсілдермен анықталуы мүмкін:

Екі вектор u, vжәне олардың қосындысының векторы

үшбұрыш ережесі. Екі векторды қосу үшін және үшбұрыш ережесі бойынша осы екі вектор да бірінің басы екіншісінің соңымен сәйкес келетіндей етіп өздеріне параллель тасымалданады. Сонда қосынды векторы құрылған үшбұрыштың үшінші қабырғасы арқылы беріледі және оның басы бірінші вектордың басымен, ал соңы екінші вектордың аяғымен сәйкес келеді.

параллелограмм ережесі. Екі векторды қосу үшін және параллелограмм ережесі бойынша осы екі вектор да басы сәйкес келетіндей етіп өздеріне параллель тасымалданады. Сонда қосынды векторы олардың ортақ басынан келетін, оларға салынған параллелограммның диагоналы арқылы беріледі.

Ал қосынды векторының модулі (ұзындығы). косинус теоремасы арқылы анықталады, мұнда бірінің басы екіншісінің соңы сәйкес келген кездегі векторлар арасындағы бұрыш. Формула қазір де қолданылады - бір нүктеден шығатын векторлар арасындағы бұрыш.

векторлық өнім

векторлық өнервектордан векторға келесі талаптарды қанағаттандыратын вектор деп аталады:

С векторының қасиеттері

§ вектордың ұзындығы векторлардың ұзындықтары мен олардың арасындағы φ бұрышының синусының көбейтіндісіне тең

§ векторы және векторларының әрқайсысына ортогональ

§ С векторының бағыты Гимлет ережесімен анықталады

Векторлық өнімнің қасиеттері:

1. Факторлар қайта реттелгенде векторлық көбейтінді таңбасын өзгертеді (антикоммутативті), яғни.

2. Векторлық көбейтіндіде бар ассоциативті меншікскалярлық факторға қатысты, яғни

3. Векторлық көбейтіндінің таралу қасиеті бар:

Жазықтықтағы және кеңістіктегі базис және координаттар жүйесі. Базис бойынша вектордың ыдырауы. Жазықтықтағы және кеңістіктегі ортонормальдық негіз және тікбұрышты декарттық координаталар жүйесі. Жазықтықтағы және кеңістіктегі векторлық координаталар мен нүктелер. Координаталық осьтердегі векторлық проекциялар.

Негіз (ежелгі грек βασις, негіз) - векторлық кеңістіктегі осындай векторлар жиынтығы, бұл кеңістіктің кез келген векторы осы жиынның векторларының сызықтық комбинациясы ретінде бірегей түрде ұсынылуы мүмкін - базистік векторлар.

Көбінесе бірлік болу үшін базистік векторлардың әрқайсысының ұзындығын (норманы) таңдау ыңғайлы, мұндай базис деп аталады. нормаланған.

Нақты (кез келген) кеңістік векторын базистік векторлардың сызықтық комбинациясы ретінде көрсету (сандық коэффициенттер бойынша базистік векторлардың қосындысы), мысалы

немесе Σ қосындысының белгісін пайдаланып:

шақырды осы негізде осы вектордың кеңеюі.

Жазықтықтағы және кеңістіктегі векторлық координаталар мен нүктелер.

А нүктесінің х осі бойындағы координатасы абсолютті мәні бойынша OAx кесіндісінің ұзындығына тең сан: А нүктесі оң x жарты осінде жатса оң, ал теріс жарты осьте жатса теріс.

Бірлік вектор немесе вектор деп ұзындығы біреуге тең және кез келген координат осінің бойымен бағытталған векторды айтады.

Содан кейін векторлық проекция l осіндегі AB - осы осьтегі вектордың соңы мен басының проекцияларының координаталары арасындағы x1 - x2 айырмасы.

8.Вектордың ұзындығы мен бағыты косинустары, бағыттық косинустар арасындағы байланыс. Векторлық вектор. Координаттар - векторлардың қосындысы, вектордың санға көбейтіндісі.

Вектордың ұзындығы формула бойынша анықталады

Вектордың бағыты оның Ox, Oy, Oz координаталық осьтерімен құрылған α, β, γ бұрыштары арқылы анықталады. Бұл бұрыштардың косинустары (деп аталатын вектордың бағыт косинусы ) формулалар бойынша есептеледі:

Бірлік векторынемесе ор (нормаланған векторлық кеңістіктің бірлік векторы) нормасы (ұзындығы) бірге тең вектор болып табылады.

Берілгенмен (нормаланған вектор) коллинеар бірлік векторы формула бойынша анықталады

Бірлік векторлары жиі базистік векторлар ретінде таңдалады, өйткені бұл есептеулерді жеңілдетеді. Мұндай негіздер деп аталады нормаланған. Егер бұл векторлар да ортогональ болса, мұндай базис ортонормальдық базис деп аталады.

Координаттар коллинеарлы

Координаттар тең

Координаттар қосынды векторларыЕкі вектор қатынастарды қанағаттандырады:

Координаттар коллинеарлывекторлары мына қатынасты қанағаттандырады:

Координаттар теңвекторлар қатынастарды қанағаттандырады:

қосынды векторыекі вектор:

Бірнеше векторлардың қосындысы:

Вектордың санға көбейтіндісі:

Векторлардың векторлық көбейтіндісі. Айқас туындының геометриялық қолданылуы. Коллинеар векторлардың шарты. Аралас туындының алгебралық қасиеттері. Көбейтінділердің координаталары бойынша айқас туындының өрнегі.

Вектордың көлденең көбейтіндісіал b векторы с векторы деп аталады, ол:

1. a және b векторларына перпендикуляр, яғни c^a және c^b;

2. Ұзындығы бар, сандық ауданына теңа және b векторларында бүйірлердегідей салынған параллелограмм (17-суретті қараңыз), яғни.

3. a, b және c векторлары тік үштік құрайды.

Геометриялық қолданбалар:

Векторлардың коллинеарлығын орнату

Параллелограмм мен үшбұрыштың ауданын табу

Векторлардың көлденең көбейтіндісінің анықтамасы бойынша Ажәне б |a xb | =|а| * |b |ән айту , яғни S жұп = |a x b |. Сонымен, DS \u003d 1/2 | a x b |.

Нүктеге қатысты күш моментін анықтау

Бұл физикадан белгілі күш моменті Fнүктеге қатысты ТУРАЛЫвектор деп аталады М,нүктесі арқылы өтетін ТУРАЛЫЖәне:

1) нүктелер арқылы өтетін жазықтыққа перпендикуляр О, А, В;

2) сан жағынан күш пен иықтың көбейтіндісіне тең

3) ОА және А В векторлары бар тік үштік құрайды.

Сонымен, M=OA x F.

Айналудың сызықтық жылдамдығын табу

Жылдамдық v нүктесі M қатты дене, көмегімен айналады бұрыштық жылдамдыққозғалмайтын осьтің айналасындағы w Эйлер формуласымен анықталады v =w xr, мұндағы r = OM, мұндағы O – осьтің кейбір қозғалмайтын нүктесі (21-суретті қараңыз).

Коллинеар векторлардың шарты - нөлдік емес вектор мен вектордың коллинеарлығының қажетті және жеткілікті шарты - теңдігін қанағаттандыратын санның болуы .

Аралас туындының алгебралық қасиеттері

Векторлардың аралас көбейтіндісі факторлардың айналмалы ауыстырылуымен өзгермейді және екі факторды ауыстырған кезде оның модулін сақтай отырып, таңбаны керісінше өзгертеді.

Аралас көбейтіндінің ішіндегі векторлық көбейтіндінің « » белгісін оның кез келген көбейткіштерінің арасына қоюға болады.

Аралас өнім оның кез келген факторларына қатысты дистрибутивтік болып табылады: (мысалы) егер , онда

Координаталар арқылы көбейтіндінің өрнектелуі

координаталар жүйесі оң

сол жақ координаталар жүйесі

12.Векторлардың аралас көбейтіндісі. геометриялық мағынааралас көбейтінді, векторлық салыстырмалылық шарты. Аралас туындының алгебралық қасиеттері. Аралас көбейтіндіні факторлардың координаталары арқылы өрнектеу.

аралас(a,b,c) векторларының реттелген үштік көбейтіндісі бірінші вектордың екінші вектордың үшінші векторлық көбейтіндісіне скаляр көбейтіндісі.

Векторлық көбейтіндінің алгебралық қасиеттері

Антикоммутативтілік

Скалярға көбейтуге қатысты ассоциативтілік

Қосу арқылы таралу

Якоби тұлғасы. R3-де жұмыс істейді және R7-де үзіледі

Базистік векторлардың векторлық туындылары анықтамасы бойынша табылады

Қорытынды

мұндағы түзудің бағыттаушы векторының да, түзуге жататын нүктенің де координаталары.

Жазықтықтағы түзудің қалыпты векторы. Берілген нүкте арқылы өтетін және берілген векторға перпендикуляр түзудің теңдеуі. Түзудің жалпы теңдеуі. Көлбеу коэффициенті бар түзудің теңдеулері. Жазықтықта екі түзудің өзара орналасуы

ҚалыптыТүзу векторы деп осы түзуге перпендикуляр кез келген нөлдік емес векторды айтады.

- берілген векторға перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі

Ah + Wu + C = 0- түзудің жалпы теңдеуі.

y=kx+b түзу теңдеуі

шақырды еңісі бар түзудің теңдеуі, ал k коэффициенті берілген түзудің еңісі деп аталады.

Теорема. y=kx+b көлбеу түзу теңдеуінде

k бұрыштық коэффициенті түзудің х осіне көлбеу бұрышының тангенсіне тең:

Өзара реттеу:

Окси координаталық жазықтықтағы екі түзудің жалпы теңдеулері болып табылады. Содан кейін

1) егер , онда сызықтар және сәйкес келеді;

2) егер , онда түзулер мен параллельдер;

3) егер болса, онда түзулер қиылысады.

Дәлелдеу . Шарт берілген түзулердің нормаль векторларының коллинеарлығына эквивалентті:

Сондықтан, егер , онда және тура қиылысу.

Егер , онда , , және түзудің теңдеуі мына түрді алады:

Немесе , яғни. Түзу сәйкестік. Назар аударыңыз, пропорционалдық коэффициенті , әйтпесе барлық коэффициенттер жалпы теңдеунөлге тең болады, бұл мүмкін емес.

Егер сызықтар сәйкес келмесе және қиылыспаса, онда іс қалады, яғни. Түзу параллель болады.

Кесінділердегі түзудің теңдеуі

Егер Ah + Vy + С түзуінің жалпы теңдеуінде = 0 С≠0 болса, онда –С-ке бөлгенде мынаны аламыз: немесе , мұндағы

Коэффициенттердің геометриялық мағынасы мынада: коэффициент Атүзудің х осімен қиылысу нүктесінің координатасы, және б- түзудің Ой осімен қиылысу нүктесінің координатасы.

Түзу сызықтың қалыпты теңдеуі

Ax + Wy + C = 0 теңдеуінің екі жағы да шақырылған санға бөлінсе нормалаушы фактор, содан кейін аламыз

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

түзудің қалыпты теңдеуі.

Нормалдаушы фактордың ± белгісін μ болатындай етіп таңдау керек? МЕН< 0.

p – координат басынан түзу сызыққа түсірілген перпендикуляр ұзындығы, ал φ – Ох осінің оң бағытымен осы перпендикуляр түзетін бұрыш.

C Айта кету керек, әрбір түзуді кесінділердегі теңдеумен көрсетуге болмайды, мысалы, осьтерге параллель немесе координат басынан өтетін түзулер.

17. Эллипс. Канондық теңдеуэллипс. Геометриялық қасиеттержәне эллипс салу. Арнайы терминдер.

Эллипс - нүктелердің орналасуы МЕвклид жазықтығы, ол үшін берілген екі нүктеге дейінгі қашықтықтардың қосындысы Ф 1 және Ф 2 (фокус деп аталады) тұрақты және ошақтар арасындағы қашықтыққа қарағанда үлкен, яғни | Ф 1 М | + | Ф 2 М | = 2а, және | Ф 1 Ф 2 | < 2а.

Канондық теңдеу

Кез келген эллипс үшін декарттық координаталар жүйесін табуға болады, осылайша эллипс теңдеу арқылы сипатталады (эллипстің канондық теңдеуі):

Ол координат осьтерімен осьтері сәйкес келетін, координаталар координаталарымен центрленген эллипсті сипаттайды.

ҒимаратЖ: 1) Компастың көмегімен

2) Екі айла және созылған жіп

3) Эллипсограф (Эллипсограф екі перпендикуляр ойық немесе бағыттағыш бойымен қозғала алатын екі сырғытпадан тұрады. Сырғытпалар ілмектердің көмегімен стерженьге бекітіледі және стержень бойымен бір-бірінен бекітілген қашықтықта орналасқан. Сырғытпалар алға және артқа қарай - әрқайсысы өз ойығы бойымен, - және штанганың соңы жазықтықтағы эллипсті сипаттайды.А және b эллипстің жартылай осьтері - сырықтың ұшынан сырғытпалардағы топсаларға дейінгі қашықтық.Әдетте, a және b қашықтықтары әртүрлі болуы мүмкін, осылайша сипатталған эллипстің пішіні мен өлшемін өзгертеді)

Эксцентристік эллипстің ұзаруын сипаттайды. Неғұрлым эксцентриситет нөлге жақын болса, соғұрлым эллипс шеңберге ұқсайды және керісінше, эксцентриситет бірлікке неғұрлым жақын болса, соғұрлым ол ұзартылған болады.

фокус параметрі

Канондық теңдеу

18.Гипербола. Гиперболаның канондық теңдеулері. Гиперболаның геометриялық қасиеттері және құрылысы. Арнайы терминдер

Гипербола(ежелгі грекше ὑπερβολή, басқа грек тілінен βαλειν - «лақтыру», ὑπερ - «үстінде») - нүктелердің орналасуы МЕвклидтік жазықтық, ол үшін қашықтығындағы айырмашылықтың абсолютті мәні Мекі таңдалған нүктеге дейін Ф 1 және Ф 2 (фокустар деп аталады) барлық уақытта. Дәлірек айтқанда,

Және | Ф 1 Ф 2 | > 2а > 0.

Пропорциялар

Жоғарыда анықталған гиперболаның сипаттамалары үшін олар келесі қатынастарға бағынады

2. Гиперболаның директрисалары қос қалыңдықты сызықтармен көрсетіледі және көрсетіледі D 1 және D 2. Эксцентристік ε нүктелік қашықтықтардың қатынасына тең Пгиперболада фокусқа және сәйкес директрицаға (жасыл түспен көрсетілген). Гиперболаның төбелері ± деп белгіленеді а. Гипербола параметрлері мынаны білдіреді:

а- орталықтан қашықтық Cәрбір шыңға
б- төбелердің әрқайсысынан асимптоталарға түсірілген перпендикуляр ұзындығы
в- орталықтан қашықтық Cкез келген трюктердің алдында, Ф 1 және Ф 2 ,
θ – асимптоталардың әрқайсысымен жасалған бұрыш және төбелер арасына жүргізілген ось.

Қасиеттер

§ Гиперболада жатқан кез келген нүкте үшін осы нүктеден фокусқа дейінгі қашықтықтардың сол нүктеден директрисаға дейінгі қашықтыққа қатынасы тұрақты шама болып табылады.

§ Гиперболаның нақты және жорамал осьтерге қатысты айна симметриясы, сонымен қатар гиперболаның центрі айналасында 180 ° бұрыш арқылы бұрылғанда айналу симметриясы болады.

§ Әрбір гиперболада болады конъюгаттық гипербола, ол үшін нақты және жорамал осьтер алмасады, бірақ асимптоталар өзгеріссіз қалады. Бұл ауыстыруға сәйкес келеді аЖәне бгиперболаны сипаттайтын формулада бірінің үстіне бірі. Конъюгаттық гипербола бастапқы гиперболаның 90° айналуының нәтижесі емес; екі гипербола да пішіні бойынша ерекшеленеді.

19. Парабола. Параболаның канондық теңдеуі. Параболаның геометриялық қасиеттері және құрылысы. Арнайы терминдер.

Парабола берілген түзуден (параболаның директрисы деп аталады) және берілген нүктеден (парабола фокусы деп аталады) бірдей қашықтықта орналасқан нүктелердің локусы болып табылады.

Тік бұрышты координаталар жүйесіндегі параболаның канондық теңдеуі:

(немесе осьтер кері бұрылса).

Қасиеттер

§ 1Парабола – екінші ретті қисық.

§ 2Оның симметрия осі деп аталады парабола осі. Ось фокус арқылы өтеді және директрисаға перпендикуляр.

§ 3Оптикалық қасиет.Оның фокусында параболада шағылған параболаның осіне параллель сәулелер шоғы жиналады. Керісінше, фокуста тұрған көзден келетін жарық парабола арқылы өз осіне параллель сәулелер шоғына шағылысады.

§ 4Парабола үшін фокус нүктеде (0,25; 0) болады.

Парабола үшін фокус (0; f) нүктесінде болады.

§ 5 Егер параболаның фокусы жанамаға шағылысқан болса, онда оның кескіні директрисада болады.

§ 6А парабола – сызықтың антиподерасы.

§ Барлық параболалар ұқсас. Фокус пен директриса арасындағы қашықтық масштабты анықтайды.

§ 7 Параболаны симметрия осінің айналасында айналдырғанда эллиптикалық параболоид алынады.

Параболаның директрикасы

фокус радиусы

20.Жазықтықтың нормаль векторы. Берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі берілген векторға перпендикуляр. Жазықтықтың жалпы теңдеуі, жеке оқиғажазықтықтың жалпы теңдеуі. Жазықтықтың векторлық теңдеуі. Екі ұшақтың өзара орналасуы.

Ұшақгеометрияның негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Геометрияның жүйелі баяндалуында, әдетте, геометрия аксиомалары арқылы жанама түрде анықталатын бастапқы ұғымдардың бірі ретінде жазықтық ұғымы алынады.

Нүкте бойынша жазық теңдеу және қалыпты вектор
Векторлық формада

Координатада

Жазықтықтар арасындағы бұрыш

Жазықтықтың жалпы теңдеуінің жеке жағдайлары.