Алгебралық қосындылардың ауыстырылған матрицасы. Кері матрица. Матрицалық теңдеулерді шешу. Интернетте кері матрицаны табу

www.siteтабуға мүмкіндік береді кері матрицажеліде. Сайт есептейді кері матрица онлайн. Бірнеше секундтан кейін сервер нақты шешімді береді. кері матрицаосындай болады матрица, түпнұсқаны көбейту матрицаларбұл жалғыз береді матрица, бастауыштың анықтауышы болған жағдайда матрицаларнөлге тең емес, әйтпесе кері матрицаол үшін жоқ. Тапсырмаларда, біз есептегенде кері матрица онлайн, анықтауыш болуы қажет матрицаларнөлден өзгеше болды, әйтпесе www.siteесептеудің мүмкін еместігі туралы тиісті хабарлама береді кері матрица онлайн. Мұндай матрицадеградация деп те атайды. Табу кері матрицарежимінде желідешаршы үшін ғана мүмкін матрицалар. Табу операциясы кері матрица онлайнанықтауышты есептеуге дейін азайтады матрицалар, содан кейін аралық матрицабелгілі ереже бойынша және операцияның соңында – бұрын табылған анықтауышты ауыстырылған аралық мәнге көбейту матрица. Анықтамадан нақты нәтиже кері матрица онлайносы курста теорияны оқу арқылы қол жеткізуге болады. Бұл операция теорияда ерекше орын алады матрицаларЖәне сызықтық алгебра, жүйелерді шешуге мүмкіндік береді сызықтық теңдеулер, матрицалық әдіс деп аталады. Тапсырманы табу кері матрица онлайнжоғары математиканы зерттеудің басында орын алады және қолданбалы есептердегі математикалық құрал бола отырып, алгебраның негізгі ұғымы ретінде барлық дерлік математикалық пәндерде бар. www.siteтабады кері матрицарежимінде берілген өлшем желідебірден. есептеу кері матрица онлайноның өлшемін ескере отырып, бұл табу матрицаларсандық мәні бойынша, сондай-ақ есептеу ережесі бойынша табылған символдық өлшемі бойынша бірдей өлшемді кері матрица. Табу кері матрица онлайнтеориясында кеңінен таралған матрицалар. Табудың нәтижесі кері матрица онлайнсызықтық теңдеулер жүйесін матрицалық әдіспен шешуде қолданылады. Егер анықтауыш матрицаларонда нөл болады кері матрица, ол үшін нөлдік анықтауыш табылған, жоқ. Есептеу үшін кері матрицанемесе бірден бірнеше іздеу матрицаларсәйкес кері, сізге көп уақыт пен күш жұмсау керек, ал біздің сервер табады кері матрица онлайн. Бұл жағдайда жауап табу арқылы кері матрицатабу кезінде сандар болса да, дұрыс және жеткілікті дәлдікпен болады кері матрица онлайниррационалды болады. Сайтта www.siteэлементтерде таңба енгізулеріне рұқсат етіледі матрицалар, яғни кері матрица онлайнесептеу кезінде жалпы символдық түрде көрсетілуі мүмкін кері матрица онлайн. Табу мәселесін шешу кезінде алынған жауапты тексеру пайдалы кері матрица онлайнсайтты пайдалану www.site. Есептеу операциясын орындау кезінде кері матрица онлайнСіз бұл мәселені шешуде мұқият және өте мұқият болуыңыз керек. Өз кезегінде біздің сайт тақырып бойынша шешіміңізді тексеруге көмектеседі кері матрица онлайн. Шешілген мәселелерді ұзақ тексеруге уақытыңыз болмаса, онда www.siteтабу және есептеу кезінде тексеруге ыңғайлы құрал болатыны сөзсіз кері матрица онлайн.

Берілген матрицаға кері матрица - бастапқы матрицаны көбейту, сәйкестік матрицасын береді: Кері матрицаның болуының міндетті және жеткілікті шарты бастапқының анықтауышының теңсіздігі болып табылады (ол өз кезегінде матрица шаршы болуы керек дегенді білдіреді). Егер матрицаның анықтауышы нөлге тең болса, онда ол азғындық деп аталады және мұндай матрицаның кері мәні жоқ. IN жоғары математикакері матрицалары бар маңыздылығыжәне бірқатар мәселелерді шешу үшін қолданылады. Мысалы, бойынша кері матрицаны табутеңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі құрастырылған. Біздің сервистік сайт мүмкіндік береді кері матрицаны онлайн есептеңізекі әдіс: Гаусс-Джордан әдісі және алгебралық қосындылар матрицасын қолдану. Біріншісі білдіреді көп саныматрицаның ішіндегі элементар түрлендірулер, екіншісі - анықтауыш пен барлық элементтерге алгебралық қосуларды есептеу. Интернетте матрицаның детерминантын есептеу үшін сіз біздің басқа қызметімізді пайдалана аласыз - Матрицаның детерминантын онлайн есептеу

Сайттағы кері матрицаны табыңыз

веб-сайттабуға мүмкіндік береді кері матрица онлайнжылдам және тегін. Сайтта есептеулер біздің қызметімізбен жасалады және нәтиже көрсетіледі егжей-тегжейлі шешіморналасқан жері бойынша кері матрица. Сервер әрқашан тек нақты және дұрыс жауапты береді. Анықтама бойынша тапсырмаларда кері матрица онлайн, анықтауыш болуы қажет матрицаларнөлден өзгеше болды, әйтпесе веб-сайтбастапқы матрицаның анықтауышы нөлге тең болғандықтан кері матрицаны табу мүмкін еместігін хабарлайды. Тапсырманы табу кері матрицаАлгебраның ең негізгі ұғымдарының бірі және қолданбалы есептердегі математикалық құрал бола отырып, математиканың көптеген салаларында кездеседі. Тәуелсіз кері матрица анықтамасыесептерде сырғыма немесе азғантай қателік жібермеу үшін айтарлықтай күш-жігерді, көп уақытты, есептеулерді және үлкен ұқыптылықты қажет етеді. Сондықтан біздің қызмет Интернетте кері матрицаны табутапсырмаңызды айтарлықтай жеңілдетіп, шешудің таптырмас құралына айналады математикалық есептер. Тіпті егер сен кері матрицаны табыңызөз шешіміңізді серверде тексеруді ұсынамыз. Түпнұсқа матрицаны біздің «Кері матрицаны онлайн есептеу» бөліміне енгізіп, жауабыңызды тексеріңіз. Біздің жүйе ешқашан қателеспейді және табады кері матрицарежимінде берілген өлшем желідебірден! Сайтта веб-сайтэлементтерде таңба енгізулеріне рұқсат етіледі матрицалар, Бұл жағдайда кері матрица онлайнжалпы символдық түрде ұсынылатын болады.

Бұл мақалада сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісі туралы айтып, оның анықтамасын тауып, шешуге мысалдар келтіреміз.

Анықтама 1

Кері матрицалық әдіс белгісіздер саны теңдеулер санына тең болғанда SLAE шешу үшін қолданылатын әдіс.

1-мысал

n белгісізі бар n сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табыңыз:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матрицалық жазба көрінісі : A × X = B

мұндағы A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n – жүйенің матрицасы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - белгісіздер бағаны,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - бос коэффициенттер бағаны.

Біз алған теңдеуден Х-ті өрнектеуіміз керек. Ол үшін сол жақтағы матрицалық теңдеудің екі жағын А - 1-ге көбейтіңіз:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

A - 1 × A = E болғандықтан, онда E × X = A - 1 × B немесе X = A - 1 × B.

Түсініктеме

А матрицасына кері матрица d e t A шарты нөлге тең болмаса ғана өмір сүруге құқылы. Сондықтан SLAE-ны кері матрицалық әдіспен шешкенде ең алдымен d e t A табылады.

d e t A нөлге тең болмаған жағдайда жүйенің бір ғана шешімі бар: кері матрицалық әдісті қолдану. Егер d e t A = 0 болса, онда жүйені бұл әдіспен шешу мүмкін емес.

Кері матрицалық әдіс арқылы сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге мысал

SLAE кері матрицалық әдіспен шешеміз:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Қалай шешуге болады?

• Жүйені А X = B матрицалық теңдеу түрінде жазамыз, мұндағы

A \u003d 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X \u003d x 1 x 2 x 3, B \u003d 1 3 2.

• Осы X теңдеуінен өрнектейміз:

• А матрицасының анықтауышын табамыз:

d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А 0-ге тең емес, сондықтан бұл жүйе үшін кері матрицалық шешім әдісі қолайлы.

• Бірлестік матрицаны пайдаланып кері А - 1 матрицасын табамыз. А матрицасының сәйкес элементтеріне A i j алгебралық қосындыларын есептейміз:

A 11 \u003d (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 \u003d - 10 + 4 \u003d - 6,

A 12 \u003d (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 \u003d - (5 - 12) \u003d 7,

A 13 \u003d (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 \u003d - 1 + 6 \u003d 5,

A 21 \u003d (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 \u003d - (- 20 + 3) \u003d 17,

A 22 \u003d (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 \u003d 1,

A 23 \u003d (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 \u003d - (- 2 + 12) \u003d - 10,

A 31 \u003d (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 \u003d - 16 + 6 \u003d - 10,

A 32 \u003d (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 \u003d - (8 - 3) \u003d - 5,

A 33 \u003d (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 \u003d - 4 + 4 \u003d 0.

• А матрицасының алгебралық толықтауыштарынан құралған A * одақ матрицасын жазамыз:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

• Кері матрицаны мына формула бойынша жазамыз:

A - 1 \u003d 1 d e t A (A *) T: A - 1 \u003d - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

• Кері А - 1 матрицасын В бос мүшелер бағанына көбейтіп, жүйенің шешімін аламыз:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Жауап : x 1 = - 1; x 2 \u003d 0; x 3 = 1

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз

Көптеген қасиеттерде кері мәндерге ұқсас.

Энциклопедиялық YouTube

1 / 5

✪ Кері матрица (табудың 2 жолы)

✪ Кері матрицаны қалай табуға болады - безботвы

✪ Кері матрица №1

✪ Кері матрицалық әдісті қолданып теңдеулер жүйесін шешу – безботвы

✪ Кері матрица

Субтитрлер

Кері матрицаның қасиеттері

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Қайда det (\displaystyle \ \det )анықтауышты білдіреді.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))екі квадрат инверсиялық матрица үшін A (\дисплей стилі A)Және B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Қайда (... .) T (\displaystyle (...)^(T))ауыстырылған матрицаны білдіреді.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))кез келген коэффициент үшін k ≠ 0 (\displaystyle k\ =0 емес).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу қажет болса , (b - нөлдік емес вектор) мұндағы x (\displaystyle x)қажетті вектор болып табылады және егер A − 1 (\displaystyle A^(-1))онда бар x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Әйтпесе, шешім кеңістігінің өлшемі нөлден үлкен немесе мүлде жоқ.

Кері матрицаны табу жолдары

Егер матрица инверсиялы болса, онда матрицаның кері мәнін табу үшін келесі әдістердің бірін қолдануға болады:

Нақты (тікелей) әдістер

Гаусс-Джордан әдісі

Екі матрицаны алайық: өзі Ажәне жалғыз Е. Матрицаны келтірейік Ажолдарда түрлендірулерді қолдану арқылы Гаусс-Джордан әдісі бойынша сәйкестік матрицасына (түрлендірулерді аралас емес, бағандарда да қолдануға болады). Әрбір операцияны бірінші матрицаға қолданғаннан кейін екіншісіне де сол операцияны қолданыңыз. Бірінші матрицаны сәйкестендіру формасына келтіру аяқталғанда, екінші матрица мынаған тең болады A -1.

Гаусс әдісін қолданғанда бірінші матрица сол жақтан біреуіне көбейтіледі элементар матрицалар Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(бір позицияны қоспағанда, негізгі диагональдағы бірлері бар трансвекция немесе диагональ матрица):

Барлық амалдарды қолданғаннан кейінгі екінші матрица тең болады Λ (\displaystyle \Lambda ), яғни қалаған болады. Алгоритмнің күрделілігі – O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Алгебралық қосындылар матрицасын қолдану

Матрица Кері матрица A (\дисплей стилі A), түрінде көрсетіңіз

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \артық (\det(A))))

Қайда adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- бекітілген матрица;

Алгоритмнің күрделілігі O det анықтаушысын есептеу алгоритмінің күрделілігіне байланысты және O(n²) O det тең.

LU/LUP декомпозициясын пайдалану

Матрицалық теңдеу A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))кері матрица үшін X (\displaystyle X)жинақ ретінде қарастыруға болады n (\displaystyle n)пішін жүйелері A x = b (\displaystyle Ax=b). Белгілеу i (\displaystyle i)-матрицаның бағанасы X (\displaystyle X)арқылы X i (\displaystyle X_(i)); Содан кейін A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),өйткені i (\displaystyle i)-матрицаның бағанасы I n (\displaystyle I_(n))бірлік вектор болып табылады e i (\displaystyle e_(i)). басқаша айтқанда, кері матрицаны табу бірдей матрицасы және әр түрлі оң жақтары бар n теңдеуді шешуге дейін қысқарады. LUP кеңейтімін іске қосқаннан кейін (O(n³) уақыты) n теңдеудің әрқайсысын шешу үшін O(n²) уақыт қажет, сондықтан жұмыстың бұл бөлігі де O(n³) уақытты алады.

Егер А матрицасы жеке емес болса, онда ол үшін LUP декомпозициясын есептей аламыз P A = L U (\displaystyle PA=LU). Болсын P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Сонда кері матрицаның қасиеттерінен мынаны жаза аламыз: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Егер бұл теңдікті U және L-ге көбейтсек, онда форманың екі теңдігін алуға болады U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Және D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Бұл теңдіктердің біріншісі үшін n² сызықтық теңдеулер жүйесі n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))оның оң жақтары белгілі (үшбұрышты матрицалардың қасиеттерінен). Екіншісі де үшін n² сызықтық теңдеулер жүйесі n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))олардың оң жақтары белгілі (үшбұрышты матрицалардың қасиеттерінен де). Олар бірге n² теңдіктер жүйесін құрайды. Осы теңдіктерді пайдалана отырып, біз D матрицасының барлық n² элементтерін рекурсивті түрде анықтай аламыз. Содан кейін (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D теңдігінен теңдігін аламыз. A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

LU декомпозициясын пайдаланған жағдайда D матрицасының бағандарын ауыстыру қажет емес, бірақ А матрицасы сингулярлық емес болса да шешім алшақтауы мүмкін.

Алгоритмнің күрделілігі – O(n³).

Итеративті әдістер

Шульц әдістері

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\бастау(жағдайлар)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_() k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(жағдайлар)))

Қатені бағалау

Бастапқы жуықтауды таңдау

Мұнда қарастырылған итерациялық матрицалық инверсия процестерінде бастапқы жуықтауды таңдау мәселесі оларды, мысалы, матрицалардың LU ыдырауына негізделген тікелей инверсия әдістерімен бәсекелесетін тәуелсіз әмбебап әдістер ретінде қарастыруға мүмкіндік бермейді. Таңдау бойынша кейбір ұсыныстар бар U 0 (\displaystyle U_(0)), шарттың орындалуын қамтамасыз ету ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (матрицаның спектрлік радиусы бірліктен аз), бұл процестің жинақталуы үшін қажетті және жеткілікті. Алайда, бұл жағдайда, біріншіден, инвертивті А матрицасының немесе матрицаның спектрін бағалауды жоғарыдан білу қажет. A A T (\displaystyle AA^(T))(атап айтқанда, егер А симметриялы оң анықталған матрица болса және ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), содан кейін алуға болады U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\альфа )E), Қайда; егер А ерікті сингулярлық емес матрица болса және ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), содан кейін делік U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\альфа )A^(T)), сонымен қатар α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \left(0,(\frac (2)(\бета ))\оң жақта)); Әрине, жағдайды жеңілдетуге болады және бұл фактіні пайдалана отырып ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\маткал (k))AA^(T)(\маткал (k))), қою U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Екіншіден, бастапқы матрицаның мұндай спецификациясы бар екеніне кепілдік жоқ ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)кішкентай болады (мүмкін, тіпті ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), Және жоғары тәртіпконвергенция жылдамдығы бірден байқалмайды.

Мысалдар

Матрица 2х2

2х2 матрицаның инверсиясы тек осы жағдайда ғана мүмкін болады a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

A -1 матрицасы А матрицасына қатысты кері матрица деп аталады, егер A * A -1 \u003d E, мұндағы E - n-ші ретті сәйкестік матрицасы. Кері матрица тек шаршы матрицалар үшін болуы мүмкін.

Қызметтік тапсырма. Бұл қызметті желіде пайдалана отырып, сіз алгебралық толықтыруларды, транспозицияланған A T матрицасын, біріккен матрицаны және кері матрицаны таба аласыз. Шешім тікелей сайтта (онлайн) жүзеге асырылады және тегін. Есептеу нәтижелері Word форматындағы есепте және Excel пішімінде берілген (яғни шешімді тексеруге болады). дизайн үлгісін қараңыз.

Нұсқау. Шешімді алу үшін матрицаның өлшемін көрсету керек. Әрі қарай, жаңа диалогтық терезеде A матрицасын толтырыңыз.

Сондай-ақ Джордан-Гаусс әдісі бойынша кері матрицаны қараңыз

Кері матрицаны табу алгоритмі

1. Транспозицияланған матрицаны табу A T .
2. Алгебралық қосындылардың анықтамасы. Матрицаның әрбір элементін оның алгебралық толықтауышымен ауыстырыңыз.
3. Алгебралық қосындылардан кері матрицаны құрастыру: алынған матрицаның әрбір элементі бастапқы матрицаның анықтауышына бөлінеді. Алынған матрица бастапқы матрицаға кері матрица болып табылады.

1. Матрицаның квадрат екенін анықтаңыз. Егер жоқ болса, онда оған кері матрица жоқ.
2. А матрицасының анықтаушысын есептеу. Егер ол нөлге тең болмаса, шешімді жалғастырамыз, әйтпесе кері матрица болмайды.
3. Алгебралық қосындылардың анықтамасы.
4. Бірлестік (өзара, сабақтас) матрицаны толтыру C .
5. Алгебралық қосындылардан кері матрицаны құрастыру: қосылатын С матрицасының әрбір элементі бастапқы матрицаның анықтауышына бөлінеді. Алынған матрица бастапқы матрицаға кері матрица болып табылады.
6. Тексеру жасаңыз: түпнұсқа мен алынған матрицаларды көбейтіңіз. Нәтиже сәйкестендіру матрицасы болуы керек.

№1 мысал. Матрицаны келесі түрде жазамыз:

Кері матрицаны табудың тағы бір алгоритмі

1. Берілген А квадрат матрицасының анықтауышын табыңыз.
2. А матрицасының барлық элементтеріне алгебралық қосындыларды табамыз.
3. Жолдар элементтерінің алгебралық толықтауыштарын бағандарға жазамыз (транспозиция).
4. Алынған матрицаның әрбір элементін А матрицасының анықтауышына бөлеміз.

Ерекше оқиға: E сәйкестік матрицасына қатысты кері мән E сәйкестік матрицасы болып табылады.