Евклидтік кеңістіктердің анықтамасы және мысалдары. Евклидтік кеңістіктер. Евклидтік кеңістіктегі сызықтық алгебра іздену

Осындай векторлық кеңістікке сәйкес келеді. Бұл мақалада бірінші анықтама бастапқы ретінде қабылданады.

$n$-өлшемді евклидтік кеңістік белгіленеді $\backslash mathbb\; E^n,$сонымен қатар жиі қолданылатын белгілер $\backslash mathbb\; R^n$(егер контекстен кеңістіктің евклидтік құрылымы бар екені анық болса).

Формальды анықтама

Евклидтік кеңістікті анықтау үшін нүкте туындысының негізгі тұжырымдамасы ретінде қабылдау оңай. Евклидтік векторлық кеңістік нақты сандар өрісінің үстіндегі ақырлы өлшемді векторлық кеңістік ретінде анықталады, оның векторларында нақты мәнді функция берілген. $(\backslash cdot,\; \backslash cdot),$мынадай үш қасиеті бар:

• Билинарлылық: кез келген векторлар үшін $u,v,w$және кез келген үшін нақты сандар $a,\; b\backslash quad\; (au+bv,\; w)=a(u,w)+b(v,w)$Және $(u,\; av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
• Симметрия: кез келген векторлар үшін $u,v\backslash quad\; (u,v)=(v,u);$
• Позитивтік анықтау: кез келген үшін $u\backslash quad(u,u)\backslash geqslant\; 0,$және $(u,u)=0\backslash Оң\; жақ\; көрсеткі\; u=0.$

Евклидтік кеңістік мысалы – координаталық кеңістік $\backslash mathbb\; R^n,$нақты сандардың барлық мүмкін кортеждерінен тұрады $(x\_1,\; x\_2,\; \backslash ldots,\; x\_n),$формуламен анықталатын скаляр көбейтіндісі $(x,y)\; =\; \backslash sum\_(i=1)^n\; x\_iy\_i\; =\; x\_1y\_1+x\_2y\_2+\backslash cdots+x\_ny\_n.$

Ұзындықтар мен бұрыштар

Евклид кеңістігінде берілген скаляр көбейтінді енгізу үшін жеткілікті геометриялық ұғымдарұзындығы мен бұрышы. Вектор ұзындығы $u$ретінде анықталады $\backslash sqrt((u,u))$және белгіленеді $|у|.$Ішкі көбейтіндінің оң анықтығы нөлдік емес вектордың ұзындығының нөлге тең еместігіне кепілдік береді және екі сызықтылықтан мынаны шығады: $|au|=|a||u|,$яғни пропорционал векторлардың ұзындықтары пропорционал.

Векторлар арасындағы бұрыш $u$Және $v$формуласымен анықталады $\backslash varphi=\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash оң).$Косинус теоремасынан екі өлшемді евклидтік кеңістік үшін ( евклидтік жазықтық) бұл анықтамабұрышы әдеттегіге сәйкес келеді. Үш өлшемді кеңістіктегі сияқты ортогональ векторларды арасындағы бұрышы тең векторлар ретінде анықтауға болады. $\backslash frac(\backslash pi)(2).$

Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі және үшбұрыш теңсіздігі

Жоғарыда келтірілген бұрыштың анықтамасында бір бос орын қалды: үшін $\backslash arccos\; \backslash left(\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash оң)$анықталды, бұл теңсіздік қажет $\backslash left|\backslash frac((x,y))(|x||y|)\backslash right|\backslash leqslant\; 1.$Бұл теңсіздік шынымен де ерікті евклидтік кеңістікте орын алады, оны Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі деп атайды. Бұл теңсіздік өз кезегінде үшбұрыштың теңсіздігін білдіреді: $|u+v|\backslash leqslant\; |u|+|v|.$Үшбұрыш теңсіздігі жоғарыда аталған ұзындық қасиеттерімен бірге вектордың ұзындығы Евклид бойынша норма екенін білдіреді. векторлық кеңістік, және функциясы $d(x,y)=|x-y|$Евклид кеңістігіндегі метрикалық кеңістіктің құрылымын анықтайды (бұл функция евклид метрикасы деп аталады). Атап айтқанда, элементтер арасындағы қашықтық (нүктелер) $x$Және $ж$координаталық кеңістік $\backslash mathbb\; R^n$формуламен берілген $d(\backslash mathbf(x),\; \backslash mathbf(y))\; =\; \backslash |\backslash mathbf(x)\; -\; \backslash mathbf(y)\backslash |\; =\; \backslash sqrt(\backslash sum\_(i=1)^n\; (x\_i\; -\; y\_i)^2).$

Алгебралық қасиеттер

Ортонормальдық негіздер

Қос бос орындар және операторлар

Кез келген вектор $x$Евклидтік кеңістік сызықтық функцияны анықтайды $x^*$ретінде анықталған осы кеңістікте $x^*(y)=(x,y).$Бұл салыстыру Евклид кеңістігі мен оның қос кеңістігі арасындағы изоморфизм болып табылады және оларды есептеулерді бұзбай анықтауға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, қосылыс операторларын оның қосарлы емес, бастапқы кеңістікте әрекет ететіні ретінде қарастыруға болады, ал өздігінен біріктірілген операторлар олардың іргелес операторларымен сәйкес келетін операторлар ретінде анықталуы мүмкін. Ортонормальдық негізде біріктіруші оператордың матрицасы бастапқы оператордың матрицасына ауыстырылады, ал өздігінен біріктірілген оператордың матрицасы симметриялы болады.

Евклидтік кеңістік қозғалыстары

Мысалдар

Евклидтік кеңістіктердің жақсы мысалдары келесі кеңістіктер болып табылады:

• $\backslash mathbb\; E^1$өлшемдері $1$ (нақты сызық)
• $\backslash mathbb\; E^2$өлшемдері $2$ (евклидтік жазықтық)
• $\backslash mathbb\; E^3$өлшемдері $3$ (Евклидтік 3D кеңістігі)

Көбірек дерексіз мысал:

• нақты көпмүшелер кеңістігі $p(x)$дәрежесінен аспайды $n$, соңғы сегменттегі (немесе бүкіл сызық бойынша, бірақ тез төмендейтін салмақ функциясы бар) өнімнің интегралы ретінде анықталған ішкі туындымен, мысалы $e^(-x^2)$).

Көпөлшемді евклидтік кеңістіктегі геометриялық фигуралардың мысалдары

• Тұрақты көпөлшемді полиэдрлер (нақтырақ айтқанда N-өлшемді куб, N-өлшемді октаэдр, N-өлшемді тетраэдр)

Қатысты анықтамалар

• астында евклидтік метрикажоғарыда сипатталған метриканы, сондай-ақ сәйкес Риман метрикасын түсінуге болады.

• Жергілікті евклид әдетте Римандық алуан түрлілігінің әрбір жанама кеңістігі келесі барлық қасиеттерге ие евклид кеңістігі екенін білдіреді, мысалы, қашықтық болатын нүктенің шағын төңірегінде координаттарды енгізу мүмкіндігі (метриканың тегістігіне байланысты) жоғарыда сипатталғандай (кейбір ретке дейін) көрсетіледі.

• Метрика евклидтік (екінші анықтама мағынасында) барлық жерде (немесе ең болмағанда соңғы аймақта) болатын координаттарды енгізу мүмкін болса, метрикалық кеңістік жергілікті евклидтік деп аталады - ол, мысалы, Нөлдік қисықтықтың Римандық алуан түрі.

Вариациялар және жалпылаулар

• Негізгі өрісті нақты сандар өрісінен күрделі сандар өрісіне ауыстыру унитарлық (немесе гермиттік) кеңістіктің анықтамасын береді.
• Ақырлы өлшемділік талабын қабылдамау Гильбертке дейінгі кеңістіктің анықтамасын береді.
• Скалярлық көбейтіндінің оң анықталғандығы талабын қабылдамау жалған евклидтік кеңістікті анықтауға әкеледі.

«Евклидтік кеңістік» мақаласына пікір жазыңыз.

Ескертпелер

Әдебиет

• Гельфанд И.М.Сызықтық алгебра бойынша дәрістер. - 5-ші. - М .: Добросвет, МТСНМО, 1998. - 319 б. - ISBN 5-7913-0015-8.
• Кострикин А.И., Манин Ю.И.Сызықтық алгебра және геометрия. - М .: Наука, 1986. - 304 б.

Евклид кеңістігін сипаттайтын үзінді

«Сізге солай болып жатыр, - деді Наташа ағасына олар диван бөлмесіне отырғанда, - сізге ештеңе болмайтын сияқты көрінеді - ештеңе; Мұның бәрі жақсы болды ма? Және жай ғана скучно емес, қайғылы ма?
- Ал қалай! - ол айтты. - Маған бәрі жақсы болды, бәрі көңілді болды, бірақ менің ойыма мұның бәрі шаршаған және бәрі өлу керек деп ойлайтынмын. Бірде мен полкке серуендеуге бармадым, музыка ойнады ... мен кенеттен жалықтым ...
«А, мен мұны білемін. Білемін, білемін, - деп Наташа көтерді. «Мен әлі кішкентай едім, менде де солай болды. Есіңде ме, олар мені қара өрік үшін жазалап, бәрің билеп, мен сыныпта отырып, жылап жібердім, мен ешқашан ұмытпаймын: мен қайғырып, бәріне де, өзімді де аядым, мен бәрін де аядым. Ал, ең бастысы, мен кінәлі емес едім, - деді Наташа, - есіңде ме?
— Есімде, — деді Николай. – Әлі есімде, саған кейінірек келіп, сені жұбатқым келіп, ұятқа қалдым. Біз өте күлкілі болдық. Сол кезде менде бөртпе ойыншық бар еді, оны саған бергім келді. Сенің есіңде ме?
«Есіңде ме, - деді Наташа ойлы күлімсіреп, баяғыда, біз әлі жас едік, ағамыз бізді кеңсеге шақырды, ескі үйге оралды, ал қараңғы болды - біз келдік, кенеттен болды. сол жерде тұрып...
– Арап, – деп аяқтады Николай қуанышты күлімсіреп, – қалай есіңе түсірмейсің? Қазірдің өзінде оның қара адам екенін, әлде түсінде көргенін, әлде бізге айтқанын білмеймін.
- Ол сұр еді, есіңізде болсын, тістері ақ болды - ол тұрып бізге қарайды ...
Соня есіңде ме? Николай сұрады ...
«Иә, иә, менің де есімде бір нәрсе», - деп жауап берді Соня қорқау ...
«Мен әкем мен анамнан осы арап туралы сұрадым», - деді Наташа. «Олар арап болған жоқ дейді. Бірақ есіңізде болсын!
- Қалай, қазір оның тістері есімде.
Қандай қызық, бұл түс сияқты болды. Бұны ұнатамын.
- Есіңізде ме, біз залда жұмыртқаны қалай домалатып едік, кенеттен екі кемпір кілемде иіре бастады. болды ма, жоқ па? Оның қаншалықты жақсы болғаны есіңізде ме?
- Иә. Подъезде көк пальто киген әкем мылтықпен атқаны есіңде ме. – Олар естеліктерді рахаттана күлімсіреп, мұңды ескі емес, ақындық жастық естеліктерді, арман шындықпен астасып жатқан сонау өткендегі әсерлерді сұрыптап, бір нәрсеге қуанып, үнсіз күлді.
Соня, әдеттегідей, олардың естеліктері ортақ болғанымен, олардан артта қалды.
Соня олардың есінде қалған нәрселердің көбін есіне түсірмеді, ал есте қалғандары оның бойында олар басынан өткерген поэтикалық сезімді тудырмады. Ол тек олардың қуанышынан ләззат алып, соған еліктеуге тырысты.
Ол Соняның алғашқы сапарын еске алғанда ғана қатысты. Соня Николайдан қалай қорқатынын айтты, өйткені оның күртесінде бау бар еді, ал күтушісі оны да бау тігіп беретінін айтты.
«Бірақ менің есімде: олар маған сенің қырыққабаттың астында туылғаныңды айтты», - деді Наташа, - есімде, мен сенбеуге батылым бармадым, бірақ бұл шындық емес екенін білдім және мен қатты ұялдым.
Осы әңгіме үстінде диванның артқы есігінен күң басы шығып кетті. – Жас ханым, әтеш әкеліпті, – деді қыз сыбырлап.
— Болма, Поля, оларға мұны алсын деп айт, - деді Наташа.
Диван бөлмесінде әңгіме болып жатқанда, Диммлер бөлмеге кіріп, бұрыштағы арфаға жақындады. Ол матаны шешіп, арфа жалған дыбыс шығарды.
«Эдуард Карлыч, өтінемін, менің сүйікті Филда мырзаның «Ноктуриенасын» ойнап беріңізші, - деді қонақ бөлмесінен қарт графиняның дауысы.
Диммлер аккордты алып, Наташаға, Николайға және Соняға бұрылып: - Жастар, олар қандай тыныш отыр!
«Иә, біз философиямен айналысып жатырмыз», - деді Наташа бір минут бойы айналасына қарап, әңгімені жалғастырды. Әңгіме енді армандар туралы болды.
Диммлер ойнай бастады. Наташа естілмей, аяғының ұшымен үстелге барып, шырақты алып, оны көтеріп, қайтып оралып, орнына тыныш отырды. Бөлме іші қараңғы болды, әсіресе олар отырған диванда, бірақ үлкен терезелерден еденге толы айдың күміс сәулесі түсті.
— Білесің бе, меніңше, — деді Наташа сыбырлап, Николай мен Соняға жақындай келе, Диммлер аяқтап, әлі отыра қалып, жіптерді әлсіретіп үзді, шамасы, кетуге немесе жаңа бірдеңе бастауға бел байламаған сияқты. осылай есіңде сақта, сен есіңдесің, сен бәрін есіңде сақтайсың, есіңе түсірмейінше, мен әлемге келмес бұрын болғанды ​​есте сақта ...
«Бұл метампсикова», - деді Соня, ол әрқашан жақсы оқитын және бәрін есте сақтайтын. «Мысырлықтар біздің жанымыз жануарларда және жануарларға қайта оралады деп сенді.
«Жоқ, білесіз бе, мен біздің жануарлар болғанымызға сенбеймін, - деді Наташа, музыка аяқталса да, сол сыбырмен, - бірақ мен біз бір жерде және осы жерде періштелер болғанымызды білемін, және осыдан бәрі есімізде. .”…
-Саған қосылсам болады ма? – деді Диммлер үнсіз жақындап, оларға отырды.
- Біз періште болсақ, неге төмендедік? - деді Николай. - Жоқ, олай болуы мүмкін емес!
«Төмен емес, төменірек деп кім айтты? ... Мен бұрын қандай болғанымды неге білемін», - деді Наташа сенімді түрде. – Өйткені, жан өлмейді... сондықтан мен мәңгі өмір сүрсем, мен бұрын өмір сүргенмін, мәңгілік өмір сүргенмін.
«Иә, бірақ біз мәңгілікті елестету қиын», - деді Диммлер, ол жастарға момын, менсінбей күлімсіреп жақындады, бірақ қазір олар сияқты тыныш және байсалды сөйледі.
Неліктен мәңгілікті елестету қиын? - деді Наташа. «Бүгін болады, ертең болады, әрқашан болады, кеше болды және үшінші күні болды ...
- Наташа! енді сенің кезегің. Маған бірдеңе ән айтшы, - деген графиняның дауысы естілді. – Неге отырсыңдар, қастандықтар сияқты.
- Анашым! Маған ұнамайды, - деді Наташа, бірақ ол орнынан тұрды.
Олардың бәрі, тіпті орта жастағы Диммлер де әңгімені үзіп, диванның бұрышынан кеткісі келмеді, бірақ Наташа орнынан тұрды, ал Николай клавихордқа отырды. Әдеттегідей, залдың ортасында тұрып, резонанс үшін ең тиімді орынды таңдаған Наташа анасының сүйікті ойынын айта бастады.
Ол ән айтқысы келмейтінін, бірақ сол кеште ән айтқанындай бұрын да, одан кейін де көп уақыт ән айтпағанын айтты. Граф Илья Андреевич Митинкамен сөйлесіп отырған кабинеттен оның ән айтқанын естіп, ойынға асығып бара жатқан оқушы сияқты сабақты аяқтап, сөзге шатасып, меңгерушіге бұйрық беріп, ақыры үнсіз қалды. Митинка да тыңдап, үнсіз жымиып, графтың алдында тұрды. Николай апасынан көзін алмай, онымен бірге дем алды. Соня тыңдап отырып, оның досы мен арасындағы үлкен айырмашылықты және оның немере ағасы сияқты сүйкімді болуы мүмкін емес екенін ойлады. Кәрі графиня бақытты мұңды күлімсіреп, көзіне жас алып, анда-санда басын шайқап отырды. Ол Наташа туралы, оның жастық шағы туралы және Наташаның ханзада Андрейге алдағы үйленуінде табиғи емес және қорқынышты нәрсе туралы ойлады.
Диммлер графиняның қасына отырып, көзін жұмып тыңдады.
- Жоқ, графиня, - деді ол ақырында, - бұл еуропалық талант, оның үйренетін ештеңесі жоқ, бұл жұмсақтық, нәзіктік, күш ...
– Ах! Мен ол үшін қалай қорқамын, қалай қорқамын, - деді графиня кіммен сөйлескенін есіне түсірмей. Оның аналық бейнеқосылғы оған Наташада тым көп нәрсе бар екенін және бұл оның бақытты болмайтынын айтты. Наташа әнін әлі аяқтамаған еді, бұл кезде он төрт жасар ынталы Петя бөлмеге мумерлер келді деген хабармен жүгірді.
Наташа кенет тоқтады.
- Ақымақ! - деп айқайлады ол інісіне жүгіріп барып, орындыққа құлап, кейін ұзақ тоқтай алмай жылап жіберді.
«Ештеңе, ана, ештеңе, сондықтан: Петя мені қорқытты», - деді ол күлуге тырысып, бірақ көз жасы ағып, тамағын қысып жылады.
Киінген қызметшілер, аюлар, түріктер, қонақ үй иелері, ханымдар, қорқынышты және күлкілі, өздерімен бірге салқын және көңілді әкеліп, алдымен дәлізде қорқады; сосын бірінің артына бірінің артына тығылып, амалсыз залға кіргізді; Алғашында ұялшақ, бірақ содан кейін барған сайын көңілді және мейірімді әндер, билер, хор және Рождестволық ойындар басталды. Жүздерін танып, киінгендерге күлген графинья қонақ бөлмеге кіріп кетті. Граф Илья Андреич залда күлімсіреп, ойыншыларды мақұлдап отырды. Жастар жоғалып кетті.

Евклид кеңістігінің анықтамасы

Анықтама 1. Нақты сызықтық кеңістік деп аталады Евклидтік, Егер ол кез келген екі векторды байланыстыратын операцияны анықтайды xЖәне жосыдан векторлардың скаляр көбейтіндісі деп аталатын кеңістіктік сан xЖәне жжәне белгіленеді(x,y), ол үшін келесі шарттар орындалады:

1. (x, y) = (y, x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , мұндағы z- берілген сызықтық кеңістікке жататын кез келген вектор;

3. (?x,y) = ? (x,y) , мұндағы ? - кез келген сан;

4. (x,x) ? 0 , және (x,x) = 0 x = 0.

Мысалы, бір бағаналы матрицалардың сызықтық кеңістігінде векторлардың скаляр көбейтіндісі

формула арқылы анықтауға болады

Өлшемдердің евклидтік кеңістігі n En белгілеу. байқа, бұл ақырлы өлшемді де, шексіз өлшемді де евклидтік кеңістіктер бар.

Анықтама 2. x векторының ұзындығы (модульі). евклидтік кеңістікте En шақырды (хх)және оны былай белгілеңіз: |x| = (хх). Евклид кеңістігіндегі кез келген вектор үшінұзындығы бар, ал нөлдік вектор үшін ол нөлге тең.

Көбейту жоқ нөлдік вектор xсанға , біз векторды аламыз, ұзындығы ол біреуге тең. Бұл операция деп аталады нормалау векторы x.

Мысалы, бір бағаналы матрицалар кеңістігінде вектордың ұзындығы формуламен анықтауға болады:

Коши-Буняковский теңсіздігі

x болсын? En және y? En – кез келген екі вектор. Олар үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеп көрейік:

(Коши-Буняковский теңсіздігі)

Дәлелдеу. Болсын ба? - кез келген нақты сан. Ол анық (?x ? y,?x ? y) ? 0. Екінші жағынан, скаляр көбейтіндінің қасиеттеріне байланысты біз аламызжазу

Түсіндім

Бұл шаршы үшмүшенің дискриминанты оң болуы мүмкін емес, яғни. , одан мынадай:

теңсіздік дәлелденді.

үшбұрыш теңсіздігі

Болсын xЖәне жЕвклид кеңістігінің еркін векторлары En , яғни. x? kk және ж? kk.

Соны дәлелдеп көрейік . (Үшбұрыш теңсіздігі).

Дәлелдеу. Ол анық Басқа жақтан,. Коши-Буняковский теңсіздігін ескере отырып, аламыз

Үшбұрыштың теңсіздігі дәлелденді.

Евклидтік кеңістік нормасы

Анықтама 1 . сызықтық кеңістік?шақырды метрикалық, бар болса бұл кеңістіктің екі элементі xЖәне жтеріс емес тағайындалғансаны? (x,y), арасындағы қашықтық деп аталады xЖәне ж , (? (x,y)? 0) , жәнешарттар (аксиомалар):

1) ? (x,y) = 0 x = ж

2) ? (x,y) = ? (y,x)(симметрия);

3) кез келген үш вектор үшін x, жЖәне zбұл кеңістік? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

Түсініктеме. Метрикалық кеңістіктің элементтері әдетте нүктелер деп аталады.

Евклид кеңістігі En метрикалық, сонымен қатар арасындағы қашықтық ретінде векторлары x? en және y? En алуға болады x ? ж.

Мәселен, мысалы, бір бағаналы матрицалар кеңістігінде, қайда

демек

Анықтама 2 . сызықтық кеңістік?шақырды нормаланған, Егер әрбір вектор xосы кеңістіктен теріс емес нөмірі оған қоңырау шалды норма x. Бұл жағдайда келесі аксиомалар орындалады:

Нормаланған кеңістік метрикалық кеңістік екенін түсіну оңай. мүлік. Шынында да, арасындағы қашықтық сияқты xЖәне жала алады. Евклид тіліндекез келген х векторының нормасы ретінде En кеңістігі? En оның ұзындығы ретінде алынады,анау. .

Сонымен, En евклид кеңістігі метрикалық кеңістік болып табылады, сонымен қатар, Евклид кеңістігі En - нормаланған кеңістік.

Векторлар арасындағы бұрыш

Анықтама 1 . Нөлдік емес векторлар арасындағы бұрыш аЖәне бевклидтік кеңістікЕ nқандай нөмірді атаңыз

Анықтама 2 . Векторлар xЖәне жЕвклидтік кеңістік Enшақырды ортогонзығыр, егер олар теңдікті қанағаттандырса (x,y) = 0.

Егер xЖәне жнөлге тең емес болса, онда анықтамадан олардың арасындағы бұрыштың тең екендігі шығады

Нөлдік вектор анықтамасы бойынша кез келген векторға ортогональ болып есептелетінін ескеріңіз.

Мысал . Геометриялық (координаталық) кеңістікте?3, қайсысы Евклид кеңістігінің ерекше жағдайы, орц мен, jЖәне көзара ортогональ.

Ортонормальдық негіз

Анықтама 1 . e1 негізіЕвклид кеңістігінің ,e2 ,...,en En деп аталады ортогонзығыр, егер бұл базистің векторлары жұптық ортогональ болса, яғни. Егер

Анықтама 2 . Егер ортогональды базистің барлық векторлары e1, e2 ,...,en жалғыз, яғни. e i = 1 (i = 1,2,...,n) , онда базис шақырылады ортонормалық, яғни. Үшінортонормалық негіз

Теорема. (ортонормалды негізді құру туралы)

Әрбір Евклид кеңістігінің E n ортонормальдық негіздері болады.

Дәлелдеу . Жағдай үшін теореманы дәлелдеп көрейік n = 3.

E1 ,E2 ,E3 Е3 Евклид кеңістігінің кейбір ерікті негізі болсын. Біраз ортонормалық негіз құрастырайықосы кеңістікте.Қай жерге қояйық ? - біз таңдайтын нақты сансондықтан (e1 ,e2 ) = 0 болса, онда аламыз

және анық не? = 0, егер E1 және E2 ортогональ болса, яғни. бұл жағдайда e2 = E2 , және , өйткені бұл базистік вектор.

(e1 ,e2 ) = 0 екенін ескерсек, аламыз

Әлбетте, егер e1 және e2 E3 векторымен ортогональ болса, яғни. бұл жағдайда e3 = E3 қабылдау керек. Вектор E3 ? 0, өйткені E1, E2 және E3 сызықтық тәуелсіз,демек e3? 0.

Сонымен қатар, жоғарыда келтірілген пайымдаудан e3 пішінде ұсынылуы мүмкін емес екендігі шығады сызықтық комбинация e1 және e2 векторлары, демек e1, e2, e3 векторлары сызықты тәуелсізsims және жұптық ортогональды, сондықтан оларды Евклидтің негізі ретінде алуға болады.бос орындар E3. Құрылған негізді қалыпқа келтіру ғана қалады, ол үшін ол жеткіліктіқұрастырылған векторлардың әрқайсысын ұзындығына бөліңіз. Сосын аламыз

Сондықтан біз негіз құрдық ортонормалық негіз болып табылады. Теорема дәлелденді.

Еркіннен ортонормалық негізді құрудың қолданбалы әдісі негізі деп аталады ортогонализация процесі . Дәлелдеу кезінде ескеріңізтеорема, біз жұптық ортогональ векторлардың сызықтық тәуелсіз екенін анықтадық. қоспағандаегер En-де ортонормальдық базис болып табылады, онда кез келген х векторы үшін? Enбір ғана ыдырау бар

Мұндағы x1 , x2 ,..., xn - осы ортонормальдық базистегі х векторының координаталары.

Өйткені

содан кейін скаляр теңдігін (*) көбейтеді, Біз алып жатырмыз .

Бұдан әрі біз тек ортонормальдық негіздерді қарастырамыз, демек оларды жазуға ыңғайлы болу үшін базистік векторлардың үстіндегі нөлдертүсіреміз.

Осындай векторлық кеңістікке сәйкес келеді. Бұл мақалада бірінші анықтама бастапқы ретінде қабылданады.

N (\displaystyle n)-өлшемді евклидтік кеңістік белгіленеді E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)белгілеу де жиі қолданылады (егер контекстен кеңістіктің евклидтік құрылымы бар екені анық болса).

Энциклопедиялық YouTube

1 / 5

✪ 04 - Сызықтық алгебра. Евклидтік кеңістік

✪ Евклидтік емес геометрия. Бірінші бөлім.

✪ Евклидтік емес геометрия. Екінші бөлім

✪ 01 - Сызықтық алгебра. Сызықтық (векторлық) кеңістік

✪ 8. Евклидтік кеңістіктер

Субтитрлер

Формальды анықтама

Евклид кеңістігін анықтау үшін скалярлық туындының негізгі тұжырымдамасы ретінде алу оңайырақ. Евклидтік векторлық кеңістік векторларында нақты мән берілген нақты сандар өрісіндегі соңғы өлшемді векторлық кеңістік ретінде анықталады. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot,\cdot),)мынадай үш қасиеті бар:

Евклидтік кеңістік мысалы – координаталық кеңістік R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)нақты сандардың барлық мүмкін кортеждерінен тұрады (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots,x_(n)),)формуламен анықталатын скаляр көбейтіндісі (x , y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n . (\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Ұзындықтар мен бұрыштар

Евклид кеңістігінде берілген скаляр көбейтіндісі ұзындық пен бұрыштың геометриялық ұғымдарын енгізу үшін жеткілікті. Вектор ұзындығы u (\displaystyle u)ретінде анықталады (u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u))))және белгіленеді | u | . (\displaystyle |u|.)Ішкі көбейтіндінің оң анықтығы нөлдік емес вектордың ұзындығының нөлге тең еместігіне кепілдік береді және екі сызықтылықтан мынаны шығады: | a u | = | а | | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)яғни пропорционал векторлардың ұзындықтары пропорционал.

Векторлар арасындағы бұрыш u (\displaystyle u)Және v (\displaystyle v)формуласымен анықталады φ = arccos ⁡ ((x, y) | x | | y |) . (\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|)}\оң).)Косинус теоремасынан екі өлшемді евклидтік кеңістік үшін ( евклидтік жазықтық) бұрыштың бұл анықтамасы әдеттегіге сәйкес келеді. Үш өлшемді кеңістіктегі сияқты ортогональ векторларды арасындағы бұрышы тең векторлар ретінде анықтауға болады. π 2. (\displaystyle (\frac (\pi )(2)).)

Коши-Буняковский-Шварц теңсіздігі және үшбұрыш теңсіздігі

Жоғарыда келтірілген бұрыштың анықтамасында бір бос орын қалды: үшін arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\оң жақ))анықталды, бұл теңсіздік қажет | (x, y) | x | | у | | ≤ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.)Бұл теңсіздік расында да ерікті евклид кеңістігінде орындалады, ол Коши - Буняковский - Шварц теңсіздігі деп аталады. Осы теңсіздіктен өз кезегінде үшбұрыш теңсіздігі шығады: | u+v | ⩽ | u | + | v | . (\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.)Үшбұрыштың теңсіздігі жоғарыда аталған ұзындық қасиеттерімен бірге вектордың ұзындығы евклидтік векторлық кеңістікте норма болып табылатынын білдіреді және функция d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|)Евклид кеңістігіндегі метрикалық кеңістіктің құрылымын анықтайды (бұл функция евклид метрикасы деп аталады). Атап айтқанда, элементтер арасындағы қашықтық (нүктелер) x (\displaystyle x)Және y (\displaystyle y)координаталық кеңістік R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))формуламен берілген d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . (\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\сома _(i=1)^(n)) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

Алгебралық қасиеттер

Ортонормальдық негіздер

Қос бос орындар және операторлар

Кез келген вектор x (\displaystyle x)Евклидтік кеңістік сызықтық функционалдылықты анықтайды x ∗ (\displaystyle x^(*))ретінде анықталған осы кеңістікте x ∗ (y) = (x , y) . (\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)Бұл кескіндеу Евклид кеңістігі мен арасындағы изоморфизм болып табылады

§3. Векторлық кеңістіктің өлшемі және негізі

Векторлардың сызықтық комбинациясы

Тривиальды және тривиальды емес сызықтық комбинация

Сызықтық тәуелді және сызықты тәуелсіз векторлар

Байланысты векторлық кеңістік қасиеттері сызықтық тәуелділіквекторлар

П-өлшемді векторлық кеңістік

Векторлық кеңістіктің өлшемі

Базис бойынша вектордың ыдырауы

§4. Жаңа негізге көшу

Ескі базистен жаңаға өту матрицасы

Жаңа негізде векторлық координаталар

§5. Евклидтік кеңістік

Скалярлық өнім

Евклидтік кеңістік

Вектордың ұзындығы (норма).

Векторлық ұзындықтың қасиеттері

Векторлар арасындағы бұрыш

Ортогональды векторлар

Ортонормальдық негіз

§ 3. Векторлық кеңістіктің өлшемі және негізі

Өріс үстіндегі кейбір векторлық кеңістікті (V, M, ∘) қарастырайық Р. V жиынының кейбір элементтері болсын, яғни, векторлар.

Сызықтық комбинациявекторлар – өрістің ерікті элементтері бойынша осы векторлардың көбейтінділерінің қосындысына тең кез келген вектор Р(яғни скалярларға):

Егер барлық скалярлар нөлге тең болса, онда мұндай сызықтық комбинация деп аталады тривиальды(ең қарапайым) және .

Егер кем дегенде бір скаляр нөлге тең болмаса, сызықтық комбинация деп аталады тривиальды емес.

векторлар деп аталады сызықтық тәуелсіз, егер бұл векторлардың тривиальды сызықтық комбинациясы:

векторлар деп аталады сызықтық тәуелді, егер -ге тең осы векторлардың кем дегенде бір тривиальды емес сызықтық комбинациясы болса.

Мысал. Төрттіктердің реттелген жиындарының жиынын қарастырайық нақты сандарнақты сандар өрісіндегі векторлық кеңістік. Тапсырма: векторлардың болатынын табыңыз , Және сызықтық тәуелді.

Шешім.

Осы векторлардың сызықтық комбинациясын құрастырайық: , мұндағы белгісіз сандар. Бұл сызықтық комбинация нөлдік векторға тең болуын талап етеміз: .

Бұл теңдікте векторларды сандардың бағандары ретінде жазамыз:

Егер бұл теңдік орындалатын сандар болса және сандардың кем дегенде біреуі нөлге тең болмаса, онда бұл тривиальды емес сызықтық комбинация және векторлары сызықтық тәуелді болады.

Келесі әрекеттерді орындайық:

Осылайша, мәселе жүйені шешуге дейін азаяды сызықтық теңдеулер:

Оны шеше отырып, біз аламыз:

Жүйенің кеңейтілген және негізгі матрицаларының дәрежелері тең және саннан азбелгісіз, сондықтан жүйеде шешімдердің шексіз саны бар.

болсын , содан кейін және .

Сонымен, бұл векторлар үшін тривиальды емес сызықтық комбинация бар, мысалы, at , ол нөлдік векторға тең, яғни бұл векторлар сызықтық тәуелді.

Кейбірін атап өтеміз векторлардың сызықтық тәуелділігіне байланысты векторлық кеңістік қасиеттері:

1. Егер векторлар сызықтық тәуелді болса, онда олардың ең болмағанда біреуі басқаларының сызықтық комбинациясы болады.

2. Егер векторлардың арасында нөлдік вектор болса, онда бұл векторлар сызықты тәуелді болады.

3. Егер кейбір векторлар сызықты тәуелді болса, онда бұл векторлардың барлығы сызықты тәуелді болады.

V векторлық кеңістік V деп аталады П-өлшемді векторлық кеңістікқұрамында болса Псызықты тәуелсіз векторлар және кез келген жиыны ( П+ 1) векторлар сызықты тәуелді.

Сан Пшақырды векторлық кеңістік өлшемі, және белгіленеді күңгірт(V)ағылшын тілінен «dimension» - өлшем (өлшем, өлшем, өлшем, өлшем, ұзындық және т.б.).

Жиынтық Псызықты тәуелсіз векторлар П-өлшемді векторлық кеңістік деп аталады негізі.

Формула (*) деп аталады векторлық ыдырау негізі, және сандар – векторлық координаталаросы негізде .

Векторлық кеңістікте бірден көп немесе тіпті шексіз көп негіздер болуы мүмкін. Әрбір жаңа негізде бір вектордың әртүрлі координаттары болады.

§ 4. Жаңа негізге көшу

Сызықтық алгебрада вектордың координаталарын жаңа негізде табу мәселесі жиі туындайды, егер оның ескі базистегі координаталары белгілі болса.

Кейбіреулерін қарастырыңыз П-өріс үстіндегі өлшемді векторлық кеңістік (V, +, ). Р. Бұл кеңістікте екі негіз болсын: ескі және жаңа .

Тапсырма: жаңа негізде вектордың координаталарын табу.

Ескі базистегі жаңа базис векторларының ыдырауы болсын:

,

Матрицадағы векторлардың координаталарын жүйеде жазылғандай жолдармен емес, бағандармен жазып алайық:

Алынған матрица деп аталады ауысу матрицасыескі базадан жаңаға дейін.

Өтпелі матрица кез келген вектордың координаталарын ескі және жаңа негізде келесі қатынас арқылы байланыстырады:

,

мұндағы жаңа негізде вектордың қажетті координаталары.

Осылайша, жаңа негізде вектордың координаталарын табу мәселесі шешуге дейін қысқарады матрицалық теңдеу: , Қайда X– ескі негіздегі векторлық координаталардың матрицалық бағанасы, Аескі негізден жаңаға өту матрицасы, X* - жаңа негізде векторлық координаттардың қажетті матрица-бағанасы. Матрицалық теңдеуден мынаны аламыз:

Сонымен, векторлық координаталар жаңа негіздетеңдігінен табылады:

.

Мысал.Кейбір негізде векторлардың кеңеюі берілген:

Базистегі вектордың координаталарын табыңыз.

Шешім.

1. Жаңа негізге өту матрицасын жазыңыз, яғни. ескі негіздегі векторлардың координаталарын бағандарға жазамыз:

2. Матрицаны табыңыз А –1:

3. Көбейтуді орындаңыз, мұндағы вектордың координаталары:

Жауап: .

§ 5. Евклидтік кеңістік

Кейбіреулерін қарастырыңыз П-нақты сандар өрісіндегі өлшемдік векторлық кеңістік (V, +, ). Р. Бұл кеңістіктің негізі болсын.

Осы векторлық кеңістікке енгізейік метрикалық, яғни. Ұзындықтар мен бұрыштарды өлшеу әдісін анықтайық. Ол үшін скаляр көбейтінді ұғымын анықтаймыз.