2a 3c векторларының сызықтық комбинациясын табыңыз. Векторлардың сызықтық тәуелділігі. Векторлардың сызықтық комбинациясы. Векторлардың коллинеарлығы. Векторлардың салыстырмалылығы. Векторлардың сызықтық тәуелділік теоремасы

Векторлардың сызықтық комбинациясы келесі түрдің өрнегі болып табылады: , Қайда - нақты сандар, сызықтық комбинацияның коэффициенттері деп аталады.

Векторлардың сызықтық тәуелсіздігінің анықтамасы

А 1 ,А 2 ,…А n векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз деп аталады, егер бұл векторлардың сызықтық комбинациясы λ1*A1+λ2*A2+...+λn*An тек нөлдік жиыны үшін нөлдік векторға тең болса. λ1, λ2,..., λn сандары, яғни теңдеулер жүйесі: A1x1+A2x2+...+Anxn =Θ бірегей нөлдік шешімі бар.

Векторлардың сызықтық тәуелділігін анықтау

Екі жазық векторлар, егер олар коллинеар болса ғана, сызықты тәуелді болады.
Екі вектор бір түзудің бойында немесе параллель түзудің бойында жатса, олар коллинеар деп аталады.

Векторлардың сызықтық тәуелділік теоремасы

Жолды тәуелсіз жолдардың сызықтық комбинациясы ретінде көрсету туралы теорема

А матрицасының әрбір жолын А матрицасының тәуелсіз жолдарының сызықтық комбинациясы ретінде көрсетуге болады.

А матрицасының r дәрежесі болсын, онда 0-ден өзгеше r ретті миноры бар, осы минорға i-ші жолды және j-ші бағанды ​​қосыңыз.

M r =
M r+1 =0; өйткені дәрежесі A=r (r-ден жоғары дәрежелі минор ретінде).Бұл минорды соңғы бағанда кеңейтуге болады.

[а 1j A 1j + a 2j A 2j +…+ a rj A rj + a ij (-1) i+j *M r ]=0

Барлығын M r-ге бөліп, A ij енгізіңіз /((-1) i+j M r)=λ i

a ij = λ 1 a 1j +λ 2 a 2j +…+ λ 4 a 4j, мұндағы j=r+1 бұл теңдік j=1 m үшін де жарамды

81. Бағананы тәуелсіз сызықтық комбинация ретінде көрсету туралы теорема бағандар

Матрица рангі мен тәуелсіз жолдар/бағандар саны арасындағы байланыс туралы теорема

А матрицалық дәрежесі санына теңоның тәуелсіз жолдары/бағандары А (m*n) матрицасының r дәрежесі болсын

r = 0 ретті миноры бар; (e 1….. e r ) сызықтық тәуелсіз

Керісінше болсын: e r = λ 1 e 1 +λ 2 e 2 +…+ λ r-1 e r-1

Ele-s түрлендіруді орындайық. осы минордың анықтауышын өзгертпеу (M r)

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2

e r - λ 1 e 1 - λ 2 e 2 – λ 3 e 3 -…- λ r-1 e r-1

Сонымен, біз 0-ден тұратын соңғы жолды аламыз, бірақ содан кейін M r = 0, біздің болжамымыз қате!

Детерминанттар

Анықтауыштардың қасиеттері. № 01. (Транспозиция)

Транспозицияланған матрицаның анықтауышы бастапқы матрицаның анықтауышына тең: .

Дәлелдеу. Анықтама бойынша,

Матрицаны ауыстыру кезінде Абұл сомадағы терминдерді қайта құру ғана бар.

Анықтауыштардың қасиеттері. No 02. (жолдарды немесе бағандарды қайта орналастыру).

Егер анықтауышта кез келген екі жол немесе екі баған алмастырылса, онда анықтауыш өзінің таңбасын керісінше өзгертеді.

Дәлелдеу. 1-теорема бойынша кез келген транспозиция ауыстырудың паритетін өзгертеді. Сондықтан екі жолды (бағандарды) ауыстырған кезде әрбір қосынды таңбасын керісінше өзгертеді.

Векторлардың сызықтық тәуелділігі және сызықтық тәуелсіздігі.
Векторлардың негізі. Аффиндік координаталар жүйесі

Аудиторияда шоколадтары бар арба бар, бүгін әрбір келушінің өзі алады тәтті жұп– сызықтық алгебрамен аналитикалық геометрия. Бұл мақала бірден екі бөлімді қамтиды. жоғары математика, және біз олардың бір орамда қалай тіл табысатынын көреміз. Үзіліс жасаңыз, Twix-ті жеңіз! ... қарғыс атқыр, жарайды, бос сөз. Жақсы болғанымен, мен ұпай жинамаймын, соңында оқуға деген оң көзқарас болуы керек.

Векторлардың сызықтық тәуелділігі, векторлардың сызықтық тәуелсіздігі, векторлық негізіжәне басқа да терминдердің геометриялық түсіндірмесі ғана емес, ең алдымен алгебралық мағынасы бар. тұрғысынан «вектор» ұғымының өзі сызықтық алгебра- бұл әрқашан біз жазықтықта немесе кеңістікте бейнелейтін «қарапайым» вектордан алыс. Дәлелдеуді алыстан іздеудің қажеті жоқ, бес өлшемді кеңістіктің векторын салып көріңіз . Немесе мен Gismeteo-ға барған ауа райы векторы: - температура және атмосфералық қысымтиісінше. Мысал, әрине, векторлық кеңістіктің қасиеттері тұрғысынан дұрыс емес, бірақ соған қарамастан, бұл параметрлерді вектор ретінде ресімдеуге ешкім тыйым салмайды. Күз тынысы...

Жоқ, мен сізге теорияны жүктемеймін, сызықтық векторлық кеңістіктер, міндеті түсінуанықтамалар мен теоремалар. Жаңа терминдер (сызықтық тәуелділік, тәуелсіздік, сызықтық комбинация, базис және т.б.) алгебралық тұрғыдан барлық векторларға қолданылады, бірақ мысалдар геометриялық түрде беріледі. Осылайша, бәрі қарапайым, қолжетімді және көрнекі. Аналитикалық геометрия есептерінен басқа біз алгебраның кейбір типтік тапсырмаларын да қарастырамыз. Материалды меңгеру үшін сабақтармен танысқан жөн Манекендерге арналған векторларЖәне Анықтаушыны қалай есептеу керек?

Жазық векторлардың сызықтық тәуелділігі және тәуелсіздігі.
Жазықтық негіз және аффиндік координаталар жүйесі

Компьютер үстелінің жазықтығына назар аударыңыз (тек үстел, тумбочка, еден, төбе, өзіңізге ұнайтын нәрсе). Тапсырма келесі әрекеттерден тұрады:

1) Жазықтық негізді таңдаңыз. Шамамен айтқанда, үстелдің ұзындығы мен ені бар, сондықтан негізді құру үшін екі вектор қажет екені интуитивті түрде түсінікті. Бір вектор жеткіліксіз, үш вектор тым көп.

2) Таңдалған негізге негізделген координаттар жүйесін орнату(координаталық тор) кестедегі барлық элементтерге координаттарды тағайындау.

Таң қалмаңыз, алдымен түсініктемелер саусақтарда болады. Оның үстіне, сіздікі. Өтінемін, орналастырыңыз сұқ саусақсол қолмониторға қарайтындай етіп үстелдің шетіне қойыңыз. Бұл вектор болады. Енді орын оң қолдың кішкентай саусағыүстелдің шетінде дәл осылай - монитор экранына бағытталған етіп. Бұл вектор болады. Күліңіз, сіз керемет көрінесіз! Векторлар туралы не айтуға болады? Деректер векторлары коллинеарлы, білдіреді сызықтықбір-бірімен өрнектеледі:
, жақсы немесе керісінше: , мұндағы нөлдік емес сан.

Бұл әрекеттің суретін сабақта көруге болады. Манекендерге арналған векторлар, мұнда мен векторды санға көбейту ережесін түсіндірдім.

Саусақтарыңыз компьютер үстелінің жазықтығына негіз қояды ма? Болмайтыны анық. Коллинеар векторлар алға-артқа қозғалады жалғызбағыт, ал жазықтықтың ұзындығы мен ені бар.

Мұндай векторлар деп аталады сызықтық тәуелді.

Анықтама: «Сызықтық», «сызықтық» сөздері математикалық теңдеулерде, өрнектерде квадраттардың, кубтардың, басқа дәрежелердің, логарифмдердің, синустардың және т.б. болмайтынын білдіреді. Тек сызықтық (1-дәрежелі) өрнектер мен тәуелділіктер бар.

Екі жазық вектор сызықтық тәуелдіегер олар коллинеар болса ғана.

Саусақтарыңызды үстелде айқастырып, олардың арасында 0 немесе 180 градустан басқа кез келген бұрыш болуы керек. Екі жазық векторсызықтық Жоқолар коллинеар болмаса ғана тәуелді болады. Сонымен, негіз алынды. Негіз әртүрлі ұзындықтағы перпендикуляр емес векторлары бар «қиғаш» болып шыққанына ұялудың қажеті жоқ. Жақында біз оны құру үшін тек 90 градус бұрыш қана емес, сонымен қатар бірдей ұзындықтағы бірлік векторлары ғана емес екенін көреміз.

Кез келгенжазықтық векторы жалғыз жолнегізіне қарай кеңейтілді:
, нақты сандар қайда. Сандар шақырылады векторлық координаталаросы негізде.

Олар да солай дейді векторытүрінде ұсынылған сызықтық комбинациябазистік векторлар. Яғни, өрнек деп аталады векторлық ыдыраунегізінемесе сызықтық комбинациябазистік векторлар.

Мысалы, вектор жазықтықтың ортонормальдық негізінде кеңейтілген деп айтуға болады немесе ол векторлардың сызықтық комбинациясы ретінде берілген деп айтуға болады.

тұжырымдап көрейік негізді анықтауресми түрде: жазықтық негізісызықтық тәуелсіз (коллинеар емес) векторлар жұбы, , Сонымен бірге кез келгенжазық вектор – базистік векторлардың сызықтық комбинациясы.

Анықтаманың маңызды нүктесі - векторлардың алынуы белгілі бір тәртіпте. негіздер Бұл екі мүлдем басқа негіз! Олар айтқандай, сол қолдың кішкентай саусағын оң қолдың кішкентай саусағы орнына жылжыту мүмкін емес.

Біз негізді анықтадық, бірақ координаттар торын орнату және компьютер үстеліндегі әрбір элементке координаттарды тағайындау жеткіліксіз. Неге жеткіліксіз? Векторлар бос және бүкіл жазықтықта жүреді. Сонымен, жабайы демалыс күндерінен қалған кішкене лас кесте нүктелеріне координаттарды қалай тағайындайсыз? Бастапқы нүкте қажет. Ал мұндай тірек нүктесі баршаға таныс нүкте – координаталар бастауы. Координаталар жүйесін түсіну:

Мен «мектеп» жүйесінен бастайын. Кіріспе сабақта Манекендерге арналған векторларМен тікбұрышты координаталар жүйесі мен ортонормальдық негіз арасындағы кейбір айырмашылықтарды атап өттім. Міне стандартты сурет:

туралы сөйлескенде тікбұрышты координаталар жүйесі, содан кейін олар көбінесе координаталық осьтерді және осьтер бойындағы масштабты білдіреді. Іздеу жүйесінде «тікбұрышты координаталар жүйесін» теріп көріңіз, сонда сіз көптеген дереккөздер сізге 5-6 сыныптан таныс координаталар осьтері және нүктелерді жазықтықта қалай салу керектігі туралы айтып беретінін көресіз.

Екінші жағынан, солай сияқты тікбұрышты жүйекоординаталары ортонормальдық негіз тұрғысынан анықталуы мүмкін. Және бұл дерлік. Сөз тіркесі естіледі келесідей:

шығу тегі, Және ортонормалықнегіз жиынтығы Жазықтықтың декарттық координаталар жүйесі . Яғни, төртбұрышты координаттар жүйесі сөзсізбір нүктемен және екі бірлік ортогональ вектормен анықталады. Сондықтан сіз жоғарыда мен берген сызбаны көресіз - геометриялық есептерде векторлар да, координаталар осьтері де жиі (бірақ әрқашан емес) сызылады.

Менің ойымша, мұны әркім нүктенің (бастапқы) және ортонормальдық негіздің көмегімен түсінеді Ұшақтың КЕЗ КЕЛГЕН НҮКТЕСІ және ұшақтың КЕЗ КЕЛГЕН ВЕКТОРЫкоординаталар тағайындалуы мүмкін. Бейнелеп айтқанда, «ұшақтағы барлық нәрсені нөмірлеуге болады».

Координаталық векторлар бірлік болуы керек пе? Жоқ, олар ерікті нөлдік емес ұзындыққа ие болуы мүмкін. Нөлдік емес ұзындықтағы нүктені және екі ортогональ векторын қарастырайық:

Мұндай негіз деп аталады ортогональды. Векторлары бар координаталар басы координаталар торын анықтайды, ал жазықтықтың кез келген нүктесі, кез келген вектордың берілген негізде өз координаталары болады. Мысалы, немесе. Көрінетін қолайсыздық координаталық векторлар болып табылады жалпы алғандабірліктен басқа ұзындықтары әртүрлі. Егер ұзындықтар біреуге тең болса, онда әдеттегі ортонормалық негіз алынады.

! Ескерту : ортогональды негізде, сондай-ақ төменде жазықтық пен кеңістіктің аффиндік негіздерінде осьтер бойынша өлшем бірліктері қарастырылады. ШАРТТЫ. Мысалы, абсциссадағы бір бірлік 4 см, ординатадағы бір бірлік 2 см. Бұл ақпарат қажет болған жағдайда «стандартты емес» координаталарды «біздің әдеттегі сантиметрге» түрлендіру үшін жеткілікті.

Ал екінші сұрақ, ол қазірдің өзінде жауап берді - негізгі векторлар арасындағы бұрыш міндетті түрде 90 градусқа тең бе? Жоқ! Анықтамада айтылғандай, базистік векторлар болуы керек тек коллинеарлы емес. Сәйкесінше, бұрыш 0 және 180 градустан басқа кез келген нәрсе болуы мүмкін.

Ұшақтың бір нүктесі шақырылды шығу тегі, Және коллинеарлы емесвекторлар, , орнату жазықтықтың аффиндік координаталар жүйесі :

Кейде бұл координаттар жүйесі деп аталады қиғашжүйесі. Нүктелер мен векторлар сызбада мысал ретінде көрсетілген:

Түсінгеніңіздей, аффиндік координаталар жүйесі одан да ыңғайлы емес, біз сабақтың екінші бөлігінде қарастырған векторлар мен кесінділердің ұзындықтарының формулалары онда жұмыс істемейді. Манекендерге арналған векторлар, байланысты көптеген дәмді формулалар векторлардың скаляр көбейтіндісі. Бірақ векторларды қосу және векторды санға көбейту ережелері жарамды, осыған байланысты сегментті бөлу формулалары, сондай-ақ біз жақын арада қарастыратын басқа да есеп түрлері.

Бұдан шығатын қорытынды: аффиндік координаталар жүйесінің ең қолайлы нақты жағдайы декарттық тікбұрышты жүйе болып табылады. Сондықтан, ол, өзін, көбінесе, көрінуі керек. ... Дегенмен, бұл өмірде бәрі салыстырмалы - қиғаштық (немесе басқа да, мысалы, полярлық) координаталар жүйесі. Иә, және гуманоидтар мұндай жүйелердің дәмі болуы мүмкін =)

Практикалық бөлікке көшейік. Барлық тапсырмалар осы сабақтікбұрышты координаталар жүйесі үшін де, жалпы аффиндік жағдай үшін де жарамды. Мұнда күрделі ештеңе жоқ, барлық материал тіпті мектеп оқушысына да қолжетімді.

Жазық векторлардың коллинеарлығы қалай анықталады?

Типтік нәрсе. Екі жазық вектор үшін коллинеар болса, олардың сәйкес координаталары пропорционал болуы қажет және жеткілікті.Негізі, бұл айқын қатынасты координаталық нақтылау .

1-мысал

а) Векторлардың коллинеар екенін тексеріңіз .
б) Векторлар базис құрайды ма? ?

Шешімі:
а) Векторлардың бар-жоғын табыңыз теңдіктер орындалатындай пропорционалдық коэффициенті:

Мен сізге практикада өте жақсы жұмыс істейтін осы ережені қолданудың «нағыз» нұсқасы туралы міндетті түрде айтып беремін. Идеясы бірден пропорция құрастырып, оның дұрыстығына көз жеткізу:

Векторлардың сәйкес координаталарының қатынасынан пропорция шығарайық:

Біз қысқартамыз:
, осылайша сәйкес координаттар пропорционал, сондықтан

Қатынас жасалуы мүмкін және керісінше, бұл баламалы нұсқа:

Өзін-өзі сынау үшін коллинеар векторлардың бір-бірімен сызықтық өрнектелетінін қолдануға болады. Бұл жағдайда теңдік бар . Олардың жарамдылығын векторлармен қарапайым операциялар арқылы оңай тексеруге болады:

б) Екі жазық вектор базис құрайды, егер олар коллинеар болмаса (сызықтық тәуелсіз). Векторларды коллинеарлық үшін зерттейміз . Жүйені құрайық:

Бірінші теңдеуден , екінші теңдеуден мынау шығады, яғни мынаны білдіреді: жүйе сәйкес емес(шешімдер жоқ). Сонымен, векторлардың сәйкес координаталары пропорционал емес.

Қорытынды: векторлар сызықтық тәуелсіз және базис құрайды.

Шешімнің жеңілдетілген нұсқасы келесідей:

Векторлардың сәйкес координаталарынан пропорция құрастыр :
, демек, бұл векторлар сызықтық тәуелсіз және базис құрайды.

Әдетте шолушылар бұл опцияны қабылдамайды, бірақ кейбір координаттар нөлге тең болған жағдайда мәселе туындайды. Бұл сияқты: . Немесе келесідей: . Немесе келесідей: . Мұнда пропорция арқылы қалай жұмыс істеуге болады? (Шынымен, нөлге бөлуге болмайды). Дәл осы себепті мен жеңілдетілген шешімді «фоппиш» деп атадым.

Жауап:а) , б) пішін.

Тәуелсіз шешім үшін шағын шығармашылық мысал:

2-мысал

Векторлар параметрінің қандай мәнінде коллинеарлы болады?

Үлгі ерітіндісінде параметр пропорция арқылы табылады.

Векторлардың коллинеарлылығын тексерудің талғампаз алгебралық әдісі бар.Білімімізді жүйелеп, оны бесінші нүкте ретінде қосайық:

Екі жазық вектор үшін келесі мәлімдемелер эквивалентті:

2) векторлар базис құрайды;
3) векторлар коллинеар емес;

+ 5) осы векторлардың координаталарынан құралған анықтауыш нөлге тең емес.

Сәйкесінше, келесі қарама-қарсы мәлімдемелер эквивалентті:
1) векторлар сызықты тәуелді;
2) векторлар базис құрамайды;
3) векторлар коллинеар;
4) векторлар бір-бірімен сызықты түрде өрнектелуі мүмкін;
+ 5) осы векторлардың координаталарынан құралған анықтауыш нөлге тең.

Қазіргі уақытта сіз кез келген терминдер мен мәлімдемелерді түсінесіз деп үміттенемін.

Жаңа, бесінші тармақты толығырақ қарастырайық: екі жазық вектор егер берілген векторлардың координаталарынан құралған анықтауыш нөлге тең болса ғана коллинеар болады:. Бұл мүмкіндікті пайдалану үшін, әрине, мүмкіндігіңіз болуы керек анықтауыштарды табыңыз.

Біз шешемізЕкінші жолмен 1-мысал:

а) Векторлардың координаталарынан құралған анықтауышты есептеңдер :
, сондықтан бұл векторлар коллинеар.

б) Екі жазық вектор базис құрайды, егер олар коллинеар болмаса (сызықтық тәуелсіз). Векторлардың координаталарынан құралған анықтауышты есептейік :
, демек векторлар сызықты тәуелсіз және базис құрайды.

Жауап:а) , б) пішін.

Бұл пропорциялары бар шешімге қарағанда әлдеқайда ықшам және әдемі көрінеді.

Қарастырылған материалдың көмегімен тек векторлардың коллинеарлығын орнатуға ғана емес, сонымен қатар кесінділердің, түзулердің параллельдігін дәлелдеуге болады. Нақты геометриялық фигуралар бар бірнеше есептерді қарастырыңыз.

3-мысал

Төртбұрыштың төбелері берілген. Төртбұрыштың параллелограмм екенін дәлелдеңдер.

Дәлелдеу: Есепте сызбаны салудың қажеті жоқ, өйткені шешім таза аналитикалық болады. Параллелограммның анықтамасын есте сақтаңыз:
Параллелограмм Қарама-қарсы қабырғалары жұп параллель болатын төртбұрыш деп аталады.

Осылайша, дәлелдеу қажет:
1) қарама-қарсы жақтардың параллелдігі және;
2) қарама-қарсы жақтардың параллелдігі және .

Біз дәлелдейміз:

1) векторларды табыңыз:

2) векторларды табыңыз:

Нәтиже бірдей вектор («мектеп бойынша» - тең векторлар). Коллинеарлылық өте айқын, бірақ шешімді дұрыс, орналасу арқылы қабылдаған дұрыс. Векторлардың координаталарынан тұратын анықтауышты есептеңдер:
, сондықтан бұл векторлар коллинеар, және .

Қорытынды: Төртбұрыштың қарама-қарсы қабырғалары жұп параллель, сондықтан анықтамасы бойынша ол параллелограмм. Q.E.D.

Жақсырақ және әртүрлі сандар:

4-мысал

Төртбұрыштың төбелері берілген. Төртбұрыштың трапеция екенін дәлелдеңдер.

Дәлелдеуді неғұрлым қатаң тұжырымдау үшін, әрине, трапецияның анықтамасын алған дұрыс, бірақ оның қалай көрінетінін есте сақтау жеткілікті.

Бұл тәуелсіз шешім қабылдауға арналған тапсырма. Сабақтың соңында толық шешім.

Енді ұшақтан ғарышқа баяу қозғалатын кез келді:

Кеңістік векторларының коллинеарлығы қалай анықталады?

Ереже өте ұқсас. Екі кеңістік векторы коллинеар болуы үшін олардың сәйкес координаталары мынаған пропорционал болуы қажет және жеткілікті..

5-мысал

Мына кеңістік векторларының коллинеар екенін табыңыз:

A) ;
б)
V)

Шешімі:
а) векторлардың сәйкес координаталары үшін пропорционалдық коэффициентінің бар-жоғын тексеріңіз:

Жүйенің шешімі жоқ, яғни векторлар коллинеар емес.

«Жеңілдетілген» пропорцияны тексеру арқылы ресімделеді. Бұл жағдайда:
– сәйкес координаталар пропорционал емес, яғни векторлар коллинеар емес.

Жауап:векторлары коллинеар емес.

b-c) Бұл тәуелсіз шешім қабылдауға арналған нүктелер. Оны екі жолмен көріңіз.

Кеңістіктік векторларды коллинеарлық және үшінші ретті анықтауыш арқылы тексеру әдісі бар, бұл әдіс мақалада қарастырылған. Векторлардың айқас көбейтіндісі.

Жазық жағдайға ұқсас, қарастырылатын құралдарды кеңістіктік кесінділер мен түзулердің параллелизмін зерттеу үшін пайдалануға болады.

Екінші бөлімге қош келдіңіздер:

Үш өлшемді кеңістік векторларының сызықтық тәуелділігі және тәуелсіздігі.
Кеңістіктік базис және аффиндік координаталар жүйесі

Біз ұшақта қарастырған көптеген заңдылықтар ғарыш үшін де жарамды болады. Мен теорияның қысқаша мазмұнын азайтуға тырыстым, өйткені ақпараттың көп бөлігі шайнап қойған. Соған қарамастан, кіріспе бөлімін мұқият оқып шығуды ұсынамын, өйткені жаңа терминдер мен ұғымдар пайда болады.

Енді компьютер үстелінің жазықтығының орнына үш өлшемді кеңістікті қарастырайық. Алдымен оның негізін жасайық. Біреу қазір үйде, біреу сыртта, бірақ кез келген жағдайда біз үш өлшемнен: ені, ұзындығы және биіктігінен арыла алмаймыз. Сондықтан базис құру үшін үш кеңістіктік вектор қажет. Бір немесе екі вектор жеткіліксіз, төртіншісі артық.

Тағы да біз саусақтарға жылынамыз. Қолыңызды жоғары көтеріп, әртүрлі бағытта таратыңыз бас бармақ, индекс және ортаңғы саусақ. Бұл векторлар болады, олар әртүрлі бағытта көрінеді, әртүрлі ұзындықтарға ие және олардың арасында әртүрлі бұрыштар болады. Құттықтаймыз, үш өлшемді кеңістіктің негізі дайын! Айтпақшы, саусақтарыңызды қалай бұрсаңыз да, мұны мұғалімдерге көрсетудің қажеті жоқ, бірақ анықтамалардан арыла алмайсыз =)

Әрі қарай сұрайық маңызды мәселе, кез келген үш вектор үш өлшемді кеңістіктің негізін құра ма? Компьютер үстелінің үстіңгі жағындағы үш саусақты қатты басыңыз. Не болды? Үш вектор бір жазықтықта орналасқан, және, шамамен айтқанда, біз өлшемдердің бірін жоғалттық - биіктік. Мұндай векторлар салыстырмалыжәне үш өлшемді кеңістіктің негізі құрылмағаны анық.

Айта кету керек, копланар векторлары бір жазықтықта жатуы керек емес, олар параллель жазықтықта болуы мүмкін (тек саусақпен бұлай істемеңіз, тек Сальвадор Дали осылай шықты =)).

Анықтама: векторлар деп аталады салыстырмалыегер олар параллель болатын жазықтық бар болса. Бұл жерде мұндай жазықтық жоқ болса, онда векторлар компланар болмайды деп қосу қисынды.

Үш компланар вектор әрқашан сызықты тәуелді болады, яғни олар бір-бірімен сызықтық түрде өрнектеледі. Қарапайымдылық үшін олардың бір жазықтықта жатқанын тағы елестетіңіз. Біріншіден, векторлар тек қана компланар емес, сонымен қатар коллинеар болуы мүмкін, содан кейін кез келген векторды кез келген вектор арқылы өрнектеуге болады. Екінші жағдайда, мысалы, векторлар коллинеар болмаса, онда үшінші вектор олар арқылы бірегей түрде өрнектеледі: (және неге алдыңғы бөлімнің материалдарынан болжау оңай).

Керісінше де дұрыс: үш компланар емес вектор әрқашан сызықты тәуелсіз болады, яғни олар бір-бірі арқылы ешбір түрде білдірілмейді. Және, анық, тек осындай векторлар үш өлшемді кеңістіктің негізін құра алады.

Анықтама: Үш өлшемді кеңістіктің негізісызықты тәуелсіз (компланар емес) векторлардың үш еселігі деп аталады, белгілі бір тәртіппен алынады, ал кеңістіктің кез келген векторы жалғыз жолберілген негізде кеңейеді , мұндағы вектордың координаталары берілген базисте

Еске сала кетейік, сіз вектор ретінде берілген деп те айта аласыз сызықтық комбинациябазистік векторлар.

Координаталар жүйесі туралы түсінік дәл сол сияқты енгізіледі жалпақ корпус, бір нүкте және кез келген үш сызықты тәуелсіз вектор жеткілікті:

шығу тегі, Және салыстырмалы емесвекторлар, белгілі бір тәртіппен алынады, орнату үш өлшемді кеңістіктің аффиндік координаталар жүйесі :

Әрине, координаттар торы «қиғаш» және ыңғайсыз, бірақ соған қарамастан, салынған координаттар жүйесі бізге мүмкіндік береді сөзсізкез келген вектордың координаталарын және кеңістіктегі кез келген нүктенің координаталарын анықтау. Жазықтыққа ұқсас, кеңістіктің аффиндік координаттар жүйесінде мен айтқан кейбір формулалар жұмыс істемейді.

Аффиндік координаттар жүйесінің ең таныс және ыңғайлы ерекше жағдайы, барлығы болжауы мүмкін тікбұрышты кеңістік координаталар жүйесі:

кеңістіктегі нүкте деп аталады шығу тегі, Және ортонормалықнегіз жиынтығы Кеңістіктің декарттық координаталар жүйесі . таныс сурет:

Тәжірибелік тапсырмаларға кіріспес бұрын біз ақпаратты қайтадан жүйелейміз:

Үш кеңістік векторы үшін келесі мәлімдемелер эквивалентті:
1) векторлар сызықты тәуелсіз;
2) векторлар базис құрайды;
3) векторлар компланар емес;
4) векторларды бір-бірімен сызықтық өрнектеуге болмайды;
5) осы векторлардың координаталарынан құралған анықтауыш нөлден өзгеше.

Қарама-қарсы мәлімдемелер, менің ойымша, түсінікті.

Кеңістік векторларының сызықтық тәуелділігі/тәуелсіздігі дәстүрлі түрде анықтауыштың көмегімен тексеріледі (5-тармақ). Қалған практикалық тапсырмаларайқын алгебралық сипатқа ие болады. Шегеге геометриялық таяқшаны іліп, сызықтық алгебра бейсбол таяғын ұстайтын кез келді:

Үш кеңістік векторыегер берілген векторлардың координаталарынан құралған анықтауыш нөлге тең болса ғана, олар компланар болады: .

Мен сіздің назарыңызды кішігірім техникалық нюансқа аударамын: векторлардың координаттарын тек бағандарда ғана емес, сонымен қатар жолдарда да жазуға болады (анықтаушының мәні бұдан өзгермейді - анықтауыштардың қасиеттерін қараңыз). Бірақ бұл бағандарда әлдеқайда жақсы, өйткені ол кейбір практикалық мәселелерді шешу үшін тиімдірек.

Детерминанттарды есептеу әдістерін аздап ұмытып кеткен немесе мүлде бағдарланбаған оқырмандар үшін мен ескі сабақтарымның бірін ұсынамын: Анықтаушыны қалай есептеу керек?

6-мысал

Төмендегі векторлардың үш өлшемді кеңістіктің негізін құрайтынын тексеріңіз:

Шешім: Шындығында, барлық шешім анықтауышты есептеуге келеді.

а) Векторлардың координаталарынан тұратын анықтауышты есептеңдер (анықтауыш бірінші жолда кеңейтілген):

, бұл векторлардың сызықтық тәуелсіз (компланар емес) және үш өлшемді кеңістіктің негізін құрайтынын білдіреді.

Жауап: бұл векторлар негізді құрайды

б) Бұл тәуелсіз шешім қабылдау нүктесі. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

кездесу және шығармашылық тапсырмалар:

7-мысал

Параметрдің қандай мәнінде векторлар компланар болады?

Шешім: Егер берілген векторлардың координаталарынан құралған анықтауыш нөлге тең болса ғана векторлар компланар болады:

Негізінде анықтауышы бар теңдеуді шешу қажет. Біз батпырауықтар сияқты нөлдерге ұшамыз - екінші жолдағы детерминантты ашып, минустардан дереу құтылу тиімді:

Біз одан әрі жеңілдетулерді жүргіземіз және мәселені ең қарапайымға дейін азайтамыз сызықтық теңдеу:

Жауап: сағ

Мұнда тексеру оңай, ол үшін алынған мәнді бастапқы анықтауышқа ауыстырып, оны қайта ашу арқылы.

Қорытындылай келе, алгебралық сипаттағы және дәстүрлі түрде сызықтық алгебра курсына кіретін тағы бір типтік есепті қарастырайық. Бұл жеке тақырыпқа лайық болғандықтан кең таралған:

Үш өлшемді кеңістіктің негізін 3 вектор құрайтынын дәлелдеңдер
және берілген негіздегі 4-ші вектордың координаталарын табыңыз

8-мысал

Векторлар берілген. Векторлардың үш өлшемді кеңістіктің негізін құрайтынын көрсетіңіз және осы негізде вектордың координаталарын табыңыз.

Шешім: Алдымен шартпен айналысайық. Шарт бойынша төрт вектор берілген және көріп отырғаныңыздай, олардың кейбір негізде координаттары бар. Неге негіз – бізді қызықтырмайды. Келесі нәрсе қызықтырады: үш вектор жаңа негізді құра алады. Ал бірінші қадам 6-мысалдың шешімімен толығымен бірдей, векторлардың шынымен сызықтық тәуелсіз екенін тексеру қажет:

Векторлардың координаталарынан тұратын анықтауышты есептеңдер:

, демек векторлар сызықты тәуелсіз және үш өлшемді кеңістіктің негізін құрайды.

! Маңызды : векторлық координаталар Міндетті түрдежаз бағандарғаанықтауыш, жолдар емес. Әйтпесе, одан әрі шешім алгоритмінде шатасу болады.

Дәріс 6

…, векторлары сызықты тәуелді деп аталады, егер , , … сандары болса, олардың арасында кем дегенде бір нөлдік емес біреуі болса.

Сандар мен векторлардың көбейтінділерінің қосындысы, яғни. векторы

векторлардың сызықтық комбинациясы деп аталады.

Егер вектор векторлардың сызықтық комбинациясы ретінде ұсынылса , онда вектор да векторларға ыдырайтын деп аталады .

Жоғарыда келтірілген векторлардың сызықтық тәуелділігінің анықтамасы мынаған тең: векторлар сызықты тәуелді, егер олардың біреуі басқаларының сызықтық комбинациясы ретінде ұсынылса (немесе басқалары бойынша кеңейтілсе).

Теорема 1.Екі вектор үшін және сызықтық тәуелді болу үшін олардың коллинеар болуы қажет және жеткілікті.

Дәлелдеуқажет. Берілген: векторлар және сызықтық тәуелді. Олардың коллинеарлы екендігін дәлелдеу қажет. және векторлары сызықтық тәуелді болғандықтан, бір уақытта нөлге тең емес сандар бар, сондықтан

Мысалы, ; Содан кейін

демек және векторлары коллинеар болып шығады.

Берілген: векторлар және коллинеар. Олардың сызықтық тәуелділігін дәлелдеу талап етіледі.

Егер болса, онда теңдік орындалады, яғни және векторлары сызықтық тәуелді.

Егер , онда деп есептей отырып , немесе ; демек векторлар және сызықтық тәуелді.

Үш вектор компланар деп аталады, егер олар бір нүктеден сызылғанда бір жазықтықта жатса.

2-теорема.Үш , , векторы сызықты тәуелді болуы үшін олардың компланар болуы қажет және жеткілікті.

Берілген: , , векторлары сызықтық тәуелді. Біз олардың компланар екенін дәлелдеуіміз керек.

, , векторлары сызықтық тәуелді болғандықтан, , , сандары бар, олардың арасында кемінде біреуі бар; солай

Мысалы, ; Содан кейін

және векторлары сәйкесінше және векторларына коллинеар; сондықтан мұндай векторлардың қосындысы, яғни. векторы және векторларымен компланар болады.

Жеткіліктілігін дәлелдеу.Берілген: , , векторлары компланар. Бұл векторлардың сызықтық тәуелді екенін дәлелдеу қажет.

Егер және векторлары коллинеар болса, онда олар сызықты тәуелді (осы бөлімнің 1-теоремасы), яғни. және сандары бар, олардың ең болмағанда біреуі нөлге тең емес және мұндай , бірақ содан кейін және , яғни. , , векторлары сызықтық тәуелді .

Векторлар коллинеар емес болсын. , және сол нүктеден векторларды бір жаққа қойыңыз ТУРАЛЫ:

, , векторлары компланар болғандықтан, нүктелер ТУРАЛЫ, бір жазықтықта жату. Түзуге параллель түзуге нүктені проекциялау; болсын Рбұл проекция. Содан кейін және содан бері

содан кейін, болжауға болады

яғни , , векторлары сызықтық тәуелді.

Теорема 3.Кеңістіктегі кез келген төрт , , , векторы сызықтық тәуелді.

Дәлелдеу., , векторлары компланар емес деп есептейік. Бір нүктедегі барлық , , , векторларын шетке қойыңыз ТУРАЛЫ:

Болсын Р- нүктенің түзу сызыққа параллель жазықтықтағы проекциясы және - нүктенің проекциясы Ртүзуге параллель түзуде. Содан кейін.

Векторлар сәйкесінше векторларға коллинеар және . Болжам; ; алу; ;

және демек:

анау. , , , векторлары сызықты тәуелді.

Теорема 4.Екі нөлдік емес векторлар үшін және коллинеар болу үшін олардың координаталары пропорционал болуы қажет және жеткілікті.

Кеңістіктегі жалпы декарттық координаталар жүйесіне қатысты векторлар координаталары арқылы берілген жағдай үшін теореманы дәлелдейміз.

қажеттілігінің дәлелі.Берілген: векторлар ; және коллинеарлы. Олардың координаталары пропорционал екенін дәлелдеу қажет.

Өйткені, деп есептей отырып, біз аламыз, яғни.

Жеткіліктілігін дәлелдеу.Берілген: векторлардың координаталары

пропорционалды. Бұл векторлардың коллинеар екенін дәлелдеу қажет.

рұқсат етіңіз; яғни, , немесе , демек және векторлары коллинеар.

5-теорема.Жазықтықтағы жалпы декарттық координаталар жүйесіне қатысты олардың координаталарымен берілген екі вектор үшін және .

немесе кеңістіктегі жалпы декарттық координаттар жүйесіне қатысты

коллинеар болса, бұл қажет және жеткілікті

(ұшақ жағдайында),

(кеңістік болған жағдайда).

Кеңістіктегі жалпы декарттық координаталар жүйесіне қатысты және векторлары олардың координаталарымен берілген жағдай үшін теореманы дәлелдейміз.

қажеттілігінің дәлелі.Берілген: векторлар және коллинеар. қатынастарды дәлелдеу қажет

Егер векторлар нөлдік емес және коллинеар болса, онда олардың координаталары пропорционал болады, демек бұл теңдіктер орындалады (екі жол пропорционал болатын анықтауыш нөлге тең). Егер немесе (немесе ==0) болса, онда бұл теңдік анық.

Жеткіліктілігін дәлелдеу.Бұл қарым-қатынастар қанағаттандырылады деп берілген. және векторларының коллинеар екенін дәлелдеу қажет.

Егер (яғни =0) болса, онда және векторлары коллинеар болады (өйткені нөлдік векторкез келген векторға коллинеар). Сандардың кем дегенде біреуі нөл емес болсын, мысалы . рұқсат етіңіз; онда және қатынасынан немесе (анықтауышты кеңейту), кеңістіктегі ортақ декарттық координаталар жүйесіне қатысты олардың координаталары арқылы берілген, , егер қатынастар орындалса ғана бір түзуге жататынын табамыз.

Салдары 3.Кеңістіктегі ортақ декарттық координаталар жүйесіне қатысты координаталары арқылы берілген , , , нүктелері бір жазықтыққа жатады, егер және тек векторлары болса; ; компланар, яғни. егер және тек егер.

Осы ымыраға келу критерийіне сәйкес әрбір шешім үшін минималды және максималды төлемдердің сызықтық комбинациясы анықталады.

Екінші нұсқа бір критерийге назар аударуды қамтиды. Ол толық түсінікті экономикалық түсіндірмесі бар стандартты көрсеткіштердің бірі ретінде таңдалуы мүмкін (мысалы, өтімділік коэффициенттерінің бірі, пайыздарды жабу коэффициенті және т.б.), немесе бұл критерий жалпылайтын қандай да бір жасанды көрсеткіш түрінде әзірленеді. жеке критерийлер. Осы жалпыланған критерий үшін шекті мән белгіленеді, оның көмегімен ықтимал қарыз алушы үшін есептелген критерийдің нақты мәні салыстырылады. Бұл тәсілді жүзеге асырудағы негізгі қиындық жалпылама көрсеткішті құру әдісінде жатыр. Көбінесе бұл ішінара критерийлердің сызықтық комбинациясы, олардың әрқайсысы белгілі бір салмақ коэффициенті бар жалпы көрсеткішке кіреді. Дәл осы тәсілді Э.Алтман банкроттықты болжау үшін Z-критериясын жасау кезінде қолданған.

e жолы матрицаның e, e-..., em жолдарының сызықтық комбинациясы деп аталады if

e, e2 векторларының сызықтық комбинациясы, сызықтық тәуелділігі және тәуелсіздігі туралы түсінік. f em матрицасының e, e2,..., em (11.5) жолдары үшін сәйкес ұғымдарға ұқсас.

Шектелген және дөңес рұқсат етілген жиындар үшін (2.14) көрсетілгендей, A xk bk шектеуін қанағаттандыратын x% 0 векторын шеткі нүктелердің ақырлы жиынының дөңес сызықтық комбинациясы ретінде көрсетуге болады.

a элементтерінің шекті мәндерін және олардың сызықтық комбинацияларын есептеудің оңтайландыру процедурасы негізінен бұл кемшіліктерден айырылады.

(A/, q) және (L., q") сызықтық комбинациясы арқылы алынған (X1, q) нүктесі де (4.43), (4.44) жүйесінің шешімі екені анық.

Бұл бөлімде біз корреляцияның сызықтық комбинациясы болып табылатын көп айнымалы кездейсоқ шаманың математикалық күтуін және дисперсиясын есептеу ережелерін қарастырамыз. кездейсоқ айнымалылар  

Сондықтан кездейсоқ шамалардың ерікті санының сызықтық комбинациясы үшін біз аламыз

Инвестиция бірнеше активтерге (портфельге) жасалған жағдайды қарастырайық. Портфель – активтердің сызықтық комбинациясы, олардың әрқайсысының өзіндік күтілетін кірістілік пен кіріс дисперсиясы бар.

Кездейсоқ шамалардың ерікті сызықтық комбинациясынан айырмашылығы, актив салмағы нормалау ережесіне бағынады

Алдыңғы параграфта активтер арасындағы корреляция коэффициенті 1-ден төмен болған кезде портфельді әртараптандыру күтілетін кіріс пен күтілетін тәуекел арасындағы арақатынасты жақсарта алатыны көрсетілген. Бұл портфельдің күтілетін кірісі портфельге кіретін активтер бойынша күтілетін кірістердің сызықтық комбинациясы, ал портфельдің дисперсиясы s.d. квадраттық функциясы болып табылатындығына байланысты. активтер портфеліне кіреді.

Дискриминант функциясы кірістердің сызықтық комбинациясына ғана тәуелді болғандықтан, нейрон сызықтық дискриминатор болып табылады. Кейбір қарапайым жағдайларда сызықтық дискриминатор ең жақсы мүмкін болады, атап айтқанда кіріс векторларының k класына жататын ықтималдықтары Гаусс үлестірімдерімен берілген жағдайда.

Дәлірек айтсақ, Oya желісінің шығыстары бірінші W негізгі компоненттерінің сызықтық комбинациялары болып табылады. Нақты негізгі құрамдастардың өздерін алу үшін Oya ережесінде барлық нәтижелер бойынша қосындыны ауыстыру жеткілікті

b векторлары да минималды деп аталатын базисті құрайды. Атап айтқанда, бұл сызықтық комбинацияның көмегімен барлық есте қалған векторларды көрсетуге болатын векторлардың ең аз саны.

Келесі жүйелі процедура X = W X кіріс айнымалыларының сызықтық комбинациясы болып табылатын ең маңызды мүмкіндіктерді итеративті түрде шығаруға қабілетті (кірістердің ішкі жиыны сызықтық комбинацияның ерекше жағдайы болып табылады, яғни ресми түрде табуға болады Ең жақсы шешімКірістердің ең маңызды комбинацияларын таңдау арқылы қолжетімдіге қарағанда).

Талдау барысында қаржылық жағдайдың әртүрлі аспектілерін сипаттау үшін олар ретінде пайдаланылады. қаржылық жағдайдың салыстырмалы көрсеткіштері болып табылатын абсолютті көрсеткіштер мен қаржылық коэффициенттер. Соңғылары қаржылық жағдайдың абсолютті көрсеткіштерінің арақатынастары немесе олардың сызықтық комбинациялары ретінде есептеледі. Баланстану ғылымының негізін салушылардың бірі Н.А.Блатовтың классификациясы бойынша қаржылық жағдайдың салыстырмалы көрсеткіштері бөлу коэффициенттеріне бөлінеді және сол немесе басқа бөлігінің қай бөлігін анықтау қажет болған жағдайда қолданылады.